高一数学必修1 指数函数及其性质
高中数学必修1课件 指数函数及性质习题课
（2）定义域为x∈R.
∵|x|≥0,∴y= 2 故y= ( ) X 的值域为{y|y≥1}. 3 （3）定义域为R.
∵y=4x+2x+1+1=(2x)2+2·x+1=(2x+1)2,且2x>0,∴y>1. 2
故y=4x+2x+1+1的值域为{y|y>1}.
（4）令
2x ≥0,得 x 1
x -1 ≥0,解得x<-1或x≥1. x 1
(4)中底数-4<0,所以不是指数函数.
(6)是二次函数,不是指数函数.
(7)底数x不是常数,不是指数函数.
【评析】基本初等函数:一次函数、二次函数、指数函 数及后面将要学到的对数函数、幂函数，都有一定的 形式,要注意定义的要求.
已知指数函数y=(m2+m+1)· （
1 x ） ,则m= 5
0或-1 .
2
2 , x 1 1 x1 ( ) , x 1 2 x
由图象可知函数有三个重要性质：
（1）对称性：对称轴为x=1; （2）单调性：(-∞,1］上单调递减，［1,+∞)上单调 递增； （3）函数的值域：［1,+∞). 【评析】作较复杂函数的图象（本题称分段函数），要 把各部分变换而得到一个整体，为了表示某部分是某个 函数图象的一部分，常画出一些虚线进行衬托，虚线部 分不是函数图象上的点，应注意区别.
解：
1 ∵y=(m2+m+1)· （ ）x为指数函数, 5
∴m2+m+1=1,即m2+m=0,
∴m=0或-1.
学点二 函数的定义域 值域 求下列函数的定义域、值域: （1）y=2
高一数学指数函数ppt课件
与对数式的转换、对数运算的性质等。
拓展延伸：挑战更高难度题目
复杂指数函数的性质研究
引入更复杂的指数函数形式，如复合指数函 数、分段指数函数等，探讨它们的性质和应 用。
指数函数在实际问题中的应 用
结合实际问题，如复利计算、人口增长等，展示指 数函数的应用价值，并引导学生运用所学知识解决 实际问题。
指数函数与其他数学知识 的综合应用
指数函数图像特征
当a>1时，图像在x轴上方，且随着x 的增大，y值迅速增大；当0<a<1时， 图像在x轴上方，但随着
当a>1时，指数函数在R上是增函数；当0<a<1时，指数函数在R 上是减函数。
指数函数的值域
指数函数的值域为(0, +∞)。
在解题时，要注意判断题目所给 条件是否满足对称性，以便更好
地应用这一性质。
05 复杂问题解决方 法与策略
分段讨论法在处理复杂问题时应用
分段讨论法概念
将复杂问题按照一定条件分成若 干段，每一段内问题相对简单，
易于解决。
分段讨论法应用
在处理指数函数问题时，当自变量 在不同区间内取值时，函数性质可 能发生变化，此时可以采用分段讨 论法。
数形结合思想概念
将数学中的“数”与“形”结合起来，通过图形 直观展示数量关系，帮助理解问题本质。
数形结合思想应用
在处理指数函数问题时，可以通过绘制函数图像 来观察函数性质，如单调性、周期性等。
数形结合思想优势
通过数形结合可以更加直观地理解问题，提高解 题准确性。
06 总结回顾与拓展 延伸
关键知识点总结回顾
幂的乘方规则
$(a^m)^n = a^{m times n}$，幂的乘方，底 数不变，指数相乘。
高一数学必修1_指数函数及其性质_ppt
-0.5 -0.2 -0.4
fx = 0.9x
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
例．函数 y＝ax－2＋2(a>0 且 a≠1)的图像必经过点( )
A．(0,1)
B．(1,1)
C．(2,2)
D．(2,3)
例、截止到1999年底，我国人口约13亿。如果今后 能将人口年平均增长率控制在1%，那么经过20年后， 我国人口数最多为多少（精确到亿）？
C.0<d<c<1<b<a
D.0<c<d<1<a<b
应用
比较下列各题中两个值的大小：
73; 21 01.87220..55.1,,10.7.833;0.22; 0.800..11, 0.800..22 ; 31.6 43 1.87110...663,,20.39113...661; 4 1.700..33 , 0.933..11; 1.3方 ((012.))7当当法,底底5数数: 相不231同同，，.5指指13数数00不相..22同同,时时1， ，.利利3用用00指指..77数数,函函数数的图23单像调的性变1133来化判规断律．来判断．
x … -3 -2 -1.5 -1 -0.5
y (1 )x … 8 4 2.8 2 1.4 2
0 0.5 1 1.5 2
3…
1 0.71 0.5 0.35 0.25 0.13 …
88 77 66 55 44 33 22 1
--66
--44
--22
22
44
66
8
7
6
y
高中数学必修一 指数运算性质及指数函数
第8课时 指数运算性质及指数函数知识点一 分数指数幂 给定正实数a ，对于任意给定的整数m ，n (m ，n 互素)，存在唯一的正实数b ，使得b n ＝a m，我们把b 叫作a 的mn次幂，记作b ＝mn a .指数运算性质 一般地，在研究实数指数幂的运算性质时，约定底数为大于零的实数.当a >0，b >0时，有： (1)a m ·a n ＝ ；(2)(a m )n ＝ ；(3)(ab )n ＝ ，其中m ，n ∈R . 例1 计算下列各式(式中字母都是正数).(1)10.5233277(0.027)21259-⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；2)211511336622(2)(6)(3)a b a b a b ÷－－；2152.530.064-0⎡⎤-π.⎢⎥⎣⎦（） 知识点二 指数函数一般地，函数 叫作指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R .注意①底数是大于0且不等于1的常数；②指数函数的自变量必须位于指数的位置上；③a x 的系数必须为1；④指数函数等号右边不会是多项式，如y ＝2x ＋1不是指数函数. 知识点三 指数函数的图像和性质例2 (1)下列函数中是指数函数的是________.(填序号) ①y ＝2·(2)x ；②y ＝2x －1；③y ＝⎝⎛⎭⎫π2x；④y ＝13x-；⑤y ＝13x . (2)若函数y ＝(a 2－3a ＋3)·a x 是指数函数，则实数a ＝________. (3)若函数y ＝(2a －3)x 是指数函数，则实数a 的取值范围是________. 例3 (1)函数y ＝a x －1a(a >0，且a ≠1)的图像可能是( )(2)函数f (x )＝1＋a x －2(a >0，且a ≠1)恒过定点________.(3)已知函数y ＝3x 的图像，怎样变换得到y ＝⎝⎛⎭⎫13x ＋1＋2的图像？并画出相应图像.跟踪训练3 (1)已知函数f (x )＝4＋a x ＋1(a >0，且a ≠1)的图像经过定点P ，则点P 的坐标是( ) A.(－1,5) B.(－1,4) C.(0,4) D.(4,0) 例4 比较下列各题中两个值的大小. (1)1.7－2.5，1.7－3；(2)1.70.3，1.50.3；(3)1.70.3，0.83.1.跟踪训练4 比较下列各题中的两个值的大小.(1)0.8－0.1，1.250.2；(2)⎝⎛⎭⎫1π－π，1；(3)0.2－3，(－3)0.2.例5 (1)不等式4x <42－3x的解集是________.(2)解关于x 的不等式：a 2x ＋1≤a x －5(a >0，且a ≠1).例6 判断f (x )＝2213x x⎛⎫ ⎪⎝⎭－的单调性，并求其值域.反思感悟研究y ＝a f (x )型单调区间时，要注意a >1还是0<a <1.当a >1时，y ＝a f (x )与f (x )的单调性相同.当0<a <1时，y ＝a f (x )与f (x )的单调性相反.跟踪训练6 求函数y ＝223x x a ＋－的单调区间.课后作业1.化简238的值为( ) A.2 B.4 C.6 D.82.下列根式与分数指数幂的互化正确的是( ) A.－x ＝12()x －(x >0) B.1263=y y (y <0) C.33441=xx ⎛⎫⎪⎝⎭－(x >0) D.133=x x －(x ≠0) 3.式子a 2a ·3a 2(a >0)经过计算可得到( ) A.a B.1a6 C.5a 6 D.6a 5 4.计算124－⎝⎛⎭⎫12－1＝________.5.下列各函数中，是指数函数的是( ) A.y ＝(－3)x B.y ＝－3x C.y ＝3x －1D.y ＝⎝⎛⎭⎫13x6.若函数y ＝(2a －1)x (x 是自变量)是指数函数，则a 的取值范围是( ) A.a >0，且a ≠1 B.a ≥0，且a ≠1 C.a >12，且a ≠1 D.a ≥127.函数f (x )＝a x －b的图像如图所示，其中a ，b 均为常数，则下列结论正确的是( )A.a >1，b <0B.a >1，b >0C.0<a <1，b >0D.0<a <1，b <08.函数y ＝a x －3＋3(a >0，且a ≠1)的图像恒过定点_________________________________. 9.函数f (x )＝1－2x ＋1x ＋3的定义域为________. 10.下列各式中成立的是( )A.⎝⎛⎭⎫m n 7＝177n m B.12(－3)4＝3－3 C.4x 3＋y 3＝34()x y + D.39＝3311.下列大小关系正确的是( )A.0.43<30.4<π0B.0.43<π0<30.4C.30.4<0.43<π0D.π0<30.4<0.43 12.方程42x －1＝16的解是( )A.x ＝－32B.x ＝32 C.x ＝1 D.x ＝213.函数f (x )＝2112x ⎛⎫⎪⎝⎭－的递增区间为( )A.(－∞，0]B.[0，＋∞)C.(－1，＋∞)D.(－∞，－1) 14.函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x，y ＝2x ，y ＝3x的图像(如图)分别是________.(用序号作答)15.设0<a <1，则关于x 的不等式22232223x x x x aa －＋＋－＞的解集为________.16.已知a ＝0.80.7，b ＝0.80.9，c ＝1.20.8，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a >b >c B.b >a >c C.c >b >a D.c >a >b 17.已知函数f (x )＝3x －⎝⎛⎭⎫13x ，则f (x )( ) A.是奇函数，且在R 上是增函数 B.是偶函数，且在R 上是增函数 C.是奇函数，且在R 上是减函数 D.是偶函数，且在R 上是减函数18.计算：⎝⎛⎭⎫2590.5－⎝⎛⎭⎫27813-－⎝⎛⎭⎫－780＋160.25＝__________________________________.19.已知函数f (x )＝2|x －a |(a 为常数)，若f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________. 20.已知函数f (x )＝4x －14x ＋1.(1)解不等式f (x )<13；(2)求函数f (x )的值域.能力提升 已知定义在R 上的函数f (x )＝a ＋14x ＋1是奇函数.(1)求a 的值；(2)判断f (x )的单调性(不需要写出理由)；(3)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求实数k 的取值范围.。
课件人教A版高中数学必修一《指数函数及其性质》实用PPT课件_优秀版
②利用指数函数y＝au的单调性求得此函数的值域.
2.求形如y＝A·a2x＋B·ax＋C类函数的值域一般用换元法，设ax＝t(t>0)再转
化为二次函数求值域.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练 4 (1)函数 f(x)＝ 1－2x＋ x1＋3的定义域为( A )
A.(－3,0]
B.(－3,1]
C.(－∞，－3)∪(－3,0] D.(－∞，－3)∪(－3,1]
(2)对称变换：函数y＝a－x的图象与函数y＝ax的图象关于y轴对称；
函数y＝－a－x的图象与函数y＝ax的图象关于原点对称；
当x＜0时，_________
反思与感悟
解析答案
跟踪训练3 (1)函数y＝|2x－2|的图象是( B )
解析 y＝2x－2的图象是由y＝2x的图象向下平移2个单位长度得到的， 故y＝|2x－2|的图象是由y＝2x－2的图象在x轴上方的部分不变，下方部分 对折到x轴的上方得到的.
