信号采样与保持

232

6.2 信号采样与保持

采样器与保持器是离散系统的两个基本环节，为了定量研究离散系统，必须用数学方法对信号的采样过程和保持过程加以描述。

6.2.1 信号采样

1. 采样信号的数学表示

一个理想采样器可以看成是一个载波为理想单位脉冲序列)(t T δ的幅值调制器，即理想采样器的输出信号)(*t e ，是连续输入信号)(t e 调制在载波)(t T δ上的结果，如图6-6所示。

图6-6 信号的采样

用数学表达式描述上述调制过程，则有

)()()(*

t t e t e T δ=

（6-1） 理想单位脉冲序列)(t T δ可以表示为

∑∞

=-=

)()(n T nT t t δδ (6-2)

其中)(nT t -δ是出现在时刻nT t =，强度为1的单位脉冲，故式(6-1)可以写为

∑∞

=-=0

*

)()()(n nT t t e t e δ

由于)(t e 的数值仅在采样瞬时才有意义，同时，假设

00

)(<∀=t t e

所以)(*

t e 又可表示为

*

()()()n e t e nT t nT δ∞

==

-∑

（6-3）

233

2. 采样信号的拉氏变换

对采样信号)(*t e 进行拉氏变换，可得

)]([)(])()([)]([)(0

*

*nT t L nT e nT t nT e L t e L s E n n -=

-==∑∑∞

=∞

=δδ (6-4)

根据拉氏变换的位移定理，有

nTs

st

nTs

e

dt e

t e

nT t L -∞

--==-⎰

)()]([δδ

所以，采样信号的拉氏变换

∑∞

=-=

*

)()(n nTs

e

nT e s E (6-5)

3. 连续信号与采样信号频谱的关系

由于采样信号只包括连续信号采样点上的信息，所以采样信号的频谱与连续信号的频谱相比，要发生变化。

式(6-2)表明，理想单位脉冲序列)(t T δ是周期函数，可以展开为傅氏级数的形式，即

∑+∞

-∞

==

n t

jn n

T s e

c

t ωδ)(

(6-6)

式中，T s /2πω=，为采样角频率；n c 是傅氏系数，其值为

/2/2

1()s T jn t

n T T c t e

dt T

ωδ--=

⎰

由于在]2,2[T T -区间中，)(t T δ仅在0=t 时有值，且1|0==-t t

jn s

e

ω，所以 0011()n c t dt T

T

δ+-

=

=

⎰

（6-7）

将式(6-7)代入式(6-6)，得

∑+∞

-∞

==

n t

jn T s e

T

t ωδ1)( （6-8）

再把式(6-8)代入式(6-1)，有

∑+∞

-∞

==

n t

jn s e

t e T

t e ω)(1)(*

（6-9）

上式两边取拉氏变换，由拉氏变换的复数位移定理，得到

234

∑+∞

-∞

=+

=

n s jn s E T

s E )(1)(*

ω (6-10)

令ωj s =，得到采样信号)(*t e 的傅氏变换

∑+∞

-∞

=+=

n s

n j E T

j E )]([1)(*

ω

ωω （6-11)

其中，)(ωj E 为非周期连续信号)(t e 的傅氏变换，即

⎰+∞

∞

--=

dt e

t e j E j ω

ω)()( （6-12）

它的频谱)(ωj E 是频域中的非周期连续信号，如图6-7所示，其中h ω为频谱)(ωj E 中的最大角频率。

图6-7 连续信号频谱)(ωj E 与采样信号频谱)(ωj E *(h s ωω2>)的比较

采样信号)(*t e 的频谱|)(|*

ωj E ，是连续信号频谱)(ωj E 以采样角频率s ω为周期的无穷多

个频谱的延拓，如图6-7所示。其中，0=n 的频谱称为采样频谱的主分量，如曲线1所示，它与连续频谱)(ωj E 形状一致，仅在幅值上变化了1，其余频谱( ,2,1±±=n )都是由于采样而引起的高频频谱。图6-7表明的是采样角频率s ω大于两倍h ω的情况，采样频谱中没有发生频率混叠，利用图6-8所示的理想低通滤波器可恢复原来连续信号的频谱。如果加大采样周期T ，采样角频率s ω相应减小，当h s ωω2<时，采样频谱的主分量与高频分量会

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产生频谱混叠，如图6-9所示。这时，即使采用理想滤波器也无法恢复原来连续信号的频谱。因此，要从采样信号)(*t e 中完全复现出采样前的连续信号)(t e ，对采样角频率s ω应有一定的要求。

图6-8 理想低通滤波器的频率特性

图6-9 连续信号频谱)(ωj E 与采样信号频谱)(*ωj E (2s h ωω<)的比较 4. 香农采样定理

香农采样定理指出：如果采样器的输入信号)(t e 具有有限带宽，即有直到h ω的频率分量，若要从采样信号)(*

t e 中完整地恢复信号)(t e ，则模拟信号的采样角频率s ω，或采样周期T 必须满足下列条件：

h

h

s T ωπωω≤

≥或

2 (6-13)

由图6-7可见，在满足香农采样定理的条件下，要想不失真地将采样器输出信号复现成