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北师大版数学八年级上册全册复习优质ppt
线性回归分析
在统计学中，一次函数用于线性回归分析，以探 索变量之间的关系。
05
第五章：整式的乘除与 因式分解
整式的乘法与除法
整式乘法
掌握单项式与单项式、单项式与多项Байду номын сангаас、多项式与多项式的乘法法则，能够熟 练进行整式的乘法运算。
整式除法
理解整式除法的意义，掌握单项式除以单项式、多项式除以单项式的除法法则 ，能够熟练进行整式的除法运算。
否相等或相似。
综合应用
03
在实际问题中，等腰三角形和轴对称常常一起出现，需要综合
运用两者的性质和判定来解决实际问题。
03
第三章：实数
平方根和算术平方根
平方根的定义
一个非负数x的平方根是一个数y，满足y^2=x。正数的 平方根有两个，一正一负，互为相反数。0的平方根是0 。
平方根的性质
一个正数的算术平方根是正的，0的算术平方根是0，负 数没有实数平方根。
的图像。
图像性质
一次函数的图像是一条直线，其 斜率为$k$，与y轴的交点为 $(0,b)$。
增减性
当$k>0$时，函数为增函数；当 $k<0$时，函数为减函数。
一次函数的应用
实际问题建模
利用一次函数可以建立实际问题的数学模型，如 速度、时间、距离等问题。
最优化问题
通过一次函数可以解决最优化问题，如最大值、 最小值等。
北师大版数学八年级上册全册复习 优质
汇报人：可编辑 2023-12-24
目录
• 第一章：全等三角形 • 第二章：轴对称与等腰三角形 • 第三章：实数 • 第四章：一次函数 • 第五章：整式的乘除与因式分解
01
第一章：全等三角形
在统计学中，一次函数用于线性回归分析，以探 索变量之间的关系。
05
第五章：整式的乘除与 因式分解
整式的乘法与除法
整式乘法
掌握单项式与单项式、单项式与多项Байду номын сангаас、多项式与多项式的乘法法则，能够熟 练进行整式的乘法运算。
整式除法
理解整式除法的意义，掌握单项式除以单项式、多项式除以单项式的除法法则 ，能够熟练进行整式的除法运算。
否相等或相似。
综合应用
03
在实际问题中，等腰三角形和轴对称常常一起出现，需要综合
运用两者的性质和判定来解决实际问题。
03
第三章：实数
平方根和算术平方根
平方根的定义
一个非负数x的平方根是一个数y，满足y^2=x。正数的 平方根有两个，一正一负，互为相反数。0的平方根是0 。
平方根的性质
一个正数的算术平方根是正的，0的算术平方根是0，负 数没有实数平方根。
的图像。
图像性质
一次函数的图像是一条直线，其 斜率为$k$，与y轴的交点为 $(0,b)$。
增减性
当$k>0$时，函数为增函数；当 $k<0$时，函数为减函数。
一次函数的应用
实际问题建模
利用一次函数可以建立实际问题的数学模型，如 速度、时间、距离等问题。
最优化问题
通过一次函数可以解决最优化问题，如最大值、 最小值等。
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目录
• 第一章：全等三角形 • 第二章：轴对称与等腰三角形 • 第三章：实数 • 第四章：一次函数 • 第五章：整式的乘除与因式分解
01
第一章：全等三角形
北师大版八年级数学上册全套教学课件
ⅰ、三边的平方分别是 各正方形的面积；
数格子法
ⅱ、满足“两直角边的平 方和等于斜边的平方”。
(4) 如果直角三角形的两直角边分别为1.6个单位长度 和2.4个单位长度，上面所猜想的数量关系还成立吗？ 说明你的理由。
1.6 2.4
(4) 如果直角三角形的两直角边分别为1.6个单位长度 和2.4个单位长度，上面所猜想的数量关系还成立吗？ 说明你的理由。
这种验证勾股定理的方法，据载最早是 三国时期数 学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，我国历史上将 此图称为弦图 。
想一想:
你还有其它的拼图方法吗?
