结构动力学-8
结构动力学
第2章 单自由度系统
§2.4 简谐荷载的强迫振动
2.4.1 无阻尼系统
1、运动方程
mx kx F0 sin t
2、解的形式
x x x
设：
x A sin t
(m 2 k ) A F0
第2章 单自由度系统
解得：
A
A
(m 2 k )
F0 k xst (1 2 2 ) (1 2 )
已知
结构
荷载
响应
荷载
已知或未知
结构
已知
第1章 绪论
§1.2 研究对象
1、结构——弹性恢复力 fk(x) 2、外力——时变特性 fp(t)
§1.3 研究内容
1、结构动力特性——固有频率、振型、阻尼 2、结构响应——位移、速度、加速度
第1章 绪论
§1.4 研究方法
1、时域法——解析法、逐步积分法 2、频域法——谱分析法
k m
①简支梁问题
m l
第2章 单自由度系统
1 k
l3 48 EI
k
48EI l3
48EI ml 3
第2章 单自由度系统
②悬臂梁问题 弯曲变形
x
l 3EI
3
m
k
3EI l3
k
剪切变形
l3 12EI
k
12EI l3
弯曲变形 剪切变形
第2章 单自由度系统
2 i i ,max m xi ki xi2,maxi
第2章 单自由度系统
m x
i 2 i i ,max
2 2 J max m2 xmax
1 2 2 m1l 2 max m2l 2 max 3 1 2 m1l 2 m2l 2 max 3
结构动力学8
8.4.2 基本分析过程
结构有限元模型的运动方程：
& & [M ]{u&}+ [C ]{u}+ [K ]{u} = {p(t )}
有限元模型的节点系运动方程与前面介绍的框架结构的 运动方程在形式上完全相同，不同之处仅在于单元刚 度矩阵和质量阵的形成上。本节介绍的形成单元刚度 阵和质量阵的方法更具通用性。 前面所介绍的结构动力方程的解法，例如振型叠加法、 Fourier变换方法、时域逐步积分法等均可以用于结构 有限元模型的动力反应问题分析。
i=1
4
ψi的定义是ui发生单位位移, 而其余自由度不动, 即完全约束时, 梁单元的位移(线位移)，因此，ψi(x)满足如下边界条件：
i = 1 : ψ 1 (0) = 1, ψ 1' (0) = ψ 1 ( L) = ψ 1' ( L) = 0
' ' i = 2 : ψ 2 (0) = 1, ψ 2 (0) = ψ 2 ( L) = ψ 2 ( L) = 0 ' ' i = 3 : ψ 3 ( L) = 1, ψ 3 (0) = ψ 3 (0) = ψ 3 ( L) = 0 ' ' i = 4 : ψ 4 ( L) = 1, ψ 4 (0) = ψ 4 (0) = ψ 4 ( L) = 0
8.4.1 有限元离散化
采用有限元法离散时，首先将一根梁分成有限段，称为 有限单元。每一个单元的尺寸可以是任意的，可以完 全相同，也可以完全不相同。这些单元仅仅在单元间 的节点上连续（连接）。 在这个简单的例子中，节点就是单元的端点，在每一个 节点上有两个自由度，横向位移和转角。 在有限元法中节点的位移（包括横向位移和转角）被选 为广义坐标。而运动方程就是用这些有直接物理意义 的量（位移和转角）来形成的。
结构动力学课件—dyanmics-of-structures-ch8知识资料18页PPT
The potential energy
kinetic energy
CHAPTER 8. GENERALIZED SDOF SYSTEMS
Generalized SDOF:
CHAPTER 8. GENERALIZED SDOF SYSTEMS
84 SELECTION OF THE RAYLEIGH VIBRATION SHAPE
CHAPTER 8. GENERALIZED SDOF SYSTEMS
谢谢！
CHAPTER 8. GENERABiblioteka IZED SDOF SYSTEMS
Example E82.
CHAPTER 8. GENERALIZED SDOF SYSTEMS
82 GENERALIZED PROPERTIES: DISTRIBUTED FLEXIBILITY
CHAPTER 8. GENERALIZED SDOF SYSTEMS
CHAPTER 8. GENERALIZED SDOF SYSTEMS
CHAPTER 8. GENERALIZED SDOF SYSTEMS
CHAPTER 8. GENERALIZED SDOF SYSTEMS
Example E83.
