6对数与对数函数(教师版)

对数及对数函数
一、教学目标
掌握对数及对数函数的概念，掌握对数函数的性质并且能灵活运用，熟悉判断函数的单调性奇偶性，值域等，并且掌握部分含参问题的解决方法。

二、教学重难点
重点：对数中的计算以及对数函数的大小比较、函数的性质运用，含参问题，对数的综合运用
难点：对数函数的值域、单调性问题，利用函数的性质求参数取值范围
三、知识点梳理
1、对数：定义：如果a N a a b
=>≠()01且，那么数b 就叫做以a 为底的对数，记作b N a =l o g （a 是底数，N 是真数，lo g a N 是对数式。

） 由于N a b
=>0故lo g a N 中N 必须大于0。

当N 为零或负数时对数不存在。

2、对数的性质： ①负数和零没有对数；
②1的对数是零，底数的对数等于1，即01log ,1log ==a a a ③常用对数和自然对数：对数)1,0(log ≠>a a N a 的底数 （1）a=10时，叫做常用对数，记作N lg
（2）a=e 时，叫做自然对数，记作N ln ，其中e 为无理数，e ≈2.71828 3、对数的运算法则：
①()()
l o g l o g l o g a a a
M N M N M N R =+∈+
， ②(
)
l o g l o g l o g a a a
M
N
M N M N R =-∈+
， ③()()
l o g l o g a n
a
N n N N R =∈+
b a b a =log ④(
)
l o g l o g a n
a
N n
NNR =∈+
1
⑤N a N
a =log
4、对数换底公式：
b
N
b N N a a b lg lg log log log ==
（)21828.2(log lg ==e N N e 其中称为N 的自然对数
由换底公式推出一些常用的结论： （1）l o g l o g l o g l o g a b a b
b a b a ==1
1或· （2）log log a m
a n b
m
n
b =
（3）l o g l o g a
n
a n
b b = （4）lo g a m
n a m
=
定义：指数函数y a a a x =>≠()01且的反函数y x a =l o g x ∈+∞(,)0叫做对数函数。

图象
1a > 01a <<
性
质
（1）定义域：（0,+∞）
（2）值域：R
（3）当x=1时，y=0即过定点（1，0） （4）当01x <<时，(,0)y ∈-∞； 当1x >时，(0,)y ∈+∞ （4）当1x >时，(,0)y ∈-∞； 当01x <<时，(0,)y ∈+∞ （5）在（0,+∞）上为增函数
（5）在（0,+∞）上为减函数
注：确定图中各函数的底数a ，b ，c ，d 与1的大小关系
提示：作一直线y=1，该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数。

∴0<c<d<1<a<b.
四、典型例题
考点一、对数运算性质
例1：计算下列各式的值 ① 42log 2
1
12log 487log 222-+
② 2
.1lg 10lg 38lg 27lg -+= 1133
2
2
2
3
(lg32lg 21)
lg(3)lg 23lg103232lg32lg 212lg
10
+-+-==⨯+- 练习：①lg14-21g 18lg 7lg 3
7
-+
l g 2l g 72l g 72l g 3l g 72l g 3=+-++--=；
②()752log 42⨯=7522log 4log 2+=227log 45log 2725119+=⨯+⨯=；
③+
++10log 5
log )5(lg )2(lg 223
3
10
log 12 ④ 0.21log 3
5
-=
0.25
1log 3
log 3
555
1515
5
3
=
=
= ⑤222
lg5lg8lg5lg20(lg2)3+++
例2：已知518,9log 18==b a ，用a 、b 表示45log 36
解：∵18log 9a =， ∴a =-=2log 12
18
log 1818
， ∴18log 21a =-， 又∵185b =， ∴18log 5b =， ∴a
b
a -+=
++==
22log 15log 9log 36log 45log 45log 181818181836． 练习：
1.已知lg 20.3010=，lg30.4771=，求lg1.44的值。

解：2212
lg1.44lg1.2lg(3210)-==⨯⨯2(lg32lg 21)=+-
2(0.477120.30101)0.1582=+⨯-=
2. 已知log log a a x c b =+，求x
log b a b a = ，∴log log log b a a a x c a =+log b a c a =⋅，∴ b x c a =⋅．
3.①已知32a
=，用a 表示33log 4log 6-； ②已知3log 2a =，35b
=，用a 、b 表示 30log 3．
解：①3log 2a =， ∴ log 3 4 - log 3 6 = 112log 3
2
log 33
-=-=a ． ②3log 5b =， 3log 2a =
例3：已知log 2a x =,3log =x b ,6log =x c 求 x abc log 的值
练习：
① 设3643==b
a ，求b
a 1
2+的值。

