【人教版】八年级上册数学 全册精品PDF资料(合集)
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2 ．这时它们的三个顶点、三条边和三个内角分别重合了．
3 ．完全重合说明三条边对应相等，三个内角对应相等，
?对应顶点在相对应的位置．
【教师活动】根据学生交流的情况，给予补充和语言上的规范．
1 ．概念：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，
?重合的边叫做对应边，重合的
角叫做对应角．
2．证两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，
? 到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． （判定定理）
教学内容 本节课主要内容是探索三角形全等的条件（ SSS）， ?及利用全等三角形进行证明． 教学目标 1 ．知识与技能 了解三角形的稳定性，会应用“边边边”判定两个三角形全等． 2 ．过程与方法 经历探索“边边边”判定全等三角形的过程，解决简单的问题． 3 ．情感、态度与价值观 培养有条理的思考和表达能力，形成良好的合作意识． 重、难点与关键 1 ．重点：掌握“边边边”判定两个三角形全等的方法． 2 ．难点：理解证明的基本过程，学会综合分析法． 3 ．关键：掌握图形特征，寻找适合条件的两个三角形． 教具准备 一块形状如图 1 所示的硬纸片，直尺，圆规．
培养观察、操作、分析能力，体会全等三角形的应用价值．
重、难点与关键
1 ．重点：会确定全等三角形的对应元素．
2 ．难点：掌握找对应边、对应角的方法．
3 ．关键： 找对应边、对应角 有下面 两种方法 ：（ 1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角
所夹的边是对应边； （ 2）对应边所对的角是对应角， ?两条对应边所夹的角是对应角．
?如果本图 11． 1─2△ ABC和
△ DBC全等，点 A 和点 D，点 B 和点 B，点 C 和点 C 是对应顶点， ?记作△ ABC≌△ DBC．
新人教版八年级上册数学全册课件
2020/10/21
注意：
A
知1－讲
c
b
1.三角形的三边用字母表示时，字
母没有顺序限制.
B
aC
2.三角形的三边，有时也用一个小写字母来表示.
如：△ABC的三边中，顶点A所对的边BC也可表示为a，
顶点B所对的边AC也可表示为b，顶点C所对的边AB也可
表示为c.
3.一般情况下，我们把边BC叫做 A的对边，AC，AB叫
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知2－讲
按 角 分
按 边 分
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三角形的分类
锐角三角形
直角三角形 钝角三角形
三边都不相等的三角形 底边和腰不相等
等腰三
三边都 角形
不相等
的三角 等边三
形
角形
等腰三角形 的等腰三角形
三角形
等边三角形
知2－练
1 下列说法：①等边三角形是等腰三角形；②等腰 三角形也可能是直角三角形；③三角形按边分类 可分为等腰三角形、等边三角形和三边都不相等 的三角形；④三角形按角分类应分为锐角三角形、 直角三角形和钝角三角形．其中正确的有( C ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
同理有
AC+BC>AB,
②
AB+BC>AC.
③
一般地，我们有
三角形两边的和大于第三边. 由不等式②③移项可得BC>AB－AC，BC>AC－AB. 这就是说，三角形两边的差小于第三边.
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知3－导
例1 用一条长为18 cm的细绳围成一个等腰三角形. (1) 如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？ (2) 能围成有一边的长是4 cm的等腰三角形吗？为什么？
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⑶性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 5.证明的基本方法：
⑴明确命题中的已知和求证.（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶 角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系）
⑵根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证. ⑶经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.
第十三章 轴对称 1.基本概念：
⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相 重合，这个图形就叫做轴对称图形. ⑵两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一 个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称. ⑶线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这 条线段的垂直平分线. ⑷等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两条边叫 做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做 底角. ⑸等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形. 2.基本性质： ⑴对称的性质： ①不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称，对称轴都是任何一 对对应点所连线段的垂直平分线. ②对称的图形都全等. ⑵线段垂直平分线的性质： ①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. ②与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. ⑶关于坐标轴对称的点的坐标性质
新人教版八年级数学上册知识点总结
第十一章 三角形
学海无涯 线，把多边形分成 (n − 2) 个三角形.② n 边形共有 n(n − 3) 条对角线. 2
第十二章 全等三角形
1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
1.基本定义：
2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边.
初中数学 人教课标版八年级上全册课件
P 慢车 F
解:(1)由图象可知:慢车比快车早出发2小时，快车 追上慢车时行驶了276千米，快车比慢车早4小时 到达。
(A ) 0
2
D
14 18
x(小时)
276 (2)解法1：设快车经过t小时追上慢车，有图象可知快车的速度为每小时 千米 t
276 慢车的速度为每小时 t 2 千米。 276 276 18 ( 14 2 ) 又因为它们所走的路程相等，所以
80 5a b
b 120
B
A
D C
表示摩托车行驶过程的函数解析式为y＝40x－120． y＝10x （4）解方程组 ， 得：x=4, y＝40x－120 再由图象可知当在3＜x＜5时间段内两车均行驶在途中，其中当3＜x＜4 时，自行车行驶在摩托车的前面；当x=4时自行车与摩托车相遇； 需要更完整的资源请到 新世纪教 当4＜x＜5时，自行车行驶在摩托车的后面。 ∴
t(小时)
0 23
图2
S(千米)
乙 甲
10 0
图3
图3表示甲、乙同时异地出发，甲在乙前 面10千米处，乙行走6小时追上甲；
需要更完整的资源请到 新世纪教 育网 -
6
t(小时)
S(千米)
乙 甲 0 1 3
t(小时)
图4表示甲、乙同地异时出发，甲比乙早 出发1小时，乙走后2小时追上甲；
图4
S(千米)
乙 甲 10
0
1
3 图5
图5表示甲、乙异地出发，甲在乙前面10 千米处，且甲比乙早出发1小时，乙走后2 小时追上甲；
t(小时)
S(千米)
10
甲 乙
图6表示甲、乙分别从相距10千米的两地同 时出发，2小时后相遇。
初中数学人教版八年级上全册课件ppt(全等三角形等40个) 人教版32PPT28页
初中数学人教版八年级上全册课件pt(全 等三角形等40个) 人教版32
31、园日涉以成趣，门虽设而常关。 32、鼓腹无所思。朝起暮归眠。 33、倾壶绝余沥，窥灶不见烟。
34、春秋满四泽，夏云多奇峰，秋月 扬明辉 ，冬岭 秀孤松 。 35、丈夫志四海，我愿不知老。
46、我们若已接受最坏的，就再没有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特
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3、在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC的中线，若△ABD的周长比
△ADC的周长大2cm，则AB＝__7_c_m____.
A
B
DC
知识点拨：三角形一边上的中线把原三角形分成两个底相等的三角形，这两个 三角形的周长差等于原三角形其余两边的差。
课堂练习 难点巩固 4、如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于点D，且
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第十一章 三角形
第十一章 三角形
（1）
（2）
（3）
（4）
说一说：
你认为哪些图形是三角形？ 其它图
形和这个三角形有什么区别？
判断依据： （1）三条线段 （2）不在同一直线上 （3）首尾顺次相接
三角形的定义 由不在同一条直线上的三条线段 首尾顺次相接所组成的图形，叫 做三角形。
知识讲解 2、三角形的中线
难点突破
三角形的中线的定义:
你能用同样方法，
画出△ABC的另外两
条边上的中线吗？ A
在三角形中，连接一个顶点
与它对边中点的线段，叫作这个
三角形的中线。 如图：AE是BC边上的中线。
B
C
E
BE=EC
符号语言： ∵AE是△ABC的中线 ∴BE ＝ CE ＝ 1 BC
2
知识讲解 2、三角形的中线
1 2
间的线段，叫三角形的角平分线。 如图：AD是三角形的一条角平分线。
符号语言： ∵AD是△ABC的角平分线
1
∴∠1＝∠2＝ 2 ∠BAC
B
D
C
∠1=∠2
注意:“三角形的角平分线” 是一条线段。
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那么什么叫做三角形呢？（2）、课本7頁练习。
图2如果把上面移动的角在图上进行转移，由图分析：怎样能求出∠ACB根据三角形内角和定理，只需求出∠二、多边形及有关概念这些图形有什么特点？由几条线段组成；它们不在同一条直线上；首尾顺次相接．在图（1）中，画出四边形ABCD的任何一条边所在的直线，整个图形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫做凸四边形，而图（2）就不满足上述凸多边形的特征，因为我们画本章小结一、知识结构二、回顾与思考1、什么是三角形？什么是多边形？什么是正多边形？ 三角形是不是多边形？2、什么是三角形的高、中线、角平分线？什么是对角线？ 三角形有对角线吗？n 边形的的对角线有多少条？3、三角形的三条高，三条中线，三条角平分线各有什么特点？4、三角形的内角和是多少？n 边形的内角和是多少？ 你能用三角形的内角和说明n 边形的内角和吗？5、三角形的外角和是多少？n 边形的外角和是多少？ 你能说明为什么多边形的外角和与边数无关吗？6、怎样才算是平面镶嵌？平面镶嵌的条件是什么？能单独进行平面镶嵌的多边形有哪些？你能举一个几个多边形进行平面镶嵌的例子吗？ 三、例题导引例1 如图，在△ABC 中，∠A ︰∠B ︰∠C=3︰4︰5，BD 、CE 分别是边AC 、AB 上的高，BD 、CE 相交于点H ，求∠BHC 的度数。
例2 如图，把△ABC 沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 内部时，探索∠A 与∠1＋∠2有什么数量关系？并说明理由。
例3 如图所示,在△ABC 中,△ABC 的内角平分线与外角平分线交于点P,试说明∠P ＝1/212ABCDE A B CDE H∠A.(2)P CBA四、巩固练习课本28—29頁复习题7（第3题可不做）.五、教后记2所示，△ABC≌△AEC°，∠ACB=85°，求出△（∠AEC=30°，∠EAC=65ECA=85°）三、课堂总结，发展潜能′，使A′B′=AB′，A′C′=AC，=BC；′为圆心，线段AB、AC为半径画弧，两弧交于点【教师活动】提出问题，巡视、引导学生，并请学生说说自己的想法．AB=FD，只要AD=FB两利用全等三角形处理问，分析：如果能够证明△ABC≌△DEC，如果能得出∠1=∠2，【学生活动】观察教师操作教具、发现问题、辨析理解，动手用直尺和圆1所示）为圆心，以适当长为半径，与△ABC′不全等．在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望．为了炸掉这个碉堡，需要知道碉堡与我军阵地的距离．在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一个战士想出来这样一个办法，他面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部．然后，他转过一个角度，保持刚才的姿态，这时视线落在了自己所在岸的某一点上．接着，他用步测的办法量出自己与那）按这个战士的方法，找出教室或操场上与你距离相等的两个点，并通过测量加以验证．(1) (2)EDH≌△FDH，从而，能添上一个条件证明出△ABC探究规律：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”）．运用三角形内角和定理，以及“ASA”很快证出△两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等她是否可以只带其应带含有两个角的那一块，由“角边角”将墨迹污染到这【思路点拨】观察图形，可知未被墨水污染的有两条边及其夹角，•根据【教师活动】操作投影仪，提出“问题探究”，组织学生讨论．【学生活动】小组讨论，发表意见：“由三角形全等条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量．′B′C′，使B′C′=BC,AB=AB;N=90°。
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全册课件全集
八年级数学上（RJ）
第十一章 三角形
11.1.1三角形的边
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
情境引入
1.认识三角形并会用几何语言表示三角形，了解三角
形分类.
