第二次数学危机
历史上的三次数学危机
历史上的三次数学危机王方汉(武汉市第二十三中学430050)在数学发展的过程中,人的认识是不断深化的.在各个历史阶段,人的认识又有一定的局限性和相对性.当一种/反常0现象用当时的数学理论解释不了,并且因此影响到数学的基础时,我们就说数学发生了危机.许多人并不赞成使用危机这个词,因为它们并没有阻碍数学的发展.在历史上,数学曾发生过三次危机.这三次危机,从产生到消除,经历的时间各不相同,都极大地推动了数学的发展,成为数学史上的佳话.第一次数学危机产生于公元前五世纪.那时,古希腊的毕达哥拉斯学派发现:正方形边与对角线是不可通约的,现在称之为/比达哥拉斯悖论0./悖论0这一术语,许多中小学生恐怕是第一次见到.所谓悖论,就是指自相矛盾荒谬结论.今天看来,两条线段不可通约,是数学中常见的合理的现象,它不过表明两条线段之比是一个无理数而已,可是,当时的古希腊人怎么会认识到这一点?!在他们眼中,各种事物的许多物理的、化学的、生物的性质都可能改变,惟其数量性质是不会变的!他们认为:万物都包含着数:数只有两种,这就是自然数和可通约的数.所以,不可通约的数是不可思议的!第一次数学危机持续了两千多年.十九世纪,数学家哈密顿(Hamilton)、梅雷(Melay)、代德金(Dedekind)、海涅(Heine)、波雷尔(Borel)、康托尔(Cantor)和维尔斯特拉斯(Weietstrass)等正式研究了无理数,给出了无理数的严格定义,提出了一个含有有理数和无理数的新的数类)))实数,并建立了完整的实数理论.这样,就完全消除了第一次数学危机.第二次数学危机是因为发现微积分方法而产生的.十七世纪,牛顿和德国数学家莱布尼兹(Leibniz,1646-1716)首创了微积分.这时的微积分只有方法,没有严密的理论作为基础,许多地方存在着漏洞,还不能自圆其说.例如,牛顿当时是这样求函数y=x n的导数的:(x+v x)n=x n+n#x n-1#v x+n(n-1)2#x n-2#(v x)2+,+(v x)n,然后把函数的增量v y除以自变量的增量v x,得v yv x=(x+v x)n-x nv x=n#x n-1+n(n-1)2#x n-2#v x+,+nx#(v x)n-2+(v x)n-1,最后,扔掉其中所有含v x的项,就得到函数y= x n的导数为nx n-1.哲学家以眼光税利、思维敏捷而著称.贝克莱(Berkelg)就是这样的哲学家.他一针见血地指出:先以v x为除数,说明v x不等于零,后来又扔掉所有含v x的项,可见v x等于零,这岂不自相矛盾吗?这就是著名的/贝克莱悖论0.现在我们知道,自变量x的增量v x是一个无穷小量.但在当时,贝克莱悖论的出现,咄咄逼人,逼得数学家们不得不认真地对待/无穷小量0,设法克服由此引起的思维上的混乱.十九世纪,许多数学家投入到了这一工作之中,柯西(Cauchy,1789-1857)和维尔斯特拉斯的贡献最为突出.1821年,柯西建立了极限的理论,提出了/无穷小量是以零为极限但永远不为零的变量0,维尔斯特拉斯又作了进一步的改进,终于消除了贝克莱悖论,把微积分建立在坚实的极限理论之上,从而结束了第二次数学危机.第二次数学危机的解除,与第一次数学危机的解除,两者实际上是密不分的.为解决微积分问题,必须建立严密的无理数定义以及完整的实数理论.有了实数理论,加上柯西和维尔斯特拉斯的极限理论,这样,第一、二次数学危机就相继消除了.一波未平,又起一波.前两次数学危机解决后不到三十年,又卷起了第三次数学危机的轩然大波.十九世纪末和二十世纪初,德国数学家康托尔(Cantor,1845-1918)创立了集合论,初衷是为整个数学大厦奠定牢实的基础.正当人们为集合论的诞生而欣然自慰时,一串串数学悖论却冒了出来,又搅得数学家心里忐忑不安.其中,英国数学家罗素(Russell,1872-1970)于1902年提出的实际问题教学不能忽视可行性王满成(湖南城步教研室422500)文[1]通过课本习题演变,进而与生产实际密切相联,这是很可贵的,这正是当前中学数学教学所积极倡导的.但是,一个生产实际问题的解答方案应考虑其可行性.[1]中说:/开挖点E应离D 点33413米,就能使A、C、E三点在同一直线上0这几乎是不可能的事!因为过D作一满足N BDE =50b,DE=33413米的线段有无穷多条,当且仅当B、C、E、D四点共面时,方案才成立:但怎样保证共面,方案也未提及!笔者曾在邵阳市大圳灌区工程指挥部当过施工员(技术员),有过打遂洞两边同时施工的实践经验,现给出一个方案,供老师参考.旨在教师在这方面的教学中更贴近生产实际.第一步:过A、C两点拉线至B1(打一桩),再过C、B1拉线至B2(打一桩,因地形变化,在B1处需一人垂铅,使CB2上一点的射影落在B1上).如此下去,直至得到点G、F.第二步:采用[1]中的方案(或[1]中其它学生的设计方案).第三步:调整.当DE=33413米,且E点恰好落在GF上,问题解决;若E点落在GF的上侧或下侧,则需进行调整.显然,这种方案虽然在理论上讲得过去,但由于地形地貌的复杂性,在实际操作中可能会遇到困难,还需根据具体情况,再设法解决.参考文献1杨海燕.一堂开放型应用题教学实录.数学通报.2001年第7期/罗素悖论0影响最大.罗素构造了一个集合:B={X|X|X},也就是说:把一切不以自身为元素的集合X作为元素,这样的集合记为B.罗素问道:B是否属于B?回答试试看!若B I B,即B是B的元素,则B应满足集合B中的元素的条件,于是有B|B;若B|B,则已符合集合B的元素的条件,于是又有B I B.真奇怪:无论哪种情况,都使我们陷于自相矛盾、进退两难的尴尬境地!