信号采样与保持

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6.2 信号采样与保持
采样器与保持器是离散系统的两个基本环节，为了定量研究离散系统，必须用数学方法对信号的采样过程和保持过程加以描述。

6.2.1 信号采样
1. 采样信号的数学表示
一个理想采样器可以看成是一个载波为理想单位脉冲序列)(t T δ的幅值调制器，即理想采样器的输出信号)(*t e ，是连续输入信号)(t e 调制在载波)(t T δ上的结果，如图6-6所示。

图6-6 信号的采样
用数学表达式描述上述调制过程，则有
)()()(*
t t e t e T δ=
（6-1） 理想单位脉冲序列)(t T δ可以表示为
∑∞
=-=
)()(n T nT t t δδ (6-2)
其中)(nT t -δ是出现在时刻nT t =，强度为1的单位脉冲，故式(6-1)可以写为
∑∞
=-=0
*
)()()(n nT t t e t e δ
由于)(t e 的数值仅在采样瞬时才有意义，同时，假设
00
)(<∀=t t e
所以)(*
t e 又可表示为
*
()()()n e t e nT t nT δ∞
==
-∑
（6-3）
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2. 采样信号的拉氏变换
对采样信号)(*t e 进行拉氏变换，可得
)]([)(])()([)]([)(0
*
*nT t L nT e nT t nT e L t e L s E n n -=
-==∑∑∞
=∞
=δδ (6-4)
根据拉氏变换的位移定理，有
nTs
st
nTs
e
dt e
t e
nT t L -∞
--==-⎰
)()]([δδ
所以，采样信号的拉氏变换
∑∞
=-=
*
)()(n nTs
e
nT e s E (6-5)
3. 连续信号与采样信号频谱的关系
由于采样信号只包括连续信号采样点上的信息，所以采样信号的频谱与连续信号的频谱相比，要发生变化。

式(6-2)表明，理想单位脉冲序列)(t T δ是周期函数，可以展开为傅氏级数的形式，即
∑+∞
-∞
==
n t
jn n
T s e
c
t ωδ)(
(6-6)
式中，T s /2πω=，为采样角频率；n c 是傅氏系数，其值为
/2/2
1()s T jn t
n T T c t e
dt T
ωδ--=
⎰
由于在]2,2[T T -区间中，)(t T δ仅在0=t 时有值，且1|0==-t t
jn s
e
ω，所以 0011()n c t dt T
T
δ+-
=
=
⎰
（6-7）
将式(6-7)代入式(6-6)，得
∑+∞
-∞
==
n t
jn T s e
T
t ωδ1)( （6-8）
再把式(6-8)代入式(6-1)，有
∑+∞
-∞
==
n t
jn s e
t e T
t e ω)(1)(*
（6-9）
上式两边取拉氏变换，由拉氏变换的复数位移定理，得到
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∑+∞
-∞
=+
=
n s jn s E T
s E )(1)(*
ω (6-10)
令ωj s =，得到采样信号)(*t e 的傅氏变换
∑+∞
-∞
=+=
n s
n j E T
j E )]([1)(*
ω
ωω （6-11)
其中，)(ωj E 为非周期连续信号)(t e 的傅氏变换，即
⎰+∞
∞
--=
dt e
t e j E j ω
ω)()( （6-12）
它的频谱)(ωj E 是频域中的非周期连续信号，如图6-7所示，其中h ω为频谱)(ωj E 中的最大角频率。

图6-7 连续信号频谱)(ωj E 与采样信号频谱)(ωj E *(h s ωω2>)的比较
采样信号)(*t e 的频谱|)(|*
ωj E ，是连续信号频谱)(ωj E 以采样角频率s ω为周期的无穷多
个频谱的延拓，如图6-7所示。

其中，0=n 的频谱称为采样频谱的主分量，如曲线1所示，它与连续频谱)(ωj E 形状一致，仅在幅值上变化了1，其余频谱( ,2,1±±=n )都是由于采样而引起的高频频谱。

