2参数方程知识讲解及典型例题

参数方程

一、定义:在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个参数t

的函数，即 ⎩⎨

⎧==)()(t f y t f x ,其中,t 为参数,并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点Ｍ（x ，y ）都在这条曲线上,那么方程组就叫做这条曲线的参数方程,联系x 、ｙ之间关系的变数t 叫做参变数，简称参数.

注意：参数方程没有直接体现曲线上点的横纵坐标之间的关系,而是分别体现了点的横纵坐标与参数间的关系。 二、二次曲线的参数方程 1、圆的参数方程:

特殊:圆心是（０，０)，半径为r 的圆:

θ

θ

sin cos r y r x ==

一般：圆心在(x ０,y ０）,半径等于ｒ的圆：

θθ

sin cos 00r y y r x x +=+= （θ为参数，θ的几何意义为圆心角),

Eg1：已知点Ｐ(ｘ，y ）是圆x 2

＋y 2

-６x-4y+１２＝0上的动点,求:

（1)x ２

+y 2

的最值；（2）ｘ+y 的最值;(3)点P 到直线x ＋y-1=0的距离d 的最值。 Eg2:将下列参数方程化为普通方程

(1） x=2+3c ｏs θ （2) x=s ｉｎθ （3） x=t+t

1

y=3s ｉn θ y=cos θ y=t 2

+

21t

总结：参数方程化为普通方程步骤：（１）消参(2）求定义域 2、椭圆的参数方程：

中心在原点,焦点在ｘ轴上的椭圆:

θ

θ

sin cos b y a x == (θ为参数,θ的几何意义是离心角，如图角A ＯＮ是离心角）

注意：离心率和离心角没关系，如图,分别以椭圆的长轴和短轴为半径画两个同心圆,M 点的轨迹是椭圆，中心在（ｘ０，y 0）椭圆的参数方程：

θ

θsin cos 00b y y a x x +=+=

Eg:求椭圆20

362

2y x +=1上的点到M(2,0）的最小值。 ３、双曲线的参数方程:

中心在原点,焦点在x 轴上的双曲线： θ

θ

tan sec b y a x == （θ为参数，代表离心角),

中心在（ｘ0，y ０),焦点在x 轴上的双曲线： θ

θtan sec 00b y y a x x +=+=

4、抛物线的参数方程：

顶点在原点,焦点在x 轴正半轴上的抛物线:

pt y pt x 222

== （ｔ为参数,p>0，t 的几何意义为过圆点的直线的斜率的倒数) 直线方程与抛物线方程联立即可得到。 三、一次曲线(直线)的参数方程

过定点P ０（x 0，y ０),倾角为α的直线, P 是直线上任意一点，设Ｐ０P=t,Ｐ0P 叫点P 到定点P 0的有向距离,在Ｐ０两侧ｔ的符号相反,直线的参数方程

αα

sin cos 00t y y t x x +=+= （t 为参数,t 的几何意义为有向距离） 说明:①t 的符号相对于点P ０，正负在P 0点两侧

②|Ｐ０P ｜＝|t ｜ 直线参数方程的变式：

bt

y y at x x +=+=00,但此时ｔ的几何意义不是有向距离，只有当

ｔ前面系数的平方和是1时,几何意义才是有向距离，所以，将上式进行整理,得

)

()

(222

20222

20t b a b a b y y t b a b a a x x +++

=+++

=,让t b a 22+作为t ，则此时t 的几何意义是有

向距离。

Eg:求直线 x ＝-1+3t

y ＝2-4t,求其倾斜角.

极坐标与参数方程练习题

[基础训练A 组]

一、选择题

１.若直线的参数方程为12()23x t

t y t =+⎧⎨=-⎩

为参数，则直线的斜率为（ ）

A ．

23 B.23- C.32 D.3

2

- ２.下列在曲线sin 2()cos sin x y θ

θθθ=⎧⎨

=+⎩

为参数上的点是（ ）

A

．1(,2

B ．31

(,)42

- C

．

Ｄ．

３.将参数方程2

2

2sin ()sin x y θ

θθ

⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数化为普通方程为（ ) A ．

2y x =-

B.

2y x =+

C ．

2(23)y x x =-≤≤

D.2(01)y x y =+≤≤

４.化极坐标方程2

cos 0ρθρ-=为直角坐标方程为（ )

A.2

01y y +==2

x 或 B ．1x = Ｃ.2

01y +==2

x 或x D ．1y = 5.点M

的直角坐标是(-，则点M 的极坐标为( )

A ．(2,

)3π

B ．(2,)3π- C.2(2,)3π Ｄ．(2,2),()3

k k Z π

π+∈ 6.极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为（ ）

A ．一条射线和一个圆 B.两条直线 C ．一条直线和一个圆 D ．一个圆

二、填空题 1．直线34()45x t

t y t

=+⎧⎨

=-⎩为参数的斜率为_＿_＿＿___＿＿＿__＿＿__＿___＿。

2．参数方程()2()

t t

t t

x e e

t y e e --⎧=+⎪⎨=-⎪⎩为参数的普通方程为_＿____________＿＿＿_。 ３．已知直线113:()24x t

l t y t

=+⎧⎨

=-⎩为参数与直线2:245l x y -=相交于点B ，又点(1,2)A ，

则AB =____＿___＿__＿___。