圆的切线性质与判定
圆的切线与切圆的性质与判定
圆的切线与切圆的性质与判定圆是几何学中的基本概念，它是由平面上离定点距离相等的所有点组成的集合。
圆具有许多独特的性质和特点，其中之一就是切线和切圆的性质。
本文将详细探讨圆的切线以及切圆的性质和判定。
一、切点及切线的定义和性质1. 切点的定义：对于给定的圆和平面上的一个点，如果这个点与圆上的某一点重合时，我们称这个点和这个圆相切，并把它们的重合点称为切点。
2. 切线的定义：过圆上一点的所有直线中，与该圆只有一个公共点的直线称为切线。
3. 切点与切线的性质：a) 切线与半径的关系：切线垂直于半径，并且切点和圆心之间的线段与切线垂直。
b) 切线之间的关系：如果两个切点重合，那么这两条切线互相垂直。
c) 切线上的弧度关系：切线上的两个弧度相等。
d) 直径与切线的关系：以切点为端点的切线与过切点的直径互相垂直。
二、切圆的性质与判定1. 切圆的性质：a) 切圆的直径与切点垂直。
b) 圆的切线与切圆的切点在一条直线上。
c) 切圆和切圆所在的切线的切点互相垂直。
d) 切点与切圆所在的切线的任意两个切点构成的三角形是等腰三角形。
2. 切圆的判定：a) 通过切点作圆的半径，并作与原圆作垂直的线，这条垂线与圆的交点即为切圆的圆心。
b) 切圆的半径与原圆的半径相等。
三、切线和切圆的应用1. 圆的切线和切圆的性质在几何证明和计算中具有重要的应用价值。
a) 运用切线和切圆的性质可以证明等腰三角形的性质，从而解决相关的问题。
b) 在圆的几何计算中，切线和切圆的性质可以用于求解圆的切线长度、切点坐标等相关问题。
2. 圆的切线和切圆的性质在工程和科学领域也有广泛的应用。
a) 在建筑设计中，切线和切圆的性质可以应用于拱门和圆顶的构建。
b) 在物理学中，切线和切圆的性质可以解释光的传播和反射等现象。
结论：圆的切线与切圆的性质和判定是几何学中重要的概念和定理，它们具有广泛的应用。
熟练掌握圆的切线与切圆的性质和判定，对于解决几何证明、计算和应用问题都具有重要的意义。
圆的切线的性质及判定定理
A
O
B
D
练习3 若Rt△ABC内接于⊙O,∠A=30°. 延长斜边AB到D，使BD等于⊙O的半径, 求证：DC是⊙O的切线.
分析:如图
C
300600
. A
300 1200 600 600
O
B
D
练习1.如图A是⊙O外的一点，AO的延长线交 ⊙O于C，直线AB经过⊙O上一点B，且AB＝BC， ∠C＝30°. 求证：直线AB是⊙O的切线.
证明：连结OB,
∵OB=OC,AB=BC,∠C=30°
B
∴∠OBC=∠C=∠A=30° ∴∠AOB=∠C+∠OBC=60°
C O
A
∴∠ABO=180°－(∠AOB+∠A)
O
l
根据作图,直线l是⊙O切线满足两个条件： A B
1.经过半O的半径 OA⊥l于A
l是⊙O的切线.
定理说明：在此定理中，题设是“经过半径的外端” 和“垂直于这条半径”，结论为“直线是圆的切 线”， 两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线. 下面两个反例说明只满足其中一个条件的直线不是圆的切线：
例２ 如图，AB是⊙O的直径, C为⊙O上一点， AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D. 求证： AC平分∠DAB．
证明：连接OC．
∵CD 是⊙O的切线， ∴OC⊥CD.
D C
又∵AD⊥CD , ∴OC//AD. A
∴∠ACO＝ ∠CAD .
O
B
又∵OC=OD, ∴∠CAO＝ ∠ACO
∴∠CAD＝ ∠CAO , 故AC平分∠DAB．
O.
A
l
O.
