最优控制 PPT课件

1 a2 (1 a) a 0 1 a2
解得 a=1,因此 可知极值曲线为 x=t+1. 由末端约
束条件 x(t f ) 2 ，t f 可知 tf=0.5，带入弧长公式 得到最短弧长
J[x(t)] 0.5 1 x&2 dt 0.5 11dt 2
0
0
2
不同边界情况下的横截条件
4.1.4 变分法解最优控制问题
在两端固定条件下的变分问题，欧拉方程
d x& 0 dt 1 x&2
的解为 x=at+b
带入边界条件可得解 x=2t+1。
(2)属于末端受约束的变分问题，其最短弧长满
足与(1)相同的欧拉方程，因此 x=at+b，因为
初始点没有变化，所以由x(0)=1可得b=1. 为了 确定参数a, 运用横截条件(11.1)可得
LX, XrX, X
这里，LX, X 是X 的线性泛函，rX, X 是关于 X
的 高阶无穷小，则
J LX, X
称为泛函J[x]的变分。 可知泛函变分就是泛函增量 的线性主部。
当一个泛函具有变分时，也称该泛函可微。和函 数的微分一样，泛函的变分可以利用求导的方 法来确定。
定理 设J[x]是线性赋范空间Rn上的连续泛函，
称 J (X ) 在 X X *处有极值(极大值或极小值)。
定理(变分预备定理)：设 (t) 是时间区间[t0, t1]
上连续的n维向量函数，(t) 是任意的连续n维
向量函数，且有 (t0 ) (t1) 0 ，若
t1 T (t)(t)dt 0 t0
则必有
(t) 0,t [t0,t1]
因此，该下的泛函极值只需将上述结论中的 去掉即可。
当末端时间tf固定，末端状态x(tf)固定时，正则方程不变，
边界条件退化为x(t0)=x0，x(tf)= xf ，系统在可控的条件下， 极值条件也不变。
本例属于末端时刻固定，末端状态受约束的泛函极值问题。
Hamilton函数 协态方程
极值条件
状态方程
数X (t)，有一个实数值J 与之相对应，则称J 为依赖于
函数X (t)的泛函，记为
J J X (t)
粗略来说，泛函是以函数为自变量的函数。(函数的函数)
2、泛函的连续性：
若对于收敛于点x0点列xn，其中x0，xn Rn ，均有
lim
n
J
(xn
)
J
(x0
)
则称泛函J在x0处连续。对于线性泛函J[x],若
若在x= x0处J[x]可微，则J[x]的变分为
J[x0, x]
J [ x0
x]
0
,0
1
证明:
由于 又因为
是 的线性连续泛函， 是 的高阶无穷小，
J [ x0
x]
0
lim
0
J [ x0
x]
J[x0 ]
=
lim
0
1
{L[x0
,
x
]
r[x0
,
x]}
泛函变分的规则 = J[x0 , x] (1) (L1 L2 ) L1 L2
上，f(.), (.),(.) 和L(.)连续可微，tf固定。最优解的
必要条件为： 1) x(t)和(t) 满足正则方程
2) 边界条件和横截条件
3) 极值条件 证明：构造广义泛函
分部积分 则 对上式取一次变分，考虑到
根据泛函极值的必要条件，可得到结论。
当末端时间tf固定，末端状态x(tf)自由时，不存在目标集
最优控制问题的一般提法：在满足系统方 程的约束条件下，在容许控制域中确定一 个最优控制律，使得系统状态从已知初态 转移到要求的目标集，并使性能指标达到 极值。
最优控制的应用类型
I. 积分型性能指标 1. 最小时间控制； 2. 最少能量控制； 3. 最少燃料控制；
J tf F x(t), x&(t),tdt t0
4.1.2 欧拉方程
假定t0与tf 给定，且初态与末态两端固定。 (1) 无约束泛函极值的必要条件 定理 设有如下泛函极值问题：
min J tf F x(t), x&(t),tdt
x(t )
t0
（1）
已知x(t0)=x0 拉方程
x(tf)=xf
,则极值曲线
x* (t )
应满足如下欧
F d (F ) 0 x dt x
容许轨线x(t)与极值曲线x*(t)之间有如下关系
当末端由(xf,tf)移动到 (x f x f ,t f t f ) 时， 产生如下的泛函增量
（8）
将(8)右端的第二项在极值曲线泰勒展开 对上式右端的第二项分部积分
将以上结果代入(8)，取增量的线性主部，得泛函的变分
令 J 0 ，得欧拉方程和横截条件：