2.掌握三角形的三边关系.（难点）
3.运用三角形三边关系解决有关的问题.（重点）
导入新课
埃及金字塔
三边均 不相等
有两条 边相等
腰
顶角 底角
三条边 均相等
不等边三角形
等腰三角形
等边三角形
底边
总结归纳
三条边各不相等的三角形叫做不等边三角形 ； 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形； 三条边都相等的三角形叫做等边三角形．
思考：等边三角形和等腰三角形之间有什么关系？
我们可以把三角形按照三边情况进行分类
归纳 判断三条线段是否可以组成三角形，只需 说明两条较短线段之和大于第三条线段即可.
例2 一个三角形的三边长分别为4，7，x，那么
x的取值范围是( A )
A．3＜x＜11
B．4＜x＜7
C．－3＜x＜11
D．x＞3
解析：∵三角形的三边长分别为4，7，x， ∴7－4＜x＜7＋4，即3＜x＜11.
归纳 判断三角形边的取值范围要同时运用两边 之和大于第三边，两边之差小于第三边．
三角形两边的和大于第三边. 三角形两边的差小于第三边.
典例精析 例1 有两根长度分别为5cm和8cm的木棒，用长度 为2cm的木棒与它们能摆成三角形吗？为什么？长 度为13cm的木棒呢？ 解：取长度为2cm的木棒时，由于2+5=7<8，出 现了两边之和小于第三边的情况，所以它们不能 摆成三角形.取长度为13cm的木棒时，由于 5+8=13，出现了两边之和等于第三边的情况，所 以它们也不能摆成三角形.
人教版八年级上册电子版讲义
人教版八年级上册电子版讲义注意：在运算过程中，要明确每一步变形的目的和依据，注意解题的格式要规范，不要随便跳步，以便查对有无错误或分析出错的原因。
加减后得出的结果一定要化成最简分式（或整式）。
7.分式方程的解的步骤⑴去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。
（产生增根的过程） ⑵解整式方程，得到整式方程的解。
⑶检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：如果最简公分母为0，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；如果最简公分母不为0，则是原方程的解。
产生增根的条件是：①是得到的整式方程的解；②代入最简公分母后值为0。
8.列分式方程 基本步骤① 审—仔细审题，找出等量关系。
② 设—合理设未知数。
③ 列—根据等量关系列出方程（组）。
④ 解—解出方程（组）。
注意检验 ⑤ 答—答题。
【典型例题分析】一、选择题1、以下五家银行行标中，是轴对称图形的有（ ）A 、1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2、下列条件中，不能确定．．．．△ABC ≌△C B A '''的是（ ） A 、BC = B 'C ' ,AB =A 'B ' ,∠B =∠B ' B 、∠B =∠B ' AC =A 'C ' AB = A 'B ' C 、∠A =∠A ',AB = A 'B ', ∠C =∠C ' D 、BC = B 'C '3、若等腰三角形的周长为26cm ，一边为11cm ，则腰长为（ ） A.11㎝ B.7.5㎝ C. 11㎝ 或7.5㎝ D.以上都不对4、下列计算中正确的是（ ）X Kb 1.C om A 、a 2+a 3=a 5 B.a 4÷a =a 4 C.a 2×a 4=a 8 D.(—a 2)3=—a 65、△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C =1：2：3，最小边BC =3cm ,最长边AB 的长为（ ） A. 9cm B. 8 cm C. 7 cm D.6 cm6、在边长为a 的正方形中挖掉一个边长为b 的小正方形（a ＞b ）,把余下的部分剪拼成一个矩形（如图），通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ）A.a 2－b 2=(a +b )(a －b ) B. (a +b )2=a +2ab +b 2C.(a －b )2=a 2－2ab +b 2D.a 2－ab =a (a －b )7、若1=x ，21=y ，则2244y xy x ++的值是（ ） Ａ．2 Ｂ．4 Ｃ．23 Ｄ．218、把多项式322x x x -+分解因式结果正确的是（ ）A ．2(2)x x x -B ．2(2)x x -C ．(1)(1)x x x +-D ．2(1)x x - 二、填空题9、.若关于x 的分式方程233x m m x x -=--无解，则m 的值为 ． 10、已知6x y +=，2xy =-，则2211x y += . htt p:/ /www.xk 11、如图，在△ABC 中，∠C =,AD 平分∠ABC , BC =10cm ,BD =6cm ,则点D 到AB 的距离是 。
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全册教学课件
11.1
与三角形有关的线段
11.1.1 三角形的边
导入新知
观察与思考
1. 你能从中找出4个不同的三角形吗？与同学交流
各自找出的三角形。
A
2. 这些三角形有什么共同
特点？
EE
F
B
D
G
C
探究新知
知识点 1
探究
三角形的有关概念
三角形是我们熟悉的图形，观察下列图片，你能
D．2，3，5
课堂检测
基 础 巩 固 题
3.下列说法：①等边三角形是等腰三角形；②三
角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形、不等边
三角形；③三角形的两边之差大于第三边；④三角形按
角分类应分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形.
其中正确的有( B )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
课堂检测
能力提升题
1. (2018•长沙)下列长度的三条线段，能组成三角形的
是( B )
A．4cm，5cm，9cm
B．8cm，8cm，15c
C．5cm，5cm，10cm
D．6cm，7cm，14cm
2. (2018•常德)已知三角形两边的长分别是3和7，则此三角形
第三边的长可能是( C )
A．1 B．2 C．8 D．11
厘米.