CHAPTER 8. GENERALIZED SDOF SYSTEMS
结构动力学习题解答
然后积分求初始速度
̇̇ d t = θ̇0 = θ 0
0+ 0+ 0+
∫
0
∫ hδ ( t ) d t = h ∫ δ ( t ) d t = h
0 0 0+
；
再积分求初位移
̇̇ d t == h )d t = 0 ； θ0 = θ 0
0+
∫
0
∫
0
̇̇ 、 θ̇ 和 θ 的瞬态响应 这样方程（6）的解就是系统对于初始条件 θ 0 0 0
1.6 求图 1-35 所示系统的固有频率。图中磙子半径为 R，质量为 M，作纯滚动。弹簧刚度 为K 。 解：磙子作平面运动， 其动能 T=T 平动 +T 转动 。
K R M 图 1-35 x
T平动 = T转动
1 ̇2; Mx 2 2 2 ̇ ⎞ 1 ⎛ MR 2 ⎞ ⎛ x ̇⎞ 1 ⎛x = I⎜ ⎟ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ; 2 ⎝R⎠ 2 ⎝ 2 ⎠⎝ R ⎠
U= r 2 1 1 1 1⎛ K A ϕ A 2 + K B ϕ B 2 = K Aϕ A 2 + K B ϕ B 2 = ⎜ K A + K B A 2 2 2 2 2⎜ rB ⎝
(
)
⎞ 2 ⎟ϕ ; ⎟ A ⎠
系统的机械能为
T +U = r 2 1 1⎛ ̇ A2 + ⎜ K A + K B A (m A + m B )rA 2ϕ 4 2⎜ rB 2 ⎝
d (T + U ) = 0 ，进一步得到系 dt
统的运动微分方程； （3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。 1.2 叙述用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法和步骤。 用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法有两个：衰减曲线法和共振法。 方法一：衰减曲线法。 求解步骤： （1）利用试验测得单自由度系统的衰减振动曲线，并测得周期和相邻波峰和波谷 的幅值 Ai 、 Ai +1 。 （2）由对数衰减率定义 δ = ln(
结构动力学
第一章概述1．动力荷载类型：根据何在是否随时间变化，或随时间变化速率的不同，荷载分为静荷载和动荷载根据荷载是否已预先确定，动荷载可以分为两类：确定性（非随机）荷载和非确定性（随机）荷载。
确定性荷载是荷载随时间的变化规律已预先确定，是完全已知的时间过程；非确定性荷载是荷载随时间变化的规律预先不可以确定，是一种随机过程。
根据荷载随时间的变化规律，动荷载可以分为两类：周期荷载和非周期荷载。
根据结构对不同荷载的反应特点或采用的动力分析方法不同，周期荷载分为简谐荷载（机器转动引起的不平衡力）和非简谐周期荷载（螺旋桨产生的推力）；非周期荷载分为冲击荷载（爆炸引起的冲击波）和一般任意荷载（地震引起的地震动）。
2．结构动力学与静力学的主要区别：惯性力的出现或者说考虑惯性力的影响3．结构动力学计算的特点：①动力反应要计算全部时间点上的一系列解，比静力问题复杂且要消耗更多的计算时间②于静力问题相比，由于动力反应中结构的位置随时间迅速变化，从而产生惯性力，惯性力对结构的反应又产生重要的影响4．结构离散化方法：将无限自由度问题转化为有限自由度问题集中质量法：是结构分析中最常用的处理方法，把连续分布的质量集中到质点，采用真实的物理量，具有直接直观的优点。
