数学建模-主成分分析法模板(新)

各种指标的相关系数矩阵：
任何知识都不能带给你好运，但是它们能让你悄悄的成为你自己。
2
所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。
（填充数据）
各个主成分的贡献率：
表 1 主成分的贡献率表
第 1 主成分 第 2 主成分
……
特征值
贡献率
累积贡献率
由表可看出，前三个主成分的累积贡献率已达到（填充数据），取控制参数α =0.06(因为 28 个月中前三个成分贡献率最低为 94%),因此取前三个主成分对（填 充文字）进行综合评价。
0.0111 0.0075
0.1194 0.0499 0.0314 0.0174 0.0062
任何知识都不能带给你好运，但是它们能让你悄悄的成为你自己。
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所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。
0.0315 0.0357 0.0253 0.0248 0.0321 0.0270 0.0431 0.0455 0.0610 0.0888 0.0250 0.0300 0.0286 0.0255 0.0250 0.0164 0.0200 0.0125 0.0271 0.0183 0.0060 0.0124 0.0197 0.0164 0.0259 0.0220 0.0327 0.0273 0.0286 0.0223 0.0344 0.0393 0.0271 0.0183 0.0318 0.0482 0.0056 0.0240 0.0133 0.0119 0.0025 0.0050 0.1428 0.0590
0.0376 0.0468 0.0233 0.0184 0.1086 0.0273 0.0285 0.0251 0.0037 0.0175 0.0063 0.0078 0.0287 0.0416 0.0165 0.0377 0.0140 0.0582 0.0104 0.0080 0.0057 0.0613
r11 r12 r1p
R
(rij )pp
r21
r22
r2p
rp1
rp2
rpp
其中， rij
n
(x ki x i )(x kj x j )
k 1
(i,j=1,2,…,p)
n
n
Hale Waihona Puke (x ki x i )2 (x kj x j )2
k 1
k 1
Step 3：求相关系数矩阵 R 的特征值并排序 1 2 p 0 ,再求出 R 的特征
0.0375 0.0278
0.0295 0.0233
0.0242 0.0213
0.0276 0.0316
0.0440 0.1352
0.0318 0.0327
0.0212 0.0285
0.0152 0.0199
0.0190 0.0089
0.0163 0.0164
0.0290 0.0159
0.0237 0.0116
为第 i 个样本第 j 个指标的值。作变换
Yj
X j E(X j) Var(X j)
(j=1,2,…,p)
得到标准化数据矩阵 yij
x ij x j sj
，其中 x j
1 n
i
x ij
,s
2 j
i1
1 n
n
(x ij x j ) 2
i1
Step 2：在标准化数据矩阵 Y (yij )np 的基础上计算 p 个原始指标相关系数矩阵
任何知识都不能带给你好运，但是它们能让你悄悄的成为你自己。
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所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。
0.0466 0.0199 0.0456 0.0200 0.1100 0.0479 0.0350 0.0290 0.0149 0.0271 0.0085 0.0076 0.0430 0.0101 0.0146 0.0101 0.0220 0.0230 0.0187 0.0123 0.0154 0.0294 0.0232 0.0203 0.0313 0.0244 0.0174 0.0125 0.0283 0.0238 0.0300 0.0213 0.0134 0.0324 0.0061 0.0100 0.0050 0.0116 0.0173 0.0133 0.0062 0.0311 0.0016 0.0024 0.0048 0.0036 0.0072 0.0053 0.0044 0.0340 0.0040 0.0022 0.0058 0.0029 0.0063 0.0043 0.0074 0.0491 0.0019 0.0063 0.0073 0.0221 0.0146 0.0125];%原始数据,行为变量,列为样本 %x=x';%可有可无; Newdata=zscore(x);%数据进行标准化 [PC,SCORE,latent,tsquare]=princomp(Newdata); %stdr=std(x);%求各变量的标准差 %[n,m]=size(x);