A
l
B
３．应用：
例１ 如图，AB是⊙O的直径,⊙O过BC的中点D，
(完整)圆切线证明的方法
切线证明法切线的性质定理： 圆的切线垂直于经过切点的半径切线的性质定理的推论１: 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 切线的性质定理的推论２: 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．切线长定理: 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
一、要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径．【例1】如图1，已知AB 为⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，BD ＝OB ,点C 在圆上，∠CAB ＝30º．求证:DC 是⊙O 的切线．思路:要想证明DC 是⊙O 的切线，只要我们连接OC ，证明∠OCD ＝90º即可． 证明：连接OC ，BC ．∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90º．∵∠CAB ＝30º，∴BC ＝21AB ＝OB ．∵BD ＝OB ，∴BC ＝21OD ．∴∠OCD ＝90º．∴DC 是⊙O 的切线．【评析】一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线．【例2】如图2，已知AB 为⊙O 的直径,过点B 作⊙O 的切线BC ,连接OC ,弦AD ∥OC ．求证：CD 是⊙O 的切线．思路：本题中既有圆的切线是已知条件，又证明另一条直线是圆的切线．也就是既要注意运用圆的切线的性质定理，又要运用圆的切线的判定定理．欲证明CD 是⊙O 的切线，只要证明∠ODC ＝90º即可．图1图2证明：连接OD ．∵OC ∥AD ，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4． ∵OA ＝OD ，∴∠1＝∠2．∴∠3＝∠4． 又∵OB ＝OD ，OC ＝OC ，∴△OBC ≌△ODC ．∴∠OBC ＝∠ODC ．∵BC 是⊙O 的切线，∴∠OBC ＝90º．∴∠ODC ＝90º． ∴DC 是⊙O 的切线．【例3】如图2,已知AB 为⊙O 的直径,C 为⊙O 上一点，AD 和过C 点的切线互相垂直，垂足为D ．求证:AC 平分∠DAB ．思路：利用圆的切线的性质--与圆的切线垂直于过切点的半径．证明：连接OC ．∵CD 是⊙O 的切线，∴OC ⊥CD ．∵AD ⊥CD ，∴OC ∥AD ．∴∠1＝∠2． ∵OC ＝OA ，∴∠1＝∠3．∴∠2＝∠3． ∴AC 平分∠DAB ．【评析】已知一条直线是某圆的切线时,切线的位置一般是确定的．在解决有关圆的切线问题时，辅助线常常是连接圆心与切点，得到半径，那么半径垂直切线．【例4】 如图1,B 、C 是⊙O 上的点，线段AB 经过圆心O ，连接AC 、BC ，过点C 作CD ⊥AB 于D ,∠ACD =2∠B ．AC 是⊙O 的切线吗？为什么？解：AC 是⊙O 的切线． 理由：连接OC , ∵OC =OB ， ∴∠OCB =∠B ．图3 OABCD2 31∵∠COD是△BOC的外角,∴∠COD=∠OCB+∠B=2∠B．∵∠ACD=2∠B，∴∠ACD=∠COD．∵CD⊥AB于D,∴∠DCO+∠COD=90°．∴∠DCO+∠ACD=90°．即OC⊥AC．∵C为⊙O上的点，∴AC是⊙O的切线．【例5】如图2,已知⊙Ｏ是△ABC的外接圆，AB是⊙Ｏ的直径,D是AB的延长线上的一点，AE⊥DC交DC的延长线于点E，且AC平分∠EAB．求证：DE是⊙O的切线．证明:连接OC,则OA=OC，∴∠CAO=∠ACO，∵AC平分∠EAB，∴∠EAC=∠CAO=∠ACＯ,∴AE∥CO,又AE⊥DE，∴CO⊥DE，∴DE是⊙O的切线．二、直线与圆的公共点未知时须通过圆心作已知直线的垂直线段，证明此垂线段的长等于半径【例6】如图3，AB=AC，OB=OC，⊙O与AB边相切于点D．证明：连接OD，作OE⊥AC，垂足为E．∵AB=AC，OB=OC．∴AO为∠BAC角平分线，∠DAO=∠EAO∵⊙O与AB相切于点D，∴∠BDO=∠CEO=90°．∵AO=AO∴△ADO≌△AEO，所以OE=OD．∵OD是⊙O的半径,∴OE是⊙O的半径．∴⊙O与AC边相切．【例7】如图,在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F.求证：EF与⊙O相切.证明：连结OE,AD。
圆的切线与切点
圆的切线与切点圆是几何学中的一种重要图形，它具有许多独特的性质和特点。
其中，圆的切线与切点是一个常见而重要的概念。
本文将介绍圆的切线及其与切点相关的性质和应用。
一、圆的切线的定义与性质1. 定义：在平面几何中，对于给定圆，经过圆上一点的直线称为圆的切线，该点称为切点。
2. 切线与切点的关系：切线与圆之间存在着唯一的切点，同样地，圆上的任意一条切线都有唯一的切点。
3. 切线的判定条件：圆上的切线与半径的关系是相切时垂直，相交时不垂直。
也就是说，切线和半径在相切的点处垂直，而在相交的点处不垂直。
4. 切线长度的性质：当直线与圆相切时，切线的长度等于半径的长度。
二、切线的求解方法根据圆的切线与切点的性质，我们可以采用以下两种方法来求解切线方程及切点坐标。
1. 几何法：几何法是通过直观的几何图形进行推导和证明的方法，可以用来求解切线的方程和切点坐标。
(1) 过给定点求切线：假设给定点为P(x0,y0)，圆的方程为(x-a)²+(y-b)²=r²。
