湖南省数学高二上学期文数10月月考试卷
湖南省名校联考联合体2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题含答案
高二数学试卷（答案在最后）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4．本试卷主要考试内容：人教A 版必修第一，二册占60%，选择性必修第一册第一章至第二章第4节占40%.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集{}1,2,3,4,5U =，{}2,4A =，{}1,4,5B =，则()UB A ⋂=ð（）A.{}3B.{}4C.{}1,4 D.{}1,5【答案】D 【解析】【分析】利用补集与交集的定义可求解.【详解】因为全集{}1,2,3,4,5U =，{}2,4A =，所以{}U 1,3,5A =ð，又因为{}1,4,5B =，(){}{}{}U 51,3,51,4,51,A B == ð.故选：D.2.已知复数1i z a =+（0a >），且3z =，则a =（）A.1B.2C.D.【答案】D 【解析】【分析】利用复数的模的定义即可求解.【详解】因为1i z a =+，3z =3=，解得a =±，因为0a >，所以a =故选：D,3.已知1sin 3α=，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则πcos 22α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.9B.19-C.79-D.9-【答案】A 【解析】【分析】根据同角三角函数关系得出余弦值，再结合诱导公式化简后应用二倍角正弦公式计算即可.【详解】因为221sin ,sin cos 13ααα=+=,又因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以cos 3α===,所以π12242cos 2sin22sin cos 22339αααα⎛⎫-===⨯⨯ ⎪⎝⎭.故选：A.4.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x -+=，且当0x ≤时，()22x af x =+，则()1f =（）A.2B.4C.2- D.4-【答案】A 【解析】【分析】利用题意结合奇函数的定义判断()f x 是奇函数，再利用奇函数的性质求解即可.【详解】因为定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x -+=，所以()f x 是奇函数，且()00f =，故0202a+=，解得2a =-，故当0x ≤时，()222x f x =-+，由奇函数性质得()()11f f =--，而()121222f --=-+=-，故()()112f f =--=，故A 正确.故选：A5.在正方体1111ABCD A B C D -中，二面角1B AC B --的正切值为（）A.2B.3C.3D.【答案】D 【解析】【分析】取AC 的中点M ，连接1,MB MB ，可得1B MB ∠是二面角1B AC B --的平面角，求解即可.【详解】取AC 的中点M ，连接1,MB MB ，由正方体1111ABCD A B C D -，可得11,AB B C AB BC ==，所以1,B M AC BM AC ⊥⊥，所以1B MB ∠是二面角1B AC B --的平面角，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，可得AC =，所以BM =在1Rt B B M 中，11tan B B B MB BM =∠==,所以二面角1B AC B --.故答案为：D.6.已知线段AB 的端点B 的坐标是()3,4，端点A 在圆()()22124x y -+-=上运动，则线段AB 的中点P的轨迹方程为（）A.()()22232x y -+-= B.()()22231x y -+-=C.()()22341x y -+-= D.()()22552x y -+-=【答案】B 【解析】【分析】设出动点P 和动点A 的坐标，找到动点P 和动点A 坐标的关系，再利用相关点法求解轨迹方程即可.【详解】设(,)P x y ，11(,)A x y ，由中点坐标公式得1134,22x y x y ++==，所以1123,24x x y y =-=-，故(23,2)A x y --4，因为A 在圆()()22124x y -+-=上运动，所以()()222312424x y --+--=，化简得()()22231x y -+-=，故B 正确.故选：B7.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵.已知在堑堵111ABC A B C -中，π2ABC ∠=，1AB BC AA ==，,,D E F 分别是所在棱的中点，则下列3个直观图中满足BF DE ⊥的有（）A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】B 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明逐个判断即可.【详解】在从左往右第一个图中，因为π2ABC ∠=，所以AB BC ⊥，因为侧棱垂直于底面，所以1AA ⊥面ABC ，如图，以B 为原点建立空间直角坐标系，设12AB BC AA ===，因为,,D E F 分别是所在棱的中点，所以(0,0,0),(0,1,0),(1,0,2),(1,1,0)B E D F所以(1,1,0)BF = ，(1,1,2)DE =-- ，故110BF DE ⋅=-+=，即BF DE ⊥得证，在从左往右第二个图中，我们建立同样的空间直角坐标系，此时(0,0,0),(1,1,0),(1,0,2),(0,1,1)B E D F ，所以(0,1,1)BF = ，(0,1,2)DE =-，故121BF DE ⋅=-=-，所以,BF DE 不垂直，在从左往右第三个图中，我们建立同样的空间直角坐标系，此时(0,0,0),(1,1,0),(1,0,0),(1,1,2)B E D F ，故(1,1,2)BF = ，(0,1,0)DE = ，即1BF DE ⋅=，所以,BF DE 不垂直，则下列3个直观图中满足BF DE ⊥的有1个，故B 正确.故选：B8.已知过点()1,1P 的直线l 与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴正半轴交于点B ，O 为坐标原点，则22OA OB+的最小值为（）A.12B.8C.6D.4【答案】B 【解析】【分析】根据题意可知直线l 的斜率存在设为(0)k k <，分别解出,A B 两点的坐标，表示出22OA OB +的表达式由基本不等式即可求得最小值.【详解】由题意知直线l 的斜率存在．设直线的斜率为(0)k k <，直线l 的方程为1(x 1)y k -=-，则1(1,0),(0,1)A B k k--，所以222222121(1)(1)112OA OB k k kk k k+=-+-=-++-+22212(2)28k k k k =+--++≥++=，当且仅当22212,k k k k-=-=，即1k =-时，取等号.所以22OA OB +的最小值为8.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得分分，有选错的得0分．9.已知函数()πsin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（）A.()f x 的最小正周期为πB.()f x 的图象关于直线π85x =对称C.()f x 的图象关于点π,18⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称D.()f x 的值域为[]1,1-【答案】ABD 【解析】【分析】求得最小正周期判断A ；求得对称轴判断B ；求得对称中心判断C ；求得值域判断D.【详解】因为()πsin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以的最小正周期为2ππ2T ==，故A 正确；由ππ2π,Z 42x k k +=+∈，可得ππ,Z 28k x k =+∈，所以()f x 图象的对称轴为ππ,Z 28k x k =+∈，当1k =时，图象的关于π85x =对称，故B 正确；由Z 2ππ,4k x k =∈+，可得ππ,Z 28k x k =-∈，所以()f x 图象的对称中心为ππ(,0),Z 28k k -∈，当0k =时，图象的关于点()π8,0-对称，故C 不正确；由()πsin 2[1,1]4f x x ⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭，故()f x 的值域为[]1,1-，故D 正确.故选：ABD.10.若数据1x ，2x ，3x 和数据4x ，5x ，6x 的平均数、方差、极差均相等，则（）A.数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x 与数据1x ，2x ，3x 的平均数相等B.数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x 与数据1x ，2x ，3x 的方差相等C.数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x 与数据1x ，2x ，3x 的极差相等D.数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x 与数据1x ，2x ，3x 的中位数相等【答案】ABC 【解析】【分析】运用平均数，方差，极差，中位数的计算方法和公式计算，通过已知两组数据的平均数、方差、极差均相等这个条件，来分析这两组数据组合后的相关统计量与原数据的关系.【详解】设数据123,,x x x 的平均数为x ，数据456,,x x x 的平均数也为x .那么数据123456,,,,,x x x x x x 的平均数为123456()()3366x x x x x x x xx ++++++==，所以数据123456,,,,,x x x x x x 与数据123,,x x x 的平均数相等，A 选项正确.设数据123,,x x x 的方差为2s ，数据456,,x x x 的方差也为2s .对于数据123456,,,,,x x x x x x ，其方差计算为2222221234561[()((()()()]6x x x x x x x x x x x x -+-+-+-+-+-2222221234561[3(()(())3(((())]6x x x x x x x x x x x x =⨯-+-+-+⨯-+-+-2221(33)6s s s =+=,所以数据123456,,,,,x x x x x x 与数据123,,x x x 的方差相等，B 选项正确.设数据123,,x x x 的极差为R ，数据456,,x x x 的极差也为R .对于数据123456,,,,,x x x x x x ，其极差是这六个数中的最大值减去最小值，由于前面两组数据的极差相等，所以组合后数据的极差依然是R ，所以数据123456,,,,,x x x x x x 与数据123,,x x x 的极差相等，C 选项正确.设数据123,,x x x 按从小到大排列为123x x x ≤≤，中位数为2x .设数据456,,x x x 按从小到大排列为456x x x ≤≤，中位数为5x .对于数据123456,,,,,x x x x x x 按从小到大排列后，中位数不一定是2x ，所以数据123456,,,,,x x x x x x 与数据123,,x x x 的中位数不一定相等，D 选项错误.故选：ABC11.已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是边长为6的菱形，1AA ⊥平面ABCD ，13AA =，π3DAB ∠=，点P 满足1AP AB AD t AA λμ=++，其中λ，μ，[]0,1t ∈，则（）A.当P 为底面1111D C B A 的中心时，53t λμ++=B.当1t λμ++=时，AP 长度的最小值为2C.当1t λμ++=时，AP 长度的最大值为6D.当221t λμλμ++==时，1A P为定值【答案】BCD 【解析】【分析】根据题意，利用空间向量进行逐项进行分析求解判断.【详解】对于A ，当P 为底面1111D C B A 的中心时，由1AP AB AD t AA λμ=++ ，则11,,122t λμ===故2t λμ++=，故A 错误；对于B ，当1t λμ++=时，()22222222112·AP AB AD t AA AB AD t AA AB ADλμλμλμ=++=+++()()222223693636936t t λμλμλμλμ=+++=++-22245723636457236362t t t t λμλμ+⎛⎫=-+-≥-+- ⎪⎝⎭223273654273644t t t ⎛⎫=-+=-+⎪⎝⎭当且仅当13,84t λμ===，取最小值为2，故B 正确;对于C ，当1t λμ++=时，1AP AB AD t AA λμ=++，则点P 在1A BD 及内部，而AP是以A 为球心，以AP 为半径的球面被平面1A BD 所截图形在四棱柱1111ABCD A B C D -及内的部分，当=1=0t λμ=，时，=6AP ，当=0=10t λμ=，，时，=6AP ，可得1A P最大值为6，故C 正确；对于D ，221t λμλμ++==，()22223693636945AP t λμλμ=+++=+= ，而11=A P A A AP +，所以()22222111111=+2·=+2A P A A AP A A AP A A AP A A AB AD t AA λμ++⋅++ 22211=29452936A A AP t A A +-=+-⨯= ，则16A P = 为定值，故D 正确.故答案选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量()1,2a =- ，(),4b m =-．若()a ab ⊥+ ，则m =________．【答案】3-【解析】【分析】利用非零向量垂直时数量积为0，计算即可.【详解】()1,2a b m +=--．因为()a ab ⊥+ ，所以()1220m ---⨯=，解得3m =-．故答案为：3-.13.已知在正四棱台1111ABCD A B C D -中，()0,4,0AB = ，()13,1,1CB =- ，()112,0,0A D =-，则异面直线1DB 与11A D 所成角的余弦值为__________.【答案】19【解析】【分析】利用向量的线性运算求得1DB，根据向量的夹角公式可求异面直线1DB 与11A D 所成角的余弦值.【详解】111(0,4,0)(3,1,1)(3,3,1)DB DC CB AB CB =+=+=+-=，所以111111111·cos,19·DB A DDB A DDB A D==-，所以异面直线1DB与11A D所成角的余弦值为19.故答案为：1914.已知函数()21xg x=-，若函数()()()()()2121f xg x a g x a=+--+⎡⎤⎣⎦有三个零点，则a的取值范围为__________.【答案】()2,1--【解析】【分析】令()0f x=，可得()2g x=或()1g x a=--，函数有三个零点，则需方程()1g x a=--有两个解，则=与1y a=--的图象有两个交点，数形结合可求解.【详解】令()0f x=，可得()()()()21210g x a g x a⎡⎤+--+=⎣⎦，所以()()()[2][1]0g x g x a-++=，所以()2g x=或()1g x a=--，由()2g x=，又()21xg x=-，可得212x-=，解得21x=-或23x=，方程21x=-无解，方程23x=有一解，故()2g x=有一解，要使函数()()()()()2121f xg x a g x a⎡⎤=+--+⎣⎦有三个零点，则()1g x a=--有两解，即=与1y a=--的图象有两个交点，作出函数=的图象的示图如下：由图象可得011a<--<，解得21a-<<-.所以a的取值范围为(2,1)--.故答案为：(2,1)--.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos c b a B +=．（1）若π2A =，求B ；（2）若a =1b =，求ABC V 的面积.【答案】（1）π4（2）12【解析】【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再结合内角和定理与两角和与差的正弦公式化简等式得sin sin()B A B =-，代入π2A =求解可得；（2）由sin sin()B A B =-根据角的范围得2A B =，由正弦定理结合二倍角公式可得cos 2B =，从而得π4B =，再利用余弦定理求边c ，由面积公式可求结果.【小问1详解】因为2cos c b a B +=，所以由正弦定理得，sin sin 2sin cos C B A B +=，又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+代入上式得，所以()sin sin cos cos sin sin =-=-B A B A B A B ，由π2A =，则B 为锐角，且c sin s os n π2i B B B ⎛⎫-= ⎭=⎪⎝，所以π4B =.【小问2详解】由（1）知，()sin sin B A B =-，因为a =1b =，所以A B >，则0πA B <-<，π02B <<，故B A B =-，或πB A B A +-==（舍去）.所以2A B =，又a =1b =，由正弦定理得sin sin 22cos sin sin A B aB B B b====，则cos 2B =，则π4B =，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，则2122c =+-，化简得2210c c -+=，解得1c =，所以111sin 2222ABC S ac B === .故ABC V 的面积为12.16.甲、乙、丙三人打台球，约定：第一局由甲、乙对打，丙轮空；每局比赛的胜者与轮空者进行下一局对打，负者下一局轮空，如此循环.设甲、乙、丙三人水平相当，每场比赛双方获胜的概率都为12.（1）求甲连续打四局比赛的概率；（2）求在前四局中甲轮空两局的概率；（3）求第四局甲轮空的概率.【答案】（1）18（2）14（3）38【解析】【分析】（1）由题意知甲前三局都要打胜，计算可得甲连续打四局比赛的概率；（2）甲轮空两局的情况为，第一局甲败，第二局轮空，第三局甲败，第四局轮空，计算即可；（3）分析可得甲第四轮空有两种情况：第1种情况，第一局甲败，第二局轮空，第三局甲败，第四局轮空，第2种情况，第一局甲胜，第二局甲胜，第三局甲败，第四局轮空，计算即可.【小问1详解】若甲连续打四局，根据比赛规则可知甲前三局都要打胜，所以甲连续打四局比赛的概率311(28=；【小问2详解】在前四局中甲轮空两局的情况为，第一局甲败，第二局轮空，第三局甲败，第四局轮空，故在前四局中甲轮空两局的概率111(1(1)224-⨯-=；【小问3详解】甲第四轮空有两种情况：第1种情况，第一局甲败，第二局轮空，第三局甲败，第四局轮空，第2种情况，第一局甲胜，第二局甲胜，第三局甲败，第四局轮空，第1种情况的概率111(1)(1224-⨯-=；第2种情况的概率1111(12228⨯⨯-=；由互斥事件的概率加法公式可得第四局甲轮空的概率为113488+=.17.如图，在几何体PABCD 中，PA ⊥平面ABC ，//PA DC ，AB AC ⊥，2PA AC AB DC ===，E ，F 分别为棱PB ，BC 的中点.（1）证明：//EF 平面PAC ．（2）证明：AB EF ⊥.（3）求直线EF 与平面PBD 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）6【解析】【分析】（1）构造线线平行，证明线面平行.（2）先证AB ⊥平面PACD ，得到AB PC ⊥，结合（1）中的结论，可得AB EF ⊥.（3）问题转化为直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值.设1CD =，表示CP 的长，利用体积法求C 到平面PBD 的距离，则问题可解.【小问1详解】如图，连接CP .在BCP 中，E ，F 分别为棱PB ，BC 的中点，所以//EF CP ,，又EF ⊄平面PAC ，CP ⊂平面PAC .所以//EF 平面PAC .【小问2详解】因为PA ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以PA AB ⊥，又AB AC ⊥,,PA AC ⊂平面PAC ，且PA AC A = ，所以AB ⊥平面PAC .因为CP ⊂平面PAC ，所以AB CP ⊥.又因为//EF CP ，所以AB EF ⊥.【小问3详解】因为//EF CP ，所以直线EF 与平面PBD 所成角与直线PC 与平面PBD 所成角相等，设为θ.不妨设1CD =，则=PC 设C 到平面PBD 的距离为h .则13C PBD PBD V S h -=⋅ .又11212333C PBDB PCD PCD V V S AB --==⋅=⨯⨯= .在PBD △中，PB =BD PD ==，所以12PBD S =⨯= .所以33C PBD PBD V h S -=== .所以63sin θ6h PC ===.故直线EF 与平面PBD.18.设A 是由若干个正整数组成的集合，且存在3个不同的元素a ，b ，c A Î，使得a b b c -=-，则称A 为“等差集”．