二、用“外镶法”拼图： 将直角三角形按图拼在大正方形外部
c2 (b a)2 1 ab 4 2
b2 2ab a2 2ab b2 a2
在直角三角形中： ∵ 92+122=斜边2 ∴ 斜边=15 ∴旗杆高=9+15=24(米)
知识归纳
“勾股定理”的应用： 已知直角三角形两边，求第三边。
B a2+b2= c2
a2= c2-b2 a
c
b2= c2-a2 C
b
A
1、求下图中字母所代表的正方形的面积：
2、求下列直角三角形未知边的长度：
仍然成立
1勾.6
弦
较短的直角边称为“勾”
2股.4
较长的直角边称为“股”
斜边边称为“弦”
新知归纳
勾股定理：
(1)文字语言：直角三角形两直角边的平方和等于 斜边的平方。
(2)符号语言：
C 90 (已知)
B
a
c
a2 b2 c2 (勾股定理)
C
b
A
如图，强大的台风使得一根旗杆在离地面9米 处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处。旗杆 之前有多高？
北师大版八年级数学上册全册课件
2.5 用计算器开 方
学校：________ 教师：________
创设情境 温故探新
复习 导入
5.89
1.你能计算
吗？
2.对于小数、分数或一些较大的 整数的开方，我们该如何计算呢？
合作交流探究新知
小组合作探究： 1、开方运算要用到键________和键 _________。 2、对于开平方运算，按键顺序是什么？ 3、对于开立方运算，按键顺序是什么？
合作交流探究新知
4、任意找一个你认为很大的正数，利用计算 器对它进行开平方运算，对所得结果再进行开平 方运算……随着开方次数的增加，你发现了什么？ 5、改用另一个小于1的正数试一试，看看是 否仍有类似规律。 6、任意找一个非零数，利用计算器对它不断 进行开立方运算，你发现了什么？
范例研讨运用新知
范例研讨运用新知
例: 生活表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端离 墙距离为梯子长度的三分之一，则梯子比较稳
定．现有一长度为6米的梯子，当梯子稳定摆放
时，它的顶端能达到5.6m高的墙头吗？
范例研讨运用新知
解：设梯子稳定摆放时的高度为x米，此时梯 子底端离墙恰好为梯子长度的，根据勾股定理 ：
2=6， x2+( 1 × 6) 3
7.怎样求出一个数的平方根？数a的平方怎 样是什么？
9.平方根与算术平方根的区别是什么？
范例研讨运用新知
例1: 例1 求下列各数的算术平方根： (1) 900； (2) 1； (3)
49 ； (4) 14． 64
解：(1)因为302=900，所以900的算术平方根是30， 即 900 =30； (2)因为12=1，所以1的算术平方根是1，即 1 =1； 2 49 49 7 7 ( ) (3)因为 = 64 ，所以 的算术平方根是，即 64 ； 8 8 (4)14的算术平方根是 14 ．
北师大版(初中二年级)八年级数学上册全套PPT
A a
c
C A
a c b
C
B
b
B
11
（2）你能发现直角三角形三边长度之间存在 什么关系吗？ 2 2 2
a b c
（3）分别以5厘米、12厘米为直角边作出一 个直角三角形，并测量斜边的长度. （2）中的规 律对这个三角形仍然成立吗？
12
勾股定理
（gou-gu theorem）
如果直角三角形两直角边长分别
问题2 如果一个三角形中有两边的平方和等于第三 边的平方，那么这个三角形是否就是直角 三角形呢？
23
下面有三组数分别是一个三角形的三边长a,b,c: ①5,12,13; ②7,24,25; ③8,15,17.
回答这样两个问题:
1.这三组数都满足 a2+b2=c2吗？
2.分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器 量一量，它们都是直角三角形吗？
9
分析表中数据，你发现了什么？
A的面积 左图 右图 B的面积 C的面积
4 16
9 9
13 25
S A S B SC
结论2 以直角三角形两直角边为
边长的小正方形的面积的和，等于以
斜边为边长的正方形的面积.
10
议一议：
（1）你能用直角三角形的两直角边的长a，b和 斜边长c来表示图中正方形的面积吗？
填表（每个小正方形的面积为单位1）：
A的面积 左图 右图 B的面积 C的面积
怎样计算 正方形C 的面积呢？
4
9
9
16
？
8
方法一：
方法二：
方法三：
“割”
分割为四个直 角三角形和一 个小正方形
“补”
补成大正方形， 用大正方形的面 积减去四个直角 三角形的面积
加减法北师大版八年级数学上册精品课件PPT
•
4、让学生有个整体感知的过程。虽然 这节课 只教学 做好事 的部分 ，但是 在研读 之前我 让学生 找出风 娃娃做 的事情 ，进行 板书， 区分好 事和坏 事，这 样让学 生能了 解课文 大概的 资料。
•
5、人们都期望自我的生活中能够多 一些快 乐和顺 利，少 一些痛 苦和挫 折。可 是命运 却似乎 总给人 以更多 的失落 、痛苦 和挫折 。我就 经历过 许多大 大小小 的挫折 。
3x 5y 21 ① 解方程组2x 5y 11 ②
解：由①+②得: 5x=10 x=2.
将x=2代入①得：6+5y=21 y=3 x=2
所以原方程组的解是 y=3
你学会了吗？
5.2第2课时加减法-北师大版八年级数 学上册 课件
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算一算
练习1. 解方程组
5.2第2课时加减法-北师大版八年级数 学上册 课件
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例3：用加减法解方程组:
2x 3y 12 ① 3x 4y 17 ② 解：①×3得： 6x+9y=36 ③
②×2得：6x+8y=34 ④ ③-④得: y=2 把y＝2代入①，
解得: x＝3
：
m n
2, 4.