11.1 与三角形有关的线段
11.1.2 三角形的高、中线与角
平分线
导入新知
定义
复
垂线
当两条直线相交所成的四个角中，有一个
角是直角时，就说这两条直线互相垂直，
其中一条直线叫做另一条直线的垂线
习
线段
初中数学人教版八年级上全册课件ppt(全等三角形等40个) 人教版20
练习:1、填空 (1)正比例函数 y=kx(k≠0) 的图象是 直线 它一定经过点 (0,0) 和 (1,k) 。 (2)如果函数 y= - kx 的图象在一,三象 限,那么y = kx 的图象经过 二,四象限。 m 2 1 m )x (3)如果 y( 是正比例函数, 且y随x的增大而减小,那么m= 3 。
§14.2.1正比例函数
2、已知y与x成正比例，且当x =-1时， y =-2，求y与x之间的函数关系式。
知识回顾
1、正比例的解析式是什么？
y=kx（k≠0）
y=2x
例1:画正比例函数 y=2x 的图象
画图步骤：
１、列表； ２、描点；
３、连线。
y=2x 的图象为： x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y … -6 -4 -2 0 2 4 6 …
y
5 4 3 2 1 -5 -4 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3 -4 -5 1 2 3
y=2x
4
5
x
练习:画出正比例函数y=-2x的图象？
y 5 4 3 2 1
y=2x
结论 正比例 函数y= kx (k≠0) 的图 象是经过 原点(0,0)点 和(1,k)点 的一条直 线。
-5 -4 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3 -4 -5
③当 |k| 越大时，图象越靠近y轴
布置作业：
必做题：课本P35习题11.2 第1、2题
作业本 选做题：习题精选P18—19
再见
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1、聪明的人有长的耳朵和短的舌头。 ——弗莱格 2、重复是学习之母。 ——狄慈根 3、当你还不能对自己说今天学到了什么东西时，你就不要去睡觉。 ——利希顿堡 4、人天天都学到一点东西，而往往所学到的是发现昨日学到的是错的。 ——B.V 5、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。 ——洛 克 6、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸收都不可耻。 ——阿卜· 日· 法拉兹 7、学习是劳动，是充满思想的劳动。 ——乌申斯基 8、聪明出于勤奋，天才在于积累 －－华罗庚 9、好学而不勤问非真好学者。 10、书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。 11、人的大脑和肢体一样，多用则灵，不用则废 －茅以升 12、你想成为幸福的人吗？但愿你首先学会吃得起苦 －－屠格涅夫 13、成功＝艰苦劳动＋正确方法＋少说空话 －－爱因斯坦 14、不经历风雨，怎能见彩虹 －《真心英雄》 15、只有登上山顶，才能看到那边的风光。 16只会幻想而不行动的人，永远也体会不到收获果实时的喜悦。 17、勤奋是你生命的密码，能译出你一部壮丽的史诗。 1 8．成功，往往住在失败的隔壁！ 1 9 生命不是要超越别人，而是要超越自己． 2 0．命运是那些懦弱和认命的人发明的！ ２1．人生最大的喜悦是每个人都说你做不到，你却完成它了！ ２2．世界上大部分的事情，都是觉得不太舒服的人做出来的． ２3．昨天是失效的支票，明天是未兑现的支票，今天才是现金． ２4．一直割舍不下一件事，永远成不了! ２5．扫地，要连心地一起扫！ ２6．不为模糊不清的未来担忧，只为清清楚楚的现在努力． ２7．当你停止尝试时，就是失败的时候． ２8．心灵激情不在，就可能被打败． ２9．凡事不要说＂我不会＂或＂不可能＂，因为你根本还没有去做！ ３0．成功不是靠梦想和希望，而是靠努力和实践． ３1．只有在天空最暗的时候，才可以看到天上的星星． ３2．上帝说：你要什么便取什么，但是要付出相当的代价． ３3．现在站在什么地方不重要，重要的是你往什么方向移动。 ３4．宁可辛苦一阵子，不要苦一辈子． ３5．为成功找方法，不为失败找借口． ３6．不断反思自己的弱点，是让自己获得更好成功的优良习惯。 ３7．垃圾桶哲学：别人不要做的事，我拣来做！ ３8．不一定要做最大的，但要做最好的． ３9．死的方式由上帝决定，活的方式由自己决定！ ４0．成功是动词，不是名词！ 20、不要只会吃奶，要学会吃干粮，尤其是粗茶淡饭。
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A学习目标知识建构§11.1 与三角形有关的线段11.1.1 三角形的边1．理解三角形及三角形边、内角、顶点的概念，会用符号语言表示它们． 2．理解“三角形两边之和大于第三边”的含义，并会利用这个结论解决问题． 3．帮助学生树立几何知识源于客观实际，用客观实际的观念，激发学生学习的兴趣．三角形1．判断：下列图形是三角形的是（ ）？AAF C B DEBE C B CA ．B ．C ．2．如图 11.1.1-1，线段 AB ， ， ，是三角形的 边 ，点 A ， ， ， 是三角形的 顶点 ，∠A ， ， ，是相邻两边组成的角，叫做三角形的 内角 ．ABC图 11.1.1-13．顶点是 A ，B ，C 的三角形，记作： △ABC ，读作“三角形 ABC ”． 4．如图 11.1.1-1 中，顶点 A 所对的边 BC 用 a 表示，顶点 B 所对的边 用表示，顶点 C 所对的边用 表示．火柴数 356示意图1 11221222形状 等边三角形 等腰三角形 等边三角形 火柴数812D试一试示意图形状形，形，形，形，有条边有条边有条边有条边图形有关概念三角形多边形内角两边组成的角组成的角外角一边与另一边的组成的角一边与的组成的角已知点A（2，-3）B（-1，2）C（-6，-5）D（1，1）2E（4，0）关于x 轴的对称点A’（，）B’（，）C’（，）D’（，）E’（，）关于y 轴的对称点A’（，）B’’（，）C’（’，）D’（’，）E’’（，）算式公式中的a公式中的ba2 -b2化简结果(a + 4)(a - 4)(1- 5y)(1+ 5y)(-2x + 3)(-2x - 3)( p2 -1q2 )( p2 +1q2 )2 2（1）（）．（2）(x - 4)2 =x2 - 4x +16（）．（3）(2 - 6 p)2 = 4 -12 + 6 p2（）．（4）(-3a - 2)2 = 9a2 - 6a + 4（）．（5）(-2m + 2n)2 = 4m2 + 8mn + 4n2（）．。
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高线
直角三角形：其中两条高恰好是直角边
垂心
钝角三角形：其中两条高线在三角形外部
3. 与三角形有关的角
（1）三角形的内角 ①三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180 度。 ②证明方法：剪拼成平角、通过做平行线构造平角、构造两平行线下的同旁内角。
（2）三角形的外角 ①定义：三角形的一边与另一条边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 ②结论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；三角形的一个外角大于与它不相 邻的任何一个角。
点 (a, b) 关于二、四象限角平分线的对称点为 (-b,-a)
②在坐标系中作一个已知图形的对称图形的方法：只要找到已知图形中一些特殊点（如多边 形的顶点）的对称点的坐标，描出并连接这些点，就可以得到这个图形的轴对称图形。
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人教版初中数学八年级（上册）知识点总结 3. 等腰三角形
（1）等腰三角形的定义 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰的 夹角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。 （2）等腰三角形的性质 性质 1：等腰三角形的两个底角相等。（简写成“等边对等角”） 性质 2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。（简称“三线合 一”，其中这条线所在的直线就是它的对称轴。） （3）等腰三角形的判定 ①利用定义。 ②如果一个三角形有两个角相等，则这两个角所对的边也相等。（简称“等角对等边”） （4）等边三角形的性质和判定方法 性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于 60 度。 判定方法： ①利用定义：三边都相等的三角形是等腰三角形。 ②三个角都相等的三角形都是等边三角形。 ③有一个角是 60 度的等腰三角形是等边三角形。 （5）含 30 度角的直角三角形的性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30 度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
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§11.1 与三角形有关的线段11.1.1 三角形的边1．理解三角形及三角形边、内角、顶点的概念，会用符号语言表示它们． 2．理解“三角形两边之和大于第三边”的含义，并会利用这个结论解决问题． 3．帮助学生树立几何知识源于客观实际，用客观实际的观念，激发学生学习的兴趣．三角形 1．判断：下列图形是三角形的是（ ）？A ．B ．C ．2．如图11.1.1-1，线段AB ， ， ，是三角形的 边 ，点A ， ， ，是三角形的 顶点 ，∠A ， ， ，是相邻两边组成的角，叫做三角形的 内角 ．图11.1.1-13．顶点是A ，B ，C 的三角形，记作： △ABC ，读作“三角形ABC ”． 4．如图11.1.1-1中，顶点A 所对的边 BC 用 表示，顶点B 所对的边 用 表示，顶点C 所对的边 用 表示．EFDC BAAC EDB CBACBA试一试a答案：1．C ； 2．BC ，CD ，B ，C ，∠B ，∠C ； 4．AC ，b ，AB ，c ；小结：不在，首尾顺次；三角形的三边关系1．⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩三边都不相等的三角形三角形底边和腰不相等的等腰三角形2．对于任何一个△ABC ：（1）把顶点A ，B 看成定点，由“两点之间，线段最短”，可得 ．（2）把顶点B ，C 看成定点，由“两点之间，线段最短”，可得 ． （2）把顶点 , 看成定点，由“ ， ”，可得 ． 3．由AC BC AB +>，AB BC AC +>移项可得， ， ．由AC BC AB +>， 移项可得， ， ． 由 ， 移项可得， ， ． 答案：1．等腰三角形，等边三角形；2．