（1）若集合{}1,3,5,9A =，B A ⊆，且B 是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的B ；（2）若集合{}21,,1A m m =-是“等差集”，求m 的值；（3）已知正整数3n ≥，证明：{}23,,,,nx x x x ⋅⋅⋅不是“等差集”．【答案】（1）答案见解析（2）2m =（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据等差集的定义结合子集的定义求解即可；（2）根据等差集定义应用a b b c -=-，即2a c b +=逐个计算判断即可；（3）应用反证法证明集合不是等差集.【小问1详解】因为集合{}1,3,5,9A =，B A ⊆，存在3个不同的元素a ，b ，c B ∈，使得a b b c -=-，则{}1,3,5,9B =或{}1,3,5B =或{}1,5,9B =.【小问2详解】因为集合{}21,,1A m m =-是“等差集”，所以221m m =+-或2211m m =+-或()2221m m +=-,计算可得1132m -±=或0m =或2m =或1334m =，又因为m 正整数,所以2m =.【小问3详解】假设{}22,,,,nx x x x⋅⋅⋅是“等差集”，则存在{},,1,2,3,,,m n q n m n q ∈<< ,2n m q x x x =+成立，化简可得2m n q n x x --=+,0m n x ->因为*N ,1x q n ∈-≥,所以21q n x x ->≥≥,所以=1与{}22,,,,nx x x x ⋅⋅⋅集合的互异性矛盾，所以{}22,,,,nx x x x⋅⋅⋅不是“等差集”．【点睛】方法点睛：解题方法是定义的理解，应用反证法设集合是等差集，再化简计算得出矛盾即可证明.19.过点()00,A x y 作斜率分别为1k ，2k 的直线1l ，2l ，若()120k k μμ=≠，则称直线1l ，2l 是()A K μ定积直线或()()00,x y K μ定积直线．（1）已知直线a ：()0y kx k =≠，直线b ：13y x k=-，试问是否存在点A ，使得直线a ，b 是()A K μ定积直线？请说明理由．（2）在OPM 中，O 为坐标原点，点P 与点M 均在第一象限，且点()00,M x y 在二次函数23y x =-的图象上．若直线OP 与直线OM 是()()0,01K 定积直线，直线OP 与直线PM 是()2P K -定积直线，直线OM与直线PM 是()00,202x y K x ⎛⎫- ⎪⎝⎭定积直线，求点P 的坐标．（3）已知直线m 与n 是()()2,44K --定积直线，设点()0,0O 到直线m ，n 的距离分别为1d ，2d ，求12d d 的取值范围．【答案】（1）存在，理由见解析（2）()1,2（3）[)0,8【解析】【分析】（1）由定积直线的定义运算可求结论；（2）设直线OM 的斜率为()0λλ≠，则直线OP 的斜率为1λ，利用定积直线的定义可得01x λ=或1-，进而2003x x λ-=，计算即可；（3）设直线():42m y t x -=+，直线()4:42n y x t-=-+，其中0t ≠，计算得12d d =，利用基本不等式可求12d d 的取值范围.【小问1详解】存在点()0,0A ，使得a ，b 是()A K μ定积直线，理由如下：由题意可得1133k k ⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭，由()013y kx k y x k ⎧=≠⎪⎨=-⎪⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩，故存在点()0,0A ，使得a ，b 是()A K μ定积直线，且13μ=-．【小问2详解】设直线OM 的斜率为()0λλ≠，则直线OP 的斜率为1λ，直线PM 的斜率为2λ-．依题意得()2022x λλ⋅-=-，得2201x λ=，即01x λ=或1-．直线OM 的方程为y x λ=，因为点()200,3M x x -在直线OM 上，所以2003x x λ-=．因为点M 在第一象限，所以20031x x λ-==，解得02x =或2-（舍去），12λ=，()2,1M ，所以直线OP 的方程为12y x x λ==，直线PM 的方程为()2213y x x λ=--+=-+，由23y x y x =⎧⎨=-+⎩，得12x y =⎧⎨=⎩，即点P 的坐标为()1,2．【小问3详解】设直线():42m y t x -=+，直线()4:42n y xt-=-+，其中0t ≠，则12d d ===2216171725t t ++≥=，当且仅当2216t t =，即24t =时，等号成立，所以08≤<，即1208d d ≤<，故12d d 的取值范围为[)0,8．【点睛】思路点睛：理解新定义题型的含义，利用定积直线的定义进行计算求解，考查了运算求解能力，以及基本不等式的应用.。
湖南省常德市汉寿县第一中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题
湖南省常德市汉寿县第一中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题一、单选题1．已知集合{}21A x x =∈-<<Z ，{}2230B x x x =∈--<Z ，则A B 的子集个数是（）A ．4B ．8C ．16D ．322．78337857sin cos cos cos ︒︒-︒︒的值（）A ．12B ．12-C ．2D ．3．已知单位向量12,e e 是平面内的一组基底，且12π,3e e = ，若向量123a e e =+ 与12b e e λ=+垂直，则λ的值为（）A ．75-B ．75C ．1D ．1-4．如果不共线向量,a b 满足2a b = ，那么向量2a b + 与2a b - 的夹角为（）A ．6πB ．3πC ．2πD ．23π5．复数z 的共轭复数z 满足()1i 1i z +=-，则复数z 在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．x 轴D ．y 轴6．已知圆锥PO （P 为圆锥的顶点，O 为圆锥底面的圆心）的轴截面是等边三角形，,,A B C 为底面圆周上的三点，且AB 为底面圆的直径，D 为PC 的中点．若三棱锥D ABC -的外接球的表面积为4π，则圆锥PO 的外接球的表面积为（）A ．16π3B ．32π3C ．16πD ．64π37．已知,{1,2,3,4,5,6}x y ∈，且7x y +=，则2xy ≥的概率为A ．13B ．23C ．12D ．568．分别标有数字1,2,3,4的4张卡片，从这4张卡片中随机抽取2张卡片，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的取法数为（）A ．2B ．3C ．4D ．6二、多选题9．已知事件A 与B ，且()()0.4,0.1P A P B ==，则下列结论正确的是（）A ．如果A 与B 互斥，那么()0.5P A B = B ．如果A 与B 相互独立，则()0.04P AB =C ．如果A 与B 相互独立，那么()0.96P AB =D ．如果A 与B 相互独立，那么()0.54P AB =10．如图，已知在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F ，H 分别是AB ，1DD ，1BC 的中点，点G 是11A D 上的动点，下列结论正确的是（）A ．11//C D 平面ABHB ．1AC ⊥平面1BDA C ．直线EF 与1BC 所成的角为30°D ．三棱锥1G DBC -的体积最大值为8311．下列关于空间向量的命题中，是真命题的是（）A ．若三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们一定不共面B ．若0a b ⋅>，则a ，b 的夹角是锐角C ．不相等的两个空间向量的模可能相等D ．若a，b 是两个不共线的向量，且(,c a b λμλμ=+∈R 且0)λμ⋅≠，则{},,a b c 构成空间的一个基底三、填空题12．一艘船以每小时10海里的速度向东航行，船在A 处发现灯塔M 在北偏西15︒方向，灯塔N 在北偏东45︒方向，行驶4小时后，船到达B 处，测得灯塔N 在B 处的正北方向，灯塔M 在B 处的北偏西60︒方向，则M 、N 两处灯塔间的距离为海里.13．如图，ABC 中，π3B ∠=，D 为边AB 上的一点，CD =AD =，4BC =，则AC =．14．为估计某草场内兔子的数量，使用以下方法：先随机从草场中捕捉兔子100只，在每只兔子的尾巴上作上记号后放回草场.再随机从草场中捕捉60只，若尾巴上有记号的兔子共有10只，估计此草场内约有兔子只.四、解答题15．已知())222cos sin 2cos 14f x x x x π⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭的定义域为[02π，].(1)求()f x 的最小值.(2)ABC V 中，45A︒=，b =a 的长为6，求角B 大小及ABC V 的面积.16．已知向量a b，，满足||1||1a b == ，，|||ka b a kb +=- ，0k >，(1)用k 表示a b，，并求a 与b 的夹角θ的最大值；【注：若0,0a b >>，则a b +≥，当且仅当a b =时取等号】(2)如果//a b，求实数k 的值．17．某学校为增强学生自主学习意识，现向全校学生进行中午学习时长的调查，得到一个样本，按时长分成[)20,25，[)25,30，[)30,35，[)35,40，[]40,45，得到的频率分布直方图如图所示，已知时长在[)20,25内的人数为5.(1)若用分层抽样的方法从时长在[)35,40，[]40,45内的学生中抽取6名参加座谈，再从这6名学生中随机抽取2名发言，求这2名发言学生中至少有1名时长在[)35,40内的概率；(2)在（1）的条件下，记抽取的2名发言者分别为甲、乙，学校给甲、乙各随机派发价值50元，80元，100元的图书一本，求甲获得的图书价值不比乙获得图书价值高的概率.18．已知甲、乙两个盒子都装有4个外形完全相同的小球．甲盒中是3个黑色小球（记为123,,A A A ）和1个红色小球（记为B ），乙盒中是2个黑色小球（记为12,a a ）和2个红色小球（记为12,b b ）．(1)若从甲、乙两个盒子中各取1个小球，共有多少种不同的结果？请列出所有的结果；(2)若从甲、乙两个盒子中各取1个小球，求取出的2个小球中至少有一个是黑色的概率．19．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ，AB AD ⊥，224AB CD AD ===，侧面PAB 是等腰直角三角形，PA PB =，平面PAB ⊥平面ABCD ，点E ，F 分别是棱AB ，PB 的中点.（1）证明：平面//CEF 平面PAD .（2）求三棱锥C DEF -的体积.。
湖南省湘潭市高二上学期数学10月月考试卷
湖南省湘潭市高二上学期数学10月月考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共4题；共8分)1. （2分）数列为各项为正数的等比数列，且已知函数，则A . ﹣6B . ﹣21C . ﹣12D . 212. （2分）(2018·孝义模拟) 设等差数列的公差为，前项和为，记，则数列的前项和是（）A .B .C .D .3. （2分）某工厂第三年的产量比第一年的产量增加20%，若每年的平均增长率相同（设为x），则以下结论正确的是（）A . x=10%B . x＜10%C . x＞10%D . x的大小由第一年的产量决定4. （2分）已知命题“非空集合中的元素都是集合中的元素”是假命题，那么下列命题中真命题的个数为（）① 中的元素都不是中的元素② 中有不属于的元素③ 中有属于的元素④ 中的元素不都是中的元素A .B .C .D .二、填空题 (共12题；共12分)5. （1分） (2017高二上·如东月考) 在等差数列中，已知，则的值为________.6. （1分）(2016·温岭模拟) {an}满足an+1=an+an﹣1（n∈N* ，n≥2），Sn是{an}前n项和，a5=1，则S6=________．7. （1分）若数列{an}满足：存在正整数T，对于任意正整数n都有an+T=an成立，则称数列{an}为周期数列，周期为T．已知数列{an}满足an+1= a1=m（m＞0），有以下结论：①若m= ，则a3=3；②若a3=2，则m可以取3个不同的值；③若m= ，则{an}是周期为3的数列；④存在m∈Q且m≥2，数列{an}是周期数列．其中正确结论的序号是________．8. （1分） (2020高三上·泸县期末) 已知等差数列的前项和为，若，，则的公差为________.9. （1分） (2016高一下·安徽期末) 已知数列{an}满足a1=2，an+1an=an﹣1，则a2016值为________．10. （1分） (2018高一下·涟水月考) 等差数列中，若 ,，则 ________.11. （1分）在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，若且A，B，C三点共线，则S2013=________．12. （1分） (2016高二上·上海期中) 一个项数为偶数的等差数列，其奇数项之和为24，偶数项之和为30，最后一项比第一项大，则最后一项为________．13. （1分）已知{an}为等差数列，a4+a7=2，则a1+a10=________．14. （1分） (2015高三上·丰台期末) 设等差数列{an}的前n项和为Sn ，若S7=42，则a2+a3+a7=________．15. （1分） (2016高二上·黄浦期中) 设数列{an}的前n项和为Sn ，若S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N*，则{an}的通项公式为________．16. （1分）已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1，求{an}的通项公式________三、解答题 (共5题；共50分)17. （5分） (2016高一下·溧水期中) 解答题（1）在等比数列{an}中，a5=162，公比q=3，前n项和Sn=242，求首项a1和项数n．（2）有四个数，其中前三个数成等比数列，其积为216，后三个数成等差数列，其和为36，求这四个数．18. （5分）数列{an}满足Sn＝2n－an(n∈N*)．（1）计算a1、a2、a3，并猜想an的通项公式；（2）用数学归纳法证明(1)中的猜想．19. （10分） (2017高二上·钦州港月考) 已知数列的前项和为，且，又数列满足： .（1）求数列的通项公式；（2）当为何值时，数列是等比数列？此时数列的前项和为，若存在，使m<成立，求的最大值.20. （15分） (2016高一下·南充期末) 已知{an}是一个等差数列，且a2=1，a5=﹣5．（1）求{an}的通项an；（2）求{an}前n项和Sn的最大值．21. （15分）(2017·上海模拟) 已知m是一个给定的正整数，m≥3，设数列{an}共有m项，记该数列前i 项a1 ， a2 ，…，ai中的最大项为Ai ，该数列后m﹣i项ai+1 ， ai+2 ，…，am中的最小项为Bi ， ri=Ai ﹣Bi（i=1，2，3，…，m﹣1）；（1）若数列{an}的通项公式为（n=1，2，…，m），求数列{ri}的通项公式；（2）若数列{an}满足a1=1，r1=﹣2（i=1，2，…，m﹣1），求数列{an}的通项公式；（3）试构造项数为m的数列{an}，满足an=bn+cn，其中{bn}是公差不为零的等差数列，{cn}是等比数列，使数列{ri}是单调递增的，并说明理由．参考答案一、单选题 (共4题；共8分)1-1、2-1、3-1、4-1、二、填空题 (共12题；共12分)5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共5题；共50分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、。
湖南省长沙市2019-2020年度高二上学期数学10月月考试卷(II)卷
湖南省长沙市 2019-2020 年度高二上学期数学 10 月月考试卷（II）卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 4 题；共 8 分)1. （2 分） “ ”是“函数在区间上单调递增”的（ ）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件2. （2 分） 设函数 f（x）定义在实数集上，它的图象关于直线 x=1 对称，且当 x≥1 时，f（x）=lnx﹣x，则 有（ ）A.B.C.D. 3. （2 分） (2017 高二下·天津期末) 某学生通过计算发现：21﹣1=12 能被 12 整除，32﹣1=2×22 能被 22 整除，43﹣1=7×32 能被 32 整除，由此猜想当 n∈N*时，（n+1）n﹣1 能够被 n2 整除．该学生的推理是（ ） A . 类比推理 B . 归纳推理 C . 演绎推理 D . 逻辑推理4. （2 分） (2017 高一上·河北月考) 已知函数第1页共9页,若函数有两个零点,则实数 的取值范围是（ ） A.B.C.D.二、 填空题 (共 12 题；共 12 分)5. （1 分） (2018·商丘模拟) “中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852 年英国来华传教伟烈亚利将《孙子 算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲，1874 年，英国数学家马西森指出此法符合 1801 年由高斯得出的关于 同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现 有这样一个整除问题：将 2 至 2018 这 2017 个整数中能被 2 除余 1 且被 3 除余 1 的数按由小到大的顺序排成一列， 构成数列 ，则此数列的项数为________．6. （1 分） (2017·仁寿模拟) Sn 为数列{an}的前 n 项和，已知 的通项公式 an=________．．则{an}7. （1 分） (2019 高一上·苍南月考) 函数（且）的图象过定点________.8. （1 分） (2016 高二下·泗水期中) 已知 x∈（0，+∞），不等式 x+ ≥2，x+ ≥3，x+ 可推广为 x+ ≥n+1，则 a 等于________．≥4，…，9. （1 分） 中位数 1010 的一组数构成等差数列，其末项为 2015，则该数列的首项为________ ．10. （1 分） 在各项均为正数的等比数列{an}中，若 a5•a6=27，则 log3a1+log3a2+…+log3a10=________．11. （1 分） (2015 高一下·太平期中) 已知等差数列{an}满足 a1+a2+a3+…+a101=0，则 a51=________．12. （1 分） 已知数列{an}是等差数列，a2=8，a8=26，从{an}中依次取出第 3 项，第 9 项，第 27 项，…，第 3n 项，按原来的顺序构成一个新数列{bn}，则 bn=________13. （1 分） 已知定义在 R 上的函数 y=f（x）对任意实数 R 满足①f（x）=f（﹣x）；②f（﹣x+π）=f（x）第2页共9页且当 x∈[0， ]时，f（x）=sinx，则 f（﹣ ）=________．14. （1 分） (2015 高二下·徐州期中) 利用数学归纳法证明“ n=k+1 时原等式的左边应增加的项数是________项．”，从 n=k 推导15. （1 分） 已知等比数列 中，a3 是 a1 ， a2 的等差中项，则数列 的公比为________．16. （1 分） (2019 高三上·城关期中) 若等比数列满足，，则的最大值为________．三、 解答题 (共 5 题；共 45 分)17. （5 分） 设 0<a<1，定义 a1＝1＋a，, 求证：对任意 n∈N＋ ， 有18. （10 分） (2018 高一下·张家界期末) 已知等差数列 中项.中，公差是 和 的等比（1） 求数列的通项公式；（2） 设求数列的前 项和 .19. （5 分） (2019 高二上·湖南期中) 已知数列 的前 项和为 ，且任意的都有，数列 满足…（1） 求数列 ， 的通项公式；，函数对.（2） 若数列 满足， 是数列 的前 项和，是否存在正实数 ，对于任意，不等式，恒成立？若存在，请求出 的取值范围；若不存在，请说明理由.20. （ 15 分 ） (2017 高 一 下 · 鸡 西 期 末 ) 已 知 函 数，点 在 轴上的射影是，且的图象上有一点列(且)，.（1） 求证：是等比数列，并求出数列 的通项公式；第3页共9页（2） 对任意的正整数 ，当时，不等式（3） 设四边形的面积是 ，求证：21. （10 分） (2018·河北模拟) 已知曲线在点（1） 求函数的极小值；（2） 当时，求证：.恒成立，求实数 的取值范围..处的切线斜率为.第4页共9页一、 单选题 (共 4 题；共 8 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、二、 填空题 (共 12 题；共 12 分)5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、 13-1、 14-1、 15-1、参考答案第5页共9页16-1、三、 解答题 (共 5 题；共 45 分)17-1、 18-1、 18-2、第6页共9页19-1、19-2、第7页共9页20-1、20-2、 20-3、第8页共9页21-1、 21-2、第9页共9页。
湖南省湘潭市高二上学期数学10月月考试卷