0.0198 0.0286 0.0203 0.0142 0.1853 0.0444 0.0408 0.0361 0.0085 0.0223 0.0195 0.0078 0.0214 0.0391 0.0180 0.0255 0.0105 0.0793 0.0692 0.0039 0.0024 0.0292
样本 1 样本 2 ……
表 2 XX 综合评价表 第 1 主成分 第 2 主成分 ……
综合得分
排名
上表给出了 XX 的综合评价，综合得分越高说明（文字），排名越高
x=[0.0581
0.0356 0.0435 0.0680 0.0557 0.1112
0.1184 0.1083 0.1392
0.0423 0.0346 0.0354 0.0770 0.0089 0.0642 0.0483
值相应的正则化特征向量 ei (ei1, ei2 ,, eip ) ，则第 i 个主成分表示为各指标 Xk 的
p
组合 Zi eik Xk 。 i1
Step 4：计算累积贡献率确定主成分的数目。主成分 Zi 的贡献率为
累计贡献率为
wi
i
p
k
k 1
(i 1,2,, p)
i
k
k 1
(i 1,2,, p)
0.0398 0.0334 0.0212 0.0285 0.1148 0.0251 0.0328 0.0232 0.0072 0.0222 0.0093 0.0117 0.0182 0.0220 0.0227 0.0254 0.0153 0.0901 0.0421 0.0097 0.0072 0.0402
根据 R 的特征值的相应的正则化单位特征向量， 前 m 个主成分关于指标的线 性组合为：
（填充表达式）
（分析）根据线性表达式中的系数及符号，可对各主成分的实际意义作如下解释： 第 1 主成分为除（变量）之外的三项指标的综合；第 2 主成分与（变量）成正相 关，与（变量）成负相关；第 3 主成分为除（变量）之外的三项指标的综合。以 各个主成分的方差贡献率为权重可得到（文字）的最终综合评价。
z m l m1x1 l m2 x 2 l mpx p
z11 z12 z1m
Z (zij )nm
z 21
z 22
z
2m
，其中
z ij
表示第
i
个样本第
j
个主成分得分，则
z n1
zn2
z
nm
m
第 i 个样本的综合得分 fi w k zik (i=1,2,…,n); k 1
lij p(zi , x j ) i eij (i, j 1,2,, p)
Step 6：各主成分的得分，确定综合评分函数。得到各主成分的载荷以后，可以 计算各主成分的得分
z1 l11x1 l12 x 2 l1p x p
z 2 l 21x1 l 22 x 2 l 2p x p
0.0534 0.0544
0.0407 0.0139 0.0688 0.0234 0.0080 0.0047 0.0151
0.0252 0.0183
0.0139 0.0391 0.0056 0.0093 0.0053 0.0290 0.0087
0.0234 0.0158
0.0097 0.0263 0.0086 0.0028 0.0064 0.0064 0.0045
附件中共有 28 个月的数据，这里仅随机选择 2005 年 4 月的数据来说明利 分析进行水质综合评价的过程(同理可进行其他月份的数据分析)。 调用 MATLAB 统计工具箱 princomp 函数，格式为：
[pc,score,latent,tsquare]=princomp(ingredients) 其中 ingredients 指标准化后的样本指标矩阵，pc 是指各主成分关于指标的线性 组合的系数矩阵，score 为各主成分得分，latent 是方差矩阵的特征值,tsquare 为 Hotelling T2 统计量。
0.0243 0.0182
0.0220 0.0232
0.0204 0.0168
0.0349 0.0317
0.0185 0.0144
0.0370 0.0735
0.0472 0.0456
0.0242 0.0090
0.0497 0.0048
0.0123 0.0387
0.0305 0.0443 0.0437 0.0628 0.0488 0.0233 0.0334 0.0337 0.0148 0.0508 0.0079 0.0162 0.0350 0.0562 0.0160 0.0286 0.0270 0.0377 0.0071 0.0170 0.0011 0.0983