过点_(_0_，__1_)_，即x＝_0_时，y＝_1_ 若下向列下 各平函移数φ中(φ，>是0)个指单数位函，数则的得是到( y＝)ax－φ的图象. 性质 跟一踪般训 地练，3函数(1y)＝函a数x y＝|2x－2|的图叫象做是指(数函数) ，其中x是自变量，函数的定义域是R.
当x＞0时，y＞1； 纠(3)错ax心的得系数凡是换1. 元时应立刻写出新元范围，这样才能避免失误.
解析 ∵x2－1≥－1，
解 ∵y＝2－x与y＝2x的图象关于y轴对称，
④中，y＝x3的底为自变量，指数为常数，故④不是指数函数.
其中，指数函数第的个二数章是( 2.1) .2 指数函数及其性质
(3)ax的系数是1.
例2 如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是( )
高一数学必修1：2.1.2《指数函数及其性质的应用》课件
例3 求下列函数的定义域:
1
(1) y 5 x1 ;(2) y 2 x4 .
问题提出 1.什么是指数函数？其定义域是什么？大致 图象如何？
2.任何一类函数都有一些基本性质，那么指 数函数具有那些基本性质呢？
知识探究（一）：函数 y ax (a 1) 的性质
考察函数
y ax (的a图象:1)
一
2
想 共同点？
指数函数定义：
函数 y=ax （a>0,a≠1）叫做指数函数,
其中x是自变量，函数的定义域为R
探究1：为什么要规定a>0,且a 1呢？
①若a=0，则当x≤0时， ax无意义
②若a<0，对于x的某些数值，可能使 ax无意义11来自如：a 2、a 4等等
③若a=1，则对于任何x R，
a x =1，是一个常量，没有研究的必要性.
思考3:上述函数在其结构上有何共同特点？
思考4:我们把形如 y ax的函数叫做指数函
数，其中x是自变量.为了便于研究，底数a的 取值范围应如何规定为宜？
a 0, a 1
思考5:指数函数y＝ax（a＞0，a≠1）的定义 域是什么？
知识探究（二）:指数函数的图象 思考1:研究函数的基本特性，一般先研究其
探究2：函数 y 2 3x是指数函数吗？
不是！指数函数中要求 a x的系数必须是1
思考:下列函数是指数函数吗,为什么?
y 2x2 y 4x2 y x y 2x
指数函数的图象和性质：
在同一坐标系中分别作出如下函数的图像：
y 2x
列表如下：
y
1
x
2
x -3 -2 -1
2 x 0.13 0.25 0.5
高一数学人必修件时指数函数的图象和性质
01
性质法
利用指数函数的单调性，比较指 数的大小，从而得到不等式的解 集。
02
03
04
图像法
画出指数函数的图像，根据图像 确定不等式的解集。
06
总结回顾与拓展延伸
总结回顾本次课程重点内容
指数函数的概念
形如$y = a^x$（$a > 0$，$a neq 1$）的函数称为指数函数。
指数函数的图象
通过描点法或利用函数性质绘制指数 函数的图象，理解图象的形状和变化 趋势。
呈指数衰变的情况。
半衰期公式
T₁/₂ = ln2/λ，其中T₁/₂表示半 衰期，λ表示衰变常数。该公式 用于计算放射性元素的半衰期。
放射性元素衰变链
一种放射性元素衰变后会产生另 一种放射性元素，这种衰变过程 可以形成一个衰变链。在这个链 中，每个元素的衰变都遵循指数
衰变规律。
生物学中细菌繁殖问题
细菌繁殖公式
对数函数的定义域为 正实数，即$x > 0$ 。
指数函数与对数函数值域关系
指数函数的值域为$(0, +infty)$，即其函数值始终大 于0。
对数函数的值域为全体实数， 即$y in R$。
指数函数与对数函数的值域也 不同，但二者之间可以通过取 对数或取指数进行相互转换。
指数函数与对数函数图像关系
高一数学人必修件时指数 函数的图象和性质
汇报人：XX 20XX-01-21
目录
• 指数函数基本概念与性质 • 指数函数图像变换规律 • 指数函数与对数函数关系 • 指数函数在生活中的应用举例 • 求解指数方程和不等式方法技巧 • 总结回顾与拓展延伸
01
指数函数基本概念与性质
指数函数定义及表达式
高一数学必修一《指数函数及其性质》PPT课件
进行求解，也可以将对数方程转化为指数方程进行求解。
03
指数函数与对数函数在图像上的关系
指数函数的图像与对数函数的图像关于直线y=x对称。
02
指数函数运算规则
同底数指数运算法则
乘法法则
$a^m times a^n = a^{m+n}$，其中$a$是底数，$m$和$n$ 是指数。
除法法则
$a^m div a^n = a^{m-n}$，其中$a neq 0$。
分组让学生讨论指数函数的性质，如定义域、值域、 单调性、奇偶性等，并让他们尝试通过图像观察验证 这些性质。
问题导入
互动问答
通过具体案例，如“细菌繁殖”、“投资回报”等， 让学生应用指数函数的知识进行分析和计算，加深对
指数函数的理解。
案例分析
老师提出问题，学生抢答或点名回答，问题可以涉及 指数函数的计算、性质应用等，以检验学生的学习效 果。
放射性物质衰变模型
放射性物质衰变模型
01
N(t) = N0 * e^(-λt)，其中N(t)表示t时刻的放射性物质数量，
N0表示初始放射性物质数量，λ表示衰变常数。
指数函数在放射性物质衰变模型中的应用
02
通过指数函数可以描述放射性物质数量随时间减少的规律。
放射性物质衰变模型的意义
03
对于核能利用、环境保护等领域具有重要的指导意义。
单调性
当a>1时，指数函数在R上是增函数；当0<a<1时，指数函 数在R上是减函数。
指数函数与对数函数关系
01
指数函数与对数函数的互化关系
指数函数y=a^x（a>0且a≠1）与对数函数y=log_a x（a>0且a≠1）是
2021年人教版高一数学必修一第4单元 指数函数与对数函数(讲解和习题)
人教版高一数学必修一第4单元指数函数与对数函数（讲解和习题）基础知识讲解一．指数函数的定义、解析式、定义域和值域【基础知识】1、指数函数的定义：一般地，函数y＝a x（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R，值域是（0，+∞）．2、指数函数的解析式：y＝a x（a＞0，且a≠1）【技巧方法】①因为a＞0，x是任意一个实数时，a x是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R．①规定底数a大于零且不等于1的理由：如果a＝0，当x＞0时，a x恒等于0；当x≤0时，a x无意义；如果a＜0，比如y＝（﹣4）x，这时对于x＝，x＝在实数范围内函数值不存在．如果a＝1，y＝1x＝1是一个常量，对它就没有研究的必要，为了避免上述各种情况，所以规定a＞0且a≠1．二．指数函数的图象与性质【基础知识】1、指数函数y＝a x（a＞0，且a≠1）的图象和性质：y ＝a x a ＞1 0＜a ＜1图象定义域 R 值域 （0，+∞） 性质过定点（0，1）当x ＞0时，y ＞1； x ＜0时，0＜y ＜1当x ＞0时，0＜y ＜1；x ＜0时，y ＞1在R 上是增函数在R 上是减函数2、底数与指数函数关系①在同一坐标系内分别作函数的图象，易看出：当a ＞l 时，底数越大，函数图象在第一象限越靠近y 轴；同样地，当0＜a ＜l 时，底数越小，函数图象在第一象限越靠近x 轴． ①底数对函数值的影响如图．①当a ＞0，且a ≠l 时，函数y ＝a x 与函数y ＝的图象关于y 轴对称．3、利用指数函数的性质比较大小：若底数相同而指数不同，用指数函数的单调性比较： 若底数不同而指数相同，用作商法比较；若底数、指数均不同，借助中间量，同时要注意结合图象及特殊值．三．二次函数的性质与图象【二次函数】二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变量的变化而变化．它的一般表达式为：y＝ax2+bx+c（a≠0）【二次函数的性质】二次函数是一个很重要的知识点，不管在前面的选择题填空题还是解析几何里面，或是代数综合体都有可能出题，其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中学的抛物线的焦点、准线和曲线的平移．这里面略谈一下他的一些性质．①开口、对称轴、最值与x轴交点个数，当a＞0（＜0）时，图象开口向上（向下）；对称轴x＝﹣；最值为：f（﹣）；判别式①＝b2﹣4ac，当①＝0时，函数与x轴只有一个交点；①＞0时，与x轴有两个交点；当①＜0时无交点．①根与系数的关系．若①≥0，且x1、x2为方程y＝ax2+bx+c的两根，则有x1+x2＝﹣，x1•x2＝；①二次函数其实也就是抛物线，所以x2＝2py的焦点为（0，），准线方程为y＝﹣，含义为抛物线上的点到到焦点的距离等于到准线的距离．①平移：当y＝a（x+b）2+c向右平移一个单位时，函数变成y＝a（x﹣1+b）2+c；四．指数型复合函数的性质及应用【基础知识】指数型复合函数性质及应用：指数型复合函数的两个基本类型：y＝f（a x）与y＝a f（x）复合函数的单调性，根据“同增异减”的原则处理U＝g（x）y＝a u y＝a g（x）增增增减减增增减减减增减．五．指数函数的单调性与特殊点【基础知识】1、指数函数单调性的讨论，一般会以复合函数的形式出现，所以要分开讨论，首先讨论a 的取值范围即a＞1，0＜a＜1的情况．再讨论g（x）的增减，然后遵循同增、同减即为增，一减一增即为减的原则进行判断．2、同增同减的规律：（1）y＝a x如果a＞1，则函数单调递增；（2）如果0＜a＜1，则函数单调递减．3、复合函数的单调性：（1）复合函数为两个增函数复合：那么随着自变量X的增大，Y值也在不断的增大；（2）复合函数为两个减函数的复合：那么随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值就在不断的减小，而内层函数的Y值就是整个复合函数的自变量X．因此，即当内层函数自变量X的增大时，内层函数的Y值就在不断的减小，即整个复合函数的自变量X不断减小，又因为外层函数也为减函数，所以整个复合函数的Y值就在增大．因此可得“同增”若复合函数为一增一减两个函数复合：内层函数为增函数，则若随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值也在不断的增大，即整个复合函数的自变量X不断增大，又因为外层函数为减函数，所以整个复合函数的Y值就在减小．反之亦然，因此可得“异减”．六．函数零点的判定定理【基础知识】1、函数零点存在性定理：一般地，如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）•f（b）＜0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c①（a，b），使得f（c）＝O，这个c也就是f（x）＝0的根．特别提醒：（1）根据该定理，能确定f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一．（2）并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在（a，b）上没有零点，例如，函数f（x）＝x2﹣3x+2有f（0）•f（3）＞0，但函数f（x）在区间（0，3）上有两个零点．（3）若f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f（a）．f（b）＜0，则f（x）在（a，b）上有唯一的零点．2、函数零点个数的判断方法：（1）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f（x）的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2﹣2x+1＝0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）＝x2﹣2x+1在[0，2]上只有一个零点；①函数的零点是实数而不是数轴上的点．（2）代数法：求方程f（x）＝0的实数根．七．指数式与对数式的互化【基础知识】a b＝N①log aN＝b；指数方程和对数方程主要有以下几种类型：（1）a f（x）＝b①f（x）＝log a b；log a f（x）＝b①f（x）＝a b（定义法）（2）a f（x）＝a g（x）①f（x）＝g（x）；log a f（x）＝log a g（x）①f（x）＝g（x）＞0（同底法）（3）a f（x）＝b g（x）①f（x）log m a＝g（x）log m b；（两边取对数法）（4）log a f（x）＝log b g（x）①log a f（x）＝；（换底法）（5）A log x+B log a x+C＝0（A（a x）2+Ba x+C＝0）（设t＝log a x或t＝a x）（换元法）八．对数的运算性质【基础知识】对数的性质：①＝N；①log a a N＝N（a＞0且a≠1）．log a（MN）＝log a M+log a N；log a＝log a M﹣log a N；log a M n＝n log a M；log a＝log a M．九．换底公式的应用【基础知识】换底公式及换底性质：（1）log a N＝（a＞0，a≠1，m＞0，m≠1，N＞0）．（2）log a b＝，（3）log a b•log b c＝log a c，十．对数函数的定义域【基础知识】一般地，我们把函数y＝log a x（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R．十一．对数函数的值域与最值【基础知识】一般地，我们把函数y＝log a x（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R．定点：函数图象恒过定点（1，0）十二．对数值大小的比较【基础知识】1、若两对数的底数相同，真数不同，则利用对数函数的单调性来比较．2、若两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量（1，﹣1，0）进行比较3、若两对数的底数不同，真数也不同，则利用函数图象或利用换底公式化为同底的再进行比较．（画图的方法：在第一象限内，函数图象的底数由左到右逐渐增大）十三．对数函数的单调性与特殊点【基础知识】对数函数的单调性和特殊点：1、对数函数的单调性当a＞1时，y＝log a x在（0，+∞）上为增函数当0＜a ＜1时，y ＝log a x 在（0，+∞）上为减函数 2、特殊点对数函数恒过点（1，0）十四．对数函数图象与性质的综合应用 【基础知识】1、对数函数的图象与性质：a ＞10＜a ＜1图象定义域 （0，+∞）值域 R 定点 过点（1，0）单调性在（0，+∞）上是增函数在（0，+∞）上是减函数函数值正负当x ＞1时，y ＞0；当0＜x ＜1，y ＜0当x ＞1时，y ＜0；当0＜x ＜1时，y ＞02、由对数函数的图象确定参数的方法已知对数型函数的图象研究其解析式及解析式中所含参数的取值范围问题，通常是观察图象，获得函数的单调性、对称性、奇偶性、经过的特殊点等，由此确定函数解析式以及其中所含参数的取值范围．【技巧方法】1、4种方法﹣﹣解决对数运算问题的方法（1）将真数化为底数（或已知对数的数）的幂的积，再展开；（2）将同底对数的和、差、倍合并；（3）利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用；（4）利用常用对数中的lg 2+lg 5＝1．2、3个基本点﹣﹣对数函数图象的三个基本点（1）当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”．