AB AC BC +>，A ，C ，两点之间，线段最短，AB BC AC +>；小结：大于；3．AB AC BC +>，AC AB BC >-,AC BC AB >-,AB BC AC +>,AB AC BC +>,AB AC BC >-,AB BC AC >-；小结：小于．学习迁移题组一：三角形的认识1．下面图形中哪些是三角形，哪些不是（是的打“√”，不是的打“×”）做一做试一试AC BC AB +>BC AB AC >-BC AC AB >-2． 图11.1.1-3中有几个三角形？用符号表示这些三角形．3．判断正误（正确的填“√”，错误的填“╳”） （1）有三个角的图形一定是三角形.（ ） （2）由三条线段围成的图形叫三角形.（ ）答案：1．√，╳，╳，╳，╳，╳，√；2．5个，△ABC ，△BCD ，△BCE ，△ABE ，△CDE ； 3．╳，╳；小结：线段，首尾顺次．题组二：与三角形边长有关的计算1．下列长度的三条线段能否组成三角形？（能够组成的填“√”，不能组成的填“╳”）（1）4，6，11．（ ） （2）5，6，11．（ ） （3）5，6，10．（ ）2．已知三角形的两边长分别为3cm 和8cm ，则此三角形的第三边的长可能是（ ）. A ．4cm B ．5cm C ．6cm D ．13cmEDCBA做一做做一做3．用一条长为18cm 的细绳围成一个等腰三角形． （1）如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？ （2）能围成有一边的长是4cm 的等腰三角形吗？为什么？答案：1．╳，╳，√； 2．C ；3．（1）3.6cm ，7.2cm ，7.2cm ；（2）能，略．1．已知a ，b ，c 为△ABC 的边长，b ，c 满足()2230b c -+-=，且a 为方程42x -=的解，则△ABC 的形状是（ ）.A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形2．在平面内，分别用3根、5根、6根、…火柴首尾依次相接，能搭成什么形状的三角形？通过尝试，列表表示如下，请阅读下表后，再回答问题：（1）4根火柴能搭成三角形吗？答： .（2）8根、12根火柴能搭成几种不同相状的三角形？ 请在下表中画出它们的示意图.答案：1．B ；2．（1）不能；（2）8根火柴能搭成1种三角形，三边长分别为2,3,3；12根火柴能搭成3种三角形，三边长分别为4,4,4或2,5,5或3,4,5．11.1.2 三角形的高、中线与角平分线1．理解三角形的高、中线与角平分线的概念，会画这些基本线段． 2．了解三角形中心的概念，并会利用这个结论解决问题．3．通过画图，探索和认识三角形的三条中线、三条角平分线、三条高所在的直线的交点问题．高 1．如图11.1.2-1，请画出△ABC 中边BC 上的高．图11.1.2-1AB C试一试2．如图11.1.2-2，请画出△ABC 中边BC 上的高．图11.1.2-23．如图11.1.2-3，请画出△ABC 中边BC 上的高．图11.1.2-3答案：1．略； 2．略； 3．略；小结：直线，垂线；中线1．三角形中线的定义：如图11.1.2-5，连接△AB C 的顶点A 和它所对的边BC 的 ，所得线段AD 叫做边BC 上的 中线 ．请在图中画出△ABC 的其它中线.图11.1.2-5ABCB CAD AB C试一试2．如图11.1.2-2，请画出△ABC 的所有中线．图11.1.2-23．如图11.1.2-3，请画出△ABC 的所有中线．图11.1.2-3答案：1．中点，略；小结：AD ，CD ，AC ；2．略； 3．略；小结：三，一点．角平分线1．三角形角平分线的定义：如图11.1.2-7，画∠A 的 AD ，交∠A 所对的边BC 于点D ，所得线段AD 叫做△ABC 的 角平分线 .AB CB CA试一试图11.1.2-7答案：1．平分线；小结：∠2，∠ABC ，∠4．学习迁移题组一：高线的运用1．已知AD 是△ABC 的高，∠BAD =62°，∠CAD =28°，求∠BAC 的度数.答案：1．90°或50°；小结：内部、外部、边上.做一做题组二：中线的运用1．已知在△ABC中，AD 是中线，若△AB D 的周长比△ACD 的周长小2cm ，且AB =3cm ，则AC = .2．在△ABC 中，AB =AC ，AC 边上的中线BD 把△ABC 的周长分为12和15两部分，求三角形各边的长.答案：1．5cm ； 2．AB =AC =8，BC =11，或AB =AC =10，BC =7；小结：三边不等．题组三：角平分线的运用1．如图11.1.2-9，AE 是△ABC 的角平分线，AD 是△AEC 的角平分线，若∠BAC =80°，那么∠EAD =（ ）.图11.1.2-9A ．30°B ．45°C ．20°D ．60°AB D CE做一做做一做答案：1．C； 2．C；3．（1）3.6cm，7.2cm，7.2cm；（2）能，略．1．如图11.1.2-10 ，已知D，E分别是△ABG的边BC和边AC的中点，连接DE，AD，若S△ABC=24cm2，则△DEC的面积为cm2.图11.1.2-102．不等腰△ABC的两条高的长度分别为4和12，若第三条高的长为整数，试求第三条高的长.答案：1．6；2．设长度为4和12的高分别是边a，b上的，边c上的高为h，△ABC的面积为S，则有a=24S，b=212S，c=2Sh，由得36h<<，而△ABC为不等边三角形，且h为整数，故h=5．11.1.3三角形的稳定性AB D CE1．了解三角形的稳定性，并会利用三角形的稳定性解决一些实际问题．2．引导学生通过实验探究三角形的稳定性，培养其独立思考的学习习惯和动手能力．三角形的稳定性1．工程建筑中经常要采用三角形的结构，如屋顶钢架（如图11.1.3-1）其中的道理是什么？图11.1.3-12．如图11.1.3-2，试将三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？图11.1.3-23．如图11.1.3-3，试将四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？图11.1.3-34．如图11.1.3-4，试将四边形木架上再钉一根木条，将它的一对不相邻的顶点连接起来，然后再扭动它，这时木架的形状还会改变吗？为什么？试一试图11.1.3-4答案：1．三角形具有稳定性；2．不会； 3．会； 4．不会，因为斜钉一根木条后，四边形变成两个三角形；小结：稳定，不稳定 ；学习迁移题组一：三角形稳定性的运用1．下列图形中有稳定性的是（ ）.A ．正方形B ．长方形C ．直角三角形D ．平行四边形 2．下列图形中那些具有稳定性？(1) (2) (3)(4) (5) (6)3．要使四边形木架（用4根木条钉成）不变形，至少要再钉上几根木条？五边形木架和六边形木架呢？做一做答案：1．C ；2．(1)、(4)、(6)；3．1根、2根、3根；小结：三角形.§11.2 与三角形有关的角11.2.1 三角形的内角1．探索和证明与三角形的内角有关的结论（三角形的内角和定于180°，直角三角形的两个锐角互余），并运用这些结论解决问题．2．学会利用平行线的性质与平角的定义给出三角形内角和的证明．3．通过从已做过的实验入手，一方面激发学生的兴趣，另一方面可以使学生从实验发现证明的思路．三角形内角和定理的证明 1．探究：在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起，就得到一个平角，从这个操作过程中，你能发现证明三角形内角和定理的思路吗？ 2．观察图11.2.1中三角形三个内角的拼合方法，回答以下问题：试一试图11.2.1-1（1）在图（1）中，∠B ∠B '，∠C ∠C '，∠A +∠B '+∠C '= ；在图（2）中，∠A ∠A '，∠B ∠B '，∠A '+∠B '+∠C = ； （2）在图（1）中，直线l 与△ABC 的边BC 有什么关系？（3）由上图你能想出证明“三角形的内角和等于180°”的方法吗？试写出证明过程．答案：1．180°； 2．略； 3．（1）=，=，180°；=，=，180°，（2）直线l 应平行于边BC ，（3）略；小结：180°；直角三角形内角和有关结论1．一个平角是 °，1个平角等于 个直角．2．如图11.2.1-2，在直角三角形ABC 中，∠C = ，由三角形内角和定理，得∠A +∠B +∠C = ，故∠A +∠B = ．图11.2.1-2AB C试一试''''3．如图11.2.1-3，在△ABC 中，若∠A +∠C =90°，那么∠B．图11.2.1-3答案：1．180，2；2．90°，180°，90°；小结：互余，Rt △ABC ；3．互余；小结：直角三角形．学习迁移题组一：已知三角形的两个内角求第三个内角1．如图11.2.1-4，AD ⊥BC ，∠1=∠2，∠C =65°，求∠BAC 的度数．图11.2.1-42．如图11.2.1-5，∠A =40°，则∠1+∠2+∠3+∠4= ．图11.2.1-5CA B做一做答案：1．70°；2．280°；3．直角三角形；小结：三角.题组二：已知角的关系求角度1．在△ABC 中，已知∠A +∠B =80°，∠C =2∠B ，试求∠A ，∠B 和∠C 的度数．2．在△ABC 中，若∠A =12∠B =13∠C ，试判断该三角形的形状．3．在△ABC 中，∠B =∠A +10°，∠C =∠B +10°，求△ABC 的各内角的度数．答案：1．∠A =30°，∠B =50°，∠C =100°；2．直角三角形；3．∠A =50°，∠B =60°，∠C =70°．1．如图11.2.1-6 ，BO ，CO 分别为∠ABC ，∠ACB 的平分线，它们的交点为O ，若∠BOC =100°，则∠A = ．小结：代数法解几何计算的基本思路：通过设元，将问题转化为解方程（组）或解不等式（组）．做一做图11.2.1-62．在△ABC 中，∠A=50°，高BE ，CF .交于点O ，则∠BOC = ．答案：1．20°；2．分情况讨论：当△ABC 是锐角三角形时，∵BE ，CF 分别是△ABC 的高，∴∠A +∠1=90°，∠1+∠2=90°，∴∠2=∠A =50°，∴∠BOC =180°-∠2=130°；当△AB C 是钝角三角形时，∵BE ，CF 分别是△ABC 的高，∴∠1+∠A =90°，∠2+∠O =90°.又∵∠1=∠2.∴∠O =∠A =50°．11.2.2 三角形的外角1．了解三角形外角的概念及性质，并会运用三角形内角和定理、外角的性质解决相关问题．2．通过观察和画图，体会探索过程，学会推理的数学思想方法，培养主动探索、勇于发现，敢于实践及合作交流的习惯．OCBA三角形的外角 1．如图11.2.2-1，把三角形的一边BC 延长，得到∠ACD ，则∠ACB 为△ABC 的 角，∠ACD 为△ABC 的 外 角，∠ACB +∠ACD = °．图11.2.2-12．如图11.2.2-2，在△ABC 中，∠A =60°，∠C =50°，∠ABD 是△ABC 的一个外角，则∠ABC +∠ABD = °，又∠ABC +∠A +∠C = °，故∠ABD ∠A +∠C ．图11.2.2-2答案：1．180；小结：延长线，补角；2．180，180，=；小结：不相邻，和.学习迁移题组一：三角形外角的定义1．写出下列图形中∠1和∠2的度数.做一做试一试∠1= ，∠2=∠1= ，∠2=∠1= ，∠2=2．