5.2第2课时加减法-北师大版八年级数 学上册 课件
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拓展提高
4：已知
a 2b 4 3a 2b 8
① ②
,
则a+b等于___3__.
分析：方法一:直接解方程组，求出a与b的值，然 后就可以求出a+b.
方法二：+得 4a+4b=12，
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二、新课讲解
二、新课讲解
例 一个零件的形状如图1所示，按规定这个零件中
∠A和∠DBC都应为直角.工人师傅量得这个零件各边尺
寸如图2所示，这个零件符合要求吗？
图1
图2
解：∵在Rt△ABD中，AB2+AD2=9+16=25=BD2， ∴△ABD是直角三角形，∠A是直角. ∵在△BCD中，BD2+BC2=25+144=169=CD2, ∴△BCD是直角三角形，∠DBC是直角. 因此,这个零件符合要求.
一、新课引入
观察右边两图并填写下表(每个小正方形的面积为 单位1)
A 的面积 B 的面积 C 的面积
左图
9
9
右图
4
4
怎样计算正
方形C 的面积
呢？
一、新课引入
分析表中数据，你发现了什么？ A的面积 B的面积 C的面积
9
9
18
4
4
8
SA SB SC
16
9
25
1
9
10
以直角三角形两直角边为边长的 小正方形的面积的和，等于以斜边为 边长的正方形的面积.
9,12,15
12,16,20
30,40,50
5,12,13
10,24,26
15,36,39
20,48,52
50,120,130
8,15,17 7,24,25
16,30,34 14,48,50
24,45,51 21,72,75
32,60,68 28,96,100
80,150,170 70,240,250
四、强化训练 5、已知：△ABC，AB＝AC＝17， BC＝16，则高AD＝15，S△ABC＝120
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自学指导
• 1.动手画画、动手算算、动脑想想 • 在纸上任意作出两个直角三角形，分别测量它们的三边长，且动笔算一下，三 条边长的平方有什么样的关系，你能猜想一下吗？ • 2.借图说明 • (1)观察课本第三页图1—2，思考在两个直角三角形ABC中，三边的平方分别 是多少？你是怎样得到的？它们满足上面的结论吗？ • (2)在图1—3中的两个直角三角形中，是否仍满足这样的关系？若能，试说明 你是如何求出正方形的面积？ • 3.想想办法 • 如果直角三角形的两直角边分别为5个单位长度和12个单位长度，上面所猜想 的数量关系还成立吗？请说明你的理由
AB 12 (3 3) AB 15
2 2 2
A 12
’
3
O
B
侧面展开图
A’
12
3π
B
你学会了吗? A A
李叔叔想要检测雕塑底座正 面的AD边和BC边是否分别垂直于 底边AB，但他随身只带了卷尺， （1）你能替他想办法完成任务 吗？ （2）李叔叔量得AD长是30厘米， AB长是40厘米，BD长是50厘米， AD边垂直于AB边吗？为什么？
点A处有一只蚂蚁，现要向顶点B处爬行，已知蚂 蚁爬行的速度是1厘米/秒，且速度保持不变，问 蚂蚁能否在20秒内从A爬到B？ B
五、布置作业
1．习题1.1. 2．阅读《读一读》——勾股世界. 3．观察下图，探究图中三角形的三边长是否满足 a 2 b 2 c 2?
a
c b
a c
b
能得到直角三角形吗？
1、回顾旧知： 三角形的内角和为： 勾股定理的内容是： 2、探索新知认真阅读教材P17-18页内容，并动手实践，归 纳总结已知下列每组数为三角形的三边长a、b、c，用尺规 作出三角形（图作在背面） (1)3cm、4 cm、5 cm （2）6 cm 、8 cm 、10 cm （3）5 cm 、12 cm 、13 cm 3、用量角器量出最大角的度数，它们是直角三角形吗？ 分析三边长有何关系： 从而得出结论：
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问题：你能观察出直角三角形三边之间 的关系吗？
•
•••
•
• •
• •
••C
• •
• •
•
A
••••• •••
•
B
C
图1
A
B 图2
正方形周边上 的格点数a=12
正方形内部的 格点数b=13
所以，正方形C的 面积为：
1 12 13 1 18 2
（单位面积）
C A
S正方形C
B
C
图1
A
4 1 3 3 18 2
即：两条直角边上的正方形面积之和等于 斜边上的正方形的面积.
议一议
（1）你能用三
角形的边长表示 A
C
正方形的面积吗？
（2）你能发现 直角三角形三边 长度之间存在什 么关系吗？与同 伴进行交流.