（2）对数函数y＝log a x（a＞0，且a≠1）的图象过定点（1，0），且过点（a，1），（，﹣1）函数图象只在第一、四象限．（3）底数的大小与对数函数的图象位置之间的关系．3、2个应用﹣﹣对数函数单调性的应用（1）比较对数式的大小：①若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，需对底数进行分类讨论．①若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．①若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较．（2）解对数不等式：形如log a x＞log a b的不等式，借助y＝log a x的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．形如log a x＞b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式．十五．指数函数与对数函数的关系【基础知识】指数函数和对数函数的关系：（1）对数函数与指数函数互为反函数，它们的定义域、值域互换，图象关于直线y＝x对称．（2）它们都是单调函数，都不具有奇偶性．当a＞l时，它们是增函数；当O＜a＜l时，它们是减函数．（3）指数函数与对数函数的联系与区别：十六．反函数【基础知识】【定义】一般地，设函数y＝f（x）（x①A）的值域是C，根据这个函数中x，y的关系，用y把x表示出，得到x＝g（y）．若对于y在中的任何一个值，通过x＝g（y），x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x＝g（y）就表示y是自变量，x是因变量是y的函数，这样的函数y＝g（x）（y①C）叫做函数y＝f（x）（x①A）的反函数，记作y＝f（﹣1）（x）反函数y＝f （﹣1）（x）的定义域、值域分别是函数y＝f（x）的值域、定义域．【性质】反函数其实就是y＝f（x）中，x和y互换了角色（1）函数f（x）与他的反函数f﹣1（x）图象关于直线y＝x对称；函数及其反函数的图形关于直线y＝x对称（2）函数存在反函数的重要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；（4）大部分偶函数不存在反函数（当函数y＝f（x），定义域是{0} 且f（x）＝C（其中C 是常数），则函数f（x）是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}，值域为{0} ）．奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数．若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数．（5）一切隐函数具有反函数；（6）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；（7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】；（8）反函数是相互的且具有唯一性；（9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）；（10）原函数一旦确定，反函数即确定（三定）（在有反函数的情况下，即满足（2））．十七．对数函数图象与性质的综合应用【基础知识】1、对数函数的图象与性质：a＞10＜a＜1图象定义域（0，+∞）值域R定点过点（1，0）单调性在（0，+∞）上是增函数在（0，+∞）上是减函数函数值正负当x＞1时，y＞0；当0＜x＜1，y＜0当x＞1时，y＜0；当0＜x＜1时，y＞02、由对数函数的图象确定参数的方法已知对数型函数的图象研究其解析式及解析式中所含参数的取值范围问题，通常是观察图象，获得函数的单调性、对称性、奇偶性、经过的特殊点等，由此确定函数解析式以及其中所含参数的取值范围．【解题方法点拨】1、4种方法﹣﹣解决对数运算问题的方法（1）将真数化为底数（或已知对数的数）的幂的积，再展开；（2）将同底对数的和、差、倍合并；（3）利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用；（4）利用常用对数中的lg 2+lg 5＝1．2、3个基本点﹣﹣对数函数图象的三个基本点（1）当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”．（2）对数函数y＝log a x（a＞0，且a≠1）的图象过定点（1，0），且过点（a，1），（，﹣1）函数图象只在第一、四象限．（3）底数的大小与对数函数的图象位置之间的关系．3、2个应用﹣﹣对数函数单调性的应用（1）比较对数式的大小：①若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，需对底数进行分类讨论．①若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．①若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较．（2）解对数不等式：形如log a x＞log a b的不等式，借助y＝log a x的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．形如log a x＞b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式．十八．函数的零点【基础知识】一般地，对于函数y＝f（x）（x①R），我们把方程f（x）＝0的实数根x叫作函数y＝f （x）（x①D）的零点．即函数的零点就是使函数值为0的自变量的值．函数的零点不是一个点，而是一个实数．十九．函数零点的判定定理【基础知识】1、函数零点存在性定理：一般地，如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）•f（b）＜0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c①（a，b），使得f（c）＝O，这个c也就是f（x）＝0的根．【技巧方法】（1）根据该定理，能确定f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一．（2）并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在（a，b）上没有零点，例如，函数f（x）＝x2﹣3x+2有f（0）•f（3）＞0，但函数f（x）在区间（0，3）上有两个零点．（3）若f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f（a）．f（b）＜0，则f（x）在（a，b）上有唯一的零点．2、函数零点个数的判断方法：（1）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f（x）的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2﹣2x+1＝0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）＝x2﹣2x+1在[0，2]上只有一个零点；①函数的零点是实数而不是数轴上的点．（2）代数法：求方程f（x）＝0的实数根．二十．函数的零点与方程根的关系【基础知识】函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的．二十一. 二分法【基础知识】二分法即一分为二的方法．设函数f（x）在[a，b]上连续，且满足f（a）•f（b）＜0，我们假设f（a）＜0，f（b）＞0，那么当x1＝时，若f（x1）＝0，这说x1为零点；若不为0，假设大于0，那么继续在[x1，b]区间取中点验证它的函数值为0，一直重复下去，直到找到满足要求的点为止．这就是二分法的基本概念．习题演练一．选择题（共12小题）1．已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是( ) A ．()1,1- B ．()(),11,-∞-+∞C ．()0,1D ．()(),01,-∞⋃+∞2．下列式子计算正确的是（ ） A ．m 3•m 2＝m 6 B ．（﹣m ）2＝21m - C ．m 2+m 2＝2m 2D ．（m +n ）2＝m 2+n 23．在同一直角坐标系中，函数11,log (02a x y y x a a ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭且1)a ≠的图象可能是（ ） A ． B ．C ．D ．4．设2,8()(8),8x x f x f x x ⎧≤=⎨->⎩，则(17)f =（ ）A ．2B ．4C ．8D ．165．函数13x y a +=-（0a >，且1a ≠）的图象一定经过的点是（ ） A ．()0,2-B ．()1,3--C ．()0,3-D ．()1,2--6．设0.3log 0.6m =，21log 0.62n =，则（ ） A ．m n m n mn ->+> B ．m n mn m n ->>+ C ．m n m n mn +>->D ．mn m n m n >->+7．已知函数1()ln 1f x x x =--，则()y f x =的图象大致为（ ）．A ．B ．C ．D ．8．已知2log a e =，ln 2b =，121log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a b c >> B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>9．函数()2xf 的定义域为[1,1]-，则()2log y f x =的定义域为（ ）A ．[1,1]-B．C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[1,4]10．设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（ ） A ．是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B ．是奇函数，且在11(,)22-单调递减C ．是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D ．是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减11．已知函数()ln 1,01,0xx x f x e x ⎧+>=⎨+≤⎩，()22g x x x =--，若方程()()0f g x a -=有4个不相等的实根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),1-∞B ．(]0,1C ．(]1,2D ．[)2,+∞12．在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（ ）A ．1,04⎛⎫-⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．13,24⎛⎫⎪⎝⎭二．填空题（共6小题）13．计算：13021lg8lg 25327e -⎛⎫-++= ⎪⎝⎭__________．14．不等式2log 5x a -<对任意[]4,16x ∈恒成立，则实数a 的取值范围为____________. 15．已知当(]1,2x ∈时，不等式()21log a x x -≤恒成立，则实数a 的取值范围为________.16．若关于x 的方程11224a x x =-++-的解集为空集，求实数a 的取值范围______. 17．已知函数223,3()818,3x x f x x x x -⎧<=⎨-+≥⎩，则函数()()2g x f x =-的零点个数为_________．18．已知定义在R 上的函数()f x 满1(2)()f x f x +=，当[0,2)x ∈时，()x f x x e =+，则(2019)f =_______.三．解析题（共6小题）19．已知函数()log (1)log (3)(01)a a f x x x a =-++<<.（1）求函数()f x 的定义域； （2）求函数()f x 的零点；（3）若函数()f x 的最小值为－4，求a 的值.20．已知定义域为R 的函数，12()2x x bf x a+-+=+是奇函数.（1）求a ，b 的值；（2）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围.21．设()log (1)log (3)(0,1)a a f x x x a a =++->≠，且(1)=2f . (1)求a 的值；(2)求()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值.22．已知实数0a >，定义域为R 的函数()x x e af x a e=+是偶函数，其中e 为自然对数的底数．（①）求实数a 值；（①）判断该函数()f x 在(0,)+∞上的单调性并用定义证明；（①）是否存在实数m ，使得对任意的t R ∈，不等式(2)(2)f t f t m -<-恒成立．若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．23．函数()f x 对任意的实数m ，n ，有()()()f m n f m f n +=+，当0x >时，有()0f x >． （1）求证：()00=f ．（2）求证：()f x 在(),-∞+∞上为增函数．（3）若()11f =，解不等式()422x xf -<．24．甲商店某种商品4月份（30天，4月1日为第一天）的销售价格P （元）与时间t （天）的函数关系如图所示（1），该商品日销售量Q （件）与时间t （天）的函数关系如图(2)所示.（1）（2）（1）写出图（1）表示的销售价格与时间的函数关系式()P f t =，写出图（2）表示的日销售量与时间的函数关系式()Q g t =及日销售金额M （元）与时间的函数关系式()M h t =. （2）乙商店销售同一种商品，在4月份采用另一种销售策略，日销售金额N （元）与时间t （天）之间的函数关系式为22102750N t t =--+，试比较4月份每天两商店销售金额的大小关系。
高一数学必修1_指数函数及其性质21ooo_ppt
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
-0.4
-0.4
应用
比较下列各题中两个值的大小：
3 1.6
2.5 30.2 0.1 0.1 0.2 0.2 0.1 2.5 3 1 1.7 ,1.7 ; 2 0.8 , 0.8 ; 0.8 , 0.8 ; 7 ; 2
3
31.8 4 1.7
1.6 3.1 1.6
4 1.7 ;
0.3 0.3
, 0.9
3.1 3.1
;
2 0.7 2 0.7 1.5 ,1.3 , ,5 1.3 分析： . （1 ）（2）利用指数函数的单调性 3 3
0.7
1 30.2 0.2
1 1 3 3
（3） 找中间量是关键.