如图11.2.2-3，下列选项中均为△ABC 外角的为（ ）.A ．∠1和∠2B ．∠2和∠3C ．∠1和∠3D ．∠1、∠2和∠3图11.2.2-3答案：1．40°，140°，110°，70°，50°，140°；2．C ；小结：2，对顶，6.题组二：三角形外角性质的运用1．如图11.2.2-4，∠BAE ，∠CBF ，∠ACD 是△ABC 的三个外角，它们的和是多少？.做一做图11.2.2-42．如图11.2.2-5，已知在△ABC 中，∠B 和∠C 的外角平分线相较于点P ，若∠BD C =40°，则∠A = ．图11.2.2-5答案：1．360°； 2．100°．1．如图11.2.2-6 ，求∠A +∠B +∠C +∠D +∠E 的度数.FDCBA小结：外角可以把不在同一三角形中的几个角联系起来，也是不同三角形的内角之间相互转换的“桥梁”．图11.1.2-6答案：1．过程略，180°．§11.3 多边形及其内角和11.3.1 多边形1．了解多边形及有关概念，理解正多边形及其有关概念．2．通过类比三角形的概念归纳多边形的概念，能由实物中辨别寻找出几何图形，由几何图形联想或设计一些实物形状，丰富学生对几何图形的感性认识．多边形的定义 AEB CD试一试1．请仿照三角形的定义给多边形定义.三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段 相接所组成的图形叫做三角形．多边形的定义：由不在同一条直线上的 线段 相接所组成的 封闭 图形叫做多边形．2．填空：形，形， 形， 形， 有 条边 有 条边 有 条边 有 条边 答案：1．首尾顺次，一些，首尾顺次； 2．三角，四边，五边，六边；小结：n边；多边形的有关概念试一试2．图11.3.1-1分别是四边形和五边形及其所有的对角线，请根据图归纳出多边形对角线的概念.图11.3.1-13．图11.3.1-2是正多边形的一些例子，请利用直尺、量角器等度量工具寻找正多边形的特征．正方形 正五边形 正六边形图11.3.1-2ABDCABDCEFABCDE答案：1．相邻，相邻两边，延长线，它的邻边，延长线；小结：相邻两边，邻边，延长线；小结：图略，不相邻，线段； 3．互余；小结：各条边．学习迁移题组一：多边形的认识1．判断下列图形是否为多边形．（ ） （ ） （ ）（ ）2．下列说法正确的个数有（ ）（1）由四条线段首尾顺次相接组成的图形是四边形； （2）各边都相等的多边形是正多边形； （3）各角都相等的多边形不一定是正多边形； （4）正多边形的各个外角都相等.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案：1．╳，√，╳，╳；2．A ；小结：线段，首尾顺次.做一做题组二：多边形的内角、外角和对角线做一做1．画出下列多边形的全部对角线．2．若从一个多边形的一个顶点出发,最多可以引10条对角线，则它是（）．A．十三边形 B．十二边形C．十一边形D．十边形3．填空：（1）从四边形的一个顶点出发没可以画出条对角线，四边形共有条对角线；（2）从五边形的一个顶点出发没可以画出条对角线，五边形共有条对角线；（3）从六边形的一个顶点出发没可以画出条对角线，六边形共有条对角线；（4）从n 边形的一个顶点出发没可以画出 条对角线，n 边形共有 条对角线．答案：1．图略；2．A ；3．1，2，2，5，3，9，()3n -，()32n n -；小结：()3n -，()32n n -．1．有一个家庭联谊会，参加的家庭全部是三口之家，在联谊会期间，每个人都要和别的家庭的每个成员握一次手．（1）若参加会议的人数为15，则一共要握手多少次？ （2）若一共握手170次，则参加会议的人数是多少？答案：1．（1）90次，（2）20人（提示：将每个三口之家的成员视为多边形相邻的三个顶点，则握手次数即为多边形对角线的总数）．11.3.2 多边形的内角和1．了解多边形的内角和与外角和公式，进一步了解转化的数学思想． 2．通过把多边形转化为三角形，体会转化思想在几何中的运用，让学生体会从特殊到一般的认识问题的方法．3．通过探索多边形的内角和与外角和，让学生尝试从不同的角度寻求解决问题的方法，并能有效地解决问题．多边形内角和公式 1．补充图形并根据所画的图填空：（1）（2）（3）试一试三角形的内角和等于 ．四边形从一个顶点出发，可以引 条对角线，它们将四边形分成 个三角形，所以四边形的内角和等于 .五边形从一个顶点出发，可以引 条对角线，它们将五边形分成 个三角形，所以五边形的内角和等于 .（4）（5）答案：1．（1）180°；（2）1，2，1802360⨯=；（3）2，3，1803540⨯=；（4）3，4，1804720⨯=；（5）3n -，2n -，()2180n -⨯；小结：()2180n -⨯；多边形的外角和1．观察图11.3.2-1并填空．图11.3.2-1（1）∠1+∠EAB = ，∠2+∠ABC = ，试一试六边形从一个顶点出发，可以引 条对角线，它们将六边形分成 个三角形，所以六边形的内角和等于 .n 边形从一个顶点出发，可以引 条对角线，它们将n 边形分成 个三角形，所以n 边形的内角和等于 .……∠3+∠BCD = ，∠4+∠CDE = ， ∠5+∠DEA = ，∠1+∠EAB+∠2+∠ABC+∠3+∠BCD+∠4+∠CDE+∠5+∠DEA = ； （2）∠EAB +∠ABC +∠BCD +∠CDE +∠DEA = ； （3）∠1+∠2+∠3+∠4+∠5= ；（4）五边形外角和计算公式：5⨯ -() 0 18-⨯= 180⨯= ， 六边形外角和计算公式： = = ， ……n 边形外角和计算公式： = = ．答案：1．（1）180°，180°，180°，180°，180°，900°；（2）540°；（3）360°；（4）180°，5，2，360°，() 626180180⨯--⨯，2180⨯，360，()2180180 n n ⨯--⨯，2180⨯，360；小结：360．学习迁移题组一：多边形内角和的运用1．一个多边形的边数增加2条，则它的内角和增加（ ）． A ．180° B ．90° C ．360° D ．540°2．如果一个正多边形的一个内角等于150°，则这个多边形的边数是（ ）． A ．12 B ．9 C ．8 D ．73．一个n 边形除了一个内角之外，其余各内角之和是780°，则这个多边形的边数n 的值是多少？做一做答案：1．C ；2．A ；3．7.题组二：多边形外角和的运用1．在△ABC 中，与∠A ，∠B ，∠C 相邻的外角度数比是5：4：3，则△ABC 的最大内角是 ．2．四边形的四个外角度数之比1：2：3：4，则相应各内角度数之比为 ． 3．多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1350°． （1）求多边形的边数．（2）此多边形必有一内角为多少度？答案：1．90°；2．4：3：2：1；3．直角三角形；3．（1）九边形；（2）90°．1．一个多边形截去一个角后，形成新多边形的内角和为2520°，则原多边形的边数为（ ）．A ．15B ．16C ．17D ．15或16或172．如果一个多边形的所有内角从小到大排列起来，恰好依次增加相同的度数，设最小角的度数为100°，最大角的度数为140°，求这个多边形的边数．小结：多边形外角和常有以下运用：（1）已知各相等外角度数求多边形边数； （2）已知多边形边数求各外角度数小结：运用内角和定理：（1）已知边数，求内角和（用代数式的值）； （2）已知内角和，求边数（构建方程）．做一做答案：1．D （解答本题需要排除的干扰信息：常常认为截去一个角是减少了一个角）；2．设这个多边形的边数为n ，依题意有：()10014021802n n +⋅=-⋅，即120180360n n =-，6n ∴=．§12.1全等三角形1．理解全等和形全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角．2．掌握全等三角形的性质3．在图形变换以及实际操作的过程中发展学生的空间观念，培养学生的几何直觉和识图能力，并获得用数学的思想方法处理问题的能力．全等形和全等三角形1．观察：下列图形有什么共同的特点？如果经过平移、旋转、翻折后叠放在一起它们是否能够完全重合？试一试2．探究：在图12.1-1中，把△ABC 沿直线BC 平移，得到△DEF .在图12.1-2中，把△ABC 沿直线BC 翻折，得到△DBC .在图12.1-3中，把△ABC 绕点A 旋转，得到△ADE .各图中变换前后的两个三角形全等吗？⇒图12.1-1 图12.1-2图12.1-3答案： 1．都有形状、大小相同的图形，可以；小结：重合，重合； 2．全等；小结：全等；全等三角形的性质1．观察图11.2-2并完成填空：C B A F E DDAC B EDB C A试一试⇒图11.2-2当△ABC 和△DEF 经过平移再次重合时，（1）点A 与点 重合，点B 与点 重合，点C 与点 重合；（2）AB 与 重合，BC 与 重合，CA 与 重合；（3）∠A 与 重合，∠B 与 重合，∠C 与 重合，故我们称点A 与点 ，点B 与点 ，点C 与点 是对应顶点，AB 与 ，BC 与 ，CA 与 是对应边，∠A 与 ，∠B 与 ，∠C 与 是对应角．学习迁移题组一：对应边、对应角的识别1．如图12.1-4，△OCA ≅△OBD ，请写出这两个三角形中相等的边和角．图12.1-42．已知：如图12.1-2，△ABC ≌△FDE . C B A F E DD B CAO做一做图12.1-2（1）若AB =10 cm ，则FD 的长为 ；（2）若∠A =80°，则∠D 的度数为 ；（3）若∠A =80°，∠B =40°，求∠E 的度数为 .答案：1．AC=BD ，AO=DO ，CO=BO ，∠A =∠D ，∠B =∠C ，∠COA =∠BOD ；2．10cm ，100°，60°；小结：对应边，对应角.题组二：全等三角形性质的运用1．如图12.1-5，△ABE 和△ADC 是△ABC 分别沿着AB ，AC 边翻折180°形成的，若∠1：∠2：∠3=28：5：3，则α∠的度数为（ ）．A ．70°B ．75°C ． 80°D ．85°图12.1-52．如图12.1-6，△ABC 中，点A 的坐标为（0，1），点C 的坐标为（4，3），如果要使△ABD 与△ABC 全等，那么点D 的坐标是 _________．F E DB C A做一做图12.1-63．如图12.1-6将一张矩形的纸片ABCD沿EF折叠，使点D与点B重合，请你观察图形，有全等三角形吗？请说明理由．图12.1-6答案：1．C；2．（4，﹣1）或（﹣1，3）或（﹣1，﹣1）；3．△ABE≌△GBF．理由：由四边形ABCD是矩形，知AB=CD，∠A=∠D=∠ABC=∠C=90°，由图形的折叠，知CD=GB，∠D=∠EBG=90°，∠C=∠G=90°，AB=GB，∠A=∠G，∠ABC=∠EBG，∴∠ABC-∠EBF=∠EBG-∠EBF，即∠ABE=∠GBF．故△ABE≌△GBF．小结：平移，翻折，旋转．1．如图所示是一个等边三角形，按下列要求分割图形：（1）用1条线段把图①分割成2个全等三角形图形；（2）用3条线段把图②分割成3个全等三角形图形；（3）用3条线段把图③分割成4个全等三角形图形．图①图②图③答案：1．图略（提示：①作高；②作角平分线；③连接各中点）．§12.2三角形全等的判定1．理解三角形全等的判定定理，初步应用各种条件判定两个三角形全等，能够进行有条理的思考并进行简单的推理．