函数的值域、解析式的求法精编(教案)

（一）常见函数的值域
（1）一次函数)0(≠+=k b kx y （2）反比例函数)0(≠=
k x
k
y 的值域为{}0≠y y . （3）二次函数)0(2
≠++=a c bx ax y ，当0>a 时，值域为⎪⎪⎫⎢⎡+∞-,442a b ac ；当0<a 时，值域为⎥⎤
⎛-∞-a b ac 44,2.
（二）求函数值域的方法 （1）直接法（观察法）
从自变量x 的范围出发，推出)(x f y =的取值范围，适合于简单的复合函数；
【例1】求函数2
21
x y +=的值域。

【答案】⎭⎬⎫⎩
⎨⎧≤<210y y
（2）配方法
适用于二次函数2
(0)y ax bx c a =++≠或可化为二次函数型的函数；
【例2】求函数223y x x =+- ()x R ∈的值域。

（4)1(2
-+=x y ）
【答案】{}
4-≥y y
【变式练习1】求函数()2f x =-
【解】2
2)1(2522242)(
---=-+-=x x x x f ，053()2f x ≤
≤⇒-
≤≤
（3）换元法
运用换元，将已知函数转化为值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域。

形如
y ax b =+±
【例3
】求函数y x =+
【解析】令0)t t =≥，则212t x += 22
1(1)(0)22
t t y t t ++∴=
+=≥ 1
2
y ∴≥
【变式练习】求函数x x y 212-+=的值域。

【解析】令)0(21≥-=t x t ，则212
t x -= 22151()(0)24
y t t t t ∴=-++=--+≥
∴当2
1
=t ，即83=x 时，45m ax =y ，无最小值。

（4）判别式法（∆法）
运用方程思想，把函数转化为关于x 的二次方程0),(=y x F ，依据二次方程有实根，判别式0≥∆，求出y 的取值范围；适合分母为二次且x R ∈的分式；
【例4】求函数3
27
4222++-+=x x x x y 的值域。

【解析】073)2(2)2(2=++-+-y x y x y ，（用判别式之前，首先需讨论2
x 的系数） 显然2≠y ，方程有实根，则2
9
82072022
y y y ∆=--+≥⇒-≤≤ 又2≠y ，∴值域为⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡-
2,29 【变式练习】求函数22410
22
x x y x x -++=++的值域。

【解析】2
(1)2(2)2100y x y x y ++-+-=
显然1y ≠-，方程有实根，则2
41656022y y y ∆=-++≥⇒-≤+且1y ≠-
（5）分离常数法
形如(0)cx d
y a ax b +=
≠+的函数，经常采用分离常数法。

【例5】求函数21
1
x y x -=+的值域。

【解】213211x y x x -==-++，且3
01
x ≠+ ⇒ 2y ≠
【变式练习】求函数21
(12)1
x y x x -=≤≤+的值域。

【解】213211x y x x -==-++，又12x ≤≤，则213x ≤+≤，所以33112x ≤≤+ 1
12
y ⇒≤≤
（6）反表示法
常用于形如(0)cx d
y a ax b +=≠+且x m >或x n <的函数 【例6】求函数1
(1)2
x y x x -=≥-+的值域。

【解析】121(1)21x y y x y x y -+=⇒=≠+-，而1x ≥-，则212
1011
y y y y ++≥-⇒≤--，所以21y -≤<
（7）中间变量值域法
【例7】求函数224
1
x y x +=-的值域。

【解】22244(1)11x y y x y x y ++=⇒=≠--，而20x ≥，则4
01
y y +≥-，所以1y >或4y ≤-
（8）数形结合法
① 几何意义法
由数形结合，转化距离等求值域，主要是含绝对值函数；
【例8】求函数31y x x =-++的值域。