-6 -6
-4 -4
-2 -2
2 2
4 4
6 6
8
7
6
1 y 2
x
5
y2
x
4
3
2
1
-6
-4
-2
2
4
6
进一步观察
指数函数的图象和性质
4
a 1
2
4
0 a 1
2
y
y
图像
-5
y 1
o
-10
y 1
5 10 15xຫໍສະໝຸດ -5-15o
定义域：
R 值域： (0, ) 图像过定点：(0,1)
-3
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
3
…
…
0.13
0.25
高中数学必修一课件：2.1.2.2指数函数及其性质的应用
2070年的人口数是 y 161.0250 43(亿);
2075年的人口数是 y 161.0255 48(亿);
2080年的人口数是 y 161.0260 52(亿);
2085年的人口数是 y 161.0265 58(亿); 2090年的人口数是 y 161.0270 6（4 亿);
13
（4）你是如何看待我国的计划生育政策的？ 计划生育是我国的基本国策，是千年大计！
14
三、导学（时间约18分钟）
探究点3 指数函数在解题中的应用
例9.将下列各数值按从小到大的顺序排列
(
4
)
1 3
,
(
2
)3
,
(
3
)
1 2
,
(
5
)0
.
3 34 6
分析：根据指数函数的性质，指数幂的运算法则进行，
注意采用中间值0和1进行比较。
所以，20年后的人口数是 131.0120 16(亿）， 33年后人口数是 131.0133 2（5 亿）。
9
（2）如果人口年平均增长率保持在2%，利用计算器分别 计算202X到2100年，每隔5年相应的人口数。 以例题中计算的202X年我国的人口数16亿为基准。
这时函数模型是 y 16 1.02x. 2025年的人口数是 y 161.025 18(亿）; 2030年的人口数是 y 161.0210 20(亿）;
解：( 2)3 0;
0
(
3
)
1 2
1;
(5)0 1;
(
4
)
1 3
1.
3
4
6
3
所以，
15
例10.解下列不等式：
指数函数的图像和性质(教学课件)高一数学(人教A版2019必修第一册)
3．函数 y＝121－x 的单调增区间为(
)
A．R
B．(0，＋∞)
C．(1，＋∞)
D．(0,1)
【答案】A [令 u(x)＝1－x，则 u(x)在 R 上是减函数，又 y＝12u(x)是减函数，故
y＝121－x 在 R 上单调递增，故选 A.]
4．已知 a＝ 52－1，函数 f(x)＝ax，若实数 m，n 满足 f(m)>f(n)，则 m，n 的大 小关系为________.
课堂小结 1、指数函数y ax与y ( 1 )x的图象关于y轴对称
a
a>1
0<a<1
指 数
图
y
y
函
象
1
1
数
o
x
o
x
图 象 与
(1)定义域:
性 (2)值域:
R (0,+∞)
性
(3)过定点:
(0,1)
质
(4)单调性：增函数 (4)单调性： 减函数
质 (5)奇偶性： 非奇非偶 (5)奇偶性：非奇非偶
(6)当x>0时，y>1. (6)当x>o时，0<y<1,
则下列结论正确的是( )
A．a＞1，b＜0 C．0＜a＜1，b＞0
B．a＞1，b＞0 D. 0＜a＜1，b＜0
解析：从曲线的变化趋势，可以得到函数 f(x)为减函数，从而有 0 ＜a＜1；从曲线位置看，是由函数 y＝ax(0＜a＜1)的图象向左平移 |－b|个单位长度得到，所以－b＞0，即 b＜0.
(2)因为y=0.6x是单调递减函数，且-1.2>-1.5, 所以0.6-1.2<0.6-1.5
(3)因为1.70.2>1.70=1，0.92.1<0.90=1， 所以1.70.2>0.92.1
高中数学必修一第四章知识点归纳
高中数学必修一第四章知识点归纳全文共5篇示例，供读者参考高中数学必修一第四章知识点归纳篇1指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数(exponential)，其中x是自变量，函数的定义域为r.注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1.2、指数函数的图象和性质【函数的应用】1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。
2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。
即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点.3、函数零点的求法：求函数的零点：1(代数法)求方程的实数根;2(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点.4、二次函数的零点：二次函数.1)△>0，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点.2)△=0，方程有两相等实根(二重根)，二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点.3)△<0，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点.高中数学必修一第四章知识点归纳篇2(1)直线的倾斜角定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角.特别地,当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度.因此,倾斜角的取值范围是0°≤α<°(2)直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率.直线的斜率常用k表示.即.斜率反映直线与轴的倾斜程度.当时,;当时,;当时,不存在.②过两点的直线的斜率公式：注意下面四点：(1)当时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为90°;(2)k与p1、p2的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到.(3)直线方程①点斜式：直线斜率k,且过点注意：当直线的斜率为0°时,k=0,直线的方程是y=y1.当直线的斜率为90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因l上每一点的横坐标都等于x1,所以它的方程是x=x1.②斜截式：,直线斜率为k,直线在y轴上的截距为b③两点式：直线两点,④截矩式：其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截距分别为.⑤一般式：(a,b不全为0)注意：各式的适用范围特殊的方程如：平行于x轴的直线：(b为常数);平行于y轴的直线：(a为常数);(5)直线系方程：即具有某一共同性质的直线(一)平行直线系平行于已知直线(是不全为0的常数)的直线系：(c为常数) (二)垂直直线系垂直于已知直线(是不全为0的常数)的直线系：(c为常数) (三)过定点的直线系(ⅰ)斜率为k的直线系：,直线过定点;(ⅱ)过两条直线,的交点的直线系方程为(为参数),其中直线不在直线系中.(6)两直线平行与垂直注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否.(7)两条直线的交点相交交点坐标即方程组的一组解.方程组无解;方程组有无数解与重合(8)两点间距离公式：设是平面直角坐标系中的两个点(9)点到直线距离公式：一点到直线的距离(10)两平行直线距离公式在任一直线上任取一点,再转化为点到直线的距离进行求解.高中数学必修一第四章知识点归纳篇3对数函数对数函数的一般形式为，它实际上就是指数函数的反函数。
人教A版必修1指数函数及其性质知识点总结与例题讲解
指数函数及其性质知识点总结本节知识点（1）指数函数的概念 （2）指数函数的图象和性质 （3）指数函数的定义域和值域 （4）指数函数的单调性及其应用 （5）指数函数的图象变换 知识点一 指数函数的概念一般地,函数xa y =（0>a 且1≠a ）叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是R . 1.为什么规定“0>a 且1≠a ”?答:若0=a ,则当0>x 时,0=x a ,当x ≤0时,xa 无意义;若0<a ,则对于x 的某些值,xa 无意义,如函数()xy 2-=,当 41,21=x 时,函数无意义;若1=a ,则对任意的∈x R ,都有1=x a ,没有研究的必要.基于上面的原因,在指数函数的定义中,规定0>a 且1≠a .上面的定义,是形式定义. 2.为什么指数函数的定义域是R ?答:对于指数幂来说,当底数大于0时,指数已经由整数指数推广到了实数指数,所以在指数函数的定义里面,自变量的取值范围是全体实数,即函数的定义域为R . 3.指数函数的结构特征指数函数的定义是形式上的定义,其函数解析式的结构具有非常明显的特征,如下: （1）指数中只有一个自变量x ,而不是含自变量的多项式; （2）xa 的系数必须为1,不能是其它的数字,也不能含有自变量; （3）底数a 必须满足0>a 且1≠a 的一个常数.根据上面的三个特征,可以判断一个函数是否为指数函数,也可以在已知指数函数的前提下,求参数的值或参数的取值范围.例1. 已知函数()()x a a x f ⋅-=32是指数函数,求a 的值. 分析:本题考查指数函数的定义,指数函数的定义有三个特征: （1）指数的位置只有一个自变量,但不是含自变量的多项式; （2）底数是一个大于0且不等于1的常数;（3）x a 的系数必须为1.解:∵函数()()x a a x f ⋅-=32是指数函数∴⎪⎩⎪⎨⎧≠>=-10132a a a ,解之得:2=a . 例2. 已知指数函数()()32--+=a a a y x 的图象过点()4,2,则=a _________.解:由题意可得:()()⎪⎩⎪⎨⎧≠>=--10032a a a a ,解之得:2=a 或3=a .∵函数的图象经过点()4,2 ∴2=a .例3. 若指数函数()x f 的图象经过点()9,2,求()x f 的解析式及()1-f 的值. 解:设函数()x a x f =.∵其图象经过点()9,2,∴2239==a ,∴3=a . ∴()x f 的解析式为()x x f 3=. ∴()31311==--f . 例4. 函数()x a a a y 442+-=是指数函数,则a 的值是【 】 （A ）4 （B ）1或3 （C ）3 （D ）1解:由题意可得:⎪⎩⎪⎨⎧≠>=+-101442a a a a ,解之得:3=a .∴x y 3=.选择【 C 】.例5. 若函数()xa y 12-=（x 是自变量）是指数函数,则a 的取值范围是_________.解:∵函数()xa y 12-=是指数函数∴⎩⎨⎧≠->-112012a a ,解之得:21>a 且1≠a .∴a 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠>121a a a 且.例6. 若函数()xa a y 32-=是指数函数,求实数a 的取值范围.解:∵函数()xa a y 32-=是指数函数∴⎩⎨⎧≠->-130322a a a a ,解之得:⎪⎩⎪⎨⎧±≠<>213303a a a 或. ∴实数a 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧±≠<>213303a a a a 且或.知识点二 指数函数的图象和性质一般地,指数函数xa y =（0>a 且1≠a ）的图象和性质如下表所示:指数函数函数值的特点:（1）当10<<a 时,若0<x ,则恒有1>y ;若0>x ,则恒有10<<y ; （2）当1>a 时,若0<x ,则恒有10<<y ;若0>x ,则恒有1>y . 1. 指数函数图象的画法对于指数函数xa y =（0>a 且1≠a ）,当0=x 时,1=y ;当1=x 时,a y =;当1-=x时,a y 1=.所以指数函数的图象经过三个关键点:()1,0,()a ,1和⎪⎭⎫ ⎝⎛-a 1,1.在画指数函数图象的草图时,应抓住以上三个关键点作图.（1）由于指数函数xa y =（0>a 且1≠a ）的图象经过点()a ,1,所以指数函数的图象与直线1=x 的交点的纵坐标等于函数的底数.交点的位置越高,底数a 就越大. （2）由于指数函数xa y =（0>a 且1≠a ）的图象经过点⎪⎭⎫⎝⎛-a 1,1,所以指数函数的图象与直线1-=x 的交点的纵坐标等于底数的倒数.交点的位置越高,a1越大,底数就越小. 2. 函数xa y =（0>a 且1≠a ）与函数xa y ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1（0>a 且1≠a ）的图象的关系在同一平面直角坐标系中,函数xa y =（0>a 且1≠a ）与函数xa y ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1（0>a 且1≠a ）的图象关于y 轴对称.即两个指数函数底数互为倒数,图象关于y 轴对称.如下图所示,指数函数x y 2=与xy ⎪⎭⎫⎝⎛=21的图象关于y 轴对称.（1）指数函数xa y =（0>a 且1≠a ）与函数xa y -=（0>a 且1≠a ）的图象关于x 轴对称.如上右图所示,指数函数xy 2=与函数xy 2-=的图象关于x 轴对称.（2）指数函数x a y =（0>a 且1≠a ）与函数xa y --=（0>a 且1≠a ）（即xa y ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1）的图象关于原点对称（成中心对称）.如下图所示,指数函数x y 2=与函数xy --=2（即xy ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21）的图象关于原点对称.3.与指数函数有关的恒过定点问题由于指数函数xa y =（0>a 且1≠a ）的图象恒过定点()1,0,因此我们讨论与指数函数有关的函数的图象过定点的问题时,只需令指数等于0,解出相应的y x ,,即为定点坐标.例7. 函数()531-=-x a x f （1,0≠>a a 且）的图象恒过定点_________. 