广义坐标法：广义坐标是形函数的幅值，有时没有明确的物理意义，但是比较方便快捷。
有限元法：综合了集中质量法与广义坐标法的特点，是广义坐标的一种特殊应用，形函数是针对整个结构定义的；有限元采用具有明确物理意义的参数作为广义坐标，形函数是定义在分片区域的。
①与广义坐标法相似，有限元法采用了形函数的概念，但不同于广义坐标法在全部体系(结构)上插值(即定义形函数),而是采用了分片的插值(即定义分片形函数)，因此形函数的公式(形状)可以相对简单。
②与集中质量法相比，有限元法中的广义坐标也采用了真实的物理量，具有直接直观的优点。
5．结构的动力特性：自振频率、振型、阻尼第二章分析动力学基础及运动方程的建立1．广义坐标：能决定质点系几何位置的彼此独立的量；必须是相互独立的参数2．约束：对非自由系各质点的位置和速度所加的几何或运动学的限制；(从几何或运动学方面限制质点运动的设施)3．结构动力自由度，与静力自由度的区别：结构中质量位置、运动的描述动力自由度：结构体系在任意瞬间的一切可能的变形中，决定全部质量位置所需要的独立参数的数目静力自由度：是指确定体系在空间中的位置所需要的独立参数的数目为了数学处理上的简单，人为在建立体系的简化模型时忽略了一些对惯性影响不大的因素确定结构动力自由度的方法：外加约束固定各质点，使体系所有质点均被固定所必需的最少外加约束的数目就等于其自由度4．有势力的概念与性质：有势力（保守力）：每一个力的大小和方向只决定于体系所有各质点的位置，体系从某一位置到另一位置所做的功只决定于质点的始末位置，而与各质点的运动路径无关。
哈尔滨工业大学结构动力学课件第八次课
12 EI
9 11 33 12
3
Y ( F M Y ) M Y Y F M Y kY F
1
..
..
..
书后习题
拉格朗日方法
通常当质点较多，约束比较复杂时，适合用能量分析 方法,例如Lagrange第2类方程。
拉格拉日方程， L T U ，
对于 m 个质点的质点系， 共约束是 r 个， 那么广义 坐标系 n＝3m－r 个，也就是有 n 个自由度数。
刚体在空间运动有六个 DOF
有限单元法将连续体离散成若干有限单元构成
3.1.2 多自由度系统振动微分方程的建立。 可用牛顿力学与分析力学的任何一种方法均 可，常用的牛顿法、达朗贝尔原理、Lagrange 第二 类方程、有限元方法等。 牛顿法：
dt qi
M q Kq 0
..
无阻尼受迫振动
d T 对于有耗散力的方程为
dt qi qi 有阻尼受迫振动
U Qi d T dt qU qi i Q
qi
i
d T dt qi
.. .. ..
m
y2 F1 m1 y1 21 F2 m2 y 2 22 F3 m3 y3 23 11 l 3 2 2 3 3 2 1 1 2 3 12 EI 3 3 .. 7 .. l 16 l .. l y F 31 22 3 F1 m1 y111 31 2 9 m2 y 2 1332 F3 m3 y3 33 33 y12 EI1 m1 y1 11 F2 m2 F 12 EI 1 12 EI
结构动力学-8
m2
fD2 f D1
m1
y2 (t )
y1 (t )
--阻尼矩阵 --阻尼矩阵
cij --当质点j有单位速度 ( y j =1) ,其余质点速度为0时, & --当质点 当质点j 其余质点速度为0 质点i上的阻尼力. 质点i上的阻尼力.