【解】由数轴的几何意义知3-x 为x 到3的距离，)1(1--=+x x 为x 到1-的距离； 13++-x x 表示数轴上x 分别到1-，3的距离之和，则413≥++-x x
【变式练习】对函数12y x x =+--，若不等式y k >恒成立，则实数k 的取值范围为（ B ）
A ．3k <
B ．3k <-
C ．3k ≤
D ．3k ≤-
② 函数图象法
常用于二次函数2
x 、x 的系数含有不为零的常数的讨论，或用于形如)0(2
≠++=a c bx ax y
含绝对值的函数求值域；
（1）待定系数法
已知函数解析式的构造（如一次函数y kx b =+，二次函数2
y ax bx c =++）时，可用待定系数法。

【例1】 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f
【解】设b ax x f +=)()0(≠a ，则2
[()]()()f f x af x b a ax b b a x ab b =+=++=++
∴⎩⎨⎧=+=3
42b ab a 解得21a b =⎧⎨
=⎩或2
3a b =-⎧⎨=⎩ ()21f x x ∴=+ 或 ()23f x x =-+ 【变式练习1】已知()31f x x =-，()g x 为一次函数，[()]23f g x x =+，求()g x 的解析式 【解】24
33
y x =
+ 【变式练习2】已知()f x 为一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x 的解析式。

【解】27y k =+
（2）配凑法
已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式。

可从[()]f g x 的解析式中配凑出()g x ，即用
()g x 来表示，再将解析式两边的()g x 用x 代替即可。

需要注意定义域。

【例2】已知x x x f 2)1(2+=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式
【解】1)1(2)1(2
2
-+=+=+x x x x f ，)1(+x f 的定义域为0>x ，则有11>+x
得)(x f 的定义域为1>x ，得)1(,1)(2
>-=x x x f
（3）换元法
已知复合函数[()]f g x 的表达式时，可令()t g x =，求出()f t 的解析式，再使用x 代替t 即可。

【例3】已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f 【解】令1+=
x t ，则1≥t ，2)1(-=t x ∴22()(1)2(1)1f t t t t =-+-=-
1)(2-=∴x x f )1(≥x x x x x f 21)1()1(22+=-+=+∴ )0(≥x
（4）代入法
已知()f x 的解析式，求[()]f g x 的解析式常用此法。

或已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。

【例4】已知函数)(2
x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式
【解】设),(y x M 为)(x g y =上任一点，且),(y x M '''为),(y x M 关于点)3,2(-的对称点
则⎪⎩⎪⎨⎧=+'-=+'32
22y y x
x ，解得：⎩⎨⎧-='--='y y x x 64
点),(y x M '''在)(x g y =上
x x y '+'='∴2
把⎩⎨
⎧-='--='y
y x x 64代入得：)4()4(62
--+--=-x x y 整理得672---=x x y ∴67)(2
---=x x x g
【变式练习】已知()21f x x =+，2,0
()1,0
x x g x x ⎧≥=⎨-<⎩，求[()]f g x 和[()]g f x 的解析式。

【解】2
21,0[()]1,0x x f g x x ⎧+≥=⎨-<⎩，2
1441,2
[()]11,2
x x x g f x x ⎧++≥-⎪⎪=⎨⎪-<-
⎪⎩
（5）方程组法
若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。

常见的含有()f x 与()f x -，()f x 与1
()f x ，或形如()f x 与()f x -，()f x 与1()f x
的关系式。

【例5】已知()f x 满足1()2()f x f x x
-=，求()f x 【解】x x f x f =-)1(2)(，则x x f x f 1)(2)1(=-，得：x
x x f 323)(--= 【变式练习1】已知1
2(3)3()23
f x f x x --=-，求()f x 的解析式。

【解】64()655
x f x x =-
-- 【变式练习2】已知2
2
(43)(34)2()af x bf x x a b -+-=≠，求()f x 的解析式。

【解】3
()2()2()
x f x a b a b =+-+
（6）赋值法
当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。

【例6】已知1)0(=f ，对于任意实数,x y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，求)(x f 【解】不妨令0x =，则有1)1(1)1()0()(2
+-=-+=+--=-y y y y y y f y f
再令 x y =- 得函数解析式为：1)(2
++=x x x f
【变式练习】设对任意数,x y 均有()()2
2
2233f x y f y x xy y x y +=++-++，求)(x f 的解析式. 【解】2
()3f x x x =-。