排列组合问题的解题方法

第一课时 排列组合问题的解题方法（一）

教学目标：

掌握几类特殊的排列问题的解决技巧.

教学重点：掌握“条件排列”、“集团排列”、“间隔排列”、“部分顺序排列”问题的解题

技巧.

教学难点：如何应用“技巧”解题．

教学过程：

【例析技巧】

一.集团排列问题：部分元素必须安排在一起（相邻）的排列问题，称之为“集团排列”

问题.解决这类问题，常用“捆绑法”，其方法是先排“集团”部的元素，再把这个大“元素”

与其它元素一起排列即可.

例1 若7位同学站成一排

（1）甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？

（2）甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？

（3）甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？

（4）甲、乙、丙三个同学必须站在一起，另外四个人也必须站在一起的排法有多少种？

解：（1）先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5个元素（同学）

一起进行全排列有66A 种方法；再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有2

2A 种方法．所以这

样的排法一共有62621440A A ⋅=种. （2）方法同上，一共有55A 33A =720种.

（3）解法一：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，

因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾，

有25A 种方法；将剩下的4个元素进行全排列有44A 种方法；最后将甲、乙两个同学“松绑”

进行排列有22A 种方法．所以这样的排法一共有25A 44A 2

2A =960种方法.

解法二：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，若丙站

在排头或排尾有255A 种方法，所以，丙不能站在排头和排尾的排法有960)2(225566=⋅-A A A 种方法.

解法三：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙

不能站在排头和排尾，所以可以从其余的四个位置选择共有1

4A 种方法，再将其余的5个元

素进行全排列共有55A 种方法，最后将甲、乙两同学“松绑”，所以，这样的排法一共有14

A 55A 22A =960种方法． （4）将甲、乙、丙三个同学“捆绑”在一起看成一个元素，另外四个人“捆绑”在一

起看成一个元素，时一共有2个元素，∴一共有排法种数：342342288A A A =（种）

说明：对于相邻问题，常用“捆绑法”（先捆后松）．

二. 间隔排列问题：部分元素不能安排在一起（间隔）的排列问题，称之为“间隔排列”

问题.解决这类问题，常用“插空法”，其方法是先排不需要间隔的元素，再将需要间隔的元

素通过插空的方式插进来即可.

例2 在一条南北方向的步行街同侧有8块广告牌，牌的底色可选用红、蓝两种颜色.

若只要求相邻两块牌的底色不都为红色，则不同的配色方案共有（ ）

A.55.

B.56.

C.46.

D.45.

解：没有红牌，一种方法；有一块红牌，让其插空，有18C 种方法；有二块红牌，让其

插空，有27C 种方法；有三块红牌，让其插空，有36C 种方法；有四块红牌，让其插空，有4

5

C 种方法；共有方法12348765155C C C C ++++=种. 说明：对于不相邻问题，常用“插空法”（特殊元素后考虑）．

例3 某仪表显示屏上一排有7个小孔，每个小孔可显示出0或1，若每次显示其中三

个孔，但相邻的两孔不能同时显示，则这显示屏可以显示的不同信号的种数有 种.

解：四个孔不亮，三个孔亮，相当于三个亮着的孔在四个不亮的孔之间插空，故有

35222C ⨯⨯⨯=80种方法.

三. 部分不同元素定序与部分相同元素排列问题：

部分不同元素在排列前后的顺序固定不变（不一定相邻）的排列问题，称之为“定序排

列”问题.解决这类问题的基本方法有三种.

（1）“消序法”（有些地方叫“整体法”），即若有m n +个元素排成一列，其中有m 个

元素之间的排列顺序不变，将这m n +个元素任意排成一列，共有m n

m n A ++种不同的排法，其

中未定序的n 个元素排在某一特定位置的排列的个数有m

m A 种排法，但只有一个排列是我们所需要的排列，因而共有m n m n m m A A ++种不同的排法.类似地还可推广到一般情形，如有有m n k ++个元素排成一列，其中有m 个元素之间的排列顺序不变，且另外k 个元素之间的排列顺序也不变，则共有m n k m n k m k m k

A A A ++++中不同的算法. （2）逐一插空法：先将定序的元素进行排列，再将其它元素逐一插入这组元素两端及中间.

（3）优序法：先将所有位置中按“特殊元素”个数选出若干位置，并把这些特殊元素按规定顺序排上去，再将普通元素在其余位置上全排列.

例4 若5男5女排成一排，按下列要求各有多少种排法

（1）男女相间；（2）女生按指定顺序排列.

解：（1）先将男生排好，有5

5A 种排法；再将5名女生插在男生之间的6个“空挡”（包

括两端）中，有552A 种排法.故本题的排法有5555228800N A A =⋅=（种）； （2）方法1（消序法）：105101055

30240A N A A ===； 方法2（逐一插空法）：5个女生按序排列，有1中方法，5个男生逐个插空，有6,7,8,9,10种方法，共有67891030240⨯⨯⨯⨯=种方法.

方法3（优序法）：设想有10个位置，先将男生排在其中的任意5个位置上，有5

10A 种排法；余下的5个位置排女生，因为女生的顺序已经指定，所以她们只有一种排法.

故本题的结论为510130240N A =⨯=（种）. 例5 今有2本相同的语文书，3本相同的数学书，4本相同的英语书排成一排，有多少种不同的排法？

解：（消序法）有99234234

1260A A A A =种. 例6 一个楼梯共18个台阶，12步登完，可一步登一个台阶，也可一步登两个台阶，一共有多少种不同的走法？

解：根据题意，要想12步登完，只能6个一步登一个台阶，6个一步登二个台阶.因此，