若下式成立
{X} [c]{X}j
T i
0 = * Cj
i≠ j i= j
[K ] = [M ][ω ]
* * 2
3.振型的规范化 3.振型的规范化 归一化振型 标准化振型
{X}T [m]{X}i i
= Mi* =1
求 {X}i0的标准化振型 {X}i ： 0 设：{X}i =α{X}i
Mi* = {X}i [m]{X}i =α2{X}i
T 0T
[m]{X}i0 = 1
α 2 = 1/ Mi0*
{y(t)} = {X}i sin( ωit +αi ) +{X}j sin( ω jt +α j )
T= 1 & & {y}T [m]{y} 2 1 T T = [ωi2 cos2 (ωit +αi ){X}i [m]{X}i +ω2 cos2 (ω jt +α j ){X}j [m]{X}j ] j 2 1 T T + ωi ω j cos(ωit +αi ) cos(ω jt +α j )[{X}i [m]{X}j +{X}j [m]{X}i ] 2
= T + Tj i
U= 1 {y}T [k]{y} 2 1 T T = [sin 2 (ωit +αi ){X}i [k]{X}i + sin 2 (ω jt +α j ){X}j [k]{X}j ] 2 1 T T + sin( ωit +αi ) sin( ω jt +α j )[{X}i [k]{X}j +{X}j [k]{X}i ] 2 = Ui +U j
结构动力学课件PPT
my cy ky FP (t)
§2-5 广义单自由度体系：刚体集合
➢刚体的集合（弹性变形局限于局部弹性 元件中）
➢分布弹性（弹性变形在整个结构或某些 元件上连续形成）
➢只要可假定只有单一形式的位移，使得 结构按照单自由度体系运动，就可以按 照单自由度体系进行分析。
E2-1
x
p( x,t
)
=p
)
3
B'
M I1
E'
D'
F' G'
A
D
E
B
F
G
C
fD1
fI1
fS1
f D2
f I2
f S2
a
2a
a aa a
Z(t )
f S1
k1(EE')
3 4
k1Z (t )
f D1
d c1( dt
DD')
1 4
c1Z (t )
fS2
k1(GG')
1 3
k2
Z
(t
)
fD2 c2Z (t)
f
I1
m1
1 2
Z(t)
3. 有限单元法
—— 将有限元法的思想用于解决结构的动力计算问题。
要点：
▪ 先把结构划分成适当（任意）数量的单元；
▪ 对每个单元施行广义坐标法，通常取单元的节点位移作 为广义坐标；
▪ 对每个广义坐标取相应的位移函数 （插值函数）；
▪ 由此提供了一种有效的、标准 化的、用一系列离散坐标 表示无限自由度的结构体系。
建立体系运动方程的方法
▪ 直接平衡法，又称动静法，将动力学问题转化为任一时刻 的静力学问题：根据达朗贝尔原理，把惯性力作为附加的 虚拟力，并考虑阻尼力、弹性力和作用在结构上的外荷载， 使体系处于动力平衡条件，按照静力学中建立平衡方程的 思路，直接写出运动方程。
结构动力学一维杆件系统的振动分析
t 0
t 1
t2
c 10 , y Y1(100) x 100 x 90 x 80
分离变量法解波动方程，设 ： y(x , t) Y (t) (x)
Y(t) (x) c2 "(x)Y (t)
上标“ ′”表示对x 的偏导数
c2 "(x) Y(t) (x) Y (t)
芜湖长江大桥是一座公铁两用低塔斜拉特大桥，正桥共有15个桥墩。 大桥为双层，铁路在下层，公路在上层。铁路桥为I级，双线，全 长10511米，正桥长2193米，桥宽21米(设四车道宽18米，两侧人行 道各宽1.5米)，芜湖岸引桥长2038米，无为岸引桥长1449米。全桥 混凝土总量约为55万立方米，结构用钢材约11万吨。
结论：一个弹性系统相当于具有无穷多个自由度，具有 无穷多个固有频率，每个固有频率都对应一个振型。
常采用模态截断：
y(x
,
t)
N
Yi
i1
(t)
sin
i
l
x
第8章 一维杆件系统的振动分析
共振原理：当激振力频率等于弦的固有频率ωn ，出现共振峰。 工程应用： 测试弦的固有频率推算弦的索力。
J
pdx
2
t2
T x
dx
mT
(x,
t)
dx
内力—变形关系： T GJ由振动方程：
Jp
2
t2
x
GJ p
x
mT (x, t)
2
t2
G
2
x2
c12
2
x2
结构动力学-8z振型的正交性
设：X i
X
0 i
M
* i
X
T i
mX
i
2
X
0T i
mX
0 i
1
2
1/
M
0* i
X i
X
0 i
1
M
0* i
X
0 i
例.已知图示体系的基本振型为
X
1
1 1.618
使确定其标准化振型。
m
EI1
km
EI1
k
M
0* 1
1
1.618m0
0 1 m1.618 3.6179m
X 1
1
M
y*
y y
rXXert
X * ert
y* X * rert
m* y* k* y* 0
y*
y y
rXXert
X * ert
y* X * rert
m* X * rert k* X * ert 0
m* X *r k* X * 0 ---振型方程
0
c 0.0591 0.151 0.0591 km
0
0.0591 0.0919
m
EI1
k m2 m
EI1
k
m
EI1
k
解.