罗素悖论的出现,震撼了整个数学界.本应作为全部数学之基础的集合论,居然出现了内耗!怎么办?数学家们立即投入到消除悖论的工作中.庆幸的是:产生罗素悖论的根源很快被找到了!原来是,康托尔提出集合论时对/集合0的概念没有作必要的限制,以致于可以构成/一切集合的集体0这种过大的集合,让罗素这样的/好事者0/钻了空子0.怎么样从根本上消除集合论中出现的各种悖论(包括罗素悖论)呢?德国数学家策梅罗(Zermelo,1871-1953)认为:适当的公理体系可以限制集合的概念,从逻辑上保证集合的纯粹性.经策梅罗、费兰克尔(Frenkel)冯.诺伊曼等人的努力,形成了一个完整的集合论公理体系,称为ZFC系统.在ZFC系统中,/集合0和/属于0是两个不加定义的原始概念,另外还有十条公理.ZFC系统的建立,不仅消除了罗素悖论,而且消除了集合论中的其它悖论.第三次数学危机也随之销声匿迹了.纵观三次数学危机,每次都有一两个典型的悖论作为代表.克服了这些悖论,也就推动了数学的长足发展.经历过历史上三次数学危机的数学界,是否从此就与数学危机/绝缘0了呢?不!对此,我国当代著名数学家徐利治教授说了一段很有见地的话,他说:/由于人的认识在各个历史阶段中的局限性和相对性,在人类认识的各个历史阶段所形成的各个理论系统中,本来就具有产生悖论的可能性,但在人类认识世界的深化过程中同样具备排除悖论的可能性和现实性,人类认识世界的深化没有终结,悖论的产生和排除也没有终结.0参考文献1徐南昌.漫谈数学悖论的方法意义.中学数学,1991,82张祖贵.浅谈三次数学危机.湖南数学通讯,1984,6。
第二次数学危机的历史意义
第二次数学危机的历史意义第二次数学危机是20世纪初期数学领域发生的一场危机，它包含了数学的基础、发展和应用等多个方面。
其历史意义不仅在于对数学的发展造成了深远的影响和启示，同时也对于其他领域的发展产生了重要的推动作用。
下面从以下几个方面来介绍第二次数学危机的历史意义。
1.数学的基础问题第二次数学危机凸显了数学基础问题的重要性。
数学作为一门基础学科，它的发展离不开对于本质概念的明确和严谨的证明。
在危机中，数学家们发现在一些理论中，基础假设并不是真正严谨的，这些假设的不确定性最终导致了理论的崩溃。
这个问题的意义在于，它促进了数学的基础研究，提高了数学的严谨性和有效性。
2.数学的发展方向第二次数学危机揭示了数学在发展中应考虑的方向和重点。
危机中，当时的数学家认为，研究数学的细节过多，研究范围过于琐碎，造成了研究的乏味和虚假。
因此，随着对于数学实践的认识逐渐深入，数学家们把更多的注意力集中在数学的背后思想和基础问题上，从根本上探究数学现象产生的原因和规律。
这也为现代数学的创新提供了思想上的启示。
3.数学应用的深入第二次数学危机的爆发也推动了数学应用的深入研究。
在当时，数学已经在物理学和工程学等多个领域有了广泛的应用，同时也揭示了现有的数学并不足以支撑这些领域的发展。
因此，在危机中，数学家们需要深刻性地思考，将现有的数学知识和理论与实际应用相结合，提出有效的理论解决问题，这也促进了数学知识在现实生活中的更广泛应用。
4.数学研究的国际化第二次数学危机对于数学研究的国际化也产生了重要的推动作用。
危机发生时，德国在数学领域处于领先地位，但是在第一次世界大战后，德国的科学发展遭受了重大打击，这也影响了德国在数学领域的地位。
同时，其他国家开始崛起，并且在数学研究上取得了显著成果。
这也为数学研究提供了更多的国际性交流和合作机会，推动了全球数学研究水平的提高。
总之，第二次数学危机不仅对于数学的研究和发展产生了深远的影响，同时也对于现代科学研究的发展和人类文明的进步产生了积极的推动作用。
第二次数学危机事例
第二次数学危机源于微积分基本原理的争议。
无穷小量在微积分中起着非常重要的作用，但是对无穷小量的解释却引发了严重的矛盾。
无穷小量在求导和积分时有时被认为是零，有时被认为是一个变量，这引发了数学家们的困惑和争议。
这个问题的根源在于，无穷小量在微积分中扮演了两个不同的角色。
一方面，它被视为一个变量，可以参与运算；另一方面，无穷小量在某些情况下被视为零，这使得数学家们感到困惑。
英国哲学家、大主教贝克莱对微积分的基础提出了质疑。
他认为，无穷小量既等于零又不等于零，这是荒谬的。
他的观点引发了长达一个半世纪的争论，导致了数学史上的第二次数学危机。
这个危机的解决最终由数学家们通过严格的极限定义和实数理论的研究，使微积分重新获得了坚实的基础。
这个危机的解决对数学的发展产生了深远的影响，使得数学更加严谨和精确。
数学史三次危机简介
数学史三次危机简介
数学史上的三次危机，简要概括如下：
1. 第一次数学危机：公元前5世纪，毕达哥拉斯学派发现无理数，挑战了当时“万物皆数”（指整数或整数之比）的信念。
这次危机通过实数理论的建立得到解决。
2. 第二次数学危机：17至18世纪，围绕无穷小量的问题，主要与微积分的发展有关。
微积分学在理论不完善的情况下被广泛应用，但其基础—无穷小的概念受到质疑。
最终，通过实数理论和极限理论的建立，这次危机得到了缓解。
3. 第三次数学危机：19世纪末，集合论悖论的出现，如著名的罗素悖论，暴露了自洽性问题。
这些悖论挑战了集合论作为数学基础的地位。
至今，尽管哥德尔的不完备定理对形式系统的局限性做了阐述，但第三次数学危机并没有完全解决。
数学史上的三次危机
数学史上的三次危机数学史上的三次危机〔文章转载自数学开展简史〕从哲学上来看，矛盾是无处不存在的，即便以确定无疑著称的数学也不例外。
数学中有大大小小的许多矛盾，例如正与负、加与减、微分与积分、有理数与无理数、实数与虚数等等。
