2018年宁波中考各学科命题意图(数学)
2018年宁波中考数学试题与答案15396
宁波市2018年初中毕业生学业考试数学试题考生须知：1．全卷分试题卷Ⅰ、试题卷Ⅱ和答题卷．试题卷共6页，有三个大题，26个小题．满分为120分，考试时间为120分钟．TtGkZJkUBD2．请将姓名、准考证号分别填写在试题卷和答题卷的规定位置上．3．答题时，把试题卷I的答案在答题卷I上对应的选项位置用2B 铅笔涂黑、涂满．将试题卷II的答案用黑色字迹钢笔或签字笔书写，答案必须按照题号顺序在答题卷II各题目规定区域内作答，做在试题卷上或超出答题卷区域书写的答案无效．TtGkZJkUBD4．允许使用计算器，但没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示．抛物线的顶点坐标为．试题卷Ⅰ一、选择题<每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．下列各数中是正整数的是(第8题> (A> (B> 2 (C>0.5 (D>TtGkZJkUBD 2．下列计算正确的是(A>(B> (C>3在数轴上表示正确的是(D> 4．据宁波市统计局公布的第六次人口普查数据，本市常住人口760.57万人，其中760.57万人用科学记数法表示为TtGkZJkUBD (A>人 (B>人 (C> 人(D> 人5．平面直角坐标系中，与点关于原点中心对称的点是 (A> (B> (C> (D> 6．如图所示的物体的俯视图是7．一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是(D> 7 TtGkZJkUBD 8．如图所示，AB ∥CD ，∠E ＝37°，∠C ＝20°，则∠EAB的度数为．如图，某游乐场一山顶滑梯的高为，滑梯的坡角为那么滑梯长为 (A>(B> (C>(D> (第(第9题><第6题） (A> (B> (C> (D>10．如图，Rt △中，∠ACB=90°，,若把Rt△绕边所在直线旋转一周，则所得几何体的表面积为 (A> (B>(C> (D>11．如图，⊙O1 的半径为１，正方形ABCD 的边长为6，点O2为正方形ABCD 的中心，O1O2垂直AB 于P 点，O1O2=8．若将⊙O1绕点P 按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O1与正方形ABCD 的边只有一个公共点的情况一共出现TtGkZJkUBD(A>3次 (B>5次 (C>6次 (D>7次TtGkZJkUBD12．把四张形状大小完全相同的小长方形卡片>不n cm>的盒子底部(如图②>用阴影表示．则图②中两块阴影部分周长和是TtGkZJkUBD (A>4m cm (B>4n cm (C> 2(m+n>cm (D>4(m-n> cmTtGkZJkUBD 试 题 卷 Ⅱ二、填空题<每小题3分，共18分）13．实数27的立方根是 ▲ ．14．因式分解：= ▲ ．15．甲、乙、丙三位选手各10次射击成绩的平均数和方差，统计如下表：0.03则射击成绩最稳定的选手是． (填“甲”、“乙”、“丙”中的一个>16．将抛物线的图象向上平移1个单位，则平移后的抛物线的解读式为 ▲ ．n<第11题）(第18题> x17．如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 、E 是△ABC 内两点，AD平分∠BAC ，∠EBC=∠E=60°，若BE=6cm ，DE=2cm ，则BC= ▲ cm ．TtGkZJkUBD 18．如图，正方形的顶点、在反比例函数的图象上，顶点、 分别在轴、轴的正半轴上，再在其右侧作正方形，顶点在反比例函数的图象上，顶点在轴的正半轴上，则点的坐标为 ▲ ． 三、解答题<本大题有8小题，共66分） 19．<本题6. 20．<本题6分）在一个不透明的袋子中装有3个除颜色外完全相同的小球，其中白球1个，黄球1个，红球1个，摸出一个球记下颜色后放回，再摸出一个球，请用列表法或画树状图法求两次都摸到红球的概率．TtGkZJkUBD 21．<本题6分）请在下列三个2×2的方格中，各画出一个三角形，要求所画三角形是图中三角形经过轴对称变22．<5月的(第17题> A D BE C<1）来自商场财务部的数据报告表明，商场1～5月的商品销售总额一共是410万元，请你根据这一信息将图①中的统计图补充完整．TtGkZJkUBD <2）商场服装部5月份的销售额是多少万元？<3）小刚观察图②后认为，5月份商场服装部的销售额比4月份减少了．你同意他的看法吗？请说明理由．TtGkZJkUBD 23．<本题8分）如图，在□ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，BD 是对角线，过A 点作 AG ∥BD 交CB 的延长线于点G ．<1）求证：DE ∥BF ；<2）若∠G=90°，求证：四边形DEBF 是菱形．24．<本题10分）我市某林场计划购买甲、乙两种树苗共800株，甲种树苗每株24元，乙种树苗每株30元．相关资料表明：甲、乙两种树苗的成活率分别为85%，90%．TtGkZJkUBD <1）若购买这两种树苗共用去21000元，则甲、乙两种树苗各购买多少株？<2）若要使这批树苗的总成活率不低于88%，则甲种树苗至多购买多少株？<3）在<2）的条件下，应如何选购树苗，使购买树苗的费用最低，并求出最低费用．25．<本题10分）阅读下面的情景对话，然后解答问题：<1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题：“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题？TtGkZJkUBD 小明：那直角三角形中是否存在奇异三角形呢？老师：我们新定义一种三角形，两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三 A B C DG E F (第23题><2）在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB=，AC=，BC=，且，若Rt △ABC 是奇异三角形，求； TtGkZJkUBD <3）如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点(不与点A 、B 重合>，D 是半圆ADB 的中点， C 、D 在直径AB 两侧，若在⊙O 内存在点E ，使得CB=CE ．TtGkZJkUBD ① 求证：△ACE 是奇异三角形； ② 当△ACE 26．<本题12分）如图，平面直角坐标系标为,点的坐标为、点，连结、、，线段交轴于点．TtGkZJkUBD （1） 求点的坐标； （2） 求抛物线的函数解读式； <3） 点为线段上的一个动点<不与点、重合），直线与抛物线交于、两点<点在轴右侧），连结、，当点在线段上运动时，求△BON 面积的最大值，并求出此时点的坐标；TtGkZJkUBD <4） 连结AN ，当△BON 面积最大时，在坐标平面内求使得△BOP 与△OAN 相似<点、、分别与点、、对应）的点的坐标．TtGkZJkUBD (第25题> A B个人收集整理资料，仅供交流学习，勿作商业用途个人收集整理资料，仅供交流学习，勿作商业用途个人收集整理资料，仅供交流学习，勿作商业用途申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。
【数学中考真题】浙江省宁波市2018年中考数学试卷(解析版)
浙江省宁波市2018年中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共48分）1. 0，1A. B. C. 0 D. 1【答案】A【解析】【分析】根据正数大于零，零大于负数，正数大于一切负数，即可得答案．【详解】由正数大于零，零大于负数，得故选A．【点睛】本题考查了有理数比较大小，利用好“正数大于零，零大于负数，两个负数绝对值大的反而小”是解题关键．2. 20184月16日在宁波国际会展中心闭幕参观总人数超55万人次，其中55【答案】B【解析】n为整数n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n n是正数；n是负数．【详解】55万=550000，550000的小数点向左移动5位得到5.5，所以55故选B.n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3.C.【答案】A【解析】【分析】根据同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法的运算方法，合并同类项的方法，以及幂的乘方的运算方法，逐项判定即可．A符合题意；B不符合题意；C不符合题意；D不符合题意，故选A．【点睛】本题主要考查了同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法的运算方法，合并同类项的方法，0不能做除1，而不是0a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．4. 有五张背面完全相同的卡片，正面分别写有数字1，2，3，4，5，把这些卡片背面朝上洗匀后，从中随【答案】C【解析】【分析】正面的数字是偶数的情况数是2，总的情况数是5，用概率公式进行计算即可得.1，2，3，4，5这5张纸牌中抽取一张，其中正面数字是偶数的有2、4这2种结果，故选C．【点睛】本题主要考查了概率公式的应用，明确概率的意义是解答的关键，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．5.A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】D【解析】【分析】根据正多边形的外角和以及一个外角的度数，即可求得边数．，故选D．【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理，熟练掌握多边形的外角和等于360度是解题的关键．6. 如图是由6A. 主视图B. 左视图C. 俯视图D. 主视图和左视图【答案】C【解析】【分析】根据所得到的主视图、俯视图、左视图结合中心对称图形的定义进行判断即可.【详解】观察几何体，可得三视图如图所示：可知俯视图是中心对称图形，故选C.【点睛】本题考查了三视图、中心对称图形，正确得到三视图是解决问题的关键.7. 如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD【答案】B【解析】质得出答案．ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，故选B．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形中位线定理等知识，得出EO位线是解题关键．8. 若一组数据4，1，7，x，5的平均数为4A. 7B. 5C. 4D. 3【答案】C【解析】【分析】先根据平均数为4求出x的值，然后根据中位数的概念进行求解即可.4，1，7，x，5的平均数为4，解得：，则将数据重新排列为1、3、4、5、7，所以这组数据的中位数为4，故选C．【点睛】本题考查了平均数和中位数，熟知平均数和中位数的求解方法是解题的关键.将一组数据或从大到小如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．9. B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D【答案】C【解析】【分析】先根据CD的长．，故选C．学￥科￥网...学￥科￥网...学￥科￥网...学￥科￥网...学￥科￥网...学￥科￥网...学￥科￥网...学￥科￥网...学￥科￥网...10. 如图，平行于x轴的直线与函数A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若的面积为4，则A. 8 C. 4【答案】A【解析】，即可求出B两点纵坐标相同，，故选A．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，熟知点在函数的图象上，则点的坐标满足函数的解析式是解题的关键.11. PA. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据二次函数的图象可以判断a、b象限，观察各选项即可得答案．【详解】由二次函数的图象可知，观察可得D选项的图象符合，故选D．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质，认真识图，会用函数的思想、数形结合思想解答问题是关键.12. 在矩形ABCD内，将两张边长分别为a1，图21，图2中1中阴影部分2A. 2aB. 2b【答案】B【解析】【分析】利用面积的和差分别表示出故选B．【点睛】本题考查了正方形的性质，整式的混合运算，“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来.二、填空题（本大题共6小题，共24分）13. ．【答案】2018【解析】【分析】利用绝对值的定义进行求解即可得.【详解】|-2018|表示求-2018的绝对值，-2018的绝对值是2018，所以，|-2018|=2018，故答案为：2018.【点睛】本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的概念与性质是解题的关键.14. x的取值应满足______．【答案】x≠1【解析】【分析】根据分式有意义的条件——分母不为0进行求解即可得.，故x【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不为0是解题的关键.15. 已知x，y满足方程组______．【答案】-15【解析】【分析】观察所求的式子以及所给的方程组，可知利用平方差公式进行求解即可得.=（x+2y）（x-2y）=-3×5=-15，故答案为：-15.【点睛】本题考查代数式求值，涉及到二元一次方程组、平方差公式因式分解，根据代数式的结构特征选用恰当的方法进行解题是关键.16. 如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角CH为1200米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为______【解析】CH表示出AH、BH的长，然后计算出AB的长．，故答案为：.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——仰角、俯角问题，题目难度不大，解决本题的关键是用含CH的式子表示出AH和BH．17. 如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM ABCD的边相切时，BP的长为______．【答案】3【解析】CD AD相切，分别画出图形进行求解即可得.【详解】如图1CD如图2AD相切时，设切点为K，连接PK PKDC是矩形，综上所述，BP的长为318. 如图，在菱形ABCD是锐角，E，M是AB的中点，连结MD______．【解析】【分析】延长DM交CB首先证明出x即可解决问题．【详解】延长DM交CB的延长线于点H，ABCD是菱形，故答案为：．【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，正确添加辅助线，构造全等三角形解决问题是解决本题的关键.三、计算题（本大题共1小题，共6分）19. 经过点求该抛物线的函数表达式；请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式．抛物线解析式为.【解析】【分析】把已知点的坐标代入抛物线解析式求出b与c的值即可；代入抛物线解析式得：则抛物线解析式为抛物线解析式为将抛物线向右平移一个单位，向下平移2个单位，解析式变为【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，以及待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．四、解答题（本大题共7小题，共72分）20.【解析】【分析】先利用完全平方公式、单项式乘多项式法则进行展开，然后合并同类项，最后把数值代入进行计算即可得.时，原式【点睛】本题考查了整式的混合运算--化简求值，熟练掌握整式混合运算的运算顺序以及运算法则是解题的关键．21.1中画出线段BD D是格点；2中画出线段BE E是格点．【答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析.【解析】【分析】AC沿着AB方向平移2个单位，即可得到线段BD；BD即为所求；BE即为所求．【点睛】本题考查了作图以及平行四边形的性质，理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图是关键．22. 在第23t采用随机抽样的方法进行问卷调查，并依次用A，B，C，D表示，根据调查结果统计的数据，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，由图中给出的信息解答下列问题：B所在扇形的圆心角度数，并把条形统计图补充完整；1200200360人．【解析】【分析】A的人数及所占百分比即可得出调查学生人数；C B在扇形图中的百分比，再计算出B在扇形的圆心角；A级的人数为20人，由扇形图知：A即本次调查的学生人数为200人；C级的人数为60人，所以CBBDB补全条形图如图所示：；C360人．【点睛】本题考查了扇形图和条形图的相关知识，从统计图中找到必要的信息进行解题是关键.扇百分比．23. D是AB边上一点D与A，B CD，将线段CD绕点C CE，连结DE交BC于点F，连接BE．的度数．【解析】【分析】，从而可得据SAS，≌，【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用旋转的性质以及全等三角形的判定与性质．24. 某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元，乙种商品的销售单价为88元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；2460元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？【答案】甲种商品的每件进价为40元，乙种商品的每件进价为48元；售20件．【解析】【分析】x元，乙种商品的每件进价为（x+8）)“某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400”列出方程进行求解即可；a件，则由“两种商品全部售完后共获利不少于2460元”列出不等式进行求解即可．x，，答：甲种商品的每件进价为40元，乙种商品的每件进价为48元；设甲种商品按原销售单价销售a件，则，答：甲种商品按原销售单价至少销售20件．【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，弄清题意，找出等量关系列出方程，找出不等关系列出不等式是解题的关键.25. 若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．AC的长；1，在四边形ABCD BD角形．2是比例三角形；【解析】【分析】根据比例三角形的定义分代入计算可得；，再证知是比例三角形，且、，时，得：时，得：时，得：，A H，，，又．【点睛】本题考查了相似三角形的综合问题，理解比例三角形的定义，熟练掌握和运用相似三角形的判定与性质是解题的关键．26. 如图1，直线l x与y轴交于点B，点C是线段OA上一动点以点A为圆心，AC长为半径作x轴于另一点D，交线段AB于点E，连结OE并延长交于点F．l2，连结CEE的坐标；C在线段OA【答案】（1）直线l证明见解析；【解析】【分析】b即可得出直线l表达式，即可求出OA，OB，即可得出结论；，进而得出E坐标，即可得出OE例式得出OE的平方，建立方程即可得出结论；OG，进而得出AG，HE，再构造相似三角形，即可得出结论．x，，l2，连接DF，CEFDM，，则，；r，过点O G，，，连接FH，，时，最大值为．【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理等，熟练掌握相似三角形的判定与性质、锐角三角函数等知识，运用数理结合思想，正确添加辅助线进行图形构建是解本题的关键．。
专题2.9 浙江省宁波市(母题解读)-2018中考数学真题之名师立体解读高端精品(原卷版)
母题一方程与不等式（组）的应用【母题来源】浙江省宁波市2018年中考数学试卷第24题【母题原题】某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．（1）求甲、乙两种商品的每件进价；（2）该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元，乙种商品的销售单价为88元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变．要使两种商品全部售完后共获利不少于2460元，问甲种【命题意图】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用．本题属于商品销售中的利润问题，对于此类问题，隐含着一个等量关系：利润=售价﹣进价．【方法、技巧、规律】由于列方程（组）、列不等式（组）解应用题手段独特，方法灵活，因而常出现在中考试卷中，事实上，列方程（组）、列不等式（组）解应用题的方法可以简单地分为：设、找、列、解、答五个步骤，可以改变问题的背景，可以是一次方程与不等式（组）的结合，也可以是分式方程与不等式的结合，还可以是方程（组）、不等式（组）以及函数的结合.【母题1】某商店用1000元人民币购进水果销售，过了一段时间，又用2400元人民币购进这种水果，所购数量是第一次购进数量的2倍，但每千克的价格比第一次购进的贵了2元．（1）该商店第一次购进水果多少千克？（2）假设该商店两次购进的水果按相同的标价销售，最后剩下的20千克按标价的五折优惠销售．若两次购进水果全部售完，利润不低于950元，则每千克水果的标价至少是多少元？注：每千克水果的销售利润等于每千克水果的销售价格与每千克水果的购进价格的差，两批水果全部售完的利润等于两次购进水果的销售利润之和．【母题2】为了推进我州校园篮球运动的发展，2017年四川省中小学生男子篮球赛于2月在西昌成功举办．在此期间，某体育文化用品商店计划一次性购进篮球和排球共60个，其进价与售价间的关系如下表：（1）商店用4200元购进这批篮球和排球，求购进篮球和排球各多少个？（2）设商店所获利润为y（单位：元），购进篮球的个数为x（单位：个），请写出y与x之间的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；（3）若要使商店的进货成本在4300元的限额内，且全部销售完后所获利润不低于1400元，请你列举出商店所有进货方案，并求出最大利润是多少？【母题3】某网店销售甲、乙两种防雾霾口罩，已知甲种口罩每袋的售价比乙种口罩多5元，小丽从该网店网购2袋甲种口罩和3袋乙种口罩共花费110元．（1）改网店甲、乙两种口罩每袋的售价各多少元？（2）根据消费者需求，网店决定用不超过10000元购进价、乙两种口罩共500袋，且甲种口罩的数量大于乙种口罩的45，已知甲种口罩每袋的进价为22.4元，乙种口罩每袋的进价为18元，请你帮助网店计算有几种进货方案？若使网店获利最大，应该购进甲、乙两种口罩各多少袋，最大获利多少元？母题二几何综合问题【母题来源】浙江省宁波市2018年中考数学试卷第25题【母题原题】若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．（1）已知△ABC是比例三角形，AB=2，BC=3，请直接写出所有满足条件的AC的长；（2）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD平分∠ABC，∠BAC=∠ADC．求证：△ABC是比例三角形．（3）如图2，在（2）的条件下，当∠ADC=90°时，求的值．【命题意图】本题主要考查相似三角形的综合问题，解题的关键是理解比例三角形的定义，并熟练掌握相似三角形的判定与性质．【方法、技巧、规律】几何综合问题主要涉及特殊的三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形等，这类问题的解决要熟知知各种图形的性质与判定，并且这类题目的解决有时还需要全等三角形和相似三角形、勾股定理、方程思想与分类讨论的相关知识，因此能熟练应用各种知识是解决此类问题的关键.【母题1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P顺时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ．（1）如图1，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系．（2）如图2，当点P在CB延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，当点P在BC延长线上时，若∠BPO=15°，BP=4，请求出BQ的长．【母题2】如图，∠MAN=60°，AP平分∠MAN，点B是射线AP上一定点，点C在直线AN上运动，连接BC，将∠ABC（0°＜∠ABC＜120°）的两边射线BC和BA分别绕点B顺时针旋转120°，旋转后角的两边分别与射线AM交于点D和点E．（1）如图1，当点C在射线AN上时，①请判断线段BC与BD的数量关系，直接写出结论；②请探究线段AC，AD和BE之间的数量关系，写出结论并证明；（2）如图2，当点C在射线AN的反向延长线上时，BC交射线AM于点F，若AB=4，AC，请直接写出线段AD和DF的长．【母题3】如图①，△ABC中，∠ABC=45°，AH⊥BC于点H，点D在AH上，且DH=CH，连结BD．（1）求证：B D=AC；（2）将△BHD绕点H旋转，得到△EHF（点B，D分别与点E，F对应），连接AE．①如图②，当点F落在AC上时，（F不与C重合），若BC=4，tanC=3，求AE的长；②如图③，当△EHF是由△BHD绕点H逆时针旋转30°得到时，设射线CF与AE相交于点G，连接GH，试探究线段GH与EF之间满足的等量关系，并说明理由．母题三函数与圆综合问题【母题来源】浙江省宁波市2018年中考数学试卷第26题【母题原题】如图1，直线l：y=﹣x+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，点C是线段OA上一动点（0＜AC ＜）．以点A 为圆心，AC 长为半径作⊙A 交x 轴于另一点D ，交线段AB 于点E ，连结OE 并延长交⊙A 于点F ．（1）求直线l 的函数表达式和tan ∠BAO 的值；（2）如图2，连结CE ，当CE=EF 时，①求证：△OCE ∽△OEA ；②求点E 的坐标；（3）当点C 在线段OA 上运动时，求OE•EF 的最大值．【命题意图】此题是圆的综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理，正确作出辅助线是解本题的关键．【方法、技巧、规律】弄清题目中所涉及的概念，熟悉与之相关的定理、公式、技巧和方法；从不同的角度来探索解题的途径，注意运用“从已知看可知”，“从结论看需知”等综合法与分析法来沟通已知条件与结论.综合使用分析法和综合法，运用方程的思想，，使用分类讨论的思想，运用数形结合的思想，运用转化的思想.【母题1】如图，抛物线y=233384x x --+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求点A 、B 的坐标；（2）设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，求点D 的坐标；（3）若直线l 过点E （4，0），M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式．【母题2】在平面直角坐标系xOy中，对“隔离直线”给出如下定义：点P（x，m）是图形G1上的任意一点，点Q（x，n）是图形G2上的任意一点，若存在直线l：kx+b（k≠0）满足m≤kx+b且n≥kx+b，则称直线l：y=kx+b（k≠0）是图形G1与G2的“隔离直线”．如图1，直线l：y=﹣x﹣4是函数y=（x＜0）的图象与正方形OABC的一条“隔离直线”．（1）在直线y1=﹣2x，y2=3x+1，y3=﹣x+3中，是图1函数y=（x＜0）的图象与正方形OABC的“隔离直线”的为；请你再写出一条符合题意的不同的“隔离直线”的表达式：；（2）如图2，第一象限的等腰直角三角形EDF的两腰分别与坐标轴平行，直角顶点D的坐标是（，1），⊙O的半径为2．是否存在△EDF与⊙O的“隔离直线”？若存在，求出此“隔离直线”的表达式；若不存在，请说明理由；（3）正方形A1B1C1D1的一边在y轴上，其它三边都在y轴的右侧，点M（1，t）是此正方形的中心．若存在直线y=2x+b是函数y=x2﹣2x﹣3（0≤x≤4）的图象与正方形A1B1C1D1的“隔离直线”，请直接写出t的取值范围．【母题3】在平面直角坐标系xOy中，若点P和点P1关于y轴对称，点P1和点P2关于直线l对称，则称点P2是点P关于y轴，直线l的二次对称点．（1）如图1，点A（﹣1，0）．①若点B是点A关于y轴，直线l1：x=2的二次对称点，则点B的坐标为（3.0）；②若点C（﹣5，0）是点A关于y轴，直线l2：x=a的二次对称点，则a的值为﹣2 ；③若点D（2，1）是点A关于y轴，直线l3的二次对称点，则直线l3的表达式为y=﹣x+2 ；（2）如图2，⊙O的半径为1．若⊙O上存在点M，使得点M'是点M关于y轴，直线l4：x=b的二次对称点，且点M'在射线y=x（x≥0）上，b的取值范围是﹣≤b≤1 ；（3）E（t，0）是x轴上的动点，⊙E的半径为2，若⊙E上存在点N，使得点N'是点N关于y轴，直线l5：y=x+1的二次对称点，且点N'在y轴上，求t的取值范围．。
【2018中考数学真题】浙江宁波市试题及解析【2018数学中考真题解析系列】
浙江省宁波市2018年中考数学真题试题一、选择题（本大题共12小题，共48分）1.在，，0，1这四个数中，最小的数是A. B. C. 0 D. 1【答案】A【解析】解：由正数大于零，零大于负数，得，最小的数是，故选：A．根据正数大于零，零大于负数，可得答案．本题考查了有理数比较大小，利用正数大于零，零大于负数是解题关键．2.2018中国宁波特色文化产业博览会于4月16日在宁波国际会展中心闭幕本次博览会为期四天，参观总人数超55万人次，其中55万用科学记数法表示为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：，故选：B．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3.下列计算正确的是A. B. C.D.【答案】A【解析】解：，选项A符合题意；，选项B不符合题意；，选项C不符合题意；，选项D不符合题意．故选：A．根据同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法的运算方法，合并同类项的方法，以及幂的乘方与积的乘方的运算方法，逐项判定即可．此题主要考查了同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法的运算方法，合并同类项的方法，以及幂的乘方与积的乘方的运算方法，解答此题的关键是要明确：底数，因为0不能做除数；单独的一个字母，其指数是1，而不是0；应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．4.有五张背面完全相同的卡片，正面分别写有数字1，2，3，4，5，把这些卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，其正面的数字是偶数的概率为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：从写有数字1，2，3，4，5这5张纸牌中抽取一张，其中正面数字是偶数的有2、4这2种结果，正面的数字是偶数的概率为，故选：C．让正面的数字是偶数的情况数除以总情况数5即为所求的概率．此题主要考查了概率公式的应用，明确概率的意义是解答的关键，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．5.已知正多边形的一个外角等于，那么这个正多边形的边数为A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】D【解析】解：正多边形的一个外角等于，且外角和为，则这个正多边形的边数是：．故选：D．根据正多边形的外角和以及一个外角的度数，求得边数．本题主要考查了多边形的外角和定理，解决问题的关键是掌握多边形的外角和等于360度．6.如图是由6个大小相同的立方体组成的几何体，在这个几何体的三视图中，是中心对称图形的是A. 主视图B. 左视图C. 俯视图D. 主视图和左视图【答案】C【解析】解：从上边看是一个田字，“田”字是中心对称图形，故选：C．根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图，又利用了中心对称图形．7.如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，连结若，，则的度数为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：，，，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，是的中位线，，．故选：B．直接利用三角形内角和定理得出的度数，再利用三角形中位线定理结合平行线的性质得出答案．此题主要考查了三角形内角和定理、三角形中位线定理等知识，得出EO是的中位线是解题关键．8.若一组数据4，1，7，x，5的平均数为4，则这组数据的中位数为A. 7B. 5C. 4D. 3【答案】C【解析】解：数据4，1，7，x，5的平均数为4，，解得：，则将数据重新排列为1、3、4、5、7，所以这组数据的中位数为4，故选：C．先根据平均数为4求出x的值，然后根据中位数的概念求解．本题考查了中位数的概念：将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．9.如图，在中，，，，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AB于点D，则的长为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：，，，，的长为，故选：C．先根据，，，得圆心角和半径的长，再根据弧长公式可得到弧CD的长．本题主要考查了弧长公式的运用和直角三角形30度角的性质，解题时注意弧长公式为：弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为．10.如图，平行于x轴的直线与函数，的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若的面积为4，则的值为A. 8B.C. 4D.【答案】A【解析】解：轴，，B两点纵坐标相同．设，，则，．，．故选：A．设，，根据反比例函数图象上点的坐标特征得出，根据三角形的面积公式得到，求出．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，点在函数的图象上，则点的坐标满足函数的解析式也考查了三角形的面积．11.如图，二次函数的图象开口向下，且经过第三象限的点若点P的横坐标为，则一次函数的图象大致是A.B.C.D.【答案】D【解析】解：由二次函数的图象可知，，，当时，，的图象在第二、三、四象限，故选：D．根据二次函数的图象可以判断a、b、的正负情况，从而可以得到一次函数经过哪几个象限，本题得以解决．本题考查二次函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用函数的思想解答．12.在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和的正方形纸片按图1，图2两种方式放置图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠，矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为当时，的值为A. 2aB. 2bC.D.【答案】B【解析】解：，，．故选：B．利用面积的和差分别表示出和，然后利用整式的混合运算计算它们的差．本题考查了整式的混合运算：整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来也考查了正方形的性质．二、填空题（本大题共6小题，共24分）13.计算：______．【答案】2018【解析】解：．故答案为：2018．直接利用绝对值的性质得出答案．此题主要考查了绝对值，正确把握绝对值的定义是解题关键．14.要使分式有意义，x的取值应满足______．【答案】【解析】解：要使分式有意义，则：．解得：，故x的取值应满足：．故答案为：．直接利用分式有意义则分母不能为零，进而得出答案．此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键．15.已知x，y满足方程组，则的值为______．【答案】【解析】解：原式故答案为：根据平方差公式即可求出答案．本题考查因式分解，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．16.如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为和若飞机离地面的高度CH为1200米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为______米结果保留根号．【答案】【解析】解：由于，，在中，米，在，米．米故答案为：在和中，利用锐角三角函数，用CH表示出AH、BH的长，然后计算出AB的长．本题考查了锐角三角函数的仰角、俯角问题题目难度不大，解决本题的关键是用含CH 的式子表示出AH和BH．17.如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM长为半径作当与正方形ABCD的边相切时，BP的长为______．【答案】3或【解析】解：如图1中，当与直线CD相切时，设．在中，，，，，．如图2中当与直线AD相切时设切点为K，连接PK，则，四边形PKDC是矩形．，，，在中，．综上所述，BP的长为3或．分两种情形分别求解：如图1中，当与直线CD相切时；如图2中当与直线AD 相切时设切点为K，连接PK，则，四边形PKDC是矩形；本题考查切线的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．18.如图，在菱形ABCD中，，是锐角，于点E，M是AB的中点，连结MD，若，则的值为______．【答案】【解析】解：延长DM交CB的延长线于点H．四边形ABCD是菱形，，，，，，≌，，，，设，，，，，或舍弃，，故答案为．延长DM交CB的延长线于点首先证明，设，利用勾股定理构建方程求出x即可解决问题．本题考查菱形的性质、勾股定理、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．三、计算题（本大题共1小题，共6分）19.已知抛物线经过点，求该抛物线的函数表达式；将抛物线平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式．【答案】解：把，代入抛物线解析式得：，解得：，则抛物线解析式为；抛物线解析式为，将抛物线向右平移一个单位，向下平移2个单位，解析式变为．【解析】把已知点的坐标代入抛物线解析式求出b与c的值即可；指出满足题意的平移方法，并写出平移后的解析式即可．此题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，以及待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．四、解答题（本大题共7小题，共72分）20.先化简，再求值：，其中．【答案】解：原式，当时，原式．