并联三自由度运动平台动力学分析
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Dynamic Analysis of a 3-DOF Parallel Platform
FU Jing-shun1，LANG Xiao-hui1，ZHANG Hong2 （1.Shenyang University of Technology，Shenyang 110870； 2.Shenyang Equipment Manufacturing School, Shenyang 110026）
T echnical Column
技术专栏
并联三自由度运动平台动力学分析
付景顺 1，郎晓辉 1，张 弘 2 （1. 沈阳工业大学，沈阳 110870； 2. 沈阳装备制造学校，沈阳 110026）
摘要：本文由三自由度并联机构的结构入手，介绍了一种一平移两转动的三自由度运动模拟平台，此平台通过改变三 个可伸缩的支撑杆的长度来实现模拟平台的特定位姿。应用拉格朗日方程建立动力学模型，分析了机构的结构参数与 驱动力的关系，为机械结构设计提供了依据。 关键词：三自由度；并联机构；动力学分析 中图分类号：TH113 文献标识码：A 文章编号：1004-7204(2013)06-0039-03
Ａｂｓｔｒａｃｔ：From the structure of three degrees of freedom parallel mechanism, a three degrees of freedom motion simulation platform with one translational and two rotational is analyzed in this paper. This platform simplifies the structure by changing the length of the three collapsible support rods to achieve a specific position and orientation of the simulation platform. Based on Lagrange’s equation, the dynamic model of the 3-DOF parallel platform was established. The relation between system parameters and drive force of the mechanism was obtained, thus provides basis for the mechanical structural design. Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：three degrees of freedom；parallel mechanism；dynamic analysis
（３）
综 合 式 ２ 和 式 ３ 可 求 得 a （ xa , ya , za ）； b （ xb , yb , zb ）； c （ xc , yc , zc ） 三点的坐标。因为动平
代入到拉格朗日方程 ，ｉ＝１，２，…ｎ
式中：ｑｉ 为广义坐标；Ｑｉ 为广义力。 得到以下三式 ：
了动力学建模，得到了运动平台的速度以及加速度等一 系列动力学公式，为后期机械结构设计及电动缸选型等 提供了理论依据。
得到：
动平台竖直速度υz = ∫ (Fz (t)/ Μ - g)dt ∫ 动平台绕 ｘ 轴的角速度ω1 = (M1(t )/ I y )dt
术 2013(6)
2 动力学分析 由于运动平台的高度非线性和时变性，以及多体系 统的约束条件等都给计算带来巨大困难。利用广义坐标， 对动力学普遍方程进行变换，可以得到与自由度数目相 同的一组独立运动微分方程，从而使方程更简洁，便于 计算。设机构系统广义坐标 ｑｉ（ｔ）（ｉ＝１，２，３），即为三自由度 运动仿真模拟平台的动平台质心位置的垂直位移 ｚ 和整