1
1
21
(a0
a112 )
2
1
2 2
(a0
a1
2 2
)
a0 0.0328 k / m
a1 0.0591 m / k
3
1
23
(a0
a1
2 3
)
0.0624
同理
D
第八章 结构的动力学模型修正
第八章结构的动力学模型修正§8.1 概述随着科学技术的进步，人们对工程结构设计的要求越来越高，因此在进行结构静、动力分析时，要求反映结构力学特征的模型正确可靠，就成为顺理成章的事，结构建模问题因而显得越来越重要。
对结构振动分析而言，一个良好的数学模型是保证固有特性和振动响应计算、载荷预计、稳定性分析等得到可靠结果的前提。
上一世纪中期发展起来的有限元素法，为结构动力学建模提供了一个有力的手段。
但由于各种原因，根据结构的力学模型用有限元素法建立的数学模型，常常不能准确反映实际结构的动力学特征。
虽然在后来随着振动测试技术、信号处理技术的发展，使得以参数识别技术为基础的试验模态方法获得了大的发展，但由于参数识别也是以参数模型存在为前提条件，如果参数模型本身不能反映结构的本质与特征，则再好的数学识别技术也不能提高结构模型的精度。
而且由参数识别得到的模态数据，往往远少于建模的需要。
结构的动力学建模仍然有许多需要解决的问题。
要得到一个与实际结构动力学特性符合较好的模型，可以从两个途径来解决这个问题：一个途径是用理论分析（如有限元素法）建立模型，再用实测数据进行模型修正，称为结构动态修改或动力学模型修正；另一个途径是仅用测试数据，以参数模型为依据求得物理坐标下表征结构动态特性的质量、刚度、阻尼矩阵，即所谓物理参数识别问题。
因此，结构动力学模型修正的工程含义可以从两方面来阐述：（1）计算模型的动力学模型修正。
对于实际结构运用有限元法建立的数学模型，由于它不能准确反映实际结构的动态特性，需用实测数据进行修正，以获得能用于计算的数学模型。
（2）结构的动力学修改。
结构动力学修改的正问题是指：对已有结构做了局部修改后，在原结构模态参数已知的情况下，用快速简易的方法获得改动后结构的模态参数。
即所谓结构重分析问题。
结构动力学修正的反问题是指：已知的原结构模态参数不符合要求，在对结构模态参数的要求已给定的情况下，对结构进行修改，使改动后的结构模态参数符合要求。
结构动力学(课用ppt)
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（4）一般任意荷载 荷载的幅值变化复杂、难以用解析函数解析表示的荷 载。 由环境振动引起的地脉动、地震引起的地震动， 以及脉动风引起的结构表面的风压时程等。
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1.5 结构动力分析中的自由度
一. 自由度的定义
结构动力学和静力学的一个本质区别：考虑惯性力的影响
结构产生动力反应的内因（本质因素）：惯性力 惯性力的产生是由结构的质量引起的 动力自由度（数目）：在动力计算中，一个体系的动力自由度是指为了确定 运动过程中任一时刻全部质体位置所需的独立的几何参数数目。
独立参数也称为体系的广义坐标，可以是位移、转角或其它广义量。
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二. 自由度的简化 实际结构都是无限自由度体系，这不仅导致分析困难，而且从工程 角度也没必要。常用简化方法有：
张亚辉 林家浩 编著, 结构动力学基础，大连理工大学出版社，2007. 刘晶波等编著，结构动力学，机械工业出版社，2005. 张子明等编著，结构动力学，河海大学出版社，2001.