【解析】首先计算完全平方，再计算单项式乘以多项式，再合并同类项，化简后再把x 的值代入即可．此题主要考查了整式的混合运算--化简求值，关键是先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．21.在的方格纸中，的三个顶点都在格点上．在图1中画出线段BD，使，其中D是格点；在图2中画出线段BE，使，其中E是格点．【答案】解：如图所示，线段BD即为所求；如图所示，线段BE即为所求．【解析】将线段AC沿着AB方向平移2个单位，即可得到线段BD；利用的长方形的对角线，即可得到线段．本题主要考查了作图以及平行四边形的性质，首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．22.在第23个世界读书日前夕，我市某中学为了解本校学生的每周课外阅读时间用t表示，单位：小时，采用随机抽样的方法进行问卷调查，调查结果按，，，分为四个等级，并依次用A，B，C，D表示，根据调查结果统计的数据，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，由图中给出的信息解答下列问题：求本次调查的学生人数；求扇形统计图中等级B所在扇形的圆心角度数，并把条形统计图补充完整；若该校共有学生1200人，试估计每周课外阅读时间满足的人数．【答案】解：由条形图知，A级的人数为20人，由扇形图知：A级人数占总调查人数的所以：人即本次调查的学生人数为200人；由条形图知：C级的人数为60人所以C级所占的百分比为：，B级所占的百分比为：，B级的人数为人D级的人数为：人B所在扇形的圆心角为：．因为C级所占的百分比为，所以全校每周课外阅读时间满足的人数为：人答：全校每周课外阅读时间满足的约有360人．【解析】由条形图、扇形图中给出的级别A的数字，可计算出调查学生人数；先计算出C在扇形图中的百分比，用在扇形图中的百分比可计算出B在扇形图中的百分比，再计算出B在扇形的圆心角．总人数课外阅读时间满足的百分比即得所求．本题考查了扇形图和条形图的相关知识题目难度不大扇形图中某项的百分比，扇形图中某项圆心角的度数该项在扇形图中的百分比．23.如图，在中，，，D是AB边上一点点D与A，B不重合，连结CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转得到线段CE，连结DE交BC于点F，连接BE．求证：≌；当时，求的度数．【答案】解：由题意可知：，，，，，，在与中，≌，，，由可知：，，，【解析】由题意可知：，，由于，所以，，所以，从而可证明≌由≌可知：，，从而可求出的度数．本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用旋转的性质以及全等三角形的判定与性质，本题属于中等题型．24.某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．求甲、乙两种商品的每件进价；该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元，乙种商品的销售单价为88元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变要使两种商品全部售完后共获利不少于2460元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？【答案】解：设甲种商品的每件进价为x元，则乙种商品的每件进价为元．根据题意，得，，解得．经检验，是原方程的解．答：甲种商品的每件进价为40元，乙种商品的每件进价为48元；甲乙两种商品的销售量为．设甲种商品按原销售单价销售a件，则，解得．答：甲种商品按原销售单价至少销售20件．【解析】设甲种商品的每件进价为x元，乙种商品的每件进价为y元根据“某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元购进的甲、乙两种商品件数相同”列出方程；设甲种商品按原销售单价销售a件，则由“两种商品全部售完后共获利不少于2460元”列出不等式．本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用本题属于商品销售中的利润问题，对于此类问题，隐含着一个等量关系：利润售价进价．25.若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．已知是比例三角形，，，请直接写出所有满足条件的AC的长；如图1，在四边形ABCD中，，对角线BD平分，求证：是比例三角形．如图2，在的条件下，当时，求的值．【答案】解：是比例三角形，且、，当时，得：，解得：；当时，得：，解得：；当时，得：，解得：负值舍去；所以当或或时，是比例三角形；，，又，∽，，即，，，平分，，，，，是比例三角形；如图，过点A作于点H，，，，，，，又，∽，，即，，又，，．【解析】根据比例三角形的定义分、、三种情况分别代入计算可得；先证∽得，再由知即可得；作，由知，再证∽得，即，结合知，据此可得答案．本题主要考查相似三角形的综合问题，解题的关键是理解比例三角形的定义，并熟练掌握相似三角形的判定与性质．26.如图1，直线l：与x轴交于点，与y轴交于点B，点C是线段OA上一动点以点A为圆心，AC长为半径作交x轴于另一点D，交线段AB于点E，连结OE并延长交于点F．求直线l的函数表达式和的值；如图2，连结CE，当时，求证：∽；求点E的坐标；当点C在线段OA上运动时，求的最大值．【答案】解：直线l：与x轴交于点，，，直线l的函数表达式，，，，在中，；如图2，连接DF，，，，，，四边形CEFD是的圆内接四边形，，，，∽，过点于M，由知，，设，则，，，，，，由知，∽，，，，，，舍或，，，，如图，设的半径为r，过点O作于G，，，，，，，，，，连接FH，是直径，，，，∽，，，时，最大值为．【解析】利用待定系数法求出b即可得出直线l表达式，即可求出OA，OB，即可得出结论；先判断出，进而得出，即可得出结论；设出，，进而得出点E坐标，即可得出OE的平方，再根据的相似得出比例式得出OE的平方，建立方程即可得出结论；利用面积法求出OG，进而得出AG，HE，再构造相似三角形，即可得出结论．此题是圆的综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理，正确作出辅助线是解本题的关键．。
2018年浙江省宁波市中考数学试卷及答案解析
2018年浙江省宁波市中考数学试卷及答案解析A． B．C．D．12．（4分）在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2．当AD﹣AB=2时，S2﹣S1的值为（）A．2a B．2b C．2a﹣2b D．﹣2b二、填空题（每小题4分，共24分）13．（4分）计算：|﹣2018|= ．14．（4分）要使分式有意义，x的取值应满足．15．（4分）已知x，y满足方程组，则x2﹣4y2的值为．16．（4分）如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为45°和30°．若飞机离地面的高度CH 为1200米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为米（结果保留根号）．17．（4分）如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为．18．（4分）如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，M是AB 的中点，连结MD，ME．若∠EMD=90°，则cosB的值为．三、解答题（本大题有8小题，共78分）19．（6分）先化简，再求值：（x﹣1）2+x（3﹣x），其中x=﹣．20．（8分）在5×3的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．（1）在图1中画出线段BD，使BD∥AC，其中D是格点；（2）在图2中画出线段BE，使BE⊥AC，其中E是格点．21．（8分）在第23个世界读书日前夕，我市某中学为了解本校学生的每周课外阅读时间（用t表示，单位：小时），采用随机抽样的方法进行问卷调查，调查结果按0≤t＜2，2≤t＜3，3≤t＜4，t≥4分为四个等级，并依次用A，B，C，D表示，根据调查结果统计的数据，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，由图中给出的信息解答下列问题：（1）求本次调查的学生人数；（2）求扇形统计图中等级B所在扇形的圆心角度数，并把条形统计图补充完整；（3）若该校共有学生1200人，试估计每周课外阅读时间满足3≤t＜4的人数．22．（10分）已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点（1，0），（0，）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）将抛物线y=﹣x2+bx+c平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式．23．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB边上一点（点D 与A，B不重合），连结CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连结DE交BC于点F，连接BE．（1）求证：△ACD≌△BCE；（2）当AD=BF时，求∠BEF的度数．24．（10分）某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．（1）求甲、乙两种商品的每件进价；（2）该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元，乙种商品的销售单价为88元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变．要使两种商品全部售完后共获利不少于2460元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？25．（12分）若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．（1）已知△ABC是比例三角形，AB=2，BC=3，请直接写出所有满足条件的AC的长；（2）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD平分∠ABC，∠BAC=∠ADC．求证：△ABC是比例三角形．（3）如图2，在（2）的条件下，当∠ADC=90°时，求的值．26．（14分）如图1，直线l：y=﹣x+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，点C是线段OA上一动点（0＜AC＜）．以点A为圆心，AC长为半径作⊙A交x轴于另一点D，交线段AB于点E，连结OE并延长交⊙A于点F．（1）求直线l的函数表达式和tan∠BAO的值；（2）如图2，连结CE，当CE=EF时，①求证：△OCE∽△OEA；②求点E的坐标；（3）当点C在线段OA上运动时，求OE•EF的最大值．2018年浙江省宁波市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（4分）在﹣3，﹣1，0，1这四个数中，最小的数是（）A．﹣3 B．﹣1 C．0 D．1【分析】根据正数大于零，零大于负数，可得答案．【解答】解：由正数大于零，零大于负数，得﹣3＜﹣1＜0＜1，最小的数是﹣3，故选：A．【点评】本题考查了有理数比较大小，利用正数大于零，零大于负数是解题关键．2．（4分）2018中国（宁波）特色文化产业博览会于4月16日在宁波国际会展中心闭幕．本次博览会为期四天，参观总人数超55万人次，其中55万用科学记数法表示为（）A．0.55×106B．5.5×105C．5.5×104D．55×104【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【解答】解：550000=5.5×105，故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．（4分）下列计算正确的是（）A．a3+a3=2a3B．a3•a2=a6 C．a6÷a2=a3D．（a3）2=a5【分析】根据同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法的运算方法，合并同类项的方法，以及幂的乘方与积的乘方的运算方法，逐项判定即可．【解答】解：∵a3+a3=2a3，∴选项A符合题意；∵a3•a2=a5，∴选项B不符合题意；∵a6÷a2=a4，∴选项C不符合题意；∵（a3）2=a6，∴选项D不符合题意．故选：A．【点评】此题主要考查了同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法的运算方法，合并同类项的方法，以及幂的乘方与积的乘方的运算方法，解答此题的关键是要明确：①底数a≠0，因为0不能做除数；②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．4．（4分）有五张背面完全相同的卡片，正面分别写有数字1，2，3，4，5，把这些卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，其正面的数字是偶数的概率为（）A．B．C．D．【分析】让正面的数字是偶数的情况数除以总情况数5即为所求的概率．【解答】解：∵从写有数字1，2，3，4，5这5张纸牌中抽取一张，其中正面数字是偶数的有2、4这2种结果，∴正面的数字是偶数的概率为，故选：C．【点评】此题主要考查了概率公式的应用，明确概率的意义是解答的关键，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．（4分）已知正多边形的一个外角等于40°，那么这个正多边形的边数为（）5．A．6 B．7 C．8 D．9【分析】根据正多边形的外角和以及一个外角的度数，求得边数．【解答】解：正多边形的一个外角等于40°，且外角和为360°，则这个正多边形的边数是：360°÷40°=9．故选：D．【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理，解决问题的关键是掌握多边形的外角和等于360度．6．（4分）如图是由6个大小相同的立方体组成的几何体，在这个几何体的三视图中，是中心对称图形的是（）A．主视图B．左视图C．俯视图D．主视图和左视图【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．【解答】解：从上边看是一个田字，“田”字是中心对称图形，故选：C．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图，又利用了中心对称图形．7．（4分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，连结OE．若∠ABC=60°，∠BAC=80°，则∠1的度数为（）A．50°B．40°C．30°D．20°【分析】直接利用三角形内角和定理得出∠BCA的度数，再利用三角形中位线定理结合平行线的性质得出答案．【解答】解：∵∠ABC=60°，∠BAC=80°，∴∠BCA=180°﹣60°﹣80°=40°，∵对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，∴EO是△DBC的中位线，∴EO∥BC，∴∠1=∠ACB=40°．故选：B．【点评】此题主要考查了三角形内角和定理、三角形中位线定理等知识，得出EO是△DBC的中位线是解题关键．8．（4分）若一组数据4，1，7，x，5的平均数为4，则这组数据的中位数为（）A．7 B．5 C．4 D．3【分析】先根据平均数为4求出x的值，然后根据中位数的概念求解．【解答】解：∵数据4，1，7，x，5的平均数为4，∴=4，解得：x=3，则将数据重新排列为1、3、4、5、7，所以这组数据的中位数为4，故选：C．【点评】本题考查了中位数的概念：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．9．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AB于点D，则的长为（）A．πB．πC．πD．π【分析】先根据ACB=90°，AB=4，∠A=30°，得圆心角和半径的长，再根据弧长公式可得到弧CD的长．【解答】解：∵∠ACB=90°，AB=4，∠A=30°，∴∠B=60°，BC=2∴的长为=，故选：C．【点评】本题主要考查了弧长公式的运用和直角三角形30度角的性质，解题时注意弧长公式为：l=（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）．10．（4分）如图，平行于x轴的直线与函数y=（k1＞0，x＞0），y=（k2＞0，x＞0）的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若△ABC的面积为4，则k1﹣k2的值为（）A．8 B．﹣8 C．4 D．﹣4【分析】设A（a，h），B（b，h），根据反比例函数图象上点的坐标特征得出ah=k1，bh=k2．根据三角形的面积公式得到S△ABC=AB•yA=（a﹣b）h=（ah﹣bh）=（k1﹣k2）=4，求出k1﹣k2=8．【解答】解：∵AB∥x轴，∴A，B两点纵坐标相同．设A（a，h），B（b，h），则ah=k1，bh=k2．∵S△ABC =AB•yA=（a﹣b）h=（ah﹣bh）=（k1﹣k2）=4，∴k1﹣k2=8．故选：A．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，点在函数的图象上，则点的坐标满足函数的解析式．也考查了三角形的面积．11．（4分）如图，二次函数y=ax2+bx的图象开口向下，且经过第三象限的点P．若点P的横坐标为﹣1，则一次函数y=（a﹣b）x+b的图象大致是（）A． B．C．D．【分析】根据二次函数的图象可以判断a、b、a﹣b的正负情况，从而可以得到一次函数经过哪几个象限，本题得以解决．【解答】解：由二次函数的图象可知，a＜0，b＜0，当x=﹣1时，y=a﹣b＜0，∴y=（a﹣b）x+b的图象在第二、三、四象限，故选：D．【点评】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用函数的思想解答．12．（4分）在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2．当AD﹣AB=2时，S2﹣S1的值为（）A．2a B．2b C．2a﹣2b D．﹣2b【分析】利用面积的和差分别表示出S1和S2，然后利用整式的混合运算计算它们的差．【解答】解：S1=（AB﹣a）•a+（CD﹣b）（AD﹣a）=（AB﹣a）•a+（AB﹣b）（AD ﹣a），S2=AB（AD﹣a）+（a﹣b）（AB﹣a），∴S2﹣S1=AB（AD﹣a）+（a﹣b）（AB﹣a）﹣（AB﹣a）•a﹣（AB﹣b）（AD﹣a）=（AD﹣a）（AB﹣AB+b）+（AB﹣a）（a﹣b﹣a）=b•AD﹣ab﹣b•AB+ab=b（AD﹣AB）=2b．故选：B．【点评】本题考查了整式的混合运算：整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来．也考查了正方形的性质．二、填空题（每小题4分，共24分）13．（4分）计算：|﹣2018|= 2018 ．【分析】直接利用绝对值的性质得出答案．【解答】解：|﹣2018|=2018．故答案为：2018．【点评】此题主要考查了绝对值，正确把握绝对值的定义是解题关键．14．（4分）要使分式有意义，x的取值应满足x≠1 ．【分析】直接利用分式有意义则分母不能为零，进而得出答案．【解答】解：要使分式有意义，则：x﹣1≠0．解得：x≠1，故x的取值应满足：x≠1．故答案为：x≠1．【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键．15．（4分）已知x，y满足方程组，则x2﹣4y2的值为﹣8 ．【分析】根据平方差公式即可求出答案．【解答】解：原式=（x+2y）（x﹣2y）=﹣3×5=﹣15故答案为：﹣15【点评】本题考查因式分解，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．16．（4分）如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为45°和30°．若飞机离地面的高度CH 为1200米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB1200（﹣1）米（结果保留根号）．【分析】在Rt△ACH和Rt△HCB中，利用锐角三角函数，用CH表示出AH、BH 的长，然后计算出AB的长．【解答】解：由于CD∥HB，∴∠CAH=∠ACD=45°，∠B=∠BCD=30°在Rt△ACH中，∵∴∠CAH=45°∴AH=CH=1200米，在Rt△HCB，∵tan∠B=∴HB====1200（米）．∴AB=HB﹣HA=1200﹣1200=1200（﹣1）米故答案为：1200（﹣1）【点评】本题考查了锐角三角函数的仰角、俯角问题．题目难度不大，解决本题的关键是用含CH的式子表示出AH和BH．17．（4分）如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为3或4．【分析】分两种情形分别求解：如图1中，当⊙P与直线CD相切时；如图2中当⊙P与直线AD相切时．设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形；【解答】解：如图1中，当⊙P与直线CD相切时，设PC=PM=m．在Rt△PBM中，∵PM2=BM2+PB2，∴x2=42+（8﹣x）2，∴x=5，∴PC=5，BP=BC﹣PC=8﹣5=3．如图2中当⊙P与直线AD相切时．设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC 是矩形．∴PM=PK=CD=2BM，∴BM=4，PM=8，在Rt△PBM中，PB==4．综上所述，BP的长为3或4．【点评】本题考查切线的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．18．（4分）如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，M是AB 的中点，连结MD，ME．若∠EMD=90°，则cosB的值为．【分析】延长DM交CB的延长线于点H．首先证明DE=EH，设BE=x，利用勾股定理构建方程求出x即可解决问题．【解答】解：延长DM交CB的延长线于点H．∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=AD=2，AD∥CH，∴∠ADM=∠H，∵AM=BM，∠AMD=∠HMB，∴△ADM≌△BHM，∴AD=HB=2，∵EM⊥DH，∴EH=ED，设BE=x，∵AE⊥BC，∴AE⊥AD，∴∠AEB=∠EAD=90°∵AE2=AB2﹣BE2=DE2﹣AD2，∴22﹣x2=（2+x）2﹣22，∴x=﹣1或﹣﹣1（舍弃），∴cosB==，故答案为．【点评】本题考查菱形的性质、勾股定理、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．三、解答题（本大题有8小题，共78分）19．（6分）先化简，再求值：（x﹣1）2+x（3﹣x），其中x=﹣．【分析】首先计算完全平方，再计算单项式乘以多项式，再合并同类项，化简后再把x的值代入即可．【解答】解：原式=x2﹣2x+1+3x﹣x2=x+1，当x=﹣时，原式=﹣+1=．【点评】此题主要考查了整式的混合运算﹣﹣化简求值，关键是先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．20．（8分）在5×3的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．（1）在图1中画出线段BD，使BD∥AC，其中D是格点；（2）在图2中画出线段BE，使BE⊥AC，其中E是格点．【分析】（1）将线段AC沿着AB方向平移2个单位，即可得到线段BD；（2）利用2×3的长方形的对角线，即可得到线段BE⊥AC．【解答】解：（1）如图所示，线段BD即为所求；（2）如图所示，线段BE即为所求．【点评】本题主要考查了作图以及平行四边形的性质，首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．21．（8分）在第23个世界读书日前夕，我市某中学为了解本校学生的每周课外阅读时间（用t表示，单位：小时），采用随机抽样的方法进行问卷调查，调查结果按0≤t＜2，2≤t＜3，3≤t＜4，t≥4分为四个等级，并依次用A，B，C，D表示，根据调查结果统计的数据，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，由图中给出的信息解答下列问题：（1）求本次调查的学生人数；（2）求扇形统计图中等级B所在扇形的圆心角度数，并把条形统计图补充完整；（3）若该校共有学生1200人，试估计每周课外阅读时间满足3≤t＜4的人数．【分析】（1）由条形图、扇形图中给出的级别A的数字，可计算出调查学生人数；（2）先计算出C在扇形图中的百分比，用1﹣[（A+D+C）在扇形图中的百分比]可计算出B在扇形图中的百分比，再计算出B在扇形的圆心角．（3）总人数×课外阅读时间满足3≤t＜4的百分比即得所求．【解答】解：（1）由条形图知，A级的人数为20人，由扇形图知：A级人数占总调查人数的10%所以：20÷10%=20×=200（人）即本次调查的学生人数为200人；（2）由条形图知：C级的人数为60人所以C级所占的百分比为：×100%=30%，B级所占的百分比为：1﹣10%﹣30%﹣45%=15%，B级的人数为200×15%=30（人）D级的人数为：200×45%=90（人）B所在扇形的圆心角为：360°×15%=54°．（3）因为C级所占的百分比为30%，所以全校每周课外阅读时间满足3≤t＜4的人数为：1200×30%=360（人）答：全校每周课外阅读时间满足3≤t＜4的约有360人．【点评】本题考查了扇形图和条形图的相关知识．题目难度不大．扇形图中某项的百分比=×100%，扇形图中某项圆心角的度数=360°×该项在扇形图中的百分比．22．（10分）已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点（1，0），（0，）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）将抛物线y=﹣x2+bx+c平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式．【分析】（1）把已知点的坐标代入抛物线解析式求出b与c的值即可；（2）指出满足题意的平移方法，并写出平移后的解析式即可．【解答】解：（1）把（1，0），（0，）代入抛物线解析式得：，解得：，则抛物线解析式为y=﹣x2﹣x+；（2）抛物线解析式为y=﹣x2﹣x+=﹣（x+1）2+2，将抛物线向右平移一个单位，向下平移2个单位，解析式变为y=﹣x2．【点评】此题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，以及待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．23．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB边上一点（点D 与A，B不重合），连结CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连结DE交BC于点F，连接BE．（1）求证：△ACD≌△BCE；（2）当AD=BF时，求∠BEF的度数．【分析】（1）由题意可知：CD=CE，∠DCE=90°，由于∠ACB=90°，所以∠ACD=∠ACB﹣∠DCB，∠BCE=∠DCE﹣∠DCB，所以∠ACD=∠BCE，从而可证明△ACD≌△BCE（SAS）（2）由△ACD≌△BCE（SAS）可知：∠A=∠CBE=45°，BE=BF，从而可求出∠BEF 的度数．【解答】解：（1）由题意可知：CD=CE，∠DCE=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD=∠ACB﹣∠DCB，∠BCE=∠DCE﹣∠DCB，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD与△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS）（2）∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠A=45°，由（1）可知：∠A=∠CBE=45°，∵AD=BF，∴BE=BF，∴∠BEF=67.5°【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用旋转的性质以及全等三角形的判定与性质，本题属于中等题型．24．（10分）某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．（1）求甲、乙两种商品的每件进价；（2）该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元，乙种商品的销售单价为88元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变．要使两种商品全部售完后共获利不少于2460元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？【分析】（1）设甲种商品的每件进价为x元，乙种商品的每件进价为y元．根据“某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．购进的甲、乙两种商品件数相同”列出方程；（2）设甲种商品按原销售单价销售a件，则由“两种商品全部售完后共获利不少于2460元”列出不等式．【解答】解：（1）设甲种商品的每件进价为x元，则乙种商品的每件进价为（x+8）元．根据题意，得，=，解得 x=40．经检验，x=40是原方程的解．答：甲种商品的每件进价为40元，乙种商品的每件进价为48元；（2）甲乙两种商品的销售量为=50．设甲种商品按原销售单价销售a件，则（60﹣40）a+（60×0.7﹣40）（50﹣a）+（88﹣48）×50≥2460，解得 a≥20．答：甲种商品按原销售单价至少销售20件．【点评】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用．本题属于商品销售中的利润问题，对于此类问题，隐含着一个等量关系：利润=售价﹣进价．25．（12分）若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．（1）已知△ABC是比例三角形，AB=2，BC=3，请直接写出所有满足条件的AC的长；（2）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD平分∠ABC，∠BAC=∠ADC．求证：△ABC是比例三角形．（3）如图2，在（2）的条件下，当∠ADC=90°时，求的值．【分析】（1）根据比例三角形的定义分AB2=BC•AC、BC2=AB•AC、AC2=AB•BC三种情况分别代入计算可得；（2）先证△ABC∽△DCA得CA2=BC•AD，再由∠ADB=∠CBD=∠ABD知AB=AD即可得；（3）作AH⊥BD，由AB=AD知BH=BD，再证△ABH∽△DBC得AB•BC=BH•DB，即AB•BC=BD2，结合AB•BC=AC2知BD2=AC2，据此可得答案．【解答】解：（1）∵△ABC是比例三角形，且AB=2、AC=3，①当AB2=BC•AC时，得：4=3AC，解得：AC=；②当BC2=AB•AC时，得：9=2AC，解得：AC=；③当AC2=AB•BC时，得：AC=6，解得：AC=（负值舍去）；所以当AC=或或时，△ABC是比例三角形；∴∠ACB=∠CAD，又∵∠BAC=∠ADC，∴△ABC∽△DCA，∴=，即CA2=BC•AD，∵AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∴∠ADB=∠ABD，∴AB=AD，∴CA2=BC•AB，∴△ABC是比例三角形；（3）如图，过点A作AH⊥BD于点H，∵AB=AD，∴BH=BD，∵AD∥BC，∠ADC=90°，∴∠BCD=90°，∴∠BHA=∠BCD=90°，又∵∠ABH=∠DBC，∴△ABH∽△DBC，∴=，即AB•BC=BH•DB，∴AB•BC=BD2，∴BD2=AC2，∴=．【点评】本题主要考查相似三角形的综合问题，解题的关键是理解比例三角形的定义，并熟练掌握相似三角形的判定与性质．26．（14分）如图1，直线l：y=﹣x+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，点C是线段OA上一动点（0＜AC＜）．以点A为圆心，AC长为半径作⊙A交x轴于另一点D，交线段AB于点E，连结OE并延长交⊙A于点F．（1）求直线l的函数表达式和tan∠BAO的值；（2）如图2，连结CE，当CE=EF时，①求证：△OCE∽△OEA；②求点E的坐标；（3）当点C在线段OA上运动时，求OE•EF的最大值．【分析】（1）利用待定系数法求出b即可得出直线l表达式，即可求出OA，OB，即可得出结论；（2）①先判断出∠CDF=2∠CDE，进而得出∠OAE=∠ODF，即可得出结论；②设出EM=3m，AM=4m，进而得出点E坐标，即可得出OE的平方，再根据①的相似得出比例式得出OE的平方，建立方程即可得出结论；（3）利用面积法求出OG，进而得出AG，HE，再构造相似三角形，即可得出结论．【解答】解：∵直线l：y=﹣x+b与x轴交于点A（4，0），∴﹣×4+b=0，∴b=3，∴直线l的函数表达式y=﹣x+3，∴B（0，3），∴OA=4，OB=3，在Rt△AOB中，tan∠BAO==；（2）①如图2，连接DF，∵CE=EF，∴∠CDE=∠FDE，∴∠CDF=2∠CDE，∵∠OAE=2∠CDE，∴∠OAE=∠ODF，∵四边形CEFD是⊙O的圆内接四边形，∴∠OEC=∠ODF，∴∠OEC=∠OAE，∵∠COE=∠EOA，∴△COE∽△EOA，②过点E⊥OA于M，由①知，tan∠OAB=，设EM=3m，则AM=4m，∴OM=4﹣4m，AE=5m，∴E（4﹣4m，3m），AC=5m，∴OC=4﹣5m，由①知，△COE∽△EOA，∴，∴OE2=OA•OC=4（4﹣5m）=16﹣20m，∵E（4﹣4m，3m），∴（4﹣4m）2+9m2=25m2﹣32m+16，∴25m2﹣32m+16=16﹣20m，∴m=0（舍）或m=，∴4﹣4m=，3m=，∴（，），（3）如图，设⊙O的半径为r，过点O作OG⊥AB于G，∵A（4，0），B（0，3），∴OA=4，OB=3，∴AB=5，∴AB×OG=OA×OB，∴OG=，∴AG==×=，∴EG=AG﹣AE=﹣r，连接FH，∵EH是⊙O直径，∴EH=2r，∠EFH=90°=∠EGO，∵∠OEG=∠HEF，∴△OEG∽△HEF，∴，∴OE•EF=HE•EG=2r（﹣r）=﹣2（r﹣）2+，∴r=时，OE•EF最大值为．【点评】此题是圆的综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理，正确作出辅助线是解本题的关键．。
完整版浙江省宁波市中考数学试卷及答案解析