在整个数学开展过程中，还有许多深刻的矛盾，例如有穷与无穷、连续与离散、存在与构造、逻辑与直观、具体对象与抽象对象、概念与计算等等。
在数学史上，贯穿着矛盾的斗争与解决。
当矛盾激化到涉及整个数学的根底时，就会产生数学危机。
而危机的解决，往往能给数学带来新的内容、新的开展，甚至引起革命性的变革。
数学的开展就经历过三次关于根底理论的危机。
一、第一次数学危机从某种意义上来讲，现代意义下的数学，也就是作为演绎系统的纯粹数学，来源予古希腊毕达哥拉斯学派。
它是一个唯心主义学派，兴旺的时期为公元前500年左右。
他们认为，“万物皆数〞(指整数)，数学的知识是可靠的、准确的，而且可以应用于现实的世界，数学的知识由于纯粹的思维而获得，不需要观察、直觉和日常经验。
整数是在对于对象的有限整合进行计算的过程中产生的抽象概念。
日常生活中，不仅要计算单个的对象，还要度量各种量，例如长度、重量和时间。
为了满足这些简单的度量需要，就要用到分数。
于是，如果定义有理数为两个整数的商，那么由于有理数系包括所有的整数和分数，所以对于进行实际量度是足够的。
有理数有一种简单的几何解释。
在一条水平直线上，标出一段线段作为单位长，如果令它的定端点和右端点分别表示数0和1，那么可用这条直线上的间隔为单位长的点的集合来表示整数，正整数在0的右边，负整数在0的左边。
以q为分母的分数，可以用每一单位间隔分为q等分的点表示。
于是，每一个有理数都对应着直线上的一个点。
古代数学家认为，这样能把直线上所有的点用完。
但是，毕氏学派大约在公元前400年发现：直线上存在不对应任何有理数的点。
特别是，他们证明了：这条直线上存在点p不对应于有理数，这里距离op等于边长为单位长的正方形的对角线。
三次数学危机的产生与解决
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解决措施
针对三次数学危机，数学家们提出了各种解决措施。在第一次数学危机中， 欧多克索斯提出了实数的概念，将数学从困境中解脱出来；在第二次数学危机中， 数学家们对集合论进行严格的公理化，提出了公理化集合论；在第三次数学危机 中，
数学家们发展出了新的数学逻辑系统——模态逻辑，为数学的发展提供了更 加坚实的基础。
三次数学危机的产生与解决
目录
01 第一次数学危机
03 第三次数学危机
02 第内容
目录
06 总结
数学作为一门基础学科，是人类文明的重要组成部分。然而，在数学发展史 上，曾先后出现过三次严重的危机。本次演示将分别探讨这三次数学危机的产生 背景、原因及后果，并提出相应的解决措施。
第一次数学危机
第一次数学危机发生在公元前580年至568年之间的古希腊时期。这场危机的 起因主要在于当时数学界对无理数认识的不足。古希腊的数学家们认为，所有的 数都可以表示为整数或分数，即有理数。然而，当时希腊数学家希帕索斯发现了 一个问题：如果将
正方形的对角线进行等分，那么所得的线段长度就无法用有理数来表示。这 个发现动摇了当时数学界的基础，引发了第一次数学危机。
第二次数学危机
第二次数学危机发生在19世纪末期。这次危机源于康托尔的集合论，由于集 合论的某些基本概念含混不清，引发了数学界的恐慌。这场危机的根本原因是， 当时数学家们并未对集合论进行严格的公理化。为了解决这次危机，数学家们对 集合论进行了深入
研究，最终由策梅洛提出了公理化集合论，平息了这次危机。
发展。而在第三次数学危机时期，人们对数学的认知发生了根本性的改变， 使数学进入了一个全新的发展阶段。
总结
三次数学危机的产生与解决，是人类文明发展的重要组成部分。这些危机不 仅推动了数学的快速发展，而且也启示人们要不断深入思考和探索数学的内涵和 基础。通过了解三次数学危机的历史背景、原因、后果及解决措施，我们可以更 好地理解数学的
历史上的三次数学危机
使 ab 1 3 。
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另一件事是德国数学家黎曼（B.Riemann， 1826—1866）发现， 柯西把定积分限制于连续函数是没有必要 的。黎曼证明了，被积函数不连续，其定 积分也可能存在。
黎曼还造出一个函数，当自变量取无 理数时它是连续的，当自变量取有理数时 它是不连续的。
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这些例子使数学家们越来越明 白，在为分析建立一个完善的基础方 面，还需要再深挖一步：即需要理解 实数系的更深刻的性质。
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② 魏尔斯特拉斯的贡献 德国数学家魏尔斯特拉斯（Karl Weierstrass，1815—1897）的努力，终 于使分析学从完全依靠运动学、直观理解 和几何概念中解放出来。他的成功产生了 深远的影响，主要表现在两方面，一方面 是建立了实数系，另一方面是创造了精确
所以，由“无穷小”引发的第二次数 学 危机，实质上是缺少严密的极限概念和极 限理论作为微积分学的基础。
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3．危机的解决 1）必要性 微积分虽然在发展，但微积分逻辑基 础上存在的问题是那样明显，这毕竟是数 学家的一块心病。
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而且，随着时间的推移，研究范围的 扩大，类似的悖论日益增多。数学家在研 究无穷级数的时候，做出许多错误的证 明，并由此得到许多错误的结论。由于没 有严格的极限理论作为基础。数学家们在 有限与无限之间任意通行（不考虑无穷级 数收敛的问题）。