湖南省湘潭市高二上学期数学10月月考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高二上·林芝期中) 数列的通项公式，则（）A . 9B . 13C . 17.D . 192. （2分） (2019高一下·凯里月考) 在等差数列中，已知是函数的两个零点，则数列的前项和（）A .B .C .D .3. （2分）直线的倾斜角的取值范围是（）A .B .C .D .4. （2分）已知等比数列｛an}中，有a3a11=4a7 ，数列{bn}是等差数列，且b7=a7 ，则b5+b9= （）A . 2B . 4C . 8D . 165. （2分） (2017高一下·蠡县期末) 在等差数列中，若是方程的两个根，则公差（）A .B .C .D .6. （2分）设为等比数列的前项和，，则的值为（）A .B .C . 11D .7. （2分）(2017·甘肃模拟) 在等差数列{an}中，a1+a2=1，a2016+a2017=3，Sn是数列{an}的前n项和，则S2017=（）A . 6051B . 4034C . 2017D . 10098. （2分） (2018高二下·沈阳期中) 用数学归纳法证明（）时，第一步应验证不等式（）A .B .C .D .9. （2分）已知4an+1﹣4an﹣9=0，则数列{an}是（）A . 公差为9的等差数列B . 公差为的等差数列C . 公差为4 的等差数列D . 不是等差数列10. （2分）(2018·河北模拟) 已知等比数列中，，，则（）A .B . -2C . 2D . 411. （2分）在等比数列中，若，，则的值是（）A .B .C .D .12. （2分）已知实数a，b，c，d成等比数列，且对函数y=ln（x+2）﹣x，当x=b时取到极大值c，则ad 等于（）A . -1B . 0C . 1D . 2二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高二上·雅安月考) 已知点，设点在线段上（含端点），则的取值范围是________14. （1分） (2018高二上·芮城期中) 过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________.15. （1分） (2016高二上·成都期中) 不论k为何实数，直线（2k﹣1）x﹣（k+3）y﹣（k﹣11）=0恒通过一个定点，这个定点的坐标是________．16. （1分）在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，且从上到下所有公比相等，则a+b+c的值为________．三、解答题 (共6题；共65分)17. （10分） (2016高一下·岳池期末) 设数列{an}满足：a1=1，an+1=3an ，n∈N+ ．（1）求{an}的通项公式及前n项和Sn；（2）已知{bn}是等差数列，Tn为前n项和，且b1=a2，b3=a1+a2+a3，求T20．18. （15分） (2018高二上·遂宁期末) 已知的三个顶点坐标分别是，，．（1）求边高所在直线的点斜式方程；（2）求边上的中线所在直线的一般式方程．19. （5分） (2016高二上·江北期中) 是否存在过点（﹣5，﹣4）的直线l，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为5？若存在，求出直线l的方程（化成直线方程的一般式）；若不存在，说明理由．20. （10分）(2018·临川模拟) 已知数列的前项和为（），且，数列是首项为1、公比为的等比数列．（1）若数列是等差数列，求该等差数列的通项公式；（2）求数列的前项和．21. （10分） (2018高一下·柳州期末) 已知等差数列的前项和 .（1）求数列的通项公式；（2）若在数列中的每相邻两项之间插入2个数，使之构成新的等差数列，求新的等差数列的通项公式.22. （15分）(2017·浙江) 已知数列{xn}满足：x1=1，xn=xn+1+ln（1+xn+1）（n∈N*），证明：当n∈N*时，（Ⅰ）0＜xn+1＜xn；（Ⅱ）2xn+1﹣xn≤ ；（Ⅲ）≤xn≤ ．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共65分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、。
湖南省高二上学期数学10月月考试卷
湖南省高二上学期数学10月月考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）按下列程序框图来计算：如果输入的=" 5," 应该运算（）次才停止.A . 2B . 3C . 4D . 52. （2分）已知a=8,b=17，现将两个数交换,使a=17,b=8,下面语句正确的一组是（）A . a=b,b=aB . b=a,a=bC . c=b,b=a,a=cD . a=c,c=b,b=a3. （2分） (2020高二上·新疆月考) 153和119的最大公约数是（）A . 153B . 119C . 34D . 174. （2分）已知f(x)＝x5＋2x3＋3x2＋x＋1，应用秦九韶算法计算x＝3时的值时，v3的值为（）A . 27B . 11C . 109D . 365. （2分） (2020高二上·黄陵期末) 下列对算法的理解不正确的是（）A . 一个算法应包含有限的步骤，而不能是无限的B . 算法中的每一步骤都应当是确定的，而不应当是含糊的、模棱两可的C . 算法中的每一步骤应当有效地执行，并得到确定的结果D . 一个问题只能设计出一种算法6. （2分）某公司有1000名员工。
其中高层管理人员为50名，属于高收入者；中层管理人员为150名，属于中等收入者；一般员工800名，属于低收入者。
要对该公司员工的收入情况进行调查，欲抽取200名员工进行调查，应从中层管理人员中抽取的人数为（）A . 10B . 15C . 20D . 307. （2分） (2016高一下·南阳期末) 学校为了解高二年级1201名学生对某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k为（）A . 10B . 20C . 30D . 408. （2分）某学校高一年级有35个班，每个班的56名同学都是从1到56编的号码，为了交流学习经验，要求每班号码为14的同学留下进行交流，这里运用的是（）A . 分层抽样B . 抽签抽样C . 随机抽样D . 系统抽样9. （2分） (2018高一下·安徽期末) 将小王6次数学考试成绩制成茎叶图如图所示,则这些数据的中位数是（）A . 81B . 83C . 无中位数D . 84.510. （2分） (2018高一下·芜湖期末) 若干个人站成一排，其中为互斥事件的是（）A . “甲站排头”与“乙站排头”B . “甲站排头”与“乙不站排尾”C . “甲站排头”与“乙站排尾”D . “甲不站排头”与“乙不站排尾”二、填空题 (共4题；共4分)11. （1分）(2019·江苏) 下图是一个算法流程图，则输出的S的值是________.12. （1分） (2020高二上·娄底开学考) 下表是降耗技术改造后，生产甲产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，得到关于的线性回归方程为，那么表中的值为________．34562.54 4.513. （1分）(2020·江苏) 已知一组数据的平均数为4，则a的值是________.14. （1分） (2018高一下·龙岩期末) 在区间中随机地取出一个数，则的概率是________．三、解答题 (共4题；共32分)15. （10分） (2020高一下·高安期中) 如图是某单位职工的月收入情况画出的样本频率分布直方图，已知图中第一组的频数为4 000，请根据该图提供的信息，解答下列问题．（1）为了分析职工的收入与年龄、学历等方面的关系，必须从样本中按月收入用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[1 500,2 000)的这组中应抽取多少人？（2）试估计样本数据的中位数与平均数．16. （10分） (2020高三上·成都月考) 随着新冠疫情防控进入常态化，生产生活逐步步入正轨，为拉动消费，成都市先后发行了三批(每批2亿元)消费券.我们随机抽取了50人，对这种拉动消费的方式是否赞同进行调查，结果如下表，其中年龄低于45岁的总人数与不低于45岁的总人数之比为 .年龄(单位：岁)人数515105赞同人数51012721参考数据：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.072 2.7063.841 5.024 6.6357.87910.828，其中 .（1）求，值；（2）若以“年龄45岁为分界点”，由以上统计数据完成下面列联表，并判断是否有99%的把握认为“赞同”的态度与人的年龄有关；年龄低于45岁的人数年龄不低于45岁的人数合计赞同不赞同合计（3）若从年龄在的被调查人中随机选取2人进行追踪调查，求2人中至少有1人不赞同的概率.17. （2分） (2016高二上·鹤岗期中) 某工厂随机抽取部分工人调查其上班路上所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），若上班路上所需时间的范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]．（1）求直方图中a的值；（2）如果上班路上所需时间不少于1小时的工人可申请在工厂住宿，若招工2400人，请估计所招工人中有多少名工人可以申请住宿；（3）该工厂工人上班路上所需的平均时间大约是多少分钟．18. （10分） (2020高二下·重庆期末) “微粒贷”是腾讯旗下2015年9月开发上市的微众银行网货产品.腾讯公司为了了解“微粒贷”上市以来在C市的使用情况，统计了C市2015年至2019年使用了“微粒货”贷款的累计人数，统计数据如表所示：年份20152016201720182019年份代号x12345累计人数y（万2.93.3 3.64.4 4.8人）参考公式： ,参考数据：（1）已知变量x，y具有线性相关关系，求累计人数y（万人）关于年份代号x的线性回归方程；并预测2020年使用“微粒贷“贷款的累计人数；（2）“微粒贷”用户拥有的贷款额度是根据用户的账户信用资质判定的，额度范围在500元至30万元不等，腾讯公司在统计使用人数的同时，对他们所拥有的贷款额度也作了相应的统计.我们把拥有货款额度在500元至5万元（不包括5万元）的人群称为“低额度贷款人群”，简称“A类人群”；把拥有贷款额度在5万元及以上的人群称为“高额度贷款人群”，简称“B类人群”.根据统计结果，随机抽取6人，其中A类人群4人，B类人群2人.现从这6人中任取3人，记随机变量ξ为A类人群的人数，求ξ的分布列及其期望.参考答案一、单选题 (共10题；共20分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：三、解答题 (共4题；共32分)答案：15-1、答案：15-2、考点：解析：答案：16-1、答案：16-2、答案：16-3、考点：解析：答案：17-1、答案：17-2、答案：17-3、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：。
湖南省长沙市高二上学期数学10月月考试卷
湖南省长沙市高二上学期数学10月月考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高二上·林芝期中) 数列的通项公式，则（）A . 9B . 13C . 17.D . 192. （2分）等差数列的前n项和为，若，则的值是（）A . 21B . 24C . 28D . 73. （2分）直线的倾斜角的取值范围是（）A .B .C .D .4. （2分）某厂的产值若每年平均比上一年增长10%，经过x年后，可以增长到原来的2倍，在求x时，所列的方程正确的是（）A . (1+10%)x-1=2B . (1+10%)x='2'C . (1+10%)x+1=2D . x=(1+10%)25. （2分） (2016高二上·大连期中) 等差数列{an}的前n项和为Sn ，若a2+a8+a11=30，那么S13值的是（）A . 130B . 65C . 70D . 以上都不对6. （2分）等比数列{an}的各项均为正数，且，则（）A . 12B . 10C . 8D . 2+log3 57. （2分） (2017高二上·西华期中) 设{an}为等差数列，|a3|=|a9|，公差d＜0，则使前n项和Sn取得最大值时正整数n=（）A . 4或5B . 5或6C . 6或7D . 8或98. （2分）用数学归纳法证明时，由k到k+1，不等式左端的变化是（）A . 增加项B . 增加和两项C . 增加和两项且减少一项D . 以上结论均错9. （2分）(2017·崇明模拟) 实数a，b满足a•b＞0且a≠b，由a、b、、按一定顺序构成的数列（）A . 可能是等差数列，也可能是等比数列B . 可能是等差数列，但不可能是等比数列C . 不可能是等差数列，但可能是等比数列D . 不可能是等差数列，也不可能是等比数列10. （2分） (2019高二上·会宁期中) 已知等比数列中，，前三项之和，则公比的值为（）A . 1B .C . 1或D .11. （2分）已知等比数列{an}前n项和为Sn ，则下列一定成立的是（）A . 若a3＞0，则a2013＜0B . 若a4＞0，则a2014＜0C . 若a3＞0，则S2013＞0D . 若a4＞0，则S2014＞012. （2分）(2017·安徽模拟) 定义：F（x，y）=yx（x＞0，y＞0），已知数列{an}满足：an= （n∈N*），若对任意正整数n，都有an≥ak（k∈N*）成立，则ak的值为（）A .B . 2C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高二上·无锡期末) 直线的倾斜角的大小为________．14. （1分） (2019高一下·海珠期末) 若直线过点，且平行于过点和的直线，则直线的方程为________15. （1分）已知直线y=kx+2k+1，则直线恒经过的定点________16. （1分） (2016高二下·吉林开学考) 设{an}是公比q＞1的等比数列，若a2005和a2006是方程4x2﹣8x+3=0的两个根，则a2007+a2008=________．三、解答题 (共6题；共65分)17. （10分） (2018高三上·山西期末) 己知数列的前项和， .（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.18. （15分）已知点M(2，2)，N(5，-2)，点P在x轴上，分别求满足下列条件的点P的坐标.（1）∠MOP=∠OPN(O是坐标原点).（2）∠MPN是直角.19. （5分） (2016高一下·南京期末) 在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，4），直线l：x﹣2y+1=0．（1）求过点A且平行于l的直线的方程；（2）若点M在直线l上，且AM⊥l，求点M的坐标．20. （10分） (2019高一下·上海月考) 已知等差数列的前n项和，求（1）数列的通项公式；（2）求的值.21. （10分） (2016高二上·浦东期中) 已知等差数列{an}的通项公式为an=2n﹣1（n∈N*），且a2 ， a5分别是等比数列{bn}的第二项和第三项，设数列{cn}满足cn= ，{cn}的前n项和为Sn （1）求数列{bn}的通项公式；（2）是否存在m∈N*，使得Sm=2017，并说明理由（3）求Sn．22. （15分） (2019高一下·余姚月考) 已知数列的前项和为，，若数列是公比为4的等比数列.（1）求，并求数列的通项公式；（2）设，，若数列是递增数列，求实数的范围.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共65分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、。
湖南省株洲市高二上学期数学10月月考试卷
湖南省株洲市高二上学期数学10月月考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高二上·林芝期中) 数列的通项公式，则（）A . 9B . 13C . 17.D . 192. （2分）在等差数列中，已知,则（）A . 10B . 11C . 12D . 133. （2分）直线l1：ax+y+b=0和直线l2：=﹣1在同一坐标中的图形可能是下图中的（）A .B .C .D .4. （2分）已知1是与的等比中项，又是与的等差中项，则的值是（）A . 1或B . 1或C . 1或D . 1或5. （2分）已知五个实数成等差数列，五个实数成等比数列，则（）A .B .C .D .6. （2分） (2018高一下·平原期末) 等比数列中，，则（）A . 8B .C . 8或D . 167. （2分） (2016高二下·芒市期中) 已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1+a3+a5=3，则S5=（）A .B . 5C . 7D . 98. （2分） (2016高二下·三亚期末) 用数学归纳法证明1+a+a2+…+an+1= （a≠1，n∈N*），在验证n=1成立时，左边的项是（）A . 1B . 1+aC . 1+a+a2D . 1+a+a2+a49. （2分） (2019高一下·汕头月考) 已知直线与函数相邻两支曲线的交点的横坐标分别为 , ,且有 ,假设函数的两个不同的零点分别为 , ,若在区间内存在两个不同的实数 , ,与 , 调整顺序后,构成等差数列,则的值为（）A . 或B . 或C . 或或不存在D . 或或不存在10. （2分）已知，且是成等比数列的整数，n为大于1的整数，则下列关于，，的说法正确的是（）A . 成等差数列B . 成等比数列C . 各项的倒数成等差数列D . 以上都不对11. （2分） (2019高一下·大庆月考) 已知实数列成等比数列，则等于（）A . 4B .C .D .12. （2分）在函数的图像上有点列,若数列是等差数列，数列{}是等比数列，则函数的解析式可能为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高二上·雅安月考) 已知点，设点在线段上（含端点），则的取值范围是________14. （1分）直线l1与直线l2：y＝3x＋1平行，又直线l1过点(3,5)，则直线l1的方程为________.15. （1分） (2017高一下·汽开区期末) 已知直线 ,则该直线过定点________16. （1分）在等比数列{an}中，若a3a5a7a9a11=32，则的值为________．三、解答题 (共6题；共65分)17. （10分） (2018高一下·唐山期末) 已知数列是等差数列，其前项和为，，，是等比数列，， .（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前10项和 .18. （15分）(2018·孝义模拟) 已知抛物线的焦点为，为轴上的点.（1）过点作直线与相切，求切线的方程；（2）如果存在过点的直线与抛物线交于，两点，且直线与的倾斜角互补，求实数的取值范围.19. （5分）已知△ABC三个顶点是A（4，4），B（﹣4，2），C（2，0）．（1）求AB边中线CD所在直线方程；（2）求AB边上的高线所在方程；（3）求△ABC的重心G的坐标．20. （10分） (2016高一下·长春期中) 数列{an}是等差数列，a1=1，an=﹣512，Sn=﹣1022，求公差d及n．21. （10分） (2016高二上·延安期中) 已知在等差数列{an}中，a2=11，a5=5．（1）求通项公式an；（2）求前n项和Sn的最大值．22. （15分） (2018高二下·台州期中) 设是数列的前项之积，且满足， .（1）求证：数列是等比数列，并写出数列的通项公式；（2）设是数列是前项之和，证明： .参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共65分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、第11 页共11 页。
湖南省益阳市高二上学期数学10月月考试卷
