算术基本定理 .doc

算术基本定理——每个大于1的正整数均可唯一的写为素数的乘积

在正整数的理论中，有一类称为素数的书扮演着非常重要的角色。事实上，素数是指那些大于1的且除了1和它本身以外再没有其他因子的正整数。例如2，3，5，7，11，13，17，19等。不是素数且不是1的正整数称为合数。于是就可以把正整数分为三类：1，素数，合数。（这个好像在小学里就学过了...）

素数的重要性首先表现在数的乘法分解方面。因为每个大于1的正整数a，如果本身不是素数，则存在不为a和1的因子b，使得a=bc，其中b,c>1。如果b,c不是素数的话，就重复此过程，显然这个过程不能无限的进行下去，也就是说，经过有限步后就可以将a分解成一些素数的乘积了。于是就验证了各种数论书上的一句话——在正整数理论中遇到的许多问题都可以归结为有关素数的研究。（虽然我对此还是没能很好的理解）

再回到算术基本定理上来，这个定理我认为可以分为两个部分：1.分解的存在性（上面已经证明完了）；2.分解的唯一性，即是在不考虑各个素数的排列顺序的话，正整数分解为素数乘积的表达式是唯一的。（对于唯一性的证明我个人有点小看法，但不影响整个证明的思路）

证明：

引理1：如果d是a,b的最大公因子，则存在整数x和y，使得d=ax+by。

引理2：设p为素数，若P整除两个正整数a和b的乘积，则a必整除其中之一，即p整除a或者整除b。（这两个引理在高等代数选讲里讲过）

下面证明整个定理：假设大于1的正整数n有两种素数分解方式

n=p1*p2*...pr=q1*q2*...qs

下证r=s即可（而老师上讲的是还需要证明与排列顺序无关，我认为不需要，因为数量相等的话就可以说明这里的因子是数目相同并且是有顺序可能不同，否则正整数n就不唯一了）至于证明r=s就可以用辗转相处的方法了（思想是相同的但具体操作略有不同）由于p1整除n,故p1整除每个qj,而qj也是素

数,于是有p1=qj,下面不妨设p1=q1。这样等式两边就消去了第一项，余下的若干项又可以重复上述过程，而这个过程又是有限的，因此可以证明r=s并且p与q只在排列顺序上可能不同，这样的话唯一性得证。

至于算术基本定理有什么用，这问题好像有些不好回答，借用一句吕方教授的名言——最没用的数学才是最美的数学，如此看来这个算术基本定理好像挺美的呦