无法解决的科技问题。但是逻辑上不严格，遭
到指责。
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2）贝克莱的发难 英国的贝克莱大主教发表文章猛烈攻 击牛顿的理论。 贝克莱问道：“无穷小”作为一个量， 究竟是不是0？
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① 如果是0，（*）式左端当 t 和 S 变
成无穷小后分母为0，就没有意义了。
数学三次危机的内容
数学三次危机的内容全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：数学科学中的三次危机是指在20世纪上半叶发生的一系列重大数学问题，这些问题深刻地影响了数学家们的研究方向和方法论。
这三次危机分别是庞加莱猜想、康托尔难题和哈尔定理。
在这篇文章中，我们将对这三个数学难题进行详细介绍，并探讨它们对数学领域的影响。
让我们来了解一下庞加莱猜想。
庞加莱猜想是法国数学家亨利·庞加莱于1904年提出的一个关于拓扑学的问题。
该猜想的内容是“三维球面是唯一的紧致单连通的拓扑空间”。
庞加莱猜想对数学家们提出了一个挑战，因为在当时，拓扑学还处于发展的初级阶段，很多概念和理论尚未完善。
庞加莱猜想的证明一直是数学界的一个巨大难题，直到2003年，俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼通过使用里卡蒂流和流形拓扑学，证明了该猜想。
这一证明不仅解决了庞加莱猜想，也为流形拓扑学的发展提供了新的思路。
让我们来看看康托尔难题。
康托尔难题是德国数学家乔治·康托尔在19世纪末提出的一个极具挑战性的数学难题。
该难题的核心内容是研究无限集合的基数大小。
康托尔提出了连续统假设，即不存在介于自然数和实数之间的集合。
康托尔难题的解决涉及到了极限集合论、集合论和拓扑学等多个领域，成为20世纪数学发展的一个重大挑战。
直到1960年代，由保罗·科恩证明了连续统假设和选择公理的独立性，康托尔难题才得以部分解决。
康托尔难题的解决为数学领域的发展开辟了新的方向，促进了集合论和拓扑学的深入研究。
让我们来谈谈哈尔定理。
哈尔定理是由挪威数学家埃米尔·哈尔于1900年提出的一个著名数学难题。
该定理的内容是“任意一个连续函数序列在闭区间上一致收敛于一个连续函数”，这个定理在分析学中起到了至关重要的作用。
哈尔定理的证明引入了严格的收敛性概念和一致收敛性概念，为数学家们提供了新的研究方法。
哈尔定理的证明通过构造逼近序列和使用极限过程，为数学分析领域的研究提供了新的思路和工具。
第二次数学危机
第二次数学危机十七、十八世纪关于微积分发生的激烈的争论，被称为第二次数学危机。
从历史或逻辑的观点来看，它的发生也带有必然性。
微积分产生初期，由于还没有建立起巩固的理论基础(主要是极限理论)，出现了这样那样的问题，被一些别有用心的人钻了空子。
事实往后百多年亦没有人能清楚回答这些问题。
这就是历史上的第二次数学危机，而这危机的引发和牛顿有直接的关系。
四悖论早在古代，人们就对长度、面积、体积的度量问题感兴趣。
古希腊的欧多克斯引入量的观念来考虑连续变动的东西，并完全依据几何来严格处理连续量。
这造成数与量的长期脱离。
古希腊的数学中除了整数之外，并没有无理数的概念，连有理数的运算也没有，可是却有量的比例。
他们对于连续与离散的关系很有兴趣，尤其是芝诺提出的四个著名的悖论：运动不存在第一个悖论是说运动不存在，理由是运动物体到达目的地之前必须到达半路，而到达半路之前又必须到达半路的半路……如此下去，它必须通过无限多个点，这在有限长时间之内是无法办到的。
跑得很快的阿希里赶不上在他前面的乌龟第二个悖论是跑得很快的阿希里赶不上在他前面的乌龟。
因为乌龟在他前面时，他必须首先到达乌龟的起点，然后用第一个悖论的逻辑，乌龟者在他的前面。
这两个悖论是反对空间、时间无限可分的观点的。
飞矢不动与游行队伍悖论而第三、第四悖论是反对空间、时间由不可分的间隔组成。
第三个悖论是说“飞矢不动”，因为在某一时间间隔，飞矢总是在某个空间间隔中确定的位置上，因而是静止的。
第四个悖论是游行队伍悖论，内容大体相似。
这说明希腊人已经看到无穷小与“很小很小”的矛盾。
当然他们无法解决这些矛盾。
希腊人虽然没有明确的极限概念，但他们在处理面积体积的问题时，却有严格的逼近步骤，这就是所谓“穷竭法”。
它依靠间接的证明方法，证明了许多重要而难证的定理。
应该指出，这是和历史上任何一项重大理论的完成都要经历一段时间一样，牛顿和莱布尼茨的工作也都是很不完善的。
他们在无穷和无穷小量这个问题上，其说不一，十分含糊。
数学史上的三次危机3篇
数学史上的三次危机第一次危机：希腊数学危机希腊数学家们是数学历史上的伟大人物，他们创造了许多数学概念和理论，如欧几里得几何、三角学、锥曲线等。
但在公元前4世纪到公元前3世纪的时期，希腊数学发生了危机。
这一时期的希腊数学家纷纷开始关注无穷大和无穷小的概念。
然而，这些概念并不符合当时的逻辑和数学标准，他们甚至不能用现代的数学符号来表示。
因此，这些数学家的理论并没有得到广泛的认可和接受。
在这一时期，希腊数学的道路出现了两条分支。
一条是传统的代数学派，他们注重整数、有理数和分数的研究；另一条是几何学派，他们将一切几何测量归纳为单个不可减少的点。
两个学派的意见相左，争论不断，导致了希腊数学的危机。
这一时期的数学发展为数学的发展带来了许多思考，但也让希腊数学陷入了停滞和分化的境地。