解:令01=-x ,则1=x ,2513-=-⨯=y .∴函数()531-=-x a x f （1,0≠>a a 且）的图象恒过定点()2,1-.例8. 函数1-=x a y （1,0≠>a a 且）的图象恒过定点P ,则点P 的坐标为【 】 （A ）()1,0 （B ）()1,1 （C ）()1,1- （D ）()0,1 解:令01=-x ,则1=x ,10==a y . ∴定点P 的坐标为()1,1.选择【 B 】.例9. 函数1+=x a y （1,0≠>a a 且）的图象恒过的定点坐标为_________. 解:令01=+x ,则1-=x ,10==a y .∴函数1+=x a y （1,0≠>a a 且）的图象恒过定点()1,1-.例10. 函数33+=-x a y （1,0≠>a a 且）的图象过定点_________.解:令03=-x ,则3=x ,43130=+=+=a y .∴函数33+=-x a y （1,0≠>a a 且）的图象过定点()4,3.例11. 如果指数函数()()xa x f 1-=是R 上的减函数,那么a 的取值范围是【 】（A ）2<a （B ）2>a （C ）21<<a （D ）10<<a分析 对于指数函数xa y =（0>a 且1≠a ）,当10<<a 时,函数的图象从左到右是下降的,函数为R 上的减函数.解:∵函数()()xa x f 1-=是R 上的减函数∴110<-<a ,解之得:21<<a . ∴a 的取值范围是()2,1.选择【 C 】.例12. 已知集合{}3<=x x A ,{}42>=x x B ,则=B A __________. 分析:指数函数x y 2=为R 上的增函数. 解:42>x ,222>x∵函数x y 2=为R 上的增函数 ∴2>x ,∴{}2>=x x B ∴{}32<<=x x B A .例13. 解不等式22112>⎪⎭⎫ ⎝⎛-x .解:()22121>--x ,2221>-x∵函数x y 2=为R 上的增函数 ∴121>-x ,解之得:0<x . ∴原不等式的解集为()0,∞-. 例14. 不等式422<-xx 的解集为__________.解:2222<-xx∵函数x y 2=为R 上的增函数 ∴22<-x x ,解之得:21<<-x . ∵原不等式的解集为()2,1-.4.指数函数xa y =（0>a 且1≠a ）的底数a 对函数图象的影响 底数a 与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”:（1）当1>a 时,指数函数的图象是上升的,函数是R 上的增函数.底数越大,函数图象在y 轴右侧部分越接近于y 轴,即图象越陡,说明函数值增长得越快;（2）当10<<a 时,指数函数的图象是下降的,函数为R 上的减函数.底数越小,函数图象在y 轴左侧部分越接近于y 轴，即函数图象越陡,说明函数值减小得越快.根据上面的介绍,在上图中,各个指数函数的底数之间的大小关系为:01>>>>>>>f e d c b a .前面已经提到,因为指数函数x a y =（0>a ,且1≠a ）的图象经过三个关键点:()1,0,()a ,1和⎪⎭⎫ ⎝⎛-a 1,1,所以直线1=x 与指数函数图象的交点即为点()a ,1,交点的纵坐标等于指数函数的底数,故底数越大,交点的位置越高.于是有下面的结论:结论 底数a 的大小决定了指数函数图象相对位置的高低:不论是1>a 还是10<<a ,在第一象限内底数越大,函数图象越靠上.简记为:在y 轴右侧,底大图高.另外,直线1-=x 与指数函数图象的交点为⎪⎭⎫ ⎝⎛-a 1,1（即()1,1--a ）,交点的纵坐标等于底数的倒数,故底数越小,倒数越大,交点的位置越高.简记为:在y 轴左侧,底大图低.5.指数函数xa y =（0>a 且1≠a ）与xb y =（0>b 且1≠b ）的图象特点（1）若1>>b a ,则当0<x 时,总有10<<<xxb a ;当0=x 时,总有1==xxb a ;当0>x 时,总有1>>x x b a ;（2）若10<<<a b ,则当0<x 时,总有1>>xxa b ;当0=x 时,总有1==xxb a ;当0>x 时,总有10<<<x x a b .综上所述,当0>x ,0>>b a ,且1≠a ,1≠b 时,总有xx b a >;当0<x ,0>>b a ,且1≠a ,1≠b 时,总有xx b a <.6. 指数函数xa y =（0>a 且1≠a ）的图象和性质再说明 指数函数xa y =（0>a 且1≠a ）的定义域是R ,值域是()+∞,0.图象:（1）若1>a ,当-∞→x 时,0→y ,即x 的值越小,函数的图象越接近于x 轴,但不相交; （2）若10<<a ,当+∞→x 时,0→y .即x 的值越大,函数的图象越接近于x 轴,但不相交.因此,x 轴（即直线0=y ）是指数函数xa y =（0>a 且1≠a ）的图象的一条渐近线. 性质:（1）若1>a ,则当0>x 时,总有1>y ,即函数图象y 轴右侧的部分在直线1=y 的上方;当0<x 时,总有10<<y ,即函数图象y 轴左侧的部分在直线1=y 和x 轴之间. （2）若10<<a ,则当0>x 时,总有10<<y ,即函数图象y 轴右侧的部分在直线1=y 和x 轴之间;当0<x 时,总有1>y ,即函数图象y 轴左侧的部分在直线1=y 的上方.例15. 设0>x ,且x x a b <<1,则【 】（A ）10<<<a b （B ）10<<<b a （C ）a b <<1 （D ）b a <<1 解法一:∵0>x ,且x x a b <<1∴指数函数x a y =（0>a 且1≠a ）和x b y =（0>b 且1≠b ）在y 轴右侧的图象f x () =12(都在直线1=y 的上方,它们的的图象是上升的,∴1>a ,1>b∵在y 轴右侧,指数函数x a y =（0>a 且1≠a ）的图象在x b y =（0>b 且1≠b ）的图象的上方∴根据第一象限“底大图上”,有b a >. ∴1>>b a .选择【 C 】.解法二:∵x x a b <<1,∴x x a a b b <<00, ∵0>x ,∴1,1>>a b . ∵x x a b <,0>x a ,0>x∴1<⎪⎭⎫⎝⎛=xx x a b a b ,∴10<<a b ,∴b a >.∴1>>b a .例16. 已知实数b a ,满足ba ⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛3121,给出下面的五种关系,则其中可能成立的序号为__________.①b a <<0; ②a b <<0; ③0<<a b ; ④0<<b a ; ⑤0==a b . 分析:采用数形结合的方法解决本题:在同一平面直角坐标系中分别画出指数函数x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21和xy ⎪⎭⎫⎝⎛=31的草图,在画图时要注意y 轴左侧“底小图高”和y 轴右侧“底大图高”,还有指数函数的图象都经过定点()1,0.解:如下图所示,在同一平面直角坐标系中分别画出函数x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21和xy ⎪⎭⎫ ⎝⎛=31的图象.为便于观察并发现问题,设m ba=⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛3121.当0<x 时,有0<<b a ; 当0>x 时,有a b <<0;当0=x 时,有0==b a ,此时1=m . ∴可能成立的序号为②④⑤.例17. 设3132⎪⎭⎫ ⎝⎛=a ,3231⎪⎭⎫ ⎝⎛=b ,3131⎪⎭⎫ ⎝⎛=c ,则c b a ,,的大小关系是【 】 （A ）b c a >> （B ）c b a >> （C ）b a c >> （D ）a c b >>分析:（1）对于同底数幂比较大小,则可以利用指数函数的单调性比较.如本题中b 与c 的大小比较;（2）对于非同底数幂比较大小,则要借助于中间量或借助于指数函数的图象比较大小.如本题中a 与c 的大小比较.本题知识储备（1）对于指数函数xa y =（0>a 且1≠a ）,当10<<a 时,函数在R 上为减函数,即y 随x 的增大而减小.（2）对于指数函数xa y =（0>a 且1≠a ）与xb y =（0>b 且1≠b ）,若b a >,则当0<x 时,xxb a <;当0>x 时,xx b a >.解:∵指数函数xy ⎪⎭⎫ ⎝⎛=31在R 上为减函数∴31323131⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛,即b c >. ∵3132>,∴31313132⎪⎭⎫⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛,即c a >. ∴b c a >>,选择【 A 】.另外,也可以这样比较a 与c 的大小:∵12231323132031313131=>=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=ca ,∴c a >. 例18. 设6.06.0=a ,5.16.0=b ,6.05.1=c ,则c b a ,,的大小关系是__________.解:∵指数函数xxy ⎪⎭⎫⎝⎛==536.0在R 上为减函数∴6.05.16.06.0<,即a b <. ∵16.06.006.0=<,15.15.106.0=>∴6.06.05.16.0<,即c a <. ∴c a b <<.另外,根据: 对于指数函数x a y =（0>a 且1≠a ）与x b y =（0>b 且1≠b ）,若b a >,则当0<x 时,xx b a <;当0>x 时,x x b a >.可直接得到c a <.例19. 设9.014=y ,61.028=y ,5.1321-⎪⎭⎫⎝⎛=y ,则【 】（A ）321y y y >> （B ）312y y y >> （C ）231y y y >> （D ）123y y y >>分析:三个幂是不同底数的幂,但每个幂根据底数与2的关系都可以化为以2为底的幂,最后借助于指数函数的单调性即可得到三者之间的大小关系. 解:∵9.014=y ,61.028=y ,5.1321-⎪⎭⎫ ⎝⎛=y∴()8.19.02122==y ,()83.161.03222==y ,()5.15.11322==--y .∵指数函数x y 2=在R 上为增函数∴83.18.15.1222<<,即61.09.05.18421<<⎪⎭⎫⎝⎛-∴312y y y >>.选择【 B 】.例20. 设1212121<⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛<ab ,那么【 】（A ）a b a b a a << （B ）b a a a b a << （C ）a a b b a a << （D ）a a b a b a <<解:∵1212121<⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛<a b ,∴0121212121⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛a b . ∵指数函数xy ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21为R 上的减函数∴10<<<b a .在同一平面直角坐标系中分别画出函数x a y =与x b y =的图象如下页图所示.x x由图象可得:a a b b a a <<.选择【 C 】.知识点三 指数函数的定义域和值域 1 定义域（1）指数函数xa y =（0>a 且1≠a ）的定义域为R . （2）函数()x f ay =（0>a 且1≠a ）的定义域与函数()x f 的定义域相同.（3）函数()xaf y =的定义域与函数()x f 的定义域不一定相同.例如,函数()x x f =的定义域为[)+∞,0,而函数x a y =的定义域为R .注意:求指数型复合函数的定义域时,先观察函数是()xa f y =型还是()x f ay =型.例21. 函数()3121++-=x x f x 的定义域为【 】（A ）(]0,3- （B ）(]1,3-（C ）()(]0,33,--∞- （D ）()(]1,33,--∞-解:由题意可得:⎩⎨⎧>+≥-03021x x,解之得:x <-3≤0.∴函数()x f 的定义域为(]0,3-.选择【 A 】. 例22. 求下列函数的定义域:（1）xy ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=211; （2）153-=x y .解:由题意可知:x⎪⎭⎫ ⎝⎛-211≥0,∴x⎪⎭⎫ ⎝⎛21≤1021⎪⎭⎫ ⎝⎛=,∴x ≥0. ∴该函数的定义域为[)+∞,0;（2）由题意可知:15-x ≥0,解之得:x ≥51.∴该函数的定义域为⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,51.例23. 函数()2311-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x f x的定义域为__________. 解:由题意可得:⎪⎩⎪⎨⎧≠-≥⎪⎭⎫⎝⎛-020311x x,解之得:x ≥0且2≠x .∴函数()x f 的定义域为[)()+∞,22,0 . 例24. 求函数()423212-⨯-=xxx f 的定义域.解:由题意可得:042322>-⨯-x x∴()()04212>-+x x ,解之得:12-<x （舍去）,42>x . ∵函数x y 2=为R 上的增函数,2242=>x ,∴2>x . ∴函数()x f 的定义域为()+∞,2.2 值域（1）指数函数xa y =（0>a 且1≠a ）的值域为()+∞,0.（2）求形如()x f ay =的函数的值域时,设()x f t =,先求出()x f 的值域（即t 的范围）,然后根据函数ta y =的单调性,即可求出函数()x f a y =的值域.（3）求形如()xa f y =的函数的值域时,转化为求()+∞∈=,0xat 时,函数()t f y =的值域.例25. 求函数1241--=+x x y 的值域. 解:()122212421-⨯-=--=+x x x x y .