2018 年浙江省宁波市中考数学试卷一、选择题（每题 4 分，共 48 分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（4 分）在﹣ 3，﹣ 1，0，1 这四个数中，最小的数是（）A．﹣ 3 B．﹣ 1 C．0D．12．（4 分） 2018 中国（宁波）特点文化家产展览会于 4 月 16 日在宁波国际会展中心谢幕．本次展览会为期四天，观光总人数超 55 万人次，此中 55 万用科学记数法表示为（）A．×106B．×105C．×104 D．55×1043．（4 分）以下计算正确的选项是（）3+a33． 3 2 6 ． 6÷a2 3．（3） 2 5A．a =2a B a ?a =a C a=a D a=a4．（4 分）有五张反面完好同样的卡片，正面分别写有数字1，2，3，4，5，把这些卡片反面向上洗匀后，从中随机抽取一张，其正面的数字是偶数的概率为（）A．B．C．D．5．（ 4 分）已知正多边形的一个外角等于40°，那么这个正多边形的边数为（）A．6B．7C．8D．96．（4 分）如图是由 6 个大小同样的立方体构成的几何体，在这个几何体的三视图中，是中心对称图形的是（）A．主视图B．左视图C．俯视图D．主视图和左视图7．（4 分）如图，在 ?ABCD中，对角线 AC与 BD 订交于点 O，E 是边 CD 的中点，连结 OE．若∠ ABC=60°，∠ BAC=80°，则∠ 1 的度数为（）第 1页（共 28页）A．50°B．40°C．30°D．20°8．（ 4 分）若一组数据 4，1，7，x，5 的均匀数为 4，则这组数据的中位数为（）A．7B．5C．4D．39．（4 分）如图，在△ ABC中，∠ ACB=90°，∠ A=30°，AB=4，以点 B 为圆心， BC长为半径画弧，交边AB 于点 D，则的长为（）A．π B．π C．π D．π10．（ 4 分）如图，平行于x 轴的直线与函数 y=（k1＞0，x＞0），y=（k2＞0，x＞0）的图象分别订交于A，B 两点，点 A 在点 B 的右边， C 为 x 轴上的一个动点，若△ ABC的面积为 4，则 k1﹣2的值为（）kA．8B．﹣ 8 C．4D．﹣ 411．（4 分）如图，二次函数 y=ax2+bx 的图象张口向下，且经过第三象限的点P．若点 P 的横坐标为﹣ 1，则一次函数 y=（a﹣b）x+b 的图象大概是（）A．B．C．D．12．（ 4 分）在矩形 ABCD内，将两张边长分别为a 和 b（ a＞ b）的正方形纸片按图 1，图 2 两种方式搁置（图 1，图 2 中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用暗影表示，设图 1 中暗影部分的面积为S1，图 2 中暗影部分的面积为S2．当 AD﹣AB=2时， S2﹣S1的值为（）A．2a B．2b C．2a﹣2b D．﹣ 2b二、填空题（每题 4 分，共 24 分）13．（ 4分）计算： | ﹣2018| =．14．（ 4分）要使分式存心义， x 的取值应知足．15．（ 4分）已知 x，y 知足方程组，则 x2﹣4y2的值为．16．（ 4 分）如图，某高速公路建设中需要丈量某条江的宽度AB，飞机上的丈量人员在 C 处测得 A，B 两点的俯角分别为45°和 30°．若飞机离地面的高度CH为1200 米，且点 H，A，B 在同一水平直线上，则这条江的宽度 AB 为米（结果保存根号）．17．（ 4 分）如图，正方形 ABCD的边长为 8，M 是 AB 的中点， P 是 BC边上的动点，连结 PM，以点 P 为圆心， PM 长为半径作⊙ P．当⊙ P 与正方形 ABCD的边相切时， BP的长为．18．（ 4 分）如图，在菱形ABCD中， AB=2，∠ B 是锐角， AE⊥BC 于点 E，M 是AB 的中点，连结MD， ME．若∠ EMD=90°，则 cosB 的值为．三、解答题（本大题有8 小题，共 78 分）19．（ 6 分）先化简，再求值：（x﹣1）2+x（3﹣x），此中 x=﹣．20．（ 8 分）在 5×3 的方格纸中，△ ABC的三个极点都在格点上．（1）在图 1 中画出线段 BD，使 BD∥ AC，此中 D 是格点；（2）在图 2 中画出线段 BE，使 BE⊥AC，此中 E 是格点．21．（ 8 分）在第 23 个世界念书日前夜，我市某中学为认识本校学生的每周课外阅读时间（用 t 表示，单位：小时），采纳随机抽样的方法进行问卷检查，检查结果按0≤ t＜2，2≤t ＜3，3≤ t ＜4，t≥4 分为四个等级，并挨次用 A，B，C，D表示，依据检查结果统计的数据，绘制成了如下图的两幅不完好的统计图，由图中给出的信息解答以下问题：（1）求本次检查的学生人数；（2）求扇形统计图中等级 B 所在扇形的圆心角度数，并把条形统计图增补完好；（3）若该校共有学生 1200 人，试预计每周课外阅读时间知足 3≤t＜ 4 的人数．22．（ 10 分）已知抛物线y=﹣x2+bx+c 经过点（1，0），（0，）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）将抛物线 y=﹣ x2+bx+c 平移，使其极点恰巧落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式．23．（ 10 分）如图，在△ ABC中，∠ ACB=90°，AC=BC， D 是 AB 边上一点（点 D与A，B 不重合），连结 CD，将线段 CD绕点 C 按逆时针方向旋转 90°获得线段CE，连结 DE 交 BC于点 F，连结 BE．（ 1）求证：△ ACD≌△ BCE；（ 2）当 AD=BF时，求∠ BEF的度数．24．（ 10 分）某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000 元，乙种商品共用了 2400 元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8 元，且购进的甲、乙两种商品件数同样．（ 1）求甲、乙两种商品的每件进价；（ 2）该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60 元，第 5页（共 28页）甲种商品销售必定数目后，将节余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变．要使两种商品所有售完后共赢利许多于2460 元，问甲种商品按原销售单价起码销售多少件？25．（ 12 分）若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比率三角形．（ 1）已知△ ABC 是比率三角形， AB=2， BC=3，请直接写出所有知足条件的 AC 的长；（2）如图 1，在四边形 ABCD中，AD∥BC，对角线 BD 均分∠ ABC，∠BAC=∠ADC．求证：△ ABC是比率三角形．（ 3）如图 2，在（ 2）的条件下，当∠ ADC=90°时，求的值．26．（ 14 分）如图 1，直线 l：y=﹣x+b 与 x 轴交于点 A（4，0），与 y 轴交于点B，点 C 是线段 OA 上一动点（ 0＜ AC＜）．以点A为圆心，AC长为半径作⊙ A 交 x 轴于另一点 D，交线段 AB 于点 E，连结 OE并延伸交⊙ A 于点 F．（1）求直线 l 的函数表达式和 tan ∠BAO的值；（2）如图2，连结CE，当CE=EF时，①求证：△ OCE∽△ OEA；②求点 E的坐标；（3）当点 C 在线段 OA 上运动时，求 OE?EF的最大值．2018 年浙江省宁波市中考数学试卷参照答案与试题分析一、选择题（每题 4 分，共 48 分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（4 分）在﹣ 3，﹣ 1，0，1 这四个数中，最小的数是（）A．﹣ 3 B．﹣ 1 C．0D．1【剖析】依据正数大于零，零大于负数，可得答案．【解答】解：由正数大于零，零大于负数，得﹣3＜﹣ 1＜0＜1，最小的数是﹣ 3，应选： A．【评论】本题考察了有理数比较大小，利用正数大于零，零大于负数是解题重点．2．（4 分） 2018 中国（宁波）特点文化家产展览会于 4 月 16 日在宁波国际会展中心谢幕．本次展览会为期四天，观光总人数超 55 万人次，此中 55 万用科学记数法表示为（）A．×106B．×105C．×104 D．55×104【剖析】科学记数法的表示形式为a× 10n的形式，此中 1≤| a| ＜ 10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变为 a 时，小数点挪动了多少位， n 的绝对值与小数点挪动的位数同样．当原数绝对值＞ 1 时， n 是正数；当原数的绝对值＜ 1 时， n是负数．【解答】解：× 105，应选： B．【评论】本题考察科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，此中 1≤| a| ＜10，n 为整数，表示时重点要正确确立 a 的值以及 n 的值．3．（4 分）以下计算正确的选项是（）3+a33． 3 2 6 ． 6÷a2 3．（3） 2 5A．a =2a B a ?a =a C a=a D a=a【剖析】依据同底数幂的除法法例，同底数幂的乘法的运算方法，归并同类项的方法，以及幂的乘方与积的乘方的运算方法，逐项判断即可．【解答】解：∵a3+a3=2a3，∴选项 A 切合题意；∵a3?a2=a5，∴选项 B 不切合题意；∵a6÷a2=a4，∴选项 C 不切合题意；∵（ a3）2=a6，∴选项 D 不切合题意．应选： A．【评论】本题主要考察了同底数幂的除法法例，同底数幂的乘法的运算方法，归并同类项的方法，以及幂的乘方与积的乘方的运算方法，解答本题的重点是要明确：①底数 a≠0，因为 0 不可以做除数；②独自的一个字母，其指数是 1，而不是0；③应用同底数幂除法的法例时，底数 a 但是单项式，也能够是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．4．（4 分）有五张反面完好同样的卡片，正面分别写有数字1，2，3，4，5，把这些卡片反面向上洗匀后，从中随机抽取一张，其正面的数字是偶数的概率为（）A．B．C．D．【剖析】让正面的数字是偶数的状况数除以总状况数 5 即为所求的概率．【解答】解：∵从写有数字1，2，3，4，5 这 5 张纸牌中抽取一张，此中正面数字是偶数的有 2、4 这 2 种结果，∴正面的数字是偶数的概率为，应选： C．【评论】本题主要考察了概率公式的应用，明确概率的意义是解答的重点，用到的知识点为：概率等于所讨状况数与总状况数之比．5．（ 4 分）已知正多边形的一个外角等于40°，那么这个正多边形的边数为（）A．6B．7C．8D．9【剖析】依据正多边形的外角和以及一个外角的度数，求得边数．【解答】解：正多边形的一个外角等于 40°，且外角和为360°，则这个正多边形的边数是： 360°÷ 40°=9．应选： D．【评论】本题主要考察了多边形的外角和定理，解决问题的重点是掌握多边形的外角和等于 360 度．6．（4 分）如图是由 6 个大小同样的立方体构成的几何体，在这个几何体的三视图中，是中心对称图形的是（）A．主视图B．左视图C．俯视图D．主视图和左视图【剖析】依据从上面看获得的图形是俯视图，可得答案．【解答】解：从上面看是一个田字，“田”字是中心对称图形，应选： C．【评论】本题考察了简单组合体的三视图，从上面看获得的图形是俯视图，又利用了中心对称图形．7．（4 分）如图，在 ?ABCD中，对角线 AC与 BD 订交于点 O，E 是边 CD 的中点，连结 OE．若∠ ABC=60°，∠ BAC=80°，则∠ 1 的度数为（）A．50°B．40°C．30°D．20°【剖析】直接利用三角形内角和定理得出∠ BCA的度数，再利用三角形中位线定理联合平行线的性质得出答案．【解答】解：∵∠ ABC=60°，∠ BAC=80°，∴∠ BCA=180°﹣ 60°﹣80°=40°，∵对角线 AC与 BD 订交于点 O，E 是边 CD 的中点，∴EO是△ DBC的中位线，∴EO∥BC，∴∠ 1=∠ ACB=40°．应选： B．【评论】本题主要考察了三角形内角和定理、三角形中位线定理等知识，得出EO是△ DBC的中位线是解题重点．8．（ 4 分）若一组数据 4，1，7，x，5 的均匀数为 4，则这组数据的中位数为（）A．7B．5C．4D．3【剖析】先依据均匀数为 4 求出 x 的值，而后依据中位数的观点求解．【解答】解：∵数据 4，1，7，x，5 的均匀数为 4，∴=4，解得： x=3，则将数据从头摆列为1、3、4、5、7，因此这组数据的中位数为4，应选： C．【评论】本题考察了中位数的观点：将一组数据依据从小到大（或从大到小）的次序摆列，假如数据的个数是奇数，则处于中间地点的数就是这组数据的中位数；假如这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的均匀数就是这组数据的中位数．9．（4 分）如图，在△ ABC中，∠ ACB=90°，∠ A=30°，AB=4，以点 B 为圆心， BC长为半径画弧，交边AB 于点 D，则的长为（）A．π B．π C．π D．π【剖析】先依据 ACB=90°，AB=4，∠ A=30°，得圆心角和半径的长，再依据弧长公式可获得弧 CD的长．【解答】解：∵∠ ACB=90°， AB=4，∠ A=30°，∴∠ B=60°，BC=2∴的长为=，应选： C．【评论】本题主要考察了弧长公式的运用和直角三角形30 度角的性质，解题时注意弧长公式为： l=（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）．10．（ 4 分）如图，平行于x 轴的直线与函数 y=（k1＞0，x＞0），y=（k2＞0，x＞0）的图象分别订交于A，B 两点，点 A 在点 B 的右边， C 为 x 轴上的一个动点，若△ ABC的面积为 4，则 k1﹣2的值为（）kA．8B．﹣ 8 C．4D．﹣ 4【剖析】设A（a，h），B（b，h），依据反比率函数图象上点的坐标特点得出ah=k1，bh=k2．依据三角形的面积公式获得 S△ABC= AB?y A= （a﹣b）h= （ ah﹣bh）=（k1﹣k2）=4，求出 k1﹣k2=8．【解答】解：∵ AB∥x 轴，∴ A， B 两点纵坐标同样．设 A（a，h）， B（ b， h），则 ah=k1，bh=k2．∵ S△ABC= AB?y A= （a﹣b）h= （ah﹣ bh）= （k1﹣ k2）=4，∴k1﹣k2=8．应选： A．【评论】本题考察了反比率函数图象上点的坐标特点，点在函数的图象上，则点的坐标知足函数的分析式．也考察了三角形的面积．11．（4 分）如图，二次函数 y=ax2+bx 的图象张口向下，且经过第三象限的点P．若点 P 的横坐标为﹣ 1，则一次函数 y=（a﹣b）x+b 的图象大概是（）A．B．C．D．【剖析】依据二次函数的图象能够判断a、b、a﹣b 的正负状况，从而能够获得一次函数经过哪几个象限，本题得以解决．【解答】解：由二次函数的图象可知，a＜0，b＜0，当x=﹣1 时， y=a﹣b＜0，∴y=（a﹣b）x+b 的图象在第二、三、四象限，应选： D．【评论】本题考察二次函数的性质、一次函数的性质，解答本题的重点是明确题意，利用函数的思想解答．12．（ 4 分）在矩形 ABCD内，将两张边长分别为a 和 b（ a＞ b）的正方形纸片按图 1，图 2 两种方式搁置（图 1，图 2 中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用暗影表示，设图 1 中暗影部分的面积为S1，图 2 中暗影部分的面积为S2．当 AD﹣AB=2时， S2﹣S1的值为（）A．2a B．2b C．2a﹣2b D．﹣ 2b【剖析】利用面积的和差分别表示出S1和 S2，而后利用整式的混淆运算计算它们的差．【解答】解： S1=（AB﹣ a）?a+（CD﹣ b）（AD﹣a）=（AB﹣ a）?a+（ AB﹣b）（AD ﹣ a），S2=AB（ AD﹣ a） +（ a﹣ b）（AB﹣a），∴S2﹣S1=AB（AD﹣a）+（a﹣b）（AB﹣ a）﹣（ AB﹣a）?a﹣（ AB﹣ b）（AD﹣a）=（AD﹣a）（ AB﹣ AB+b） +（ AB﹣a）（a﹣b﹣ a）=b?AD﹣ ab﹣b?AB+ab=b（ AD﹣AB）=2b．应选： B．【评论】本题考察了整式的混淆运算：整体”思想在整式运算中较为常有，合时采纳整体思想可使问题简单化，而且快速地解决有关问题，此时应注意被看做整体的代数式往常要用括号括起来．也考察了正方形的性质．二、填空题（每题 4 分，共 24 分）13．（ 4 分）计算： | ﹣2018| = 2018．【剖析】直接利用绝对值的性质得出答案．【解答】解： | ﹣2018| =2018．故答案为： 2018．【评论】本题主要考察了绝对值，正确掌握绝对值的定义是解题重点．14．（ 4 分）要使分式存心义，x的取值应知足x≠1．【剖析】直接利用分式存心义则分母不可以为零，从而得出答案．【解答】解：要使分式存心义，则：x﹣1≠0．解得： x≠1，故 x 的取值应知足： x≠ 1．故答案为： x≠ 1．【评论】本题主要考察了分式存心义的条件，正确掌握分式的定义是解题重点．15．（ 4 分）已知 x，y 知足方程组，则x2﹣4y2的值为﹣8．【剖析】依据平方差公式即可求出答案．【解答】解：原式 =（ x+2y）（x﹣2y）=﹣3×5=﹣15故答案为：﹣ 15【评论】本题考察因式分解，解题的重点是娴熟运用平方差公式，本题属于基础题型．16．（ 4 分）如图，某高速公路建设中需要丈量某条江的宽度 AB，飞机上的丈量人员在 C 处测得 A，B 两点的俯角分别为 45°和 30°．若飞机离地面的高度 CH为1200 米，且点 H，A，B 在同一水平直线上，则这条江的宽度 AB 为1200（﹣1）米（结果保存根号）．【剖析】在 Rt△ ACH和 Rt△HCB中，利用锐角三角函数，用 CH 表示出 AH、BH 的长，而后计算出AB 的长．【解答】解：因为 CD∥HB，∴∠ CAH=∠ACD=45°，∠ B=∠BCD=30°在 Rt△ACH中，∵∴∠ CAH=45°∴ AH=CH=1200米，在 Rt△HCB，∵ tan∠B=∴ HB====1200 （米）．∴AB=HB﹣ HA=1200 ﹣ 1200=1200（﹣1）米故答案为： 1200（﹣1）【评论】本题考察了锐角三角函数的仰角、俯角问题．题目难度不大，解决本题的重点是用含 CH的式子表示出 AH 和 BH．17．（ 4 分）如图，正方形ABCD的边长为 8，M 是 AB 的中点， P 是 BC边上的动点，连结 PM，以点 P 为圆心， PM 长为半径作⊙ P．当⊙ P 与正方形 ABCD的边相切时， BP的长为 3 或 4．【剖析】分两种情况分别求解：如图 1 中，当⊙ P 与直线 CD 相切时；如图 2 中当⊙ P 与直线 AD 相切时．设切点为 K，连结 PK，则 PK⊥ AD，四边形 PKDC是矩形；【解答】解：如图 1 中，当⊙ P 与直线 CD相切时，设 PC=PM=m．在Rt△PBM 中，∵ PM2=BM2+PB2，∴ x2=42+（8﹣x）2，∴ x=5，∴PC=5， BP=BC﹣PC=8﹣5=3．如图 2 中当⊙ P 与直线 AD 相切时．设切点为K，连结 PK，则 PK⊥AD，四边形PKDC是矩形．∴ PM=PK=CD=2BM，∴ BM=4，PM=8，在 Rt△PBM 中， PB==4．综上所述， BP的长为 3 或 4．【评论】本题考察切线的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的重点是学会用分类议论的思想思虑问题，学会利用参数建立方程解决问题．18．（ 4 分）如图，在菱形 ABCD中， AB=2，∠ B 是锐角， AE⊥BC 于点 E，M 是 AB 的中点，连结MD， ME．若∠ EMD=90°，则 cosB 的值为．【剖析】延伸 DM 交 CB的延伸线于点 H．第一证明 DE=EH，设 BE=x，利用勾股定理建立方程求出 x 即可解决问题．【解答】解：延伸 DM 交 CB的延伸线于点 H．∵四边形 ABCD是菱形，∴AB=BC=AD=2，AD∥CH，∴∠ ADM=∠ H，∵AM=BM，∠ AMD=∠HMB，∴△ ADM≌△ BHM，∴ AD=HB=2，∵EM⊥ DH，∴EH=ED，设BE=x，∵ AE⊥BC，∴ AE ⊥AD ，∴∠ AEB=∠EAD=90°∵ AE 2=AB 2﹣BE 2=DE 2﹣AD 2，∴ 22﹣x 2=（2+x ）2﹣22，∴ x= ﹣ 1 或﹣∴ cosB= =故答案为 ． 【评论】本题考察菱形的性质、勾股定理、线段的垂直均分线的性质、全等三角形的判断和性质等知识， 解题的重点是学会增添常用协助线， 结构全等三角形解决问题，属于中考常考题型．三、解答题（本大题有 8 小题，共 78 分）19．（ 6 分）先化简，再求值：（x ﹣1）2+x （3﹣x ），此中 x=﹣ ．【剖析】第一计算完好平方，再计算单项式乘以多项式，再归并同类项，化简后再把 x 的值代入即可．【解答】 解：原式 =x 2﹣ 2x+1+3x ﹣x 2=x+1，当 x=﹣ 时，原式 =﹣ +1= ．【评论】本题主要考察了整式的混淆运算﹣﹣化简求值， 重点是先按运算次序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．20．（ 8 分）在 5×3 的方格纸中，△ ABC 的三个极点都在格点上．（ 1）在图 1 中画出线段 BD ，使 BD ∥ AC ，此中 D 是格点；（ 2）在图 2 中画出线段 BE ，使 BE ⊥AC ，此中 E 是格点．﹣1（舍弃）， ，【剖析】（1）将线段 AC 沿着 AB 方向平移 2 个单位，即可获得线段BD；（2）利用 2×3 的长方形的对角线，即可获得线段BE⊥AC．【解答】解：（1）如下图，线段 BD 即为所求；（ 2）如下图，线段BE即为所求．【评论】本题主要考察了作图以及平行四边形的性质，第一要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，联合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．21．（ 8 分）在第 23 个世界念书日前夜，我市某中学为认识本校学生的每周课外阅读时间（用 t 表示，单位：小时），采纳随机抽样的方法进行问卷检查，检查结果按0≤ t＜2，2≤t ＜3，3≤ t ＜4，t≥4 分为四个等级，并挨次用 A，B，C，D表示，依据检查结果统计的数据，绘制成了如下图的两幅不完好的统计图，由图中给出的信息解答以下问题：（1）求本次检查的学生人数；（2）求扇形统计图中等级 B 所在扇形的圆心角度数，并把条形统计图增补完好；（3）若该校共有学生1200 人，试预计每周课外阅读时间知足3≤t＜ 4 的人数．【剖析】（1）由条形图、扇形图中给出的级别A 的数字，可计算出检查学生人数；（2）先计算出 C 在扇形图中的百分比，用 1﹣ [ （A+D+C）在扇形图中的百分比 ]第19页（共 28页）（3）总人数×课外阅读时间知足 3≤ t ＜4 的百分比即得所求．【解答】解：（1）由条形图知， A 级的人数为 20 人，由扇形图知： A 级人数占总检查人数的 10%因此： 20÷10%=20×=200（人）即本次检查的学生人数为200 人；（ 2）由条形图知： C 级的人数为 60 人因此 C 级所占的百分比为：× 100%=30%，B 级所占的百分比为： 1﹣10%﹣ 30%﹣45%=15%，B 级的人数为 200× 15%=30（人）D 级的人数为： 200× 45%=90（人）B 所在扇形的圆心角为： 360°×15%=54°．（ 3）因为 C 级所占的百分比为30%，因此全校每周课外阅读时间知足3≤t＜ 4 的人数为： 1200×30%=360（人）答：全校每周课外阅读时间知足3≤t＜ 4 的约有 360 人．【评论】本题考察了扇形图和条形图的有关知识．题目难度不大．扇形图中某项的百分比 = ×100%，扇形图中某项圆心角的度数 =360°×该项在扇形图中的百分比．22．（ 10 分）已知抛物线y=﹣x2+bx+c 经过点（1，0），（0，）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）将抛物线 y=﹣ x2+bx+c 平移，使其极点恰巧落在原点，请写出一种平移的第20页（共 28页）方法及平移后的函数表达式．【剖析】（1）把已知点的坐标代入抛物线分析式求出 b 与 c 的值即可；（ 2）指出知足题意的平移方法，并写出平移后的分析式即可．【解答】解：（1）把（ 1，0），（ 0，）代入抛物线分析式得：，解得：，则抛物线分析式为y=﹣x2﹣x+；（ 2）抛物线分析式为y=﹣x2﹣x+ =﹣（x+1）2+2，将抛物线向右平移一个单位，向下平移 2 个单位，分析式变为y=﹣x2．【评论】本题考察了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特点，以及待定系数法求二次函数分析式，娴熟掌握二次函数性质是解本题的重点．23．（ 10 分）如图，在△ ABC中，∠ ACB=90°，AC=BC， D 是 AB 边上一点（点 D与A，B 不重合），连结 CD，将线段 CD绕点 C 按逆时针方向旋转 90°获得线段CE，连结 DE 交 BC于点 F，连结 BE．（ 1）求证：△ ACD≌△ BCE；（ 2）当 AD=BF时，求∠ BEF的度数．【剖析】（1）由题意可知： CD=CE，∠ DCE=90°，因为∠ ACB=90°，因此∠ ACD=∠ACB﹣∠ DCB，∠ BCE=∠DCE﹣∠ DCB，因此∠ ACD=∠BCE，从而可证明△ ACD≌△ BCE（SAS）（2）由△ ACD≌△ BCE（SAS）可知：∠ A=∠ CBE=45°，BE=BF，从而可求出∠ BEF的度数．【解答】解：（1）由题意可知： CD=CE，∠ DCE=90°，∵∠ ACB=90°，∴∠ ACD=∠ACB﹣∠ DCB，∠BCE=∠DCE﹣∠DCB，∴∠ ACD=∠BCE，在△ ACD与△ BCE中，∴△ ACD≌△ BCE（SAS）（2）∵∠ ACB=90°，AC=BC，∴∠ A=45°，由（ 1）可知：∠A=∠CBE=45°，∵ AD=BF，∴ BE=BF，∴∠°【评论】本题考察全等三角形的判断与性质，解题的重点是娴熟运用旋转的性质以及全等三角形的判断与性质，本题属于中等题型．24．（ 10 分）某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000 元，乙种商品共用了 2400 元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8 元，且购进的甲、乙两种商品件数同样．（ 1）求甲、乙两种商品的每件进价；（ 2）该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60 元，乙种商品的销售单价为88 元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售必定数目后，将节余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变．要使两种商品所有售完后共赢利许多于2460 元，问甲种商品按原销售单价起码销售多少件？【剖析】（1）设甲种商品的每件进价为 x 元，乙种商品的每件进价为 y 元．依据“某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了 2000 元，乙种商品共用了 2400元．购进的甲、乙两种商品件数同样”列出方程；（2）设甲种商品按原销售单价销售 a 件，则由“两种商品所有售完后共赢利许多于 2460 元”列出不等式．【解答】解：（1）设甲种商品的每件进价为x 元，则乙种商品的每件进价为（x+8）元．依据题意，得，=，解得 x=40．经查验， x=40是原方程的解．答：甲种商品的每件进价为40 元，乙种商品的每件进价为48 元；（ 2）甲乙两种商品的销售量为=50．设甲种商品按原销售单价销售 a 件，则（60﹣40）a+（ 60×﹣40）（50﹣a）+（88﹣ 48）× 50≥2460，解得 a≥20．答：甲种商品按原销售单价起码销售 20 件．【评论】本题考察了分式方程的应用，一元一次不等式的应用．本题属于商品销售中的收益问题，关于此类问题，隐含着一个等量关系：收益=售价﹣进价．25．（ 12 分）若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比率三角形．（ 1）已知△ ABC 是比率三角形， AB=2， BC=3，请直接写出所有知足条件的 AC的长；（2）如图 1，在四边形 ABCD中，AD∥BC，对角线 BD 均分∠ ABC，∠BAC=∠ADC．求证：△ ABC是比率三角形．（ 3）如图 2，在（ 2）的条件下，当∠ ADC=90°时，求的值．【剖析】（1）依据比率三角形的定义分 AB2=BC?AC、BC2=AB?AC、AC2=AB?BC 三种状况分别代入计算可得；（2）先证△ ABC∽△ DCA得 CA2=BC?AD，再由∠ ADB=∠CBD=∠ABD 知 AB=AD即可得；（3）作 AH⊥BD，由 AB=AD知 BH= BD，再证△ ABH∽△ DBC得 AB?BC=BH?DB，2222，据此可得答案．即 AB?BC= BD ，联合 AB?BC=AC知BD =AC【解答】解：（1）∵△ ABC是比率三角形，且AB=2、AC=3，①当 AB2时，得：，解得：AC=；=BC?AC4=3AC②当 BC2时，得：，解得：AC=；=AB?AC9=2AC③当 AC2时，得：，解得：AC=（负值舍去）；=AB?BC AC=6因此当 AC= 或或时，△ ABC是比率三角形；（2）∵AD∥BC，∴∠ACB=∠CAD，又∵∠BAC=∠ADC，∴△ ABC∽△ DCA，∴ = ，即 CA2=BC?AD，∵AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，∵BD均分∠ABC，∴∠ ABD=∠CBD，∴∠ ADB=∠ABD，∴AB=AD，∴CA2=BC?AB，∴△ ABC是比率三角形；（ 3）如图，过点 A 作 AH⊥BD 于点 H，∵AB=AD，∴ BH= BD，∵AD∥BC，∠ ADC=90°，∴∠ BCD=90°，∴∠ BHA=∠BCD=90°，又∵∠ ABH=∠DBC，∴△ ABH∽△ DBC，∴= ，即 AB?BC=BH?DB，∴AB?BC= BD2，又∵ AB?BC=AC2，∴BD2=AC2，∴= ．【评论】本题主要考察相像三角形的综合问题，解题的重点是理解比率三角形的定义，并娴熟掌握相像三角形的判断与性质．26．（ 14 分）如图 1，直线 l：y=﹣x+b 与 x 轴交于点 A（4，0），与 y 轴交于点B，点 C 是线段 OA 上一动点（ 0＜ AC＜）．以点 A 为圆心， AC长为半径作⊙ A 交 x 轴于另一点 D，交线段 AB 于点 E，连结 OE并延伸交⊙ A 于点 F．（ 1）求直线 l 的函数表达式和tan ∠BAO的值；（2）如图2，连结CE，当CE=EF时，①求证：△ OCE∽△ OEA；②求点 E的坐标；（3）当点 C 在线段 OA 上运动时，求 OE?EF的最大值．【剖析】（1）利用待定系数法求出 b 即可得出直线 l 表达式，即可求出 OA，OB，即可得出结论；（2）①先判断出∠ CDF=2∠CDE，从而得出∠ OAE=∠ODF，即可得出结论；②设出 EM=3m，AM=4m，从而得出点 E 坐标，即可得出 OE 的平方，再依据①的相像得出比率式得出 OE的平方，成立方程即可得出结论；（3）利用面积法求出 OG，从而得出 AG，HE，再结构相像三角形，即可得出结论．【解答】解：∵直线 l：y=﹣ x+b 与 x 轴交于点 A（4，0），∴﹣×4+b=0，∴b=3，∴直线 l 的函数表达式 y=﹣x+3，∴B（ 0， 3），∴OA=4，OB=3，在Rt△AOB中， tan∠ BAO= = ；（2）①如图 2，连结 DF，∵ CE=EF，∴∠ CDE=∠FDE，∴∠ CDF=2∠ CDE，∵∠ OAE=2∠CDE，∴∠ OAE=∠ODF，∵四边形CEFD是⊙O 的圆内接四边形，∴∠ OEC=∠ODF，∴∠ OEC=∠OAE，∵∠ COE=∠EOA，∴△ COE∽△ EOA，②过点 E⊥ OA于 M ，由①知， tan∠ OAB= ，设EM=3m，则AM=4m，∴ OM=4﹣4m，AE=5m，∴ E（ 4﹣ 4m， 3m），AC=5m，∴OC=4﹣5m，由①知，△ COE∽△ EOA，∴，∴2OE =OA?OC=4（ 4﹣ 5m） =16﹣20m，∵E（ 4﹣ 4m， 3m），∴（ 4﹣4m）2+9m2=25m2﹣32m+16，∴25m2﹣ 32m+16=16﹣20m，∴m=0（舍）或 m= ，∴4﹣ 4m= ，3m= ，∴（，），（3）如图，设⊙ O 的半径为 r，过点 O 作 OG⊥AB 于 G，∵ A（ 4， 0），B（0，3），∴ OA=4，OB=3，∴ AB=5，∴ AB×OG= OA× OB，∴OG= ，∴ AG==×=，∴EG=AG﹣ AE= ﹣ r，连结 FH，∵ EH是⊙ O 直径，∴EH=2r，∠ EFH=90°=∠EGO，∵∠ OEG=∠HEF，∴△ OEG∽△ HEF，∴，∴ OE?EF=HE?EG=2r（﹣r）=﹣2（r﹣）2+，∴r= 时， OE?EF最大值为．【评论】本题是圆的综合题，主要考察了待定系数法，相像三角形的判断和性质，锐角三角函数，勾股定理，正确作出协助线是解本题的重点．。
2018浙江宁波市中考数学试题和答案与解析
WORD 格式编辑整理2018 年浙江省宁波市中考数学试卷一、选择题（每小题 4 分，共 48 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（4 分）在﹣ 3，﹣ 1，0，1 这四个数中，最小的数是（）A．﹣ 3 B．﹣1 C．0D．12．（4 分） 2018 中国（宁波）特色文化产业博览会于 4 月 16 日在宁波国际会展中心闭幕．本次博览会为期四天，参观总人数超 55 万人次，其中 55 万用科学记数法表示为（）A．0.55×106B．5.5×105C．5.5×104 D．55×1043．（4 分）下列计算正确的是（）3+a33．326．6÷a2 3．（3）2 5A．a =2a B a ?a =a C a=a D a=a4．（4 分）有五张背面完全相同的卡片，正面分别写有数字1，2，3，4，5，把这些卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，其正面的数字是偶数的概率为（）A．B．C．D．5．（ 4 分）已知正多边形的一个外角等于40°，那么这个正多边形的边数为（）A．6B．7C．8D．96．（4 分）如图是由 6 个大小相同的立方体组成的几何体，在这个几何体的三视图中，是中心对称图形的是（）A．主视图B．左视图C．俯视图D．主视图和左视图7．（4 分）如图，在 ?ABCD中，对角线 AC与 BD 相交于点 O，E 是边 CD 的中点，连结 OE．若∠ ABC=60°，∠ BAC=80°，则∠ 1 的度数为（）专业知识分享A．50°B．40°C．30°D．20°8．（ 4 分）若一组数据 4，1，7，x，5 的平均数为 4，则这组数据的中位数为（）A．7B．5C．4D．39．（4 分）如图，在△ ABC中，∠ ACB=90°，∠ A=30°，AB=4，以点 B 为圆心， BC长为半径画弧，交边AB 于点 D，则的长为（）A．πB．πC．πD．π10．（ 4 分）如图，平行于x 轴的直线与函数 y=（k1＞0，x＞0），y=（k2＞0，x＞0）的图象分别相交于A，B 两点，点 A 在点 B 的右侧， C 为 x 轴上的一个动点，若△ ABC的面积为 4，则 k1﹣k2的值为（）A．8B．﹣8 C．4D．﹣ 411．（4 分）如图，二次函数 y=ax2+bx 的图象开口向下，且经过第三象限的点P．若点 P 的横坐标为﹣ 1，则一次函数 y=（a﹣b）x+b 的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．12．（ 4 分）在矩形 ABCD 内，将两张边长分别为 a 和 b （ a ＞ b ）的正方形纸片按图 1，图 2 两种方式放置（图 1，图 2 中两张正方形纸片均有部分重叠） ，矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1 中阴影部分的面积为 S 1，图 2 中阴影部分的面积为 S 2．当 AD ﹣AB=2时， S 2﹣S 1 的值为（）A ．2aB ．2bC ．2a ﹣2bD ．﹣ 2b二、填空题（每小题 4 分，共 24 分） 13．（ 4 分）计算： | ﹣2018| = ．14．（ 4 分）要使分式有意义， x 的取值应满足．15．（ 4 分）已知 x ，y 满足方程组，则 x 2﹣4y 2的值为．16．（ 4 分）如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB ，飞机上的测量人员在 C 处测得 A ，B 两点的俯角分别为45°和 30°．若飞机离地面的高度 CH 为1200 米，且点 H ，A ，B 在同一水平直线上， 则这条江的宽度 AB 为米（结果保留根号）．17．（ 4 分）如图，正方形 ABCD的边长为 8，M 是 AB 的中点， P 是 BC边上的动点，连结 PM，以点 P 为圆心， PM 长为半径作⊙ P．当⊙ P 与正方形 ABCD的边相切时， BP的长为．18．（ 4 分）如图，在菱形ABCD中， AB=2，∠ B 是锐角， AE⊥BC 于点 E，M 是AB 的中点，连结MD， ME．若∠ EMD=90°，则 cosB 的值为．三、解答题（本大题有8 小题，共 78 分）219．（ 6 分）先化简，再求值：（x﹣1） +x（3﹣x），其中 x=﹣．（1）在图 1 中画出线段 BD，使 BD∥ AC，其中 D 是格点；（2）在图 2 中画出线段 BE，使 BE⊥AC，其中 E 是格点．21．（ 8 分）在第 23 个世界读书日前夕，我市某中学为了解本校学生的每周课外阅读时间（用 t 表示，单位：小时），采用随机抽样的方法进行问卷调查，调查结果按0≤ t＜2，2≤t ＜3，3≤ t ＜4，t≥4 分为四个等级，并依次用 A，B，C，D表示，根据调查结果统计的数据，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，由图中给出的信息解答下列问题：（ 1）求本次调查的学生人数；（ 2）求扇形统计图中等级 B 所在扇形的圆心角度数， 并把条形统计图补充完整；（ 3）若该校共有学生 1200 人，试估计每周课外阅读时间满足 3≤t ＜ 4 的人数．22．（ 10 分）已知抛物线 y=﹣ x 2+bx+c 经过点（ 1，0），（0，）．（ 1）求该抛物线的函数表达式；（ 2）将抛物线 y=﹣ x 2+bx+c 平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式．23．（ 10 分）如图，在△ ABC 中，∠ ACB=90°，AC=BC ， D 是 AB 边上一点（点 D与 A ，B 不重合），连结 CD ，将线段 CD 绕点 C 按逆时针方向旋转 90°得到线段 CE ，连结 DE 交 BC 于点 F ，连接 BE ．（ 1）求证：△ ACD ≌△ BCE ；（ 2）当 AD=BF 时，求∠ BEF 的度数．24．（ 10 分）某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000 元，乙种商品共用了 2400 元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8 元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．（ 1）求甲、乙两种商品的每件进价；（ 2）该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60 元，专业知识分享甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变．要使两种商品全部售完后共获利不少于2460 元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？25．（ 12 分）若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．（ 1）已知△ ABC 是比例三角形， AB=2， BC=3，请直接写出所有满足条件的 AC 的长；（2）如图 1，在四边形 ABCD中，AD∥BC，对角线 BD 平分∠ ABC，∠BAC=∠ADC．求证：△ ABC是比例三角形．（ 3）如图 2，在（ 2）的条件下，当∠ ADC=90°时，求的值．26．（ 14 分）如图 1，直线 l：y=﹣x+b 与 x 轴交于点 A（4，0），与 y 轴交于点B，点 C 是线段 OA 上一动点（ 0＜ AC＜）．以点 A 为圆心， AC长为半径作⊙ A 交 x 轴于另一点 D，交线段 AB 于点 E，连结 OE并延长交⊙ A 于点 F．（1）求直线 l 的函数表达式和 tan ∠BAO的值；（2）如图2，连结CE，当CE=EF时，①求证：△ OCE∽△ OEA；②求点 E的坐标；（3）当点 C 在线段 OA 上运动时，求 OE?EF的最大值．2018 年浙江省宁波市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题 4 分，共 48 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（4 分）在﹣ 3，﹣ 1，0，1 这四个数中，最小的数是（）A ．﹣ 3B ．﹣1C ．0D ．1【分析】 根据正数大于零，零大于负数，可得答案．【解答】 解：由正数大于零，零大于负数，得﹣ 3＜﹣ 1＜0＜1，最小的数是﹣ 3，故选： A ．【点评】本题考查了有理数比较大小， 利用正数大于零，零大于负数是解题关键．2．（4 分） 2018 中国（宁波）特色文化产业博览会于 4 月 16 日在宁波国际会展中心闭幕．本次博览会为期四天， 参观总人数超 55 万人次，其中 55 万用科学记数法表示为（）A ．0.55×106B ．5.5×105C ．5.5×104D ．55×104【分析】科学记数法的表示形式为a × 10n的形式，其中 1≤| a| ＜ 10，n 为整数．确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞ 1 时， n 是正数；当原数的绝对值＜ 1 时， n是负数．【解答】 解： 550000=5.5× 105，故选： B ．【点评】 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a ×10n的形式，其中 1≤| a| ＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及 n 的值．3．（4 分）下列计算正确的是（）WORD 格式编辑整理3+a 33． 326．6÷a 2 3．（ 3）2 5 A ．a =2aB a ?a =a Ca=aD a =a【分析】根据同底数幂的除法法则， 同底数幂的乘法的运算方法， 合并同类项的方法，以及幂的乘方与积的乘方的运算方法，逐项判定即可．【解答】 解：∵ a 3+a 3=2a 3，∴选项 A 符合题意；∵ a 3?a 2=a 5，∴选项 B 不符合题意；∵ a 6÷a 2=a 4，∴选项 C 不符合题意；∵（ a 3）2=a 6，∴选项 D 不符合题意．故选： A ．【点评】此题主要考查了同底数幂的除法法则， 同底数幂的乘法的运算方法， 合并同类项的方法， 以及幂的乘方与积的乘方的运算方法， 解答此题的关键是要明确：①底数 a ≠0，因为 0 不能做除数；②单独的一个字母，其指数是 1，而不是0；③应用同底数幂除法的法则时，底数a 可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．4．（4 分）有五张背面完全相同的卡片，正面分别写有数字1，2，3，4，5，把这些卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，其正面的数字是偶数的概率为（）A ．B ．C ．D ．【分析】 让正面的数字是偶数的情况数除以总情况数5 即为所求的概率．【解答】解：∵从写有数字 1，2，3，4，5 这 5 张纸牌中抽取一张，其中正面数字是偶数的有 2、4 这 2 种结果，∴正面的数字是偶数的概率为，故选： C．【点评】此题主要考查了概率公式的应用，明确概率的意义是解答的关键，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．5．（ 4 分）已知正多边形的一个外角等于40°，那么这个正多边形的边数为（）A．6B．7C．8D．9【分析】根据正多边形的外角和以及一个外角的度数，求得边数．【解答】解：正多边形的一个外角等于 40°，且外角和为360°，则这个正多边形的边数是： 360°÷ 40°=9．故选： D．【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理，解决问题的关键是掌握多边形的外角和等于 360 度．6．（4 分）如图是由 6 个大小相同的立方体组成的几何体，在这个几何体的三视图中，是中心对称图形的是（）A．主视图B．