B
C
图3
A
B
图4
（3）分别以5厘米、12厘米为直角边作出一 个直角三角形，并测量斜边的长度.（2）中 的规律对这个三角形仍然成立吗？
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a、b, 斜边为c，那么
a2 b2 c2 a c
b
即 直角三角形两直角边的平方和等
于斜边的平方。 在西方又称毕达
勾
弦
哥拉斯定理！
股
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为
a， b，斜边为c，那么
勾a
c弦
a2 b2 c2
股b
直角三角形两直角边的平方和等于 斜边的平方.
B C
图1
A
B 图2 （图中每个小方格代表一个单位面积）
（3）你能发现图1中 三个正方形A，B，C 的面积之间有什么关 系吗？
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我发现
因为12 1，22 4，32 9，整数的平方
差越来越大，所以a应该在1和2之间，故
a不可能是整数
，又
(1 2
)
2
1 ，(1 )2 43
1， 9
(2 )2 3
4，两个相同因数的乘积都为分数， 9
所以a不可能是分数.
所以a不是有理数
做一做
判断一下这3个正方形的边长之间有怎样的 大小关系呢？
CD
A
EB
解：设滑道AC的长度为xm，则AB的长度为xm， AE的长度为（x-1）m.
在Rt△ACE中，∠AEC=90°，由勾股定理得
AE2+CE2=AC2， 即(x-1)2+32=x2，解得x=5.
CD
故滑道AC的长度为5m.
A
EB
随堂练习
甲、乙两位探险者，到沙漠进行探险。某日早晨8:00甲 先出发，他以6千米/时的速度向东行走。1小时后乙出发， 他以5千米/时的速度向北进行，行驶至10:00，甲、乙两 人相距多远？
4.在直角三角形ABC中，它的两直角边长的比 是 3:4，斜边长是20，则两直角边长分别
是 12 、 16 。
课后作业
布置作业：习题1.1 1、2、4题。 完成练习册中本课时的习题。
谢谢 大家
第2课时 勾股定理（2）
北师大版 八年级上册
情景导入
上一节课，我们通过测量和数格子的方法发现了 直角三角形三边的关系，但是这种方法是否具有 普遍性呢？
器量一量，他们都是直角三角形吗？ 3.如果三角形的三边长为a、b、c，并满
足a2+b2=c2.那么这个三角形是直角三角形吗？
得出结论
如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，
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汇报人： 202X-01-01
contents
目录
• 第一章 勾股定理 • 第二章 实数 • 第三章 分式 • 第四章 平行四边形 • 第五章 一次函数
01
第一章 勾股定理
勾股定理的证明
毕达哥拉斯学派
勾股定理最早由古希腊的毕达哥 拉斯学派证明，他们通过观察直 角三角形的三边关系，发现了勾
平方根与算术平方根的区别
平方根包括正负两个解，而算术平方根只取非负 的那个解。
无理数与实数
01
无理数的定义
无理数是不能表示为两个整数之比的数，常见的无理数有无限不循环小
数和无法精确表示的数（如圆的周长与直径之比π）。
02 03
无理数的性质
无理数具有稠密性和连续性，即任意两个无理数之间都存在其他无理数 。此外，无理数在实数集中占据了“无处不在”的位置，即任意两个不 同的无理数之间都存在其他无理数。
一次函数的性质
一次函数图像的斜率为k，截距为b。 当k>0时，函数为增函数；当k<0时 ，函数为减函数。
一次函数的应用
一次函数在生活中的应用
一次函数可以用于描述生活中的许多问题，如速度与时间的 关系、成本与数量的关系等。
一次函数在实际问题中的应用
通过建立数学模型，将实际问题转化为一次函数问题，可以 方便地解决许多实际问题，如最优解问题、预测问题等。
勾股定理和其逆定理是密切相关的， 它们是互为逆命题的两个命题，具有 等价性。
逆定理的应用
勾股定理的逆定理在判断三角形是否 为直角三角形时非常有用，可以通过 检查三边的平方关系来确定。
02
第二章 实数
实数的定义与性质
实数的定义
汇报人： 202X-01-01
contents
目录
• 第一章 勾股定理 • 第二章 实数 • 第三章 分式 • 第四章 平行四边形 • 第五章 一次函数
01
第一章 勾股定理
勾股定理的证明
毕达哥拉斯学派
勾股定理最早由古希腊的毕达哥 拉斯学派证明，他们通过观察直 角三角形的三边关系，发现了勾
平方根与算术平方根的区别
平方根包括正负两个解，而算术平方根只取非负 的那个解。
无理数与实数
01
无理数的定义
无理数是不能表示为两个整数之比的数，常见的无理数有无限不循环小
数和无法精确表示的数（如圆的周长与直径之比π）。
02 03
无理数的性质
无理数具有稠密性和连续性，即任意两个无理数之间都存在其他无理数 。此外，无理数在实数集中占据了“无处不在”的位置，即任意两个不 同的无理数之间都存在其他无理数。