设x t 2=,则0>t ,∴()211222--=--=t t t y .∵()+∞∈,0t∴()21min -==f y ,无最大值.∴函数1241--=+x x y 的值域为[)+∞-,2. 例26. 求函数1241-+=+x x y 的值域. 解:()122212421-⨯+=-+=+x x x x y .设x t 2=,则0>t ,∴()211222-+=-+=t t t y .∴函数在()+∞∈,0t 上为增函数 ∴函数1241-+=+x x y 的值域为()+∞-,1. 注意例25和例26的区别.例27. 已知函数()1-=x a x f （x ≥0）的图象经过点⎪⎭⎫⎝⎛21,2,其中0>a ,且1≠a .（1）求a 的值;（2）求函数()x f 的值域.分析:求指数函数x a y =（0>a 且1≠a ）的解析式,只需要其图象上一个点的坐标即可.解:（1）把⎪⎭⎫⎝⎛21,2代入()1-=x a x f 得:21=a ;（2）由（1）知()121-⎪⎭⎫⎝⎛=x x f ,为R 上的减函数∵x ≥0,∴1-x ≥1-,∴()x f <0≤2211=⎪⎭⎫⎝⎛-.∴函数()x f 的值域为(]2,0.注意:指数函数x a y =（0>a 且1≠a ）的图象位于x 轴的上方,并且在一个方向上无限接近于x 轴,函数的值域为()+∞,0.本题易错结果为(]2,∞-.总结 求形如()x f ay =的函数的值域时,设()x f t =,先求出()x f 的值域（即t 的范围）,然后根据函数t a y =的单调性,即可求出函数()x f ay =的值域.例28. 若函数()1-=x a x f （0>a 且1≠a ）的定义域和值域都是[]2,0,求实数a 的值.分析:指数函数的单调性与底数和1的大小关系有关,若关系不明确,必要时要进行分类讨论. 解:由题意可知:当10<<a 时,函数()1-=x a x f 在[]2,0上为减函数∴⎩⎨⎧=-=-012120a a ,显然无解; 当1>a 时,函数()1-=x a x f 在[]2,0上为增函数∴⎩⎨⎧=-=-210120a a ,解之得:3=a （3-=a 舍去）. 综上所述,实数a 的值为3. 例29. 求下列函数的定义域和值域: （1）412-=x y ; （2）32221--⎪⎭⎫⎝⎛=x x y .本题知识点储备 （1）函数()x f ay =（0>a 且1≠a ）的定义域与函数()x f 的定义域相同.（2）求形如()x f ay =的函数的值域时,设()x f t =,先求出()x f 的值域（即t 的范围）,然后根据函数ta y =的单调性,即可求出函数()x f ay =的值域.解:（1）由题意可得:04≠-x ,解之得:4≠x . ∴函数412-=x y 的定义域为()()+∞∞-,44, .∵041≠-x ,∴122041=≠=-x y ,且0>y . ∴函数412-=x y 的值域为{}10≠>y y y 且;（2）函数32221--⎪⎭⎫⎝⎛=x x y 的定义域为R .∵()413222--=--x x x ≥4-∴32221--⎪⎭⎫ ⎝⎛x x ≤16214=⎪⎭⎫ ⎝⎛-,且021322>⎪⎭⎫ ⎝⎛--x x .∴函数32221--⎪⎭⎫⎝⎛=x x y 的值域为(]16,0.例30. 求下列函数的定义域和值域:（1）xy -⎪⎭⎫⎝⎛=32; （2）222x x y -=.解:（1）函数xy -⎪⎭⎫⎝⎛=32的定义域为R .∵x ≥0,∴x -≤0. ∴1320min=⎪⎭⎫⎝⎛=y ∴函数xy -⎪⎭⎫⎝⎛=32的值域为[)+∞,1;（2）函数222x x y -=的定义域为R . ∵()11222+--=-x x x ≤1∴()2211max ===f y ,且0>y . ∴函数222x x y -=的值域为(]2,0.例31. 如果函数122-+=x x a a y （0>a 且1≠a ）在[]1,1-上有最大值,且最大值为14,试求a 的值.分析:这是求()x a f y =型函数的定义域和值域.求形如()xaf y =的函数的值域时,转化为求()+∞∈=,0xat 时,函数()t f y =的值域.解:()121222-+=-+=x x x x a a a a y .设x a t =,则0>t ,∴()211222-+=-+=t t t y .当1>a 时,∵[]1,1-∈x ,∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈a a t ,1.∵函数()212-+=t y 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈a a t ,1上为增函数∴()14122max =-+==a a a f y ,解之得:3=a （5-=a 不符合题意,舍去）;当10<<a 时,∵[]1,1-∈x ,∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈a a t 1,∵函数()212-+=t y 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈a a t 1,上为增函数∴1412112max =-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛=a aa f y ,解之得:31=a （51-=a 不符合题意,舍去）.综上所述,3=a 或31=a . 例32. 求函数12141+⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=xxy 的值域.解:12121121412+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=xxxxy 设xt ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,则0>t ,∴4321122+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=t t t y . ∴函数43212+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t y 在()+∞∈,0t 上为增函数.取0=t ,得1=y .∴函数12141+⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=xx y 的值域为()+∞,1.例33. 已知[]3,2-∈x ,求函数()12141+-=x x x f 的最值. 解:()1212112141121412+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+-=xxxxx x x f .设xt ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,∵[]3,2-∈x ,∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈4,81t .∴4321122+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=t t t y∵⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈4,81t∴()134,4321max min ===⎪⎭⎫ ⎝⎛=f y f y .例34. 若122+x ≤241-⎪⎭⎫ ⎝⎛x ,则函数x y 2=的值域是_________.解:∵122+x ≤241-⎪⎭⎫ ⎝⎛x ,∴122+x≤()x x 242222---=.∵函数x y 2=在R 上为增函数∴12+x ≤x 24-,解之得:3-≤x ≤1,即[]1,3-∈x .∴函数x y 2=在[]1,3-上的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,81.例35. ()1331+=+x x x f 的值域是【 】（A ）()+∞,3 （B ）()3,0 （C ）()2,0 （D ）()+∞,2解法一:()13331331+⋅=+=+x xx x x f 设x t 3=,则()+∞∈,0t ,()()133131313+-+=+-+=+=t t t t t t f . ∵()+∞∈,0t ,∴0133<+-<-t ,∴31330<+-+<t .∴()30<<t f ,即函数()1331+=+x x x f 的值域为()3,0.选择【 B 】.解法二:()xxx xx x x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+⋅=+=+3113311313331331. ∵031>⎪⎭⎫ ⎝⎛x ,∴1311>⎪⎭⎫ ⎝⎛+x,∴331130<⎪⎭⎫ ⎝⎛+<x,∴()()3,0∈x f .例36. 已知定义在R 上的偶函数()x f 满足:当x ≥0时,()x x a x f 22+=,()251=f . （1）求实数a 的值;（2）用定义法证明()x f 在()+∞,0上是增函数; （3）求函数()x f 在[]2,1-上的值域. 解:（1）∵当x ≥0时,()x x a x f 22+=,()251=f ∴2522=+a ,解之得:1=a ; （2）证明:由（1）可知:()xx x f 212+=. 任取()+∞∈,0,21x x ,且21x x <,则()()()()()212121212122112122221212221221221x x x x x x x x x x x x x x x f x f ++--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=-∵()+∞∈,0,21x x ,且21x x < ∴02,012,022212121>>-<-++x x x x x x ∴()()()()2121,0x f x f x f x f <<-. ∴()x f 在()+∞,0上是增函数;（3）∵函数()x f 为偶函数,且在[)+∞,0上为增函数 ∴()x f 在(]0,∞-上为减函数 ∴()()20min ==f x f .∵()252211=+=-f ,()4174142=+=f ,25417> ∴在区间[]2,1-上()()4172max ==f x f .∴函数()x f 在[]2,1-上的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡417,2.利用单调性法求最值的结论（1）如果函数()x f y =在区间[]b a ,上单调递增,在区间[]c b ,上单调递减,那么函数()x f y =在区间[]c a ,上有最大值)()(max b f x f =.如下页图所示;（2）如果函数()x f y =在区间[]b a ,上单调递减,在区间[]c b ,上单调递增,那么函数()x f y =在区间[]c a ,上有最小值)()(min b f x f =.如下图所示.f x ()max = f b ()f x ()min = f b ()第（3）问另解:∵函数()x f 为定义在R 上的偶函数 ∴()x f 在区间[]0,1-和[]1,0上的值域相同 ∴()x f 在[]2,1-上的值域即在[]2,0上的值域. ∵()x f 在[)+∞,0上为增函数 ∴()x f 在[]2,0上为增函数∴()()20min ==f x f ,()()4172max ==f x f . ∴函数()x f 在[]2,1-上的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡417,2.例37. 设函数()axx f -⎪⎭⎫⎝⎛=1021,a 是不为零的常数.（1）若()213=f ,求使()x f ≥4的x 的取值范围; （2）当[]2,1-∈x 时,()x f 的最大值是16,求a 的值.解:（1）∵()axx f -⎪⎭⎫⎝⎛=1021,()213=f ∴2121310=⎪⎭⎫ ⎝⎛-a,∴1310=-a ,解之得:3=a . ∴()()103310122---==x xx f .∵()x f ≥4,∴1032-x ≥22,∴103-x ≥2,解之得:x ≥4. ∴使()x f ≥4的x 的取值范围是[)+∞,4;（2）()()10101102221----==⎪⎭⎫⎝⎛=ax axaxx f .当0>a 时,()x f 在[]2,1-上为增函数∴()()4102max 21622====-a f x f ,∴4102=-a ,解之得:7=a ; 当0<a 时,()x f 在[]2,1-上为减函数∴()()410max 21621===-=--a f x f ,∴410=--a ,解之得:14-=a . 综上所述,7=a 或14-=a .例38. 已知函数()ax a x f -=3（0>a 且1≠a ）. （1）当2=a 时,()4<x f ,求x 的取值范围;（2）若()x f 在[]1,0上的最小值大于1,求a 的取值范围. 解:（1）当2=a 时,()x ax a x f 2332--==.∵()4<x f ,∴223242=<-x ,∴223<-x ,解之得:21>x . ∴x 的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛+∞,21;（2）∵0>a 且1≠a∴函数ax y -=3在[]1,0上为减函数. 当1>a 时,()x f 在[]1,0上为减函数∴()()03min 11a a f x f a =>==-,∴03>-a ,解之得:3<a . ∴31<<a ;当10<<a 时,()x f 在[]1,0上为增函数 ∴()()103min >==a f x f ,显然不成立. 综上所述,a 的取值范围是()3,1.例39. 已知函数()1+=-a x a x f 的图象（0>a 且1≠a ）过点⎪⎭⎫⎝⎛2,21.（1）求实数a 的值;（2）若函数()121-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x f x g ,求函数()x g 的解析式;（3）在（2）的条件下,若函数()()()12--=x mg x g x F ,求()x F 在[]0,1-∈x 上的最小值()m h .本题知识储备 求形如()xaf y =的函数的值域时,转化为求()+∞∈=,0xat 时,函数()t f y =的值域.