⎛-∞-a b ac 44,2.
（二）求函数值域的方法 （1）直接法（观察法）
从自变量x 的范围出发，推出)(x f y =的取值范围，适合于简单的复合函数；
【例1】求函数2
21
x y +=的值域。【答案】⎭⎬⎫⎩
⎨⎧≤<210y y
（2）配方法
适用于二次函数2
(0)y ax bx c a =++≠或可化为二次函数型的函数；
【例2】求函数223y x x =+- ()x R ∈的值域。 （4)1(2
-+=x y ）
【答案】{}
4-≥y y
【变式练习1】求函数()2f x =-
【解】2
2)1(2522242)(
---=-+-=x x x x f ，053()2f x ≤
≤⇒-
≤≤
（3）换元法
运用换元，将已知函数转化为值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域。 形如
y ax b =+±
【例3
】求函数y x =+
【解析】令0)t t =≥，则212t x += 22
1(1)(0)22
t t y t t ++∴=
+=≥ 1
2
y ∴≥
【变式练习】求函数x x y 212-+=的值域。
【解析】令)0(21≥-=t x t ，则212
t x -= 22151()(0)24
y t t t t ∴=-++=--+≥
∴当2
1
=t ，即83=x 时，45m ax =y ，无最小值。
（4）判别式法（∆法）
运用方程思想，把函数转化为关于x 的二次方程0),(=y x F ，依据二次方程有实根，判别式0≥∆，求出y 的取值范围；适合分母为二次且x R ∈的分式；
【例4】求函数3
27
4222++-+=x x x x y 的值域。
【解析】073)2(2)2(2=++-+-y x y x y ，（用判别式之前，首先需讨论2
x 的系数） 显然2≠y ，方程有实根，则2
9
82072022
y y y ∆=--+≥⇒-≤≤ 又2≠y ，∴值域为⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡-
2,29 【变式练习】求函数22410
22
x x y x x -++=++的值域。
【解析】2
(1)2(2)2100y x y x y ++-+-=
显然1y ≠-，方程有实根，则2
41656022y y y ∆=-++≥⇒-≤+且1y ≠-
（5）分离常数法
形如(0)cx d
y a ax b +=
≠+的函数，经常采用分离常数法。 【例5】求函数21
1
x y x -=+的值域。
【解】213211x y x x -==-++，且3
01
x ≠+ ⇒ 2y ≠
【变式练习】求函数21
(12)1
x y x x -=≤≤+的值域。
【解】213211x y x x -==-++，又12x ≤≤，则213x ≤+≤，所以33112x ≤≤+ 1
12
y ⇒≤≤
（6）反表示法
常用于形如(0)cx d
y a ax b +=≠+且x m >或x n <的函数 【例6】求函数1
(1)2
x y x x -=≥-+的值域。
【解析】121(1)21x y y x y x y -+=⇒=≠+-，而1x ≥-，则212
1011
y y y y ++≥-⇒≤--，所以21y -≤<
（7）中间变量值域法
【例7】求函数224
1
x y x +=-的值域。
【解】22244(1)11x y y x y x y ++=⇒=≠--，而20x ≥，则4
01
y y +≥-，所以1y >或4y ≤-
（8）数形结合法
① 几何意义法
由数形结合，转化距离等求值域，主要是含绝对值函数；
【例8】求函数31y x x =-++的值域。
【解】由数轴的几何意义知3-x 为x 到3的距离，)1(1--=+x x 为x 到1-的距离； 13++-x x 表示数轴上x 分别到1-，3的距离之和，则413≥++-x x
【变式练习】对函数12y x x =+--，若不等式y k >恒成立，则实数k 的取值范围为（ B ）
A ．3k <
B ．3k <-
C ．3k ≤
D ．3k ≤-
② 函数图象法
常用于二次函数2
x 、x 的系数含有不为零的常数的讨论，或用于形如)0(2
≠++=a c bx ax y
含绝对值的函数求值域；
（1）待定系数法
已知函数解析式的构造（如一次函数y kx b =+，二次函数2
y ax bx c =++）时，可用待定系数法。 【例1】 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f
