幂等变换和幂等矩阵的性质

幂等变换和幂等矩阵的性质

中文摘要:本文在已有文献资料的基础上，对幂等变换和幂等矩阵的性质作了归纳。 关键词:幂等变换，幂等矩阵，性质

正文:

（一）定义及说明

定义1.设σ是数域P 上线性空间V 上的线性变换，且2σσ=，则称σ为V 上的幂等变换。 定义2.设A 是数域P 上的n 级方阵，若2A A =，则称A 为V 上的幂等矩阵。 因为数域P 上n 维线性空间V 的全部线性变换组成的集合()()n L V P 对于线性变换的加法和数量乘法构成的P 上的线性空间与数域P 上的n 级方阵构成的线性空间n n P ⨯同构，即()()n n n L V P P ⨯≅。所以幂等变换σ对应于幂等矩阵A ,2A A =.

（二）幂等变换的一个性质及其推广[1]

定理1.设σ是数域P 上线性空间V 的线性变换，且2σσ=，则有

（1）()Ker σ={}()|V ξσξξ-∈,Im()σ={}()|V ξσξξ=∈

（2）()Im()V Ker σσ=⊕

（3）若τ是V 的一个线性变换，则()Ker σ和Im()σ都在τ之下不变的充要条件是σττσ=

将幂等变换的定义加以推广：设σ是数域P 上线性空间V 上的线性变换，且n σσ=，则称σ为V 上的幂等变换。

对于满足n σσ=的线性变换有类似性质

定理2. 设σ是数域P 上线性空间V 的线性变换，且n σσ=（2n ≥），则有

（1）()Ker σ={}1()|n V ξσξξ--∈，Im()σ={}1()|n V ξσξξ-=∈

（2）()Im()V Ker σσ=⊕

（3）若τ是V 的一个线性变换，则()Ker σ和Im()σ都在τ之下不变的充要条件是11n n σττσ--=

证明：已知n σσ=

（1）：(),()0Ker ασσα∀∈=即

122()(())(0)0n n n σσσσασ---⇒===

1()n αααα-∴=-∈{}1()|n V ξσξξ--∈

因此()Ker σ⊆{}1()|n V ξσξξ--∈

反之，1()n ασ

α-∀-∈{}1()|n V ξσξξ--∈， 由1(())()()()()0n n σασασασασασα--=-=-=

⇒1()n ασα--∈()Ker σ

因此{}1()|n V ξσξξ--∈⊆()Ker σ

从而()Ker σ={}

1()|n V ξσξξ--∈

Im(),,V ασβασβ∀∈∃∈=使得（）

11,()(())()()n n n n σσσασσβσβσβα--=∴====

α∴∈{}1()|n V ξσξξ-=∈

因此Im()σ⊆{}1()|n V ξσξξ-=∈

反之，{}

11()()|,n n V V ασαξσξξα--∀=∈=∈∈，有 2(())Im()n ασσασ-=∈

因此{}1()|n V ξσξξ-=∈⊆Im()σ

从而Im()σ={}1()|n V ξσξξ-=∈

（2）：由（1），,V ααασασα∀∈∈n-1n-1有=(-())+()()Ker σ+Im()σ

V ∴⊆()Ker σ+Im()σ

从而V =()Ker σ+Im()σ

又设β∀∈()Ker σIm()σ

由β∈()Ker σ()0σβ⇒=

又由β∈Im()σ={}1()|n V ξσξξ-=∈122()(())(0)0n n n βσ

βσσβσ---⇒====

即()Ker σIm()σ={}0

∴()Im()V Ker σσ=⊕

（3）：""⇒假设()Ker σ，Im()σ都在τ之下不变

V α∀∈，由（2）

，存在唯一的β∈()Ker σ，唯一的γ∈Im()σ，使得αβγ=+ 则由假设，()τβ∈()Ker σ，()τγ∈Im()σ

122()((()))(0)0n n n στβσστβσ---∴===，11()(())()n n στγστγτγ--==（由（1）） 111()()()0()()n n n σταστβστγτγτγ---⇒=+=+=

又122()(())(0)0n n n σβσσβσ---===，1()n σγγ-=（由（1））

1111()()(())(())n n n n τσατσβγτσβτσγ----⇒=+=+(0)()()ττγτγ=+=

11()()n n στατσα--∴=

由α的任意性，11n n σττσ--=

""⇐若11n n σττσ--=，

α∀∈()Ker σ即()0σα=，且由（1）

，V β∃∈使得1()n αβσβ-=- 1(())(())

n σταστβσβ-⇒=- =11()()()()()()n n n στβστσβστβσστβστβστβ---=-=-=()()στβστβ-=0 ∴()τα∈()Ker σ

即()Ker σ在τ之下保持不变

Im()ασ∀∈，由（1）

，1()n ασα-= 11(())(())()n n στατσατα--∴==

即1(())()n στατα-=

由（1），Im()σ={}

1()|n V ξσξξ-=∈ ∴()τα∈Im()σ

即Im()σ也在τ之下保持不变 证毕

定理1是定理2当n=2时的情形，当然也成立。

（三）幂等变换的几个等价表示

定理3.设σ是数域P 上的线性空间V 的线性变换，则下列命题等价：

（1）2σσ=

（2）σ的特征值只能是1和0，且10V V V =⊕,其中1V 和0V 分别是σ的属于1和0的特征子空间

（3）Im()Im()V σεσ=⊕-

证明："(1)(2)"⇒设2σσ=，λ是σ的特征值，则有

()σξλξ=（ξ为σ的属于特征值λ的特征向量）

由2σσ=知，22

()()(())()(())σξσξσσξσλξλσξλξ===== 22()0λξλξλλξ∴=⇒-= ξ为非零向量

2()010λλλλ∴-=⇒==或

又{}1|()Im()V ξσξξσ===

{}0|()0()V Ker ξσξσ===

由定理1，Im()()V Ker σσ=⊕

即10V V V =⊕

"(2)(1)"⇒如果σ的特征值只能是1和0，且10V V V =⊕

V α∀∈,有1120Im(),()V V Ker ασασ∃∈=∈=唯一的唯一的

12ααα=+使得