第二次危机：19世纪末的非欧几何危机19世纪末期，非欧几何成为了当时的热门话题。
在欧几里得几何中，平行公设是一项基本性质，两条不重合的直线在平面上永远不会相交。
然而，非欧几何学派质疑这一性质，提出了一种名为反射性的新性质，也就是说，两条不重合的直线在特定的情况下是可以相交的。
这种观点的提出，引起了数学界的强烈反响和激烈争议。
欧几里得几何是基础数学，因此许多人认为非欧几何在一定程度上是在否认这一基础。
在这种文化和学术背景下，非欧几何的认可难以达成，成为了数学史上的一次危机。
第三次危机：20世纪初的集合论危机20世纪初，集合论成为了数学的新话题。
然而，当时对于集合论的探讨往往涉及到关于无限的思考，这些思考往往与人的直觉相悖，甚至有些违反逻辑。
其中最著名的例子就是悖论：一个包含所有时空中的点的集合是否存在？如果存在，那么这个集合中是否包含它自身？如果不包含，那么就不能称其为包含所有时空中的点的集合；如果包含，那么这个集合就非常巨大，超出了我们的想象。
这个悖论意味着个体和整体的关系无法解决，出现了数学中的自我矛盾。
这一数学危机的解决需要借鉴哲学和逻辑学的工具，很多数学家因此开始关注哲学基础和逻辑体系，试图建立一个完备的集合论，以应对数学的自我矛盾和前进。
数学的三次危机
数学的三次危机在数学几千年的发展历程上，曾发生过三次动摇数学根基的危机，其中每一次都曾使得人们尤其是数学家怀疑数学的合理性，然而经过无数数学家的力挽狂澜，这三次危机不仅没有让数学失去其合理性，反而使其变得更加强大。
第一次数学危机“万物皆数”是古希腊毕达哥拉斯学派坚不可摧的信仰。
所谓“万物皆数”就是指任何的实数都可以表示为两个整数的比值。
然而学派引以为傲的毕达哥拉斯定理（也就是我国俗称的勾股定理）却恰恰成了其信仰的终结者。
毕达哥拉斯学派中的一个“好事之徒希伯斯（Hippasu）对学派坚守的“万物皆数”首先表示了怀疑。
他思考了一个问题：边长为1的正方形其对角线有多长呢？一番思索演算之后，他发现这一长度既不是整数，也不是分数，“万物皆数”的信仰就此崩塌。
相传恼羞成怒的学派成员将希伯斯淹死在了海里，真理不仅没有给他荣誉反而招致杀身之祸，可悲亦可叹！自被希伯斯发现之后，√2这个数学史上的第一个无理数便登上了舞台。
然而这一发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击，对于当时所有古希腊人的观念都是巨大的冲击。
更为恼火的是，面对这一打击，人们手足无措，于是便直接导致了人们认识上史无前例的危机，从而导致了西方数学史上一场浩大的风波，史称“第一次数学危机”。
第二次数学危机自微积分被发明之后，质疑之声就从未消停过。
相当长的时间内，数学界对“无穷小”这一概念的理解和使用都是非常混乱的，但微积分理论的基础却恰恰就是“无穷小分析”。
这一理论上的缺陷招致了巨大的抨击，英国大主教更是直接称“无穷小”为盘旋的幽灵。
如果这一危机无法解除，那无数由微积分理论所获得的成果都将遭受无情的质疑。
这也就是数学史上的第二次危机。
转机出现在柯西，魏尔斯特拉斯等人用极限的方法定义无穷小量之后，这时微积分理论经过发展和完善才真正具有了严格的理论基础，从而使得数学大厦变得更加坚实牢固可靠，危机便也解除。
第三次数学危机“数学狂人”康托一手所发展的集合论作为现代数学的基础早已是数学界的共识。
数学发展史上的三次危机
数学发展史上的三次危机无理数的发现---第一次数学危机 大约公元前５世纪，不可通约量的发现导致了毕达哥拉斯悖论。
当时的毕达哥拉斯学派重视自然及 到了公元前370年，这个矛盾被毕氏学派的欧多克斯通过给比例下新定义的方法解决了。
他的处理不无穷小是零吗？---第二次数学危机 18世纪，微分法和积分法在生产和实践上都有了广泛而成功的应用，大部分数学家对这一理论的可 1734年，英国哲学家、大主教贝克莱发表《分析学家或者向一个不信正教数学家的进言》，矛头指 18世纪的数学思想的确是不严密的，直观的强调形式的计算而不管基础的可靠。
其中特别是：没有 直到19世纪20年代，一些数学家才比较关注于微积分的严格基础。
从波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄悖论的产生---第三次数学危机 数学史上的第三次危机，是由1897年的突然冲击而出现的，到现在，从整体来看，还没有解决到令 1897年，福尔蒂揭示了集合论中的第一个悖论。
两年后，康托发现了很相似的悖论。
1902年，罗素 罗素悖论使整个数学大厦动摇了。
无怪乎弗雷格在收到罗素的信之后，在他刚要出版的《算术的基 承认无穷集合，承认无穷基数，就好像一切灾难都出来了，这就是第三次数学危机的实质。
尽管悖派重视自然及社会中不变因素的研究，把几何、算术、天文、音乐称为"四艺"，在其中追求宇宙的法解决了。
他的处理不可通约量的方法，出现在欧几里得《原本》第５卷中。
欧多克斯和狄德金于1872年给出的无数学家对这一理论的可靠性是毫不怀疑的。
学家的进言》，矛头指向微积分的基础--无穷小的问题，提出了所谓贝克莱悖论。
他指出："牛顿在求xn的导数时，靠。
其中特别是：没有清楚的无穷小概念，从而导数、微分、积分等概念也不清楚，无穷大概念不清楚，以及发散级诺、阿贝尔、柯西、狄里赫利等人的工作开始，到威尔斯特拉斯、戴德金和康托的工作结束，中间经历了半个多世纪来看，还没有解决到令人满意的程度。
三次数学危机——第二次数学危机
三次数学危机——第二次数学危机从历史阶段上看，数学的三次危机分别发生在公元前5世纪、17世纪和19世纪末，都是发生在西方文化大发展的时期，因此，数学危机的产生，都有其一定的文化背景。