左视图C．俯视图D．主视图和左视图【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．【解答】解：从上边看是一个田字，“田”字是中心对称图形，故选： C．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图，又利用了中心对称图形．7．（4 分）如图，在 ?ABCD中，对角线 AC与 BD 相交于点 O，E 是边 CD 的中点，连结 OE．若∠ ABC=60°，∠ BAC=80°，则∠ 1 的度数为（）A．50°B．40°C．30°D．20°【分析】直接利用三角形内角和定理得出∠ BCA的度数，再利用三角形中位线定理结合平行线的性质得出答案．【解答】解：∵∠ ABC=60°，∠ BAC=80°，∴∠ BCA=180°﹣ 60°﹣80°=40°，∵对角线 AC与 BD 相交于点 O，E 是边 CD 的中点，∴EO是△ DBC的中位线，∴EO∥BC，∴∠ 1=∠ ACB=40°．故选： B．【点评】此题主要考查了三角形内角和定理、三角形中位线定理等知识，得出EO是△ DBC的中位线是解题关键．8．（ 4 分）若一组数据 4，1，7，x，5 的平均数为 4，则这组数据的中位数为（）A．7B．5C．4D．3【分析】先根据平均数为 4 求出 x 的值，然后根据中位数的概念求解．【解答】解：∵数据 4，1，7，x，5 的平均数为 4，∴=4，解得： x=3，则将数据重新排列为1、3、4、5、7，所以这组数据的中位数为4，故选： C．【点评】本题考查了中位数的概念：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．9．（4 分）如图，在△ ABC中，∠ ACB=90°，∠ A=30°，AB=4，以点 B 为圆心， BC长为半径画弧，交边AB 于点 D，则的长为（）A．πB．πC．πD．π【分析】先根据 ACB=90°，AB=4，∠ A=30°，得圆心角和半径的长，再根据弧长公式可得到弧 CD的长．【解答】解：∵∠ ACB=90°， AB=4，∠ A=30°，∴∠ B=60°，BC=2∴的长为=，故选： C．【点评】本题主要考查了弧长公式的运用和直角三角形30 度角的性质，解题时注意弧长公式为： l=（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）．10．（ 4 分）如图，平行于x 轴的直线与函数 y=（k1＞0，x＞0），y=（k2＞0，x＞0）的图象分别相交于A，B 两点，点 A 在点 B 的右侧， C 为 x 轴上的一个动点，若△ ABC的面积为 4，则 k1﹣k2的值为（）A．8B．﹣8 C．4D．﹣ 4【分析】设A（a，h），B（b，h），根据反比例函数图象上点的坐标特征得出ah=k1，bh=k2．根据三角形的面积公式得到 S△ABC= AB?y A= （a﹣b）h= （ ah﹣bh）=（k1﹣k2）=4，求出 k1﹣k2=8．【解答】解：∵ AB∥x 轴，∴ A， B 两点纵坐标相同．设 A（a，h）， B（ b， h），则 ah=k1，bh=k2．∵ S△ABC= AB?y A= （a﹣b）h= （ah﹣ bh）= （k1﹣ k2）=4，∴k1﹣k2=8．故选： A．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，点在函数的图象上，则点的坐标满足函数的解析式．也考查了三角形的面积．11．（4 分）如图，二次函数 y=ax2+bx 的图象开口向下，且经过第三象限的点P．若点 P 的横坐标为﹣ 1，则一次函数 y=（a﹣b）x+b 的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】根据二次函数的图象可以判断a、b、a﹣b 的正负情况，从而可以得到一次函数经过哪几个象限，本题得以解决．【解答】解：由二次函数的图象可知，a＜0，b＜0，当x=﹣1 时， y=a﹣b＜0，∴y=（a﹣b）x+b 的图象在第二、三、四象限，故选： D．【点评】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用函数的思想解答．12．（ 4 分）在矩形 ABCD内，将两张边长分别为a 和 b（ a＞ b）的正方形纸片按图 1，图 2 两种方式放置（图 1，图 2 中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图 1 中阴影部分的面积为S1，图 2 中阴影部分的面积为S2．当 AD﹣AB=2时， S2﹣S1的值为（）A．2a B．2b C．2a﹣2b D．﹣ 2b【分析】利用面积的和差分别表示出S1和 S2，然后利用整式的混合运算计算它们的差．【解答】解： S1=（AB﹣ a）?a+（CD﹣ b）（AD﹣a）=（AB﹣ a）?a+（ AB﹣b）（AD ﹣ a），S2=AB（ AD﹣ a） +（ a﹣ b）（AB﹣a），∴S2﹣S1=AB（AD﹣a）+（a﹣b）（AB﹣ a）﹣（ AB﹣a）?a﹣（ AB﹣ b）（AD﹣a）=（AD﹣a）（ AB﹣ AB+b） +（ AB﹣a）（a﹣b﹣ a）=b?AD﹣ ab﹣b?AB+ab=b（ AD﹣AB）=2b．故选： B．【点评】本题考查了整式的混合运算：整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来．也考查了正方形的性质．二、填空题（每小题 4 分，共 24 分）13．（ 4 分）计算： | ﹣2018| = 2018．【分析】直接利用绝对值的性质得出答案．【解答】解： | ﹣2018| =2018．故答案为： 2018．【点评】此题主要考查了绝对值，正确把握绝对值的定义是解题关键．14．（ 4 分）要使分式有意义，x的取值应满足x≠1．【分析】直接利用分式有意义则分母不能为零，进而得出答案．【解答】解：要使分式有意义，则：x﹣1≠0．解得： x≠1，故 x 的取值应满足： x≠ 1．故答案为： x≠ 1．【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键．15．（ 4 分）已知 x，y 满足方程组，则x2﹣4y2的值为﹣8．【分析】根据平方差公式即可求出答案．【解答】解：原式 =（ x+2y）（x﹣2y）=﹣3×5=﹣15故答案为：﹣ 15【点评】本题考查因式分解，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．16．（ 4 分）如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度 AB，飞机上的测量人员在 C 处测得 A，B 两点的俯角分别为 45°和 30°．若飞机离地面的高度 CH为1200 米，且点 H，A，B 在同一水平直线上，则这条江的宽度 AB 为1200（﹣1）米（结果保留根号）．【分析】在 Rt△ ACH和 Rt△HCB中，利用锐角三角函数，用 CH 表示出 AH、BH 的长，然后计算出AB 的长．【解答】解：由于 CD∥HB，∴∠ CAH=∠ACD=45°，∠ B=∠BCD=30°在 Rt△ACH中，∵∴∠ CAH=45°∴ AH=CH=1200米，在 Rt△HCB，∵ tan∠B=∴HB====1200 （米）．∴AB=HB﹣ HA=1200 ﹣ 1200=1200（﹣1）米故答案为： 1200（﹣1）【点评】本题考查了锐角三角函数的仰角、俯角问题．题目难度不大，解决本题的关键是用含 CH的式子表示出 AH 和 BH．17．（ 4 分）如图，正方形ABCD的边长为 8，M 是 AB 的中点， P 是 BC边上的动点，连结 PM，以点 P 为圆心， PM 长为半径作⊙ P．当⊙ P 与正方形 ABCD的边相切时， BP的长为 3 或 4．【分析】分两种情形分别求解：如图 1 中，当⊙ P 与直线 CD 相切时；如图 2 中当⊙ P 与直线 AD 相切时．设切点为 K，连接 PK，则 PK⊥ AD，四边形 PKDC是矩形；【解答】解：如图 1 中，当⊙ P 与直线 CD相切时，设 PC=PM=m．在Rt△PBM 中，∵ PM2=BM2+PB2，∴ x2=42+（8﹣x）2，∴ x=5，∴PC=5， BP=BC﹣PC=8﹣5=3．如图 2 中当⊙ P 与直线 AD 相切时．设切点为K，连接 PK，则 PK⊥AD，四边形PKDC是矩形．∴ PM=PK=CD=2BM，∴ BM=4，PM=8，在 Rt△PBM 中， PB==4．综上所述， BP的长为 3 或 4．【点评】本题考查切线的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．18．（ 4 分）如图，在菱形 ABCD中， AB=2，∠ B 是锐角， AE⊥BC 于点 E，M 是 AB 的中点，连结MD， ME．若∠ EMD=90°，则 cosB 的值为．【分析】延长 DM 交 CB的延长线于点 H．首先证明 DE=EH，设 BE=x，利用勾股定理构建方程求出 x 即可解决问题．【解答】解：延长 DM 交 CB的延长线于点 H．∵四边形 ABCD是菱形，∴AB=BC=AD=2，AD∥CH，∴∠ ADM=∠ H，∵AM=BM，∠ AMD=∠HMB，∴△ ADM≌△ BHM，∴AD=HB=2，∵ EM⊥ DH，∴EH=ED，设BE=x，∵ AE⊥BC，WORD 格式 编辑整理∴ AE ⊥AD ，∴∠ AEB=∠EAD=90°∵ AE 2=AB 2﹣BE 2=DE 2﹣AD 2，∴ 22﹣x 2=（2+x ）2﹣22，∴ x= ﹣ 1 或﹣ ∴ cosB= = 故答案为．【点评】本题考查菱形的性质、勾股定理、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质等知识， 解题的关键是学会添加常用辅助线， 构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．三、解答题（本大题有 8 小题，共 78 分）19．（ 6 分）先化简，再求值：（x ﹣1）2+x （3﹣x ），其中 x=﹣ ．【分析】首先计算完全平方，再计算单项式乘以多项式，再合并同类项，化简后再把 x 的值代入即可．【解答】 解：原式 =x 2﹣ 2x+1+3x ﹣x 2=x+1，【点评】此题主要考查了整式的混合运算﹣﹣化简求值， 关键是先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．20．（ 8 分）在 5×3 的方格纸中，△ ABC 的三个顶点都在格点上．（ 1）在图 1 中画出线段 BD ，使 BD ∥ AC ，其中 D 是格点；（ 2）在图 2 中画出线段 BE ，使 BE ⊥AC ，其中 E 是格点．﹣1（舍弃），，WORD 格式编辑整理【分析】（1）将线段 AC 沿着 AB 方向平移 2 个单位，即可得到线段BD；（2）利用 2×3 的长方形的对角线，即可得到线段BE⊥AC．【解答】解：（1）如图所示，线段 BD 即为所求；（ 2）如图所示，线段BE即为所求．【点评】本题主要考查了作图以及平行四边形的性质，首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．21．（ 8 分）在第 23 个世界读书日前夕，我市某中学为了解本校学生的每周课外阅读时间（用 t 表示，单位：小时），采用随机抽样的方法进行问卷调查，调查结果按0≤ t＜2，2≤t ＜3，3≤ t ＜4，t≥4 分为四个等级，并依次用 A，B，C，D表示，根据调查结果统计的数据，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，由图中给出的信息解答下列问题：（1）求本次调查的学生人数；（2）求扇形统计图中等级 B 所在扇形的圆心角度数，并把条形统计图补充完整；（3）若该校共有学生1200 人，试估计每周课外阅读时间满足3≤t＜ 4 的人数．【分析】（1）由条形图、扇形图中给出的级别A 的数字，可计算出调查学生人数；（2）先计算出 C 在扇形图中的百分比，用 1﹣ [ （A+D+C）在扇形图中的百分比 ]专业知识分享WORD 格式编辑整理（ 3）总人数×课外阅读时间满足 3≤ t ＜4 的百分比即得所求．【解答】 解：（1）由条形图知， A 级的人数为 20 人，由扇形图知： A 级人数占总调查人数的 10%所以： 20÷10%=20×=200（人）即本次调查的学生人数为 200 人；（ 2）由条形图知： C 级的人数为 60 人所以 C 级所占的百分比为：× 100%=30%，B 级所占的百分比为： 1﹣10%﹣ 30%﹣45%=15%，B 级的人数为 200× 15%=30（人）D 级的人数为： 200× 45%=90（人）B 所在扇形的圆心角为： 360°×15%=54°．（ 3）因为 C 级所占的百分比为 30%，所以全校每周课外阅读时间满足3≤t ＜ 4 的人数为： 1200×30%=360（人）答：全校每周课外阅读时间满足3≤t ＜ 4 的约有 360 人．【点评】本题考查了扇形图和条形图的相关知识．题目难度不大． 扇形图中某项的百分比 = ×100%，扇形图中某项圆心角的度数 =360°×该项在扇形图中的百分比．22．（ 10 分）已知抛物线 y=﹣ x 2+bx+c 经过点（ 1，0），（0，）．（ 1）求该抛物线的函数表达式；（ 2）将抛物线 y=﹣ x 2+bx+c 平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的专业知识分享方法及平移后的函数表达式．【分析】（1）把已知点的坐标代入抛物线解析式求出b 与c 的值即可；（ 2）指出满足题意的平移方法，并写出平移后的解析式即可．【解答】 解：（1）把（ 1，0），（ 0， ）代入抛物线解析式得： ，解得：，则抛物线解析式为 y=﹣ x 2﹣x+ ；（ 2）抛物线解析式为 y=﹣ x 2﹣x+ =﹣ （ x+1）2+2，将抛物线向右平移一个单位，向下平移2 个单位，解析式变为 y=﹣ x 2．【点评】此题考查了二次函数图象与几何变换， 二次函数的性质， 二次函数图象上点的坐标特征， 以及待定系数法求二次函数解析式， 熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．23．（ 10 分）如图，在△ ABC 中，∠ ACB=90°，AC=BC ， D 是 AB 边上一点（点 D与 A ，B 不重合），连结 CD ，将线段 CD 绕点 C 按逆时针方向旋转 90°得到线段CE ，连结 DE 交 BC 于点 F ，连接 BE ． （ 1）求证：△ ACD ≌△ BCE ；（ 2）当 AD=BF 时，求∠ BEF 的度数．【分析】（1）由题意可知： CD=CE ，∠ DCE=90°，由于∠ ACB=90°，所以∠ ACD=∠ ACB ﹣∠ DCB ，∠ BCE=∠DCE ﹣∠ DCB ，所以∠ ACD=∠BCE ，从而可证明△ ACD≌△ BCE （SAS ）（ 2）由△ ACD ≌△ BCE （SAS ）可知：∠ A=∠ CBE=45°，BE=BF ，从而可求出∠ BEF的度数．【解答】解：（1）由题意可知： CD=CE，∠ DCE=90°，∵∠ ACB=90°，∴∠ ACD=∠ACB﹣∠ DCB，∠BCE=∠DCE﹣∠DCB，∴∠ ACD=∠BCE，在△ ACD与△ BCE中，∴△ ACD≌△ BCE（SAS）（2）∵∠ ACB=90°，AC=BC，∴∠ A=45°，由（ 1）可知：∠A=∠CBE=45°，∵ AD=BF，∴ BE=BF，∴∠ BEF=67.5°【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用旋转的性质以及全等三角形的判定与性质，本题属于中等题型．24．（ 10 分）某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000 元，乙种商品共用了 2400 元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8 元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．（ 1）求甲、乙两种商品的每件进价；（ 2）该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60 元，乙种商品的销售单价为88 元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变．要使两种商品全部售完后共获利不少于2460 元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？【分析】（1）设甲种商品的每件进价为 x 元，乙种商品的每件进价为 y 元．根据“某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了 2000 元，乙种商品共用了 2400元．购进的甲、乙两种商品件数相同”列出方程；（2）设甲种商品按原销售单价销售 a 件，则由“两种商品全部售完后共获利不少于 2460 元”列出不等式．【解答】解：（1）设甲种商品的每件进价为x 元，则乙种商品的每件进价为（x+8）元．根据题意，得，=，解得 x=40．经检验， x=40是原方程的解．答：甲种商品的每件进价为40 元，乙种商品的每件进价为48 元；（ 2）甲乙两种商品的销售量为=50．设甲种商品按原销售单价销售 a 件，则（60﹣40）a+（ 60×0.7﹣40）（50﹣a）+（88﹣ 48）× 50≥2460，解得 a≥20．答：甲种商品按原销售单价至少销售 20 件．【点评】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用．本题属于商品销售中的利润问题，对于此类问题，隐含着一个等量关系：利润=售价﹣进价．25．（ 12 分）若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．（ 1）已知△ ABC 是比例三角形， AB=2， BC=3，请直接写出所有满足条件的 AC的长；（2）如图 1，在四边形 ABCD中，AD∥BC，对角线 BD 平分∠ ABC，∠BAC=∠ADC．求证：△ ABC是比例三角形．（ 3）如图 2，在（ 2）的条件下，当∠ ADC=90°时，求的值．【分析】（1）根据比例三角形的定义分 AB 2=BC?AC 、BC 2=AB?AC 、AC 2=AB?BC 三种情况分别代入计算可得；（ 2）先证△ ABC ∽△ DCA 得 CA 2=BC?AD ，再由∠ ADB=∠CBD=∠ABD 知 AB=AD 即可得；（ 3）作 AH ⊥BD ，由 AB=AD 知 BH= BD ，再证△ ABH ∽△ DBC 得 AB?BC=BH?DB ，2 2 2 2，据此可得答案．即 AB?BC= BD ，结合 AB?BC=AC 知 BD =AC 【解答】 解：（1）∵△ ABC 是比例三角形，且 AB=2、AC=3，①当 AB 2时，得： ，解得：AC= ； =BC?AC 4=3AC ②当 BC 2时，得： ，解得：AC= ； =AB?AC 9=2AC ③当 AC 2时，得： ，解得： AC= （负值舍去）；=AB?BC AC=6 所以当 AC= 或或时，△ ABC 是比例三角形；（ 2）∵ AD ∥ BC ， ∴∠ ACB=∠CAD ，又∵∠ BAC=∠ADC ， ∴△ ABC ∽△ DCA ，∴ = ，即 CA 2=BC?AD ，∵ AD ∥BC ， ∴∠ADB=∠CBD ，∵ BD 平分∠ ABC ， ∴∠ ABD=∠CBD ， ∴∠ ADB=∠ABD ， ∴ AB=AD ，∴ CA 2=BC?AB ，∴△ ABC 是比例三角形；（ 3）如图，过点 A 作 AH ⊥BD 于点 H ，∵ AB=AD ，∴ BH= BD ，∵ AD ∥BC ，∠ ADC=90°， ∴∠ BCD=90°，∴∠ BHA=∠BCD=90°，又∵∠ ABH=∠DBC ，∴△ ABH ∽△ DBC ，∴ = ，即 AB?BC=BH?DB ，∴ AB?BC= BD 2，2又∵ AB?BC=AC ，∴ BD 2=AC 2，∴= ．【点评】本题主要考查相似三角形的综合问题， 解题的关键是理解比例三角形的定义，并熟练掌握相似三角形的判定与性质．26．（ 14 分）如图 1，直线 l ：y=﹣x+b 与 x 轴交于点 A （4，0），与 y 轴交于点B ，点C 是线段 OA 上一动点（ 0＜ AC ＜ ）．以点 A 为圆心， AC 长为半径作⊙ A 交 x 轴于另一点D ，交线段 AB 于点E ，连结 OE 并延长交⊙ A 于点F ．（ 1）求直线 l 的函数表达式和 tan ∠BAO 的值；（2）如图2，连结CE，当CE=EF时，①求证：△ OCE∽△ OEA；②求点 E的坐标；（3）当点 C 在线段 OA 上运动时，求 OE?EF的最大值．【分析】（1）利用待定系数法求出 b 即可得出直线 l 表达式，即可求出 OA，OB，即可得出结论；（2）①先判断出∠ CDF=2∠CDE，进而得出∠ OAE=∠ODF，即可得出结论；②设出 EM=3m，AM=4m，进而得出点 E 坐标，即可得出 OE 的平方，再根据①的相似得出比例式得出 OE的平方，建立方程即可得出结论；（3）利用面积法求出 OG，进而得出 AG，HE，再构造相似三角形，即可得出结论．【解答】解：∵直线 l：y=﹣ x+b 与 x 轴交于点 A（4，0），∴﹣×4+b=0，∴b=3，∴直线 l 的函数表达式 y=﹣x+3，∴B（0，3），∴OA=4，OB=3，在Rt△AOB中， tan∠ BAO= = ；（2）①如图 2，连接 DF，∵ CE=EF，∴∠ CDE=∠FDE，∴∠ CDF=2∠ CDE，∵∠ OAE=2∠CDE，∴∠ OAE=∠ODF，∵四边形CEFD是⊙O 的圆内接四边形，∴∠ OEC=∠ODF，∴∠ OEC=∠OAE，∵∠ COE=∠EOA，WORD 格式编辑整理∴△ COE∽△ EOA，②过点 E⊥OA于 M，由①知， tan∠ OAB= ，设EM=3m，则AM=4m，∴ OM=4﹣4m，AE=5m，∴ E（ 4﹣ 4m， 3m），AC=5m，∴OC=4﹣5m，由①知，△ COE∽△ EOA，∴，2∴ OE =OA?OC=4（ 4﹣ 5m） =16﹣20m，∵ E（ 4﹣ 4m， 3m），∴（ 4﹣4m）2+9m2=25m2﹣32m+16，∴25m 2﹣ 32m+16=16﹣20m，∴m=0（舍）或 m= ，∴4﹣ 4m= ，3m= ，∴（，），（3）如图，设⊙ O 的半径为 r，过点 O 作 OG⊥AB 于 G，∵A（4，0），B（0，3），∴ OA=4，OB=3，∴ AB=5，∴ AB×OG= OA× OB，∴OG= ，∴AG==×=，∴EG=AG﹣ AE= ﹣ r，连接 FH，∵ EH是⊙ O 直径，专业知识分享WORD 格式编辑整理∴EH=2r，∠ EFH=90°=∠EGO，∵∠ OEG=∠HEF，∴△ OEG∽△ HEF，∴，∴ OE?EF=HE?EG=2r（﹣r）=﹣2（r﹣）2+，∴r= 时， OE?EF最大值为．【点评】此题是圆的综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理，正确作出辅助线是解本题的关键．工程部维修工的岗位职责1、严格遵守公司员工守则和各项规章制度，服从领班安排，除完成日常维修任务外，有计划地承担其它工作任务; 2 、努力学习技术，熟练掌握现有电气设备的原理及实际操作与维修; 3、积极协调配电工的工作，出现事故时无条件地迅速返回机房，听从领班的指挥; 4、招待执行所管辖设备的检修计划，按时按质按量地完成，并填好记录表格;5 、严格执行设备管理制度，做好日夜班的交接班工作;6 、交班时发生故障，上一班必须协同下一班排队故障后才能下班，配电设备发生事故时不得离岗;7 、请假、补休需在一天前报告领班，并由领班安排合适的替班人.专业知识分享。
浙江省宁波市2018年中考数学试题(带解析)-精编.docx
2018年浙江省宁波市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共48分）1.在−3，−1，0，1这四个数中，最小的数是()A. −3B. −1C. 0D. 1【答案】A【解析】解：由正数大于零，零大于负数，得−3<−1<0<1，最小的数是−3，故选：A．根据正数大于零，零大于负数，可得答案．本题考查了有理数比较大小，利用正数大于零，零大于负数是解题关键．2.2018中国(宁波)特色文化产业博览会于4月16日在宁波国际会展中心闭幕.本次博览会为期四天，参观总人数超55万人次，其中55万用科学记数法表示为()A. 0.55×106B. 5.5×105C. 5.5×104D. 55×104【答案】B【解析】解：550000=5.5×105，故选：B．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3.下列计算正确的是()A. a3+a3=2a3B. a3⋅a2=a6C. a6÷a2=a3D. (a3)2=a5【答案】A【解析】解：∵a3+a3=2a3，∴选项A符合题意；∵a3⋅a2=a5，∴选项B不符合题意；∵a6÷a2=a4，∴选项C不符合题意；∵(a3)2=a6，∴选项D不符合题意．故选：A．根据同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法的运算方法，合并同类项的方法，以及幂的乘方与积的乘方的运算方法，逐项判定即可．此题主要考查了同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法的运算方法，合并同类项的方法，以及幂的乘方与积的乘方的运算方法，解答此题的关键是要明确：①底数a≠0，因为0不能做除数；②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．4.有五张背面完全相同的卡片，正面分别写有数字1，2，3，4，5，把这些卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，其正面的数字是偶数的概率为()A. 45B. 35C. 25D. 15【答案】C【解析】解：∵从写有数字1，2，3，4，5这5张纸牌中抽取一张，其中正面数字是偶数的有2、4这2种结果，∴正面的数字是偶数的概率为25，故选：C．让正面的数字是偶数的情况数除以总情况数5即为所求的概率．此题主要考查了概率公式的应用，明确概率的意义是解答的关键，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．5.已知正多边形的一个外角等于40∘，那么这个正多边形的边数为()A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】D【解析】解：正多边形的一个外角等于40∘，且外角和为360∘，则这个正多边形的边数是：360∘÷40∘=9．故选：D．根据正多边形的外角和以及一个外角的度数，求得边数．本题主要考查了多边形的外角和定理，解决问题的关键是掌握多边形的外角和等于360度．6.如图是由6个大小相同的立方体组成的几何体，在这个几何体的三视图中，是中心对称图形的是()A. 主视图B. 左视图C. 俯视图D. 主视图和左视图【答案】C【解析】解：从上边看是一个田字，“田”字是中心对称图形，故选：C．根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图，又利用了中心对称图形．7.如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，连结OE.若∠ABC=60∘，∠BAC=80∘，则∠1的度数为()A. 50∘B. 40∘C. 30∘D.20∘【答案】B【解析】解：∵∠ABC=60∘，∠BAC=80∘，∴∠BCA=180∘−60∘−80∘=40∘，∵对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，∴EO是△DBC的中位线，∴EO//BC，∴∠1=∠ACB=40∘．故选：B．直接利用三角形内角和定理得出∠BCA的度数，再利用三角形中位线定理结合平行线的性质得出答案．此题主要考查了三角形内角和定理、三角形中位线定理等知识，得出EO是△DBC的中位线是解题关键．8. 若一组数据4，1，7，x ，5的平均数为4，则这组数据的中位数为( )A. 7B. 5C. 4D. 3【答案】C【解析】解：∵数据4，1，7，x ，5的平均数为4， ∴4+1+7+x+55=4， 解得：x =3， 则将数据重新排列为1、3、4、5、7，所以这组数据的中位数为4，故选：C ．先根据平均数为4求出x 的值，然后根据中位数的概念求解．本题考查了中位数的概念：将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．9. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90∘，∠A =30∘，AB =4，以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交边AB 于点D ，则CD ⌢的长为( )A. 16πB. 13πC. 23πD. 2√33π 【答案】C【解析】解：∵∠ACB =90∘，AB =4，∠A =30∘，∴∠B =60∘，BC =2 ∴CD ⌢的长为60π×2180=2π3，故选：C ．先根据ACB =90∘，AB =4，∠A =30∘，得圆心角和半径的长，再根据弧长公式可得到弧CD 的长．本题主要考查了弧长公式的运用和直角三角形30度角的性质，解题时注意弧长公式为：l =nπR 180(弧长为l ，圆心角度数为n ，圆的半径为R)．10. 如图，平行于x 轴的直线与函数y =k 1x (k 1>0,x >0)，y =k2x (k 2>0,x >0)的图象分别相交于A ，B 两点，点A 在点B 的右侧，C 为x 轴上的一个动点，若△ABC 的面积为4，则k 1−k 2的值为( )A. 8B. −8C. 4D. −4【答案】A 【解析】解：∵AB//x 轴，∴A ，B 两点纵坐标相同．设A(a,ℎ)，B(b,ℎ)，则aℎ=k 1，bℎ=k 2．∵S △ABC =12AB ⋅y A =12(a −b)ℎ=12(aℎ−bℎ)=12(k 1−k 2)=4，∴k 1−k 2=8．故选：A ．设A(a,ℎ)，B(b,ℎ)，根据反比例函数图象上点的坐标特征得出aℎ=k 1，bℎ=k 2.根据三角形的面积公式得到S △ABC =12AB ⋅y A =12(a −b)ℎ=12(aℎ−bℎ)=12(k 1−k 2)=4，求出k 1−k 2=8．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，点在函数的图象上，则点的坐标满足函数的解析式.也考查了三角形的面积．11.如图，二次函数y=ax2+bx的图象开口向下，且经过第三象限的点P.若点P的横坐标为−1，则一次函数y=(a−b)x+b的图象大致是()A.B.C.D.【答案】D【解析】解：由二次函数的图象可知，a<0，b<0，当x=−1时，y=a−b<0，∴y=(a−b)x+b的图象在第二、三、四象限，故选：D．根据二次函数的图象可以判断a、b、a−b的正负情况，从而可以得到一次函数经过哪几个象限，本题得以解决．本题考查二次函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用函数的思想解答．12.在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b(a>b)的正方形纸片按图1，图2两种方式放置(图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠)，矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2.当AD−AB=2时，S2−S1的值为()A. 2aB. 2bC. 2a−2bD. −2b【答案】B【解析】解：S 1=(AB −a)⋅a +(CD −b)(AD −a)=(AB −a)⋅a +(AB −b)(AD −a)，S 2=AB(AD −a)+(a −b)(AB −a)，∴S 2−S 1=AB(AD −a)+(a −b)(AB −a)−(AB −a)⋅a −(AB −b)(AD −a)=(AD −a)(AB −AB +b)+(AB −a)(a −b −a)=b ⋅AD −ab −b ⋅AB +ab =b(AD −AB)=2b ．故选：B ．利用面积的和差分别表示出S 1和S 2，然后利用整式的混合运算计算它们的差．本题考查了整式的混合运算：整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来.也考查了正方形的性质．二、填空题（本大题共6小题，共24分）13. 计算：|−2018|=______．【答案】2018【解析】解：|−2018|=2018．故答案为：2018．直接利用绝对值的性质得出答案．此题主要考查了绝对值，正确把握绝对值的定义是解题关键．14. 要使分式1x−1有意义，x 的取值应满足______．【答案】x ≠1[来源学科网Z,X,X,K]【解析】解：要使分式1x−1有意义，则：x −1≠0．解得：x ≠1，故x 的取值应满足：x ≠1．故答案为：x ≠1．直接利用分式有意义则分母不能为零，进而得出答案．此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键．15. 已知x ，y 满足方程组{x +2y =−3x−2y=5，则x 2−4y 2的值为______．【答案】−8【解析】解：原式=(x +2y)(x −2y) =−3×5 =−15 故答案为：−15根据平方差公式即可求出答案．本题考查因式分解，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．16. 如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB ，飞机上的测量人员在C 处测得A ，B 两点的俯角分别为45∘和30∘.若飞机离地面的高度CH 为1200米，且点H ，A ，B 在同一水平直线上，则这条江的宽度AB 为______米(结果保留根号)．【答案】1200(√3−1)【解析】解：由于CD//HB ，∴∠CAH =∠ACD =45∘，∠B =∠BCD =30∘在Rt△ACH中，∵∴∠CAH=45∘∴AH=CH=1200米，在Rt△HCB，∵tan∠B=CHHB∴HB=CHtan∠B=1200tan30∘=1200√33=1200√3(米)．∴AB=HB−HA=1200√3−1200=1200(√3−1)米故答案为：1200(√3−1)在Rt△A CH和Rt△HCB中，利用锐角三角函数，用CH表示出AH、BH的长，然后计算出AB的长．本题考查了锐角三角函数的仰角、俯角问题.题目难度不大，解决本题的关键是用含CH的式子表示出AH和BH．17.如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P.当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为______．【答案】3或4√3【解析】解：如图1中，当⊙P与直线CD相切时，设PC=PM=m．在Rt△PBM中，∵PM2=BM2+PB2，∴x2=42+(8−x)2，∴x=5，∴PC=5，BP=BC−PC=8−5=3．如图2中当⊙P与直线AD相切时.设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形．∴PM=PK=CD=2BM，∴BM=4，PM=8，在Rt△PBM中，PB=√82−42=4√3．综上所述，BP的长为3或4√3．分两种情形分别求解：如图1中，当⊙P与直线CD相切时；如图2中当⊙P与直线AD相切时.设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形；本题考查切线的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．18.如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，M是AB的中点，连结MD，ME.若∠EMD=90∘，则cosB的值为______．【答案】√3−12【解析】解：延长DM交CB的延长线于点H．∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=AD=2，AD//CH，∴∠ADM=∠H，∵AM=BM，∠AMD=∠HMB，∴△ADM≌△BHM，∴AD=HB=2，∵EM⊥DH，∴EH=ED，设BE=x，∵AE⊥BC，∴AE⊥AD，∴∠AEB=∠EAD=90∘∵AE2=AB2−BE2=DE2−AD2，∴22−x2=(2+x)2−22，∴x=√3−1或−√3−1(舍弃)，∴cosB=BEAB =√3−12，故答案为√3−12． 延长DM 交CB 的延长线于点H.首先证明DE =EH ，设BE =x ，利用勾股定理构建方程求出x 即可解决问题．本题考查菱形的性质、勾股定理、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．三、计算题（本大题共1小题，共6分）19. 已知抛物线y =−12x 2+bx +c 经过点(1,0)，(0,32).(1)求该抛物线的函数表达式； (2)将抛物线y =−12x 2+bx +c 平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式．【答案】解：(1)把(1,0)，(0,32)代入抛物线解析式得：{−12+b +c =0c =32， 解得：{b =−1c =32， 则抛物线解析式为y =−12x 2−x +32；(2)抛物线解析式为y =−12x 2−x +32=−12(x +1)2+2， 将抛物线向右平移一个单位，向下平移2个单位，解析式变为y =−12x 2．【解析】(1)把已知点的坐标代入抛物线解析式求出b 与c 的值即可；(2)指出满足题意的平移方法，并写出平移后的解析式即可．此题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，以及待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．四、解答题（本大题共7小题，共72分）20. 先化简，再求值：(x −1)2+x(3−x)，其中x =−12．【答案】解：原式=x 2−2x +1+3x −x 2=x +1， 当x =−12时，原式=−12+1=12． 【解析】首先计算完全平方，再计算单项式乘以多项式，再合并同类项，化简后再把x 的值代入即可． 此题主要考查了整式的混合运算--化简求值，关键是先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．21. 在5×3的方格纸中，△ABC 的三个顶点都在格点上．(1)在图1中画出线段BD ，使BD//AC ，其中D 是格点；(2)在图2中画出线段BE ，使BE ⊥AC ，其中E 是格点．【答案】解：(1)如图所示，线段BD即为所求；(2)如图所示，线段BE即为所求．【解析】(1)将线段AC沿着AB方向平移2个单位，即可得到线段BD；(2)利用2×3的长方形的对角线，即可得到线段BE⊥AC．本题主要考查了作图以及平行四边形的性质，首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．22.在第23个世界读书日前夕，我市某中学为了解本校学生的每周课外阅读时间(用t表示，单位：小时)，采用随机抽样的方法进行问卷调查，调查结果按0≤t<2，2≤t<3，3≤t<4，t≥4分为四个等级，并依次用A，B，C，D表示，根据调查结果统计的数据，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，由图中给出的信息解答下列问题：(1)求本次调查的学生人数；(2)求扇形统计图中等级B所在扇形的圆心角度数，并把条形统计图补充完整；(3)若该校共有学生1200人，试估计每周课外阅读时间满足3≤t<4的人数．【答案】解：(1)由条形图知，A级的人数为20人，由扇形图知：A级人数占总调查人数的10%所以：20÷10%=20×10010=200(人)即本次调查的学生人数为200人；(2)由条形图知：C级的人数为60人所以C级所占的百分比为：60200×100%=30%，B级所占的百分比为：1−10%−30%−45%=15%，B级的人数为200×15%=30(人)D级的人数为：200×45%=90(人)B所在扇形的圆心角为：360∘×15%=54∘．