我们可以通过作直角三角形来找到过点P的切线。
首先以点P为顶点，作一个垂直于切线的直角三角形，使得斜边的长度等于半径r。
然后，通过求解直角三角形的边长和斜边的斜率，可以确定切线的斜率和截距，从而得到切线的方程。
(2) 求切点坐标：给定圆的方程和切线的方程后，我们可以解方程组，得到切点的坐标。
2. 解析法：解析法是通过数学的代数计算和推导来求解切线的方程和切点坐标的方法。
通过已知圆的方程和切点的坐标，可以利用代数运算和几何推导得出切线的方程和切点的坐标。
三、切线与切点的应用1. 最短路径问题：在平面上给定两点A和B，其中A位于圆内，B 位于圆外。
我们需要找到一条通过圆上某一点P的切线，使得切点D 为A点与B点之间的最短路径。
这样，我们可以利用圆的切线与切点的性质，求得最短路径的长度和切点的坐标。
2. 光的反射与折射：光线在介质之间传播时，会发生反射和折射现象。
圆的切线知识点总结
圆的切线知识点总结一、切线的定义在欧式几何中，对圆的切线有以下几种定义：1. 如果一条直线与圆相交于两点，那么这条直线就被称为圆的切线。
2. 一条直线与圆相交于圆上的一点，那么这条直线就是圆的切线。
3. 一条直线与圆相切于圆上的一点，且直线上的其他点都在圆的外部，那么这条直线就是圆的切线。
这三种定义表达了切线与圆的位置关系，指出了切线与圆的相交情况以及位置特征。
二、切线的性质1. 切线与半径垂直圆的半径与切线的交点处相互垂直。
2. 切线定理若直线l与圆相切于点P，直线l与直径所夹的角为直角。
3. 切线长度相等过圆外一点作一切线与圆相交于A、B两点，连接线A、B，若CA=CB，则线段CA与线段CB构成圆的切线。
4. 切线的判定若直线l经过圆外一点，分别与圆上两点A、B相连，若线段AB的中点恰好是圆心O，那么直线l即为圆的切线。
5. 切线的唯一性圆外一点到圆的切线唯一。
以上是切线的主要性质，这些性质在解题时常常起到重要的作用，特别是在证明几何问题时，能够帮助我们理解和应用切线的知识。
三、切线与圆的位置关系1. 内切线如果一条直线与圆相交于圆上的一点，但直线上的其他点都在圆的内部，那么这条直线就是圆的内切线。
2. 外切线如果一条直线与圆相交于圆上的一点，且直线上的其他点都在圆的外部，那么这条直线就是圆的外切线。
3. 相切线如果一条直线与圆相切于圆上的一点，且直线上的其他点都在圆的外部，那么这条直线就是圆的相切线。
切线与圆的位置关系在解题时十分重要，通过分析切线和圆的位置关系，可以帮助我们求解许多几何问题。
四、切线的判定方法1. 切线与圆的位置关系我们可以通过切线与圆的位置关系来判断一条直线是否为圆的切线，如切线的定义所述，可以分析直线与圆的相交情况以及位置特征来判定切线。
2. 对于圆外一点到圆的切线的判定，我们可以利用中位线作图，利用几何思维判定出直线是否为圆的切线。
3. 切线定理的应用切线定理是判定切线的重要原理之一，通过利用切线定理，可以判定一条直线是否为圆的切线。
2.3 圆的切线的性质及判定定理 课件(人教A选修4-1)
(2)推论1：经过圆心且 垂直于切线 的直线必经过切点．
(3)推论2：经过切点且 垂直于切线 的直线必经过圆心．
2．圆的切线的判定方法 (1)定义：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线．
利用圆的切线的性质来证明或进行有关的计算有时需
添加辅助线，其中连接圆心和切点的半径是常用辅助线， 从而可以构造直角三角形，利用直角三角形边角关系求解， 或利用勾股定理求解，或利用三角形相似求解等．
1. AB是圆O的直径，D为圆O上一点， 过D作圆O的切线交AB的延长线于点C，
若DA＝DC，求证：AB＝2BC.
∠BOD 是 BD 所对的圆心角，
∠BCD＝45° ， ∴∠BOD＝90° . ∵∠ADB 是△BCD 的一个外角， ∴∠DBC＝∠ADB－∠ACB ＝60° －45° ＝15° ， ∴∠DOC＝2∠DBC＝30° ， 从而∠BOC＝120° ， ∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝30° .
在△OEC 中，因为∠EOC＝∠ECO＝30° ， ∴OE＝EC， 在△BOE 中，因为∠BOE＝90° ，∠EBO＝30° . ∴BE＝2OE＝2EC， CE CD 1 ∴BE＝DA＝ ， 2 ∴AB∥OD，∴∠ABO＝90° ， 故 AB 是△BCD 的外接圆的切线．
交⊙O于点E，PA＝AO＝OB＝1. (1)求∠P的度数； (2)求D切点，∴OC⊥PC，△POC 为直角三角形． ∵OC＝OA＝1，PO＝PA＋AO＝2， OC 1 ∴sin ∠P＝ PO＝ .∴∠P＝30° . 2 (2)∵BD⊥PD，∴在 Rt△PBD 中， 由∠P＝30° ，PB＝PA＋AO＋OB＝3， 3 得 BD＝ . 2 连接 AE.则∠AEB＝90° ，∴AE∥PD. ∴∠EAB＝∠P＝30° ，∴BE＝ABsin 30° ＝1， 1 ∴DE＝BD－BE＝ . 2
圆的切线的性质及判定定理 课件
【典例训练】
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3 cB的关系为( )
(A)相切
(B)相离
(C)相交
(D)无法判断
2.如图所示，CB为⊙O的直径，P是CB的延
长线上一点，且OB=BP，∠AOC=120°，
则PA与⊙O的位置关系是_____.
圆的切线的性质
圆的切线的性质 (1)已知一条直线是圆的切线时,常作出过切点的半径,则该半 径垂直于切线,从而出现了直角. (2)从圆外一点引圆的两条切线,这点与圆心的连线平分这两条 切线的夹角,这点到切点的切线长相等. (3)连接圆的两条平行切线的切点的线段是圆的直径.