2．经历探索三角形全等的判定的过程，体验用操作、归纳得出数学结论的过程，培养学生的动手能力以及发现、归纳、总结问题的能力．三角形全等的判定条件试一试1．如图12.2-1，△ABC ≅△A’B’C’，故有：图12.2-1 （1）AB = ，BC = ，A ’C’= ；（2）∠A = ，∠B = ，∠C’= ；（3）根据全等三角形的定义，如果△ABC 与△A’B’C’满足 分别相等、分别相等这六个条件，就能判定△ABC ≅△A’B’C’．2．探究：是否一定要满足全部六个条件，才能保证两个三角形全等呢？（1）当满足一个条件时，△ABC 与△A’B’C’全等吗？①任意一边对应相等，试画出不全等的两个三角形：②任意一角对应相等，试画出不全等的两个三角形：（2）当满足两个条件时，△ABC 与△A ’B’C’全等吗？①任意两边对应相等，试画出不全等的两个三角形：②任意两角对应相等，试画出不全等的两个三角形：C B A C'B'A'A BB'A'B B'B A C C'B'A'③任意一边及一角对应相等，试画出不全等的两个三角形：（3）当满足三个条件时，分别有几种情况呢？答案：1．（1）A ’B ’，B ’ C ’，AC ；（2）∠A ’，∠B ’，∠C ；（3）三个角，三条边；2．（1）①图略，②图略；（2）①图略，②图略，③图略；（3）三个角，三条边，两边一角，两角一边．“边边边”1．画一画：如图12.2-2是△ABC ，请根据下列步骤画出图形，并说说所画图形与已知△ABC 的关系.（1）画出B ’C ’=BC ；（2）分别以点B ’，C ’为圆心，线段AB ，AC 长为半径画弧，两弧相交于点A ’；（3）连接线段A ’B ’，A ’C ’ .图12.2-2C B B'C'B C B 'C 'AB C试一试答案：1．图略；小结：三边，边边边． “边角边”1．画一画：如图12.2-2是△ABC ，请根据下列步骤画出图形，并说说所画图形与已知△ABC 的关系.（1）画∠DA ’E =∠A ；（2）在射线A ’D 上截取A ’B ’=AB ，在射线AE 上截取A ’C ’=AC ；（3）连接线段B ’C ’ .图12.2-2答案：1．图略；小结：两边，它们的夹角，边角边．“角边角”&“角角边”1．画一画：如图12.2-2是△ABC ，请根据下列步骤画出图形，并说说所画图形与已知△ABC 的关系.（1）画A ’B ’=AB ；（2）在A ’B ’的同旁画∠DA’B’=∠A ，∠EB’A’=∠B ，A’D ，B’E 相交于点C’.图12.2-2 AB C AB C试一试试一试2．请补全下列解题步骤：如图12.2-3，在△ABC 和△DEF 中，∠A =∠D ，∠B =∠E ，BC =EF .求证△ABC≅△DEF ．证明：在△ABC 中，∠A +∠B +∠C =180°， ∴∠C =180°-∠A -∠B . 同理∠F =180°-∠D -∠E . 又∠A =∠D ，∠B =∠E ， ∴∠ =∠ . 在△ABC 和△DEF 中，B EBC EF C F ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABC ≅△DEF （ ）答案：1．图略；小结：两角，它们的夹边，角边角；2．C ，F ，ASA ；小结：两角，对边，角角边．“斜边直角边”1．画一画：如图12.2-4是Rt △ABC ，请根据下列步骤画出图形，并说说所画图形与已知Rt △ABC 的关系. （1）画∠MC ’N =90°；（2）在射线C ’M 上截取B ’C ’=BC ；（3）以点B ’为圆心，AB 长为半径画弧，交射线C ’N .图12.2-4AB C试一试答案：1．图略；小结：斜边，一条直角边，斜边直角边．学习迁移题组：补充条件证明全等1．如图12.2-5，点B ，E ，C ，F 在同一条直线上，AB =DE ，AC =DF ，BE=CF .求证：△ABC ≅△DEF ．图12.2-52．如图12.2-6，AB ，CD 交于点O ，E ，F 为AB 上两点，OA =OB ，OE =OF ，∠A =∠B ，∠ACE =∠BDF ，求证：△ACE ≅△BDF ．图12.2-6DFC E B AOFEDCBA做一做3．如图12.2-7，F 是△ABC 的AB 边上的一点，DF 交AC 于点E ，DE =EF ，AB ∥CD ，求证：△AFE △CDE ．图12.2-74．如图12.2-8，D 是△ABC 的BC 边上的一点，且AD ⊥BC ，E 是AD 上的以点，且EB =EC ，求证：∠BAE =∠CAE ．图12.2-8EDCBFAD CB EA答案：1．略（提示：用“SSS ”证全等）；小结：SSS ，SAS ；2．略（提示：用“AAS ”或“ASA ”证全等）；小结：ASA ；3．略（提示：用“ASA ”证全等）； 4．略（提示：用“HL ”和“SAS ”证两次全等）.1．如图12.2-9，已知：AB =AE ，∠B =∠E ，BC =ED ，点F 是CD 的中点，求证：AF ⊥CD ．图12.2-9答案：1．略（提示：作辅助线AC 、AD ）．EDF CBA小结：一般三角形全等的判定方法（“SSS ”、“SAS ”、“ASA ”、“AAS ”）对于直角三角形同样适用．§12.3角的平分线的性质1．掌握用尺规作已知角的平分线的方法，理解角平分线的性质和判定．2．在探究角的平分线的判定定理的过程中,进一步发展学生的推理证明意识和能力．作已知角的平分线1．如图12.3-1是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC．将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是这个叫的角平分线，试证明它的道理．图12.3-1试一试答案：1．在△ABC 和△ADC 中，AB AD BC DC AC AC =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ABC ≅△ADC （SSS ）， ∴∠BAC =∠DAC ．∴AE 是∠BAD 的平分线；小结：O ，OA ，M （任意命名均可），OB ，N （任意命名均可），M ，N ，MN ．角平分线的性质1．（1）请用尺规作图作出图12.3-2中∠AOB 的平分线OC ；图12.3-2（2）在OC 上任取一点P ，过点P 画出OA ，OB 的垂线，垂足分别为D ，E ，测量PD ，PE 的长度并作比较，你得到什么结论？O AB试一试图12.3-3（3）通过（2）中的测量，你猜想角的平分线具有什么样的性质？试证明．图12.3-4答案：1．（1），（2）PE =PD ，（3）猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，证明：PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，∴∠PDO =∠PEO =90°.在△PDO 和△PE O 中，PDO PEOAOC BOC OP OP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△PDO≅△PEO （AAS ）.∴PD =PE ；小结：角的两边，相等．CBO ADEPOB CA MNCBOA角平分线的判定1．角的平分线上的点到角的两边的距离相等，那么到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？试利用三角形全等证明.答案：1．略（提示：HL ）；小结：平分线．学习迁移题组一：角平分线性质的运用1．在三角形内部，到三角形三边的距离相等的点是（ ）． A ．三条高的交点 B ．三条中线的交点 C ．三角角平分线的交点 D ．不能确定2．已知在△ABC 中，∠C =90°，AD 平分∠BAC ，AB =5cm ，CD =2cm ，则△ABD 的面积等于 ．3．如图12.3-5，在△ABC 中，∠C =90°，AC =BC ，AD 平分∠CAB ，并交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，若AB =6cm ，求△DEB 的周长．BE OA D做一做试一试图12.3-5答案：1．C ；2．5cm 2；3．AC 平分∠CAB ，∠C =90°，DE ⊥AB ，∴CD =DE .在Rt △ACD 和Rt △AED 中，AD AD CD ED =⎧⎨=⎩，∴Rt △ACD ≅Rt △AED （HL ），∴AC =AE =CB ，AB =6cm ，∴△DEB 的周长=DB +DE +EB =CD +DB +EB =CB +EB =AE +EB =AB =6cm ；小结：线段，首尾顺次.题组二：角平分线的判定1．如图12.3-6，∠B =∠C =90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC ．求证：AM 平分∠DAB ．图12.3-62．如图12.3-7，Rt △ABC 中，∠C =90°，沿过点B 的一条直线BE 折叠△ABC ，EDCBAADB CM 小结：角平分线的性质在证明线段、角相等或三角形全等中经常用到.做一做点C 恰好落在AB 的中点D 处，则∠A 的度数是 ．图12.3-7答案：1．过M 作MN ⊥AD 与N .DM 平分∠ADC ，MN ⊥AD ，MC ⊥CD ，∴MC =MN ，又M 是BC 的中点，则MB =MC .∴MB =MN .又MN ⊥AD ，MB ⊥AB .AM 平分∠DAB ；2．30°；小结：角．1．如图12.3-8所示，某铁路MN 与公路PQ 相交于点O ，且夹角为90°，其仓库G 在A 区，到公路和铁路距离相等，且到铁路图上距离为1cm ． （1）在图上标出仓库G 的位置．（比例尺为1∶10000，用尺规作图）； （2）求出仓库G 到铁路的实际距离．图12.3-8答案：1．（1）图略，（2）100m （0.1km ）．EABCDA 区ONQMP。