(3)因为C级所占的百分比为30%，所以全校每周课外阅读时间满足3≤t <4的人数为：1200×30%=360(人)答：全校每周课外阅读时间满足3≤t <4的约有360人．【解析】(1)由条形图、扇形图中给出的级别A 的数字，可计算出调查学生人数；(2)先计算出C 在扇形图中的百分比，用1−[(A +D +C)在扇形图中的百分比]可计算出B 在扇形图中的百分比，再计算出B 在扇形的圆心角．(3)总人数×课外阅读时间满足3≤t <4的百分比即得所求．本题考查了扇形图和条形图的相关知识.题目难度不大.扇形图中某项的百分比=该项人数总人数×100%，扇形图中某项圆心角的度数=360∘×该项在扇形图中的百分比．23. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90∘，AC =BC ，D 是AB 边上一点(点D 与A ，B 不重合)，连结CD ，将线段CD 绕点C 按逆时针方向旋转90∘得到线段CE ，连结DE 交BC 于点F ，连接BE ．(1)求证：△ACD≌△BCE ；(2)当AD =BF 时，求∠BEF 的度数．【答案】解：(1)由题意可知：CD =CE ，∠DCE =90∘，∵∠ACB =90∘，∴∠ACD =∠ACB −∠DCB ，∠BCE =∠DCE −∠DCB ，∴∠ACD =∠BCE ，在△ACD 与△BCE 中， {AC =BC ∠ACD =∠BCE CD =CE ∴△ACD≌△BCE(SAS)(2)∵∠ACB =90∘，AC =BC ，∴∠A =45∘，由(1)可知：∠A =∠CBE =45∘，∵AD =BF ，∴BE =BF ，∴∠BEF =67.5∘【解析】(1)由题意可知：CD =CE ，∠DCE =90∘，由于∠ACB =90∘，所以∠ACD =∠ACB −∠DCB ，∠BCE =∠DCE −∠DCB ，所以∠ACD =∠BCE ，从而可证明△ACD≌△BCE(SAS)(2)由△ACD≌△BCE(SAS)可知：∠A =∠CBE =45∘，BE =BF ，从而可求出∠BEF 的度数．本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用旋转的性质以及全等三角形的判定与性质，本题属于中等题型．24. 某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元.已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．(1)求甲、乙两种商品的每件进价；(2)该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元，乙种商品的销售单价为88元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变.要使两种商品全部售完后共获利不少于2460元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？【答案】解：(1)设甲种商品的每件进价为x 元，则乙种商品的每件进价为(x +8)元．根据题意，得，2000x =2400x+8，解得x =40．经检验，x =40是原方程的解．答：甲种商品的每件进价为40元，乙种商品的每件进价为48元；(2)甲乙两种商品的销售量为200040=50．设甲种商品按原销售单价销售a 件，则(60−40)a +(60×0.7−40)(50−a)+(88−48)×50≥2460，解得a ≥20．答：甲种商品按原销售单价至少销售20件．【解析】(1)设甲种商品的每件进价为x 元，乙种商品的每件进价为y 元.根据“某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元.购进的甲、乙两种商品件数相同”列出方程；(2)设甲种商品按原销售单价销售a 件，则由“两种商品全部售完后共获利不少于2460元”列出不等式．本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用.本题属于商品销售中的利润问题，对于此类问题，隐含着一个等量关系：利润=售价−进价．25. 若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．(1)已知△ABC 是比例三角形，AB =2，BC =3，请直接写出所有满足条件的AC 的长；(2)如图1，在四边形ABCD 中，AD//BC ，对角线BD 平分∠ABC ，∠BAC =∠ADC.求证：△ABC 是比例三角形．(3)如图2，在(2)的条件下，当∠ADC =90∘时，求BD AC 的值． 【答案】解：(1)∵△ABC 是比例三角形，且AB =2、AC =3，①当AB 2=BC ⋅AC 时，得：4=3AC ，解得：AC =43；②当BC 2=AB ⋅AC 时，得：9=2AC ，解得：AC =92；③当AC 2=AB ⋅BC 时，得：AC =6，解得：AC =√6(负值舍去)； 所以当AC =43或92或√6时，△ABC 是比例三角形；(2)∵AD//BC ，∴∠ACB =∠CAD ，又∵∠BAC =∠ADC ，∴△ABC∽△DCA ， ∴BC CA =CA AD ，即CA 2=BC ⋅AD ， ∵AD//BC ，∴∠ADB =∠CBD ，∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD =∠CBD ，∴∠ADB =∠ABD ，∴AB =AD ，∴CA 2=BC ⋅AB ，∴△ABC 是比例三角形；(3)如图，过点A 作AH ⊥BD 于点H ，∵AB =AD ， ∴BH =12BD ，∵AD//BC ，∠ADC =90∘，∴∠BHA=∠BCD=90∘，又∵∠ABH=∠DBC，∴△ABH∽△DBC，∴ABDB =BHBC，即AB⋅BC=BH⋅DB，∴AB⋅BC=12BD2，又∵AB⋅BC=AC2，∴12BD2=AC2，∴BDAC=√2．【解析】(1)根据比例三角形的定义分AB2=BC⋅AC、BC2=AB⋅AC、AC2=AB⋅BC三种情况分别代入计算可得；(2)先证△ABC∽△DCA得CA2=BC⋅AD，再由∠ADB=∠CBD=∠ABD知AB=AD即可得；(3)作AH⊥BD，由AB=AD知BH=12BD，再证△ABH∽△DBC得AB⋅BC=BH⋅DB，即AB⋅BC=1 2BD2，结合AB⋅BC=AC2知12BD2=AC2，据此可得答案．本题主要考查相似三角形的综合问题，解题的关键是理解比例三角形的定义，并熟练掌握相似三角形的判定与性质．26.如图1，直线l：y=−34x+b与x轴交于点A(4,0)，与y轴交于点B，点C是线段OA上一动点(0<AC<165).以点A为圆心，AC长为半径作⊙A交x轴于另一点D，交线段AB于点E，连结OE并延长交⊙A于点F．(1)求直线l的函数表达式和tan∠BAO的值；(2)如图2，连结CE，当CE=EF时，①求证：△OCE∽△OEA；②求点E的坐标；(3)当点C在线段OA上运动时，求OE⋅EF的最大值．【答案】解：∵直线l：y=−34x+b与x轴交于点A(4,0)，∴−34×4+b=0，∴b=3，∴直线l的函数表达式y=−34x+3，∴B(0,3)，∴OA=4，OB=3，在Rt△AOB中，tan∠BAO=OBOA =34；(2)①如图2，连接DF，∵CE=EF，∴∠CDE=∠FDE，∴∠CDF=2∠CDE，∵∠OAE=2∠CDE，∴∠OAE=∠ODF，∵四边形CEFD是⊙O的圆内接四边形，∴∠OEC=∠ODF，∵∠COE =∠EOA ，∴△COE∽△EOA ，②过点E ⊥OA 于M ， 由①知，tan∠OAB =34， 设EM =3m ，则AM =4m ， ∴OM =4−4m ，AE =5m ，∴E(4−4m,3m)，AC =5m ，∴OC =4−5m ，由①知，△COE∽△EOA ，∴OC OE =OE OA ，∴OE 2=OA ⋅OC =4(4−5m)=16−20m ，∵E(4−4m,3m)，∴(4−4m)2+9m 2=25m 2−32m +16，∴25m 2−32m +16=16−20m ， ∴m =0(舍)或m =1225，∴4−4m =4825，3m =3625，∴(4825,3625)， (3)如图，设⊙O 的半径为r ，过点O 作OG ⊥AB 于G ，∵A(4,0)，B(0,3)，∴OA =4，OB =3，∴AB =5， ∴12AB ×OG =12OA ×OB ， ∴OG =125，∴AG =OG tan∠AOB =125×43=165，∴EG =AG −AE =165−r ， 连接FH ，∵EH 是⊙O 直径，∴EH =2r ，∠EFH =90∘=∠EGO ，∵∠OEG =∠HEF ，∴△OEG∽△HEF ， ∴OE HE =EG EF ， ∴OE ⋅EF =HE ⋅EG =2r(165−r)=−2(r −85)2+12825，∴r =85时，OE ⋅EF 最大值为12825． 【解析】(1)利用待定系数法求出b 即可得出直线l 表达式，即可求出OA ，OB ，即可得出结论；(2)①先判断出∠CDF =2∠CDE ，进而得出∠OAE =∠ODF ，即可得出结论；②设出EM =3m ，AM =4m ，进而得出点E 坐标，即可得出OE 的平方，再根据①的相似得出比例式得出OE 的平方，建立方程即可得出结论；(3)利用面积法求出OG ，进而得出AG ，HE ，再构造相似三角形，即可得出结论．此题是圆的综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理，正确作出辅助线是解本题的关键．。
2018浙江省宁波市中考数学的试卷与的答案解析解析
2018年浙江省宁波市中考数学试卷一、选择题（每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（4分）在﹣3，﹣1，0，1这四个数中，最小的数是（）A．﹣3 B．﹣1 C．0 D．12．（4分）2018中国（宁波）特色文化产业博览会于4月16日在宁波国际会展中心闭幕．本次博览会为期四天，参观总人数超55万人次，其中55万用科学记数法表示为（）A．0.55×106B．5.5×105C．5.5×104D．55×1043．（4分）下列计算正确的是（）A．a3+a3=2a3B．a3•a2=a6 C．a6÷a2=a3D．（a3）2=a54．（4分）有五张背面完全相同的卡片，正面分别写有数字1，2，3，4，5，把这些卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，其正面的数字是偶数的概率为（）A．B．C．D．5．（4分）已知正多边形的一个外角等于40°，那么这个正多边形的边数为（）A．6 B．7 C．8 D．96．（4分）如图是由6个大小相同的立方体组成的几何体，在这个几何体的三视图中，是中心对称图形的是（）A．主视图B．左视图C．俯视图D．主视图和左视图7．（4分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，连结OE．若∠ABC=60°，∠BAC=80°，则∠1的度数为（）A．50°B．40°C．30°D．20°8．（4分）若一组数据4，1，7，x，5的平均数为4，则这组数据的中位数为（）A．7 B．5 C．4 D．39．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，以点B为圆心，BC 长为半径画弧，交边AB于点D，则的长为（）A．πB．πC．πD．π10．（4分）如图，平行于x轴的直线与函数y=（k1＞0，x＞0），y=（k2＞0，x＞0）的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若△ABC的面积为4，则k1﹣k2的值为（）A．8 B．﹣8 C．4 D．﹣411．（4分）如图，二次函数y=ax2+bx的图象开口向下，且经过第三象限的点P．若点P的横坐标为﹣1，则一次函数y=（a﹣b）x+b的图象大致是（）A．B．C．D．12．（4分）在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2．当AD﹣AB=2时，S2﹣S1的值为（）A．2a B．2b C．2a﹣2b D．﹣2b二、填空题（每小题4分，共24分）13．（4分）计算：|﹣2018|=．14．（4分）要使分式有意义，x的取值应满足．15．（4分）已知x，y满足方程组，则x2﹣4y2的值为．16．（4分）如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为45°和30°．若飞机离地面的高度CH为1200米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为米（结果保留根号）．17．（4分）如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为．18．（4分）如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，M是AB的中点，连结MD，ME．若∠EMD=90°，则cosB的值为．三、解答题（本大题有8小题，共78分）19．（6分）先化简，再求值：（x﹣1）2+x（3﹣x），其中x=﹣．20．（8分）在5×3的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．（1）在图1中画出线段BD，使BD∥AC，其中D是格点；（2）在图2中画出线段BE，使BE⊥AC，其中E是格点．21．（8分）在第23个世界读书日前夕，我市某中学为了解本校学生的每周课外阅读时间（用t表示，单位：小时），采用随机抽样的方法进行问卷调查，调查结果按0≤t＜2，2≤t＜3，3≤t＜4，t≥4分为四个等级，并依次用A，B，C，D 表示，根据调查结果统计的数据，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，由图中给出的信息解答下列问题：（1）求本次调查的学生人数；（2）求扇形统计图中等级B所在扇形的圆心角度数，并把条形统计图补充完整；（3）若该校共有学生1200人，试估计每周课外阅读时间满足3≤t＜4的人数．22．（10分）已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点（1，0），（0，）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）将抛物线y=﹣x2+bx+c平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式．23．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB边上一点（点D 与A，B不重合），连结CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连结DE交BC于点F，连接BE．（1）求证：△ACD≌△BCE；（2）当AD=BF时，求∠BEF的度数．24．（10分）某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．（1）求甲、乙两种商品的每件进价；（2）该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元，乙种商品的销售单价为88元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变．要使两种商品全部售完后共获利不少于2460元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？25．（12分）若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．（1）已知△ABC是比例三角形，AB=2，BC=3，请直接写出所有满足条件的AC 的长；（2）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD平分∠ABC，∠BAC=∠ADC．求证：△ABC是比例三角形．（3）如图2，在（2）的条件下，当∠ADC=90°时，求的值．26．（14分）如图1，直线l：y=﹣x+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，点C是线段OA上一动点（0＜AC＜）．以点A为圆心，AC长为半径作⊙A 交x轴于另一点D，交线段AB于点E，连结OE并延长交⊙A于点F．（1）求直线l的函数表达式和tan∠BAO的值；（2）如图2，连结CE，当CE=EF时，①求证：△OCE∽△OEA；②求点E的坐标；（3）当点C在线段OA上运动时，求OE•EF的最大值．2018年浙江省宁波市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（4分）在﹣3，﹣1，0，1这四个数中，最小的数是（）A．﹣3 B．﹣1 C．0 D．1【分析】根据正数大于零，零大于负数，可得答案．【解答】解：由正数大于零，零大于负数，得﹣3＜﹣1＜0＜1，最小的数是﹣3，故选：A．【点评】本题考查了有理数比较大小，利用正数大于零，零大于负数是解题关键．2．（4分）2018中国（宁波）特色文化产业博览会于4月16日在宁波国际会展中心闭幕．本次博览会为期四天，参观总人数超55万人次，其中55万用科学记数法表示为（）A．0.55×106B．5.5×105C．5.5×104D．55×104【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【解答】解：550000=5.5×105，故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．（4分）下列计算正确的是（）A．a3+a3=2a3B．a3•a2=a6 C．a6÷a2=a3D．（a3）2=a5【分析】根据同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法的运算方法，合并同类项的方法，以及幂的乘方与积的乘方的运算方法，逐项判定即可．【解答】解：∵a3+a3=2a3，∴选项A符合题意；∵a3•a2=a5，∴选项B不符合题意；∵a6÷a2=a4，∴选项C不符合题意；∵（a3）2=a6，∴选项D不符合题意．故选：A．【点评】此题主要考查了同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法的运算方法，合并同类项的方法，以及幂的乘方与积的乘方的运算方法，解答此题的关键是要明确：①底数a≠0，因为0不能做除数；②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．4．（4分）有五张背面完全相同的卡片，正面分别写有数字1，2，3，4，5，把这些卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，其正面的数字是偶数的概率为（）A．B．C．D．【分析】让正面的数字是偶数的情况数除以总情况数5即为所求的概率．【解答】解：∵从写有数字1，2，3，4，5这5张纸牌中抽取一张，其中正面数字是偶数的有2、4这2种结果，∴正面的数字是偶数的概率为，故选：C．【点评】此题主要考查了概率公式的应用，明确概率的意义是解答的关键，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．5．（4分）已知正多边形的一个外角等于40°，那么这个正多边形的边数为（）A．6 B．7 C．8 D．9【分析】根据正多边形的外角和以及一个外角的度数，求得边数．【解答】解：正多边形的一个外角等于40°，且外角和为360°，则这个正多边形的边数是：360°÷40°=9．故选：D．【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理，解决问题的关键是掌握多边形的外角和等于360度．6．（4分）如图是由6个大小相同的立方体组成的几何体，在这个几何体的三视图中，是中心对称图形的是（）A．主视图B．左视图C．俯视图D．主视图和左视图【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．【解答】解：从上边看是一个田字，“田”字是中心对称图形，故选：C．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图，又利用了中心对称图形．7．（4分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，连结OE．若∠ABC=60°，∠BAC=80°，则∠1的度数为（）A．50°B．40°C．30°D．20°【分析】直接利用三角形内角和定理得出∠BCA的度数，再利用三角形中位线定理结合平行线的性质得出答案．【解答】解：∵∠ABC=60°，∠BAC=80°，∴∠BCA=180°﹣60°﹣80°=40°，∵对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，∴EO是△DBC的中位线，∴EO∥BC，∴∠1=∠ACB=40°．故选：B．【点评】此题主要考查了三角形内角和定理、三角形中位线定理等知识，得出EO是△DBC的中位线是解题关键．8．（4分）若一组数据4，1，7，x，5的平均数为4，则这组数据的中位数为（）A．7 B．5 C．4 D．3【分析】先根据平均数为4求出x的值，然后根据中位数的概念求解．【解答】解：∵数据4，1，7，x，5的平均数为4，∴=4，解得：x=3，则将数据重新排列为1、3、4、5、7，所以这组数据的中位数为4，故选：C．【点评】本题考查了中位数的概念：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．9．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，以点B为圆心，BC 长为半径画弧，交边AB于点D，则的长为（）A．πB．πC．πD．π【分析】先根据ACB=90°，AB=4，∠A=30°，得圆心角和半径的长，再根据弧长公式可得到弧CD的长．【解答】解：∵∠ACB=90°，AB=4，∠A=30°，∴∠B=60°，BC=2∴的长为=，故选：C．【点评】本题主要考查了弧长公式的运用和直角三角形30度角的性质，解题时注意弧长公式为：l=（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）．10．（4分）如图，平行于x轴的直线与函数y=（k1＞0，x＞0），y=（k2＞0，x＞0）的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若△ABC的面积为4，则k1﹣k2的值为（）A．8 B．﹣8 C．4 D．﹣4【分析】设A（a，h），B（b，h），根据反比例函数图象上点的坐标特征得出ah=k1，bh=k2．根据三角形的面积公式得到S△ABC=AB•y A=（a﹣b）h=（ah﹣bh）=（k1﹣k2）=4，求出k1﹣k2=8．【解答】解：∵AB∥x轴，∴A，B两点纵坐标相同．设A（a，h），B（b，h），则ah=k1，bh=k2．=AB•y A=（a﹣b）h=（ah﹣bh）=（k1﹣k2）=4，∵S△ABC∴k1﹣k2=8．故选：A．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，点在函数的图象上，则点的坐标满足函数的解析式．也考查了三角形的面积．11．（4分）如图，二次函数y=ax2+bx的图象开口向下，且经过第三象限的点P．若点P的横坐标为﹣1，则一次函数y=（a﹣b）x+b的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】根据二次函数的图象可以判断a、b、a﹣b的正负情况，从而可以得到一次函数经过哪几个象限，本题得以解决．【解答】解：由二次函数的图象可知，a＜0，b＜0，当x=﹣1时，y=a﹣b＜0，∴y=（a﹣b）x+b的图象在第二、三、四象限，故选：D．【点评】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用函数的思想解答．12．（4分）在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2．当AD﹣AB=2时，S2﹣S1的值为（）A．2a B．2b C．2a﹣2b D．﹣2b【分析】利用面积的和差分别表示出S1和S2，然后利用整式的混合运算计算它们的差．【解答】解：S1=（AB﹣a）•a+（CD﹣b）（AD﹣a）=（AB﹣a）•a+（AB﹣b）（AD ﹣a），S2=AB（AD﹣a）+（a﹣b）（AB﹣a），∴S2﹣S1=AB（AD﹣a）+（a﹣b）（AB﹣a）﹣（AB﹣a）•a﹣（AB﹣b）（AD﹣a）=（AD﹣a）（AB﹣AB+b）+（AB﹣a）（a﹣b﹣a）=b•AD﹣ab﹣b•AB+ab=b（AD﹣AB）=2b．故选：B．【点评】本题考查了整式的混合运算：整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来．也考查了正方形的性质．二、填空题（每小题4分，共24分）13．（4分）计算：|﹣2018|=2018．【分析】直接利用绝对值的性质得出答案．【解答】解：|﹣2018|=2018．故答案为：2018．【点评】此题主要考查了绝对值，正确把握绝对值的定义是解题关键．14．（4分）要使分式有意义，x的取值应满足x≠1．【分析】直接利用分式有意义则分母不能为零，进而得出答案．【解答】解：要使分式有意义，则：x﹣1≠0．解得：x≠1，故x的取值应满足：x≠1．故答案为：x≠1．【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键．15．（4分）已知x，y满足方程组，则x2﹣4y2的值为﹣8．【分析】根据平方差公式即可求出答案．【解答】解：原式=（x+2y）（x﹣2y）=﹣3×5=﹣15故答案为：﹣15【点评】本题考查因式分解，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．16．（4分）如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为45°和30°．若飞机离地面的高度CH为1200米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为1200（﹣1）米（结果保留根号）．【分析】在Rt△ACH和Rt△HCB中，利用锐角三角函数，用CH表示出AH、BH 的长，然后计算出AB的长．【解答】解：由于CD∥HB，∴∠CAH=∠ACD=45°，∠B=∠BCD=30°在Rt△ACH中，∵∴∠CAH=45°∴AH=CH=1200米，在Rt△HCB，∵tan∠B=∴HB====1200（米）．∴AB=HB﹣HA=1200﹣1200=1200（﹣1）米故答案为：1200（﹣1）【点评】本题考查了锐角三角函数的仰角、俯角问题．题目难度不大，解决本题的关键是用含CH的式子表示出AH和BH．17．（4分）如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为3或4．【分析】分两种情形分别求解：如图1中，当⊙P与直线CD相切时；如图2中当⊙P与直线AD相切时．设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形；【解答】解：如图1中，当⊙P与直线CD相切时，设PC=PM=m．在Rt△PBM中，∵PM2=BM2+PB2，∴x2=42+（8﹣x）2，∴x=5，∴PC=5，BP=BC﹣PC=8﹣5=3．如图2中当⊙P与直线AD相切时．设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形．∴PM=PK=CD=2BM，∴BM=4，PM=8，在Rt△PBM中，PB==4．综上所述，BP的长为3或4．【点评】本题考查切线的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．18．（4分）如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，M是AB的中点，连结MD，ME．若∠EMD=90°，则cosB的值为．【分析】延长DM交CB的延长线于点H．首先证明DE=EH，设BE=x，利用勾股定理构建方程求出x即可解决问题．【解答】解：延长DM交CB的延长线于点H．∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=AD=2，AD∥CH，∴∠ADM=∠H，∵AM=BM，∠AMD=∠HMB，∴△ADM≌△BHM，∴AD=HB=2，∵EM⊥DH，∴EH=ED，设BE=x，∵AE⊥BC，∴AE⊥AD，∴∠AEB=∠EAD=90°∵AE2=AB2﹣BE2=DE2﹣AD2，∴22﹣x2=（2+x）2﹣22，∴x=﹣1或﹣﹣1（舍弃），∴cosB==，故答案为．【点评】本题考查菱形的性质、勾股定理、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．三、解答题（本大题有8小题，共78分）19．（6分）先化简，再求值：（x﹣1）2+x（3﹣x），其中x=﹣．【分析】首先计算完全平方，再计算单项式乘以多项式，再合并同类项，化简后再把x的值代入即可．【解答】解：原式=x2﹣2x+1+3x﹣x2=x+1，当x=﹣时，原式=﹣+1=．【点评】此题主要考查了整式的混合运算﹣﹣化简求值，关键是先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．20．（8分）在5×3的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．（1）在图1中画出线段BD，使BD∥AC，其中D是格点；（2）在图2中画出线段BE，使BE⊥AC，其中E是格点．【分析】（1）将线段AC沿着AB方向平移2个单位，即可得到线段BD；（2）利用2×3的长方形的对角线，即可得到线段BE⊥AC．【解答】解：（1）如图所示，线段BD即为所求；（2）如图所示，线段BE即为所求．【点评】本题主要考查了作图以及平行四边形的性质，首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．21．（8分）在第23个世界读书日前夕，我市某中学为了解本校学生的每周课外阅读时间（用t表示，单位：小时），采用随机抽样的方法进行问卷调查，调查结果按0≤t＜2，2≤t＜3，3≤t＜4，t≥4分为四个等级，并依次用A，B，C，D 表示，根据调查结果统计的数据，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，由图中给出的信息解答下列问题：（1）求本次调查的学生人数；（2）求扇形统计图中等级B所在扇形的圆心角度数，并把条形统计图补充完整；（3）若该校共有学生1200人，试估计每周课外阅读时间满足3≤t＜4的人数．【分析】（1）由条形图、扇形图中给出的级别A的数字，可计算出调查学生人数；（2）先计算出C在扇形图中的百分比，用1﹣[（A+D+C）在扇形图中的百分比]可计算出B在扇形图中的百分比，再计算出B在扇形的圆心角．（3）总人数×课外阅读时间满足3≤t＜4的百分比即得所求．【解答】解：（1）由条形图知，A级的人数为20人，由扇形图知：A级人数占总调查人数的10%所以：20÷10%=20×=200（人）即本次调查的学生人数为200人；（2）由条形图知：C级的人数为60人所以C级所占的百分比为：×100%=30%，B级所占的百分比为：1﹣10%﹣30%﹣45%=15%，B级的人数为200×15%=30（人）D级的人数为：200×45%=90（人）B所在扇形的圆心角为：360°×15%=54°．（3）因为C级所占的百分比为30%，所以全校每周课外阅读时间满足3≤t＜4的人数为：1200×30%=360（人）答：全校每周课外阅读时间满足3≤t＜4的约有360人．【点评】本题考查了扇形图和条形图的相关知识．题目难度不大．扇形图中某项的百分比=×100%，扇形图中某项圆心角的度数=360°×该项在扇形图中的百分比．22．（10分）已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点（1，0），（0，）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）将抛物线y=﹣x2+bx+c平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式．【分析】（1）把已知点的坐标代入抛物线解析式求出b与c的值即可；（2）指出满足题意的平移方法，并写出平移后的解析式即可．【解答】解：（1）把（1，0），（0，）代入抛物线解析式得：，解得：，则抛物线解析式为y=﹣x2﹣x+；（2）抛物线解析式为y=﹣x2﹣x+=﹣（x+1）2+2，将抛物线向右平移一个单位，向下平移2个单位，解析式变为y=﹣x2．【点评】此题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，以及待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．23．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB边上一点（点D 与A，B不重合），连结CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连结DE交BC于点F，连接BE．（1）求证：△ACD≌△BCE；（2）当AD=BF时，求∠BEF的度数．【分析】（1）由题意可知：CD=CE，∠DCE=90°，由于∠ACB=90°，所以∠ACD=∠ACB﹣∠DCB，∠BCE=∠DCE﹣∠DCB，所以∠ACD=∠BCE，从而可证明△ACD ≌△BCE（SAS）（2）由△ACD≌△BCE（SAS）可知：∠A=∠CBE=45°，BE=BF，从而可求出∠BEF 的度数．【解答】解：（1）由题意可知：CD=CE，∠DCE=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD=∠ACB﹣∠DCB，∠BCE=∠DCE﹣∠DCB，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD与△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS）（2）∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠A=45°，由（1）可知：∠A=∠CBE=45°，∵AD=BF，∴BE=BF，∴∠BEF=67.5°【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用旋转的性质以及全等三角形的判定与性质，本题属于中等题型．24．（10分）某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．（1）求甲、乙两种商品的每件进价；（2）该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元，乙种商品的销售单价为88元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变．要使两种商品全部售完后共获利不少于2460元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？【分析】（1）设甲种商品的每件进价为x元，乙种商品的每件进价为y元．根据“某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．购进的甲、乙两种商品件数相同”列出方程；（2）设甲种商品按原销售单价销售a件，则由“两种商品全部售完后共获利不少于2460元”列出不等式．【解答】解：（1）设甲种商品的每件进价为x元，则乙种商品的每件进价为（x+8）元．根据题意，得，=，解得x=40．经检验，x=40是原方程的解．答：甲种商品的每件进价为40元，乙种商品的每件进价为48元；（2）甲乙两种商品的销售量为=50．设甲种商品按原销售单价销售a件，则（60﹣40）a+（60×0.7﹣40）（50﹣a）+（88﹣48）×50≥2460，解得a≥20．答：甲种商品按原销售单价至少销售20件．【点评】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用．本题属于商品销售中的利润问题，对于此类问题，隐含着一个等量关系：利润=售价﹣进价．25．（12分）若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．（1）已知△ABC是比例三角形，AB=2，BC=3，请直接写出所有满足条件的AC 的长；（2）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD平分∠ABC，∠BAC=∠ADC．求证：△ABC是比例三角形．（3）如图2，在（2）的条件下，当∠ADC=90°时，求的值．【分析】（1）根据比例三角形的定义分AB2=BC•AC、BC2=AB•AC、AC2=AB•BC三种情况分别代入计算可得；（2）先证△ABC∽△DCA得CA2=BC•AD，再由∠ADB=∠CBD=∠ABD知AB=AD即可得；（3）作AH⊥BD，由AB=AD知BH=BD，再证△ABH∽△DBC得AB•BC=BH•DB，即AB•BC=BD2，结合AB•BC=AC2知BD2=AC2，据此可得答案．【解答】解：（1）∵△ABC是比例三角形，且AB=2、AC=3，①当AB2=BC•AC时，得：4=3AC，解得：AC=；②当BC2=AB•AC时，得：9=2AC，解得：AC=；③当AC2=AB•BC时，得：AC=6，解得：AC=（负值舍去）；所以当AC=或或时，△ABC是比例三角形；（2）∵AD∥BC，∴∠ACB=∠CAD，又∵∠BAC=∠ADC，∴△ABC∽△DCA，∴=，即CA2=BC•AD，∵AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∴∠ADB=∠ABD，∴AB=AD，∴CA2=BC•AB，∴△ABC是比例三角形；（3）如图，过点A作AH⊥BD于点H，∵AB=AD，∴BH=BD，∵AD∥BC，∠ADC=90°，∴∠BCD=90°，∴∠BHA=∠BCD=90°，又∵∠ABH=∠DBC，∴△ABH∽△DBC，∴=，即AB•BC=BH•DB，∴AB•BC=BD2，又∵AB•BC=AC2，∴BD2=AC2，∴=．【点评】本题主要考查相似三角形的综合问题，解题的关键是理解比例三角形的定义，并熟练掌握相似三角形的判定与性质．26．（14分）如图1，直线l：y=﹣x+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，点C是线段OA上一动点（0＜AC＜）．以点A为圆心，AC长为半径作⊙A 交x轴于另一点D，交线段AB于点E，连结OE并延长交⊙A于点F．（1）求直线l的函数表达式和tan∠BAO的值；（2）如图2，连结CE，当CE=EF时，①求证：△OCE∽△OEA；②求点E的坐标；（3）当点C在线段OA上运动时，求OE•EF的最大值．【分析】（1）利用待定系数法求出b即可得出直线l表达式，即可求出OA，OB，即可得出结论；（2）①先判断出∠CDF=2∠CDE，进而得出∠OAE=∠ODF，即可得出结论；②设出EM=3m，AM=4m，进而得出点E坐标，即可得出OE的平方，再根据①的相似得出比例式得出OE的平方，建立方程即可得出结论；（3）利用面积法求出OG，进而得出AG，HE，再构造相似三角形，即可得出结论．【解答】解：∵直线l：y=﹣x+b与x轴交于点A（4，0），∴﹣×4+b=0，∴b=3，∴直线l的函数表达式y=﹣x+3，∴B（0，3），∴OA=4，OB=3，在Rt△AOB中，tan∠BAO==；（2）①如图2，连接DF，∵CE=EF，∴∠CDE=∠FDE，∴∠CDF=2∠CDE，∵∠OAE=2∠CDE，∴∠OAE=∠ODF，∵四边形CEFD是⊙O的圆内接四边形，∴∠OEC=∠ODF，∴∠OEC=∠OAE，∵∠COE=∠EOA，∴△COE∽△EOA，②过点E⊥OA于M，由①知，tan∠OAB=，设EM=3m，则AM=4m，∴OM=4﹣4m，AE=5m，∴E（4﹣4m，3m），AC=5m，∴OC=4﹣5m，由①知，△COE∽△EOA，∴，∴OE2=OA•OC=4（4﹣5m）=16﹣20m，∵E（4﹣4m，3m），∴（4﹣4m）2+9m2=25m2﹣32m+16，∴25m2﹣32m+16=16﹣20m，∴m=0（舍）或m=，∴4﹣4m=，3m=，∴（，），（3）如图，设⊙O的半径为r，过点O作OG⊥AB于G，∵A（4，0），B（0，3），∴OA=4，OB=3，∴AB=5，∴AB×OG=OA×OB，∴OG=，∴AG==×=，∴EG=AG﹣AE=﹣r，连接FH，∵EH是⊙O直径，∴EH=2r，∠EFH=90°=∠EGO，∵∠OEG=∠HEF，∴△OEG∽△HEF，∴，∴OE•EF=HE•EG=2r（﹣r）=﹣2（r﹣）2+，∴r=时，OE•EF最大值为．【点评】此题是圆的综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理，正确作出辅助线是解本题的关键．。