x(t f
F ) ( x&)tt0
x(t0)
0
其中，
L((x(t), x&(t), , t)) g(x(t), x&(t), t) T f (x(t), x&(t), t)
为拉格朗日函数，(t) Rn是待定拉格朗日乘子。
4.1.3 横截条件
(1) 末端时刻固定时的横截条件
当tf 固定时，在x(t0)=x0 固定时，横截条件为
根据初始条件和目标条件可求出 c3=c4=0,4c1-9c2=6 再根据横截条件可求出c1=(1/2)c2，可求出c1与c2的值。进 而获得最优解
(2)末端时刻自由时的最优解
对于如下最优控制问题：
最优解的必要条件为： 1) x(t)和(t) 满足正则方程
2) 边界条件和横截条件
3) 极值条件 4) 在最优曲线末端的Hamilton函数满足
是指同属于函数类X (t)中两个函数X1(t) 、X 2 (t) 之差
X X1(t) X 2 (t)
这里, t 看作为参数。当 X (t) 为一维函数时，X 可用图4-1来表示。
图4-1 自变量函数的变分
5、泛函的变分：当自变量函数 X (t)有变分X 时， 泛函的增量为
J JX X JX
代入(11) ，并考虑 t f 任意，得到tf自由、x(tf)受约束的横
截条件和边界条件为
(11.1)
如果t0也自由、x(t0)受约束，即沿着曲线g(t) 则应满足以下横截条件
x(t0 ) g(t0 )
x(t f ) c(t f )
L(
x*
,
x&* ,
t
)
(
g&
x&)T
L x&
t0
0
L(
例子: 解：本例属于tf自由，末端状态固定、控制无约束的泛函 极值问题。
=常数，再由极值条件得
由状态方程和初始条件得到 利用末态条件得到 最后根据末端时刻H的变化率可以求得 a 2 这样，求得的最优解为
4.2 极小值原理及其应用
为解决控制有约束的变分问题，庞特里亚金提出并证 明了极小值原理，其结论与经典的变分理论有许多相似之 处，而且不要求哈密尔顿函数对控制量连续可微。
J tf dt
J
tf
uT
t0
(t)u(t)dt
t0
J
tf t0
m
u j (t) dt
j 1
II. 末值型性能指标 J [x(t f ),t f ]
III. 复合型性能指标
J [x(t f ),t f ]
tf F x(t), x&(t),tdt
t0
4.1 用变分法解最优控制 ➢ 4.1.1 泛函与变分 ➢ 4.1.2 欧拉方程 ➢ 4.1.3 横截条件 ➢ 4.1.4 变分法解最优控制问题
第4章 最优控制原理与应用
最优控制的基本概念
最优控制研究的主要问题：根据已建立的被控 对象的数学模型，选择一个容许的控制率，使 得被控对象按照预定的要求运行，并使给定的 某一性能指标达到极小值(或极大值)。
从数学观点来看，最优控制研究的问题是：求 解一类带有约束条件的泛函极值问题。
最优控制问题
tf t0
F x
d dt
( Fx)xdt
F x
x
tf t0
（4）
J取极值的必要条件是 J 等于零。因 x 是 任意的，要使（3-2）中第一项（积分项）为 零，必有
F d (F ) 0 x dt x
（5）
（4）式中第二项即为结论中的式(3).
举例： 利用上面的结论求得
(2) 有等式约束泛函极值的必要条件
定理 设有如下泛函极值问题：
min J tf g(x(t), x&(t),t)dt
x(t )
t0
s.t. பைடு நூலகம் (x(t), x&(t),t) 0
（6）
已知x(t0)=x0， x(tf)=xf ,则极值曲线x*(t) 应满足如下欧 拉方程和横截条件
F d (F ) 0 x dt x
F ( x&)ttf
xn x 0 (n ) xn, xRn
则
lim
n
J
( xn
)
J
(x)
则线性泛函J (x)是连续的，称J[x]为线性连续泛函。
3、线性泛函：满足下面条件的泛函称为线性泛函
JX JX
J (X Y ) J (X ) J (Y )
这里 是实数，X 和 Y 是函数空间中的函数。
4、自变量函数的变分：自变量函数 X (t)的变分 X
证明：构造广义泛函
当末端由(xf , tf)移动到 下的泛函增量
(
x
f
xf
,tf
tf
)
时，产生如
将上式在最优轨线展成泰勒级数并取主部，应用中值定