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3
第一章 绪论
1.1 动力问题的基本特征 1.2 结构动力分析的目的
1.3 结构动力学研究的内容
1.4 动力荷载类型
注意！
振动体系的自由度数与计算假定有关，而与集中质量的数目和 超静定次数无关，如下图所示的体系。
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2、广义坐标法
广义坐标：能决定体系几何位置的彼此独立的量，称为该体系的广义坐标
变形曲线可用三角级数的和来表示：
nx nx u( x, t ) bn sin bn (t ) sin L L n 1 n 1
结构动力学 ppt课件
i (0) i (l ) 0
--基函数（或形状函数） 课件 i ( x)PPT
9
ai ---广义坐标
3) 有限元法 和静力问题一样，可通过将实 际结构离散化为有限个单元的集合， 将无限自由度问题化为有限自由度 来解决。
m
三. 自由度的确定
集中质量法：独立质量位移数即为自由度数； 广义坐标法：广义坐标个数即为自由度个数； 有限元法：独立结点位移数即为自由度数；
第三类问题：荷载识别。
PPT课件
5
第四类问题：控制问题
输入 （动力荷载） 结构 （系统） 控制系统 （装置、能量） 输出 （动力反应）
本课程主要介绍结构的反应分析 任务 讨论结构在动力荷载作用下反应的分析的方法。寻找 结构固有动力特性、动力荷载和结构反应三者间的相互关 系，即结构在动力荷载作用下的反应规律，为结构的动力 可靠性（安全、舒适）设计提供依据。
PPT课件
10
例. 自由度的确定
1) 平面上的一个质点 3) 计轴向变形时 W=2 不计轴向变形时 W=1 W=2 为减少动力自由度，梁与 刚架一般可不计轴向变形。
y2
y1
W=2
2)Βιβλιοθήκη 弹性支座不减少动力自由度PPT课件
11
4)
y1
W=1
5) W=2
6)
EI
W=1
PPT课件
12
§1.4
体系的运动方程
形式上的平衡方程，实质上的运动方程
PPT课件
13
一、柔度法
P(t )
l
EI
m m (t ) y y(t )
=1
11
(t )] 11[ P(t ) m y
结构动力学（ＰＤＦ）
机械振动系统，师汉民，华中科技大学出版社cos sin i t e t i t ωωω=+Ch1 单自由度线性系统自由振动1.3 无阻尼自由振动()()0mxt kx t += 解()()22002()cos sin cos cos n n n n nnv v x t x t t x t A t ωωωϕωϕωω=+=++=-振幅和相位由初始条件确定。
确定自然频率的方法： 1、 静变形法：kx mg =，n g xω=2、 能量法：无阻尼弹性振动能量守恒，因此取动能Tmax=势能Vmax 。
1.4 有阻尼自由振动22()()()020n n mx t cx t kx t s s ξωω++=⇒++= ，通解wt Ae通常自然频率可以很容易的通过实验测定，但阻尼比ξ的计算或辨识则比较困难，需要利用自由振动衰减曲线计算。
在间隔1个振动周期T 的自由振动减幅振动曲线上，取两个峰值A1和A2，A1/A2=EXP(ξωn T)Ch2 单自由度线性系统的受迫振动 2.1 谐波激励()()()cos cos mxt cx t kx t F t kA t ωω++= →22()2()()cos n n n x t x t x t A t ξωωωω++= ，设通解cos()X t ωϕ-，ϕ表响应对激励的滞后通解X1为：()20020002cos n t n n d dd v x v x xe t ξωξωξωωωω-+⎛⎫++- ⎪⎝⎭，瞬态响应，逐步衰减。