湖南省益阳市高二上学期数学10月月考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）在直角坐标系中,直线的倾斜角是（）A . 30°B . 120°C . 60°D . 150°2. （2分） (2019高二上·九台月考) 如图所示,直线的斜率分别为 ,则（）A .B .C .D .3. （2分） (2020高一上·林芝期末) 过点且斜率为的直线方程为（）A .B .C .D .4. （2分） (2018高二上·吉安期中) 已知直线l：与直线平行，则直线l在x轴上的截距是A . 1B .C .D .5. （2分）过点且与直线垂直的直线方程是（）A .B .C .D .6. （2分） (2018高一下·长阳期末) 直线的倾斜角为，则实数满足的关系是（）A .B .C .D .7. （2分）已知直线3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行，则它们之间的距离是（）A . 4B .C .D .8. （2分） (2019高二上·怀仁期中) 若圆C：x2+y2﹣4x﹣4y﹣10＝0上至少有三个不同的点到直线l：x﹣y+m＝0的距离为，则m的取值范围是（）A .B .C . [﹣2，2]D . （﹣2，2）9. （2分） (2017高二上·太原期末) 已知两条直线a，b和平面α，若b⊂α，则a∥b是a∥α的（）A . 充分但不必要条件B . 必要但不充分条件C . 充要条件D . 既不充分又不必要条件10. （2分）圆心为点（3,4）且过点（0,0）的圆的方程（）A .B .C .D .11. （2分）直线的倾斜角是（）A . 30°B . 120°C . 60°D . 150°12. （2分） (2017高一下·包头期末) 若a+b=0(a≠0,b≠0),则在同一直角坐标系中,直线y=ax+1与y=bx-1表示正确的是（）A . AB . BC . CD . D二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高二上·高邮期中) 若点A（1，2）在直线ax+3y﹣5=0上，则实数a的值为________．14. （1分）过点（1，2），且在两坐标轴上的截距相等的直线有________条．15. （1分） (2017高一下·河北期末) 直线的倾斜角为________．16. （1分） (2017高一下·安平期末) 圆心在x轴上、半径为的圆C位于y轴左侧，且与直线x+2y=0相切，则圆C的标准方程是________．三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分）已知直线l过点P（2，3），（1）若直线l在x轴、y轴上的截距之和等于0，求直线l的方程；（2）若直线l与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形的面积为16，求直线l的方程．18. （10分）已知直线l1：mx＋8y＋n＝0与l2：2x＋my－1＝0互相平行，且l1 ， l2之间的距离为，求直线l1的方程．19. （10分） (2018高一上·大连期末) 平面内有两个定点A（1，0），B（1，﹣2），设点P到A、B的距离分别为，且（I）求点P的轨迹C的方程；（II）是否存在过点A的直线与轨迹C相交于E、F两点，满足（O为坐标原点）．若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．20. （10分） (2016高二上·吉安期中) 已知圆C和y轴相切，圆心在直线x﹣3y=0上，且被直线y=x截得的弦长为，求圆C的方程．21. （10分）已知椭圆E：的左焦点为F，直线l：x=﹣4与x轴的交点是圆C的圆心，圆C恰好经过坐标原点O，设G是圆C上任意一点．（1）求圆C的方程；（2）若直线FG与直线l交于点T，且G为线段FT的中点，求直线FG被圆C所截得的弦长；（3）在平面上是否存在一点P，使得？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．22. （10分） (2018高二上·哈尔滨月考) 已知一组动直线方程为: .（1）求证:直线恒过定点，并求出定点的坐标;（2）若直线与轴正半轴，轴正半轴半分别交于点两点，求ΔAOB 面积的最小值.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、17-2、18-1、19-1、20-1、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、第11 页共11 页。
湖南省长沙市雅礼中学2023-2024学年高二上学期10月第一次月考数学试题(解析版)
雅礼中学2023年下学期高二10月检测试卷数学时量：120分钟满分：150分一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.1.已知集合{}2log 0A x x =>，{}2,0x B y y x ==≤，则A B ⋃=（）A.∅ B.{}0x x > C.{}01x x <≤ D.{}1x x >【答案】B 【解析】【分析】先分别求出集合,A B ，再根据并集的运算求解．【详解】∵集合{}{}2log 01A x x x x =>=>，{}{}2,001x B y y x y y ==≤=<≤，∴{}0A B x x ⋃=>．故选:B ．2.已知复数()21i =+z ，则z 的虚部是（）A.2B.2- C.2i- D.2i【答案】A 【解析】【分析】根据复数运算求得z ，根据虚部定义求得结果.【详解】()21i 2i z =+=，∴z 的虚部为：2故选：A3.已知向量(),1a m = ，()1,1b = ，则“a ，b的夹角为锐角”是“1m >-”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.【详解】若a，b的夹角为锐角，则10a b m ⋅=+>且a，b不同向，可得1m >-且1m ≠，故“a ，b的夹角为锐角”是“1m >-”的充分不必要条件．故选：A4.已知a ，b 为两条不同的直线，α为平面，则下列命题正确的是（）A.若a ⊥α，a ⊥b ，则b //αB.若a //α，a ⊥b ，则b ⊥αC.若a //α，b //α，则a //bD.若a ⊥α，a //b ，则b ⊥α【答案】D 【解析】【分析】根据线线，线面的位置关系，定义以及判断定理，性质定理，即可求解.【详解】对于A ，若a ⊥α，a ⊥b ，则b //α或b ⊂α，故A 错误；对于B ，若a //α，a ⊥b ，则b //α或b ⊂α，或b 与α相交，故B 错误；对于C ，若a //α，b //α，则a 与b 相交、平行或异面，故C 错误；对于D ，若a ⊥α，a //b ，则由直线与平面垂直的判定定理知b ⊥α，故D 正确．故选：D ．5.在ABC 中，3,5AB AC ==，M 是边BC 的中点，O 为ABC 的外心，则AM AO ⋅=（）A.8B.172C.16D.17【答案】B 【解析】【分析】根据题意可将向量数量积AM AO ⋅转化到向量,AB AC上去，再代入数据即可计算得出结论.【详解】由题意，取AC 的中点为N ，连接ON ，如下图所示：易知ON AC ⊥，()12AM AB AC =+uuur uuu r uuu r；可得()()1122AM AO AB AC AO AB AO AC AO ×=+×=×+×uuur uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r，又21cos 2AC AOAC AO CAO AC AN AC =uuu r uuu r uuu ruuu r uuu r uuu r uuu r ，同理212AB AO AB ⋅= ；所以22117()42AM AO AB AC ×=+=uuur uuu r uuu r uuu r 故选：B 6.已知1sin ,123πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭则sin 23πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.29-B.29C.79-D.79【答案】D 【解析】【分析】设12παθ=-，则1,sin 123πθαα=+=，则sin 2sin 3223[1πππθα⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎝⎭⎝⎭化简，由余弦的二倍角公式可得答案.【详解】设12παθ=-，则1,sin 123πθαα=+=，从而2[]7sin 2sin 2sin 2cos 212sin 312329ππππθαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+==-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：D【点睛】关键点睛：本题考查三角函数中知值求值的问题，解答本题的关键是设12παθ=-，然后可得sin 2sin 32]23[1πππθα⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，属于中档题.7.在平面中，过定点()2,1P 作一直线交x 轴正半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，OAB 面积的最小值为（）A.2B.C.4D.【答案】C 【解析】【分析】设直线AB 的截距式，再根据面积公式结合基本不等式求解最小值即可【详解】易得直线AB 不经过原点，故设直线AB 的方程为1(0,0)x ya b a b+=>>，因为直线AB 过定点()2,1P ，故211a b +=，所以211a b =+≥=8ab ≥≥.当4,2a b ==时等号成立故142OAB S ab =≥ 故选：C8.已知函数()(),f x g x 的定义域均为()(),32f x f x ++=R ，且()31y f x =-为偶函数，函数()g x 满足()()24g x g x -+-=，对于[]3,1x ∀∈-，均有()()312xf xg x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，则()()12023g f =（）A.4943-B.4349-C.6544D.4465【答案】A 【解析】【分析】根据(3)()2f x f x ++=可知()f x 是以6为周期的函数，则(2023)(1)f f =，根据函数的对称性可得(1)(3)f f =-.由(2)()4g x g x -+-=可得(3)4(1)g g -=-.结合3(1)(1)2f g +=、(3)(3)19f g -+-=-计算求出(1)f 和(1)g 即可.【详解】(3)()2(6)(3)2f x f x f x f x ++=⇒+++=，两式相减，得(6)()f x f x +=，所以函数()f x 是周期函数，周期6T =，有(2023)(1)f f =.因为(31)y f x =-为偶函数，图象关于y 轴对称，将(31)y f x =-的图象上的点横坐标扩大3倍，纵坐标不变，得(1)=-y f x ，图象关于y 轴对称，再向左平移一个单位长度，得()y f x =，图象关于=1x -对称，有(1)(3)f f =-.又(2)()4g x g x -+-=，令=1x -，则(3)(1)4g g -+=，即(3)4(1)g g -=-.当[3,1]x ∈-时，31()()(2x f x g x x +=+，则13(1)(1)122f g +=+=①，331(3)(3)((3)192f g --+-=+-=-，所以(1)4(1)19f g +-=-，即(1)(1)23f g -=-②，由①②，得432(1)2f =-，解得43(1)4f =-，所以49(1)4g =，又43(2023)(1)4f f ==-，所以49(1)49443(2023)434g f ==--.故选：A.【点睛】方法定睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有错选的得0分.9.一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4，连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A 为“第一次向下的数字为2或3”，事件B 为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（）A.()14P A =B.事件A 与事件B 互斥C.事件A 与事件B 相互独立D.()34P A B ⋃=【答案】CD 【解析】【分析】A.利用古典概型的概率求解判断；B.利用互斥事件的定义判断；C.利用独立事件的概率求解判断；D.利用并事件的概率求解判断.【详解】解：依题意，抛掷正四面体木块，第一次向下的数字有1，2，3，4四个基本事件，则()2142P A ==，A 不正确：事件B 含有的基本事件有8个：()1,2，()1,4，()2,1，()2,3，()3,2，()3,4，()4,1，()4,3，其中事件()2,1，()2,3，()3,2，()3,4发生时，事件A 也发生，即事件A ，B 可以同时发生，B 不正确；抛掷正四面体木块两次的所有基本事件有16个，()81162P B ==，()()()41164P AB P A P B ===，即事件A 与事件B 相互独立，C 正确；()()()()11132244P A B P A P B P AB =+-=+-= ，D 正确.故选：CD.10.如图（1）是一段依据正弦曲线设计安装的过山车轨道.建立平面直角坐标系如图（2），h （单位：m ）表示在时间t （单位：s ）时.过山车（看作质点）离地平面的高度.轨道最高点P 距离地平面50m.最低点Q 距离地平面10m.入口处M 距离地平面20m.当4s t =时，过山车到达最高点P ，10s t =时，过山车到达最低点Q .设()()πsin 0,0,2h t A t B A ωϕωϕ⎛⎫=++>><⎪⎝⎭，下列结论正确的是（）A.函数()h t 的最小正周期为12B.π6ϕ=C.14s t =时，过山车距离地平面40mD.一个周期内过山车距离地平面低于20m 的时间是4s 【答案】ACD 【解析】【分析】根据题意抽象出函数的最值，列式求,A B ，根据周期求ω，最后根据()020h =求ϕ，再根据函数的解析式判断CD.【详解】由题意可知，周期T 满足10462T=-=，得12T =，所以2π12ω=，得6π=ω，又5010A B A B +=⎧⎨-+=⎩，解得20A =，30B =.所以()π20sin 306h t t ϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭，又()020h =，即20sin 3020ϕ+=，得1sin 2ϕ=-，因为π2ϕ<，所以π6ϕ=-，所以()ππ20sin 3066h t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.对于A ，12T =，A 正确；对于B ，π6ϕ=-，B 错误；对于C ，()πππ1420sin 143020sin 3040666h ⎛⎫=⨯-+=+=⎪⎝⎭，C 正确；对于D ，由()20h t <，得ππ20sin 302066t ⎛⎫-+<⎪⎝⎭，即ππ1sin 662t ⎛⎫-<- ⎪⎝⎭，7πππ11π2π2π6666k t k +<-<+，Z k ∈，解得8121212k t k +<<+，Z k ∈，所以一个周期内过山车距离底面低于20m 的时间是()()12128124s k k +-+=，D 正确.故选：ACD.11.已知圆22:4O x y +=和圆22:4240M x y x y +-+=+相交于A 、B 两点，下列说法正确的为（）A.两圆有两条公切线B.直线AB 的方程为22y x =+C.线段AB 的长为65D.圆O 上点E ，圆M 上点F ，EF 的最大值为3+【答案】AD 【解析】【分析】由圆与圆相交可判断A ；两圆方程作差可判断B ；利用垂径定理可判断C ；转化为圆心间的距离可判断D.【详解】对于A ，因为两圆相交，所以两圆有两条公切线，故A 正确；对于B ，因为圆22:4O x y +=，圆22:4240M x y x y +-+=+，两圆作差得4244x y -+=-即24y x =+，所以直线AB 的方程为24y x =+，故B 错误；对于C ，圆22:4O x y +=的圆心为()0,0，半径为2，则圆心到直线AB 的距离455d ==，所以455AB ==，故C 错误；对于D ，圆22:4240M x y x y +-+=+的圆心()2,1M -，半径为1，所以max213EFOM =++=，故D 正确.故选：AD.12.如图，若正方体的棱长为1，点M 是正方体1111ABCD A B C D -的侧面11ADD A 上的一个动点（含边界），P 是棱1CC 的中点，则下列结论正确的是（）A.沿正方体的表面从点A 到点P 的最短路程为2B.过,,A B P 三点作正方体的截面，则截面面积为C.三棱锥1B C MD -的体积最大值为13D.若保持PM =M 在侧面11ADD A 内运动路径的长度为π3【答案】ACD 【解析】【分析】作出正方体相邻两个侧面的展开图，对比线段AP 的长度即可得到最短路程，知A 正确；作出截面，由矩形面积公式可求得B 错误；利用体积桥可知当M 与1A 重合时，体积最大，利用割补法可求得C 正确；分析可知点M 轨迹是以1DD 中点Q 为圆心，1为半径的圆在正方形11ADD A 内的部分，结合扇形弧长公式可求得D 正确.【详解】对于A ，将侧面11ABB A 和侧面11BCC B 沿1BB 展成平面，如下图所示，此时2AP ==；将底面ABCD 和侧面11CDD C 沿CD 展成平面，如下图所示，此时132AP ==；131522<，∴沿正方体的表面从点A 到点P 的最短路程为132，A 正确；对于B ，取1DD 中点Q ，连接,PQ AQ ，////PQ CD AB ，,,,P Q A B ∴四点共面，则过,,A B P 三点作正方体的截面，截面即为四边形ABPQ ，如下图阴影部分所示，AB ⊥Q 平面11BCC B ，BP ⊂平面11BCC B ，AB BP ∴⊥，//PQ AB ，PQ AB =，∴四边形ABPQ 为矩形，又1AB =，2BP ==，122ABPQ S ∴=⨯= ，B 错误；对于C ，11B C MD M BC D V V --= ，1B CD S 为定值，∴当点M 到平面1B CD 距离最大时，1B C MD V -取得最大值，又点M 为侧面11ADD A （含边界）上的一个动点，∴当点M 与点1A 重合时，点M 到平面1B CD 距离最大，()1111111133max1114141323B C MDA BC D ABCD ABCD A ABD V V V V ----∴==-=-⨯⨯⨯=，C 正确；对于D ，若PM =M 在以P 为半径的球面上，取1DD 中点Q ，则1PQ =，1MQ ∴==，∴点M 的轨迹是以Q 为圆心，1为半径的圆在正方形11ADD A 内的部分，即劣弧ST ，如下图所示，1TQ QS TS === ，π3TQS ∴∠=，∴劣弧ST 的长度为：ππ133⨯=，即点M 在侧面11ADD A 内运动路径的长度为π3，D 正确.故选：ACD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上.13.已知直线1l ：()220ax a y +++=与2l ：10x ay ++=平行，则实数a 的值为_____.【答案】1-【解析】【分析】根据直线平行的充要条件计算即可.【详解】由题意可知：()21a a a ⨯=+⨯，且121a ⨯≠⨯，解之得1a =-.故答案为：-114.已知点(1,3)A ，(2,1)B --，若直线:(2)1l y k x =-+与线段AB 相交，则k 的取值范围________．【答案】12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】首先求出直线过定点(2,1)P ，利用斜率计算公式求出PA k ，PB k ，再数形结合即可得解．【详解】解：直线:(2)1l y k x =-+经过定点(2,1)P ，31212PA k -==-- ，111222PB k --==--，又直线:(2)1l y k x =-+与线段AB 相交，由图可知122k -，即12,2k ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦；故答案为：12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．15.已知函数()2log ,05cosπ,03x x f x x x x ⎧>⎪=--≤≤，若方程()f x a =恰有四个不同的实数解，分别记为1x ，2x ，3x ，4x ，则1234x x x x +++的取值范围是____________【答案】119,612⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】明确分段函数()2log ,05cosπ,03x x f x x x x ⎧>=--≤≤两段的性质，进而作出其图像，将方程()f x a =恰有四个不同的实数解转化为()f x 的图象与直线y a =有4个不同的交点，由图象确定1x ，2x ，3x ，4x 的范围，结合对勾函数单调性性质，即可求得答案.【详解】由题意知()2log ,05cosπ,03x x f x x x x ⎧>⎪=--≤≤，当503x -≤≤时，π()cosπ2sin(π6f x x x x =-=-，令π3ππ62x -=-，则43x =-；当53x =-时，55π(2sin(π)1336f -=--=；当0x >时，2()log f x x =，令2()log 2f x x ==，则14x =或4；令()1f x =，则12x =或2；由此可作出函数()f x的图象如图：由于方程()f x a =恰有四个不同的实数解，分别记为1x ，2x ，3x ，4x ，故()f x 的图象与直线y a =有4个不同的交点，由图象可知12a ≤<，不妨设1234x x x x <<<，则123410242x x x x <<<≤<≤<，且12,x x 关于43x =-对称，所以1283x x +=-，又2324|log ||log |x x =即2324log log x x -=，则2324341l ,og log 0x x x x +=∴=，故123444813x x x x x x +++=-++，由于1y x x=+在[2,4)上单调递增，故44511724x x ≤+<，所以1234119612x x x x -≤+++<，故1234x x x x +++的取值范围是119612,⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，故答案为：119612,⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【点睛】关键点睛：本题综合考查函数与方程的应用知识，涉及到知识点较多，综合性强，解答的关键时要明确分段函数的性质，进而作出其图象，数形结合，即可求解.16.若圆2221:240(0)C x y ax a a +++-=≥与圆2222:210(0)C x y by b b +-+-=≥外切，则6ba +的最大值为________________.