2018年浙江省宁波市中考数学试卷及答案解析
2018年浙江省宁波市中考数学试卷及答案解析2018年浙江省宁波市中考数学试卷一、选择题（每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（4分）在﹣3，﹣1，0，1这四个数中，最小的数是（）A．﹣3 B．﹣1 C．0 D．12．（4分）2018中国（宁波）特色文化产业博览会于4月16日在宁波国际会展中心闭幕．本次博览会为期四天，参观总人数超55万人次，其中55万用科学记数法表示为（）A．0.55×106B．5.5×105C．5.5×104D．55×1043．（4分）下列计算正确的是（）A．a3+a3=2a3B．a3•a2=a6 C．a6÷a2=a3D．（a3）2=a54．（4分）有五张背面完全相同的卡片，正面分别写有数字1，2，3，4，5，把这些卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，其正面的数字是偶数的概率为（）A．B．C．D．（4分）已知正多边形的一个外角等于40°，那么这个正多边形的边数为（）5．A．6 B．7 C．8 D．96．（4分）如图是由6个大小相同的立方体组成的几何体，在这个几何体的三视图中，是中心对称图形的是（）A．主视图B．左视图C．俯视图D．主视图和左视图7．（4分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，连结OE．若∠ABC=60°，∠BAC=80°，则∠1的度数为（）A． B．C．D．12．（4分）在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2．当AD﹣AB=2时，S2﹣S1的值为（）A．2a B．2b C．2a﹣2b D．﹣2b二、填空题（每小题4分，共24分）13．（4分）计算：|﹣2018|= ．14．（4分）要使分式有意义，x的取值应满足．15．（4分）已知x，y满足方程组，则x2﹣4y2的值为．16．（4分）如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为45°和30°．若飞机离地面的高度CH 为1200米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为米（结果保留根号）．17．（4分）如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为．18．（4分）如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，M是AB 的中点，连结MD，ME．若∠EMD=90°，则cosB的值为．三、解答题（本大题有8小题，共78分）19．（6分）先化简，再求值：（x﹣1）2+x（3﹣x），其中x=﹣．20．（8分）在5×3的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．（1）在图1中画出线段BD，使BD∥AC，其中D是格点；（2）在图2中画出线段BE，使BE⊥AC，其中E是格点．21．（8分）在第23个世界读书日前夕，我市某中学为了解本校学生的每周课外阅读时间（用t表示，单位：小时），采用随机抽样的方法进行问卷调查，调查结果按0≤t＜2，2≤t＜3，3≤t＜4，t≥4分为四个等级，并依次用A，B，C，D表示，根据调查结果统计的数据，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，由图中给出的信息解答下列问题：（1）求本次调查的学生人数；（2）求扇形统计图中等级B所在扇形的圆心角度数，并把条形统计图补充完整；（3）若该校共有学生1200人，试估计每周课外阅读时间满足3≤t＜4的人数．22．（10分）已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点（1，0），（0，）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）将抛物线y=﹣x2+bx+c平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式．23．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB边上一点（点D 与A，B不重合），连结CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连结DE交BC于点F，连接BE．（1）求证：△ACD≌△BCE；（2）当AD=BF时，求∠BEF的度数．24．（10分）某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．（1）求甲、乙两种商品的每件进价；（2）该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元，乙种商品的销售单价为88元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变．要使两种商品全部售完后共获利不少于2460元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？25．（12分）若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．（1）已知△ABC是比例三角形，AB=2，BC=3，请直接写出所有满足条件的AC的长；（2）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD平分∠ABC，∠BAC=∠ADC．求证：△ABC是比例三角形．（3）如图2，在（2）的条件下，当∠ADC=90°时，求的值．26．（14分）如图1，直线l：y=﹣x+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，点C是线段OA上一动点（0＜AC＜）．以点A为圆心，AC长为半径作⊙A交x轴于另一点D，交线段AB于点E，连结OE并延长交⊙A于点F．（1）求直线l的函数表达式和tan∠BAO的值；（2）如图2，连结CE，当CE=EF时，①求证：△OCE∽△OEA；②求点E的坐标；（3）当点C在线段OA上运动时，求OE•EF的最大值．2018年浙江省宁波市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（4分）在﹣3，﹣1，0，1这四个数中，最小的数是（）A．﹣3 B．﹣1 C．0 D．1【分析】根据正数大于零，零大于负数，可得答案．【解答】解：由正数大于零，零大于负数，得﹣3＜﹣1＜0＜1，最小的数是﹣3，故选：A．【点评】本题考查了有理数比较大小，利用正数大于零，零大于负数是解题关键．2．（4分）2018中国（宁波）特色文化产业博览会于4月16日在宁波国际会展中心闭幕．本次博览会为期四天，参观总人数超55万人次，其中55万用科学记数法表示为（）A．0.55×106B．5.5×105C．5.5×104D．55×104【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【解答】解：550000=5.5×105，故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．（4分）下列计算正确的是（）A．a3+a3=2a3B．a3•a2=a6 C．a6÷a2=a3D．（a3）2=a5【分析】根据同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法的运算方法，合并同类项的方法，以及幂的乘方与积的乘方的运算方法，逐项判定即可．【解答】解：∵a3+a3=2a3，∴选项A符合题意；∵a3•a2=a5，∴选项B不符合题意；∵a6÷a2=a4，∴选项C不符合题意；∵（a3）2=a6，∴选项D不符合题意．故选：A．【点评】此题主要考查了同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法的运算方法，合并同类项的方法，以及幂的乘方与积的乘方的运算方法，解答此题的关键是要明确：①底数a≠0，因为0不能做除数；②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．4．（4分）有五张背面完全相同的卡片，正面分别写有数字1，2，3，4，5，把这些卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，其正面的数字是偶数的概率为（）A．B．C．D．【分析】让正面的数字是偶数的情况数除以总情况数5即为所求的概率．【解答】解：∵从写有数字1，2，3，4，5这5张纸牌中抽取一张，其中正面数字是偶数的有2、4这2种结果，∴正面的数字是偶数的概率为，故选：C．【点评】此题主要考查了概率公式的应用，明确概率的意义是解答的关键，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．（4分）已知正多边形的一个外角等于40°，那么这个正多边形的边数为（）5．A．6 B．7 C．8 D．9【分析】根据正多边形的外角和以及一个外角的度数，求得边数．【解答】解：正多边形的一个外角等于40°，且外角和为360°，则这个正多边形的边数是：360°÷40°=9．故选：D．【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理，解决问题的关键是掌握多边形的外角和等于360度．6．（4分）如图是由6个大小相同的立方体组成的几何体，在这个几何体的三视图中，是中心对称图形的是（）A．主视图B．左视图C．俯视图D．主视图和左视图【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．【解答】解：从上边看是一个田字，“田”字是中心对称图形，故选：C．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图，又利用了中心对称图形．7．（4分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，连结OE．若∠ABC=60°，∠BAC=80°，则∠1的度数为（）A．50°B．40°C．30°D．20°【分析】直接利用三角形内角和定理得出∠BCA的度数，再利用三角形中位线定理结合平行线的性质得出答案．【解答】解：∵∠ABC=60°，∠B AC=80°，∴∠BCA=180°﹣60°﹣80°=40°，∵对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，∴EO是△DBC的中位线，∴EO∥BC，∴∠1=∠ACB=40°．故选：B．【点评】此题主要考查了三角形内角和定理、三角形中位线定理等知识，得出EO是△DBC的中位线是解题关键．8．（4分）若一组数据4，1，7，x，5的平均数为4，则这组数据的中位数为（）A．7 B．5 C．4 D．3【分析】先根据平均数为4求出x的值，然后根据中位数的概念求解．【解答】解：∵数据4，1，7，x，5的平均数为4，∴=4，解得：x=3，则将数据重新排列为1、3、4、5、7，所以这组数据的中位数为4，故选：C．【点评】本题考查了中位数的概念：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．9．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AB于点D，则的长为（）A．πB．πC．πD．π【分析】先根据ACB=90°，AB=4，∠A=30°，得圆心角和半径的长，再根据弧长公式可得到弧CD的长．【解答】解：∵∠ACB=90°，AB=4，∠A=30°，∴∠B=60°，BC=2∴的长为=，故选：C．【点评】本题主要考查了弧长公式的运用和直角三角形30度角的性质，解题时注意弧长公式为：l=（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）．10．（4分）如图，平行于x轴的直线与函数y=（k1＞0，x＞0），y=（k2＞0，x＞0）的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若△ABC的面积为4，则k1﹣k2的值为（）A．8 B．﹣8 C．4 D．﹣4【分析】设A（a，h），B（b，h），根据反比例函数图象上点的坐标特征得出ah=k1，bh=k2．根据三角形的面积公式得到S△ABC=AB•yA=（a﹣b）h=（ah﹣bh）=（k1﹣k2）=4，求出k1﹣k2=8．【解答】解：∵AB∥x轴，∴A，B两点纵坐标相同．设A（a，h），B（b，h），则ah=k1，bh=k2．∵S△ABC =AB•yA=（a﹣b）h=（ah﹣bh）=（k1﹣k2）=4，∴k1﹣k2=8．故选：A．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，点在函数的图象上，则点的坐标满足函数的解析式．也考查了三角形的面积．11．（4分）如图，二次函数y=ax2+bx的图象开口向下，且经过第三象限的点P．若点P的横坐标为﹣1，则一次函数y=（a﹣b）x+b的图象大致是（）A． B．C．D．【分析】根据二次函数的图象可以判断a、b、a﹣b的正负情况，从而可以得到一次函数经过哪几个象限，本题得以解决．【解答】解：由二次函数的图象可知，a＜0，b＜0，当x=﹣1时，y=a﹣b＜0，∴y=（a﹣b）x+b的图象在第二、三、四象限，故选：D．【点评】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用函数的思想解答．12．（4分）在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2．当AD﹣AB=2时，S2﹣S1的值为（）A．2a B．2b C．2a﹣2b D．﹣2b【分析】利用面积的和差分别表示出S1和S2，然后利用整式的混合运算计算它们的差．【解答】解：S1=（AB﹣a）•a+（CD﹣b）（AD﹣a）=（AB﹣a）•a+（AB﹣b）（AD ﹣a），S2=AB（AD﹣a）+（a﹣b）（AB﹣a），∴S2﹣S1=AB（AD﹣a）+（a﹣b）（AB﹣a）﹣（AB﹣a）•a﹣（AB﹣b）（AD﹣a）=（AD﹣a）（AB﹣AB+b）+（AB﹣a）（a﹣b﹣a）=b•AD﹣ab﹣b•AB+ab=b（AD﹣AB）=2b．故选：B．【点评】本题考查了整式的混合运算：整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来．也考查了正方形的性质．二、填空题（每小题4分，共24分）13．（4分）计算：|﹣2018|= 2018 ．【分析】直接利用绝对值的性质得出答案．【解答】解：|﹣2018|=2018．故答案为：2018．【点评】此题主要考查了绝对值，正确把握绝对值的定义是解题关键．14．（4分）要使分式有意义，x的取值应满足x≠1 ．【分析】直接利用分式有意义则分母不能为零，进而得出答案．【解答】解：要使分式有意义，则：x﹣1≠0．解得：x≠1，故x的取值应满足：x≠1．故答案为：x≠1．【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键．15．（4分）已知x，y满足方程组，则x2﹣4y2的值为﹣8 ．【分析】根据平方差公式即可求出答案．【解答】解：原式=（x+2y）（x﹣2y）=﹣3×5=﹣15故答案为：﹣15【点评】本题考查因式分解，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．16．（4分）如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为45°和30°．若飞机离地面的高度CH 为1200米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为1200（﹣1）米（结果保留根号）．【分析】在Rt△ACH和Rt△HCB中，利用锐角三角函数，用CH表示出AH、BH 的长，然后计算出AB的长．【解答】解：由于CD∥HB，∴∠CAH=∠ACD=45°，∠B=∠BCD=30°在Rt△ACH中，∵∴∠CAH=45°∴AH=CH=1200米，在Rt△HCB，∵tan∠B=∴HB====1200（米）．∴AB=HB﹣HA=1200﹣1200=1200（﹣1）米故答案为：1200（﹣1）【点评】本题考查了锐角三角函数的仰角、俯角问题．题目难度不大，解决本题的关键是用含CH的式子表示出AH和BH．17．（4分）如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为3或4．【分析】分两种情形分别求解：如图1中，当⊙P与直线CD相切时；如图2中当⊙P与直线AD相切时．设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形；【解答】解：如图1中，当⊙P与直线CD相切时，设PC=PM=m．在Rt△PBM中，∵PM2=BM2+PB2，∴x2=42+（8﹣x）2，∴x=5，∴PC=5，BP=BC﹣PC=8﹣5=3．如图2中当⊙P与直线AD相切时．设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC 是矩形．∴PM=PK=CD=2BM，∴BM=4，PM=8，在Rt△PBM中，PB==4．综上所述，BP的长为3或4．【点评】本题考查切线的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．18．（4分）如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，M是AB 的中点，连结MD，ME．若∠EMD=90°，则cosB的值为．【分析】延长DM交CB的延长线于点H．首先证明DE=EH，设BE=x，利用勾股定理构建方程求出x即可解决问题．【解答】解：延长DM交CB的延长线于点H．∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=AD=2，AD∥CH，∴∠ADM=∠H，∵AM=BM，∠AMD=∠HMB，∴△ADM≌△BHM，∴AD=HB=2，∵EM⊥DH，∴EH=ED，设BE=x，∵AE⊥BC，∴AE⊥AD，∴∠AEB=∠EAD=90°∵AE2=AB2﹣BE2=DE2﹣AD2，∴22﹣x2=（2+x）2﹣22，∴x=﹣1或﹣﹣1（舍弃），∴cosB==，故答案为．【点评】本题考查菱形的性质、勾股定理、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．三、解答题（本大题有8小题，共78分）19．（6分）先化简，再求值：（x﹣1）2+x（3﹣x），其中x=﹣．【分析】首先计算完全平方，再计算单项式乘以多项式，再合并同类项，化简后再把x的值代入即可．【解答】解：原式=x2﹣2x+1+3x﹣x2=x+1，当x=﹣时，原式=﹣+1=．【点评】此题主要考查了整式的混合运算﹣﹣化简求值，关键是先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．20．（8分）在5×3的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．（1）在图1中画出线段BD，使BD∥AC，其中D是格点；（2）在图2中画出线段BE，使BE⊥AC，其中E是格点．【分析】（1）将线段AC沿着AB方向平移2个单位，即可得到线段BD；（2）利用2×3的长方形的对角线，即可得到线段BE⊥AC．【解答】解：（1）如图所示，线段BD即为所求；（2）如图所示，线段BE即为所求．【点评】本题主要考查了作图以及平行四边形的性质，首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．21．（8分）在第23个世界读书日前夕，我市某中学为了解本校学生的每周课外阅读时间（用t表示，单位：小时），采用随机抽样的方法进行问卷调查，调查结果按0≤t＜2，2≤t＜3，3≤t＜4，t≥4分为四个等级，并依次用A，B，C，D表示，根据调查结果统计的数据，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，由图中给出的信息解答下列问题：（1）求本次调查的学生人数；（2）求扇形统计图中等级B所在扇形的圆心角度数，并把条形统计图补充完整；（3）若该校共有学生1200人，试估计每周课外阅读时间满足3≤t＜4的人数．【分析】（1）由条形图、扇形图中给出的级别A的数字，可计算出调查学生人数；（2）先计算出C在扇形图中的百分比，用1﹣[（A+D+C）在扇形图中的百分比]可计算出B在扇形图中的百分比，再计算出B在扇形的圆心角．（3）总人数×课外阅读时间满足3≤t＜4的百分比即得所求．【解答】解：（1）由条形图知，A级的人数为20人，由扇形图知：A级人数占总调查人数的10%所以：20÷10%=20×=200（人）即本次调查的学生人数为200人；（2）由条形图知：C级的人数为60人所以C级所占的百分比为：×100%=30%，B级所占的百分比为：1﹣10%﹣30%﹣45%=15%，B级的人数为200×15%=30（人）D级的人数为：200×45%=90（人）B所在扇形的圆心角为：360°×15%=54°．（3）因为C级所占的百分比为30%，所以全校每周课外阅读时间满足3≤t＜4的人数为：1200×30%=360（人）答：全校每周课外阅读时间满足3≤t＜4的约有360人．【点评】本题考查了扇形图和条形图的相关知识．题目难度不大．扇形图中某项的百分比=×100%，扇形图中某项圆心角的度数=360°×该项在扇形图中的百分比．22．（10分）已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点（1，0），（0，）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）将抛物线y=﹣x2+bx+c平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式．【分析】（1）把已知点的坐标代入抛物线解析式求出b与c的值即可；（2）指出满足题意的平移方法，并写出平移后的解析式即可．【解答】解：（1）把（1，0），（0，）代入抛物线解析式得：，解得：，则抛物线解析式为y=﹣x2﹣x+；（2）抛物线解析式为y=﹣x2﹣x+=﹣（x+1）2+2，将抛物线向右平移一个单位，向下平移2个单位，解析式变为y=﹣x2．【点评】此题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，以及待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．23．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB边上一点（点D 与A，B不重合），连结CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连结DE交BC于点F，连接BE．（1）求证：△ACD≌△BCE；（2）当AD=BF时，求∠BEF的度数．【分析】（1）由题意可知：CD=CE，∠DCE=90°，由于∠ACB=90°，所以∠ACD=∠ACB﹣∠DCB，∠BCE=∠DCE﹣∠DCB，所以∠ACD=∠BCE，从而可证明△ACD≌△BCE（SAS）（2）由△ACD≌△BCE（SAS）可知：∠A=∠CBE=45°，BE=BF，从而可求出∠BEF 的度数．【解答】解：（1）由题意可知：CD=CE，∠DCE=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD=∠ACB﹣∠DCB，∠BCE=∠DCE﹣∠DCB，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD与△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS）（2）∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠A=45°，由（1）可知：∠A=∠CBE=45°，∵AD=BF，∴BE=BF，∴∠BEF=67.5°【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用旋转的性质以及全等三角形的判定与性质，本题属于中等题型．24．（10分）某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．（1）求甲、乙两种商品的每件进价；（2）该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元，乙种商品的销售单价为88元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变．要使两种商品全部售完后共获利不少于2460元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？【分析】（1）设甲种商品的每件进价为x元，乙种商品的每件进价为y元．根据“某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．购进的甲、乙两种商品件数相同”列出方程；（2）设甲种商品按原销售单价销售a件，则由“两种商品全部售完后共获利不少于2460元”列出不等式．【解答】解：（1）设甲种商品的每件进价为x元，则乙种商品的每件进价为（x+8）元．根据题意，得，=，解得 x=40．经检验，x=40是原方程的解．答：甲种商品的每件进价为40元，乙种商品的每件进价为48元；（2）甲乙两种商品的销售量为=50．设甲种商品按原销售单价销售a件，则（60﹣40）a+（60×0.7﹣40）（50﹣a）+（88﹣48）×50≥2460，解得 a≥20．答：甲种商品按原销售单价至少销售20件．【点评】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用．本题属于商品销售中的利润问题，对于此类问题，隐含着一个等量关系：利润=售价﹣进价．25．（12分）若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．（1）已知△ABC是比例三角形，AB=2，BC=3，请直接写出所有满足条件的AC的长；（2）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD平分∠ABC，∠BAC=∠ADC．求证：△ABC是比例三角形．（3）如图2，在（2）的条件下，当∠ADC=90°时，求的值．【分析】（1）根据比例三角形的定义分AB2=BC•AC、BC2=AB•AC、AC2=AB•BC三种情况分别代入计算可得；（2）先证△ABC∽△DCA得CA2=BC•AD，再由∠ADB=∠CBD=∠ABD知AB=AD即可得；（3）作AH⊥BD，由AB=AD知BH=BD，再证△ABH∽△DBC得AB•BC=BH•DB，即AB•BC=BD2，结合AB•BC=AC2知BD2=AC2，据此可得答案．【解答】解：（1）∵△ABC是比例三角形，且AB=2、AC=3，①当AB2=BC•AC时，得：4=3AC，解得：AC=；②当BC2=AB•AC时，得：9=2AC，解得：AC=；③当AC2=AB•BC时，得：AC=6，解得：AC=（负值舍去）；所以当AC=或或时，△ABC是比例三角形；∴∠ACB=∠CAD，又∵∠BAC=∠ADC，∴△ABC∽△DCA，∴=，即CA2=BC•AD，∵AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∴∠ADB=∠ABD，∴AB=AD，∴CA2=BC•AB，∴△ABC是比例三角形；（3）如图，过点A作AH⊥BD于点H，∵AB=AD，∴BH=BD，∵AD∥BC，∠ADC=90°，∴∠BCD=90°，∴∠BHA=∠BCD=90°，又∵∠ABH=∠DBC，∴△ABH∽△DBC，∴=，即AB•BC=BH•DB，∴AB•BC=BD2，∴BD2=AC2，∴=．【点评】本题主要考查相似三角形的综合问题，解题的关键是理解比例三角形的定义，并熟练掌握相似三角形的判定与性质．26．（14分）如图1，直线l：y=﹣x+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，点C是线段OA上一动点（0＜AC＜）．以点A为圆心，AC长为半径作⊙A交x轴于另一点D，交线段AB于点E，连结OE并延长交⊙A于点F．（1）求直线l的函数表达式和tan∠BAO的值；（2）如图2，连结CE，当CE=EF时，①求证：△OCE∽△OEA；②求点E的坐标；（3）当点C在线段OA上运动时，求OE•EF的最大值．【分析】（1）利用待定系数法求出b即可得出直线l表达式，即可求出OA，OB，即可得出结论；（2）①先判断出∠CDF=2∠CDE，进而得出∠OAE=∠ODF，即可得出结论；②设出EM=3m，AM=4m，进而得出点E坐标，即可得出OE的平方，再根据①的相似得出比例式得出OE的平方，建立方程即可得出结论；（3）利用面积法求出OG，进而得出AG，HE，再构造相似三角形，即可得出结论．【解答】解：∵直线l：y=﹣x+b与x轴交于点A（4，0），∴﹣×4+b=0，∴b=3，∴直线l的函数表达式y=﹣x+3，∴B（0，3），∴OA=4，OB=3，在Rt△AOB中，tan∠BAO==；（2）①如图2，连接DF，∵CE=EF，∴∠CDE=∠FDE，∴∠CDF=2∠CDE，∵∠OAE=2∠CDE，∴∠OAE=∠ODF，∵四边形CEFD是⊙O的圆内接四边形，∴∠OEC=∠ODF，∴∠OEC=∠OAE，∵∠COE=∠EOA，∴△COE∽△EOA，②过点E⊥OA于M，由①知，tan∠OAB=，设EM=3m，则AM=4m，∴OM=4﹣4m，AE=5m，∴E（4﹣4m，3m），AC=5m，∴OC=4﹣5m，由①知，△COE∽△EOA，∴，∴OE2=OA•OC=4（4﹣5m）=16﹣20m，∵E（4﹣4m，3m），∴（4﹣4m）2+9m2=25m2﹣32m+16，∴25m2﹣32m+16=16﹣20m，∴m=0（舍）或m=，∴4﹣4m=，3m=，∴（，），（3）如图，设⊙O的半径为r，过点O作OG⊥AB于G，∵A（4，0），B（0，3），∴OA=4，OB=3，∴AB=5，∴AB×OG=OA×OB，∴OG=，∴AG==×=，∴EG=AG﹣AE=﹣r，连接FH，∵EH是⊙O直径，∴EH=2r，∠EFH=90°=∠EGO，∵∠OEG=∠HEF，∴△OEG∽△HEF，∴，∴OE•EF=HE•EG=2r（﹣r）=﹣2（r﹣）2+，∴r=时，OE•EF最大值为．【点评】此题是圆的综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理，正确作出辅助线是解本题的关键．第31页（共31页）。
浙江省宁波市2018年中考数学试题及答案解析(Word版)
2018年浙江省宁波市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共48分） 1. 在，，0，1这四个数中，最小的数是A.B. C. 0 D. 1【答案】A【解析】解：由正数大于零，零大于负数，得，最小的数是， 故选：A ．根据正数大于零，零大于负数，可得答案．本题考查了有理数比较大小，利用正数大于零，零大于负数是解题关键．2. 2018中国宁波特色文化产业博览会于4月16日在宁波国际会展中心闭幕本次博览会为期四天，参观总人数超55万人次，其中55万用科学记数法表示为A.B.C.D. 【答案】B 【解析】解：， 故选：B ．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n 为整数确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值时，n 是正数；当原数的绝对值时，n 是负数． 此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为的形式，其中，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．3. 下列计算正确的是A.B.C.D.【答案】A 【解析】解：， 选项A 符合题意；，选项B 不符合题意；，选项C 不符合题意；，选项D 不符合题意． 故选：A ．根据同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法的运算方法，合并同类项的方法，以及幂的乘方与积的乘方的运算方法，逐项判定即可． 此题主要考查了同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法的运算方法，合并同类项的方法，以及幂的乘方与积的乘方的运算方法，解答此题的关键是要明确：底数，因为0不能做除数；单独的一个字母，其指数是1，而不是0；应用同底数幂除法的法则时，底数a 可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．4.有五张背面完全相同的卡片，正面分别写有数字1，2，3，4，5，把这些卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，其正面的数字是偶数的概率为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：从写有数字1，2，3，4，5这5张纸牌中抽取一张，其中正面数字是偶数的有2、4这2种结果，正面的数字是偶数的概率为，故选：C．让正面的数字是偶数的情况数除以总情况数5即为所求的概率．此题主要考查了概率公式的应用，明确概率的意义是解答的关键，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．5.已知正多边形的一个外角等于，那么这个正多边形的边数为A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】D【解析】解：正多边形的一个外角等于，且外角和为，则这个正多边形的边数是：．故选：D．根据正多边形的外角和以及一个外角的度数，求得边数．本题主要考查了多边形的外角和定理，解决问题的关键是掌握多边形的外角和等于360度．6.如图是由6个大小相同的立方体组成的几何体，在这个几何体的三视图中，是中心对称图形的是A. 主视图B. 左视图C. 俯视图D. 主视图和左视图【答案】C【解析】解：从上边看是一个田字，“田”字是中心对称图形，故选：C．根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图，又利用了中心对称图形．7.如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，连结若，，则的度数为B. C. D.A.【答案】B【解析】解：，，，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，是的中位线，，．故选：B ．直接利用三角形内角和定理得出的度数，再利用三角形中位线定理结合平行线的性质得出答案．此题主要考查了三角形内角和定理、三角形中位线定理等知识，得出EO 是的中位线是解题关键．8. 若一组数据4，1，7，x ，5的平均数为4，则这组数据的中位数为A. 7B. 5C. 4D. 3 【答案】C【解析】解：数据4，1，7，x ，5的平均数为4，，解得：，则将数据重新排列为1、3、4、5、7， 所以这组数据的中位数为4， 故选：C ．先根据平均数为4求出x 的值，然后根据中位数的概念求解．本题考查了中位数的概念：将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．9. 如图，在中，，，，以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交边AB 于点D ，则的长为A.B.C.D.【答案】C 【解析】解：，，，，的长为，故选：C ． 先根据，，，得圆心角和半径的长，再根据弧长公式可得到弧CD 的长．本题主要考查了弧长公式的运用和直角三角形30度角的性质，解题时注意弧长公式为：弧长为l ，圆心角度数为n ，圆的半径为．10. 如图，平行于x 轴的直线与函数，的图象分别相交于A ，B 两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若的面积为4，则的值为A. 8B.C. 4D.【答案】A【解析】解：轴，，B两点纵坐标相同．设，，则，．，．故选：A．设，，根据反比例函数图象上点的坐标特征得出，根据三角形的面积公式得到，求出．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，点在函数的图象上，则点的坐标满足函数的解析式也考查了三角形的面积．11.如图，二次函数的图象开口向下，且经过第三象限的点若点P的横坐标为，则一次函数的图象大致是A.B.C.D.【答案】D【解析】解：由二次函数的图象可知，，， 当时，，的图象在第二、三、四象限，故选：D ．根据二次函数的图象可以判断a 、b 、的正负情况，从而可以得到一次函数经过哪几个象限，本题得以解决．本题考查二次函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用函数的思想解答．12. 在矩形ABCD 内，将两张边长分别为a 和的正方形纸片按图1，图2两种方式放置图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠，矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为当时，的值为A. 2aB. 2bC.D.【答案】B 【解析】解：，，．故选：B ．利用面积的和差分别表示出和，然后利用整式的混合运算计算它们的差．本题考查了整式的混合运算：整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来也考查了正方形的性质．二、填空题（本大题共6小题，共24分）13. 计算：______． 【答案】2018 【解析】解：． 故答案为：2018．直接利用绝对值的性质得出答案．此题主要考查了绝对值，正确把握绝对值的定义是解题关键．14.要使分式有意义，x的取值应满足______．【答案】【解析】解：要使分式有意义，则：．解得：，故x的取值应满足：．故答案为：．直接利用分式有意义则分母不能为零，进而得出答案．此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键．15.已知x，y满足方程组，则的值为______．【答案】【解析】解：原式故答案为：根据平方差公式即可求出答案．本题考查因式分解，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．16.如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为和若飞机离地面的高度CH为1200米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为______米结果保留根号．【答案】【解析】解：由于，，在中，米，在，米．米故答案为：在和中，利用锐角三角函数，用CH表示出AH、BH的长，然后计算出AB的长．本题考查了锐角三角函数的仰角、俯角问题题目难度不大，解决本题的关键是用含CH 的式子表示出AH和BH．边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM 长为半径作当与正方形ABCD的边相切时，BP的长为______．