解:（1）∵函数()1+=-a x a x f 的图象过点⎪⎭⎫⎝⎛2,21∴2121=+-a a,解之得:21=a . ∴实数a 的值为21; （2）由（1）知:()12121+⎪⎭⎫⎝⎛=-x x f∵()121-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x f x g∴()xx x g ⎪⎭⎫⎝⎛=-+⎪⎭⎫⎝⎛=-+2111212121;（3）∵()()()12--=x mg x g x F∴()xx x x m m x F ⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-212212121212. 设xt ⎪⎭⎫⎝⎛=21,∵[]0,1-∈x ,∴[]2,1∈t∴()()2222m m t mt t t F --=-=,[]2,1∈t .①当2>m 时,()t F 在[]2,1∈t 上为减函数∴()()()442222min +-=--==m m m F t F ,∴()44+-=m m h ;②当1≤m ≤2时,()()2min m m F t F -==,∴()2m m h -=; ③当1<m 时,()t F 在[]2,1∈t 上为增函数∴()()()121122+-=--==m m m F t F ,∴()12+-=m m h .综上所述,()⎪⎩⎪⎨⎧<+-≤≤->+-=1,1221,2,442m m m m m m m h .例40. 已知函数()x a x f =,()m a x g x +=2,其中1,0,0≠>>a a m 且.当[]1,1-∈x 时,()x f y =的最大值与最小值之和为25. （1）求a 的值;（2）若1>a ,记函数()()()x mf x g x h 2-=,求当[]1,0∈x 时,()x h 的最小值()m H . 分析:（1）指数函数()x a x f =（10≠>a a 且）在其定义域内为单调函数,所以指数函数在给定闭区间上的最值在区间的端点处取得,故本问不用进行分类讨论. 解:（1）∵函数()x a x f =（10≠>a a 且）在[]1,1-上为单调函数 ∴由题意可知:()()2511=-+f f . ∴251=+a a ,解之得:2,2121==a a . ∴a 的值为21或2;（2）∵1>a ,∴2=a ,∴()()m x g x f x x +==22,2. ∵()()()x mf x g x h 2-=∴()()m m m m x h x x x x +⋅-=⋅-+=22222222.设x t 2=,∵[]1,0∈x ,∴∈t []2,1 ∴()()m m m t m mt t t h +--=+-=2222①当2>m 时,()t h 在[]2,1上为减函数 ∴()()432min +-==m h t h ,即()43+-=m m H ;②当1≤m ≤2时,()()m m m h t h +-==2min ,即()m m m H +-=2; ③当1<m 时,()t h 在[]2,1上为增函数 ∴()()11min +-==m h t h ,即()1+-=m m H .综上所述,()⎪⎩⎪⎨⎧<+-≤≤+->+-=1,121,2,432m m m m m m m m H .例41. 已知函数()1242--⋅=x x a x f . （1）当1=a 时,解不等式()0>x f ; （2）当21=a ,∈x []2,0时,求()x f 的值域. 解:（1）当1=a 时,()()122212422--=--⋅=x x x x x f . 设x t 2=,则0>t ,()122--=t t t f .∵()0>x f ,∴0122>--t t ,解之得:1>t 或21-<t .∵0>t∴1>t ,∴0212=>x ,∴0>x . ∴不等式()0>x f 的解集为()+∞,0; （2）当21=a 时,()()1221242--=--=x x x x x f . 设xt 2=,∵∈x []2,0,∴∈t []4,1,()4521122-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=t t t t f∵()t f 在[]4,1上为增函数∴()()()()114,11max min ==-==f t f f t f .∴函数()t f 的值域为[]11,1-,即函数()x f 在∈x []2,0上的值域为[]11,1-. 例42. 已知函数()x x b a x f +=（其中b a ,为常数,10,10≠>≠>b b a a 且且）的图象经过点()6,1A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛-43,1B .（1）求函数()x f 的解析式;（2）若b a >,函数()211+⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=xx b a x g ,求函数()x g 在[]2,1-上的值域.解:（1）把()6,1A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛-43,1B 分别代入()x x b a x f +=得:⎪⎩⎪⎨⎧=+=+43116b a b a ,解之得:⎩⎨⎧==42b a 或⎩⎨⎧==24b a . ∴函数()x f 的解析式为()x x x f 42+=; （2）若b a >,则2,4==b a∴()22141211+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=xx x x b a x g设xt ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,∵∈x []2,1-,∴∈t ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,41,()4721222+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=t t t t g . ∴()4721min =⎪⎭⎫ ⎝⎛=g t g ,()()42max ==g t g .∴()t g 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,41上的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,47,即函数()x g 在[]2,1-上的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,47.说明:方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+43116b a b a 可以这样求解:∵⎪⎩⎪⎨⎧=+=+43116b a b a ,∴⎩⎨⎧==+86ab b a .∴b a ,是方程0862=+-x x 的两个实数根（方程思想）.解之得:4,221==x x ,∴⎩⎨⎧==42b a 或⎩⎨⎧==24b a .例43. 函数221341+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛=xxy ,∈x []2,2-的值域是__________.解:设xt ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,∵∈x []2,2-,∴∈t ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,41,41232322-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=t t t y . ∴()64,4123max min ==-=⎪⎭⎫⎝⎛=f y f y∴函数41232-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t y 在∈t ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,41上的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-6,41.∴函数221341+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛=xx y ,∈x []2,2-的值域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-6,41. 例44. 已知函数()ax xx f ++-=223（∈a R ）.（1）若()271=f ,求a 的值; （2）若()x f 有最大值9,求a 的值. 解:（1）∵()271=f∴3213273==++-a ,∴31=+a ,解之得:2=a ; （2）设()()11222++--=++-=a x a x x x g∴()()11max +==a g x g∴()()21max 3933max ====+a x g x f ,∴21=+a ,解之得:1=a .例45. 若函数()m x f x -=-3的最大值为2,则实数m 的值为【 】 （A ）1- （B ）2- （C ）3- （D ）4- 解:设()x x g -=3,则()x g <0≤130=,即函数()x g 的最大值为1. ∵函数()m x f x -=-3的最大值为2 ∴()2max =-m x g ,∴21=-m 解之得:1-=m .选择【 A 】.例46. 例45的第三种解法 以下几例为求()x a f y =型函数的值域()1331+=+x x x f 的值域是【 】（A ）()+∞,3 （B ）()3,0 （C ）()2,0 （D ）()+∞,2 解:设x t 3=,则0>t ,()13+==t t t f y . ∴03>-=yyt ,解之得:30<<y .选择【 B 】.例47. 函数x y --=328（x ≥0）的值域为__________.不等分析法和单调性法解:∵x ≥0,∴x -≤0,∴x -3≤3 ∴x -<320≤823=,∴8-≤023<--x .∴0≤8283<--x ,0≤8<y ,即函数x y --=328（x ≥0）的值域为[)8,0.注意: 不要漏掉023>-x这一范围.例48. 函数x y 416-=的值域是__________.解:由题意可知:x 40<≤16,∴16-≤04<-x ,∴0≤16416<-x . ∴0≤4416<-x ,0≤4<y . ∴函数x y 416-=的值域是[)4,0. 例49. 函数()xxx f 242-=的定义域是__________,值域是__________. 解:由题意可知:0242>-xx,∴024>-x ,解之得:2<x . ∴函数()x f 的定义域是()2,∞-.设x t 2=,则40<<t （2<x ）,()tt t t g -+-=-=4414. ∵40<<t ,∴04<-<-t ,∴440<-<t ,∴144>-t（可结合图象）∴0441>-+-t ,()0>t g ,∴()0>x f∴函数()x f 的值域为()+∞,0. 例50. 函数xx y +-=112的值域为__________.解:()xxx xx y ++-+++-+-===12112111222∵012≠+x ,∴1121-≠++-x ,∴21221121=≠-++-x ,即21≠y . ∵0>y ,∴该函数的值域为⎪⎭⎫⎝⎛+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛,2121,0 .例51. 函数()xx xx x f --+-=10101010的值域是【 】（A ）(][)+∞-∞-,11, （B ）()()+∞-∞-,11, （C ）[]1,1- （D ）()1,1-解:()11021110211011011010110101101010101022222+-=+-+=+-=+-=+-=--x x x x x xx x x x x xxx f . ∵0102>x ,∴11102>+x ,∴2110202<+<x ,∴0110222<+-<-x∴11102112<+-<-x ,即()11<<-x f .∴函数()xx xx x f --+-=10101010的值域是()1,1-.选择【 D 】. 解法二:()11011010110101101010101022+-=+-=+-=--x x xxx x x x x x x f 设t x =210,则0>t ,11+-=t t y∴011>---=y y t ,∴011<-+y y ,解之得:11<<-y . ∴函数()x f 的值域为()1,1-. 例52. 求下列函数的值域:（1）11+-=x x a a y （0>a ,且1≠a ）;（2）124+-=x x y .解:（1）12112111+-=+-+=+-=xx x x x a a a a a y . ∵0>x a ,∴11>+x a ,∴2120<+<x a ,∴0122<+-<-x a ∴11211<+-<-x a ,即11<<-y . ∴该函数的值域为()1,1-.解法二:设x a t =,则0>t ,11+-=t t y ∴011>---=y y t ,∴011<-+y y ,解之得:11<<-y . ∴该函数的值域为()1,1-. （2）()1221242+-=+-=x x x x y设xt 2=,则0>t ,4321122+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=t t t y∵()+∞∈,0t ,∴4321min =⎪⎭⎫ ⎝⎛=f y .∴函数124+-=x x y 的值域为⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,43.例53. 已知函数()b a x f x +=（10≠>a a 且）的定义域和值域都是[]0,1-,则=+b a _________.解:当10<<a 时,函数()x f 在[]0,1-上为减函数∴()()⎩⎨⎧-==-1001f f ,即⎪⎩⎪⎨⎧-=+=+1101b b a ,解之得:⎪⎩⎪⎨⎧-==221b a .