【答案】12【解析】【分析】先根据两圆外切可得229a b +=，再根据0,0a b ≥≥可知，点(),a b 的轨迹为圆弧，圆229a b +=的四分之一，而6ba +表示定点()6,0A -与圆弧229ab +=()0,0a b ≥≥上的动点(),P a b 连线的斜率，然后数形结合即可求出．【详解】由题可得圆()221:4C x a y ++=的圆心为()1,0C a -，半径为12r =，圆()222:1C x y b +-=的圆心为()0,C b ，半径为21r =.因为两圆外切，可得229a b +=，0,0a b ≥≥，6ba +可看作平面直角坐标系中的定点()6,0A -与圆弧229ab +=()0,0a b ≥≥上的动点(),P a b 连线的斜率，结合图形可知，当点P 为()0,3时，6b a +最大，此时其最大值为12．故答案为：12.【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系的应用，以及利用几何意义求最值，意在考查学生的转换能力和数学运算能力，属于基础题．四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17.ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c .已知3,cos ,32a A B A π===+.（1）求b 的值；（2）求ABC 的面积.【答案】（1）（2）322.【解析】【分析】（1）根据cos 3A =求出sin A ，根据2B A π=+求出sin B ，根据正弦定理求出b ；（2）先求出sin C ，再利用面积公式即可求出.【详解】（1）在ABC中，由题意知3sin 3A ==，又因为2B A π=+，所有6sin sin(cos 23B A A π=+==，由正弦定理可得63sin 3sin 33a BAb ⨯===.（2）由2B A π=+得3cos cos sin 2(3)B A A π=+=-=-，由A B C π++=,得()C A B π=-+.所以sin sin[()]sin()C A B A B π=-+=+sin cos cos sin A B A B =+3366(3333=-+⨯13=.因此，ABC的面积111sin 32232S ab C ==⨯⨯=.【点睛】本题考查正弦定理和三角形面积公式的应用，属于中档题.18.《中华人民共和国民法典》于2021年1月1日正式施行．某社区为了解居民对民法典的认识程度，随机抽取了一定数量的居民进行问卷测试（满分：100分），并根据测试成绩绘制了如图所示的频率分布直方图.（1）估计该组测试成绩的平均数和第57百分位数；（2）该社区在参加问卷且测试成绩位于区间[)80,90和[]90,100的居民中，采用分层随机抽样，确定了5人.若从这5人中随机抽取2人作为该社区民法典宣讲员，设事件A =“两人的测试成绩分别位于[)80,90和[]90,100”，求()P A .【答案】（1）平均数76.2；第57百分位数79；（2）()35P A =.【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图计算平均数及百分位数；（2）根据分层抽样确定测试成绩分别位于[)80,90和[]90,100的人数，按照古典概型计算即可.【小问1详解】由频率分布直方图可知测试成绩的平均数450.04550.06650.2750.3850.24950.1676.2x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.测试成绩落在区间[)40,70的频率为()0.0040.0060.02100.3++⨯=，落在区间[)40,80的频率为()0.0040.0060.020.03100.6+++⨯=，所以设第57百分位数为a ，有()0.3700.030.57a +-⨯=，解得79a =；【小问2详解】由题知，测试分数位于区间[)80,90、[)90,100的人数之比为0.2430.162=，所以采用分层随机抽样确定的5人，在区间[)80,90中3人，用1A ，2A ，3A 表示，在区间[)90,100中2人，用1B ，2B 表示，从这5人中抽取2人的所有可能情况有：()12,A A ，()13,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()23,A A ，()21,A B ，()22,A B ，()31A B ，()32,A B ，()12,B B ，共10种，其中“分别落在区间[)80,90和[)90,100”有6种，所以()35P A =.19.已知圆C ：22230x y x ++-=.（1）求过点(1,3)且与圆C 相切的直线l 的方程；（2）已知点()4,0A ，()0,4B ，P 是圆C 上的动点，求ABP 面积的最大值.【答案】（1）1x =或512310x y -+=；（2）10+【解析】【分析】（1）将圆化为标准式，求出圆心与半径，讨论直线的斜率存在或不存在，当不存在时，设出点斜式，利用点到直线的距离等于半径即可求解.（2）将问题转化为求圆上的点到直线AB 距离的最大值即可求解.【详解】（1）当直线l 的斜率不存在时：1x =，此时圆心到直线的距离等于半径，满足题意，当直线l 的斜率存在时，设直线方程为：3(1)y k x -=-，圆C ：()2214x y ++=，即2d ==，∴512k =所以直线l 方程为：512310x y -+=.（2）∵()4,0A ，()0,4B ，∴AB ==AB 的方程为：40x y +-=，圆心到直线AB522=，所以点P 到直线AB的距离的最大值为max 22h =+，所以()max 15221022ABP S ⎛⎫=⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭.20.如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE AD ==，ABC ∆是底面的内接正三角形，且6AB =，P 是线段DO 上一点.（1）若12DP PO =，求三棱锥P -ABC 的体积.（2）当PO 为何值时，直线EP 与平面PBC 所成的角的正弦值最大.【答案】（1）（2）PO =【解析】【分析】（1）应用棱锥的体积公式即可；（2）建立空间直角坐标系，用向量法求解.【小问1详解】在Rt DOA ，AD =AO =222,6DO AD AO DO =-∴=，因为12DP PO =，23PO DO =，4PO ∴=1116643322P ABC V S ABC PO -=⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅= 【小问2详解】如图所示，建立以点O 为坐标原点的空间直角坐标系..设PO x =，06x ≤≤，所以()0,0,P x，()E，)B，()C -，所以)3,EP x =-，)PB x =-，()PC x =--，设平面PBC 的法向量为(),,n a b c =，所以300n PB b cx n PC cx ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩，所以(,,n x =-.设直线EP 与平面PBC 所成的角为θ，由题意得1sin 3θ===.当且仅当PO x ==EP 与平面PBC 所成的角的正弦值最大.21.已知函数已知函数2()22f x x ax a =-++，（1）若()0f x ≤的解集[0,3]A ⊆，求实数a 的取值范围；（2）若2()()1g x f x x =+-在区间(0,3)内有两个零点()1212,x x x x <，求实数a 的取值范围．【答案】（1）1115a -<≤（2）1915⎛⎫+ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）讨论集合A 是否是空集，从而求解，（2）222221,1()22123,1x ax a x g x x ax a x ax a x ⎧-++≥⎪=-+++-=⎨-++<⎪⎩，首先讨论a 是否是0，在0a ≠时，讨论函数的零点的位置，从而确定实数a 所满足的条件，从而求其范围．【小问1详解】若A =∅，则244(2)4(2)(1)012a a a a a ∆=-+=-+<⇒-<<，若A ≠∅，则Δ0120303112(0)0520(3)09620a a a a a f a f a a ⎧≥≤-≥⎧⎪⎪<<<<⎪⎪⇒⇒≤≤⎨⎨≥+≥⎪⎪⎪⎪≥-++≥⎩⎩或．综上可得：1115a -<≤．【小问2详解】222221,1()22123,1x ax a x g x x ax a x ax a x ⎧-++≥⎪=-+++-=⎨-++<⎪⎩．若0a =，则221,1()3,1x x g x x ⎧+≥⎪=⎨<⎪⎩，无零点；若0a ≠，则23y ax a =-++在(0,1)单调，∴其在(0,1)内至多有一个零点．①若12013x x <<≤<，则3(3)0(3)(195)0a a a -+<⎧⎨--≤⎩，解得，1935a <≤，经检验，195a =时不成立，②若1213x x <<≤，由2Δ48(1)0132301950a a a a a ⎧=-+>⎪⎪<<⎪⎨⎪-≥⎪->⎪⎩，解得，13a +<≤，综上所述，实数a 的取值范围是1915⎛⎫ ⎪⎝⎭．22.在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点O 的圆M （圆心M 在第一象限）与x 轴正半轴交于点A （2，0），弦OA 将圆M 截得两段圆弧的长度比为1：5．（1）求圆M 的标准方程；（2）设点B 是直线l +y =0上的动点，BC 、BD 是圆M 的两条切线，C 、D 为切点，求四边形BCMD 面积的最小值；（3）若过点M 且垂直于y 轴的直线与圆M 交于点E 、F ，点P 为直线x ＝5上的动点，直线PE 、PF 与圆M 的另一个交点分别为G 、H （GH 与EF 不重合），求证：直线GH 过定点．【答案】（1）22(1)(4x y -+=（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由圆弧的长度比为1:5，可得60OMA ∠=︒，得OMA 为等边三角形，由此求出圆心坐标和半径，则圆M 的方程可求；（2）四边形BCMD 得面积12||22||2S BC BC =⨯⨯=，要使四边形BCMD 面积最小，则||BM 最小即可．此时BM l ⊥（3）设点0(5,)P y ，1(G x ，1)y ，2(H x ，2)y ，先分析GH 斜率存在时，设y kx b =+，根据联立方程，由根与系数关系求出k ，b 关系即可得出所过定点，再验证斜率不存在情况即可.【小问1详解】弦OA 将圆M 截得两段圆弧的长度比为1:5，60OMA ∴∠=︒，则OMA 为等边三角形，又||2OA = ，∴圆心M 得坐标为，2r =．∴圆M 的标准方程为22(1)(4x y -+=；【小问2详解】四边形BCMD 得面积12||22||2S BC BC =⨯⨯=，在Rt BCM △中，||BC =，要使四边形BCMD 面积最小，则||BM 最小即可．此时BM l ⊥，∴||min BM =，∴||min BC =．∴四边形BCMD面积的最小值为；【小问3详解】证明：设点0(5,)P y ，1(G x ，1)y ，2(H x ，2)y ，由题意知：(E -，F ，∴0113361PE GE y y k k x --===+，032PF FH y k k ==．3PF PE k k ∴=，22121(9(1)y x -=⨯+，① 点G 、H 在圆M 上，∴将2211(4(1)y x =--和2222(4(1)y x -=--代入①整理得：121227()200x x x x -++=，②当斜率k 存在时，设直线GH y kx b =+，联立22(1)(4y kx b x y =+⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，得222(1)(22)0k x kb x b ++--+-=．122221kb x x k --+=-+，21221b x x k-=+．代入②整理得：22(71030b k b k +-+-+=．∴(250b k b k ++-=，解得2b k =-或5b k =．当2b k =-时，直线GH的方程为(2)y k x =-；当5b k =-时，直线GH的方程为(5)y k x =-+，过定点．GH 与EF 不重合，∴点不合题意．当斜率k 不存在时，联立222(1)(4x x y =⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，解得(2G，，(2,0)H ．∴点适合．综上，直线GH过定点．。
湖南省常德市第一中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题
湖南省常德市第一中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题一、单选题1．直线3210x y +-=的一个方向向量是（ ） A ．()2,3-B ．()2,3C ．()3,2-D ．()3,22．已知A ，B ，C 三点不共线，O 是平面ABC 外任意一点，若2156OM OA OB OC λ=++u u u u r u u u r u u u r u u u r，则A ，B ，C ，M 四点共面的充要条件是（） A ．1730λ=B ．1330λ=C ．1730λ=- D ．1330λ=-3．直线l 过圆C ：22650x y y +-+=的圆心，并且与直线20x y ++=垂直，则直线l 的方程为（ ）A ．20x y +-=B ．20x y -+=C ．30x y +-=D ．30x y -+=4．在四面体P ABC 中，P A ，PB ，PC 两两垂直且相等，E 是AB 的中点，则异面直线AC 和PE 所成角为（ ） A ．3π B ．4π C ．23π D ．6π 5．两条平行直线230x y -+=和340ax y -+=间的距离为d ，则a ，d 分别为（ ）A ．6a =，d =B ．6a =-，dC ．6a =-，d =D ．6a =，d =6．已知两点A (3，2)和B (－1，4)到直线mx ＋y ＋3＝0的距离相等，则实数m 的值为（ ）A ．－6或12B ．－12或1C ．－12或12D ．0或127．空间直角坐标系O xyz -中，经过点()000,,P x y z ，且法向量为(),,m A B C =u r的平面方程为()()()0000A x x B y y C z z -+-+-=，经过点()000,,P x y z 且一个方向向量为()(),,0n μυωμυω=≠v的直线l 的方程为000x x y y z z μυω---==，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面α的方程为3570x y z -+-=，经过()0,0,0的直线l 的方程为321x y z==-，则直线l 与平面a 所成角的正弦值为（ ）A B C D 8．已知直线l ：(3)(2)20m x m y m ++---=，点()21A --，，(22)B -，，若直线l 与线段AB 相交，则m 的取值范围为（ ） A ．(4][4)-∞-⋃+∞，， B ．(22)-，C ．3[8]2-， D ．(4)+∞，二、多选题9．下列说法正确的是（ ）A ．过11(,)x y ，22(,)x y 两点的直线方程为112121y y x x y y x x --=-- B ．点(0,2)关于直线1y x =+的对称点为(1,1)C ．直线20x y --=与两坐标轴围成的三角形的面积是2D ．经过点(1,1)且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为20x y +-=10．已知()0,2,3A ，()2,1,6B -，()1,1,5C -，()1,2,4P ，则下列说法正确的有（ ）A ．AB u u u r与AC u u u r 夹角的余弦为12B ．ABC V 的面积为C ．平面ABC 的一个法向量()1,1,1n =rD ．四面体P ABC -的体积为7311．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝2，∠BAD ＝60°，将△ABD 沿对角线BD 翻折到△PBD 位置，连结PC ，则在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）A ．PC 与平面BCD 所成的最大角为45°B ．存在某个位置，使得PB ⊥CDC ．当二面角P ﹣BD ﹣C 的大小为90°时，PC =D ．存在某个位置，使得B 到平面PDC三、填空题12．已知空间向量,,a b c r r r 两两夹角均为60o ，其模均为1，则2a b c +-=r r r .13．已知直线():22l y k x =-+，当k 变化时，点()1,2P -到直线l 的距离的取值范围是. 14．平面直角坐标系上有(1,1),(3,0)A B 两点，直线l 的方程为280x y +-=，直线l 上有一点P ，PA PB +最短，则P 点的坐标为 .四、解答题15．已知(),4,1a x =r ，()2,,1b y =--r ，()3,2,c z =-r ，//a b r r ，b c ⊥r r，求：(1)a r ，b r，c r ；(2)a c +r r 与b c +r r夹角的余弦值.16．已知直线:3260l x y --=.（1）若直线1l 过点()1,2M -，且1l l ⊥，求直线1l 的方程； （2）若直线，且直线2l 与直线l 之间的距离为13，求直线2l 的方程.17．已知ABC V 的顶点()2,8C -，直线AB 的方程为211y x =-+，AC 边上的高BH 所在直线的方程为320x y ++=. (1)求顶点A 和B 的坐标； (2)求ABC V 外接圆的一般方程.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥面ABCD ．2PA AB AD ===，四边形ABCD 满足AB AD ⊥，//BC AD ，4BC =，点M 为PC 中点，点E 为BC 边上的动点（Ⅰ）求证：//DM平面PAB．（Ⅱ）是否存在点E，使得二面角P DE B--的余弦值为23？若存在，求出线段BE的长度；若不存在，说明理由．19．在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB，AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，点A与坐标原点重合(如图所示).将矩形折叠，使点A落在线段DC上．（1）若折痕所在直线的斜率为k，试求折痕所在直线的方程;（2）当20k-≤时，求折痕长的最大值．。
湖南省长沙市2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题含答案