图6-7表明的是采样角频率s ω大于两倍h ω的情况，采样频谱中没有发生频率混叠，利用图6-8所示的理想低通滤波器可恢复原来连续信号的频谱。

如果加大采样周期T ，采样角频率s ω相应减小，当h s ωω2<时，采样频谱的主分量与高频分量会
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产生频谱混叠，如图6-9所示。

这时，即使采用理想滤波器也无法恢复原来连续信号的频谱。

因此，要从采样信号)(*t e 中完全复现出采样前的连续信号)(t e ，对采样角频率s ω应有一定的要求。

图6-8 理想低通滤波器的频率特性
图6-9 连续信号频谱)(ωj E 与采样信号频谱)(*ωj E (2s h ωω<)的比较 4. 香农采样定理
香农采样定理指出：如果采样器的输入信号)(t e 具有有限带宽，即有直到h ω的频率分量，若要从采样信号)(*
t e 中完整地恢复信号)(t e ，则模拟信号的采样角频率s ω，或采样周期T 必须满足下列条件：
h
h
s T ωπωω≤
≥或
2 (6-13)
由图6-7可见，在满足香农采样定理的条件下，要想不失真地将采样器输出信号复现成
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原来的连续信号，需要采用图6-8所示的理想低通滤波器，然而理想低通滤波器物理上不可实现，因此工程上常用零阶保持器。

在设计离散系统时，香农采样定理是必须严格遵守的一条准则，它指明了从采样信号中不失真地复现原连续信号的采样周期T 的上界或采样角频率s ω的下界。

6.2.2 零阶保持器
为了对连续信号进行控制，需要使用保持器将控制器输出的离散信号转换为连续信号。

在工程实践中，普遍采用零阶保持器。

零阶保持器把前一采样时刻nT 的采样值)(nT e 一直保持到下一采样时刻T n )1(+到来之前。

给零阶保持器输入一个理想单位脉冲)(t δ，则其单位脉冲响应函数)(t g h 是幅值为1，持续时间为T 的矩形脉冲，如图6-10所示，它可分解为两个单位阶跃函数的和，即
)(1)(1)(T t t t g h --= （6-14
）
对脉冲响应函数h g (t)取拉氏变换，可得零阶保持器的传递函数
s
e
s
e
s s G Ts
Ts
h ---=
-=
11)( （6-15）
在式(6-15)中，令ωj s =，得零阶保持器的频率特性：
/2
/2
/2
/2
12()
sin(/2)()2/2
j T
j t j t j t jT h e
e
e
e
T G j T
e
j j T ωωωωωωωω
ω
ω------=
=
= (6-16)
若以采样角频率T s /2πω=来表示，则上式可表示为
)
()
()
(sin 2)(s j s s s
h e
j G ωωπωωπωωπωπ
ω-⋅
=
（6-17）
根据上式，可画出零阶保持器的幅频特性()h G j ω和相频特性)(ωj G h ∠如图6-11所示。

由图可见，零阶保持器具有如下特性：
（1） 低通特性：由于幅频特性的幅值随频率值的增大而迅速衰减，说明零阶保持器基本上是一个低通滤波器，但与理想滤波器特性相比，在2/s ωω=时，其幅值只有初值的
图6-10 零阶保持器的脉冲响应
237
63．7％。

零阶保持器除允许主要频谱分量通过外，还允许部分高频频谱分量通过，从而造成数字控制系统的输出频谱在高频段存在纹波。

图6-11 零阶保持器的频率特性
（2） 相角滞后特性：由相频特性可见，零阶保持器要产生相角滞后，且随ω的增大而加大，在s ωω=处，相角滞后可达 180-，从而使系统的稳定性变差。

图6-12 零阶保持器的输出特性
零阶保持器使采样信号)(*
t e 变成阶梯信号)(t e h 。

如果把阶梯信号)(t e h 的中点连接起来，如图6-12中点划线所示，则可以得到与连续信号)(t e 形状一致但在时间上落后2T 的响应)2(T t e -，相当于给系统增加了一个延迟时间为2T 的延迟环节，使系统总的相角滞后增大，对系统的稳定性不利，这与前面零阶保持器相频分析结果是一致的。