求实对称三对角矩阵的特征值和特征向量

求实对称三对角矩阵的特征值和特征向量（一）

摘要

在特征值计算问题上，QR方法具有里程碑意义。QR 方法是一种变换方法，是计算一般矩阵（中小型矩阵）全部特征值问题的最有效方法之一。QR方法具有收敛快，算法稳定等特点.由于特征值和特征向量能从本质上揭露矩阵的某些重要性质，因而得到它们的精确解十分重要，但其计算一直是很繁琐的数学问题。特别是当矩阵的阶数较高时，计算量非常大，且不易求其精确解。

关键词：特征值；特征向量；QR分解

Solve Real Symmetry Three Diagonal Matrix Eigenvalue And

Eigenvector

ABSTRACT

Values in the feature, the QR method has milepost sense. QR method is a transformation method, is the calculation of the general matrix ( small and medium-sized matrix ) one of the most effective methods of eigenvalue problems. The QR method has fast convergence, algorithm stability. Because the eigenvalues and eigenvectors can reveal some important properties of matrix from the nature, and thus obtain their exact solutions is very important, but the calculation is very complicated mathematical problems. Especially when the high rank of matrix, the calculation is very large, and is not easy to find the exact solution.

Key words:eigenvalue; eigenvector; QR decomposition

目录

1 绪论 (1)

1.1 问题重述 (1)

1.2研究方法 (1)

2 QR方法 (3)

2.1 QR分解的概念 (3)

2.2 Givens方法 (3)

2.3豪斯霍尔德方法（镜像变换） (5)

2.2.1 Householder 矩阵和Householder变换 (5)

2.2.2QR算法 (6)

3 QR算法C实现过程 (8)

3.1主要参数 (8)

3.2组成模块 (8)

3.3程序改错 (8)

4 测试运行 (11)

参考文献……………………………………………………………………………….…….. 附录…………………………………………………………………………….……………..

1 绪论

1.1 问题重述

（1）用你所熟悉的计算机语言编制利用QR 方法求实对称三对角矩阵全部特征值和特征向量的通用子程序。

（2）利用你所编制的子程序求如下矩阵（从70到80阶）

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=4114114114 A （1.1） 的全部特征值和特征向量。

1.2研究方法

在特征值计算问题上，QR 方法具有里程碑意义。在1955年的时候，人们还觉得特征值的计算是十分困扰的问题，到1965年它的计算——基于QR 方法的程序已经完全成熟。直到今天QR 方法仍然是特征值计算的有效方法之一。

设A 是n n ⨯阶矩阵，如果数λ和n 维非零向量x 满足

x Ax λ= （1.2）

则λ称为矩阵A 的一个特征值，x 称为矩阵A 的属于λ的特征向量。

由于特征值和特征向量能从本质上揭露矩阵的某些重要性质，因而得到它们的精确解十分重要，但其计算一直是很繁琐的数学问题。特别是当矩阵的阶数较高时，计算量非常大，且不易求其精确解。故在工程技术上，计算矩阵的特征值和特征向量主要使用数值解法，得到其在某一精度水平上的近似解。常用的算法有：幂法、反幂法、Jacobi 方法和QR 方法。

通过这次课程设计实现用QR 方法求解实对称三对角矩阵的全部特征值和特征向量。 QR 方法是一种变换方法，是计算一般矩阵（中小型矩阵）全部特征值问题的最有效方法之一。QR 方法具有收敛快，算法稳定等特点.

对矩阵A 进行拟上三角化得到)1(-n A 后，使用带双步位移的QR 方法的迭代公式为：

k k T k k k k k k k k k n Q A Q A QR M R Q M tI

sA A M A A ==+-==+-12)

1(1)

( 分解作对 （1.3）

2 QR 算法应用

2.1 QR 分解的概念

定理1.1[1]

如果实（复）非奇异矩阵A 能化成正交矩阵Q 与实非奇异上三角矩阵R 的乘积， 即

=QR A （2.1） 则称式（2.1）是A 的QR 分解。

引理1.1 任何实的非奇异n 阶矩阵A 可以分解成正交矩阵Q 和上三角矩阵R 的乘积，且除去相差一个对角线元素之绝对值全等于1的对角矩阵因子D 外，分解式（2.1）是唯一的。

定理1.2[1]

设A 为m n ⨯复矩阵（m n ≥），且n 个列向量线性无关，则A 具有分解

R U A = （2.2）

其中U 是m n ⨯复矩阵，且满足H U U ＝Ｉ ，R 是n 阶复非奇异上三角矩阵，且除去相差一个对角元素的模全为1的对角矩阵因子外，分解式（2.2）唯一的。

2.2 Givens 方法

我们知初等旋转变换的性质，即用

ij R 在乘矩阵A 时，仅影响A 的第i 行和第j 行，且选适当的ij R ，就可以消去A 的一个非零元素。一般地说，作一次旋转可以消去一个

非零元素。如果在作下一次旋转时不会影响前面已化为零的元素,即不会重新又变成非零,那么,借助于初等旋转矩阵将A 约化成上三角矩阵就有希望。

在平面解析几何中，将向量x 沿顺时针旋转角度θ后变为向量y 时的旋转变换为

cos sin sin cos y x Tx θθθ

θ⎛⎫== ⎪-⎝⎭ （2.3）

由于旋转变换不改变向量的模，即