【答案】3或【解析】解：如图1中，当与直线CD 相切时，设．在中，，，，如图2中当与直线AD相切时设切点为K，连接PK ，则，四边形PKDC是矩形．，在中，．综上所述，BP的长为3或．分两种情形分别求解：如图1中，当与直线CD相切时；如图2中当与直线AD相切时设切点为K，连接PK ，则，四边形PKDC是矩形；本题考查切线的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．18.如图，在菱形ABCD中，，是锐角，于点E，M是AB的中点，连结MD，若，则的值为______．【答案】【解析】解：延长DM交CB的延长线于点H．四边形ABCD是菱形，，，，，，≌，，，，设，，，，，或舍弃，，故答案为．延长DM交CB的延长线于点首先证明，设，利用勾股定理构建方程求出x即可解决问题．本题考查菱形的性质、勾股定理、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．三、计算题（本大题共1小题，共6分）19.已知抛物线经过点，求该抛物线的函数表达式；将抛物线平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式．【答案】解：把，代入抛物线解析式得：，解得：，则抛物线解析式为；抛物线解析式为，将抛物线向右平移一个单位，向下平移2个单位，解析式变为．【解析】把已知点的坐标代入抛物线解析式求出b与c的值即可；指出满足题意的平移方法，并写出平移后的解析式即可．此题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，以及待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．四、解答题（本大题共7小题，共72分）20.先化简，再求值：，其中．【答案】解：原式，当时，原式．【解析】首先计算完全平方，再计算单项式乘以多项式，再合并同类项，化简后再把x的值代入即可．此题主要考查了整式的混合运算--化简求值，关键是先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．21.在的方格纸中，的三个顶点都在格点上．在图1中画出线段BD ，使，其中D是格点；在图2中画出线段BE ，使，其中E是格点．【答案】解：如图所示，线段BD即为所求；如图所示，线段BE即为所求．【解析】将线段AC沿着AB方向平移2个单位，即可得到线段BD；利用的长方形的对角线，即可得到线段．本题主要考查了作图以及平行四边形的性质，首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．22.在第23个世界读书日前夕，我市某中学为了解本校学生的每周课外阅读时间用t表示，单位：小时，采用随机抽样的方法进行问卷调查，调查结果按，，，分为四个等级，并依次用A，B，C，D表示，根据调查结果统计的数据，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，由图中给出的信息解答下列问题：求本次调查的学生人数；求扇形统计图中等级B所在扇形的圆心角度数，并把条形统计图补充完整；若该校共有学生1200人，试估计每周课外阅读时间满足的人数．【答案】解：由条形图知，A级的人数为20人，由扇形图知：A级人数占总调查人数的所以：人即本次调查的学生人数为200人；由条形图知：C级的人数为60人所以C级所占的百分比为：，B级所占的百分比为：，B 级的人数为人D 级的人数为：人B所在扇形的圆心角为：．因为C级所占的百分比为，所以全校每周课外阅读时间满足的人数为：人答：全校每周课外阅读时间满足的约有360人．【解析】由条形图、扇形图中给出的级别A的数字，可计算出调查学生人数；先计算出C在扇形图中的百分比，用在扇形图中的百分比可计算出B在扇形图中的百分比，再计算出B在扇形的圆心角．总人数课外阅读时间满足的百分比即得所求．本题考查了扇形图和条形图的相关知识题目难度不大扇形图中某项的百分比，扇形图中某项圆心角的度数该项在扇形图中的百分比．23.如图，在中，，，D是AB边上一点点D与A，B 不重合，连结CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转得到线段CE，连结DE交BC于点F，连接BE．求证：≌；当时，求的度数．【答案】解：由题意可知：，，，，，，在与中，≌，，，由可知：，，，【解析】由题意可知：，，由于，所以，，所以，从而可证明≌由≌可知：，，从而可求出的度数．本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用旋转的性质以及全等三角形的判定与性质，本题属于中等题型．24.某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．求甲、乙两种商品的每件进价；该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元，乙种商品的销售单价为88元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变要使两种商品全部售完后共获利不少于2460元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？【答案】解：设甲种商品的每件进价为x 元，则乙种商品的每件进价为元．根据题意，得，，解得．经检验，是原方程的解．答：甲种商品的每件进价为40元，乙种商品的每件进价为48元；甲乙两种商品的销售量为．设甲种商品按原销售单价销售a件，则，解得．答：甲种商品按原销售单价至少销售20件．【解析】设甲种商品的每件进价为x元，乙种商品的每件进价为y元根据“某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元购进的甲、乙两种商品件数相同”列出方程；设甲种商品按原销售单价销售a件，则由“两种商品全部售完后共获利不少于2460元”列出不等式．本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用本题属于商品销售中的利润问题，对于此类问题，隐含着一个等量关系：利润售价进价．25.若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．已知是比例三角形，，，请直接写出所有满足条件的AC的长；如图1，在四边形ABCD中，，对角线BD平分，求证：是比例三角形．如图2，在的条件下，当时，求的值．【答案】解：是比例三角形，且、，当时，得：，解得：；当时，得：，解得：；当时，得：，解得：负值舍去；所以当或或时，是比例三角形；，，又，∽，，即，，，平分，，，，，是比例三角形；如图，过点A 作于点H，，，，，，，又，∽，，即，，又，，．【解析】根据比例三角形的定义分、、三种情况分别代入计算可得；先证∽得，再由知即可得；作，由知，再证∽得，即，结合知，据此可得答案．本题主要考查相似三角形的综合问题，解题的关键是理解比例三角形的定义，并熟练掌握相似三角形的判定与性质．26.如图1，直线l ：与x 轴交于点，与y轴交于点B，点C是线段OA 上一动点以点A为圆心，AC 长为半径作交x轴于另一点D，交线段AB于点E，连结OE 并延长交于点F．求直线l的函数表达式和的值；如图2，连结CE，当时，求证：∽；求点E的坐标；当点C在线段OA上运动时，求的最大值．【答案】解：直线l：与x轴交于点，，，直线l的函数表达式，，，，在中，；如图2，连接DF，，，，，，四边形CEFD是的圆内接四边形，，，，∽，过点于M，由知，，设，则，，，，，，由知，∽，，，，，，舍或，，如图，设的半径为r，过点O 作于G，，，，，，，，，连接FH，是直径，，，，∽，，，【解析】利用待定系数法求出b即可得出直线l表达式，即可求出OA，OB，即可得出结论；先判断出，进而得出，即可得出结论；相似得出比例式得出OE的平方，建立方程即可得出结论；利用面积法求出OG，进而得出AG，HE，再构造相似三角形，即可得出结论．此题是圆的综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理，正确作出辅助线是解本题的关键．中考数学考试考场注意事项一、提前进入“角色中考前一个晚上睡足八个小时，早晨吃好清淡早餐，按清单带齐一切用具，提前半小时到达考区，一方面可以消除新异刺激，稳定情绪，从容进场，另一方面也留有时间提前进入“角色”——让大脑开始简单的数学活动，进入单一的数学情境。
专题2.9 浙江省宁波市(母题解读)-2018中考数学真题之名师立体解读高端精品(解析版)
【母题来源】浙江省宁波市2018年中考数学试卷第24题【母题原题】某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．（1）求甲、乙两种商品的每件进价；（2）该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元，乙种商品的销售单价为88元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变．要使两种商品全部售完后共获利不少于2460元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？【分析】（1）设甲种商品的每件进价为x元，乙种商品的每件进价为y元．根据“某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．购进的甲、乙两种商品件数相同”列出方程；（2）设甲种商品按原销售单价销售a件，则由“两种商品全部售完后共获利不少于2460元”列出不等式．【命题意图】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用．本题属于商品销售中的利润问题，对于此类问题，隐含着一个等量关系：利润=售价﹣进价．【方法、技巧、规律】由于列方程（组）、列不等式（组）解应用题手段独特，方法灵活，因而常出现在中考试卷中，事实上，列方程（组）、列不等式（组）解应用题的方法可以简单地分为：设、找、列、解、答五个步骤，可以改变问题的背景，可以是一次方程与不等式（组）的结合，也可以是分式方程与不等式的结合，还可以是方程（组）、不等式（组）以及函数的结合.【母题1】某商店用1000元人民币购进水果销售，过了一段时间，又用2400元人民币购进这种水果，所购数量是第一次购进数量的2倍，但每千克的价格比第一次购进的贵了2元．（1）该商店第一次购进水果多少千克？（2）假设该商店两次购进的水果按相同的标价销售，最后剩下的20千克按标价的五折优惠销售．若两次购进水果全部售完，利润不低于950元，则每千克水果的标价至少是多少元？注：每千克水果的销售利润等于每千克水果的销售价格与每千克水果的购进价格的差，两批水果全部售完的利润等于两次购进水果的销售利润之和．【答案】（1）该商店第一次购进水果100千克；（2）每千克水果的标价至少是15元．【分析】（1）首先根据题意，设该商店第一次购进水果x千克，则第二次购进水果2x千克，然后根据：（ +2）×第二次购进的水果的重量=2400，列出方程，求出该商店第一次购进水果多少千克即可．（2）首先根据题意，设每千克水果的标价是x元，然后根据：（两次购进的水果的重量﹣20）×x+20×0.5x ≥两次购进水果需要的钱数+950，列出不等式，求出每千克水果的标价是多少即可．考点：分式方程的应用；一元一次不等式的应用；应用题；最值问题．【母题2】为了推进我州校园篮球运动的发展，2017年四川省中小学生男子篮球赛于2月在西昌成功举办．在此期间，某体育文化用品商店计划一次性购进篮球和排球共60个，其进价与售价间的关系如下表：（1）商店用4200元购进这批篮球和排球，求购进篮球和排球各多少个？（2）设商店所获利润为y（单位：元），购进篮球的个数为x（单位：个），请写出y与x之间的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；（3）若要使商店的进货成本在4300元的限额内，且全部销售完后所获利润不低于1400元，请你列举出商店所有进货方案，并求出最大利润是多少？【答案】（1）购进篮球40个，排球20个；（2）y=5x+1200；（3）共有四种方案，方案1：购进篮球40个，排球20个；方案2：购进篮球41个，排球19个；方案3：购进篮球42个，排球18个；方案4：购进篮球43个，排球17个．最大利润为1415元．【分析】（1）设购进篮球m个，排球n个，根据购进篮球和排球共60个且共需4200元，即可得出关于m、n的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设商店所获利润为y元，购进篮球x个，则购进排球（60﹣x）个，根据总利润=单个利润×购进数量，即可得出y与x之间的函数关系式；（3）设购进篮球x个，则购进排球（60﹣x）个，根据进货成本在4300元的限额内且全部销售完后所获利润不低于1400元，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，取其整数即可得出各购进方案，再结合（2）的结论利用一次函数的性质即可解决最值问题．点睛：本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出二元一次方程组；（2）根据数量关系，找出y与x之间的函数关系式；（3）根据一次函数的性质解决最值问题．考点：一次函数的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式组的应用；方案型；最值问题．【母题3】某网店销售甲、乙两种防雾霾口罩，已知甲种口罩每袋的售价比乙种口罩多5元，小丽从该网店网购2袋甲种口罩和3袋乙种口罩共花费110元．（1）改网店甲、乙两种口罩每袋的售价各多少元？（2）根据消费者需求，网店决定用不超过10000元购进价、乙两种口罩共500袋，且甲种口罩的数量大于乙种口罩的45，已知甲种口罩每袋的进价为22.4元，乙种口罩每袋的进价为18元，请你帮助网店计算有几种进货方案？若使网店获利最大，应该购进甲、乙两种口罩各多少袋，最大获利多少元？【答案】（1）该网店甲种口罩每袋的售价为25元，乙种口罩每袋的售价为20元；（2）该网店购进甲种口罩227袋，购进乙种口罩273袋时，获利最大，最大利润为1136.2元．【分析】（1）分别根据甲种口罩每袋的售价比乙种口罩多5元，小丽从该网店网购2袋甲种口罩和3袋乙种口罩共花费110元，得出等式组成方程求出即可；（2）根据网店决定用不超过10000元购进价、乙两种口罩共500袋，甲种口罩的数量大于乙种口罩的45，得出不等式求出后，根据m的取值，得到5种方案，设网店获利w元，则有w=（25﹣22.4）m+（20﹣18）（500﹣m）=0.6m+1000，故当m=227时，w最大，求出即可．（2）设该网店购进甲种口罩m袋，购进乙种口罩（500﹣m）袋，根据题意得4(500)522.418(500)10000 m mm m⎧>-⎪⎨⎪+-≤⎩，解这个不等式组得：222.2＜m≤227.3，因m为整数，故有5种进货方案，分别是：购进甲种口罩223袋，乙种口罩277袋；购进甲种口罩224袋，乙种口罩276袋；购进甲种口罩225袋，乙种口罩275袋；购进甲种口罩226袋，乙种口罩274袋；购进甲种口罩227袋，乙种口罩273袋；设网店获利w元，则有w=（25﹣22.4）m+（20﹣18）（500﹣m）=0.6m+1000，故当m=227时，w最大，w最大=0.6×227+1000=1136.2（元），故该网店购进甲种口罩227袋，购进乙种口罩273袋时，获利最大，最大利润为1136.2元．点睛：本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用及二元一次方程组的解法，列一元一次不等式解实际问题的运用及解法，在解答过程中寻找能够反映整个题意的等量关系是解答本题的关键．考点：一次函数的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式组的应用；方案型；最值问题．母题二几何综合问题【母题来源】浙江省宁波市2018年中考数学试卷第25题【母题原题】若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．（1）已知△ABC是比例三角形，AB=2，BC=3，请直接写出所有满足条件的AC的长；（2）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD平分∠ABC，∠BAC=∠ADC．求证：△ABC是比例三角形．（3）如图2，在（2）的条件下，当∠ADC=90°时，求的值．【分析】（1）根据比例三角形的定义分AB2=BC•AC、BC2=AB•AC、AC2=AB•BC三种情况分别代入计算可得；（2）先证△ABC∽△DCA得CA2=BC•AD，再由∠ADB=∠CBD=∠ABD知AB=AD即可得；（3）作AH⊥BD，由AB=AD知BH=BD，再证△ABH∽△DBC得AB•BC=BH•DB，即AB•BC=BD2，结合AB•BC=AC2知BD2=AC2，据此可得答案．（2）∵AD∥BC，∴∠ACB=∠CAD，又∵∠BAC=∠ADC，∴△ABC∽△DCA，∴=，即CA2=BC•AD，∵AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∴∠ADB=∠ABD，∴AB=AD，∴CA2=BC•AB，∴△ABC是比例三角形；【命题意图】本题主要考查相似三角形的综合问题，解题的关键是理解比例三角形的定义，并熟练掌握相似三角形的判定与性质．【方法、技巧、规律】几何综合问题主要涉及特殊的三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形等，这类问题的解决要熟知知各种图形的性质与判定，并且这类题目的解决有时还需要全等三角形和相似三角形、勾股定理、方程思想与分类讨论的相关知识，因此能熟练应用各种知识是解决此类问题的关键.【母题1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P顺时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ．（1）如图1，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系．（2）如图2，当点P在CB延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，当点P在BC延长线上时，若∠BPO=15°，BP=4，请求出BQ的长．-．【答案】（1）BQ=CP；（2）成立：PC=BQ；（3）4【分析】（1）结论：BQ=CP．如图1中，作PH∥AB交CO于H，可得△PCH是等边三角形，只要证明△POH≌△QPB即可；（2）成立：PC=BQ．作PH∥AB交CO的延长线于H．证明方法类似（1）；（3）如图3中，作CE⊥OP于E，在PE上取一点F，使得FP=FC，连接CF．设CE=CO=a，则FC=FP=2a，EF a，a+=，求出a即可解决问题；在Rt△PCE中，表示出PC，根据PC+CB=4，可得方程4（2）成立：PC=BQ．理由：作PH∥AB交CO的延长线于H．在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∠A=30°，点O为AB中点，∴CO=AO=BO，∠CBO=60°，∴△CBO是等边三角形，∴∠CHP=∠COB=60°，∠CPH=∠CBO=60°，∴∠CHP=∠CPH=60°，∴△CPH是等边三角形，∴PC=PH=CH，∴OH=PB，∵∠POH=60°+∠CPO，∠QPO=60°+∠CPQ，∴∠POH=∠QPB，∵PO=PQ，∴△POH≌△QPB，∴PH=QB，∴PC=BQ．点睛：此题考查几何变换综合题、旋转变换、等边三角形的判定和性质全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．【母题2】如图，∠MAN=60°，AP平分∠MAN，点B是射线AP上一定点，点C在直线AN上运动，连接BC，将∠ABC（0°＜∠ABC＜120°）的两边射线BC和BA分别绕点B顺时针旋转120°，旋转后角的两边分别与射线AM交于点D和点E．（1）如图1，当点C在射线AN上时，①请判断线段BC与BD的数量关系，直接写出结论；②请探究线段AC，AD和BE之间的数量关系，写出结论并证明；（2）如图2，当点C在射线AN的反向延长线上时，BC交射线AM于点F，若AB=4，AC，请直接写出线段AD和DF的长．【答案】（1）①BC =BD ；②AD +AC BE ；（2）AD =，DF ．【分析】（1）①结论：BC =BD ．只要证明△BGD ≌△BHC 即可．②结论：AD +AC ．只要证明AD +AC =2AG =2EG ，再证明EB BE 即可解决问题； （2）如图2中，作BG ⊥AM 于G ，BH ⊥AN 于H ，AK ⊥CF 于K ．由（1）可知，△ABG ≌△ABH ，△BGD ≌△BHC ，易知BH ，AH ，BC ，CH ， AD 的长，由sin ∠ACH =AK BH AC BC =，推出AK 的长，设FG =y ，则AF =y ，BF ，由△AFK ∽△BFG ，可得AF AK BF BG=，可得关于y 的方程，求出y 即可解决问题．EG =BE BE ，∵△BGD ≌△BHC ，∴DG =CH ，∵AB =AB ，BG =BH ，∴Rt △ABG ≌Rt △ABH ，∴AG =AH ，∴AD +AC =AG +DG +AH ﹣CH =2AG ，∴AD +AC BE ．点睛：本题考查几何变换综合题、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．考点：相似三角形的判定与性质；几何变换综合题；探究型；压轴题．【母题3】如图①，△ABC中，∠ABC=45°，AH⊥BC于点H，点D在AH上，且DH=CH，连结BD．（1）求证：B D=AC；（2）将△BHD绕点H旋转，得到△EHF（点B，D分别与点E，F对应），连接AE．①如图②，当点F落在AC上时，（F不与C重合），若BC=4，tanC=3，求AE的长；②如图③，当△EHF是由△BHD绕点H逆时针旋转30°得到时，设射线CF与AE相交于点G，连接GH，试探究线段GH与EF之间满足的等量关系，并说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2；②EFHG＝12．【分析】（1）先判断出AH=BH，再判断出△BHD≌△AHC即可；（2）①先根据tanC=3，求出AH=3，CH=1，然后根据△EHA≌△FHC，得到，HP=3AP，AE=2AP，最后用勾股定理即可；②先判断出△AGQ∽△CHQ，得到AQ CQGQ HQ=，然后判断出△AQC∽△GQH，用相似比即可．②由①有，△AEH和△FHC都为等腰三角形，∴∠GAH=∠HCG=90°，∴△AGQ∽△CHQ，∴AQ GQ CQ HQ=，∴AQ CQGQ HQ=，∵∠AQC=∠GQE，∴△AQC∽△GQH，∴EF AC AQHG GH GQ===sin30°=12．点睛：此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理，锐角三角函数的意义，等腰三角形的判定和性质，解本题的关键是相似三角形性质和判定的运用．考点：几何变换综合题．母题三函数与圆综合问题【母题来源】浙江省宁波市2018年中考数学试卷第26题【母题原题】如图1，直线l：y=﹣x+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，点C是线段OA上一动点（0＜AC＜）．以点A为圆心，AC长为半径作⊙A交x轴于另一点D，交线段AB于点E，连结OE并延长交⊙A于点F．（1）求直线l的函数表达式和tan∠BAO的值；（2）如图2，连结CE，当CE=EF时，①求证：△OCE∽△OEA；②求点E的坐标；（3）当点C在线段OA上运动时，求OE•EF的最大值．【分析】（1）利用待定系数法求出b即可得出直线l表达式，即可求出OA，OB，即可得出结论；（2）①先判断出∠CDF=2∠CDE，进而得出∠OAE=∠ODF，即可得出结论；②设出EM=3m，AM=4m，进而得出点E坐标，即可得出OE的平方，再根据①的相似得出比例式得出OE的平方，建立方程即可得出结论；（3）利用面积法求出OG，进而得出AG，HE，再构造相似三角形，即可得出结论．【解析】∵直线l：y=﹣x+b与x轴交于点A（4，0），∴﹣×4+b=0，∴b=3，∴直线l的函数表达式y=﹣x+3，∴B（0，3），∴OA=4，OB=3，在Rt△AOB中，tan∠BAO==；②过点E⊥OA于M，由①知，tan∠OAB=，设EM=3m，则AM=4m，∴OM=4﹣4m，AE=5m，∴E（4﹣4m，3m），AC=5m，∴OC=4﹣5m，由①知，△COE∽△EOA，∴，∴OE2=OA•OC=4（4﹣5m）=16﹣20m，∵E（4﹣4m，3m），∴（4﹣4m）2+9m2=25m2﹣32m+16，∴25m2﹣32m+16=16﹣20m，∴m=0（舍）或m=，∴4﹣4m=，3m=，∴（，），连接FH，∵EH是⊙O直径，∴EH=2r，∠EFH=90°=∠EGO，∵∠OEG=∠HEF，∴△OEG∽△HEF，∴，∴OE•EF=HE•EG=2r（﹣r）=﹣2（r﹣）2+，∴r=时，OE•EF最大值为．【命题意图】此题是圆的综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理，正确作出辅助线是解本题的关键．【方法、技巧、规律】弄清题目中所涉及的概念，熟悉与之相关的定理、公式、技巧和方法；从不同的角度来探索解题的途径，注意运用“从已知看可知”，“从结论看需知”等综合法与分析法来沟通已知条件与结论.综合使用分析法和综合法，运用方程的思想，，使用分类讨论的思想，运用数形结合的思想，运用转化的思想.【母题1】如图，抛物线y=233384x x --+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求点A 、B 的坐标；（2）设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，求点D 的坐标；（3）若直线l 过点E （4，0），M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l 的解析式．【答案】（1）A （﹣4，0）、B （2，0）．（2）D 1（﹣1，94-），D 2（﹣1，274）．（3）y=-34x+3或y=34x ﹣3．（3）本问关键是理解“以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有三个”的含义．因为过A 、B 点作x 轴的垂线，其与直线l 的两个交点均可以与A 、B 点构成直角三角形，这样已经有符合题意的两个直角三角形；第三个直角三角形从直线与圆的位置关系方面考虑，以AB 为直径作圆，当直线与圆相切时，根据圆周角定理，切点与A 、B 点构成直角三角形．从而问题得解．注意：这样的切线有两条，如答图2所示． 试题解析：（1）令y=0，即233384x x --+=0， 解得x 1=﹣4，x 2=2，∴A 、B 点的坐标为A （﹣4，0）、B （2，0）．设l1交y轴于E，过C作CF⊥l1于F，则CF=h=185，∴CE=18954sin sin25CF CFCEF OCA===∠∠．设直线AC的解析式为y=kx+b，将A（﹣4，0），C（0，3）坐标代入，得到403k bb-+=⎧⎨=⎩，解得343kb⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线AC解析式为y=34x+3．直线l1可以看做直线AC向下平移CE长度单位（92个长度单位）而形成的，∴直线l1的解析式为y=34x+3﹣92=34x﹣32．则D1的纵坐标为34×（﹣1）﹣32=94-，∴D1（﹣1，94-）．同理，直线AC向上平移92个长度单位得到l2，可求得D2（﹣1，274）综上所述，D点坐标为：D1（﹣1，94-），D2（﹣1，274）．考点：二次函数综合题．【母题2】在平面直角坐标系xOy中，对“隔离直线”给出如下定义：点P（x，m）是图形G1上的任意一点，点Q（x，n）是图形G2上的任意一点，若存在直线l：kx+b（k≠0）满足m≤kx+b且n≥kx+b，则称直线l：y=kx+b（k≠0）是图形G1与G2的“隔离直线”．如图1，直线l：y=﹣x﹣4是函数y=（x＜0）的图象与正方形OABC的一条“隔离直线”．（1）在直线y1=﹣2x，y2=3x+1，y3=﹣x+3中，是图1函数y=（x＜0）的图象与正方形OABC的“隔离直线”的为；请你再写出一条符合题意的不同的“隔离直线”的表达式：；（2）如图2，第一象限的等腰直角三角形EDF的两腰分别与坐标轴平行，直角顶点D的坐标是（，1），⊙O的半径为2．是否存在△EDF与⊙O的“隔离直线”？若存在，求出此“隔离直线”的表达式；若不存在，请说明理由；（3）正方形A1B1C1D1的一边在y轴上，其它三边都在y轴的右侧，点M（1，t）是此正方形的中心．若存在直线y=2x+b是函数y=x2﹣2x﹣3（0≤x≤4）的图象与正方形A1B1C1D1的“隔离直线”，请直接写出t的取值范围．【分析】（1）根据的“隔离直线”的定义即可解决问题；（2）连接OD，过点D作DG⊥x轴于点G，如图．过点D作DH⊥OD交y轴于点H，易知直线DH是⊙O的切线，也是△EDF与⊙O的“隔离直线”，求出直线DH即可解决问题；（3）分两种情形正方形在x轴上方以及在x轴下方时，分别求出正方形的一个顶点在直线y=2x+b上时的t 的值即可解决问题．（2）连接OD，过点D作DG⊥x轴于点G，如图．在Rt△DGO中，OD==2，sin∠1==，∴∠1=30°，∠2=60°，∵⊙O的半径为2，∴点D在⊙O上．过点D作DH⊥OD交y轴于点H，∴直线DH是⊙O的切线，也是△EDF与⊙O的“隔离直线”．在Rt△ODH中，OH==4，∴点H的坐标是（0，4），∴直线DH的表达式为y=﹣x+4，即所求“隔离直线”的表达式为y=﹣x+4．当x=2时，y=1，∴C1（2，1），直线EF是函数y=x2﹣2x﹣3（0≤x≤4）的图象与正方形A1B1C1D1的“隔离直线”，此时t=2，【点评】本题考查一次函数正方形的性质、一次函数的应用、二元二次方程组．一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．【母题3】在平面直角坐标系xOy中，若点P和点P1关于y轴对称，点P1和点P2关于直线l对称，则称点P2是点P关于y轴，直线l的二次对称点．（1）如图1，点A（﹣1，0）．①若点B是点A关于y轴，直线l1：x=2的二次对称点，则点B的坐标为（3.0）；②若点C（﹣5，0）是点A关于y轴，直线l2：x=a的二次对称点，则a的值为﹣2 ；③若点D（2，1）是点A关于y轴，直线l3的二次对称点，则直线l3的表达式为y=﹣x+2 ；（2）如图2，⊙O的半径为1．若⊙O上存在点M，使得点M'是点M关于y轴，直线l4：x=b的二次对称点，且点M'在射线y=x（x≥0）上，b的取值范围是﹣≤b≤1 ；（3）E（t，0）是x轴上的动点，⊙E的半径为2，若⊙E上存在点N，使得点N'是点N关于y轴，直线l5：y=x+1的二次对称点，且点N'在y轴上，求t的取值范围．【分析】（1）①②③根据二次对称点的定义，分别画出图形，即可解决问题．（2）根据二次对称点的定义，画出图形，求出b的最大值以及最小值即可解决问题．（3）如图6中，设点E关于y轴的对称点为E1，E1关于直线y=x+1的对称点为E′，易知当点N在⊙E 上运动时，点N′在⊙E′上运动，由此可见当⊙E′与y轴相切或相交时满足条件．想办法求出点E′的坐标即可解决问题．∵OM=1，易知，OM⊥OM′时，MM′的值最大，最大值为2，∴b的最大值为1，如图5中，易知当点M在x轴的正半轴上时，可得b的最小值，最小值为﹣，综上所述，满足条件的b取值范围为﹣≤b≤1．故答案为﹣≤b≤1．【点评】本题考查圆综合题、一次函数的应用、二元一次方程组的应用、轴对称变换等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用图形，寻找特殊位置解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．。
2018年浙江省宁波市中考数学试卷及答案解析[2]
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2018年浙江省宁波市中考数学试卷一、选择题（每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．（4分）在﹣3，﹣1，0,1这四个数中,最小的数是（)A．﹣3 B．﹣1 C．0 D．12．（4分）2018中国(宁波）特色文化产业博览会于4月16日在宁波国际会展中心闭幕．本次博览会为期四天，参观总人数超55万人次，其中55万用科学记数法表示为（)A．0.55×106B．5。
5×105C．5。
5×104D．55×1043．（4分）下列计算正确的是（)A．a3+a3=2a3B．a3•a2=a6C．a6÷a2=a3D．（a3）2=a54．(4分）有五张背面完全相同的卡片，正面分别写有数字1，2，3，4，5,把这些卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，其正面的数字是偶数的概率为( ) A．B．C．D．5．（4分）已知正多边形的一个外角等于40°,那么这个正多边形的边数为（) A．6 B．7 C．8 D．96．(4分）如图是由6个大小相同的立方体组成的几何体，在这个几何体的三视图中，是中心对称图形的是（)A．主视图B．左视图C．俯视图D．主视图和左视图7．（4分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，连结OE．若∠ABC=60°,∠BAC=80°，则∠1的度数为（）A．50°B．40°C．30°D．20°8．（4分）若一组数据4，1，7，x，5的平均数为4，则这组数据的中位数为（）A．7 B．5 C．4 D．39．（4分）如图，在△ABC中,∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4,以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AB于点D,则的长为( )A．πB．πC．πD．π10．（4分)如图，平行于x轴的直线与函数y=（k1＞0，x＞0），y=（k2＞0，x ＞0)的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧,C为x轴上的一个动点，若△ABC的面积为4,则k1﹣k2的值为( )A．8 B．﹣8 C．4 D．﹣411．（4分）如图，二次函数y=ax2+bx的图象开口向下，且经过第三象限的点P．若点P的横坐标为﹣1，则一次函数y=（a﹣b）x+b的图象大致是（)A．B． C．D．12．（4分）在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置(图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠)，矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1,图2中阴影部分的面积为S2．当AD﹣AB=2时，S2﹣S1的值为（）A．2a B．2b C．2a﹣2b D．﹣2b二、填空题（每小题4分,共24分）13．（4分）计算：|﹣2018|= ．14．（4分）要使分式有意义，x的取值应满足．15．（4分)已知x，y满足方程组，则x2﹣4y2的值为．16．(4分）如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB,飞机上的测量人员在C处测得A,B两点的俯角分别为45°和30°．若飞机离地面的高度CH为1200米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为米（结果保留根号）．17．（4分）如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM,以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．当⊙P与正方形ABCD的边相切时,BP的长为．18．(4分）如图，在菱形ABCD中，AB=2,∠B是锐角，AE⊥BC于点E，M是AB的中点，连结MD，ME．若∠EMD=90°，则cosB的值为．三、解答题（本大题有8小题,共78分)19．(6分）先化简，再求值：(x﹣1）2+x（3﹣x)，其中x=﹣．20．（8分)在5×3的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．（1）在图1中画出线段BD，使BD∥AC,其中D是格点；（2）在图2中画出线段BE,使BE⊥AC，其中E是格点．21．（8分）在第23个世界读书日前夕，我市某中学为了解本校学生的每周课外阅读时间（用t表示,单位：小时），采用随机抽样的方法进行问卷调查,调查结果按0≤t ＜2,2≤t＜3，3≤t＜4,t≥4分为四个等级，并依次用A，B，C，D表示,根据调查结果统计的数据,绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，由图中给出的信息解答下列问题:（1）求本次调查的学生人数；（2）求扇形统计图中等级B所在扇形的圆心角度数，并把条形统计图补充完整；(3）若该校共有学生1200人，试估计每周课外阅读时间满足3≤t＜4的人数．22．（10分)已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点（1,0），（0，）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）将抛物线y=﹣x2+bx+c平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式．23．（10分)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB边上一点（点D与A，B不重合），连结CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连结DE 交BC于点F，连接BE．（1）求证：△ACD≌△BCE；（2）当AD=BF时，求∠BEF的度数．24．（10分)某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元,乙种商品共用了2400元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元,且购进的甲、乙两种商品件数相同．（1）求甲、乙两种商品的每件进价；（2）该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元，乙种商品的销售单价为88元,销售过程中发现甲种商品销量不好,商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售;乙种商品销售单价保持不变．要使两种商品全部售完后共获利不少于2460元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件?25．(12分）若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积,我们把这个三角形叫做比例三角形．(1）已知△ABC是比例三角形，AB=2，BC=3，请直接写出所有满足条件的AC的长；(2）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD平分∠ABC，∠BAC=∠ADC．求证:△ABC是比例三角形．(3）如图2,在（2）的条件下，当∠ADC=90°时，求的值．26．(14分）如图1，直线l：y=﹣x+b与x轴交于点A（4,0),与y轴交于点B,点C是线段OA上一动点（0＜AC＜）．以点A为圆心，AC长为半径作⊙A交x轴于另一点D，交线段AB于点E，连结OE并延长交⊙A于点F．(1）求直线l的函数表达式和tan∠BAO的值；（2）如图2，连结CE，当CE=EF时，①求证:△OCE∽△OEA；②求点E的坐标；（3）当点C在线段OA上运动时，求OE•EF的最大值．2018年浙江省宁波市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分,共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．（4分）在﹣3，﹣1，0，1这四个数中，最小的数是( ）A．﹣3 B．﹣1 C．0 D．1【分析】根据正数大于零，零大于负数，可得答案．【解答】解：由正数大于零，零大于负数，得﹣3＜﹣1＜0＜1，最小的数是﹣3，故选:A．【点评】本题考查了有理数比较大小，利用正数大于零，零大于负数是解题关键．2．（4分）2018中国（宁波)特色文化产业博览会于4月16日在宁波国际会展中心闭幕．本次博览会为期四天，参观总人数超55万人次，其中55万用科学记数法表示为（）A．0.55×106B．5。