６００ｍｍ。ａ－Ａ 电动缸与上平台之间用虎 克铰相连，另外两个电动缸与上 ｃ 两点为平台都用圆柱 式球铰连接。即 ａ 点为虎克铰，ｂ 和 Ｃ 两点为 ２ 个圆柱 式球铰。而下平台 Ｂ、Ｃ 两点与电动缸之间同样用圆柱 式球铰相联。Ａ 点将电动缸与下平台之间用固定螺栓相
39 Environmental Technology· Ｄｅｃｅｍｂｅｒ ２０１３
基金项目：辽宁省教育厅科研项目（201114126）
1 运动平台自由度的计算 并联三自由度运动平台，其结构简图如图 １ 所示。 该机构上下平台支点连接起来后是两个全等的等边三角 形 ａｂｃ 和 ＡＢＣ，三条边的长度均为 ６００ｍｍ， 上、下平台 之间用 ３ 根可伸缩的量程为 ４００ｍｍ 的电动缸相联，即
环境技术 Environmental Technology 2013(6)
参考文献(6条) 1.黄真;孔令富 并联机器人机构学理论及控制 1997 2.Saeed B. Niku Introduction to Robotics:Analysis,Systems, Applications 2001 3.刘宏伟;马质璞 3-PRS并联机构运动分析及仿真 2011 4.李绍安 某型战机飞行模拟器三自由度运动平台的研制[学位论文] 2005
作者简介
付景顺（1963- ），男，沈阳工业大学机械工程学院教授、车辆 工程系主任，工学博士。
41 Environmental Technology· Ｄｅｃｅｍｂｅｒ ２０１３
并联三自由度运动平台动力学分析
作者： 作者单位：
刊名： 英文刊名： 年，卷(期)：
付景顺， 郎晓辉， 张弘， FU Jing-shun， LANG Xiao-hui， ZHANG Hong 付景顺,郎晓辉,FU Jing-shun,LANG Xiao-hui(沈阳工业大学,沈阳,110870)， 张弘,ZHANG Hong(沈阳装备制 造学校,沈阳,110026)
动 平 台 可 以 由 ａ，ｂ，ｃ 三 点 空 间 坐 标
，
和
完全确定，由于三角百度文库 ａｂｃ
为等边三角形，且三边长度不变，即 Ｌａｂ＝Ｌｂｃ＝Ｌｃａ，可列 出三个约束方程：
（２）
假设动平台绕 ｘ 轴旋转的角度为 ，绕 ｙ 轴旋转 度。则 ａ、ｂ、ｃ 三点相对固定参考系的坐标：
其中 Ｍ 为动平台及负载质量，在这里假设负载不影 响动平台的质心在 ＸｏＹ 平面的位置，ｚ 为动平台及负载 的质心位置。
T echnical Column
技术专栏
系统的动能可用以下公式算得：
Ｉｘ 为动平台绕 ｘ 轴的转动惯量，Ｉｙ 为动平台绕 ｙ 轴 的转动惯量。
故系统的动势为
式中：Ｌ 为拉格朗日函数；Ｔ 为系统动能；Ｖ 为系统 势能。
5.白志富;韩先国;陈五一 基于Lagrange方程三自由度并联机构动力学研究[期刊论文]-北京航空航天大学学报 2004(1)
6.薛定宇;陈阳泉 基于MATLAB、Simulink的系统仿真技术与应用 2002
引用本文格式：付景顺.郎晓辉.张弘.FU Jing-shun.LANG Xiao-hui.ZHANG Hong 并联三自由度运动平台动力学分析[期刊论文]-环境技
T echnical Column
技术专栏
连，使其结构最简化。 模拟运动平台的自由度计算根据文献中的 Ｋｕｔｚｂａｃｈ
Ｇｒｕｂｌｅｒ 公式 ［１，２］，有以下公式：
g
Ｍ＝６（ｎ—ｇ—１）＋ ∑ fi ＋ν—ξ＝６（７—８—１） i =1
＋３＋３×４＋２＋０—２＝３ （１） 其中，Ｍ： 机构的自由度数目； ｎ：单个物体数目，ｎ＝７； ｇ：运动副的数目，ｇ＝８； ｆｉ：第 ｉ 个运动副的相对自由度数目； Ν：平台上附加的冗余约束； ξ：平台的局部自由度数目。
球面副 动平台
虎克铰 移动副
固定平台 图 1 结构简图
40 ２０１３ 年 １２ 月·环境技术
个动平台绕 ｘ 轴和 ｙ 轴转动的角位移 和 。
由于此模拟运动平台的机构比较特殊：伺服电动缸
与上下平台连接处均为等边三角形，上、下两个三角形
大小和方向也完全相同。而且 ａ－Ａ 电动缸的方向始终与
固定平台垂直，既 ａＡ ⊥ ｘｏｙ。
台上的三角形 ａｂｃ 是一个等边三角形，其三角形中心的
坐标为 （ x ,y ,z ），则广义坐标和动平台坐标关系为
（４）