② 已知b a ==5log ,9log 28，则lg3= ③ 设1643>===t z
y
x
，求证：
y
x z 2111=-． 证明：∵1643>===t z
y x ，∴ 6
lg lg 4lg lg 3lg lg t z t y t x ===
，，， ∴
y
t t t t x z 21
lg 24lg lg 2lg lg 3lg lg 6lg 11===-=-． 考点二：比较大小
例1：比较下列各组数中两个值的大小：
（1）6log 7，7log 6； （2）3log π，2log 0.8； （3）0.9
1.1， 1.1log 0.9，0.7log 0.8； （4）5log 3，6log 3，7log 3．
练习：① 已知x x f lg )(=，则)2(),3
1(),41(f f f 的大小 ② 已知log 4log 4m n <，比较m ，n 的大小。

解：∵log 4log 4m n <， ∴4411log log m n <，当1m >，1n >时，得4411
0log log m n
<<， ∴44log log n m <， ∴1m n >>．当01m <<，01n <<时，得
4411
0log log m n
<<， ∴44log log n m <， ∴01n m <<<．当01m <<，1n >时，得4log 0m <，40log n <， ∴01m <<，1n >， ∴01m n <<<．
综上所述，m ，n 的大小关系为1m n >>或01n m <<<或01m n <<<．
（1）x y 3log 1-= （2）)1(log 35-=+x x a y
练习：求下列函数的定义域
（1）)32lg(4
2
2-+-=x x x y （2）)](log [log log 33
13x y =
（3）123)]2(log 1[-+-=x x y
例2：求函数x
x x f 3log 1
)54lg()(++=的定义域
练习：若f(x)的定义域为[-1,2]，求)(log 2x f 的定义域。

考点四：对数函数的值域
例1：求函数)64(log 2
2+-=x x y 的值域
练习：已知函数)10(log a x y a =在[]a a 2,上最大值是最小值的3倍，则a=
例2：求函数)1)((log >-=a a a y x a 的值域
练习：函数()log (1)x a f x a x =++在[0,1]上最大值和最小值之和为a ，则a 的值为？
例3.若对数函数4)17(log )(+-=x x f a )1,0(≠>a a 且必过定点（m,n ）,求n m log 的值。

考点五：函数的奇偶性、单调性 例1：设)1(log )(22x x x f -+=
（1）判断f(x)的奇偶性；（2）判断f(x)的单调性
练习：已知函数)()14(log )(4R k kx x f x
∈++=是偶函数，求k 的值。

例2：讨论函数)54(log )(2+--=x x x f a 的单调性、奇偶性
练习：求函数[]4,25log )(log )(225.0225.0∈+-=x x x x f 在内的最值
考点六：对数中的不等关系
例1：解不等式：)5(log )12(log 22+-<-x x
练习：已知)1(log 2log 7.07.0-<m m ，求m 的取值范围
例2：解不等式)3(log )5(log 2->-x x a a
练习：①解不等式)5ln()23ln(x x ->-
②函数x y a log =在),2[+∞∈x 上总有1>y ，求a 的取值范围.
考点七：其他题型 例1：函数1lg 1x
y x
+=－的图象关于（ ）. A. y 轴对称 B. x 轴对称 C. 原点对称
D. 直线y ＝x 对称
例2：函数)1(2
)
1ln(1>-+=
x x y 的反函数是（ ） A. )0(11
2>-=-x e y x B.)0(112>+=-x e y x C. )(11
2R x e
y x ∈-=- D. )(112R x e y x ∈+=-
练习：已知函数b a x f x
+=)(的图象经过点（1,7），其反函数图象过点（4,0），求f(x)的反函数
解析式。

例3.已知函数)2lg()(2a ax x x f --=的区间)3,(--∞上是减函数，求实数a 的取值范围。

练习：已知函数)(log )(log 22ax x a y a a ⋅=，当]4,2[∈x 时，y 的取值范围是]0,8
1
[-，求实数a 的 值。

例4.已知]9,1[,log 2)(3∈+=x x x f ，求)()]([2
2
x f x f y +=的最大值及y 取最大值时x 的值。

练习：已知函数)01,0)(lg()(>>>>⋅-=b a k b k a x f x
x
的定义域为区间),0(+∞，是否存在这样的a,b 使得f(x)恰在),1(+∞上取正值，且4lg )3(=f ，若存在，求a,b 的值，若不存在，请说明理由。

