第1章导数及其应用PPT课件

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第一章 导数及其应用
如图，函数 y＝f(x)在 A，B 两点间的平均变化率是( )
A．1
B．－1
C．2
D．－2
解析：选 B.ΔΔxy＝f（3）3－－1f（1）
＝1－2 3＝－1.
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第一章 导数及其应用
已知 f(x)＝－2x＋1，则 f′(0.5)＝________． 答案：－2
(4)几何意义：已知 P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))是函数 y＝f(x)的
图
象
上
两
点
，
则
平
均
变
化
率
Δy Δx
＝
f（x2）－f（x1） x2－x1
表
示
割
线
P1P2 的__斜__率___．
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第一章 导数及其应用
2．瞬时变化率 函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的瞬时变化率 (1)定义式：Δlxim→0ΔΔxy＝__Δl_xim_→_0f_（__x_0_＋__Δ__Δx_）_x_－__f（__x_0_）___. (2)实质：瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于 0 时，平均变 化率趋近的值． (3)作用：刻画函数在某一点处变化的__快__慢___．
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第一章 导数及其应用
3．对导数概念的理解 (1)函数 y＝f(x)应在 x＝x0 及其附近有意义，否则导数不存在．
(2)若极限 lim Δx→0
f（x0＋ΔxΔ）x－f（x0）不存在，则称函数
y＝f(x)
在 x＝x0 处不可导．
(3)在点 x＝x0 处的导数的定义可变形为 f′(x0)＝
函数 y＝f(x)＝1x在 x＝1 处的瞬时变化率为________． 答案：－1栏目导引第一章 导数及其应用
探究点 1 求函数的平均变化率 求函数 y＝f(x)＝3x2＋2 在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变
化率，并求当 x0＝2，Δx＝0.1 时平均变化率的值．
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第一章 导数及其应用
lim
Δx→0
f（x0－Δ－x）Δ－ x f（x0）或 f′(x0)＝Δlxi→mx0f（x）x－－xf（0 x0）.
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第一章 导数及其应用
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数 f(x)＝c(c 为常数)在区间[x1，x2]上的平均变化率ΔΔxy为 0.( ) (2)函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数值与Δx 值的正、负无关．( ) (3)瞬时变化率是刻画某函数在区间[x1，x2]上函数值的变化快慢 的物理量．( ) (4)在导数的定义中，Δx，Δy 都不可能为零．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)×
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第一章 导数及其应用
1. 对平均变化率的理解 (1)函数 f(x)应在 x1，x2 处有定义． (2)x2 在 x1 附近，即 Δx＝x2－x1≠0，但 Δx 可正可负． (3)注意变量的对应，若 Δx＝x2－x1，则 Δy＝f(x2)－f(x1)，而不 是 Δy＝f(x1)－f(x2)． (4)平均变化率可正可负，也可为零．但是，若函数在某区间上 的平均变化率为 0，不能说明该函数在此区间上的函数值都相 等．比如，f(x)＝x2 在区间[－2，2]上的平均变化率为 0，但 f(x) ＝x2 在[－2，2]上的图象先下降后上升，值域是[0，4]．
＝12.3.
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第一章 导数及其应用
求函数平均变化率的步骤 (1)求自变量的改变量Δx＝x2－x1. (2)求函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)． (3)求平均变化率ΔΔxy＝f（x2）x2－－xf（1 x1）.
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第一章 导数及其应用
1.汽车行驶的路程 s 和时间 t 之间的函数图象如 图，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为－v 1， －v 2，－v 3，则三者的大小关系为________．
解析：－v 1＝kOA，－v 2＝kAB，－v 3＝kBC， 由图象知 kOA<kAB<kBC. 答案：－v 1<－v 2<－v 3
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第一章 导数及其应用
2．球的半径从 1 增加到 2 时，球的体积平均膨胀率为________． 解析：因为 Δy＝43π×23－43π×13＝283π，
28π 所以ΔΔxy＝2－3 1＝283π. 答案：283π
【解】 函数 y＝f(x)＝3x2＋2 在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变 化率为
f（x0＋Δx）－f（x0） （x0＋Δx）－x0
＝[3（x0＋Δx）2Δ＋x2]－（3x20＋2）
＝6x0·ΔxΔ＋3x（Δx）2＝6x0＋3Δx.
当 x0＝2，Δx＝0.1 时， 函数 y＝3x2＋2 在区间[2，2.1]上的平均变化率为 6×2＋3×0.1
第一章 导数及其应用
1．1 变化率与导数
1．1.1 变化率问题
1．1.2 导数的概念
第一章 导数及其应用
1. 了解导数概念的实际背景． 2. 会求函数从 x1 到 x2 的平均变化率． 3．会利用导数的定义求函数在某点处的导数．
第一章 导数及其应用
1．平均变化率
函 (1)数定义y＝式f(：x)Δ从 Δxyx＝1 到__f_x（_2 的_x_2_平）x_2_均－－__变fx（_1_化x_1_率）____. (2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量__之__比___． (3)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的__快__慢___．
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第一章 导数及其应用
3．导数的概念
定义式 记法 实质
f（x0＋Δx）－f（x0） Δlxim→0ΔΔxy＝Δlxim→0 ___________Δ_x___________
___f_′(_x_0_) __或 y′|x＝x0 函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数就是 y＝f(x)在 x＝ x0 处的__瞬__时__变__化__率___
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第一章 导数及其应用
2．瞬时速度与平均速度的区别和联系 (1)区别：瞬时速度刻画物体在某一时刻的运动状态，而平均速 度则是刻画物体在一段时间内的运动状态，与该段时间内的某 一时刻无关． (2)联系：瞬时速度是平均速度的极限值． [注意] 对于任何具体函数或者实际问题，瞬时变化率都是一 个精确值，而不是近似值．只是现阶段我们还不能求出瞬时变 化率，故只能用平均变化率来估计瞬时变化率．