结构动力学-8

y2 (t)
M1*
X
T 1
mX 1
2m
M
* 2
X
T 2
mX
2
2m
P1*
(t
)
X
T 1
P(t
)
1
1P
sint
0
P
sint
P2*
(t)
X
T 2
P(t)
P
sint
计算步骤: 1.求振型、频率;
2.求广义质量、广义荷载;
3.求组合系数;
4.按下式求组合系数;
N
y(t) X i Di (t) i 1
例一.求图示体系的稳态振幅.
X Nj
i2
X
T j
mX
i
由虚功互等定理
W ji Wij
j振型上的惯性力
(
2 j
i2
)X
T j
mX
i
0
在i振型上作的虚功
W ji
2 j
X
T i
mX
j
2 j
X
T j
mX
i
X
T j
mX
i
0
振型对质量的正交性的物理意义
Wij
i2
X
T j
mX
i
0
i振型上的惯性力在j振型上作 的虚功等于0
m1
2 i
X
1i
yN (t)
i 1
N
i 1
N
X
T j
m(
X
i
Di (t
))
X
T j
k
(
X
i
Di
(t
))
X
T j
P(t
)
i 1
i 1
X
T j
mX
j
Dj (t
)
X
T j
k
X
j
Dj
(t
)
X
T j
P(t
)
M *j Dj (t)
K
* j
D
j
(t)
Pj* (t )
M
* j
---j振型广义质量
K
* j
---j振型广义刚度
Pj* (t) ---j振型广义荷载
振型对刚度的正交性:
k X i
2 i
mX
i
m1
2 i
X
1i
m2i2 X 2i
m1 m2
X1i X 2i
m1
2 j
X
1
j
m2
2 j
X
2
j
m1 m2
X
T j
k
X
i
i2
X
T j
mX
i
X
T j
k
X
i
0
振型对刚度的正交性的物理意义
X1j X2 j
P1 P2
P kX i
X
T j
P
X
T j
k
X
i
0
X1i X 2i
1
1.5X 2
A X i Di D1X 1 D2X 2 2X 1 1.5X 2
i 1
二.振型分解法(不计阻尼)
P1(t) P2 (t)
PN (t)
运动方程 my(t) ky(t) P(t)
m1 m2
mN
N
设 y(t) X i Di (t) i 1
y1(t) y2 (t)
N
N
m(X i Di (t)) k (X i Di (t)) P(t)
m1 m2 m 3.415 EI / ml3
m2i2 X 2i
m1 m2
X1i X 2i
mNi2 X Ni mN
X Ni
振型对刚度的正交性:
k X i
2 i
mX
i
X
T j
k
X
i
i2
X
T j
mX
i
X
T j
k
X
i
0
i振型上的惯性力
m1
2 j
X
1
j
m2
2 j
X
2
j
m1 m2
mN
2 j
X
Nj
mN
在j振型上作的虚功
Wij m1i2 X1i X1 j m2i2 X 2i X 2 j
( j 1,2, N )
Pj* (t )
M
* j
D j (t)
K
* j
k X j
2 j
mX
j
X
T j
k
X
j
2 j
X
T j
mX
j
2 j
K
* j
/
M
* j
折算体系
二.振型分解法(不计阻尼)
P1(t) P2 (t)
PN (t)
运动方程
m1 m2
mN
my(t) ky(t) P(t)
设
N
y(t) X i Di (t)
1
;
m
m
EI
y2
l EI y1
l
解:
X
T
1
mX
2
2.23
1m0
0 2m
X X
12 22
0
2.23mX12 2mX 22 0
X12 2 X 22 2.23
X 2
0.897
1
m
m
例:已知图示体系在动荷载作用下的振幅为
EI
y2
A
3.1145 3.5000
试从其中去掉第一振型分量.
l EI y1 l
解: A D1X 1 D2X 2
X 1
2.123;X
2
0.897
1
X
T 1
mA
D1X
T 1
mX
1
D2X
T 1
mX
2
D1
X
T 1
mA
X
T 1
mX
1
13.945m 6.9729m
2
A
A
D1X
1
3.1145
3.5
Fra Baidu bibliotek
2
2.23
1
1.3455
1.5
A
2
1.3455
1.5
1.5
0.897
y1(t) y2 (t)
yN (t)
i 1
M
* j
Dj (t
)
K *j Dj
(t)
Pj* (t )
M
* j
---j振型广义质量
K
* j
---j振型广义刚度
( j 1,2, N )
Pj* (t )
M
* j
D j (t)
K
* j
Pj* (t) ---j振型广义荷载
折算体系
计算步骤: 1.求振型、频率;
§3.3 振型分解法
一.振型正交性
X 1i
i振型
X i
X 2i
X Ni
m1
2 i
X
1i
m2i2 X 2i
m1 m2
X1i X 2i
mNi2 X Ni mN
X Ni
i振型上的 惯性力
m1i2 m2i2
X X
1i 2i
mNi2 X Ni
2 i
m1
m2
X1i
X1j X2 j
X Nj
i2
X
T j
mX
i
由虚功互等定理
W ji Wij
j振型上的惯性力
(
2 j
i2
)X
T j
mX
i
0
在i振型上作的虚功
W ji
2 j
X
T i
mX
j
2 j
X
T j
mX
i
X
T j
mX
i
0
振型对质量的正交性的物理意义
Wij
i2
X
T j
mX
i
0
i振型上的惯性力在j振型上作 的虚功等于0
i振型上的弹性力在j振型上作 的虚功等于0
mNi2 X Ni mN
X Ni
mN
2 j
X
Nj
mN
X Nj
PN
X Ni
振型正交性的应用 1.检验求解出的振型的正确性。 2.对耦联运动微分方程组作解 耦运算等等.
例:试验证振型的正确性
m
m
EI
y2
l EI y1
l
X 1
2.123;X 2
0.897
1
2.求广义质量、广义荷载;
3.求组合系数;
4.按下式求位移;
N
y(t) X i Di (t) i 1
例一.求图示体系的稳态振幅.
Psin t
m1 m2 m 3.415 EI / ml3
m1
m2
EI
解: 1 5.692
X
1
1 1
EI
ml 3
X
2
2
22.045 1 1
EI ml 3
y1 (t )
12
m
m
2m
k 1 718
7
41878
EI l3
7
X
T 1
mX
2
2.23
1m0
0 2m
0.897
1
0.00031m
X
T 1
kX
2
2.23
11128//77
18/ 7
48/ 7
0.897
1
0.000154(
EI
/
l
3
)
例:已知图示体系的第一振型, 试求第二振型.
X
1
2.23
mN
X 2i
X Ni
2 i
m
Xi
X 1i
j振型
X i
X 2i
i振型上的惯性力
X Ni
m1
2 j
X
1
j
m2
2 j
X
2
j
m1 m2
在j振型上作的虚功
Wij m1i2 X1i X1 j m2i2 X 2i X 2 j
X1j X2 j
mN
2 j
X
Nj
mN