第二章 章末复习课

研一研·题型解法、解题更高效
章末复习课
(3)解
函数 f(x)的单调区间为
[－3，－1)，[－1,0)，[0,1)，[1,3]．
本 课 栏 目 开 关
f(x)在区间[－3，－1)和[0,1)上为减函数， 在[－1,0)，[1,3]上为增函数．
(4)解 当 x≥0 时， 函数 f(x)＝(x－1)2－2 的最小值为
f(a)＝a2＋1，f(－a)＝a2＋2|a|＋1， f(a)≠f(－a)，f(a)≠－f(－a)， 此时，f(x)为非奇非偶函数．
研一研·题型解法、解题更高效
(2)当 x≤a 时，f(x)＝x
2
章末复习课
12 3 －x＋a＋1＝x－ ＋a＋ ； 2 4
1 ∵a≤ ，故函数 f(x)在(－∞，a]上单调递减， 2
1 1 ＝f － ， 3 3
1 1 1 此时需满足 2x－1>－ ，所以 <x< . 3 3 2 1 2 综上可得 <x< . 3 3 答案 A
研一研·题型解法、解题更高效
章末复习课
1．函数单调性的判定方法
本 课 栏 目 开 关
(1)定义法． (2)直接法： 运用已知的结论， 直接判断函数的单调性， 如一次函数， 二次函数， 反比例函数； 还可以根据 f(x)， 1 g(x)的单调性判断－f(x)， ， f(x)＋g(x)的单调性等． fx (3)图像法：根据函数的图像判断函数的单调性．
章末复习课
(2)解
本 课 栏 目 开 关
当 x≥0 时，f(x)＝x2－2x－1＝(x－1)2－2，
当 x<0 时，f(x)＝x2＋2x－1＝(x＋1)2 －2，
即
x－12－20≤x≤3 f(x)＝ 2 x＋1 －2 －3≤x<0
根据二次函数的作图方法，可得函数图像如图．
－2，最大值为 f(3)＝2；
当 x<0 时，函数 f(x)＝(x＋1)2－2 的最小值为－2，最大 值为 f(－3)＝2.故函数 f(x)的值域为[－2,2]．
研一研·题型解法、解题更高效
章末复习课
跟踪训练 3 当 m 为何值时，方程 x2－4|x|＋5＝m 有 4 个互不相等的实数根？
本 课 栏 目 开 关
则关于 x 的方程 mx
这等价于当
2
1 ＝2x－1 在区间 ，2内有解， 2
1 2 2 1 m＝ － 2＝1－ －1 的值 x x x
1 x∈ ，2时， 求 2
域，∴m∈(0,1]．
研一研·题型解法、解题更高效
章末复习课
跟踪训练 2 设奇函数 f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的增函 数，若不等式 f(ax＋6)＋f(2－x2)<0 对于任意 x∈[2,4]都成 立，求实数 a 的取值范围．
研一研·题型解法、解题更高效
章末复习课
(2)若 A 恰有两个子集，则 A 为单元素集，所以关于 x 的方程 mx2－2x＋1＝0 恰有一个实数解，讨论： 1 ①当 m＝0 时，x＝ ，满足题意； 2
本 课 栏 目 开 关
②当 m≠0 时，Δ＝4－4m＝0，所以 m＝1.
综上所述，m 的集合为{0,1}． 1 (3)若 A∩ ，2≠∅， 2
x＋3 ，只有两种情况： x＋4
本 课 栏 目 开 关
偶函数的性质可知若 f(x)＝f x＋3 x＋3 ①x＝ ；②x＋ ＝0. x＋4 x＋4
由①知 x2＋3x－3＝0，故两根之和为 x1＋x2＝－3.
由②知 x2＋5x＋3＝0，故其两根之和为 x3＋x4＝－5.
因此满足条件的所有 x 之和为－8.