∴=+b a 23-; 当1>a 时,函数()x f 在[]0,1-上为增函数∴()()⎩⎨⎧=-=-0011f f ,即⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+0111b b a ,显然方程组无解.综上所述,=+b a 23-. 例54. 函数124--=x y 的值域为【 】 （A ）[)+∞,1 （B ）()1,1- （C ）()+∞-,1 （D ）[)1,1-解:由题意可知:x 20<≤4,∴4-≤02<-x ,∴0≤424<-x ∴0≤224<-x ,∴1-≤1124<--x ,即1-≤1<y . ∴函数124--=x y 的值域为[)1,1-,选择【 D 】. 例55. 已知函数()13-=-x x f ,则()x f 的【 】 （A ）定义域是()+∞,0,值域是R （B ）定义域是R ,值域是()+∞,0 （C ）定义域是R ,值域是()+∞-,1 （D ）定义域、值域都是R 解:函数()13-=-x x f 的定义域为R . ∵03>-x ,∴13->-x ,即()1->x f∴函数()13-=-x x f 的值域为()+∞-,1.选择【 C 】. 例56. 下列各函数中,值域为()+∞,0的是【 】 （A ）22x y -= （B ）x y 21-= （C ）12++=x x y （D ）113+=x y解:（A ）函数22x y -=的定义域为R ,值域为()+∞,0,故（A ）正确; （B ）∵x 20<≤1,∴1-≤02<-x ,∴0≤121<-x ,∴0≤121<-x . ∴函数x y 21-=的值域为[)1,0;（C ）∵4321122+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=x x x y ≥43 ∴函数12++=x x y 的值域为⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,43;（D ）对于函数113+=x y ,因为011≠+x ,所以130=≠y ,且0>y ,故该函数的值域为()()+∞,11,0 .例57. 关于x 的方程0131=--⎪⎭⎫⎝⎛a x有解,则a 的取值范围是__________.解:∵0131=--⎪⎭⎫ ⎝⎛a x,∴131+=⎪⎭⎫ ⎝⎛a x∵x ≥0,∴x⎪⎭⎫ ⎝⎛<310≤1∵方程0131=--⎪⎭⎫⎝⎛a x有解∴10+<a ≤1,解之得:a <-1≤0. ∴a 的取值范围是(]0,1-.例58. 关于x 的方程a a x-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛52353有正实数根,则实数a 的取值范围是_________. 分析:该方程有正实数根指的是0>x .解:∵方程a a x-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛52353有正实数根 ∴0>x ,∴1535300=⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛<x,∴15230<-+<a a . 解之得:4332<<-a ,即实数a 的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛-43,32. 例59. 已知方程013329=-+⋅-k x x 有两个实数解,求实数k 的取值范围. 分析:设x t 3=,则0>t ,方程可转化为关于t 的一元二次方程,且方程有两个正实数根.结论 一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个正实数根的条件是⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=⋅>-=+≥∆0002121ac x x a b x x 解:设x t 3=,则0>t ,∵013329=-+⋅-k x x ,∴01322=-+-k t t由题意可知:方程01322=-+-k t t 有两个正实数根∴()()⎪⎩⎪⎨⎧>-=⋅>=+≥---013020134221212k t t t t k ,解之得:k <31≤32.∴实数k 的取值范围是⎥⎦⎤⎝⎛32,31.例60. 已知函数122-+=x x a a y （0>a 且1≠a ）,当x ≥0时,求该函数的值域. 解:设x a t =,则0>t ,()211222-+=-+=t t t y .当1>a 时,∵x ≥0,∴t ≥1∵函数()212-+=t y 在[)+∞,1上为增函数∴()21min ==f y ,∴函数的值域为[)+∞,2; 当10<<a 时,∵x ≥0,∴t <0≤1∴()y f <0≤()1f ,∴y <-1≤2,即函数的值域为(]2,1-.综上所述,当1>a 时,函数的值域为[)+∞,2;当10<<a 时,函数的值域为(]2,1-.知识点四 指数函数的单调性及其应用 1 单调性当1>a 时,函数xa y =在R 上为增函数;当10<<a 时,函数xa y =在R 上为减函数.利用这一性质,可以判断复合函数()x f a y =的单调性,判断的依据是:同增异减.如下表:注意 讨论形如()x f ay =的函数的单调性,首先要确定函数()x f 的单调性,然后结合底数a 的范围来确定函数()x f a y =的单调性.确定的依据是:同增异减.2 单调性的应用 （1）应用于比较大小类型一 比较同底数不同指数的幂的大小,利用指数函数的单调性进行比较;类型二 比较不同底数同指数的幂的大小,借助于函数的图象比较大小,或者借助于口诀:在y 轴右侧（即0>x ）底大图高（函数值大）,在y 轴左侧,底小图高;类型三 比较不同底数不同指数的幂的大小,利用中间量（如0和1）并结合函数的单调性比较大小.（2）应用于解简单不等式 不等式可化为()()x g x f a a<的形式,利用指数函数的单调性,将不等式转化为()()x g x f <（当1>a 时）或()()x g x f >（当10<<a 时）,然后进行求解.例61. 求函数x y -=2的单调性.解:设x t -=,则函数t 在(]0,∞-上为增函数,在[)+∞,0上为减函数 ∴函数x y -=2在(]0,∞-上为增函数,在[)+∞,0上为减函数.例62. 求函数xy -⎪⎭⎫⎝⎛=21的单调性.解:设x t -=,则函数t 在(]0,∞-上为增函数,在[)+∞,0上为减函数∴函数xy -⎪⎭⎫⎝⎛=21在(]0,∞-上为减函数,在[)+∞,0上为增函数.例63. 函数xx y 2221+-⎪⎭⎫⎝⎛=的单调递增区间是【 】（A ）[)+∞-,1 （B ）(]1,-∞- （C ）[)+∞,1 （D ）(]1,∞-解:设()11222+--=+-=x x x t ,则函数t 在(]1,∞-上为增函数,在[)+∞,1上为减函数∵指数函数ty ⎪⎭⎫⎝⎛=21在R 上为减函数∴函数xx y 2221+-⎪⎭⎫⎝⎛=的单调递增区间为[)+∞,1.选择【 C 】.例64. 求函数()2222++-=x xx f 的单调区间.解:设()312222+--=++-=x x x t ,则()t y x f 2==.∵函数t 在(]1,∞-上为增函数,在[)+∞,1上为减函数,函数t y 2=在R 上为增函数 ∴函数()x f 的单调递增区间为(]1,∞-,单调递减区间为[)+∞,1. 例65. 求函数32212+-=+x x y 的单调区间. 解:()3222322212+⋅-=+-=+x x x x y设x t 2=,则0>t ,且函数x t 2=在R 上为增函数 ∴()213222+-=+-=t t t y∴函数()212+-=t y 在∈t (]1,0上为减函数,此时(]0,∞-∈x ;在[)+∞∈,1t 上为增函数,此时[)+∞∈,0x .∴函数32212+-=+x x y 的单调递增区间为[)+∞,0,单调递减区间为(]0,∞-.例66. 求函数1121+-⎪⎭⎫⎝⎛=x x y 的单调区间.解:设12112111+-=+-+=+-=x x x x x t ,()()+∞--∞-∈,11, x ,则ty ⎪⎭⎫⎝⎛=21,且1≠t .∵函数121+-=x t 在()1,-∞-和()+∞-,1上均为增函数 函数ty ⎪⎭⎫⎝⎛=21在()()+∞∞-∈,11, t 上为减函数∴函数1121+-⎪⎭⎫⎝⎛=x x y 的单调递减区间为()1,-∞-和()+∞-,1,无单调递增区间.1例67. 函数()()32212---=x x x f 的单调增区间为__________.解:∵221<<,∴1120<-< ∴函数()()32212---=x x x f 的单调增区间即函数322--=x x t 的单调减区间.∵()413222--=--=x x x t∴函数t 的单调减区间为(]1,∞- ∴函数()()32212---=x x x f 的单调增区间为(]1,∞-.例68. 若函数axxy +-=22在()1,∞-内单调递增,则a 的取值范围是__________.解:设42222a a x ax x t +⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-=∵函数axxy +-=22在()1,∞-内单调递增∴函数4222a a x t +⎪⎭⎫ ⎝⎛--=在()1,∞-内单调递增∴2a≥1,解之得:a ≥2,即a 的取值范围是[)+∞,2. 例69. 若函数12-=x y 在(]m ,∞-上单调递减,则m 的取值范围是__________. 解法一:设x t 2=,则0>t ,1-=t y . ∵函数1-=t y 在(]1,0∈t 上为减函数 ∴x 20<≤021=,解之得:x ≤0.∴函数12-=x y 在(]0,∞-∈x 上为减函数. ∵函数12-=x y 在(]m ,∞-上单调递减 ∴m ≤0,即m 的取值范围是(]0,∞-. 解法二:函数12-=x y 的图象大致如图所示. 由图象可知:函数12-=x y 的单调递减区间 为(]0,∞-,所以(]0,∞-∈m .。
高中数学人教A版必修1第一章指数函数及其性质公开课PPT全文课件
（1）有些看起来是指数函数，而实际上不是指 数函数；
如： y a x k(a 0 且 a 1 ,k N )
（2）有些看起来不是指数函数，而实际上是指 数函数.
如： yax(a0且 a1)
(1)x(a0且a1) a
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问题2：已知函数的解析式，得到函数 的图象一般用什么方法？
列表 描点 连线成图
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2.函数的图像
y = 2x x -1 0 1 2 y 0.5 1 2 4
指数函数及其性质
一、情景引入
引例1:某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2 个分裂成4个…… 1个这样的细胞分裂x次后， 得到的细胞个数与x的关系式是什么？
分裂
次数 1次 2次 3次 4次
x次
……
y 2x xN*
细胞
总数
21
22
23
24
2x
引例2: “一尺之锤，日取其半，万世不竭”出自《庄子》 长度为1的尺子第一次截去它的一半，第二次截 去剩余部分的一半，第三次截去第二次剩余部分 的一半，依次截下去，问截的次数与剩下的尺子 长度之间的关系.
随堂练习：下列函数中，哪些是指数函数？
(1) y 3x (2) y 3x
你答对了吗?
(3) y x 3 (4) y 3x1
我也不是
总结：指数函数严格限定 y a x (a 0, 且a1) 这一结构，稍微有点出入，就会导致非指数函数的出现。
高一上学期数学人教A版必修第一册4.2.2指数函数的图象和性质课件
0.5
1
2
4
8
6
y2
5
y( )
1 x
2
x
4
y( )
1 x
2
3
x
-3
-2
-1
0
1
y
8
4
2
1
0.5
-4
-3 -2
2
1
-1 0
x
1
2
3
4
探究1:
函数
用
y2
x
y( )
与
y 2 的图像画出
x
1 x
2 的图象有什么关系？可否利
y ( 12 ) x的图像呢？
y=2x
1 x
y( )
2
y
•函数 y 2 与 y (
1 .7
-1 .7
6
5
, 0.3
0 .5
-1.7
1 .7
1 .7
31 .7 2 1 .7 1 . 6 1 .7
, 0 .6
0 .6
1 .7
幂函数？
1 .7
gx = 3x
gx = 0.3x
fx = 2x
fx = 0.5x
4
3
3
2
2
1
1
-4
-2
5
hx = 0.6x
视察图象，你能发现它们有哪些共同特征？
y2
x
y( )
1 x
2
y3
x
y( )
1 x
3
1x
y( )
1x
视察右边图象，回答下列问题：
3
y( )
2
问题一：
指数函数的图像及性质 PPT
知新益能
1．指数函数定义 一般地，函数y＝ax(a＞0，且a≠1)叫做__指__数__函__数___，其
中__x_为自变量，函数的定义域为_R__.
注意：
1.底数为常数，指数为自变量 2.三个“1”
小试牛刀
下列哪些是指数函数？
(1)y= 2x (3)y=(-2)x (5)y= 2-x (7)y= 2x+1
(2)y= x2 (4)y=-2x (6)y= 22x (8)y= 2x+1
新知 2
一下指数函数的图象。
新知提炼
2．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质
a>1
0<a<1
图 象
定义域为_R_；值域为__(0_，__＋__∞__) __
性 质
根据指数函数的概念，求函数解析式． 例1 指数函数 f ( x) 的图象过点 （3 , 27)，求 f (0) , f (1) , f (2) 的值
解：设 f ( x) a x (a 0且a 1)
因为函数 f (x) 过点( 3 , 27 ) 所以有 f (3) 27 ，即a3 27 解得 a 3, 于是 f (x) 3x
过定点__(0_,_1_) ，即_x_＝__0_时，__y＝__1_ 若x>0，则__y_＞__1_； 若x>0，则_0_＜__y_＜__1_； 若x<0，则_0_＜__y_＜__1_ 若x<0，则_y_＞__1__
在R上是__增__函_数___ 在R上是__减__函__数__
考点突破
指数函数的概念
所以 f (0) 30 1 , f (1) 3 ,
f (2) 32 1 9