一次函数的性质
一次函数图像的斜率为k，截距为b。 当k>0时，函数为增函数；当k<0时 ，函数为减函数。
一次函数的应用
一次函数在生活中的应用
一次函数可以用于描述生活中的许多问题，如速度与时间的 关系、成本与数量的关系等。
一次函数在实际问题中的应用
通过建立数学模型，将实际问题转化为一次函数问题，可以 方便地解决许多实际问题，如最优解问题、预测问题等。
勾股定理和其逆定理是密切相关的， 它们是互为逆命题的两个命题，具有 等价性。
逆定理的应用
勾股定理的逆定理在判断三角形是否 为直角三角形时非常有用，可以通过 检查三边的平方关系来确定。
02
第二章 实数
实数的定义与性质
实数的定义
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第一章 勾股定理
2020最新北师大版八年级数学上册 全册教学课件
1. 探索勾股定理
2020最新北师大版八年级数学上册 全册教学课件
2. 一定是直角三角形吗
2020最新北师大版八年级数学上册 全册教学课件
3. 勾股定理的应用
2020最新北师大版八年级数学上 册全册教学课件目录
0002页 0037页 0084页 0103页 0123页 0146页 0178页 0230页 0267页 0317页 0351页 0385页 0420页 0546页 0565页 0581页 0616页
第一章 勾股定理 2. 一定是直角三角形吗 回顾与思考 第二章 实数 2. 平方根 4. 估算 6. 实数 回顾与思考 第三章 位置与坐标 2. 平面直角坐标系 回顾与思考 第四章 一次函数 2. 一次函数与正比例函数 4. 一次函数的应用 复习题 1. 认识二元一次方程组 3. 应用二元一次方程组——鸡兔同笼
2020最新北师大版八年级数学上册 全册教学课件
回顾与思考
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复习题
2020最新北师大版八年级数学上册 全册教学课件
北师大版八年级数学上册课件
北师大版八年级数学上册课件一、勾股定理。
1. 勾股定理内容。
- 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
如果直角三角形的两条直角边长度分别是a和b，斜边长度是c，那么a^2+b^2=c^2。
- 例如，一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边c=√(3^2) +4^{2}=√(9 + 16)=√(25) = 5。
2. 勾股定理的证明。
- 常见的证明方法有赵爽弦图法。
赵爽通过构造以直角三角形的斜边为边长的正方形，然后将其分割成四个全等的直角三角形和一个小正方形，通过面积关系来证明勾股定理。
- 设直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c。
大正方形的面积可以表示为c^2，也可以表示为(a + b)^2- 2ab=a^2+b^2，从而证明a^2+b^2=c^2。
3. 勾股定理的逆定理。
- 如果三角形的三边长a、b、c满足a^2+b^2=c^2，那么这个三角形是直角三角形。
- 例如，三角形三边分别为5、12、13，因为5^2+12^2=25 + 144 =169=13^2，所以这个三角形是直角三角形。
4. 勾股数。
- 满足a^2+b^2=c^2的三个正整数a、b、c称为勾股数。
常见的勾股数有(3,4,5)、(5,12,13)、(8,15,17)等。
二、实数。
1. 无理数的概念。
- 无限不循环小数叫做无理数。
例如√(2)，π等。
- √(2)的计算：设√(2)=(p)/(q)（p,q为互质的正整数），则2=frac{p^2}{q^2}，即p^2=2q^2。
由此可推出p是偶数，设p = 2m，则(2m)^2=2q^2，即q^2=2m^2，所以q也是偶数，这与p,q互质矛盾，所以√(2)是无理数。
2. 实数的分类。
- 实数包括有理数和无理数。
有理数又包括整数和分数。
- 整数：正整数、0、负整数；分数：有限小数和无限循环小数。
3. 实数的运算。
- 实数的运算顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减。
有括号的先算括号里面的。
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目
录
第一章 勾股定理
1.1 探索勾股定理
B a
c
∟
b
A
练一练
求下列直角三角形中未知边的长:
8
17
x
5
12
x
解：由勾股定理可得：
解:由勾股定理可得：
82+ x2=172
即:x2=172-82 x=15
52+ 122= x2
即：x2=52+122 x=13
知识链接
穿越毕达哥拉斯做客现场 我们一起穿越回到2500年前，跟随毕达哥拉斯再 去他那位老朋友家做客，看到他朋友家用砖铺成的地 面（如下图所示）：
根据三角形面积公式， 1 1 ∴ 2 AC×BC= 2 AB×CD. 12 ∴ CD= .