第一次危机是古希腊时代，由于不可公度的线段——无理数的发现与一些直觉的经验相抵触而引发的；第二次危机是在牛顿和莱布尼茨建立了微积分理论后，由于对无穷小量的理解未及深透而引发的；第三次危机是当罗素发现了集合论中的悖论，危及整个数学的基础而引起的。
第二次数学危机在17世纪，牛顿和莱布尼茨建立了微积分，在自然科学中有着广泛的应用，解释了许多自然现象，从而被高度重视。
在没有ε—δ语言的一二百年内，这门科学却缺乏严格的理论基础，存在着逻辑矛盾。
例如：对于y=x²而言, 根据牛顿的计算法，有y+△y=(x+△x)²（1）x²+△y=x²+2x△x+(△x)²（2）△y=2x△x+(△x)²（3）△y/△x=2x+△x（4）△y/△x=2x（5）在上述的推理过程中，从（3）到（4）需要△x≠0，从（4）到（5）有需要△x =0。
（现在我们有了极限的定义，这个问题便解决了）（牛顿与莱布尼兹）正因为在无穷小量中存在着这类矛盾，当时的红衣大主教贝克莱对无穷小量持抨击的态度。
1734年贝克莱在其所著的一本书名为《分析学家》的小册子里，说△x为“逝去量的鬼魂”。
意思是说，在微积分中有时把△x作为零,有时又不为零，自相矛盾。
贝克莱的指责，在当时的数学界中引起混乱，这就是第二次数学危机的爆发。
在无穷小量的危机中，无穷小量顶住了各种形式的责难,以自己不可取代的应用优势发挥着巨大的作用。
经过了一个多世纪之后最终在以零为极限的序列中找到了位置。
（图片和数列极限无关）从19世纪下半叶开始，极限理论逐渐取代了无穷小量的方法，并且在分析基础理论中具有统治地位，这样自然而然地解决了第二次危机。
本期内容源自好玩的数学——《数学美拾趣》图文：小修编辑：歪歪。
第二次数学危机
第二次数学危机第二次数学危机，指发生在十七、十八世纪，围绕微积分诞生初期的基础定义展开的一场争论，这场危机最终完善了微积分的定义和与实数相关的理论系统，同时基本解决了第一次数学危机的关于无穷计算的连续性的问题，并且将微积分的应用推向了所有与数学相关的学科中。
危机背景芝诺悖论这次危机的萌芽出现在大约公元前450年，芝诺注意到由于对无限性的理解问题而产生的矛盾，提出了关于时空的有限与无限的四个悖论：“两分法”：向着一个目的地运动的物体，首先必须经过路程的中点，然而要经过这点，又必须先经过路程的1/4点……，如此类推以至无穷。
——结论是：无穷是不可穷尽的过程，运动是不可能的。
“阿基里斯追不上乌龟”：阿基里斯总是首先必须到达乌龟的出发点，因而乌龟必定总是跑在前头。
这个论点同两分法悖论一样，所不同的是不必把所需通过的路程一再平分。
“飞矢不动”：意思是箭在运动过程中的任一瞬时间必在一确定位置上，因而是静止的，所以箭就不能处于运动状态。
“操场或游行队伍”：A、B两件物体以等速向相反方向运动。
从静止的c来看，比如说A、B都在1小时内移动了2公里，可是从A看来，则B在1小时内就移动了4公里。
运动是矛盾的，所以运动是不可能的。
芝诺揭示的矛盾是深刻而复杂的。
前两个悖论诘难了关于时间和空间无限可分，因而运动是连续的观点，后两个悖论诘难了时间和空间不能无限可分，因而运动是间断的观点。
芝诺悖论的提出可能有更深刻的背景，不一定是专门针对数学的，但是它们在数学王国中却掀起了一场轩然大被。
它们说明了希腊人已经看到“无穷小”与“很小很小”的矛盾，但他们无法解决这些矛盾。
其后果是，希腊几何证明中从此就排除了无穷小。
微积分的出现经过许多人多年的努力，终于在17世纪晚期，形成了无穷小演算——微积分这门学科。
牛顿和莱布尼兹被公认为微积分的奠基者，他们的功绩主要在于：把各种有关问题的解法统一成微分法和积分法；有明确的计算步骤；微分法和积分法互为逆运算。
数学历史上三大危机
数学历史上三大危机数学作为一门研究数量、结构、变化和空间等概念的学科，自诞生以来就不断面临着各种挑战和危机。
其中，数学历史上最为著名的三大危机，分别是无理数的发现、无穷小量的悖论以及集合论中的罗素悖论。
这三大危机不仅推动了数学的发展，也深刻地影响了数学哲学和科学哲学的演变。
一、无理数的发现无理数的发现是数学史上的一次重大突破，也是数学历史上第一次危机。
自古以来，人们一直认为所有的数都可以表示为分数，即两个整数的比例。
然而，公元前5世纪，古希腊数学家毕达哥拉斯学派发现了一个重要的几何事实：边长为1的正方形的对角线长度无法用两个整数的比例来表示。
这个发现不仅颠覆了毕达哥拉斯学派关于数的理论，也引发了一场关于无理数存在性的哲学争论。
无理数的发现揭示了数学中存在着一类无法用分数精确表示的数，这对当时的数学观念产生了巨大的冲击。
为了解决这个问题，古希腊数学家们发展了无理数的理论，并提出了诸如平方根、立方根等概念。
无理数的发现不仅推动了数学的发展，也促使人们重新审视数学的基础和本质。
二、无穷小量的悖论无穷小量的悖论是数学史上第二次重大危机。
在17世纪，随着微积分的诞生，无穷小量的概念逐渐被引入数学研究。
然而，无穷小量的性质和应用却引发了诸多悖论和争论。
例如，无穷小量是0还是非0？无穷小量乘以无穷大是什么？这些问题困扰着当时的数学家，也对微积分的发展产生了阻碍。
为了解决无穷小量的悖论，数学家们进行了深入的研究和探索。
19世纪，柯西、黎曼等数学家提出了极限的概念，建立了微积分的严格基础。
极限概念的引入不仅解决了无穷小量的悖论，也推动了数学分析的进一步发展。
三、集合论中的罗素悖论集合论中的罗素悖论是数学史上第三次重大危机。
19世纪末，德国数学家康托尔创立了集合论，为数学提供了一个全新的研究对象。
然而，1901年，英国哲学家罗素发现了一个关于集合论的基本悖论：一个集合如果包含所有不包含自身的集合，那么这个集合是否包含自身？罗素悖论揭示了集合论中存在的基本矛盾，对数学的基础产生了严重的挑战。