【典例训练】 1.如图所示，DB，DC是⊙O的两条切线，A是圆上一点，已知 ∠D=46°，则∠A=_____.
DO AD
AD
2.如图，已知EB是半圆O的直径，A是BE延长线上的一点，AC是 半圆O的切线，D为切点，BC⊥AC于C，若BC=6，AC=8，则 AE=_______.
【解析】1.如图所示，连接OB，OC，
则OB⊥BD，OC⊥CD，
则∠DBO+∠DCO=90°+90°=180°，
则四边形OBDC内接于一个圆，
则有∠BOC=180°-∠D=180°-46°=134°，
【解析】连接OC，∵OA=OB,AC=CB,OC=OC, ∴△OAC≌△OBC, ∴∠OCA=∠OCB=90°, ∴直线AB与⊙O相切. 答案：相切
1.圆的切线的其他相关性质 (1)切线和圆只有一个公共点; (2)切线和圆心的距离等于圆的半径; (3)过圆心且过切点的直线与过该点的切线垂直.
2.切线的判定定理 在切线的判定定理中要分清定理的题设和结论，“经过半径外 端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是 圆的切线，如图①②中的例子就不同时满足这两个条件，所以 都不是圆的切线.
切线的判定和性质
切线的判定和性质
切线的性质与判定
1.主要性质
（1）切线和圆只有一个公共点；
（2）切线和圆心的距离等于圆的半径；
（3）切线垂直于经过切点的半径；
（4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点；
（5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心；
（6）从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
其中（1）是由切线的定义得到的，（2）是由直线和圆的位置关系定理得到的，（6）是由相似三角形推得的，也就是切割线定理。
2.判定
切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
圆的切线垂直于这个圆过切点的半径。
圆的切线：切线的定义、性质和求解方法
圆的切线：切线的定义、性质和求解方法切线是与圆相切于一点且只与圆的该点相交一次的直线。
切线与半径垂直，也就是与半径所在的直径形成直角。
切线的定义给定一个圆，如果通过圆上的一点作两条直线，其中一条与半径垂直且只与该点相交一次，那么称这条直线为这个圆的一条切线。
切线的性质1. 切线与圆相切于一点，且只与圆的该点相交一次。
2. 切线与半径垂直，即与半径所在的直径形成直角。
3. 以切点为端点的切线被称为切线段。
4. 圆心到切点的线段被称为切线的斜率。
切线的求解方法求解圆的切线可以根据以下步骤进行：1. 给定一个圆和切点P，连接圆心O与切点P，得到半径OP。
2. 利用切线性质，使切线与半径OP垂直，得到直角三角形。
3. 根据已知条件，计算切线的长度。
切线的长度可以通过利用勾股定理或几何构造法进行计算。
勾股定理法求切线长度1. 已知圆的半径r和切点与圆心的连线OP的长度d。
2. 根据勾股定理，有切线长度s的平方等于d的平方减去圆的半径r的平方，即s^2 = d^2 - r^2。
3. 取根号可以得到切线的长度s。
几何构造法求切线长度1. 已知圆的半径r和切点与圆心的连线OP的长度d。
2. 以切点为圆心，作一条半径为r的圆。
3. 连接圆心与新圆上与切点P相对应的点Q，得到直角三角形OPQ。
4. 根据直角三角形OPQ中的三边关系，可以计算出切线的长度s。
这是圆的切线的定义、性质和求解方法的简要介绍。
掌握这些基本概念和求解方法，可以帮助我们更好地理解和应用切线在几何学中的重要性。
切线的性质
切线必须同时满足两条：①经过半径 外端；②垂直于这条半径．
如图，如果直线l是⊙O的切线，切点为A， 那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢？
∵ l是⊙O的切线，切点为A
O
l A
∴ l ⊥OA
切线的性质定理：圆的
切线垂直于过切点的半径。
数学语言：
O l A
∵ l是⊙O的切线，切点为A
∴ l ⊥OA
A P
C B
O
如图，已知：在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上一 点，以O为圆心，OB为半径的圆交AB于点E，切AC 与点D。求证：DE∥OC
C 证明：连接ＢＤ． ∵∠ＡＢＣ＝９０°，ＯＢ为⊙Ｏ的半径 ∴ＣＢ是⊙Ｏ的切线 ∵ＡC是⊙Ｏ的切线，Ｄ是切点 ∴ＣＤ＝ＣＢ，∠１＝∠２ ∴ＯＣ⊥ＢＤ ∵ＢＥ是⊙Ｏ的直径 ∴∠ＢＤＥ＝９０°，即ＤＥ⊥ＢＤ ∴ＤＥ∥ＯＣ A E D O
勾股（逆）定理 切 线 判 定
∴C(-2,0), P(0,-4) 数据“放入”图中。猜想直线 又∵ D(0,1) OC=2, OP=4 ,OD=1, DP=5 PC 与⊙ D∴ 相切。怎么证？联 又∵在Rt△COD中, CD2=OC2+OD2=4+1=5 想证明切线的两种方法。点 在Rt△COP中, CP2=OC2+OP2=4+16=20 C 在圆上，即证：∠ DCP=90° 在△ CPD中, CD2+CP2=5+20=25, DP2=25 2 2 2 ∴ CD +CP =DP 利用勾股及逆定理可得。
即：△CDP为直角三角形,且∠DCP=90° ∴PC为⊙D的切线.