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处处都有三角形的身影.结合以上的实际使学生了解到:我们所研究的“三角形”这个课题来源于实际生活之中.学生活动:(1)交流在日常生活中所看到的三角形.(2)选派代表说明三角形的存在于我们的生活之中.2.板书:在黑板上老师画出以下几个图形.(1)教师引导学生观察上图:区别三条线段是否存在首尾顺序相接所组成的.图(1)三条线段AC、CB、AB是否首尾顺序相接.(是)(2)观察发现,以上的图,哪些是三角形?(3)描述三角形的特点:板书:“不在一直线上三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形”.教师提问:上述对三角形的描述中你认为有几个部分要引起重视.学生回答:a.不在一直线上的三条线段.b.首尾顺次相接.二、读一读指导学生阅读课本P2,第一部分至思考,一段课文,并回答以下问题:(1)什么叫三角形?(2)三角形有几条边?有几个内角?有几个顶点?(3)三角形ABC用符号表示________.(4)三角形ABC的边AB、AC和BC可用小写字母分别表示为________.三角形有三条边,三个内角,三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角; 相邻两边的公共端点是三角形的顶点, 三角形ABC用符号表示为△ABC,三角形ABC的三边,AB可用边AB的所对的角C的小写字母c 表示,AC可用b表示,BC可用a表示.三、做一做画出一个△ABC,假设有一只小虫要从B点出发,沿三角形的边爬到C,它有几种路线可以选择?各条路线的长一样吗?同学们在画图计算的过程中,展开议论,并指定回答以上问题:(1)小虫从B出发沿三角形的边爬到C有如下几条路线.a.从B→Cb.从B→A→C(2)从B沿边BC到C的路线长为BC的长.从B沿边BA到A,从A沿边C到C的路线长为BA+AC.经过测量可以说BA+AC>BC,可以说这两条路线的长是不一样的.四、议一议1.在同一个三角形中,任意两边之和与第三边有什么关系?2.在同一个三角形中,任意两边之差与第三边有什么关系?3.三角形三边有怎样的不等关系?通过动手实验同学们可以得到哪些结论?三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边.五、想一想三角形按边分可以,分成几类?六、练一练有三根木棒长分别为3cm、6cm和2cm,用这些木棒能否围成一个三角形?分析:(1)三条线段能否构成一个三角形, 关键在捡判定它们是否符合三角形三边的不等关系,符合即可的构成一个三角形,看不符合就不可能构成一个三角形.(2)要让学生明确两条木棒长为3cm和6cm,要想用三根木棒合起来构成一个三角形,这第三根木棒的长度应介于3cm和9cm之间,由于它的第三根木棒长只有2cm,所以不可能用这三条木棒构成一个三角形.错导:∵3cm+6cm>2cm∴用3cm、6cm、2cm的木棒可以构成一个三角形.错因:三角形的三边之间的关系为任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边,这里3+6>2,没错,可6-3不小于2,所以回答这类问题应先确定最大边,然后看小于最大量的两量之和是否大于最大值,大时就可构成,小时就无法构成.七、忆一忆今天我们学了哪些内容:1.三角形的有关概念(边、角、顶点)2.会用符号表示一个三角形.3.通过实践了解三角形的三边不等关系.八、作业课本P8习题11.2第1、2、6、7题.§11.1.2三角形的高、中线与角平分线教学目标1.经历析纸,画图等实践过程，认识三角形的高、中线与角平分线.2.会用工具准确画出三角形的高、中线与角平分线, 通过画图了解三角形的三条高(及所在直线)交于一点,三角形的三条中线,三条角平分线等都交于一点.重点、难点重点:1.了解三角形的高、中线与角平分线的概念, 会用工具准确画出三角形的高、中线与角平分线.2.了解三角形的三条高、三条中线与三条角平分线分别交于一点.难点:1.三角形平分线与角平分线的区别,三角形的高与垂线的区别.2.钝角三角形高的画法.3.不同的三角形三条高的位置关系.教学过程一、看一看三角形的重要线段意义图形表示法三角形的高线从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段1.AD是△ABC的BC上的高线.2.AD⊥BC于D.3.∠ADB=∠ADC=90°.三角形的中线三角形中,连结一个顶点和它对边中点的线段1.AD是△ABC的BC上的中线.2.BD=DC=BC.三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的线1.AD是△ABC的∠BAC的平分线.2.∠1=∠2=∠BAC.段2.仔细观察投影表中的内容,并回答下面问题.(1)什么叫三角形的高?三角形的高与垂线有何区别和联系? 三角形的高是从三角形的一个顶点向它对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段,而从三角形一个顶点向它对边所在的直线作垂线这条垂线是直线.(2)什么叫三角形的中线?连结两点的线段与过两点的直线有何区别和联系?三角形的中线是连结一个顶点和它对边的中点的线段, 而过两点的直线有着本质的不同,一个代表的是线段,另一个却是直线.(3)什么叫三角形的角平分线?三角形的角平分线与角平分线有何区别和联系?三角形的角平分线是三角形的一个内角平分线与它的对边相交, 这个角顶点与交点之间的线段,而角平分线指的是一条射线.3.三角形的高、中线和角平分线是代表线段还是代表射线或直线?三角形的高、中线和角平分线都代表线段, 这些线段的一个端点是三角形的一个顶点,另一个端点在这个顶点的对边上.二、做一做1.让学生在练习本上画出三角形,并在这个三角形中画出它的三条高.( 如果他们所画的是锐角三角形,接着提出在直角三角形的三条高在哪里?钝角三角形的三条高在那里?)观察这三条高所在的直线的位置有何关系?三角形的三条高交于一点,锐角三角形三条高交点在直角三角形内,直角三角形三条高线交点在直角三角形顶点,而钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部.2.让学生在练习本上画三角形,并在这个三角形中画出它的三条中线.( 如果他们所画的是锐角三角形,接着让他们画出直角三角形和钝角三角形,看看这些三角形的中线在哪里)?观察这三条中线的位置有何关系?三角形的三条中线都在三角形内部,它们交于一点,这个交点在三角形内.3.让学生在练习本上画一个三角形,并在这三角形中画出它的三条角平分线,观察这三条角平分线的位置有何关系?无论是锐角三角形还是直角三角形或钝角三角形, 它们的三条角平分线都在三角形内,并且交于一点.三、议一议通过以上观察和操作你发现了哪些规律,并加以总结且与同伴交流.四、练习1.课本P5,练习1.2.2.画钝角三角形的三条高.五、作业1.P8-P9 习题11.1第 3.4.8§11.1.3三角形的稳定性教学目标：通过观察和实地操作得到三角形具有稳定性，四边形没有稳定性，稳定性与没有稳定性在生产、生活中广泛应用重点：了解三角形稳定性在生产、生活的实际应用难点：准确使用三角形稳定性于生产生活之中课前准备：小木条8个，小钉若干教学过程：一、看一看，想一想课本P6投影出来二、做一做1、用三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？2、用四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？3、在四边形的木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连接起来，然后扭动它，它的形状会改变吗？三、议一议从上面实验过程你能得出什么结论？与同伴交流.三角形木架形状不会改变，四边形木架形状会改变，这就是说，三角形具有稳定性，四边形没有稳定性.四、三角形稳定性应用举例、四边形没有稳定性的应用举例五、练一练课本P7练习六、布置作业：课本P8-9习题11.1第5,10.§11.2.1三角形的内角教学目标1 经历实验活动的过程，得出三角形的内角和定理，能用平行线的性质推出这一定理2 能应用三角形内角和定理解决一些简单的实际问题重点：三角形内角和定理难点：三角形内角和定理的推理的过程课前准备每个学生准备好二个由硬纸片剪出的三角形教学过程一、做一做1在所准备的三角形硬纸片上标出三个内角的编码2 让学生动手把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的顶点处，用量角器量出的度数，可得到3 剪下，按图（2）拼在一起，从而还可得到图24 把和剪下按图（3）拼在一起，用量角器量一量的度数，会得到什么结果.二、想一想如果我们不用剪、拼的办法，可不可以用推理论证的方法来说明上面的结论的正确性呢？已知，说明，你有几种方法？结合图（1）、图（2）、图（3）能不能用图（4）也可以说明这个结论成立三、例题如图，C岛在A岛的北偏东方向，B岛在A岛的北偏东方向，C岛在B岛的北偏西方向，从C岛看A、B两岛的视角是多少度？四、练习：课本P13，练习1，2五、布置作业：课本P16习题11.2.1第1，3，4，5题补充练习1 三角形中最大的角是，那么这个三角形是锐角三角形（）2 一个三角形中最多只有一个钝角或直角（）3 一个等腰三角形一定是锐角三角形（）4 一个三角形最少有一个角不大于（）§11.2.2三角形的外角教学目标1使学生在操作活动中，探索并了解三角形的外角的两条性质2利用学过的定理论证这些性质3能利用三角形的外角性质解决实际问题重点：（1）三角形的外角的性质；（2）三角形外角和定理难点：三角形外角的定义及定理的论证过程教学过程一、想一想1三角形的内角和定理是什么？二、做一做把的一边AB延长到D，得，它不是三角形的内角，那它是三角形的什么角？它是三角形的外角.定义：三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角想一想：三角形的外角有几个？每个顶点处有两个外角，但这两个是对顶角三、议一议与的内角有什么关系？（1）（2），再画三角形ABC的外角试一试，还会得到这个性质吗？同学用几何语言叙述这个性质：三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.你能用学过的定理说明这些定理的成立吗？已知：是的外角说明：（1）（2），结合下面图形给予说明四、练一练：课本P15，练习五、作业：课本P16-17，2，6，7，8，9备选题1 如图，是三角形ABC的不同三个外角，则2三角形的三个外角中最多有锐角，最多有个钝角，最多有个直角3的两个内角的一平分线交于点E，，则4已知的的外角平分线交于点D，，那么= 5如图，是外角， + ，是外角，= + ，是外角，= + ，> , >6在中等于和它相邻的外角的四分之一，这个外角等于的两倍，那么，，§11.3.1多边形教学目标1．了解多边形及有关概念，理解正多边形及其有关概念．2．区别凸多边形与凹多边形．重点难点1．重点：（1）了解多边形及其有关概念，理解正多边形及其有关概念．（2）区别凸多边形和凹多边形．2．难点：多边形定义的准确理解．教学过程一、新课讲授投影：图形见课本P19图11.3一l．你能从投影里找出几个由一些线段围成的图形吗？上面三图中让同学边看、边议．在同学议论的基础上，老师给以总结，这些线段围成的图形有何特性？（1）它们在同一平面内．（2）它们是由不在同一条直线上的几条线段首尾顺次相接组成的．这些图形中有三角形、四边形、五边形、六边形、八边形，那么什么叫做多边形呢？提问：三角形的定义．你能仿照三角形的定义给多边形定义吗？1．在平面内，由一些线段首位顺次相接组成的图形叫做多边形．如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形叫做n边形．（一个多边形由几条线段组成，就叫做几边形．）2．多边形的边、顶点、内角和外角．多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角，多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角．3．多边形的对角线连接多边形的不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．让学生画出五边形的所有对角线．4．凸多边形与凹多边形看投影：图形见课本P19．11．3—6．