湖南2024—2025学年意高二第一学期第一次大徐习数学（答案在最后）时量：120分钟满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知z=，则z=（）A.1i33-B.1i33+ C.12i33- D.12i33+【答案】A【解析】【分析】根据复数的除法运算，即可求出答案.【详解】由题意得11i333z-===-，故选：A2.设集合{}(){}212,ln1A x xB y y x=+≤==+，则A B=（）A.[]0,1B.[]3,0- C.[)3,∞-+ D.[)0,+∞【答案】C【解析】【分析】由绝对值不等式解出集合A，再由对数的单调性得到集合B，最后求并集即可；【详解】由题意可得21231x x-≤+≤⇒-≤≤，所以{}3|1A x x=-≤≤，因为211x+≥，所以()2ln10y x=+≥，所以{}|0B y y=≥，所以[)3,A B=-+∞，故选：C.3.）A.2π B.3πC. D.【答案】B【解析】【分析】设圆锥的底面半径为r，根据轴截面面积求出r，结合圆锥侧面积公式，即可求得答案.【详解】设圆锥的底面半径为r，，母线长为2r，1212r r⨯=∴=，则该圆锥的表面积为2π1π123π⨯+⨯⨯=，故选：B4.若角α满足ππcos()2cos()36αα+=-，则πcos(23α-=（）A.45- B.35- C.45 D.35【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，利用诱导公式求出t n(aπ6α-，再利用二倍角的余弦公式，结合齐次式法求值.【详解】由ππcos()2cos()36αα+=-，得πππcos[()]2cos()266αα+-=-，即ππsin(2cos()66αα--=-，则πtan(26α-=-所以2222ππcos()sin()ππ66cos(2)cos2()ππ36cos()sin()66αααααα----=-=-+-2222π1tan()1(2)36π1(2)51tan()6αα----===-+-+-.故选：B5.已知平面上三个单位向量,,a b c满足()2ac b=+，则a c⋅=（）A.12B.2C.14D.34【答案】C【解析】【分析】将()2ac b=+平方后求出78a b⋅=-，再根据数量积的运算律，即可求得答案.【详解】由题意知平面上三个单位向量,,a b c满足()2ac b=+，则()2214a bc==+，即22148488a a b b a b +⋅=++=⋅ ，则78a b ⋅=- ，故()2712222284a c a ab a a b =⋅=⋅++⋅=-⨯=，故选：C6.若函数()f x 在定义域[],a b 上的值域为()(),f a f b ⎡⎤⎣⎦，则称()f x 为“Ω函数”．已知函数()25,024,24x x f x x x m x ≤≤⎧=⎨-+<≤⎩是“Ω函数”，则实数m 的取值范围是（）A.[]4,10 B.[]4,14 C.[]10,14 D.[)10,+∞【答案】C 【解析】【分析】根据“Ω函数”的定义确定()25,024,24x x f x x x m x ≤≤⎧=⎨-+<≤⎩的值域为[0,]m ，结合每段上的函数的取值范围列出相应不等式，即可求得答案.【详解】由题意可知()25,024,24x x f x x x m x ≤≤⎧=⎨-+<≤⎩的定义域为[0,4]，又因为函数()25,024,24x x f x x x m x ≤≤⎧=⎨-+<≤⎩是“Ω函数”，故其值域为()()[0,4]f f ；而()()00,4f f m ==，则值域为[0,]m ；当02x ≤≤时，()5[0,10]f x x =∈，当24x <≤时，()24f x x x m =-+，此时函数在(2,4]上单调递增，则()(4,]f x m m ∈-，故由函数()25,024,24x x f x x x m x ≤≤⎧=⎨-+<≤⎩是“Ω函数”可得041010m m ≤-≤⎧⎨≥⎩，解得1014m ≤≤，即实数m 的取值范围是[]10,14，故选：C7.已知,A B 两点的坐标分别为()()0,1,1,0A B ，两条直线1:10l mx y -+=和()2:10l x my m +-=∈R 的交点为P ，则AP BP +的最大值为（）A.2B.C.1D.2【答案】D【解析】【分析】由直线所过定点和两直线垂直得到点P 的轨迹，再设ABP θ∠=，结合辅助角公式求出即可；【详解】由题意可得直线1:10l mx y -+=恒过定点()0,1A ，2:10l x my +-=恒过定点()1,0B ，且两直线的斜率之积为1-，所以两直线相互垂直，所以点P 在以线段AB 为直径的圆上运动，AB =，设ABP θ∠=，则,AP BP θθ==，所以π2sin 4AP BP θθθ⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭，所以当π4θ=时，即0m =时，AP BP +取得最大值2，此时点P 的坐标为()1,1.故选：D.8.已知点P 在椭圆τ：22221x y a b +=(a>b >0)上，点P 在第一象限，点P 关于原点O 的对称点为A ，点P 关于x 轴的对称点为Q ，设3,4PD PQ →→=直线AD 与椭圆τ的另一个交点为B ，若PA ⊥PB ，则椭圆τ的离心率e =（）A.12B.2C.2D.3【答案】C 【解析】【分析】设P 的坐标，由题意可得,A Q 的坐标，再由向量的关系求出D 的坐标，求出,AD PA 的斜率，设B 坐标，,P B 在椭圆上，将,P B 的坐标代入椭圆的方程，两式相减所以可得224 PA PB b k k a⋅=-，再由PA PB ⊥可得,a b 的关系，进而求出离心率．【详解】设()11,P x y ，则()()1111,,,A x y Q x y ---，3,4PD PQ →→=，则11,2y D x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设()22,B x y ，则2211222222221 ,1x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减得到：()()()()1212121222x x x x y y y y a b +-+-=-，2121221212,,PBAD AB y y x x b k k k x x a y y -+==-⋅=-+即()1211211121124 ,4PA y y y y y y k x x x x x x ++===++，,PA PB ⊥故 1PA PBk k ⋅=-，即2241b a -=-，故2234a c =，故3 2e =.故选：C.【点睛】本题考查了椭圆的离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力，属于中档题.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.若圆()22260x y x y a a +--+=∈R 上至多存在一点，使得该点到直线3450x y ++=的距离为2，则实数a 可能为（）A.5B.6C.7D.8【答案】BCD 【解析】【分析】根据圆的方程确定圆心和半径以及10a <，再结合题意列出相应不等式，即可求得答案.【详解】圆()22260x y x y a a +--+=∈R 即圆()()()221310x y a a -+-=-∈R ,需满足10a <，则圆心为()1,3圆心()1,3到直线3450x y ++=的距离为312545d ++==，要使圆()22260x y x y a a +--+=∈R 上至多存在一点，使得该点到直线3450x y ++=的距离为2，需满足42≥，解得610a ≤<，结合选项可知6，7，8符合题意，故选：BCD10.已知函数()f x 的定义域为(),1f x -R 为偶函数，()1f x +为奇函数，则下列选项正确的是（）A.()f x 的图象关于直线1x =-对称B.()f x 的图象关于点()1,0对称C.()31f -=D.()f x 的一个周期为8【答案】ABD 【解析】【分析】根据函数的奇偶性可推出函数的对称性，判断AB ；利用赋值法求出()1f 的值，结合对称性可求()3f ，判断C ；结合函数奇偶性、对称性可推出函数的周期，判断D.【详解】由于函数()f x 的定义域为(),1f x -R 为偶函数，则()()11f x f x --=-，即()()2f x f x --=，则()f x 的图象关于直线1x =-对称，A 正确；又()1f x +为奇函数，则()()11f x f x -+=-+，即()()2f x f x -+=-，故()f x 的图象关于点()1,0对称，B 正确；由于()()11f x f x -+=-+，令0x =，则()()()11,10f f f =-∴=，又()f x 的图象关于直线1x =-对称，故()()310f f -==，C 错误；又()()2f x f x --=，()()2f x f x -+=-，则()()22f x f x --=--+，故()()22f x f x -=-+，即()()4f x f x +=-，则()()8f x f x +=，即()f x 的一个周期为8，D 正确，故选：ABD11.在棱长均为1的三棱柱111ABC A B C -中，1160A AB A AC BAC ∠=∠=∠=，点T 满足1AT xAB y AC z AA =++，其中[],,0,1x y z ∈，则下列说法一定正确的有（）A.当点T 为三角形111A B C 的重心时，2x y z ++=B.当1x y z ++=时，AT 的最小值为3C.当点T 在平面11BB C C 内时，x y z ++的最大值为2D.当1x y +=时，点T 到1AA 的距离的最小值为2【答案】BCD 【解析】【分析】将AT 用1,,AB AC AA 表示，再结合1AT xAB y AC z AA =++ 求出,,x y z ，即可判断A ；将AT平方，将()1z x y =-+代入，再结合基本不等式即可判断B ；当点T 在平面11BB C C 内时，则存在唯一实数对(),λμ使得()11BT BB BC BB AC AB λμλμ=+=+- ，再根据1AT xAB y AC z AA =++ ，求出,,x y z ，再根据[],,0,1x y z ∈即可判断C ；求出AT 在1AA方向上的投影，再利用勾股定理结合基本不等式即可判断D.【详解】对于A ，当点T 为三角形111A B C 的重心时，()()11111211323AT A B A C AB AC =⨯+=+，所以1111133A AA A T AB AC A T A =++=+ ，又因为1AT xAB y AC z AA =++ ，所以1,13x y z ===，所以53x y z ++=，故A 错误；对于B ，2222211221222xy AB AC xz AB AA yz AC AA AT x AB y AC z AA +⋅+⋅+++⋅=+222x y z xy xz yz =+++++()()()21x y z xy xz yz xy xz yz =++-++=-++，因为1x y z ++=，所以()1z x y =-+，则()()()1xy xz yz xy x y z xy x y x y ⎡⎤++=++=++-+⎣⎦()()()()()2224x y xy x y x y x y x y +=++-+≤++-+()()223321144333x y x y x y ⎛⎫=-+++=-+-+≤ ⎪⎝⎭，当且仅当23x y +=时取等号，所以()2121133AT xy xz yz =-++≥-= ，所以3AT ≥，所以AT 的最小值为63，故B 正确；对于C ，当点T 在平面11BB C C 内时，则存在唯一实数对(),λμ使得()11BT BB BC BB AC AB λμλμ=+=+-，则()11AT AB BT AB AC AA μμλ=+=-++ ，又因为1AT xAB y AC z AA =++ ，所以1,,x y z μμλ=-==，所以11x y z μμλλ++=-++=+，因为[]0,1z λ=∈，所以[]11,2λ+∈，所以x y z ++的最大值为2，故C 正确；对于D ，当1x y +=时，由A 选项知，()()22222221AT x y z xy xz yz x y z xy x y z z xy z =+++++=++-++=+-+ ，AT 在1AA 方向上的投影为111111AT AA xAB AA y AC AA z AA AA AA ⋅=⋅+⋅+⋅111222x y z z =++=+，所以点T 到1AA的距离d ==因为()2144x y xy +≤=，所以2d =≥=，当且仅当12x y ==时，取等号，所以点T 到1AA的距离的最小值为2，故D 正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：当点T 在平面11BB C C 内时，则存在唯一实数对(),λμ使得()11BT BB BC BB AC AB λμλμ=+=+- ，再根据1AT xAB y AC z AA =++，求出,,x y z ，是解决C选项的关键.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知随机事件,A B 满足()()()111,,342P A P B P A B ==+=，则()P AB =____________．【答案】112【解析】【分析】根据随机事件的和事件的概率计算公式，即可求得答案.【详解】由题意可知()()()111,,342P A P B P A B ==+=，故()()()()P A B P A P B P AB +=+-,则()()()()111134212P AB P A P B P A B =+-+=+-=，故答案为：11213.已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为积为__________．【答案】100π【解析】【分析】分别求得上下底面所在平面截球所得圆的半径，找到球心，求得半径，再由球的表面积公式可得结果．【详解】由题意设三棱台为111ABC A B C -，如图，上底面111A B C所在平面截球所得圆的半径是112332O A =⨯⨯，1(O 为上底面截面圆的圆心)下底面222A B C所在平面截球所得圆的半径是2223432O A =⨯⨯，2(O 为下底面截面圆的圆心)由正三棱台的性质可知，其外接球的球心O 在直线12O O 上，当O 在线段12O O1=，无解；当O 在12O O1=，解得225R =，因此球的表面积是24π4π25100πS R ==⨯=．故答案为：100π14.已知2024是不等式()22log 2321log x x a a+->+的最小整数解，则a 的取值范围为____________．【答案】2021202222a ≤<【解析】【分析】结合分式不等式和对数函数与指数函数互换的性质变形不等式，再分21log a +大于零和小于零时分类讨论即可；【详解】由题意可得012230xa a a >⎧⎪⎪≠⎨⎪->⎪⎩，变形不等式可得()()222222223log 2log 2321log 01log 1log 1log xx a x x a a a a a a-+-+-+-=>+++，当211log 02a a +>⇒>时，有2223log 20x a x a-+->，由指数函数和对数函数的互化并整理可得2223240x x a a -⋅->，即()()2420xxaa -+>，解得24x a >或2x a <-（舍去），从而2log 4x a >，又12a >时2log 41a >，所以要使2024是不等式()22log 2321log x x aa+->+的最小整数解，有22023log42024a ≤<，解得2021202222a ≤<，所以2021202222a ≤<，当211log 002a a +<⇒<<时，注意到20242024323212a ->->，此时，不等式的分子大于零，不符合题意，综上，a 的取值范围为2021202222a ≤<.故答案为：2021202222a ≤<.四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c ，将该指标大于c 的人判定为阳性，小于或等于c 的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为()p c ；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为()q c ．假设数据在组内均匀分布．（1）当漏诊率()0.5%p c =时，求临界值c 和误诊率()q c ；（2）已知一次调查抽取的未患病者样本容量为100，且该项医学指标检查完全符合上面频率分布直方图（图2），临界值99c =，从样本中该医学指标在[]95,105上的未患病者中随机抽取2人，则2人中恰有一人为被误诊者的概率是多少？【答案】（1）97.5c =，() 3.5%q c =（2）815【解析】【分析】（1）由图1，根据漏诊率()0.5%p c =列式求出c ，再由图2求出误诊率()q c ；（2）根据图2求出100个未患病者中，该项医学指标在[]95,105中的人数以及被误诊者的人数，再利用列举法和古典概型的概率公式可求出结果.【小问1详解】依题可知，图1第一个小矩形的面积为50.0020.5%⨯>，所以95100c <<，所以()950.0020.5%c -⨯=，解得97.5c =，()()0.0110097.550.0020.035 3.5%q c =⨯-+⨯==．【小问2详解】由题可知，100个未患病者中，该项医学指标在[]95,105中的有100(0.0100.002)56⨯+⨯=人，其中被误诊者有100(10099)0.0110050.0022⨯-⨯+⨯⨯=人，记随机抽取的2人恰有一人为被误诊者为事件A ．分别用a ，b ，c ，d ，E ，F 表示这6人，E ，F 代表被误诊的2人，样本空间{},,,,,,,,,,,,,,ab ac ad aE aF bc bd bE bF cd cE cF dE dF EF Ω=，事件{},,,,,,,A aE aF bE bF cE cF dE dF =，故()15n Ω=，()8n A =，()()()815n A P A n ==Ω，故2人中恰有一人为被误诊者的概率是815．16.已知圆22:80C x y y +-=，过点()2,2P 的直线l 与圆C 交于,A B 两点，点M 满足2OM OA OB =+，其中O 为坐标原点．（1）求点M 的轨迹方程；（2）若CMP !的面积为2，求AB ．【答案】（1）()()22132x y -+-=（2）【解析】【分析】（1）设s ，求出圆心坐标，利用CM MP ⊥的数量积为零求出轨迹方程即可；（2）设圆心到直线的距离为d ，由三角形面积公式求出2d ，再利用弦长公式求解即可；【小问1详解】由2OM OA OB =+可得点M 为线段AB 的中点，设s ，圆方程化为标准方程为()22416x y +-=，所以圆心()0,4C ，半径4r=，所以()(),4,2,2CM x y MP x y =-=--，因为CM MP ⊥，所以()(),42,20x y x y -⋅--=，整理可得()()22132x y -+-=，所以点M 的轨迹方程为()()22132x y -+-=，【小问2详解】设圆心到直线的距离为d ，因为M 为AB 的中点，且CM AB ⊥，CMP !的面积为2，CP =所以122d =，即4d =，解得24d =，由弦长公式可得AB ===17.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD是矩形，PA PD ==，PB PC ==90APB CPD ∠=∠=︒，点M ，N 分别是棱BC ，PD 的中点.（1）求证：//MN 平面PAB ；（2）若平面PAB ⊥平面PCD ，求直线MN 与平面PCD 所成角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）69【解析】【分析】（1）取PA 的中点为Q ，连接NQ ，BQ ，由平面几何知识可得//NQ BM 且NQ BM =，进而可得//MN BQ ，由线面平行的判定即可得证；（2）过点P 作PE AB ⊥交AB 于点E ，作PF CD ⊥交CD 于点F ，连接EF ，取EF 的中点为O ，连接OP ，建立空间直角坐标系后，求出平面PCD 的一个法向量为n 、直线MN 的方向向量MN，利用sin cos n MN n MN n MNθ⋅=⋅=⋅即可得解.【详解】（1）证明：取PA 的中点为Q ，连接NQ ，BQ ，如图：又点N 是PD 的中点，则//NQ AD 且12NQ AD =，又点M 是BC 的中点，底面ABCD 是矩形，则12BM AD =且//BM AD ，∴//NQ BM 且NQ BM =，∴四边形MNQB 是平行四边形，∴//MN BQ ，又MN ⊄平面PAB ，BQ ⊂平面PAB ，∴//MN 平面PAB ；（2）过点P 作PE AB ⊥交AB 于点E ，作PF CD ⊥交CD 于点F ，连接EF ，则PF AB ⊥，PE PF P = ，∴AB ⊥平面PEF ，又AB ⊂平面ABCD ，∴平面PEF ⊥平面ABCD ，∵3PA PD ==，6PB PC ==90APB CPD ∠=∠=︒，∴3AB CD ==，2PE PF ==2BE CF ==，1AE DF ==.设平面PAB ⋂平面PCD l =，可知////l CD AB ，∵平面PAB ⊥平面PCD ，∴90EPF ∠=︒，∴2EF =，取EF 的中点为O ，连接OP 、OM ，则OP ⊥平面ABCD ，1OP =，∴OM 、OF 、OP 两两垂直，以O 为坐标原点，分别以OM ，OF ，OP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系,O xyz -，如图所示，则()0,0,1P ，()2,1,0C ，()1,1,0D -，()2,0,0M ，111,,222N ⎛⎫-⎪⎝⎭，∴()2,1,1PC =- ，()1,1,1PD =--，511,,222MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设平面PCD 的一个法向量为(),,n x y z =，则由020n PD x y z n PC x y z ⎧⋅=-+-=⎨⋅=+-=⎩ ，令1y =可得()0,1,1n =r .设直线MN 与平面PCD 所成角为θ，则6sin cos 9n MN n MN n MNθ⋅=⋅===⋅∴直线MN 与平面PCD所成角的正弦值为9.【点睛】本题考查了线面平行的判定及利用空间向量求线面角，考查了空间思维能力与运算求解能力，属于中档题.18.已知P是椭圆C ：22221x y a b+=(a >b >0)上一点，以点P 及椭圆的左、右焦点F 1，F 2为顶点的三角形面积为2（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过F 2作斜率存在且互相垂直的直线l 1，l 2，M 是l 1与C 两交点的中点，N 是l 2与C 两交点的中点，求△MNF 2面积的最大值．【答案】（1）22184x y +=；（2）49﹒【解析】【分析】(1)由椭圆过的点的坐标及三角形的面积可得a ，b ，c 之间的关系，求出a ，b 的值，进而求出椭圆的标准方程；(2)由题意设直线1l 的方程，与椭圆联立求出两根之和，进而求出交点的中点M 的纵坐标，同理求出N 的纵坐标，进而求出2MNF 面积的表达式，换元由函数的单调性求出其最大值．【小问1详解】由题意可得22222231122a b c c a b ⎧+=⎪⎪⎪⋅=⎨⎪=-⎪⎪⎩，解得：28a =，24b =，∴椭圆的标准方程为：22184x y +=；【小问2详解】由(1)可得右焦点2(2,0)F ，由题意设直线1l 的方程为：2x my =+，设直线与椭圆的交点1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，则中点M 的纵坐标为122M y y y +=，联立直线1l 与椭圆的方程222184x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理可得：22(2)480m y my ++-=，12242m y y m -+=+，∴222Mmy m -=+，同理可得直线2l 与椭圆的交点的纵坐标2212()21122()N m m y m m-⋅-==++-，∴2221|||||||2MNF M N S MF NF y y =⋅=⋅△22422222(1)2(1)||||2522(1)m m m m m m m m ++==++++222||121m mm m =+⋅++，设0m >，令212m t m+=，则2212MNF S t t=+△，令1()2f t t t =+，2t ，21()2f t t '=-，2t ，()0f t '>恒成立，∴()f t 在[2，)+∞单调递增，∴22241192222MNF S t t ==+⨯+△．