已知,如图,D(0,1),⊙D交y轴于A、B两点,交x轴负 半轴于C点,过C点的直线:y=－2x－4与y轴交于P. ⑵判断在直线PC上是否存在点E，使得S△EOC= 4S△CDO,若存在，求出点E的坐标；若不存在， 请说明理由.
圆的切线与切点的性质与判定
圆的切线与切点的性质与判定圆是几何学中的重要概念之一，它有很多特性和性质。
其中一个重要的性质是切线与切点的关系。
本文将介绍切线与切点的性质以及判定方法。
一、切线与切点的定义在几何学中，我们定义一个几何图形与另一个图形的一点相切时，这个点是该图形的切点，而与该图形相切的直线称为切线。
对于圆来说，切点是与圆相交于一点的直线，这条直线同时也是圆的切线。
二、切线与切点的性质1. 切点与圆心连线垂直于切线假设有一个圆，它的圆心是O，切点是A，切线是l。
根据性质，可以得出结论：切点与圆心连线AO垂直于切线l。
这一性质可以通过几何推理或使用垂直性质证明得出。
2. 切线与半径的夹角切线与半径的夹角等于90度。
对于任意一条半径OA和切线l，我们可以推导出∠OAL=90°。
这个性质也可以通过几何证明得出。
3. 切点在切线上的唯一性每条切线与圆只有一个切点。
这个切点是在圆上与切线相切的点，其他点不与切线相切。
也就是说，对于一条切线l和圆O，它们的切点A是唯一的。
4. 切线在切点处切分弦切线在切点处将切点外的弦分为两段，其中一个是切点外的弧。
三、切点的判定方法如何判断一条直线是否是圆的切线？下面是两种判定方法：1. 切线定理给定一个圆，如果一个直线与圆相交，在交点处的切角为90度，则这条直线是圆的切线。
换句话说，如果一个线段与圆相交于一点，并与半径的延长线构成90度的夹角，那么这条线段就是圆的切线。
2. 切线的斜率圆的切线的斜率与切点处圆的切线相切。
通过计算待判定的直线与给定圆的相切点的斜率，如果该斜率等于切点切线的斜率，那么这条直线就是圆的切线。
四、实际应用切线和切点的性质在几何学和物理学中有广泛的应用。
例如，在求解圆的切线问题时，可以利用切点与圆心连线垂直于切线的性质，来确定切线方程的斜率。
在实际生活中，切线和切点的性质也用于计算机图形学、光学等领域，例如，用于光线的反射和折射的计算。
总结：本文介绍了圆的切线与切点的性质与判定方法。
初中数学切线的性质和判定
图29－3
线的性质和判定
解 析 (1)由切线的性质，即可得OA⊥PA，OB⊥PB，又由圆周角 定理，求得∠AOB的度数，继而求得∠APB的大小； (2)由切线长定理，可求得∠APO的度数，继而求得∠AOP的度数，易得 PO是AB的垂直平分线，然后利用三角函数的性质，求得AD与OD的长．
┃ 切线的性质和判定
切线的性质和判定
中考预测
如图 29－6，△ABC 内接于⊙O，∠B＝60°，
CD 是⊙O 的直径，点 P 是 CD 延长线上的一点，
且 AP＝AC.
(1)求证：PA 是⊙O 的切线；
(2)若 PD＝ 3，求⊙O 的直径．
图29－6
切线的性质和判定
解
(1)证明：连接 OA, ∵∠B＝60°，
∴∠AOC＝2∠B＝120°.
切线的性质和判定
[方法点析] 解三角形内切圆问题，主要是切线长定理的运 用．解决此类问题，常转化到直角三角形中，利用勾股定理或 直角三角形的性质及三角函数等解决．
┃ 切线的性质和判定
回归教材
切线问题中必需的半径
教材母题
如图 29－5，设 AB 是⊙O 的直径，如 果圆上点 D 恰使∠ADC＝∠B，那么直线 CD 与⊙O 相切吗？若相切，请给出证明．
∴S△AOB＝12×AB×OD＝12×10 3×5＝25 3(cm2)．
切线的性质和判定
[方法点析] (1)利用过圆外一点作圆的两条切线，这两条切 线的长相等，是解题的基本方法．(2)利用方程思想求切线长常 与勾股定理，切线长定理，圆的半径相等紧密相连．
切线的性质和判定
探究四 三角形的内切圆
命题角度： 1. 三角形的内切圆的定义； 2. 求三角形的内切圆的半径．
人教版九年级初中数学上册第二十四章圆切线的性质定理
判定定理的表述
圆切线的判定定理：过圆外一点有且只有一条直线与圆切于一点。
证明方法：利用反证法，假设过圆外一点有两条直线与圆切于一点，则这两条直线重合，这 与已知条件矛盾，因此假设不成立，故原命题成立。
应用：在解题过程中，可以利用圆切线的判定定理来判断某一直线是否为圆的切线。
注意事项：在应用圆切线的判定定理时，需要注意前提条件是“过圆外一点”，否则结论可 能不成立。
性质定理的证明
定义：圆切线的定义是过半径的外端且垂直于这条半径的直线 性质定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等 证明方法：利用相似三角形的性质进行证明 定理的应用：在解题中，可以利用这个定理来证明一些与圆有关的题目
求解与圆切线相关的问题
圆切线的定义和性质 圆切线的判定方法 圆切线的应用举例 圆切线与其他几何图形的联系
判定定理的应用
判定圆内接四边形的对角是否互补 判定一个四边形是否为圆外切四边形 判定一个四边形是否为圆内接四边形 判定一个四边形是否为圆外切四边形
性质定理的表述
圆切线的定义：过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 性质定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。 性质定理的证明：利用勾股定理和切线的定义进行证明。 性质定理的应用：在解题中利用此定理进行证明和计算。
注意事项：注意题 目中的隐含条件， 避免出现错误
拓展：通过练习和 巩固，提高解题能 力和思维水平
与圆切线相关的其他知识点
圆切线的定义和性质
圆切线的判定定理
圆切线的应用
圆切线与其他几何图形的联系
拓展知识的应用领域
几何学：圆切线在几 何学中有着广泛的应 用，如圆内接四边形、 圆与圆的位置关系等
物理学：圆切线在 物理学中也有着重 要的应用，如圆周 运动、弹性力学等
切线的判定和性质
1.定义:一条直线和圆只有一个公 共点,这条直线叫圆的切线.