在图（1）中，画出四边形ABCD的任何一条边所在的直线，整个图形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫做凸四边形，这样的多边形称为凸多边形；而图（2）就不满足上述凸多边形的特征，因为我们画BD所在直线，整个多边形不都在这条直线的同一侧，我们称它为凹多边形，今后我们在习题、练习中提到的多边形都是凸多边形．5．正多边形由正方形的特征出发，得出正多边形的概念．各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．二、课堂练习课本P21练习1．2．三、课堂小结引导学生总结本节课的相关概念．四、课后作业课本P24第1题．备用题：一、判断题．1．由四条线段首尾顺次相接组成的图形叫四边形．（）2．由不在一直线上四条线段首尾次顺次相接组成的图形叫四边形．（）3．由不在一直线上四条线段首尾顺次接组成的图形，且其中任何一条线段所在的直线、使整个图形都在这直线的同一侧，叫做四边形．（）4．在同一平面内，四条线段首尾顺次连接组成的图形叫四边形．（）二、填空题．1．连接多边形的线段，叫做多边形的对角线．2．多边形的任何所在的直线，整个多边形都在这条直线的，这样的多边形叫凸多边形．3．各个角，各条边的多边形，叫正多边形．三、解答题．1．画出图（1）中的六边形ABCDEF的所有对角线．2．如图（2），O为四边形ABCD内一点，连接OA、OB、OC、OD可以得几个三角形？它与边数有何关系？3．如图（3），O在五边形ABCDE的AB上，连接OC、OD、OE，可以得到几个三角形？它与边数有何关系？4．如图（4），过A作六边形ABCDEF的对角线，可以得到几个三角形？它与边数有何关系？§11.3.2多边形的内角和教学目标1．使学生了解多边形的内角、外角等概念．2．能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式，并会应用它们进行有关计算．重点难点1．重点：（1）多边形的内角和公式．（2）多边形的外角和公式．2．难点：多边形的内角和定理的推导．教学过程一、探究1．我们知道三角形的内角和为180°．2．我们还知道，正方形的四个角都等于90°，那么它的内角和为360°，同样长方形的内角和也是360°．3．正方形和长方形都是特殊的四边形，其内角和为360°，那么一般的四边形的内角和为多少呢？画一个任意的四边形，用量角器量出它的四个内角，计算它们的和，与同伴交流你的结果．从中你得到什么结论？同学们进行量一量，算一算及交流后老师加以归纳得到四边形的内角和为360°的感性认识，是否成为定理要进行推导．二、思考几个问题1．从四边形的一个顶点出发可以引几条对角线？它们将四边形分成几个三角形？那么四边形的内角和等于多少度？2．从五边形一个顶点出发可以引几条对角线？它们将五边形分成几个三角形？那么这五边形的内角和为多少度？3．从n边形的一个顶点出发，可以引几条对角线？它们将n边形分成几个三角形？n 边形的内角和等于多少度？综上所述，你能得到多边形内角和公式吗？设多边形的边数为n，则n边形的内角和等于（n一2）·180°．想一想：要得到多边形的内角和必需通过“三角形的内角和定理”来完成，就是把一个多边形分成几个三角形．除利用对角线把多边形分成几个三角形外，还有其他的分法吗？你会用新的分法得到n边形的内角和公式吗？由同学动手并推导在与同伴交流后，老师归纳：（以五边形为例）分法一：在五边形ABCDE内任取一点O，连结OA、OB、OC、OD、OE，则得五个三角形．其五个三角形内角和为5×180°，而∠1，∠2，∠3，∠4，∠5不是五边形的内角应减去，∴五边形的内角和为5×180°一2×180°＝（5—2）×180°=540°．如果五边形变成n边形，用同样方法也可以得到n个三角形的内角和减去一个周角，即可得：n边形内角和＝n×l80°一2×180°=（n一2）×180°．分法二：在边AB上取一点O，连OE、OD、OC，则可以（5－1）个三角形，而∠1、∠2、∠3、∠4不是五边形的内角，应舍去．∴五边形的内角和为（5—1）×180°一180°＝（5—2）×180°用同样的办法，也可以把n边形分成（n一1）个三角形，把不是n边形内角的∠AOB 舍去，即可得n边形的内角和为（n一2）×180°．三、例题例1如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？已知：四边形ABCD的∠A＋∠C＝180°．求：∠B与∠D的关系．分析：本题要求∠B与∠D的关系，由于已知∠A＋∠C＝180°，所以可以从四边形的内角和入手，就可得到完满的答案．解：如图，四边形ABCD中，∠A＋∠C＝180°.∵∠A+∠B+∠C+∠D=（4－2）×360°=180°，∴∠B＋∠D= 360°－（∠A＋∠C）=180°这就是说：如果四边形一组对角互补，那么另一组对角也互补．例2如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和．六边形的外角和等于多少？已知：∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6分别为六边形ABCDEF的外角．求：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的值．分析：关于外角问题我们马上就会联想到平角，这样我们就得到六边形的6个外角加上它相邻的内角的总和为6×180°．由于六边形的内角和为（6—2）×180°=720°．这样就可求得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°．解：∵六边形的任何一个外角加上它相邻的内角和为180°．∴六边形的六个外角加上各自相邻内角的总和为6×180°．由于六边形的内角和为（6—2）×180°=720°∴它的外角和为6×180°一720°=360°如果把六边形横成n边形．（n为不小于3的正整数）同样也可以得到其外角和等于360°．即多边形的外角和等于360°．所以我们说多边形的外角和与它的边数无关．对此，我们也可以象以下这种，理解为什么多边形的外角和等于360°．如下图，从多边形的一个顶点A出发，沿多边形各边走过各顶点，再回到A点，然后转向出发时的方向，在行程中所转的各个角的和就是多边形的外角和，由于走了一周，所得的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于360°．四、课堂练习课本P24练习1、2、3题．P24习题11.3第2、3题五、课堂小结引导学生总结本节课主要内容．六、课后作业课本P24习题11.3第4、5、6题．备选题：一、判断题．1．当多边形边数增加时，它的内角和也随着增加．（）2．当多边形边数增加时．它的外角和也随着增加．（）3．三角形的外角和与一多边形的外角和相等．（）4．从n边形一个顶点出发，可以引出（n一2）条对角线，得到（n一2）个三角形．（）5．四边形的四个内角至少有一个角不小于直角．（）二、填空题．1．一个多边形的每一个外角都等于30°，则这个多边形为边形．2．一个多边形的每个内角都等于135°，则这个多边形为边形．3．内角和等于外角和的多边形是边形．4．内角和为1440°的多边形是．5．一个多边形的内角的度数从小到大排列时，恰好依次增加相同的度数，其中最小角为100°，最大的是140°，那么这个多边形是边形．6．若多边形内角和等于外角和的3倍，则这个多边形是边形．7．五边形的对角线有条，它们内角和为．8．一个多边形的内角和为4320°，则它的边数为．9．多边形每个内角都相等，内角和为720°，则它的每一个外角为．10．四边形的∠A、∠B、∠C、∠D的外角之比为1：2：3：4，那么∠A：∠B：∠C：∠D=．11．四边形的四个内角中，直角最多有个，钝角最多有个，锐角最多有个．12．如果一个多边形的边数增加一条，那么这个多边形的内角和增加，外角和增加．三、选择题．1．多边形的每个外角与它相邻内角的关系是（）A．互为余角B．互为邻补角C．两个角相等D．外角大于内角2．若n边形每个内角都等于150°，那么这个n边形是（）A．九边形B．十边形C．十一边形D．十二边形3．一个多边形的内角和为720°，那么这个多边形的对角线条数为（）A．6条B．7条C．8条D．9条4．随着多边形的边数n的增加，它的外角和（）A．增加B．减小C．不变D．不定5．若多边形的外角和等于内角和的号，它的边数是（）A．3 B．4 C．5 D．76．一个多边形的内角和是1800°，那么这个多边形是（）A．五边形B．八边形C．十边形D．十二边形7．一个多边形每个内角为108°，则这个多边形（）A．四边形B，五边形C．六边形D．七边形8，一个多边形每个外角都是60°，这个多边形的外角和为（）A．180°B．360°C．720°D．1080°9．n边形的n个内角中锐角最多有（）个．A．1个B．2个C．3个D．4个10．多边形的内角和为它的外角和的4倍，这个多边形是（）A．八边形B．九边形C．十边形D，十一边形四、解答题．1．一个多边形少一个内角的度数和为2300°．（1）求它的边数；（2）求少的那个内角的度数．2．一个八边形每一个顶点可以引几条对角线？它共有多少条对角线？n边形呢？3．已知多边形的内角和为其外角和的5倍，求这个多边形的边数．。
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第十一章三角形一．知识框架二．知识概念1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。
3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。
4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。
5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
6.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。
7.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。
8.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。
多边形内角和定理:n边形的内角的和等于：（n－2）×180°，则正多边形各内角度数为：（n－2）×180°÷n多边形内角和定理证明证法一：在n边形内任取一点O，连结O与各个顶点，把n边形分成n个三角形.因为这n个三角形的内角的和等于n·180°，以O为公共顶点的n个角的和是360°所以n边形的内角和是n·180°-2×180°=（n-2）·180°.即n边形的内角和等于（n-2）×180°.证法二：连结多边形的任一顶点A1与其他各个顶点的线段，把n边形分成（n-2）个三角形.因为这（n-2）个三角形的内角和都等于（n-2）·180°所以n边形的内角和是（n-2）×180°.证法三：在n边形的任意一边上任取一点P，连结P点与其它各顶点的线段可以把n边形分成（n-1）个三角形，这（n-1）个三角形的内角和等于（n-1）·180°以P为公共顶点的（n-1）个角的和是180°所以n边形的内角和是（n-1）·180°-180°=（n-2）·180°.已知正多边形内角度数则其边数为：360÷（180－内角度数）9.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。