数学三大危机简介
数学三大危机简介数学三大危机，涉及无理数、微积分和集合等数学概念。
今天小编在这给大家整理了数学三大危机资料，接下来随着小编一起来看看吧!数学三大危机第一次数学危机毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。
他曾创立了一个合政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派。
由毕达哥拉斯提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石。
毕达哥拉斯学派所说的数仅指整数。
而“一切数均可表示成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰。
然而，具有戏剧性的是由毕达哥拉斯建立的毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的“掘墓人”。
毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢?他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。
希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数根号2的诞生。
小小根号2的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。
它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。
实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击，对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。
这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数。
这不但在希腊当时是人们普遍接受的信仰，就是在今天，测量技术已经高度发展时，这个断言也毫无例外是正确的!可是为我们的经验所确信的，完全符合常识的论断居然被小小的根号2的存在而推翻了!这应该是多么违反常识，多么荒谬的事!它简直把以前所知道的事情根本推翻了。
更糟糕的是，面对这一荒谬人们竟然毫无办法。
这就在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”。
第二次数学危机出现第二次数学危机导源于微积分工具的使用。
伴随着人们科学理论与实践认识的提高，十七世纪几乎在同一时期，微积分这一锐利无比的数学工具为牛顿、莱布尼兹共同发现。
第二次数学危机
达朗贝尔（法）
波尔查诺
分析学的奠基人，公认是法国的多 产的数学家柯西，柯西在数学分析 和置换群理论方面作了开拓性的工 作，是最伟大的近代数学家之一。 柯西在1821～1823年间出版的《分 析教程》和《无穷小计算讲义》是 数学史上划时代的著作，在那里， 他给出了数学分析一系列基本概念 的精确定义。例如，他给出了精确 的极限定义，然后用极限定义连续 性、导数、微分、定积分和无穷级 数的收敛性。
调形式的计算，而不管基础的可靠与否， 不能满意地解释贝克莱提出的悖论。 当然，牛顿也曾在他的著作中说明， 然提出和 也就是说，微积分理论缺乏逻辑基础。
所以，由“无穷小”引发的第二次数学危机， 使用了“极限”这个词，但并没有明确说清这个词 实质上是缺少严密的极限概念和极限理论作为微 的意思。 积分学的基础。
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牛顿的“无穷小”
• 牛顿的「无穷小量」 • 无穷小量在牛顿的微积分中的 主要运用。 • 无穷小量的数学推导过程在逻 辑上自相矛盾。 • 也正因为他的逻辑上不严格， 而遭到责难。
牛顿(IsaccNewton,1642 —1727)英国数学家、 天 文学家和物理学 家
微积分受到攻击与责难
• 十八世纪的数学家对待微积分发展的态 度。对这些基础问题的讨论不感兴趣。 认为所谓的严密化就是烦琐。 • 在微积分的发展过程中，出现了两种不 荣乐观的局面。 • 微积分的基础问题受到一些人的批判和 攻击，其中最有名的是贝克莱主教在 1734年的攻击 。
威力。所以，人们不大相信贝克莱的指责。这
表明，在大多数人的脑海里，“实践是检验真
理的唯一标准。”
二、危机的实质
德国的莱布尼茨虽然也同时发明了微积分，但 其实，在牛顿把瞬时速度说成“物体所走的无穷 第二次数学危机的实质是什么？应 是也没有明确给出极限的定义。 小距离与所用的无穷小时间之比”的时候，这种说
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三、危机的解决
进入19世纪，历史要求给微积分以 严格的基础。
终 于 在 数 学 家 们 的 共 同 努 力 下 ， 到 19世纪末，分析的严格化问题得到 了解பைடு நூலகம்。
第一个为补救第二次数学危机 提出真正有见地的意见的是达 朗贝尔。他在1754年指出，必 须用可靠的理论去代替当时使 用的粗糙的极限理论。
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历史ⅱ岳麓版第13课交通与通讯 的变化资料
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[自读教材·填要点]