本 课 栏 目 开 关
章末复习课
(3)指出函数 f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上 f(x)是增函数还是减函数； (4)求函数的值域．
(1)证明 f(－x)＝(－x)2－2|－x|－1＝x2－2|x|－1＝f(x)，
即 f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数．
研一研·题型解法、解题更高效
答案 C
研一研·题型解法、解题更高效
章末复习课
题型二
本 课 栏 目 开 关
转化与化归思想
转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时思维受 阻或寻求简单方法，从一种状况转化为另一种情形，也 就是转化到另一种情境，使问题得到解决，这种转化是 解决问题的有效策略，同时也是成功的思维方式．
研一研·题型解法、解题更高效
本 课 栏 目 开 关
解 由 f(ax＋6)＋f(2－x2)<0 得 f(ax＋6)<－f(2－x2 )．
∵f(x)为奇函数，∴f(ax＋6)<f(x2－2)．
又 f(x)在 R 上为增函数，
∴原问题等价于 ax＋6<x2－2 对 x∈[2,4]都成立，
即 x2－ax－8>0 对 x∈[2,4]都成立． 令 g(x)＝x2－ax－8，
章末复习课
本 课 栏 目 开 关
画一画·知识网络、结构更完善
章末复习课
本 课 栏 目 开 关
研一研·题型解法、解题更高效
章末复习课
题型一
本 课 栏 目 开 关
分类讨论思想
分类讨论思想的实质是：把整体问题化为部分来解决， 化成部分后，从而增加题设条件，在解决含有字母参 数的问题时，常用到分类讨论思想，分类讨论要弄清 对哪个字母进行分类讨论，分类的标准是什么，分类 时要做到不重不漏．本章中涉及到分类讨论的知识点 为：二次函数在闭区间上的最值问题、函数性质中求 参数的取值范围问题等．
研一研·题型解法、解题更高效
章末复习课
例 1 设 f(x)＝x2－4x－4， x∈[t， t＋1](t∈R)， 求函数 f(x) 的最小值 g(t)的解析式．
解
本 课 栏 目 开 关
f(x)＝(x－2) －8，x∈[t，t＋1]，
2
几何画板演示
当 2∈[t，t＋1]，即 1≤t≤2 时，g(t)＝f(2)＝－8.
研一研·题型解法、解题更高效
章末复习课
问题又转化为：在 x∈[2,4]上， a <2， g(x)min>0⇔2 g2>0 a 2≤ ≤4， 2 或 ga>0 2 a >4， 或2 g4>0，
本 课 栏 目 开 关
解得 a<－2.综上，a∈(－∞，－2)．
研一研·题型解法、解题更高效
章Leabharlann Baidu复习课
题型三
本 课 栏 目 开 关
数形结合思想在函数中的应用
数形结合是本章最重要的数学思想方法，通过画出函 数的图像，使我们所要研究的问题更加清晰，有助于 提高解题的速度和正确率．
研一研·题型解法、解题更高效
例 3 设函数 f(x)＝x2－2|x|－1 (－3≤x≤3)， (1)证明 f(x)是偶函数； (2)画出这个函数的图像；
研一研·题型解法、解题更高效
章末复习课
跟踪训练 1 设 f (x)是连续的偶函数， 且当 x>0 时是单调函
本 课 栏 目 开 关
数，则满足 f (x)＝f A．－3
x＋3 的所有 x＋4
x 之和为( C．－8
) D．8
B．3
研一研·题型解法、解题更高效
章末复习课
解析
因为 f(x)是连续的偶函数，且 x>0 时是单调函数，由
从而函数 f(x)在(－∞，a]上的最小值为 f(a)＝a2＋1.