2.d=r 直线和圆相切
3.经过半径的外端且垂直于这 条半径的直线是圆的切线.
二.切线的性质有哪些?
1.圆的切线和圆只有一个公共点. 2.圆心到切线的距离等于圆的半径 3. 圆的切线垂直于经过切点的半径. 4.经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点. 5.经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.
⑴.公共点已给定.
做法是“连结”半径,让半径“垂直”于 直⑵线.公. 共点未给定.
做法是从圆心向直线“作垂线”, 证“垂线段等于半径”.
例1:如图，AB为⊙O的直径,BC是⊙O的 切线,切点为B,OC平行于弦AD.
求证:DC是⊙O的切线
例2:在以O为圆心的两个同心圆中， 大圆的弦AB和CD相等,且AB与小圆相 切于点E,
求证:CD与小圆相切.
例3：如图，AB是半圆⊙O的直径， CD⊥AB于D，EC是切线，E为切点， 求证：CE=CF。
练习1： 1.如图，OC平分∠AOB,D是OC上
任意一点,⊙D与OA相切于E.
求证:OB与⊙D相切.
2.如图,△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点,⊙O与腰AB切于点 D.
求证:AC与⊙O相切.
小结：
1.在证明中熟练应用切线的判定和性质.
2.在证明一条直线是 圆的切线时,会遇到 两种情形,要选择适当的途径.
圆的切线判定和性质(教案)
圆的切线判定和性质(教案)第一章：圆的切线定义和判定1.1 圆的切线定义引导学生回顾圆的定义，理解圆上所有点到圆心的距离相等。
引入切线的概念：与圆相切且与圆心的连线垂直的直线。
1.2 圆的切线判定条件利用几何图形和实际情境，引导学生理解切线的判定条件。
判定条件1：直线过圆外一点，且与圆的切点在圆的直径上。
判定条件2：直线过圆内一点，且与圆的切点在圆的半径上。
第二章：圆的切线性质2.1 圆的切线性质1：切线与半径垂直通过几何证明和实际情境，引导学生理解切线与半径垂直的性质。
引导学生运用性质1解决相关问题。
2.2 圆的切线性质2：切线与圆心连线垂直通过几何证明和实际情境，引导学生理解切线与圆心连线垂直的性质。
引导学生运用性质2解决相关问题。
第三章：圆的切线方程3.1 圆的切线方程的定义引导学生理解切线方程的概念：描述切线位置和方向的方程。
3.2 圆的切线方程的求法引导学生运用点斜式和一般式求解切线方程。
引导学生运用判定条件和性质求解切线方程。
第四章：圆的切线与圆的位置关系4.1 圆的切线与圆相切引导学生理解圆的切线与圆相切的概念。
引导学生运用判定条件和性质判断圆的切线与圆相切。
4.2 圆的切线与圆相离引导学生理解圆的切线与圆相离的概念。
引导学生运用判定条件和性质判断圆的切线与圆相离。
第五章：圆的切线应用5.1 圆的切线长度引导学生理解圆的切线长度的概念。
引导学生运用切线性质和几何证明求解切线长度。
5.2 圆的切线与弦的关系引导学生理解圆的切线与弦的关系。
引导学生运用切线性质和几何证明解决相关问题。
第六章：圆的切线与圆的切点6.1 圆的切线与圆的切点的定义引导学生理解圆的切线与圆的切点的概念。
强调切线与圆的切点是切线与圆的唯一交点。
6.2 圆的切线与圆的切点的性质引导学生理解圆的切线与圆的切点的性质。
性质1：切线与圆的切点，圆心与切点的连线垂直。
性质2：切线与圆的切点，切线与半径的交点在圆心与切点连线上。
切线的判定和性质
设圆的半径为r， 的距离为d， 设圆的半径为 ，圆心到直线 l 的距离为 ，则： 直线 l 和⊙O相交 相交 直线 l 和⊙O相切 相切 直线 l 和⊙O相离 相离
⇔ ⇔ ⇔
d<r d=r d>r
O
d
r
l
相切
直线
叫做⊙ 的 l 叫做⊙O的切线 个公共点， 直线 l 和⊙O有1个公共点，这个点叫切点 有 个公共点 这个点叫切点
O P
∴ AP = OP 2 − OA2 = 10 2 − 6 2 = 8cm
例4：如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C， 连接BC，若∠A=40°，求∠C的度数。 解: 连接OB 连接OB ∵AB是⊙O的切线，B是切点 AB是 的切线， ∴ OB⊥AB OB⊥
即 ∠OBA=90° OBA=90°
几何语言表达： 几何语言表达：
∵
l