一、铁路，更多的铁路 1．地位 铁路是 交通建运设输的重点，便于国计民生，成为国民经济 发展的动脉。 2．出现 1881年，中国自建的第一条铁路——唐山 至开胥平各庄铁 路建成通车。 1888年，宫廷专用铁路落成。
无穷小量的数学推导过程在逻 辑上自相矛盾。
也正因为他的逻辑上不严格， 而遭到责难。
牛顿(IsaccNewton,1642 —1727)英国数学家、
天 文学家和物理学
家
微积分受到攻击与责难
十八世纪的数学家对待微积分发展的态度。对这些基 础问题的讨论不感兴趣。认为所谓的严密化就是烦琐。
在微积分的发展过程中，出现了两种不荣乐观的局面。 微积分的基础问题受到一些人的批判和攻击，其中最
有名的是贝克莱主教在1734年的攻击 。
贝克莱的发难
• 他贝克指莱责，牛1顿8世纪“英依国靠哲双学重家错，误西 • 得这方代表近到使。代了得他主不数对观科学微唯学家积心却在分主正将强义确近有哲力学的20的的结0年批主果的评要”，。 • 因时在数为 间学无 里界穷 ，产小 不生量 能了在彻最牛底令顿反人震的驳撼理贝的论克撞中莱 一是的击1家7。3”会 零 责4年之儿 。 难，名说 。贝出是克版零莱了，以一一“本会渺针小对儿的微又哲积说学分不 • 因直基础此 至的， 柯书贝 西—克 创—莱 立《嘲极分笑限析无理学家穷论》小，。量才在是较
筹办航空事宜
处
三、从驿传到邮政 1．邮政 (1)初办邮政： 1896年成立“大清邮政局”，此后又设 ， 邮传邮正传式部脱离海关。 (2)进一步发展：1913年，北洋政府宣布裁撤全部驿站； 1920年，中国首次参加 万国。邮联大会
轮船正招式成商立局，标志着中国新式航运业的诞生。
(2)1900年前后，民间兴办的各种轮船航运公司近百家，几乎都是
在列强排挤中艰难求生。
2．航空
(1)起步：1918年，附设在福建马尾造船厂的海军飞机工程处开始
研制 。
(2)发展水：上1飞918机年，北洋政府在交通部下设“
”；此后十年间，航空事业获得较快发展。
日卒于牛津。
实践是检验真理的唯一标准
应当承认，贝克莱的责难是有道理 的。“无穷小”的方法在概念上和逻辑上都缺 乏基础。牛顿和当时的其它数学家并不能在逻 辑上严格说清“无穷小”的方法。数学家们相 信它，只是由于它使用起来方便有效，并且得 出的结果总是对的。特别是像海王星的发现那 样鼓舞人心的例子，显示出牛顿的理论和方法 的巨大威力。所以，人们不大相信贝克莱的指 责。这表明，在大多数人的脑海里，“实践是 检验真理的唯一标准。”
到了19世纪，出现了一批杰出 的数学家，他们积极为微积分 的奠基工作而努力。首先要提 到的是捷克的哲学家和数学家 波尔查诺，他开始将严格的论 证引入到数学分析中。1816年， 他在二项展开公式的证明中， 明确提出了级数收敛的概念， 同时对极限、连续和变量有了 较深入的理解。
达朗贝尔（法） 波尔查诺
分析学的奠基人，公认是法国的多产的 数学家柯西，柯西在数学分析和置换群 理论方面作了开拓性的工作，是最伟大 的 近 代 数 学 家 之 一 。 柯 西 在 1821 ～ 1823 年间出版的《分析教程》和《无穷小计 算讲义》是数学史上划时代的著作，在 那里，他给出了数学分析一系列基本概 念的精确定义。例如，他给出了精确的 极限定义，然后用极限定义连续性、导 数、微分、定积分和无穷级数的收敛性。
二、危机的实质
第二次数学危机的实质是什么？应该是 数学
其思德想实国的，的不在莱严牛布密顿尼的把茨、瞬直虽时观然速的也、度同强说时调成发形“明式物了的体计微所算积走，分的而，不无管穷 但小是距基也离础没与的有所可明用靠确的与给无否出，穷也极小就限时是的间说定之，义比微。”积的分时理论候缺，乏这逻种辑说基 法本础正身。因就为是如不此明，确此的后，近是二含百糊年的间。的数学家，都 不能满当意然地，解牛释顿贝也克曾莱在提他出的的著悖作论中。说明， 然提出和 使用所了以“，极由限“”无这穷个小词”，引但发并的没第有二明次确数说学清危这机个，词 实的质意上思是。缺少严密的极限概念和极限理论作为微 积分学的基础。
“攻好这进行本已 击 地了书死 真 反攻中量 正 驳击，的 抓 了。贝鬼 住 贝克魂了克莱”牛莱对。顿的牛顿贝理责的克论难理莱中。论的的
• 缺直陷 至， 魏是 尔切 斯中 特要拉害斯的创。立
“
”语言，才彻
底地反驳了贝克莱的责难。
贝克莱 1685年3月12 日出生于爱尔兰基尔 肯尼郡1753年1月14
柯西
接着，魏尔斯特拉斯建立了实数系，创造了精
确的“ ”语言
戴德金，康托尔等又将实数理论严密化。分析 有了严密的基础和完整的体系微积分学。无论 是基本概念，还是在逻辑严密性、形式严谨性 上，都有欧氏几何学一般的令人赞叹！
由贝克莱悖论所引发的第二次数学危机宣告彻 底解决了。在微积分创建200余年后，数学家 们终于赢来了胜利凯旋之日。
第二次数学危机
一、危机的出现
17世纪数学史上出现了一个崭新的数学分支——数学 分析，或称微积分。
微积分成为解决问题的重要工具。同时关于微积分基 础的问题也越来越严重。
由无穷小量究竟是不是零的问题引起了极大的争论， 从而引发了第二次数学危机。
牛顿的“无穷小”
牛顿的「无穷小量」
无穷小量在牛顿的微积分中的 主要运用。
3．发展 (1)原因： ①甲午战争以后列强激烈争夺在华铁路的 修。筑权 ②修路成为中国人 救的亡强图烈存愿望。 (2)成果：1909年 京建张成铁通路车；民国以后，各条商路修筑 权收归国有。 4．制约因素 政潮迭起，军阀混战，社会经济凋敝，铁路建设始终未入 正轨。
二、水运与航空
1．水运 (1)1872年,