∴2MNF 面积的最大值为：49．19.基本不等式是最基本的重要不等式之一，二元基本不等式为122a a +≥．由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法．基本不等式可以推广到一般的情形：对于n 个正数12,,...,n a a a ，它们的算术平均数121...1nn n i i a a a A a n n =+++==∑（注：121...nin i aa a a ==+++∑）不小于它们的几何平均数()11121...nnnn ni i G a a a a =⎛⎫== ⎪⎝⎭∏（注：121...ni n i a a a a ==∏），即)12...n n n a a a A G n+++≥≥，当且仅当12...n a a a ===时，等号成立．（1）已知0x y >>，求()1x y x y +-的最小值；（2）已知12,,...,0n a a a >且12...1n a a a +++=．（ⅰ）求证：()()2221111nnniii i a na==-≥-∏∏；（ⅱ）当2024n ≥，求3111nii i i a n a a =++-∑的最小值，其中11n a a +=．【答案】（1）3（2）（ⅰ）证明见解析（ⅱ）421n n -【解析】【分析】（1）直接使用均值不等式即可证明()13x y x y +≥-，再构造取到等号的例子即可；（2）（ⅰ）使用适当的1n +元和1n -元均值不等式，再将所得结果相乘即可；（ⅱ）先研究函数()()()ln 1ln 1f x x x =---+的性质，再利用相应性质得到结果.【小问1详解】由均值不等式得()()()1133x y x y y x y y x y +=+-+≥⋅--.而当2x =，1y =时，有0x y >>，()112321x y x y +=+=--.所以()1x y x y +-的最小值是3.【小问2详解】（ⅰ）由于12,,...,0n a a a >，12...1n a a a +++=，故对1,2,...,i n =，由均值不等式有()()11121112111......1......n i i i i i n i i i i n a a a a a a a a n a a a a a a a +-+-++=++++++++≥+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅，()()11121112111......1......n i i i n i i n a a a a a a n a a a a a --+-+-=++++++≥-⋅⋅⋅⋅⋅⋅.将二者相乘，得()()2222211121111......nn nii i nia n a a a a a a+--+-≥-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅.再将该不等式对1,2,...,i n =相乘，即得()()()()()22212112222211111111n n n nn n n n nnn i i i i i i i i a n a n a n a -⋅++-====⎛⎫⎛⎫-≥-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∏∏∏∏.（ⅱ）对01x <<，设()()()ln 1ln 1f x x x =---+.则()1111f x x x'=--+，()()()2211011f x x x ''=+>-+.对01a b <<<，设()()()()()h u f u f b u b f b '=---，01u <<.则()()()h u f u f b '''=-，()()0h u f u ''''=>，所以()h u '在()0,1上递增.所以对0u b <<有()()()0h u f u f b '''=-<，对1b u <<有()()()0h u f u f b '''=->.这表明()h u 在()0,b 上递减，在(),1b 上递增，所以由a b ≠有()()()()()()0f a f b a b f b h a h b '---=>=.这就得到()()()()0f a f b a b f b '--->，同理有()()()()0f b f a b a f a '--->，即()()()()0f a f b a b f a '---<.再设()()()()()()11g t tf a t f b f ta t b =+--+-，01t ≤≤.则()()()()()()1g t f a f b a b f ta t b ''=---+-，()()()()210g t a b f ta t b ''''=--+-<.所以()g t '在[]0,1上递减.而()()()()()00g f a f b a b f b ''=--->，()()()()()10g f a f b a b f a ''=---<.所以一定存在01η<<，使得对0t η<<有()0g t '>，对1t η<<有()0g t '<.故()g t 在[]0,η上递增，在[],1η上递减，而()()010g g ==，结合()g t 的单调性，知对任意01t <<有()0g t >.特别地，有102g ⎛⎫>⎪⎝⎭，即()()022f a f b a b f ++⎛⎫-> ⎪⎝⎭，此即()()22f a f b a b f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭.对01b a <<<，同理有()()22f a f b a b f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭.而对01a b <=<，显然有()()22f a f b a b f ++⎛⎫= ⎪⎝⎭.综上，对任意(),0,1a b ∈，有()()22f a f b a b f ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭.先证明一个引理：设()12,,...,0,1n a a a ∈，则()()()1212......n nf a f a f a a a a f nn ++++++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭.用数学归纳法证明.①当1n =时，结论显然成立.②若结论对n k =成立，则对()122,,...,0,1k a a a ∈，有()()()()()()()()()12212122.........222k k k k k f a f a f a f a f a f a f a f a f a k k k+++++++++++=+1212212122 (1)11222k k k k kk k k a a a a a a a a a a a a f f f f k k k k ++++++++++⎛++++++⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1212212122............22k k k kk k k k a a a a a a a a a a a a k k f f k ++++++++++⎛⎫+ ⎪+++++++⎛⎫≥=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭.从而结论对2n k =也成立.结合①②，可知原结论对无穷多个正整数n 成立.③若结论对1n k =+成立，则对()12,,...,0,1k a a a ∈，有()()()()()()12121212 (1)kk k k a a a f a f a f a f f a f a f a a a a k f k kk k +++⎛⎫++++ ⎪++++++⎛⎫⎝⎭=- ⎪⎝⎭()()()121212.........111k k k a a a f a f a f a f a a a k k f k k k k +++⎛⎫++++ ⎪++++⎛⎫⎝⎭≥⋅ ⎪+⎝⎭1221212.........111k k k k k a a a a a a a a a k k f f k k k k +++++⎛⎫++++ ⎪++++⎛⎫≥⋅-⎪ ⎪+⎝⎭⎪⎝⎭121212 (1)1k kka a a a a a a a a k f f f k k k k k ++++++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.从而结论对n k =也成立.由于原结论对无穷多个正整数n 成立，再结合③，即知原结论对任意的正整数n 成立.引理证毕，回到原题.由于我们有()()()21ln 1ln 1ln1f x x x x =---+=-，故1211111ln 122223332111111111e 1nn i i n n nna nnni i i i i i i i i i i i i i a a a n n n n n a a a a a a a =⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪- ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭====++++∏⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥===⋅ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∏∏∏()221111ln1111114ln11222222221eeeee111n nni i k i k k f a f a f n n n a n n n n n n n n n n n ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑=⋅=⋅≥⋅=⋅=⋅=⋅=-⎛⎫- ⎪⎝⎭.而当121...n a a a n ====时，有2343222111113111111nnni i i i i i a n n n nn n n n a a n n n n n===++===⋅=-----∑∑∑.所以3111ni i i i a n a a =++-∑的最小值是421nn -.【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于对全新知识和工具的运用，适当运用工具方可解决问题.。
湖南省岳阳县、汨罗市高二数学10月月考试题 文
湖南省岳阳县、汨罗市2017-2018学年高二数学10月月考试题 文时量：120分钟 满分：150分一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为( )A ．6B ．8C ．10D ．12 2．已知sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝15，(,0)2πα∈-，那么sin α＝( )A B ． 15 C ．－15 D ．3．已知1a =，12a b ⋅=，2()1a b -= ，则a 与b 的夹角等于( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．120°4．已知等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，若a m ＝8，则m 的值为( ) A ．8B ．12C ．6D ．45．若1a <1b<0，有下面四个不等式：①|a |>|b |； ②a <b ； ③a ＋b <ab ； ④a 3>b 3.则不正确的不等式的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．36．执行如图所示的程序框图，若输出的n ＝5，则输入整数p 的最大值是( )A ．15B ．14C ．7D ．67．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：则y 对x A ．y ^＝x －1 B ．y ^＝x ＋1 C ．y ^＝12x ＋88 D ．y ^＝1768．秦九韶是我国古代数学家的杰出代表之一，他的《数学九章》概括了宋元时期中国传统数学的主要成就．由他提出的一种多项式简化算法称为秦九韶算法：它是一种将n 次多项式的求值问题转化为n 个一次式的算法．即使在现代，利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法．用秦九韶算法求多项式52()42f x x x =-+，当3x =时的值时，需要进行的乘法运算和加法运算的次数分别为（ ）A ．4,2B ．5,2C ．5,3D ．6，29．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin cos()0b A a B C ++=，若2c =，3sin 5C =，则a b +=（ ）A ．B ．． D ．10．将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R )的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A ．π12B ．π6C ．π3D ．5π611．正数,a b 满足21a b +=，且22142a b t -≤-恒成立，则实数t的取值范围是（ ）A ．(-∞B ．)+∞C ．[D ．1[,)2+∞12．已知O 是锐角ABC ∆的外接圆圆心，60A ∠=︒，cos cos sin sin B CAB AC mOA C B+=，则m 的值为（ ）A ．BC ．1-D ．1 二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，满分20分）13．已知向量(,1)a m =-，(1,2)b =--，(1,2)c =-，若()//a b c + ，则m ＝________。
湖南省常德市高二上学期数学10月月考试卷
湖南省常德市高二上学期数学10月月考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高二上·抚州期中) 有40件产品编号1至40，现从中抽取4件检验，用系统抽样的方法确定所抽编号为（）A . 5，10，15，20B . 2，12，22，32C . 2，11，26，38D . 5，8，31，362. （2分） (2018高一下·东莞期末) 过原点的直线l与圆相交所得的弦长为，则直线l的斜率为A . 2B . 1C .D .3. （2分）圆C1：（x﹣1）2+（y﹣2）2=4与圆C2：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的公共弦所在的直线方程为（）A . x﹣y=0B . x+y=0C . x+2y﹣2=0D . 2x﹣3y﹣l=04. （2分）某校女子篮球队7名运动员身高（单位：厘米）分布的茎叶图如图，已知记录的平均身高为175cm，但有一名运动员的身高记录不清楚，其末位数记为，那么的值为（）A . 1B . 2C . 3D . 45. （2分） (2017高二上·大庆期末) 执行如图所示的程序框图，则输出s的值为（）A . 10B . 17C . 19D . 366. （2分）直线x﹣y+2=0的倾斜角的大小为（）A . 30°B . 60°C . 120°D . 150°7. （2分）已知圆C经过A（5，2），B（﹣1，4）两点，圆心在x轴上，则圆C的方程是（）A .B .C .D .8. （2分） (2016高二上·德州期中) 过点（﹣2，4）且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有（）A . 1条B . 2条C . 3条D . 4条9. （2分）(2017·汉中模拟) 已知过点（﹣2，0）的直线与圆O：x2+y2﹣4x=0相切与点P（P在第一象限内），则过点P且与直线 x﹣y=0垂直的直线l的方程为（）A . x+ y﹣2=0B . x+ y﹣4=0C . x+y﹣2=0D . x+ y﹣6=010. （2分） (2017高一上·滑县期末) 直线3x+4y+a=0上存在点M满足过点M作圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=2的两条切线互相垂直，则a的取值范围是（）A . （﹣20，0]B . [﹣20，0]C . [﹣20，0）D . （﹣20，0）11. （2分） (2019高二上·慈溪期中) 若直线与曲线有公共点，则的取值范围是（）A .B .C .D .12. （2分）圆和的位置关系为（）A . 外切B . 内切C . 外离D . 内含二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高一下·福州期中) 已知某运动员每次投篮命中的概率都为50%，现采用随机模拟的方法估计该运动员四次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9表示不命中；再以每四个随机数为一组，代表四次投篮的结果．经随机模拟产生了20组随机数：9075 9660 1918 9257 2716 9325 8121 4589 5690 6832 4315 2573 3937 9279 5563 4882 7358 1135 1587 4989据此估计，该运动员四次投篮恰有两次命中的概率为________．14. （1分） (2017高一上·武邑月考) 若三条直线，，不能围成一个三角形，则实数的取值范围是________．15. （1分）直线y=x+2被圆M：x2+y2﹣4x﹣4y﹣1=0所截得的弦长为________16. （1分）动点P在直线x+y﹣1=0上运动，Q（1，1）为定点，当|PQ|最小时，点P的坐标为________．三、解答题 (共6题；共65分)17. （10分） (2018高一下·临沂期末) 某车间将名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工的合格零件数的茎叶图如图，已知两组技工在单位时间内加工的合格零件的平均数都为 .（1）求，的值；（2）求甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件的方差和，并由此分析两组技工的加工水平；（3）质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名，对其加工的零件进行检测，若两人加工的合格零件个数之和大于，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格”的概率.附：方差，其中为数据的平均数18. （10分） (2018高一下·重庆期末) 已知圆过点，，圆心在直线上．（1）求圆的方程；（2）过圆上任一点作圆的两条切线，切点分别为，，求四边形面积的取值范围．19. （10分） (2019高三上·柳州月考) 某地对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，分别记录了3月1日到3月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：日期3月1日3月2日3月3日3月4日3月5日101113128温差发芽数y（颗）2325302616他们所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对选取的2组数据进行检验.参考公式：，其中（1）求选取的2组数据恰好是相邻2天数据的概率；（2）若选取的是3月1日与3月5日的两组数据，请根据3月2日至3月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程；并预报当温差为时的种子发芽数.20. （10分）已知A，B为两个定点，动点M到A与B的距离比为常数λ，求点M的轨迹方程，并注明轨迹是什么曲线．21. （15分）(2017·新课标Ⅰ卷文) 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30min从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：（12分）抽取次序12345678零件尺寸9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04抽取次序910111213141516零件尺寸10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得 = xi=9.97，s= = =0.212，≈18.439，（xi﹣）（i﹣8.5）=﹣2.78，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2， (16)（1）求（xi，i）（i=1，2，…，16）的相关系数r，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若|r|＜0.25，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）．（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（﹣3s， +3s）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？（ⅱ）在（﹣3s， +3s）之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到0.01）附：样本（xi，yi）（i=1，2，…，n）的相关系数r= ，≈0.09．22. （10分）(2018高一下·黑龙江期末) 在平面直角坐标系中，已知的方程为，平面内两定点、．当的半径取最小值时：（1）求出此时的值，并写出的标准方程；（2）在轴上是否存在异于点的另外一个点，使得对于上任意一点，总有为定值？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明你的理由；（3）在第（2）问的条件下，求的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共65分)17-1、17-2、17-3、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、。