是⊙O的切线，A为切点 的切线，来自∴ 半径OA ⊥ 直线l
例3：如图，PA是⊙O的切线，A为切点，OA=6cm,OP=10cm, 求AP的长度。
A
解: ∵PA是⊙O的切线 PA是 且A为切点 ∴ OA⊥AP OA⊥ ∴ ∠OAP=90° OAP=90°
在RT⊿OAP中，OA=6cm，OP=10cm RT⊿OAP中 OA=6cm，
A O
C
B
练习一：如图，A是⊙O外一点，B是⊙O上一点，AO的延 长线交⊙O于点C，连接BC，∠C=20°，∠A=50° 求证：直线AB是⊙O的切线 连接OB 证: 连接OB ∵OC=OB OBC=20° ∴ ∠C= ∠OBC=20° ∴ ∠BOA=40° BOA=40°
提示：连接OB 提示：连接OB ∵ ∠A=50° A=50° ∴∠OBA=90° OB⊥ ∴∠OBA=90° 即OB⊥AB
圆的切线的性质及判定定理 课件
[解题过程] (1)证明：依据题意，得 a＋b＝c＋4，ab＝4(c＋2)， 则 a2＋b2＝(a＋b)2－2ab ＝(c＋4)2－2×4(c＋2)＝c2， 所以△ABC 是直角三角形．
(2)∵∠C＝90°，tan A＝ab＝34， ∴不妨设 a＝3k，b＝4k，则 c＝5k(k>0)， 代入 a＋b＝c＋4，得 k＝2. ∴a＝6，b＝8，c＝10. 连接 OE，得 BC∥OE. ∴OBCE＝AAOB，即O6E＝10－10OE.解得 OE＝145. 在 Rt△AOE 中，tan A＝OAEE＝34，∴AE＝5.
[规律方法] 用切线的性质定理求解线段的长度时，应注 意哪些问题？
(1)如果已知三边的一元二次方程，可利用韦达定理建立起 三角形的三边之间的关系；
(2)在应用切线的性质定理及其推论进行几何证明和求解 时，如果已知切点，则连接圆心和切点构成垂直是一种常用的 方法．
(江苏高考)AB是圆O的直径，D为圆O上一点， 过D作圆O的切线交AB延长线于点C，若DA＝DC，求证：AB
[思路点拨]
[解题过程] 如图所示，连接OA、OB、OC．
∵PA和PB分别切⊙O于点A和B， ∴∠PAO＝∠PBO＝90°. ∴∠AOB＋∠APB＝180°. ∴∠AOB＝180°－∠APB＝140°. ∵DC切⊙O于点C，∴∠OCD＝90°.
又∵∠PAO＝90°， 在 Rt△CDO 与 Rt△ADO 中， 有 OD＝DO，CO＝AO， ∴△CDO≌△ADO.
∴∠COD＝∠AOD＝12∠COA． 同理可证，∠COE＝∠BOE＝12∠COB．
∴∠DOE＝12(∠COA＋∠COB)＝12×140°＝70°.
[规律方法] (1)如何利用切线性质定理及推论求解有关角 的问题？
切线的性质
知识回顾
证明一条直线是圆的切线有哪些方法?
1、直线与圆交点的个数：只有一个交点。
2、圆心到直线的距离与半径的大小关系，即d=r。 3、经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
解题方法：有交点，连半径，证垂直。 无交点，作垂直，证半径。
切线的判定： 1、直线与圆交点的个数：只有一个交点。 2、圆心到直线的距离与半径的大小关系，即d=r。 3、经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
A
O
B D C
例2、AB是⊙O的直径,AE平分∠BAC交⊙O 于点E,过点E作⊙O的切线交AC于点D,试判 断△AED的形状,并说明理由.
例3、AB是⊙O的弦,C是⊙O外一点,BC是 ⊙O的切线,AB交过C点的直径于点 D,OA⊥CD,试判断△BCD的形状,并说明你 的理由.
例4：在Rt△ABC中,∠ACB=90o,D是边AB上 一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E， 连结DE并延长,与BC的延长线交于点F． 求证：BD = BFA D OE源自BG CF
例5、如图，⊙O的直径AB ＝4，C为圆周上一点， AC ＝2，过点C作⊙O的切线 l，过点B作l的 垂线BD，垂足为D，BD与⊙O 交于点E． ( 1) 求∠AEC的度数； （2）求证：四边形OBEC是菱形．
D C l A O B E
6、如图，⊙O的弦AD∥BC,过点D的切线交BC 的延长线于点E，AC∥DE交BD于点H，DO 及延长线分别交AC、BC于点 G、F. (1) 求证：DF垂直平分AC； （2）求证：FC＝CE； （3）若弦AD＝5㎝，AC＝8㎝，求⊙O的半径.