特解X2为：()()i t H Ae ωϕω-，稳态响应，实际上的激励和响应仅取实部，响应的频率是激励的频率！222222222222cos arctan cos arctan 112112n n n n n n n n AA t t i ωωξξωωωωωωωωωωξξωωωωωω⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪-=- ⎪⎪⎛⎫⎛⎫--+- ⎪ ⎪-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭幅频特性221()12n n X H Ai ωωωξωω==-+，相频特性222()arctan1n nωξωϕωωω=-若激励表示为i t Ae ω，响应表示为i t Xe ω，可表述()()()x t H f t ω=，则()()()i t x t H Ae ωϕω-=共振频率212r n ωωξ=-，有阻尼自然频率21d n ωωξ=-，因此，对共振的研究应考虑阻尼比ξ=0.707的特殊点。
(完整版)结构动力学-习题解答
解
11
5 48
l3 EI
;
3.098
EI ml 3
;
l/2
ml 3 T 2.027 ;
EI
m
EI y1(t)
l
l/2 l/2
l/4
7-1（b)试求图示体系的自振频率与周期。
解: 求柔度系数: 用位移法或力矩分配法 求单位力作用引起的弯矩图（图a); 将其与图b图乘，得
48EI 2k
T 2 ( 1 l3 1 )m
48 EI 2k
m
k EI
k
l/2
l/2
7-3 试求图示体系质点的位移幅值和最大弯矩值。
已知 0.6
l
解:
yst
FPl 3 EI
m
y1(t)
1
1
2
/
2
1.5625
位移幅值
A
yst
1.5625
FPl 3 EI
2l
yst
11
5 3
l3 EI
1 11
l
X11 0.4612 ; X12 4.336
X 21
X 22
12 7.965 EI / ml 3
2 2
65.53EI
/
ml 3
1 2.822 EI / ml3
8-6.试求图示刚架的自振频率和振型。设楼面质量分别为m1=120t和m2=100t,
柱的质量已集中于楼面, 柱的线刚度分别为i1=20MN.m和i2=14MN.m,横梁
m 2 A 0.3375 FP
l/2
EI=常数
FP sin t
2l
FP
FPl
结构动力学-8
0.000267 cos2t
三.振型分解法(计阻尼)
P1(t) P2 (t)
PN (t)
阻尼力 fD cy(t)
m1 m2
mN
c11
c
c21
c12
c22
c1N
c2 N
--阻尼矩阵
y1(t) y2 (t)
f D1 f D 2
( j 1,2,N )
三.振型分解法(计阻尼) 运动方程
P1(t) P2 (t) m1 m2
PN (t) mN
my(t) cy(t) ky(t) P(t)
N
设 y(t) X i Di (t) i 1
y1(t) y2 (t)
f D1 f D 2
M *j D j (t) C*j D j (t) K*j Dj (t) Pj*(t) ( j 1,2,N )
y1(t) y2 (t)
yN (t)
N
m(
X
i
Di
(t ))
k
N
(
X
i
Di
(t ))
P(t
)
i1
X
T j
m(
N
i 1
X
i
Di
(t
))
X
T j
k
(
N
X
i
Di
(t
))
X
T j
P(t
)
i 1
i 1
X
T j
mX
j
D j
(t
)
X
T j
k
X
j
Dj
(t
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一.振型正交性
X 1i
i振型
X i
X 2i
X Ni
m1
2 i
X
1i
m2i2 X 2i
m1 m2
X1i X 2i
mNi2 X Ni mN
X Ni
i振型上的 惯性力
m1i2 m2i2
X X
1i 2i
mNi2 X Ni
2 i
m1
m2
X1i
i振型上的弹性力在j振型上作 的虚功等于0
mNi2 X Ni mN
X Ni
mN
2 j
X
Nj
mN
X Nj
PN
X Ni
振型正交性的应用 1.检验求解出的振型的正确性。 2.对耦联运动微分方程组作解 耦运算等等.
例:试验证振型的正确性
m
m
EI
y2
l EI y1
l
X 1
2.123;X 2
0.897
1
12
m
m
2m
k 1 718
7
41878
EI l3
7
X
T 1
mX
2
2.23
1m0
0 2m
0.897
1
0.00031m
X
T 1
kX
2
2.23
11128//77
18/ 7
48/ 7
0.897
1
0.000154(
EI
/
l
3
)
例:已知图示体系的第一振型, 试求第二振型.
