2020赢在微点理科数学大二轮复习大题3

考前顶层设计·数学理·教案
请在第 22 题～23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分。
22．(本小题满分 10 分)(选修 4－4：坐标系与参数方程)
n·B→A1＝－ 2x1＋2z1＝0， 则n·A→1D＝ 22x1＋ 22y1＝0，
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所以取平面 BA1D 的一个法向量 n＝( 2，－ 2，1)。 设平面 A1DM 的法向量为 m＝(x2，y2，z2)，
m·A→1M＝ay2－2z2＝0， 则m·A→1D＝ 22x2＋ 22y2＝0，
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解 (1)证明：连接 AB1，交 A1B 于点 O，则 O 为 AB1 中点，连接 OD， 又因为 D 是 B1C1 中点，所以 OD∥AC1， 因为 OD⊂平面 A1BD，AC1⊄平面 A1BD， 所以 AC1∥平面 A1BD。
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(2)由已知，AB⊥AC，则 AB，AC，AA1 两两垂直，以 A 为原点，如图建 立空间直角坐标系 A－xyz，
则 B( 2，0,0)，A1(0,0,2)，D 22， 22，2，C(0， 2，0)， 设 M(0，a,0)(0≤a≤ 2)， 则B→A1＝(－ 2，0,2)，A→1D＝ 22， 22，0，A→1M＝(0，a，－2)， 设平面 BA1D 的法向量为 n＝(x1，y1，z1)，
解 (1)不妨设 M(－2 1－m2，m)，N(2 1－m2，m)， k1＝－2 1－m m2－2，k2＝2 1－mm2－2， k1k2＝－41－mm22－4＝41，所以 λ＝41。
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y＝kx＋m， (2)x2＋4y2＝4，
(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，
所以 Tn＝－19＋23n＋19·4n。
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18．(本小题满分 12 分)如图，直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，点 D 是棱 B1C1 的中点。
(1)求证：AC1∥平面 A1BD； (2)若 AB＝AC＝ 2，BC＝BB1＝2，在棱 AC 上是否存在点 M，使二面角 B －A1D－M 的大小为 45°，若存在，求出AAMC的值；若不存在，请说明理由。
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所以 2k2＋m2＋3km＝0， 所以 m＝－k 或 m＝－2k，均符合 Δ>0， 若 m＝－2k，直线 MN：y＝k(x－2)过 A(2,0)，与已知矛盾。 所以 m＝－k，直线 MN：y＝k(x－1)过定点(1,0)。
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解 (1)由题知，Sn＝an＋n2－1，Sn＋1＝an＋1＋(n＋1)2－1， 所以 an＋1＝an＋1－an＋2n＋1，所以 an＝2n＋1， 因为 5b1＝a2＝2×2＋1＝5，所以 b1＝1， 又 S5＝a5＋52－1＝2×5＋1＋52－1＝35， S2＝a2＋22－1＝5＋4－1＝8， 因为 S5＝qS2＋3，所以 35＝8q＋3，解得 q＝4， 所以 bn＝4n－1。
Δ＝16(4k2＋1－m2)>0，
设 M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则由韦达定理知，x1＋x2＝－1＋8km4k2，x1x2＝41m＋2－4k42 。
因为 k1k2＝x1y－1 2·x2y－2 2＝kxx11＋－m2kxx2－2＋2m ＝－34， 所以 4(kx1＋m)(kx2＋m)＋3(x1－2)(x2－2)＝0， 所以(4k2＋3)x1x2＋(4km－6)(x1＋x2)＋4m2＋12＝0， 所以(4k2＋3)41m＋2－4k42 ＋(4km－6)1－＋84k源自k2＋4m2＋12＝0，第4页
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(2)由(1)知，an·bn＝(2n＋1)4n－1， 则 Tn＝3＋5×4＋7×42＋…＋(2n＋1)4n－1， 所以 4Tn＝3×4＋5×42＋…＋(2n－1)4n－1＋(2n＋1)4n， 所以－3Tn＝3＋2(4＋42＋…＋4n－1)－(2n＋1)·4n， 所以－3Tn＝3＋2·41－－43n－1－(2n＋1)·4n＝13－2n＋13·4n，
17．(本小题满分 12 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，满足 Sn＝an＋n2－ 1，数列{bn}为等比数列，公比为 q，且 S5＝qS2＋3，a2＝5b1。
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)求数列{an·bn}的前 n 项和 Tn。
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专项微测 第二部分 考卷题型篇Ⅱ (大题•规范练)
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大题3 “17题～19题”＋“二选一” 46分练
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解答题：本大题共 4 小题，共 46 分。第 22 题～23 题为选考题。解答应 写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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19．(本小题满分 12 分)椭圆 C：x42＋y2＝1，点 A(2,0)，动直线 y＝kx＋m 与椭圆 C 交于 M，N 两点，已知直线 AM 的斜率为 k1，直线 AN 的斜率为 k2， 且 k1，k2 的乘积为 λ。
(1)若 k＝0，求实数 λ 的值； (2)若 λ＝－34，求证：直线 MN 过定点。
所以取平面 A1DM 的一个法向量 m＝(－2，2，a)。 cos45°＝|cos〈m，n〉|＝|－2 52－a22＋28＋a|＝ 22， 所以 3a2＋16 2a－24＝0，得 a＝－6 2或 a＝23 2。 因为 0≤a≤ 2，所以 a＝232， 所以存在点 M，此时AAMC＝32，使二面角 B－A1D－M 的大小为 45°。