湖南省娄底地区高二上学期数学10月月考试卷
湖南省娄底地区高二上学期数学 10 月月考试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） (2018·中山模拟) 已知抛物线 的方程为（ ）上的点到焦点的距离是 ,则抛物线A.B.C.D.2. （2 分） (2018 高二上·鹤岗期中) 已知 , 是椭圆与双曲线的公共焦点， 是它们的一个公共点，且,线段的垂直平分线过点 ，若椭圆的离心率为 ,双曲线的离心率为 ，则的最小值为（ ）A.B.C.D.3. （2 分） (2017 高一下·定州期末) 点 P 是双曲线 ﹣ 一点，点 N 的坐标为（5，0），则|PM|﹣|PN|的最大值为（ ）=1 的右支上一点，M 是圆（x+5）2+y2=4 上A.5B.6C.7第 1 页 共 14 页D.84. （2 分） 连接椭圆 心率为（ ）(a>b>0)的一个焦点和一个顶点得到的直线方程为 x-2y+2=0,则该椭圆的离A. B.C.D.5. （2 分） (2018·河北模拟) 已知双曲线的左、右焦点分别为线 上的任意一点，过点 作双曲线 的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于，点 是双曲 两点，若四边形（ 为坐标原点）的面积为 ，且，则点 的横坐标的取值范围为（ ）A.B.C.D.6. （2 分） 曲线 A.3 B.6 C.8（θ 为参数）的焦距是（ ）第 2 页 共 14 页D . 107. （2 分） (2017·陆川模拟) 已知双曲线 C： ﹣ =1（a＞0，b＞0）的左焦点为 F，第二象限的点 M 在双曲线 C 的渐近线上，且|OM|=a，若直线 MF 的斜率为 ，则双曲线 C 的渐近线方程为（ ）A . y=±x B . y=±2x C . y=±3x D . y=±4x8. （2 分） (2017 高三上·长葛月考) 设变量 （）满足约束条件A.，则的取值范围为B.C.D. 9. （2 分） 过原点的直线 l 与双曲线 A . (-1,1) B.有两个交点，则直线 l 的斜率的取值范围为（ ）C.D.10. （2 分） (2017·嘉兴模拟) 已知 A，B，C 是抛物线 y2=4x 上不同的三点，且 AB∥y 轴，∠ACB=90°，点C 在 AB 边上的射影为 D，则|AD|•|BD|=（）第 3 页 共 14 页A . 16 B.8 C.4 D.211. （2 分） (2019 高二下·蕉岭月考) 倾斜角为的直线 经过原点与双曲线支于两点，则双曲线离心率的取值范围为 （ ）A.的左、右两B. C.D.12. （2 分） (2018 高二上·宁夏期末) 若椭圆 同的左右焦点 F1、F2 ， P 是两条曲线的一个交点，则A.和双曲线 的值是（ ）有相B. C.D.二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13.（1 分）设 m∈R，过定点 A 的动直线 x+my=0 和过定点 B 的动直线 mx﹣y﹣m+3=0 交于点 （P x，y）．则|PA|•|PB| 的最大值是________14. （1 分） (2019 高二上·开封期中) 已知点 、 为椭圆的左、右顶点，点 为 轴第 4 页 共 14 页上一点，过 作 轴的垂线交椭圆 于 、 两点，过 作 ________．的垂线交于点 ，则15. （1 分） 已知|AB|＝2，动点 P 满足|PA|＝2|PB|，试建立恰当的直角坐标系，动点 P 的轨迹方程为________．16. （1 分） (2020 高三上·海淀期末) 已知曲线 （i）给出下列结论： ①曲线 为中心对称图形； ②曲线 为轴对称图形；（ 为常数）.③当时，若点在曲线 上，则或.其中，所有正确结论的序号是________.（ii）当时，若曲线 所围成的区域的面积小于 ，则 的值可以是________.（写出一个即可）三、 解答题 (共 6 题；共 65 分)17. （10 分） (2018 高三上·昭通期末) 己知椭圆 足为 Q，点 M 在 PQ 上，且 (I)求曲线 C 的方程；，点 M 的轨迹为 C．上任意一点 P，由点 P 向 y 轴作垂线段 PQ，垂(II)过点 D(2，0)作直线，与曲线 C 交于 A，B 两点，设 N 是过点( ，0)且平行于 y 轴的直线上一动点，满足(O 为原点)，问是否存在这样的直线，，使得四边形 OANB 为矩形?若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．第 5 页 共 14 页18. （10 分） (2018 高二上·淮北月考) 已知圆圆 上一点，线段上一点 满足，直线，圆心为 ，定点 上一点 ，满足，为 ．（Ⅰ）求点 的轨迹 的方程；（Ⅱ） 为坐标原点，不同的两点．当是以为直径的圆，直线与相切，并与轨迹 交于且满足时，求面积 的取值范围．19. （10 分） 设三个数， 2，成等差数列，其中（x，y）对应点的曲线方程是 C．（1）求 C 的标准方程；（2）直线 l1：x﹣y+m=0 与曲线 C 相交于不同两点 M，N，且满足∠MON 为钝角，其中 O 为直角坐标原点，求出 m 的取值范围．20. （ 10 分 ） (2018 高 二 下 · 临 汾 期 末 ) 已 知 直 线 是 抛 物 线 ，且 与抛物线 没有公共点，动点 在抛物线 上，点的最小值等于 2.到直线的准线，直线 和 的距离之和（Ⅰ）求抛物线 的方程；（Ⅱ）点 在直线 上运动，过点 做抛物线 的两条切线，切点分别为，在平面内是否存在定点 ，使得恒成立？若存在，请求出定点 的坐标，若不存在，请说明理由．21. （15 分） (2017 高二下·河北期中) 在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 M：（x+1）2+y2= 圆 N：（x﹣1）2+y2= 的圆心为 N，一动圆与圆 M 内切，与圆 N 外切．的圆心为 M，（Ⅰ）求动圆圆心 P 的轨迹方程；（Ⅱ）过点（1，0）的直线 l 与曲线 P 交于 A，B 两点，若=﹣2，求直线 l 的方程．22. （10 分） (2017·赣州模拟) 设离心率为的椭圆 E： + =1（a＞b＞0）的左、右焦点为 F1 ，F2 ， 点 P 是 E 上一点，PF1⊥PF2 ， △PF1F2 内切圆的半径为 ﹣1．（1）第 6 页 共 14 页求 E 的方程； （2）矩形 ABCD 的两顶点 C、D 在直线 y=x+2，A、B 在椭圆 E 上，若矩形 ABCD 的周长为，求直线 AB 的方程．第 7 页 共 14 页一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13-1、 14-1、参考答案第 8 页 共 14 页15-1、16-1、三、 解答题 (共 6 题；共 65 分)17-1、第 9 页 共 14 页第 10 页 共 14 页19-1、20-1、21-1、22-1、22-2、。
湖南省长沙市高二上学期数学10月月考试卷
湖南省长沙市高二上学期数学10月月考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）已知一组正数的方差为，则数据的平均数为（）A . 2B . 4C . -2D . 不确定2. （2分）甲、乙、丙3名学生排成一排，其中甲、乙两人站在一起的概率是（）A .B .C .D .3. （2分）(2017·凉山模拟) 执行如图所示的程序框图，若输出的结果是6，则判断框内m的取值范围是（）A . （30，42]B . （20，30）C . （20，30]D . （20，42）4. （2分）若已知两个变量x 和y 之间具有线性相关系，4 次试验的观测数据如下：x3456y 2.534 4.5经计算得回归方程 =bx+a系数b=0.7，则a等于（）A . 0.34B . 0.35C . 0.45D . 0.445. （2分） (2016高二上·黑龙江期中) 下列说法中正确的是（）A . 如果两条直线l1与l2垂直，那么它们的斜率之积一定等于﹣1B . “a＞0，b＞0”是“ + ≥2”的充分必要条件C . 命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题D . “a≠﹣5或b≠5”是“a+b≠0”的充分不必要条件6. （2分）(2017·蚌埠模拟) 在射击训练中，某战士射击了两次，设命题p是“第一次射击击中目标”，命题q是“第二次射击击中目标”，则命题“两次射击中至少有一次没有击中目标“为真命题的充要条件是（）A . （￢p）∨（￢q）为真命题B . p∨（￢q）为真命题C . （￢p）∧（￢q）为真命题D . p∨q为真命题7. （2分）某班有9名学生，按三行三列正方形座次表随机安排他们的座位，学生张明和李智是好朋友，则他们相邻而坐（一个位置的前后左右位置叫这个座位的邻座）的概率为（）A .B .C .D .8. （2分） (2015高二下·双流期中) 方程x2﹣xy+2y+1=0表示的曲线经过4个A（1，﹣2），B（2，﹣3），C （3，10），D（0，﹣）中的（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个9. （2分）一次函数f(x)的图像过点A(-1,0)和B(2,3)，则下列各点在函数f(x)的图像上的是（）A . (2,1)B . （-1，1）C . (1,2)D . (3,2)10. （2分）某人在打靶中,连续射击2次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（）A . 至多有一次中靶B . 两次都不中靶C . 两次都中靶D . 只有一次中靶11. （2分） (2017高三上·红桥期末) 已知双曲线﹣ =1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2=2px （p＞0）的准线分别交于O、A、B三点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p=（）A . 1B .C . 2D . 312. （2分） (2016高三上·兰州期中) 以下判断正确的是（）A . 函数y=f（x）为R上可导函数，则f'（x0）=0是x0为函数f（x）极值点的充要条件B . 命题“ ”的否定是“∀x∈R，x2+x﹣1＞0”C . “ ”是“函数f（x）=sin（ωx+φ）是偶函数”的充要条件D . 命题“在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB”的逆命题为假命题二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）某工厂有960个职工，其中男职工400个，按男女比例用分层抽样的方法从中抽取一个容量为60的样本，则应抽取的男职工人数为________14. （1分） (2015高三上·唐山期末) 已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F与双曲线的一个焦点重合，它们在第一象限内的交点为T，且TF与x轴垂直，则双曲线的离心率为________．15. （1分）已知数据x1 ， x2 ，…，xn的方差s2=4，则数据﹣3x1+5，﹣3x2+5，…，﹣3xn+5的标准差为________．16. （1分）短轴长为，离心率的椭圆的两焦点为，过作直线交椭圆于、两点，则△ 周长为________．三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2018高一下·河南月考) 在试制某种洗涤剂新产品时，不同添加剂的种类以及添加的顺序对产品的性质都有影响，需要对各种不同的搭配方式做实验进行比较.现有芳香度分别为1，2，3，4，5，6的六种添加剂可供选用，根据试验设计原理，需要随机选取两种不同的添加剂先后添加进行实验.（1）求两种添加剂芳香度之和等于5的概率；（2）求两种添加剂芳香度之和大于5，且后添加的添加剂芳香度较大的概率.18. （10分）已知条件p：|5x﹣1|＞a（a＞0），条件q：＞0．命题“若p则q”为真，求实数a 的取值范围．19. （10分） (2018高二下·巨鹿期末) 从某居民区随机抽取个家庭,获得第个家庭的月收入(单位:千元)与月储蓄(单位:千元)的数据资料,算得 , , , .（1）求家庭的月储蓄对月收入的线性回归方程 ;（2）判断变量与之间是正相关还是负相关;（3）若该居民区某家庭月收入为千元,预测该家庭的月储蓄.其中 ,为样本平均值,线性回归方程也可写为 ,附:线性回归方程中, , .20. （15分） (2019高一下·南海月考) 某城市户居民的月平均用电量（单位：度），以，，，，，，分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中x的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为，，，的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在的用户中应抽取多少户？21. （5分）设Q、G分别为△ABC的外心和重心，已知A（﹣1，0），B（1，0），QG∥AB．（1）求点C的轨迹E．（2）轨迹E与y轴两个交点分别为A1，A2（A1位于A2下方）．动点M、N均在轨迹E上，且满足A1M⊥A1N，试问直线A1N和A2M交点P是否恒在某条定直线l上？若是，试求出l的方程；若不是，请说明理由．22. （10分）(2019·河南模拟) 已知，抛物线：与抛物线：异于原点的交点为，且抛物线在处的切线与轴交于点，抛物线在点处的切线与轴交于点，与轴交于点 .（Ⅰ）若直线与抛物线交于点，，且，求的值；（Ⅱ）证明：的面积与四边形的面积之比为定值.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分)17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、。
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湖南省数学高二上学期文数 10 月月考试卷
姓名:________
班级:________
成绩:________
一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)
1. （2 分） (2019 高二下·深圳期中) 复数 A. B. C. D.
=（ ）
2. （2 分） (2020 高二上·徐汇期中) 如果曲线 上任一点的坐标都是方程 题中正确的是（ ）
A . 曲线 的方程为
的解，那么下列命
B.
的曲线是
C . 以方程
的解为坐标的点都在曲线 上
D . 曲线 上的点都在方程
的曲线上
3. （2 分） 抛物线
的焦点坐标为（ ）
A.
B. C.
D.
第 1 页 共 22 页
4. （2 分） 方程 A . 双曲线 B . 椭圆 C . 双曲线的一部分 D . 椭圆的一部分
所表示的曲线是（ ）
5. （2 分） (2020 高二上·吉化期末) 已知焦点在 轴上的椭圆的离心率为 的半径，则椭圆的标准方程是（ ）.
，且它的长轴长等于圆
A. B. C.
D. 6. （2 分） 顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点 P（﹣4，﹣2）的抛物线的标准方程是（ ） A . y2=﹣x B . x2=﹣8y C . y2=﹣8x 或 x2=﹣y D . y2=﹣x 或 x2=﹣8y
7. （2 分） (2018 高二上·东至期末) 已知过双曲线 线与双曲线的第一象限交于点 ，点 为左焦点，且
右焦点 ，斜率为 的直 ，则此双曲线的离心率为（ ）
A. B.
第 2 页 共 22 页
C.
D.
8. （2 分） (2019 高二上·湖南月考) 已知点 ， 分别是双曲线 ：
点， 为坐标原点，点 在双曲线 的右支上，且满足
，
离心率的取值范围为（ ）
的左、右焦 ，则双曲线 的
A.
B. C. D.
9. （2 分） (2018 高二上·黑龙江月考) 过椭圆 则 =（ ）
的右焦点且垂直于长轴的直线交椭圆于
，
A.
B. C. D.
10. （2 分） (2019 高一下·江门月考) 过点
且与直线
A. B. C.
第 3 页 共 22 页
平行的直线方程是（ ）
D.
11. （2 分） (2020 高二上·射阳期中) 抛物线 三角形面积为（ ）
的准线与双曲线
的两条渐近线所围成的
A. B.2 C. D.4
12. （2 分） (2016 高二上·辽宁期中) 椭圆
=1（a＞b＞0）上一点 A 关于原点的对称点为 B，F 为
其右焦点，若 AF⊥BF，设∠ABF=α，且 α∈[ ， ]，则该椭圆离心率的最大值为（ ）
A.
B.
C. D.1
二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)
13. （1 分） 曲线
与曲线
的交点有________个．
14. （1 分） (2020·新高考Ⅰ) 斜率为 =________．
的直线过抛物线 C：y2=4x 的焦点，且与 C 交于 A，B 两点，则
15. （1 分） (2018 高二上·阳高期末) 已知 一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在 边上，则
的顶点 B、C 在椭圆 的周长是________
上，顶点 A 是椭圆的
16. （1 分） (2019 高二上·石门月考) 与双曲线
具有相同的渐近线，且经过点
的
双曲线方程是________．
第 4 页 共 22 页
三、 解答题 (共 6 题；共 75 分)
17. （10 分） (2019 高二下·吉林期中) 已知函数 在点(1，f(1))处的切线垂直于直线
（1） 求 a 的值；
，其中
，且曲线 y＝f(x)
（2） 求函数 f(x)的单调区间．
18. （10 分） (2017 高一下·资阳期末) 已知直线 l 经过直线 l1：2x﹣y﹣1=0 与直线 l2：x+2y﹣3=0 的交点 P，且与直线 l3：x﹣y+1=0 垂直．
（1） 求直线 l 的方程；
（2） 若直线 l 与圆 C：（x﹣a）2+y2=8 相交于 P，Q 两点，且
，求 a 的值．
19. （15 分） (2020 高一下·开鲁期末) 已知过原点的动直线 l 与圆 两点 ， ．
（1） 求圆 的圆心坐标；
（2） 求线段 的中点 M 的轨迹 C 的方程；
相交于不同的
（3） 是否存在实数 k，使得直线 存在，说明理由．
与曲线 C 只有一个交点？若存在，求出 k 的取值范围；若不
20. （15 分） (2015 高三上·房山期末) 已知椭圆 C：
的离心率为
点 F 且斜率为 k（k≠0）的直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，O 是坐标原点．
（1） 求 n 的值；
，F 是椭圆 C 的右焦点．过
（2） 若线段 AB 的垂直平分线在 y 轴的截距为 ，求 k 的值；
（3） 是否存在点 P（t，0），使得 PF 为∠APB 的平分线？若存在，求出 t 的值；若不存在，说明理由．
21. （10 分） (2020·嘉兴模拟) 设点
为抛物线
上的动点，F 是抛物线的焦点，
当
时，
．
第 5 页 共 22 页
（1） 求抛物线 C 的方程；
（2） 过点 P 作圆 M： 面积的最小值．
的切线 ， ，分别交抛物线 C 于点
．当
时，求
22. （15 分） (2019 高二上·上海月考) 已知动点
满足
的轨迹为曲线 C，直线 l：
（ ） 交曲线 C 于 P，Q 两点，点 P 在第一象限，
连接 QE 并延长交曲线 C 于点 G.
（1） 求曲线 C 的方程，并说明曲线 C 是什么曲线；
（2） 若
，求
的面积.
（3） 求
面积的最大值.
，记 M 轴，垂足为 E，
第 6 页 共 22 页
一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)
答案：1-1、 考点：
参考答案
解析： 答案：2-1、 考点： 解析：
答案：3-1、 考点：
解析： 答案：4-1、 考点：
第 7 页 共 22 页
解析： 答案：5-1、 考点： 解析：
答案：6-1、 考点： 解析：
第 8 页 共 22 页
答案：7-1、 考点： 解析：
答案：8-1、 考点： 解析：
答案：9-1、 考点： 解析：
第 9 页 共 22 页
答案：10-1、 考点： 解析：
答案：11-1、 考点：
解析： 答案：12-1、 考点： 解析：
第 10 页 共 22 页
二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、
考点：
解析：
答案：14-1、
考点：
解析：
答案：15-1、考点：
解析：
答案：16-1、
考点：
解析：
三、解答题 (共6题；共75分)答案：17-1、
答案：17-2、考点：
解析：
答案：18-1、
答案：18-2、考点：
解析：
答案：19-1、
答案：19-2、答案：19-3、
考点：
解析：
答案：20-1、答案：20-2、
答案：20-3、考点：
解析：
答案：21-1、
考点：
解析：
答案：22-1、
答案：22-2、
答案：22-3、考点：
解析：。