X
1
2.23
振型对刚度的正交性:
k X i
2 i
mX
i
m1
2 i
X
1i
m2i2 X 2i
m1 m2
X1i X 2i
m1
2 j
X
1
j
m2
2 j
X
2
j
m1 m2
X
T j
k
X
i
i2
X
T j
mX
i
X
T j
k
X
i
0
振型对刚度的正交性的物理意义
X1j X2 j
P1 P2
P kX i
X
T j
P
X
T j
k
X
i
0
X1i X 2i
X Nj
i2
X
T j
mX
i
由虚功互等定理
W ji Wij
j振型上的惯性力
(
2 j
i2
)X
T j
mX
i
0
在i振型上作的虚功
W ji
2 j
X
T i
mX
j
2 j
X
T j
mX
i
X
T j
mX
i
0
振型对质量的正交性的物理意义
Wij
i2
X
T j
mX
i
0
i振型上的惯性力在j振型上作 的虚功等于0
m1
2 i
X
1i
X1j X2 j
X Nj
i2
X
T j
mX
i
由虚功互等定理
W ji Wij
j振型上的惯性力
(
2 j
i2
)X
T j
mX
i
0
在i振型上作的虚功
W ji
2 j
X
T i
mX
j
2 j
X
T j
mX
i
X
T j
mX
i
0
振型对质量的正交性的物理意义
Wij
i2
X
T j
mX
i
0
i振型上的惯性力在j振型上作 的虚功等于0
解: A D1X 1 D2X 2
X 1
2.123;X
2
0.897
1
X
T 1
mA
D1X
T 1
mX
1
D2X
T 1
mX
2
D1
X
T 1
mA
X
T 1
mX
1
13.945m 6.9729m
2
A
A
D1X
1
3.1145
3.5
2
2.23
1
1.3455
1.5
A
2
1.3455
1.5
1.5
0.897
2.求广义质量、广义荷载;
3.求组合系数;
4.按下式求位移;
N
y(t) X i Di (t) i 1
例一.求图示体系的稳态振幅.
Psin t
m1 m2 m 3.415 EI / ml3
m1
m2
EI
解: 1 5.692
X
1
1 1
EI
ml 3
X
2
2
22.045 1 1
EI ml 3
y1 (t )
yN (t)
i 1
N
i 1
N
X
T j
m(
X
i
Di (t
))
X
T j
k
(
X
i
Di
(t
))
X
T j
P(t
)
i 1
i 1
X
T j
mX
j
Dj (t
)
X
T j
k
X
j
Dj
(t
)
X
T j
P(t
)
M *j Dj (t)
K
* j
D
j
(t)
Pj* (t )
M
* j
---j振型广义质量
K
* j
---j振型广义刚度
Pj* (t) ---j振型广义荷载
mN
X 2i
X Ni
2 i
m
Xi
X 1i
j振型
X i
X 2i
i振型上的惯性力
X Ni
m1
2 j
X
1
j
m2
2 j
X
2
j
m1 m2
在j振型上作的虚功
Wij m1i2 X1i X1 j m2i2 X 2i X 2 j
X1j X2 j
mN
2 j
X
Nj
mN
1
;
m
m
EI
y2
l EI y1
l
解:
X
T
1
mX
2
2.23
1m0
0 2m
X X
12 22
0
2.23mX12 2mX 22 0
X12 2 X 22 2.23
X 2
0.897
1
m
m
例:已知图示体系在动荷载作用下的振幅为
EI
y2
A
3.1145 3.5000
试从其中去掉第一振型分量.
l EI y1 l
m1 m2 m 3.415 EI / ml3
m2i2 X 2i
m1 m2
X1i X 2i
mNi2 X Ni mN
X Ni
振型对刚度的正交性:
k X i
2 i
mX
i
X
T j
k
X
i
i2
X
T j
mX
i
X
T j
k
X
i
0
i振型上的惯性力
m1
2 j
X
1
j
m2
2 j
X
2
j
m1 m2
mN
2 j
X
Nj
mN
在j振型上作的虚功
Wij m1i2 X1i X1 j m2i2 X 2i X 2 j
( j 1,2, N )
Pj* (t )
M
* j
D j (t)
K
* j
k X j
2 j
mX
j
X
T j
k
X
j
2 j
X
T j
mX
j
2 j
K
* j
/
M
* j
折算体系
二.振型分解法(不计阻尼)
P1(t) P2 (t)
PN (t)
运动方程
m1 m2
mN
my(t) ky(t) P(t)
设
N
y(t) X i Di (t)
y1(t) y2 (t)
yN (t)
i 1
M
* j
Dj (t
)
K *j Dj
(t)
Pj* (t )
M
* j
---j振型广义质量
K
* j
---j振型广义刚度
( j 1,2, N )
Pj* (t )
M
*ห้องสมุดไป่ตู้j
D j (t)
K
* j
Pj* (t) ---j振型广义荷载
折算体系
计算步骤: 1.求振型、频率;
y2 (t)
M1*
X
T 1
mX 1
2m
M
* 2
X
T 2
mX
2
2m
P1*
(t
)
X
T 1
P(t
)
1
1P
sint
0
P
sint