5
方法总结
由直角三角形的面积求法可知直角三角
形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积， 这个规律也称“弦高公式”，它常与勾股定 理联合使用．
例2 如图，已知AD是△ABC的中线． 求证：AB2＋AC2＝2(AD2＋CD2)． 证明：如图，过点A作AE⊥BC于点E. 在Rt△ACE、Rt△ABE和Rt△ADE中， AB2＝AE2＋BE2，AC2＝AE2＋CE2，AE2＝AD2－ED2，
正方 正方 正方 形A的 + 形B的 = 形C的 面积 面积 面积 A B C
一直角边2 + 另一直角边2
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目
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第一章 勾股定理
1.1 探索勾股定理
B a
c
∟
b
A
练一练
求下列直角三角形中未知边的长:
8
17
x
5
12
x
解：由勾股定理可得：
解:由勾股定理可得：
82+ x2=172
即:x2=172-82 x=15
52+ 122= x2
即：x2=52+122 x=13
知识链接
穿越毕达哥拉斯做客现场 我们一起穿越回到2500年前，跟随毕达哥拉斯再 去他那位老朋友家做客，看到他朋友家用砖铺成的地 面（如下图所示）：
根据三角形面积公式， 1 1 ∴ 2 AC×BC= 2 AB×CD. 12 ∴ CD= .
5
方法总结
由直角三角形的面积求法可知直角三角
形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积， 这个规律也称“弦高公式”，它常与勾股定 理联合使用．
例2 如图，已知AD是△ABC的中线． 求证：AB2＋AC2＝2(AD2＋CD2)． 证明：如图，过点A作AE⊥BC于点E. 在Rt△ACE、Rt△ABE和Rt△ADE中， AB2＝AE2＋BE2，AC2＝AE2＋CE2，AE2＝AD2－ED2，
正方 正方 正方 形A的 + 形B的 = 形C的 面积 面积 面积 A B C
一直角边2 + 另一直角边2
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新版北师大版八年级数学上册 全册课件
第一章 勾股定理
1.1 探索勾股定理（第1课时）
一、新课引入
如图，从电线杆离地面8 m处向地面拉一条钢 索，如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底 部6 m，那么需要多长的钢索？
、新课引入
观察下面地板砖示意图：
你发现了什么？
你能发现图中三个正 方形的面积之间存在什么关系
三、归纳小结
你学到了什么？
1、 如果三角形三条边长分别为a，b，c ，且
满足 a 2 b2 c 2，那么这个三角形是直角三角
形. 2、勾股定理判定的应用.
四、强化训练
1、如果三角形的三边长a，b，c满足 _______________，那么这个三角形是直角三角形； 2、写出三组勾股数： _______________________________; 3、一艘帆船在海上航行，由于风向的原因，帆船先 向正东方向航行9千米，然后向正北方向航行40千米， 这时它离开出发点_________千米.
∠A和∠DBC都应为直角.工人师傅量得这个零件各边尺
寸如图2所示，这个零件符合要求吗？
图1
图2
解：∵在Rt△ABD中，AB2+AD2=9+16=25=BD2， ∴△ABD是直角三角形，∠A是直角. ∵在△BCD中，BD2+BC2=25+144=169=CD2, ∴△BCD是直角三角形，∠DBC是直角. 因此,这个零件符合要求.
二、新课讲解
例 我方侦察员小王在距离东西向公路400 m 处侦察，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶.他赶紧 拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400 m，10 s 后，汽车与他相距500 m，你能帮小王计算敌方汽 车的速度吗？
解：由勾股定理可得 AB2 BC2 AC2 即5002 BC2 4002 所以BC 300 300×6×60=108000(m)
八年级数学北师大版·上册
第一章 勾股定理
1.2 一定是直角三角形吗
一、新课引入
在一个直角三角形中，两直角边的平方和等于斜 边的平方.反过来，如果一个三角形中有两边的平 方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角 三角形吗？
二、新课讲解
二、新课讲解
例 一个零件的形状如图1所示，按规定这个零件中
1)
A 的面积 B 的面积 C 的面积
左图 16
9
25
右图
1
9
10
二、新课讲解
A
c b ba
D
a
B
C
正方形ABCD的面积为 c 2
还可以认为是四个三角形与 一个小正方形的和，即
( 1 ab) 4 (b a)2 2
∴ c2 (1 ab) 4 (b a)2 2
∴ a2 b2 c2
一、新课引入
观察右边两图并填写下表(每个小正方形的面积为 单位1)
A 的面积 B 的面积 C 的面积
左图
9
9
右图
4
4
怎样计算正
方形C 的面积
呢？
一、新课引入
分析表中数据，你发现了什么？ A的面积 B的面积 C的面积
9
9
18
4
4
8
SA SB SC
16
9
25
1
9
10
以直角三角形两直角边为边长的 小正方形的面积的和，等于以斜边为 边长的正方形的面积.