本 课 栏 目 开 关
当 x≥a 时，
函数 f(x)＝x
2
12 3 x＋ －a＋ ， ＋x－a＋1＝ 2 4
1 ∵a≥－ ，故函数 f(x)在[a，＋∞)上单调递增， 2 从而函数 f(x)在[a，＋∞)上的最小值为 f(a)＝a2＋1. 1 1 综上得，当－ ≤a≤ 时，函数 f(x)的最小值为 a2＋1. 2 2
解
则
令 f(x)＝x2－4|x|＋5，
x2－4x＋5， f(x)＝ 2 x ＋4x＋5，
x≥0， x<0，
作出 f(x)的图像，如图所示．由图像可知，当 1<m<5 时，f(x)的图像与 y＝m 有 4 个交点，即方程 x2－4|x|＋ 5＝m 有 4 个互不相等的实根．
研一研·题型解法、解题更高效
当 t＋1<2，即 t<1 时，f(x)在[t，t＋1]上是减函数，
∴g(t)＝f(t＋1)＝t2－2t－7.
当 t>2 时，f(x)在[t，t＋1]上是增函数，
∴g(t)＝f(t)＝t2－4t－4.
2 t<1， t －2t－7 综上可知，g(t)＝－8 1≤t≤2， t2－4t－4 t>2.
)
研一研·题型解法、解题更高效
章末复习课
解析
1 当 2x－1≥0，即 x≥ 时， 2
1 因为 f(x)在[0，＋∞)上单调递增，故需满足 2x－1< ， 3
本 课 栏 目 开 关
2 1 2 即 x< ，所以 ≤x< . 3 2 3 1 当 2x－1<0，即 x< 时，由于 f(x)是偶函数， 2
故 f(x)在(－∞，0]上单调递减，f
章末复习课
例 2 已知集合 A＝{x∈R|mx2－2x＋1＝0}，在下列条件 下分别求实数 m 的取值范围．
本 课 栏 目 开 关
1 (1)A＝∅；(2)A 恰有两个子集；(3)A∩ ，2≠∅. 2
解
(1)若 A＝∅， 则关于 x 的方程 mx2－2x＋1＝0 没有
实数解，
所以 m≠0，且 Δ＝4－4m<0，所以 m>1.
研一研·题型解法、解题更高效
章末复习课
2．二次函数在闭区间上的最值
本 课 栏 目 开 关
对于二次函数 f(x)＝a(x－h)2＋k(a>0)在区间[m，n]上最值 问题，有以下结论： (1)若 h∈[m， 则 ymin＝f(h)＝k， max＝max{f(m)， n]， y f(n)}； (2)若 h∉[m，n]，则 ymin＝min{f(m)，f(n)}， ymax＝max{f(m)，f(n)}(a<0 时可仿此讨论)．
研一研·题型解法、解题更高效
章末复习课
3．函数奇偶性与单调性的差异
本 课 栏 目 开 关
函数的奇偶性是相对于函数的定义域来说的，这一点与研 究函数的单调性不同，从这个意义上说，函数的单调性是 函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质， 只有对函数定义域内的每一个 x 值， 都有 f(－x)＝－f(x)[或 f(－x)＝f(x)]，才能说 f(x)是奇函数(或偶函数)．
章末复习课
题型四
本 课 栏 目 开 关
函数性质的综合运用
函数性质的研究包括函数的单调性、 奇偶性、 对称性， 从命题形式上看，抽象函数、具体函数都有，其中函 数单调性的判断与证明、求单调区间、利用函数单调 性求参数的取值范围是高考的重点，利用函数的奇偶 性、对称性研究函数的图像是难点．
研一研·题型解法、解题更高效
章末复习课
例 4 已知函数 f(x)＝x2＋|x－a|＋1，a∈R. (1)试判断 f(x)的奇偶性； 1 1 (2)若－ ≤a≤ ，求 f(x)的最小值． 2 2 解 (1)当 a＝0 时，
函数 f(－x)＝(－x)2＋|－x|＋1＝f(x)，
本 课 栏 目 开 关
此时，f(x)为偶函数．
当 a≠0 时，
研一研·题型解法、解题更高效
章末复习课
跟踪训练 4 已知偶函数 f(x)在区间[0， ＋∞)上单调递增，
本 课 栏 目 开 关
则满足 f(2x－1)<f
1 2 A. ， 3 3 1 2 C. ， 2 3
1 的 3
x 的取值范围是(
1 2 B. ， 3 3 1 2 D. ， 2 3