以固定平面位置为零势能点，则动平面任意位置 ｚ 处的势能为
引言 并联三自由度运动模拟平台广泛应用于仿真领域， 能够模拟多种现实中的两转动一平移的三自由度娱乐项 目 ［１］。由此运动平台配合预设的虚拟动画及软件功效， 能够使游戏者体验到身临其境、惊险刺激的动感特效， 例如 ４Ｄ 影院座椅和娱乐赛马等。其运动关节少，性价 比高。目前国内已有一些运动平台，承载能力小，结构 较为复杂 ［３］。本文根据某模拟平台的性能要求简化了结 构，着重从三自由度平台的动力学分析，并以此作为电 动缸驱动电机的选型依据。
最大瞬时垂直线加速度 amax ＝０．５ｇ。 平台最大载荷 Fmax 为：
Fmax ＝ Ｗ（ ｇ ＋ amax ） ＝１０００×（１＋０．５） ＝１５０００ （Ｎ）
3 结论 对一种并联三自由度运动模拟平台简化结构，使其 运动副少，结构精简，性价比高。用拉格朗日方程进行
参考文献
[1] 黄真，孔令富 . 并联机器人机构学理论及控制 [M]. 北京：机械工业出 版社，1997. [2] Saeed B. Niku.Introduction to Robotics：Analysis，Systems， Applications[M]. Prentice Hall，2001，7. [3] 刘宏伟，马质璞 .3-PRS 并联机构运动分析及仿真 [J]. 机械设计与制造， 2011，3. [4] 李绍安 . 某型战机飞行模拟器三自由度运动平台的研制 [D]. 华中科技 大学硕士学位论文，2005，5. [5] 白志富，韩先国，陈五一 . 基于 Lagrange 方程三自由度并联机构动 力学研究 [J]. 北京航空航天大学学报，2004，1. [6] 薛定宇，陈阳泉 . 基于 MATLAB、Simulink 的系统仿真技术与应用 [M]. 北京：清华大学出版社，2002，3.
动平台绕 ｙ 轴的角速度
式中： Fz (t ) 为三个电动缸在 ａ，ｂ，ｃ 三点对动平台作 用力在质心的合力； M1(t ) 为绕 ｘ 轴的转矩； M 2 (t) 为
绕 ｙ 轴的转矩。由此角加速度 和 也就得到了。 根据并联三自由度运动平台系统的机械结构以及技
术指标要求： 三根电动缸总体承受载荷 Ｗ＝１０００ｋｇ。
FU Jing-shun1，LANG Xiao-hui1，ZHANG Hong2 （1.Shenyang University of Technology，Shenyang 110870； 2.Shenyang Equipment Manufacturing School, Shenyang 110026）
T echnical Column
技术专栏
并联三自由度运动平台动力学分析
付景顺 1，郎晓辉 1，张 弘 2 （1. 沈阳工业大学，沈阳 110870； 2. 沈阳装备制造学校，沈阳 110026）
摘要：本文由三自由度并联机构的结构入手，介绍了一种一平移两转动的三自由度运动模拟平台，此平台通过改变三 个可伸缩的支撑杆的长度来实现模拟平台的特定位姿。应用拉格朗日方程建立动力学模型，分析了机构的结构参数与 驱动力的关系，为机械结构设计提供了依据。 关键词：三自由度；并联机构；动力学分析 中图分类号：TH113 文献标识码：A 文章编号：1004-7204(2013)06-0039-03
Ａｂｓｔｒａｃｔ：From the structure of three degrees of freedom parallel mechanism, a three degrees of freedom motion simulation platform with one translational and two rotational is analyzed in this paper. This platform simplifies the structure by changing the length of the three collapsible support rods to achieve a specific position and orientation of the simulation platform. Based on Lagrange’s equation, the dynamic model of the 3-DOF parallel platform was established. The relation between system parameters and drive force of the mechanism was obtained, thus provides basis for the mechanical structural design. Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：three degrees of freedom；parallel mechanism；dynamic analysis
（３）
综 合 式 ２ 和 式 ３ 可 求 得 a （ xa , ya , za ）； b （ xb , yb , zb ）； c （ xc , yc , zc ） 三点的坐标。因为动平
代入到拉格朗日方程 ，ｉ＝１，２，…ｎ
式中：ｑｉ 为广义坐标；Ｑｉ 为广义力。 得到以下三式 ：
了动力学建模，得到了运动平台的速度以及加速度等一 系列动力学公式，为后期机械结构设计及电动缸选型等 提供了理论依据。
得到：
动平台竖直速度υz = ∫ (Fz (t)/ Μ - g)dt ∫ 动平台绕 ｘ 轴的角速度ω1 = (M1(t )/ I y )dt
术 2013(6)
2 动力学分析 由于运动平台的高度非线性和时变性，以及多体系 统的约束条件等都给计算带来巨大困难。利用广义坐标， 对动力学普遍方程进行变换，可以得到与自由度数目相 同的一组独立运动微分方程，从而使方程更简洁，便于 计算。设机构系统广义坐标 ｑｉ（ｔ）（ｉ＝１，２，３），即为三自由度 运动仿真模拟平台的动平台质心位置的垂直位移 ｚ 和整
６００ｍｍ。ａ－Ａ 电动缸与上平台之间用虎 克铰相连，另外两个电动缸与上 ｃ 两点为平台都用圆柱 式球铰连接。即 ａ 点为虎克铰，ｂ 和 Ｃ 两点为 ２ 个圆柱 式球铰。而下平台 Ｂ、Ｃ 两点与电动缸之间同样用圆柱 式球铰相联。Ａ 点将电动缸与下平台之间用固定螺栓相
39 Environmental Technology· Ｄｅｃｅｍｂｅｒ ２０１３
基金项目：辽宁省教育厅科研项目（201114126）
1 运动平台自由度的计算 并联三自由度运动平台，其结构简图如图 １ 所示。 该机构上下平台支点连接起来后是两个全等的等边三角 形 ａｂｃ 和 ＡＢＣ，三条边的长度均为 ６００ｍｍ， 上、下平台 之间用 ３ 根可伸缩的量程为 ４００ｍｍ 的电动缸相联，即
环境技术 Environmental Technology 2013(6)
参考文献(6条) 1.黄真;孔令富 并联机器人机构学理论及控制 1997 2.Saeed B. Niku Introduction to Robotics:Analysis,Systems, Applications 2001 3.刘宏伟;马质璞 3-PRS并联机构运动分析及仿真 2011 4.李绍安 某型战机飞行模拟器三自由度运动平台的研制[学位论文] 2005
作者简介
付景顺（1963- ），男，沈阳工业大学机械工程学院教授、车辆 工程系主任，工学博士。
41 Environmental Technology· Ｄｅｃｅｍｂｅｒ ２０１３
并联三自由度运动平台动力学分析
作者： 作者单位：
刊名： 英文刊名： 年，卷(期)：
付景顺， 郎晓辉， 张弘， FU Jing-shun， LANG Xiao-hui， ZHANG Hong 付景顺,郎晓辉,FU Jing-shun,LANG Xiao-hui(沈阳工业大学,沈阳,110870)， 张弘,ZHANG Hong(沈阳装备制 造学校,沈阳,110026)
动 平 台 可 以 由 ａ，ｂ，ｃ 三 点 空 间 坐 标
，
和
完全确定，由于三角百度文库 ａｂｃ
为等边三角形，且三边长度不变，即 Ｌａｂ＝Ｌｂｃ＝Ｌｃａ，可列 出三个约束方程：
（２）
假设动平台绕 ｘ 轴旋转的角度为 ，绕 ｙ 轴旋转 度。则 ａ、ｂ、ｃ 三点相对固定参考系的坐标：