将上述判定1、2反过来，结论是否还成立呢？
成立。 切线的性质： 1、圆的切线与圆只有一个交点。 2、切线与圆心的距离等于半径。
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y A
O C3 B Q
·
C4
x
心得体会
1、判定切线的方法有哪些？ 与圆有唯一公共点 直线l与圆心的距离等于圆的半径 经过半径外端且垂直这条半径 是圆的切线 是圆的切线 是圆的切线
2、常用的添辅助线方法？ （1）直线与圆的公共点已知时，作出过公共点的半径，再证半径垂直 于该直线。（连半径，证垂直） （2）直线与圆的公共点不确定时，过圆心作直线的垂线段，再证明这 条垂线段为圆的半径。（作垂直，证半径） 3、圆的切线性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。 辅助线作法：连接圆心与切点可得半径与切线垂直。 即“连半径，得垂直”。
∵ m2+2m-3=0
∴m=1,m=-3(舍去) ∴直线l与⊙ O的公共点的个数为1
∴ ⊙O和直线l相切
注意：确定唯一公共点，可证明直线和圆相切
4 例3．如图，直线y=－ x+4与y轴交于点A，与x轴交于 3
4 点B，以点C（ ，0）为圆心，OC的长为半径作⊙， 3
证明：AB是⊙C的切线。
分析：由于不知AB和⊙C 是否有公共点，故考虑过 C作CM⊥AB于M，再证 CM为⊙C的半径即可
③设当C运动到C3时圆与直线OA相切于O点，于是有OC3=7 ∴C3（7，0） ∴C3C=7－（－10）=17
t3=17÷2=8.5（秒）
y A
C2 O
· · C
3
B x
大显身手
③设当C运动到C4时圆与直线AB相切于Q点， 连C4 Q，则C4 Q⊥AB ∠C4 BQ=30° ∴ B C4 =2 C4 Q=14 ∴ CC4 =10+12+14=36 ∴ t4=36÷2=18（秒）
4 ∴CM= 3
∴CM=OC 故AB为⊙C的切线
又CM⊥AB
小试牛刀
例2：如图，已知：AB=AC，点O在AB上，⊙O过点B，分 别与边BC、AB交于D、E两点，过D点作DF⊥AC于F， （1）求证：DF是⊙O的切线；
证明：连结OD， ∵OB=OD，∴∠ODB=∠B 又∵AB=AC，∴∠C=∠B ∴∠ODB=∠C ∴OD∥AC 又∵DF⊥AC ∴∠DFC=90° ∴∠ODF=∠DFC=90° ∴DF⊥OD ∴DF为⊙O的切线
大显身手
大显身手
解： ①当E点运动到O点时⊙C与直线OA相切， 设此时的圆心为C1，于是有OC1=CE=－3－（－10）=7 ∴CC1=3 ∴t1=3÷2=1.5（秒）
y A
· ·O C C
1
B
x
大显身手
y
A
· C
B O x
大显身手
y
A
· C
B O x
大显身手
y
A
P
· C· O
2
B x
大显身手
小结一
证明切线的一般方法简单表述为： （1）确定唯一公共点，证切线 （2）无交点，作垂直，证半径 （3）有交点，连半径，证垂直
小试牛刀
例3：如图，已知：AB=AC，点O在AB上，⊙O过点B，分别 与边BC、AB交于D、E两点，过D点作DF⊥AC于F， （2）如果AC与⊙O相切于点P，⊙O的半径为3，CF=1， 求AC的长。
1、
.
rO d
O
P
l
与圆有唯一公共点的直线是圆的切线。
2、
l
当d=r时直线是圆的切线。
O
3、
P
l
经过半径的外端并且垂直于这条半径的 直线是圆的切线。
小试牛刀
例1：直线l和⊙O的公共点的个数为m，且m满足方程
m2+2m- 3=0, 试判断直线l和⊙ O的位置关系，并
说明理由. 解：直线l和⊙ O相切
圆的切线的判定和性质
知识回顾
1、圆的切线的定义是怎样的？ 直线和圆只有 一 个公共点时，直线和圆相切
2、口述切线的判定定理： 经过半径的外端并且 垂直 于这条半径的直线是 圆的切线 3、口述切线的性质定理：
圆的切线 垂直 于经过切点的半径
知识回顾
判断一条直线是圆的切线，你现在会有多少种方法？ 切线判定有以下三种方法：
（2）连结OP ∵AC与⊙O相切于点P，∴OP⊥AC 由（1）可知OD∥AC，且DF⊥AC， 故四边形ODFP为正方形 ∴PF=OD=OB=3 设AC=x，则在Rt△APO中有 AP2+OP2=OA2 即(x－4)2+32=(x－3)2 解得x=8 ∴AC=8
P
小结二
已知直线与圆相切，通常连圆心和切点，得到直角。
M
证明：过C点作CM⊥AB于M点，
4 ∵直线y=－ x+4交x轴、y轴于B、A点 3
∴A的坐标为（0，4），B的坐标为（3，0）
4 5 ∴OA=4，OB=3，BC=3－ = 3 3
又由勾股定理可知
AB= OA2 OB2
=2 32 4
=5
BC· AO得
1 1 由S△ABC= AB· CM= 2 2 5 1 1 ∴ ×5· CM= × ×4 2 2 3