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2018年浙江省宁波市中考数学试卷一、选择题（每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（4分）在﹣3，﹣1，0，1这四个数中，最小的数是（）A．﹣3 B．﹣1 C．0 D．12．（4分）2018中国（宁波）特色文化产业博览会于4月16日在宁波国际会展中心闭幕．本次博览会为期四天，参观总人数超55万人次，其中55万用科学记数法表示为（）A．0.55×106B．5.5×105C．5.5×104D．55×1043．（4分）下列计算正确的是（）A．a3+a3=2a3B．a3•a2=a6 C．a6÷a2=a3D．（a3）2=a54．（4分）有五张背面完全相同的卡片，正面分别写有数字1，2，3，4，5，把这些卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，其正面的数字是偶数的概率为（）A．B．C．D．5．（4分）已知正多边形的一个外角等于40°，那么这个正多边形的边数为（）A．6 B．7 C．8 D．96．（4分）如图是由6个大小相同的立方体组成的几何体，在这个几何体的三视图中，是中心对称图形的是（）A．主视图B．左视图C．俯视图D．主视图和左视图7．（4分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，连结OE．若∠ABC=60°，∠BAC=80°，则∠1的度数为（）A．50°B．40°C．30°D．20°8．（4分）若一组数据4，1，7，x，5的平均数为4，则这组数据的中位数为（）A．7 B．5 C．4 D．39．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，以点B为圆心，BC 长为半径画弧，交边AB于点D，则的长为（）A．πB．πC．πD．π10．（4分）如图，平行于x轴的直线与函数y=（k1＞0，x＞0），y=（k2＞0，x＞0）的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若△ABC的面积为4，则k1﹣k2的值为（）A．8 B．﹣8 C．4 D．﹣411．（4分）如图，二次函数y=ax2+bx的图象开口向下，且经过第三象限的点P．若点P的横坐标为﹣1，则一次函数y=（a﹣b）x+b的图象大致是（）A．B．C．D．12．（4分）在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2．当AD﹣AB=2时，S2﹣S1的值为（）A．2a B．2b C．2a﹣2b D．﹣2b二、填空题（每小题4分，共24分）13．（4分）计算：|﹣2018|=．14．（4分）要使分式有意义，x的取值应满足．15．（4分）已知x，y满足方程组，则x2﹣4y2的值为．16．（4分）如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为45°和30°．若飞机离地面的高度CH为1200米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为米（结果保留根号）．17．（4分）如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为．18．（4分）如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，M是AB的中点，连结MD，ME．若∠EMD=90°，则cosB的值为．三、解答题（本大题有8小题，共78分）19．（6分）先化简，再求值：（x﹣1）2+x（3﹣x），其中x=﹣．20．（8分）在5×3的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．（1）在图1中画出线段BD，使BD∥AC，其中D是格点；（2）在图2中画出线段BE，使BE⊥AC，其中E是格点．21．（8分）在第23个世界读书日前夕，我市某中学为了解本校学生的每周课外阅读时间（用t表示，单位：小时），采用随机抽样的方法进行问卷调查，调查结果按0≤t＜2，2≤t＜3，3≤t＜4，t≥4分为四个等级，并依次用A，B，C，D 表示，根据调查结果统计的数据，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，由图中给出的信息解答下列问题：（1）求本次调查的学生人数；（2）求扇形统计图中等级B所在扇形的圆心角度数，并把条形统计图补充完整；（3）若该校共有学生1200人，试估计每周课外阅读时间满足3≤t＜4的人数．22．（10分）已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点（1，0），（0，）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）将抛物线y=﹣x2+bx+c平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式．23．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB边上一点（点D 与A，B不重合），连结CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连结DE交BC于点F，连接BE．（1）求证：△ACD≌△BCE；（2）当AD=BF时，求∠BEF的度数．24．（10分）某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．（1）求甲、乙两种商品的每件进价；（2）该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元，乙种商品的销售单价为88元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变．要使两种商品全部售完后共获利不少于2460元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？25．（12分）若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．（1）已知△ABC是比例三角形，AB=2，BC=3，请直接写出所有满足条件的AC 的长；（2）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD平分∠ABC，∠BAC=∠ADC．求证：△ABC是比例三角形．（3）如图2，在（2）的条件下，当∠ADC=90°时，求的值．26．（14分）如图1，直线l：y=﹣x+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，点C是线段OA上一动点（0＜AC＜）．以点A为圆心，AC长为半径作⊙A 交x轴于另一点D，交线段AB于点E，连结OE并延长交⊙A于点F．（1）求直线l的函数表达式和tan∠BAO的值；（2）如图2，连结CE，当CE=EF时，①求证：△OCE∽△OEA；②求点E的坐标；（3）当点C在线段OA上运动时，求OE•EF的最大值．2018年浙江省宁波市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（4分）在﹣3，﹣1，0，1这四个数中，最小的数是（）A．﹣3 B．﹣1 C．0 D．1【分析】根据正数大于零，零大于负数，可得答案．【解答】解：由正数大于零，零大于负数，得﹣3＜﹣1＜0＜1，最小的数是﹣3，故选：A．【点评】本题考查了有理数比较大小，利用正数大于零，零大于负数是解题关键．2．（4分）2018中国（宁波）特色文化产业博览会于4月16日在宁波国际会展中心闭幕．本次博览会为期四天，参观总人数超55万人次，其中55万用科学记数法表示为（）A．0.55×106B．5.5×105C．5.5×104D．55×104【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【解答】解：550000=5.5×105，故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．（4分）下列计算正确的是（）A．a3+a3=2a3B．a3•a2=a6 C．a6÷a2=a3D．（a3）2=a5【分析】根据同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法的运算方法，合并同类项的方法，以及幂的乘方与积的乘方的运算方法，逐项判定即可．【解答】解：∵a3+a3=2a3，∴选项A符合题意；∵a3•a2=a5，∴选项B不符合题意；∵a6÷a2=a4，∴选项C不符合题意；∵（a3）2=a6，∴选项D不符合题意．故选：A．【点评】此题主要考查了同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法的运算方法，合并同类项的方法，以及幂的乘方与积的乘方的运算方法，解答此题的关键是要明确：①底数a≠0，因为0不能做除数；②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．4．（4分）有五张背面完全相同的卡片，正面分别写有数字1，2，3，4，5，把这些卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，其正面的数字是偶数的概率为（）A．B．C．D．【分析】让正面的数字是偶数的情况数除以总情况数5即为所求的概率．【解答】解：∵从写有数字1，2，3，4，5这5张纸牌中抽取一张，其中正面数字是偶数的有2、4这2种结果，∴正面的数字是偶数的概率为，故选：C．【点评】此题主要考查了概率公式的应用，明确概率的意义是解答的关键，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．5．（4分）已知正多边形的一个外角等于40°，那么这个正多边形的边数为（）A．6 B．7 C．8 D．9【分析】根据正多边形的外角和以及一个外角的度数，求得边数．【解答】解：正多边形的一个外角等于40°，且外角和为360°，则这个正多边形的边数是：360°÷40°=9．故选：D．【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理，解决问题的关键是掌握多边形的外角和等于360度．6．（4分）如图是由6个大小相同的立方体组成的几何体，在这个几何体的三视图中，是中心对称图形的是（）A．主视图B．左视图C．俯视图D．主视图和左视图【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．【解答】解：从上边看是一个田字，“田”字是中心对称图形，故选：C．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图，又利用了中心对称图形．7．（4分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，连结OE．若∠ABC=60°，∠BAC=80°，则∠1的度数为（）A．50°B．40°C．30°D．20°【分析】直接利用三角形内角和定理得出∠BCA的度数，再利用三角形中位线定理结合平行线的性质得出答案．【解答】解：∵∠ABC=60°，∠BAC=80°，∴∠BCA=180°﹣60°﹣80°=40°，∵对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，∴EO是△DBC的中位线，∴EO∥BC，∴∠1=∠ACB=40°．故选：B．【点评】此题主要考查了三角形内角和定理、三角形中位线定理等知识，得出EO是△DBC的中位线是解题关键．8．（4分）若一组数据4，1，7，x，5的平均数为4，则这组数据的中位数为（）A．7 B．5 C．4 D．3【分析】先根据平均数为4求出x的值，然后根据中位数的概念求解．【解答】解：∵数据4，1，7，x，5的平均数为4，∴=4，解得：x=3，则将数据重新排列为1、3、4、5、7，所以这组数据的中位数为4，故选：C．【点评】本题考查了中位数的概念：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．9．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，以点B为圆心，BC 长为半径画弧，交边AB于点D，则的长为（）A．πB．πC．πD．π【分析】先根据ACB=90°，AB=4，∠A=30°，得圆心角和半径的长，再根据弧长公式可得到弧CD的长．【解答】解：∵∠ACB=90°，AB=4，∠A=30°，∴∠B=60°，BC=2∴的长为=，故选：C．【点评】本题主要考查了弧长公式的运用和直角三角形30度角的性质，解题时注意弧长公式为：l=（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）．10．（4分）如图，平行于x轴的直线与函数y=（k1＞0，x＞0），y=（k2＞0，x＞0）的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若△ABC的面积为4，则k1﹣k2的值为（）A．8 B．﹣8 C．4 D．﹣4【分析】设A（a，h），B（b，h），根据反比例函数图象上点的坐标特征得出ah=k1，bh=k2．根据三角形的面积公式得到S△ABC=AB•y A=（a﹣b）h=（ah﹣bh）=（k1﹣k2）=4，求出k1﹣k2=8．【解答】解：∵AB∥x轴，∴A，B两点纵坐标相同．设A（a，h），B（b，h），则ah=k1，bh=k2．=AB•y A=（a﹣b）h=（ah﹣bh）=（k1﹣k2）=4，∵S△ABC∴k1﹣k2=8．故选：A．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，点在函数的图象上，则点的坐标满足函数的解析式．也考查了三角形的面积．11．（4分）如图，二次函数y=ax2+bx的图象开口向下，且经过第三象限的点P．若点P的横坐标为﹣1，则一次函数y=（a﹣b）x+b的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】根据二次函数的图象可以判断a、b、a﹣b的正负情况，从而可以得到一次函数经过哪几个象限，本题得以解决．【解答】解：由二次函数的图象可知，a＜0，b＜0，当x=﹣1时，y=a﹣b＜0，∴y=（a﹣b）x+b的图象在第二、三、四象限，故选：D．【点评】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用函数的思想解答．12．（4分）在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2．当AD﹣AB=2时，S2﹣S1的值为（）A．2a B．2b C．2a﹣2b D．﹣2b【分析】利用面积的和差分别表示出S1和S2，然后利用整式的混合运算计算它们的差．【解答】解：S1=（AB﹣a）•a+（CD﹣b）（AD﹣a）=（AB﹣a）•a+（AB﹣b）（AD ﹣a），S2=AB（AD﹣a）+（a﹣b）（AB﹣a），∴S2﹣S1=AB（AD﹣a）+（a﹣b）（AB﹣a）﹣（AB﹣a）•a﹣（AB﹣b）（AD﹣a）=（AD﹣a）（AB﹣AB+b）+（AB﹣a）（a﹣b﹣a）=b•AD﹣ab﹣b•AB+ab=b（AD﹣AB）=2b．故选：B．【点评】本题考查了整式的混合运算：整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来．也考查了正方形的性质．二、填空题（每小题4分，共24分）13．（4分）计算：|﹣2018|=2018．【分析】直接利用绝对值的性质得出答案．【解答】解：|﹣2018|=2018．故答案为：2018．【点评】此题主要考查了绝对值，正确把握绝对值的定义是解题关键．14．（4分）要使分式有意义，x的取值应满足x≠1．【分析】直接利用分式有意义则分母不能为零，进而得出答案．【解答】解：要使分式有意义，则：x﹣1≠0．解得：x≠1，故x的取值应满足：x≠1．故答案为：x≠1．【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键．15．（4分）已知x，y满足方程组，则x2﹣4y2的值为﹣8．【分析】根据平方差公式即可求出答案．【解答】解：原式=（x+2y）（x﹣2y）=﹣3×5=﹣15故答案为：﹣15【点评】本题考查因式分解，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．16．（4分）如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为45°和30°．若飞机离地面的高度CH为1200米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为1200（﹣1）米（结果保留根号）．【分析】在Rt△ACH和Rt△HCB中，利用锐角三角函数，用CH表示出AH、BH 的长，然后计算出AB的长．【解答】解：由于CD∥HB，∴∠CAH=∠ACD=45°，∠B=∠BCD=30°在Rt△ACH中，∵∴∠CAH=45°∴AH=CH=1200米，在Rt△HCB，∵tan∠B=∴HB====1200（米）．∴AB=HB﹣HA=1200﹣1200=1200（﹣1）米故答案为：1200（﹣1）【点评】本题考查了锐角三角函数的仰角、俯角问题．题目难度不大，解决本题的关键是用含CH的式子表示出AH和BH．17．（4分）如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为3或4．【分析】分两种情形分别求解：如图1中，当⊙P与直线CD相切时；如图2中当⊙P与直线AD相切时．设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形；【解答】解：如图1中，当⊙P与直线CD相切时，设PC=PM=m．在Rt△PBM中，∵PM2=BM2+PB2，∴x2=42+（8﹣x）2，∴x=5，∴PC=5，BP=BC﹣PC=8﹣5=3．如图2中当⊙P与直线AD相切时．设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形．∴PM=PK=CD=2BM，∴BM=4，PM=8，在Rt△PBM中，PB==4．综上所述，BP的长为3或4．【点评】本题考查切线的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．18．（4分）如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，M是AB的中点，连结MD，ME．若∠EMD=90°，则cosB的值为．【分析】延长DM交CB的延长线于点H．首先证明DE=EH，设BE=x，利用勾股定理构建方程求出x即可解决问题．【解答】解：延长DM交CB的延长线于点H．∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=AD=2，AD∥CH，∴∠ADM=∠H，∵AM=BM，∠AMD=∠HMB，∴△ADM≌△BHM，∴AD=HB=2，∵EM⊥DH，∴EH=ED，设BE=x，∵AE⊥BC，∴AE⊥AD，∴∠AEB=∠EAD=90°∵AE2=AB2﹣BE2=DE2﹣AD2，∴22﹣x2=（2+x）2﹣22，∴x=﹣1或﹣﹣1（舍弃），∴cosB==，故答案为．【点评】本题考查菱形的性质、勾股定理、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．三、解答题（本大题有8小题，共78分）19．（6分）先化简，再求值：（x﹣1）2+x（3﹣x），其中x=﹣．【分析】首先计算完全平方，再计算单项式乘以多项式，再合并同类项，化简后再把x的值代入即可．【解答】解：原式=x2﹣2x+1+3x﹣x2=x+1，当x=﹣时，原式=﹣+1=．【点评】此题主要考查了整式的混合运算﹣﹣化简求值，关键是先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．20．（8分）在5×3的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．（1）在图1中画出线段BD，使BD∥AC，其中D是格点；（2）在图2中画出线段BE，使BE⊥AC，其中E是格点．【分析】（1）将线段AC沿着AB方向平移2个单位，即可得到线段BD；（2）利用2×3的长方形的对角线，即可得到线段BE⊥AC．【解答】解：（1）如图所示，线段BD即为所求；（2）如图所示，线段BE即为所求．【点评】本题主要考查了作图以及平行四边形的性质，首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．21．（8分）在第23个世界读书日前夕，我市某中学为了解本校学生的每周课外阅读时间（用t表示，单位：小时），采用随机抽样的方法进行问卷调查，调查结果按0≤t＜2，2≤t＜3，3≤t＜4，t≥4分为四个等级，并依次用A，B，C，D 表示，根据调查结果统计的数据，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，由图中给出的信息解答下列问题：（1）求本次调查的学生人数；（2）求扇形统计图中等级B所在扇形的圆心角度数，并把条形统计图补充完整；（3）若该校共有学生1200人，试估计每周课外阅读时间满足3≤t＜4的人数．【分析】（1）由条形图、扇形图中给出的级别A的数字，可计算出调查学生人数；（2）先计算出C在扇形图中的百分比，用1﹣[（A+D+C）在扇形图中的百分比]可计算出B在扇形图中的百分比，再计算出B在扇形的圆心角．（3）总人数×课外阅读时间满足3≤t＜4的百分比即得所求．【解答】解：（1）由条形图知，A级的人数为20人，由扇形图知：A级人数占总调查人数的10%所以：20÷10%=20×=200（人）即本次调查的学生人数为200人；（2）由条形图知：C级的人数为60人所以C级所占的百分比为：×100%=30%，B级所占的百分比为：1﹣10%﹣30%﹣45%=15%，B级的人数为200×15%=30（人）D级的人数为：200×45%=90（人）B所在扇形的圆心角为：360°×15%=54°．（3）因为C级所占的百分比为30%，所以全校每周课外阅读时间满足3≤t＜4的人数为：1200×30%=360（人）答：全校每周课外阅读时间满足3≤t＜4的约有360人．【点评】本题考查了扇形图和条形图的相关知识．题目难度不大．扇形图中某项的百分比=×100%，扇形图中某项圆心角的度数=360°×该项在扇形图中的百分比．22．（10分）已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点（1，0），（0，）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）将抛物线y=﹣x2+bx+c平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式．【分析】（1）把已知点的坐标代入抛物线解析式求出b与c的值即可；（2）指出满足题意的平移方法，并写出平移后的解析式即可．【解答】解：（1）把（1，0），（0，）代入抛物线解析式得：，解得：，则抛物线解析式为y=﹣x2﹣x+；（2）抛物线解析式为y=﹣x2﹣x+=﹣（x+1）2+2，将抛物线向右平移一个单位，向下平移2个单位，解析式变为y=﹣x2．【点评】此题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，以及待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．23．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB边上一点（点D 与A，B不重合），连结CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连结DE交BC于点F，连接BE．（1）求证：△ACD≌△BCE；（2）当AD=BF时，求∠BEF的度数．【分析】（1）由题意可知：CD=CE，∠DCE=90°，由于∠ACB=90°，所以∠ACD=∠ACB﹣∠DCB，∠BCE=∠DCE﹣∠DCB，所以∠ACD=∠BCE，从而可证明△ACD ≌△BCE（SAS）（2）由△ACD≌△BCE（SAS）可知：∠A=∠CBE=45°，BE=BF，从而可求出∠BEF 的度数．【解答】解：（1）由题意可知：CD=CE，∠DCE=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD=∠ACB﹣∠DCB，∠BCE=∠DCE﹣∠DCB，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD与△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS）（2）∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠A=45°，由（1）可知：∠A=∠CBE=45°，∵AD=BF，∴BE=BF，∴∠BEF=67.5°【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用旋转的性质以及全等三角形的判定与性质，本题属于中等题型．24．（10分）某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．（1）求甲、乙两种商品的每件进价；（2）该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元，乙种商品的销售单价为88元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变．要使两种商品全部售完后共获利不少于2460元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？【分析】（1）设甲种商品的每件进价为x元，乙种商品的每件进价为y元．根据“某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．购进的甲、乙两种商品件数相同”列出方程；（2）设甲种商品按原销售单价销售a件，则由“两种商品全部售完后共获利不少于2460元”列出不等式．【解答】解：（1）设甲种商品的每件进价为x元，则乙种商品的每件进价为（x+8）元．根据题意，得，=，解得x=40．经检验，x=40是原方程的解．答：甲种商品的每件进价为40元，乙种商品的每件进价为48元；（2）甲乙两种商品的销售量为=50．设甲种商品按原销售单价销售a件，则（60﹣40）a+（60×0.7﹣40）（50﹣a）+（88﹣48）×50≥2460，解得a≥20．答：甲种商品按原销售单价至少销售20件．【点评】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用．本题属于商品销售中的利润问题，对于此类问题，隐含着一个等量关系：利润=售价﹣进价．25．（12分）若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．（1）已知△ABC是比例三角形，AB=2，BC=3，请直接写出所有满足条件的AC 的长；（2）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD平分∠ABC，∠BAC=∠ADC．求证：△ABC是比例三角形．（3）如图2，在（2）的条件下，当∠ADC=90°时，求的值．【分析】（1）根据比例三角形的定义分AB2=BC•AC、BC2=AB•AC、AC2=AB•BC三种情况分别代入计算可得；（2）先证△ABC∽△DCA得CA2=BC•AD，再由∠ADB=∠CBD=∠ABD知AB=AD即可得；（3）作AH⊥BD，由AB=AD知BH=BD，再证△ABH∽△DBC得AB•BC=BH•DB，即AB•BC=BD2，结合AB•BC=AC2知BD2=AC2，据此可得答案．【解答】解：（1）∵△ABC是比例三角形，且AB=2、AC=3，①当AB2=BC•AC时，得：4=3AC，解得：AC=；②当BC2=AB•AC时，得：9=2AC，解得：AC=；③当AC2=AB•BC时，得：AC=6，解得：AC=（负值舍去）；所以当AC=或或时，△ABC是比例三角形；（2）∵AD∥BC，∴∠ACB=∠CAD，又∵∠BAC=∠ADC，∴△ABC∽△DCA，∴=，即CA2=BC•AD，∵AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∴∠ADB=∠ABD，∴AB=AD，∴CA2=BC•AB，∴△ABC是比例三角形；（3）如图，过点A作AH⊥BD于点H，∵AB=AD，∴BH=BD，∵AD∥BC，∠ADC=90°，∴∠BCD=90°，∴∠BHA=∠BCD=90°，又∵∠ABH=∠DBC，∴△ABH∽△DBC，∴=，即AB•BC=BH•DB，∴AB•BC=BD2，又∵AB•BC=AC2，∴BD2=AC2，∴=．【点评】本题主要考查相似三角形的综合问题，解题的关键是理解比例三角形的定义，并熟练掌握相似三角形的判定与性质．26．（14分）如图1，直线l：y=﹣x+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，点C是线段OA上一动点（0＜AC＜）．以点A为圆心，AC长为半径作⊙A 交x轴于另一点D，交线段AB于点E，连结OE并延长交⊙A于点F．（1）求直线l的函数表达式和tan∠BAO的值；（2）如图2，连结CE，当CE=EF时，①求证：△OCE∽△OEA；②求点E的坐标；（3）当点C在线段OA上运动时，求OE•EF的最大值．【分析】（1）利用待定系数法求出b即可得出直线l表达式，即可求出OA，OB，即可得出结论；（2）①先判断出∠CDF=2∠CDE，进而得出∠OAE=∠ODF，即可得出结论；②设出EM=3m，AM=4m，进而得出点E坐标，即可得出OE的平方，再根据①的相似得出比例式得出OE的平方，建立方程即可得出结论；（3）利用面积法求出OG，进而得出AG，HE，再构造相似三角形，即可得出结论．【解答】解：∵直线l：y=﹣x+b与x轴交于点A（4，0），∴﹣×4+b=0，∴b=3，∴直线l的函数表达式y=﹣x+3，∴B（0，3），∴OA=4，OB=3，在Rt△AOB中，tan∠BAO==；（2）①如图2，连接DF，∵CE=EF，∴∠CDE=∠FDE，∴∠CDF=2∠CDE，∵∠OAE=2∠CDE，∴∠OAE=∠ODF，∵四边形CEFD是⊙O的圆内接四边形，∴∠OEC=∠ODF，∴∠OEC=∠OAE，∵∠COE=∠EOA，∴△COE∽△EOA，②过点E⊥OA于M，由①知，tan∠OAB=，设EM=3m，则AM=4m，∴OM=4﹣4m，AE=5m，∴E（4﹣4m，3m），AC=5m，∴OC=4﹣5m，由①知，△COE∽△EOA，∴，∴OE2=OA•OC=4（4﹣5m）=16﹣20m，∵E（4﹣4m，3m），∴（4﹣4m）2+9m2=25m2﹣32m+16，∴25m2﹣32m+16=16﹣20m，∴m=0（舍）或m=，∴4﹣4m=，3m=，∴（，），（3）如图，设⊙O的半径为r，过点O作OG⊥AB于G，∵A（4，0），B（0，3），∴OA=4，OB=3，∴AB=5，∴AB×OG=OA×OB，∴OG=，∴AG==×=，∴EG=AG﹣AE=﹣r，连接FH，∵EH是⊙O直径，∴EH=2r，∠EFH=90°=∠EGO，∵∠OEG=∠HEF，∴△OEG∽△HEF，∴，∴OE•EF=HE•EG=2r（﹣r）=﹣2（r﹣）2+，∴r=时，OE•EF最大值为．【点评】此题是圆的综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理，正确作出辅助线是解本题的关键．。
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数学命题意图
一、基于考试功能，明确命题方向
初中毕业生学业水平考试是全面检测学生在初中阶段数学学习水平的最权威的测试，考试能否科学全面地评价学生，关键就在于能否根据考试的功能编制出源于四基、着眼能力、关注素养、立足发展的试题。
以四基为本，回归教材，实现对基础知识的全面考查；以方法为脉，串联考点，实现对通性通法的重点考查；以思想为魂，突出本质，实现对综合运用能力的灵活考查；以能力为意，丰富内涵，实现对数学核心素养的有效考查。
本次试题命制以《宁波市2018年初中学业水平考试说明》为依据，主要考查“数与代数”、“图形与几何”、“统计与概率”三个方面的内容，同时将“综合与实践”内容有机融入其中。
坚持把数学基础知识、基本技能和基本思想方法作为命题的重点，从知识技能、数学思考、问题解决、情感态度四个维度进行考查。
整份试卷坚持原创，立意求新，层次分明，亮点纷呈，较好地体现出试题的有效性、公平性和创新性。
二、关注学科本质，引领教学方向
随着课改的深入践行，我们越来越认识到试题应体现数学的本质，越来越明确考试的区分功能及教学方式转变的重要性。
为有效遏制题海战术，减轻学生学业负担，我们绕开了以抛物线为背景的压轴题，尝试在直角坐标系中加载圆、三角形、相似等元素，并融合数学核心知识及运动观点下的函数思想、方程思想、转化思想等重要思想方法，例如26题第（3）小题“求OE•EF的最大值”的求解方法，就巧妙地避开了通常求最值的问题，转为深入挖掘隐含的数量关系，进而通过建立变量之间的函数关系式来求解，而这又何尝不是求最值的通性通法？因此，关注学科本质，注重通性通法，淡化特殊技巧，也应是教师的教学关注点。
本卷在设计基础题时有一定数量的试题来源于课本、考试说明和课本习题的变式或引申，这样，既可以充分体现课本例题、习题的典型性、代表性，又可以引导日常教学，如第1、4、5、10、13、14、19题等。
试题同时也兼顾数学基本思想方法的考查，如第11题考查数形结合思想，第15题考查数学整体思想，第17题考查分类讨论思想，第26题考查特殊到一般、转化等思想。
除此之外，基本活动经验也值得关注，如第20题在网格背景下对两条直线特殊位置关系（平行与垂直）的考查，此题需要学生具备一定的几何直观、几何推理能力，思维要求较高，着力考查学生的图形直
观能力、发现与探究能力、合情推理能力等。
这些试题立意新颖，构思巧妙，极富创意，蕴含着丰富的数学内涵和思想方法，能很好地反映出学生的数学素养和数学基本功，体现试题的信度和效度。
基于中考试题的原创性，期待教师在平时教学时能由“教为中心”向“学为中心”转变，以适应深入推进新课改的需要。
要回归教材，重视新课教学，切忌将新课上成习题课。
其实，每节新课都是对新知识、新概念、新方法的探究过程，教师要给学生留足独立思考的时间，让学生有参与数学活动的机会；要重视概念、方法的形成过程，使学生在参与数学活动的过程中理解、巩固、应用和拓展新知，这样才能把握数学本质，体会隐含在其中的数学思想方法，才能感悟数学的认知结构。
本卷第25题实质上是一个新概念“比例三角形”的探究过程，主要考查学生的阅读理解能力、迁移能力和创新能力，旨在培养学生自主学习、主动探究的学习方式，促进学生终生学习能力的发展。
三、渗透PISA理念，发展学生素养
我市数学中考试卷中一般有两个特色题，即第12题的PISA题和第25题的新定义题。
我们在架构今年试卷时，依然予以保留，以延续我市中考试题的特色和风格。
本卷中的第12题属PISA试题，该题的评价内容和评价
框架都是基于“素养”这一概念提出的。
我们编制以矩形为背景的图形面积问题，既可以用代数的方法解决，也可以用图形变换的方法解释，融入了初中数学核心思想方法，突出考查学生的思维过程和数学素养。
本题符合PISA试题的基本特征——情境、运用、思维，虽然背景知识比较丰富，但归根结底还是归于基本知识（整式运算）和基本技能（图形变换），因此，扎实稳固的数学基本功才是最终解决问题的根本。
在教学中，传统的知识与技能固然是我们关注的重点，但让学生通过数学活动获得解题经验，掌握数学思想方法，感悟数学精神，则是我们关注的核心。
第25题的新定义题“比例三角形”的编制，灵感源于浙教版教材九年级（上）的“比例中项”，题干表述共36个字，体现数学表述的简约之美。
为兼顾“全体”的同时又对“个性发展”的差异性作出有效“甄别”，本题设计3个小问题，第（1）小题直接应用新定义求解，第（2）小题需结合“比例三角形”的本质特征进行判断，第（3）小题则是对新知的迁移和拓展。
问题设计起点低、坡度缓，由易到难，拾级而上，较好地承担了区分题的功能，使不同水平的考生达到不同的高度，有利于实现“不同的人在数学上得到不同的发展”的评价目标。
此题素材新颖，问题陌生，对所有考生而言起点相同，
保证了试题的公平性。
四、关注过程方法，凸显思维发展
《义务教育数学课程标准（2011版》指出：数学课程内容“不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴含的数学思想方法”。
“思维的体操”是对数学的赞誉，因此我们在编制试题时立足基础，关注过程与方法，同时又凸显对学生思维的考查。
第18题作为填空压轴题，打破菱形对角线相交的基本图形结构，走小清新路线，主要考查菱形、直角三角形、等腰三角形、相似三角形的性质和判定以及勾股定理、锐角三角函数的概念等知识点，又隐含了“一线三等角”的基本图形，同时也可以用中线的“延长加倍”法来解决。
此题表述简略，图形简约，具有入口宽，上手快等特点，较好地考查了学生几何推理能力和利用方程思想解决几何计算问题的能力。
第22题第（2）小题设置了一个开放题，巧妙地将几何变换和二次函数相结合，要求学生写出满足条件的一种平移方法，既考查学生数形结合的思想方法，又考查学生的数学学习过程。
第23题是一个几何题，考查全等及等腰三角形的性质与判定等基础知识，但条件的给出并非通常情况下的“静图”，而是描述了一个图形的动态形成过程，考查思维的过程与方法，对学生空间想象能力有一定要求，有助于提
升学生数学活动经验和数学探究能力，体现试题的能力立意。
五、重视数学应用，彰显核心素养
数学家弗赖登塔尔说：“数学是现实的，学生从现实生活中学习数学，再把学到的数学应用到现实中去”。
本卷有一定数量的试题以当前社会实际作为试题背景，如第2题以2018中国（宁波）特色文化产业博览会为背景，结合宁波地方特色，既考查适用于大数据的科学记数法，又蕴含乡土情怀；
第16题以高速公路建设中需要测量某条江的宽度为背景，考查利用锐角三角函数解直角三角形以解决简单的实际问题，考查的是学生的数学应用能力；
第21题以学生每周的课外阅读时间为素材，将条形统计图和扇形统计图结合起来进行考查，培养学生获取数据、解决实际问题的能力；
第24题以学生日常生活中所熟悉的部分商品打折销售为背景，体现“数学来源于生活又应用于生活”的理念，其中第（1）小题利用甲乙两种商品件数相等列分式方程并求解，第（2）小题考查一元一次不等式的应用，本题设计将甲种商品先按原价销售一部分，剩余部分再打折出售，需分两部分来解决，本题的亮点在于设计问题时没有事先设好未知数，两个小题的解决都需要学生自己设未知数、自己找等量（不等量）关系、自己建立数学模型，难度或许有所增加，
但是真正考查了学生对信息的提取与处理能力、问题的探索与分析能力、模型的建立与选择能力。
这些以实际生活问题为背景的试题，引导学生学会将实际问题“数学化”。
从本质上讲，会用数学的眼光观察现实世界（数学抽象、直观想象）、会用数学的思维思考现实世界（逻辑推理、数学运算）、会用数学的语言表达现实世界（数学建模、数据分析），这“三会”就是“六大数学核心素养”，是超越具体教学内容的数学教学目标，其中“四基”是发展学生核心素养的有效载体。
素养的形成，不能单纯依赖教师的教，而需要学生参与其中的数学活动；不能单纯依赖记忆与模仿，而需要感悟与思考。
因此，基于核心素养的教学，要求教师抓住知识的本质，创设合适的教学情境，启发学生思考，让学生在掌握所学知识技能的同时，感悟知识的本质，积累思维和实践的经验，最终形成和发展数学核心素养。
（宁波教育命题组）。