其中 Ｍ 为动平台及负载质量，在这里假设负载不影 响动平台的质心在 ＸｏＹ 平面的位置，ｚ 为动平台及负载 的质心位置。
T echnical Column
技术专栏
系统的动能可用以下公式算得：
Ｉｘ 为动平台绕 ｘ 轴的转动惯量，Ｉｙ 为动平台绕 ｙ 轴 的转动惯量。
故系统的动势为
式中：Ｌ 为拉格朗日函数；Ｔ 为系统动能；Ｖ 为系统 势能。
5.白志富;韩先国;陈五一 基于Lagrange方程三自由度并联机构动力学研究[期刊论文]-北京航空航天大学学报 2004(1)
6.薛定宇;陈阳泉 基于MATLAB、Simulink的系统仿真技术与应用 2002
引用本文格式：付景顺.郎晓辉.张弘.FU Jing-shun.LANG Xiao-hui.ZHANG Hong 并联三自由度运动平台动力学分析[期刊论文]-环境技
T echnical Column
技术专栏
连，使其结构最简化。 模拟运动平台的自由度计算根据文献中的 Ｋｕｔｚｂａｃｈ
Ｇｒｕｂｌｅｒ 公式 ［１，２］，有以下公式：
g
Ｍ＝６（ｎ—ｇ—１）＋ ∑ fi ＋ν—ξ＝６（７—８—１） i =1
＋３＋３×４＋２＋０—２＝３ （１） 其中，Ｍ： 机构的自由度数目； ｎ：单个物体数目，ｎ＝７； ｇ：运动副的数目，ｇ＝８； ｆｉ：第 ｉ 个运动副的相对自由度数目； Ν：平台上附加的冗余约束； ξ：平台的局部自由度数目。
球面副 动平台
虎克铰 移动副
固定平台 图 1 结构简图
40 ２０１３ 年 １２ 月·环境技术
个动平台绕 ｘ 轴和 ｙ 轴转动的角位移 和 。
由于此模拟运动平台的机构比较特殊：伺服电动缸
与上下平台连接处均为等边三角形，上、下两个三角形
大小和方向也完全相同。而且 ａ－Ａ 电动缸的方向始终与
固定平台垂直，既 ａＡ ⊥ ｘｏｙ。
台上的三角形 ａｂｃ 是一个等边三角形，其三角形中心的
坐标为 （ x ,y ,z ），则广义坐标和动平台坐标关系为
（４）
以固定平面位置为零势能点，则动平面任意位置 ｚ 处的势能为
引言 并联三自由度运动模拟平台广泛应用于仿真领域， 能够模拟多种现实中的两转动一平移的三自由度娱乐项 目 ［１］。由此运动平台配合预设的虚拟动画及软件功效， 能够使游戏者体验到身临其境、惊险刺激的动感特效， 例如 ４Ｄ 影院座椅和娱乐赛马等。其运动关节少，性价 比高。目前国内已有一些运动平台，承载能力小，结构 较为复杂 ［３］。本文根据某模拟平台的性能要求简化了结 构，着重从三自由度平台的动力学分析，并以此作为电 动缸驱动电机的选型依据。
最大瞬时垂直线加速度 amax ＝０．５ｇ。 平台最大载荷 Fmax 为：
Fmax ＝ Ｗ（ ｇ ＋ amax ） ＝１０００×（１＋０．５） ＝１５０００ （Ｎ）
3 结论 对一种并联三自由度运动模拟平台简化结构，使其 运动副少，结构精简，性价比高。用拉格朗日方程进行
参考文献
[1] 黄真，孔令富 . 并联机器人机构学理论及控制 [M]. 北京：机械工业出 版社，1997. [2] Saeed B. Niku.Introduction to Robotics：Analysis，Systems， Applications[M]. Prentice Hall，2001，7. [3] 刘宏伟，马质璞 .3-PRS 并联机构运动分析及仿真 [J]. 机械设计与制造， 2011，3. [4] 李绍安 . 某型战机飞行模拟器三自由度运动平台的研制 [D]. 华中科技 大学硕士学位论文，2005，5. [5] 白志富，韩先国，陈五一 . 基于 Lagrange 方程三自由度并联机构动 力学研究 [J]. 北京航空航天大学学报，2004，1. [6] 薛定宇，陈阳泉 . 基于 MATLAB、Simulink 的系统仿真技术与应用 [M]. 北京：清华大学出版社，2002，3.
动平台绕 ｙ 轴的角速度
式中： Fz (t ) 为三个电动缸在 ａ，ｂ，ｃ 三点对动平台作 用力在质心的合力； M1(t ) 为绕 ｘ 轴的转矩； M 2 (t) 为
绕 ｙ 轴的转矩。由此角加速度 和 也就得到了。 根据并联三自由度运动平台系统的机械结构以及技
术指标要求： 三根电动缸总体承受载荷 Ｗ＝１０００ｋｇ。