高中竞赛数学讲义第63讲极限

极限及其运算

相关知识

1.数列极限的定义：

一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．某个常数a （即n a a -无限趋近于0）

，那么就说数列}{n a 以a 为极限，或者说a 是数列}{n a 的极限．记作lim n n a a →∞

=，读作“当n 趋向于无穷大时，n a 的极限等于a ”

2.几个重要极限： （1）01

lim

=∞→n n （2）C C n =∞

→lim （C 是常数） （3）无穷等比数列}{n

q （1

→q q n

n

3.函数极限的定义:

(1)当自变量x 取正值并且无限增大时，如果函数f (x )无限趋近于一个常数a ，就说当x 趋向于正无穷大时，函数f (x )的极限是a . 记作：

+∞

→x lim f (x )=a ，或者当x →+∞时，f (x )→a .

(2)当自变量x 取负值并且绝对值无限增大时，如果函数f (x )无限趋近于一个常数a ，就说当x 趋向于负无穷大时，函数f (x )的极限是a . 记作

-∞

→x lim f (x )=a 或者当x →－∞时，f (x )→a .

(3)如果

+∞

→x lim f (x )=a 且-∞

→x lim f (x )=a ，那么就说当x 趋向于无穷大时，函数f (x )的极限

是a ，

记作：∞

→x lim f (x )=a 或者当x →∞时，f (x )→a .

4 数列极限的运算法则:

与函数极限的运算法则类似, 如果,lim ,lim B b A a n n n n ==∞

→∞

→那么

5 对于函数极限有如下的运算法则：

如果B x g A x f o

o

x x x x ==→→)(lim ,)(lim ，那么B A x g x f o

x x +=+→)]()([lim ,

B A x g x f o

x x ⋅=⋅→)]()([lim , )0()()(lim

≠=→B B

A

x g x f o

x x 当C 是常数，n 是正整数时:)(lim )]([lim x f C x Cf o

o

x x x x →→=,n

x x n x x x f x f o

o

)](lim [)]([lim →→=

这些法则对于∞→x 的情况仍然适用

6 函数在一点连续的定义: 如果函数f (x )在点x =x 0处有定义，0

lim x x →f (x )存在，且0

lim x x →f (x )=f (x 0)，

那么函数f (x )在点x =x 0处连续.

7.函数f (x )在(a ，b )内连续的定义：

如果函数f (x )在某一开区间(a ，b )内每一点处连续，就说函数f (x )在开区间(a ，b )内连续，或f (x )是开区间(a ，b )内的连续函数. 8 函数f (x )在［a ，b ］上连续的定义：

如果f (x )在开区间(a ，b )内连续，在左端点x =a 处有+→a

x lim f (x )=f (a )，在右端点x =b 处有

-

→b x lim f (x )=f (b ),就说函数f (x )在闭区间［a ，b ］上连续,或f (x )是闭区间［a ，b ］上的连续函数.

9 最大值

f (x )是闭区间［a ，b ］上的连续函数，如果对于任意x ∈［a ，b ］，f (x 1)≥f (x )，那么f (x )在点x 1处有最大值f (x 1). 10 最小值

f (x )是闭区间［a ，b ］上的连续函数，如果对于任意x ∈［a ，b ］，f (x 2)≤f (x )，那么f (x )在点x 2处有最小值f (x 2). 11.最大值最小值定理

如果f (x )是闭区间［a ，b ］上的连续函数，那么f (x )在闭区间［a ，b ］上有最大值和最小值 .

A 类例题

例1 （1）n

n a

a )1(

lim -∞

→等于( ) A.－1

B.0

C.1

D.不能确定

分析 因为当|

a a -1|＜1即a ＜2

1

时，n n a a )1(

lim -∞→=0， 当|

a

a -1|＞1时，n

n a a )1(

lim -∞→不存在. 当

a a -1=1即a =2

1

时，n n a a )1(

lim -∞→=1 当

a

a -1=－1时，n

n a a )1(

lim -∞→也不存在. 答案 D.

例2 已知|a |＞|b |，且n n

n n n n n n a

b a a b a +<++∞→-∞→11lim lim (n ∈N *)，那么a 的取值范围是( ) A.a ＜－1

B.－1＜a ＜0

C.a ＞1

D.a ＞1或－1＜a ＜0

分析 左边=a

a b a a b a n n n n n n 1

])(1[lim lim 1=+=+∞→-∞→