二、新课讲解
（1）你能用直角三角形的两直角边的长a，b 和斜边长c来表示图中正方形的面积吗？
二、新课讲解
（2）你能发现直角三角形三边长度之间存在 什么关系吗？
a2 b2 c2
（3）分别以5厘米、12厘米为直角边作出一 个直角三角形，并测量斜边的长度. （2）中的 规律对这个三角形仍然成立吗？
四、强化训练
1、如图，从电线杆离地面8 m处向地面拉一条钢 索，如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6 m， 那么需要多长钢索？
四、强化训练
2、在△ＡBC中，AB=3，BC=4,则AC 的长为__1_＜__A__C_＜____
7
四、强化训练
3、一个直角三角形的三边长为三个连 续偶数，则它的三边长分别为 ( B )
A.50米； B.120米； C.100米； D.130米.
四、强化训练
6、已知：Rt△ＡBC中，AB=４，
AC=３,则BC2为___2_5_或__7____
B
B
4 4
C3 A
A3 C
应用勾股定理时，必须先判断是直角三角形，
然后确定那条是直角边，那条是斜边.
本课结束
1.1 探索勾股定理（第2课时）
13
12 3
4
四、强化训练
3、观察下图，判断图中三角形的三边长是否满 足a²+b²=c².
四、强化训练
4、如图，已知：∠C＝90°，a∶b＝ 3∶4，c＝10，求a和b a=6,b=8
c
a
b
四、强化训练 5、已知：△ABC，AB＝AC＝17， BC＝16，则高AD＝15，S△ABC＝120
本课结束
一、新课引入
如图，分别以直角三角形的三条边为边长向外作 正方形，你能利用这个图说明勾股定理的正确性 吗？
一、新课引入
方法一：“割”
方法二：“补”
分割为四个直角三角 补成大正方形，用大正 形和一个小正方形. 方形的面积减去四个直
角三角形的面积.
二、新课讲解
观察上边两图并填写下表(每个小正方形的面积为单位
A. 2、4、6; Ｂ. 6、8、10; Ｃ. 4、6、8； Ｄ. 8、10、12.
四、强化训练
4、如图,一个高3米,宽4米的大门,需 在相对角的顶点间加一个加固木条,则木 条的长为 ( C )
A.3米； B.4米； C.5米； D.6米.
四、强化训练
5、湖的两端有A、B两点，从与BA方 向成直角的BC方向上的点C测得CA=130 米,CB=120米,则AB为 ( A )
答：汽车速度为108千米每小时.
三、归纳小结
本节课你学到了什么知识？
1、勾股定理的验证.
2、勾股定理的应用.
四、强化训练
1、如图，马路边一根高为5.4m的电线杆，被一 辆卡车从离地面1.5m处撞断裂，倒下的电线杆顶 部是否会落在离它的底部A处4m的快车道上？
C
B
A
C`
四、强化训练
2、一个零件的形状如图， 已知：AC＝3cm,AB＝4cm，BD＝12cm,求CD
二、新课讲解
二、新课讲解
我国古代把直角三角形中较短的直角 边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称 为弦.因此，我国称上面的结论为勾股定理 .
在西方，又称毕达哥拉斯定理！
三、归纳小结
本节课你学到了什么知识？
勾股定理
如果直角三角形两直角边长分别为a，b，
斜边长为 c ，那么 a2 b2 c2
第一章 勾股定理
1.1 探索勾股定理（第1课时）
一、新课引入
如图，从电线杆离地面8 m处向地面拉一条钢 索，如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底 部6 m，那么需要多长的钢索？
、新课引入
观察下面地板砖示意图：
你发现了什么？
你能发现图中三个正 方形的面积之间存在什么关系
三、归纳小结
你学到了什么？
1、 如果三角形三条边长分别为a，b，c ，且
满足 a 2 b2 c 2，那么这个三角形是直角三角
形. 2、勾股定理判定的应用.
四、强化训练
1、如果三角形的三边长a，b，c满足 _______________，那么这个三角形是直角三角形； 2、写出三组勾股数： _______________________________; 3、一艘帆船在海上航行，由于风向的原因，帆船先 向正东方向航行9千米，然后向正北方向航行40千米， 这时它离开出发点_________千米.
∠A和∠DBC都应为直角.工人师傅量得这个零件各边尺
寸如图2所示，这个零件符合要求吗？
图1
图2
解：∵在Rt△ABD中，AB2+AD2=9+16=25=BD2， ∴△ABD是直角三角形，∠A是直角. ∵在△BCD中，BD2+BC2=25+144=169=CD2, ∴△BCD是直角三角形，∠DBC是直角. 因此,这个零件符合要求.