课后作业： 完成时间 学校 分数
一、选择题
1. 216log =x ，则=x （
） A ． 4±
B ．4
C ．256
D ．2
2. 2log a (M-2N)=log a M+log a N,则
N
M
的值为（ B ） （A ）4
1
（B ）4 （C ）1 （D ）4或1 3. log a
13
2
<，则a 的取值范围是（ A ） （A ）（0，32）⋃（1，+∞） （B ）（32
，+∞）
（C ）（1,32） （D ）（0，32）⋃（3
2，+∞）
4. 函数y =log 2
1［(1－x )(x +3)］的递减区间是( A )
A.(－3,－1)
B.(－∞,－1)
C.(－∞,－3)
D.(－1，＋∞)
5.已知函数y ＝log a (2－ax )在［0，1］上是x 的减函数，则a 的取值范围是( C )
A.0＜a ＜1
B.a ＞1
C.1＜a ＜2
D.1＜a ≤2
6. 若0<a<1,b>1,则M=a b ，N=log b a,p=b a
的大小是（ B ）
（A ）M<N<P （B ）N<M<P （C ）P<M<N （D ）P<N<M
二、填空题
1. 若log a 2=m,log a 3=n,a 2m+n
= 12 。

2．函数y=log (x-1)(3-x)的定义域是 {x 31<<x 且x 2≠} 。

3．lg25+lg2lg50+(lg2)2
= 2 。

4. 已知函数f(x)=log 0.5 (-x 2+4x+5),则f(3)与f （4）的大小关系为 f(3)<f(4) 。

5. 函数f(x)=x
x
10
110+的反函数是 。

6. 若函数y=lg[x 2+(k+2)x+4
5
]的定义域为R ，则k 的取值范围是-2525-<<-k 。

7. 已知函数=≠=m a a x mx
x f a 则的图象关于原点对称，且)1,0(1
--1log )( 三、计算题
2
11
3.6
log 18log 3log 2626+ 4. 27log 313log 2121log 666+- 解：原式 =3log 26 +log 6（6 ×3）
·log 62 =3log 26 +（log 66 +log 63）·log 62
=3log 26 +（1 +log 63）·log 62
=log 63（log 63 +log 62）+log 62
=log 63 +log 62 =1.
四、解答题
1． 若f(x)=1+log x 3,g(x)=2log 2x ，试比较f(x)与g(x)的大小。

解： f (x)-g(x)=log x 3x-log x 4=log x
43x .当0<x<1时，f(x)>g(x);当x=34时，f(x)=g(x);当1<x<34时，f(x)<g(x);当x>
3
4时，f(x)>g(x)。

2． 已知函数f(x)=x
x x
x --+-10101010。

（1）判断f(x)的单调性；
（2）求f -1(x)。

解：（1）f(x)=),(,.,1
101102122+∞-∞∈∈+-x x R x x x 设， ,且x 1<x 2,f(x 1)-f(x 2)=)
110)(110()1010(21101101101102121221122222222++-=+--+-x x x x x x x x <0,(∵102x1<12x 2)∴f(x)为增函
数。

（2）由y=1
1011022+-x x 得102x =.11y y -+ ∵102x >0, ∴-1<y<1,又x=
)1,1((11lg 21)(.11lg 211-∈-+=∴-+-x x x x f y y )。

3． 已知x 满足不等式2(log 2x ）2-7log 2x+3≤0,求函数f(x)=log 2
4
log 22x x ⋅的最大值和最小值。

12 解： 由2（log 2x ）2
-7log 2x+3≤0解得2
1≤log 2x ≤3。

∵f(x)=log 2)1(log 4log 222-=⋅x x x (log 2x-2)=(log 2x-23)2-41,∴当log 2x=23时，f(x)取得最小值-41；当log 2x=3时，f(x)取得最大值2。

4． 已知函数f(x 2-3)=lg 622
-x x , (1)f(x)的定义域； (2)判断f(x)的奇偶性； (3)求f(x)的反函数; (4)若f[)(x φ]=lgx,求)3(φ的值。

解： （1）∵f(x 2-3)=lg 3)3(3)3(22--+-x x ,∴f(x)=lg 33-+x x ,又由0622>-x x 得x 2-3>3,∴ f(x)的定义域为（3，+∞）。

（2）∵f(x)的定义域不关于原点对称，∴ f(x)为非奇非偶函数。

（3）由y=lg ,33-+x x 得x=110)110(3-+y y , x>3,解得y>0, ∴f -1(x)=)0(1
10)110(3>-+x x x (4) ∵f[)3(φ]=lg
3lg 3)3(3)3(=-+φφ,∴33)3(3)3(=-+φφ，解得φ(3)=6。

5． 已知x>0,y ≥0,且x+2y=
21,求g=log 21(8xy+4y 2+1)的最小值。

由已知x=21-2y>0,4
10<≤∴y ,由g=log 21(8xy+4y 2+1)=log 21(-12y 2+4y+1)=log 21[-12(y-61)2+34],∴当y=61,g 的最小值为log 2134。