二、新课讲解
例 我方侦察员小王在距离东西向公路400 m 处侦察，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶.他赶紧 拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400 m，10 s 后，汽车与他相距500 m，你能帮小王计算敌方汽 车的速度吗？
解：由勾股定理可得 AB2 BC2 AC2 即5002 BC2 4002 所以BC 300 300×6×60=108000(m)
八年级数学北师大版·上册
第一章 勾股定理
1.2 一定是直角三角形吗
一、新课引入
在一个直角三角形中，两直角边的平方和等于斜 边的平方.反过来，如果一个三角形中有两边的平 方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角 三角形吗？
二、新课讲解
二、新课讲解
例 一个零件的形状如图1所示，按规定这个零件中
1)
A 的面积 B 的面积 C 的面积
左图 16
9
25
右图
1
9
10
二、新课讲解
A
c b ba
D
a
B
C
正方形ABCD的面积为 c 2
还可以认为是四个三角形与 一个小正方形的和，即
( 1 ab) 4 (b a)2 2
∴ c2 (1 ab) 4 (b a)2 2
∴ a2 b2 c2
一、新课引入
观察右边两图并填写下表(每个小正方形的面积为 单位1)
A 的面积 B 的面积 C 的面积
左图
9
9
右图
4
4
怎样计算正
方形C 的面积
呢？
一、新课引入
分析表中数据，你发现了什么？ A的面积 B的面积 C的面积
9
9
18
4
4
8
SA SB SC
16
9
25
1
9
10
以直角三角形两直角边为边长的 小正方形的面积的和，等于以斜边为 边长的正方形的面积.
二、新课讲解
（1）你能用直角三角形的两直角边的长a，b 和斜边长c来表示图中正方形的面积吗？
二、新课讲解
（2）你能发现直角三角形三边长度之间存在 什么关系吗？
a2 b2 c2
（3）分别以5厘米、12厘米为直角边作出一 个直角三角形，并测量斜边的长度. （2）中的 规律对这个三角形仍然成立吗？
四、强化训练
1、如图，从电线杆离地面8 m处向地面拉一条钢 索，如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6 m， 那么需要多长钢索？
四、强化训练
2、在△ＡBC中，AB=3，BC=4,则AC 的长为__1_＜__A__C_＜____
7
四、强化训练
3、一个直角三角形的三边长为三个连 续偶数，则它的三边长分别为 ( B )
A.50米； B.120米； C.100米； D.130米.
四、强化训练
6、已知：Rt△ＡBC中，AB=４，
AC=３,则BC2为___2_5_或__7____
B
B
4 4
C3 A
A3 C
应用勾股定理时，必须先判断是直角三角形，
然后确定那条是直角边，那条是斜边.
本课结束
1.1 探索勾股定理（第2课时）
13
12 3
4
四、强化训练
3、观察下图，判断图中三角形的三边长是否满 足a²+b²=c².
四、强化训练
4、如图，已知：∠C＝90°，a∶b＝ 3∶4，c＝10，求a和b a=6,b=8
c
a
b
四、强化训练 5、已知：△ABC，AB＝AC＝17， BC＝16，则高AD＝15，S△ABC＝120
本课结束
一、新课引入
如图，分别以直角三角形的三条边为边长向外作 正方形，你能利用这个图说明勾股定理的正确性 吗？
一、新课引入
方法一：“割”
方法二：“补”
分割为四个直角三角 补成大正方形，用大正 形和一个小正方形. 方形的面积减去四个直
角三角形的面积.
二、新课讲解
观察上边两图并填写下表(每个小正方形的面积为单位
A. 2、4、6; Ｂ. 6、8、10; Ｃ. 4、6、8； Ｄ. 8、10、12.
四、强化训练
4、如图,一个高3米,宽4米的大门,需 在相对角的顶点间加一个加固木条,则木 条的长为 ( C )
A.3米； B.4米； C.5米； D.6米.
四、强化训练
5、湖的两端有A、B两点，从与BA方 向成直角的BC方向上的点C测得CA=130 米,CB=120米,则AB为 ( A )
答：汽车速度为108千米每小时.
三、归纳小结
本节课你学到了什么知识？
1、勾股定理的验证.
2、勾股定理的应用.
四、强化训练
1、如图，马路边一根高为5.4m的电线杆，被一 辆卡车从离地面1.5m处撞断裂，倒下的电线杆顶 部是否会落在离它的底部A处4m的快车道上？
C
B
A
C`
四、强化训练
2、一个零件的形状如图， 已知：AC＝3cm,AB＝4cm，BD＝12cm,求CD
二、新课讲解
二、新课讲解
我国古代把直角三角形中较短的直角 边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称 为弦.因此，我国称上面的结论为勾股定理 .
在西方，又称毕达哥拉斯定理！
三、归纳小结
本节课你学到了什么知识？
勾股定理
如果直角三角形两直角边长分别为a，b，
斜边长为 c ，那么 a2 b2 c2