双曲线中常见结论

双曲线中常见结论:

1 离心率e=C= '1 +(b)2

a . a

2、焦半径

3、通径及通径长

b 2 2

4、焦点到准线的距离—，中心到准线的距离—

c c

2 2 2 2

8、双曲线笃一驚=、（入工0）和笃_笃 /有相同的渐近线和相同的离心率。

a2b2a2b2

也PF F2的面积为S=b2 sin8

1 - cosO

的离心率为sin （一：」宀）

9、P为双曲线上一点，则

2 2

例双曲线 •丄 =1(mn = 0的离心率为2,则m 的值为(

m n n

1 1 A. 3

B .

C. 3 或

3

3

2 2

例（湖南卷）已知双曲线 § —与=1 （a >0, b >0）的右焦点为F ,右准线与一条渐近线

a 2

b 2

2

交于点A ,A OAF 的面积为 —（0为原点），则两条渐近线的夹角为

2

(D )

A. 30o

B . 450

C. 600

D. 900

）

D.以上都不对

椭圆的几何性质

一、教学目标

（一）知识教学点

通过椭圆标准方程的讨论，使学生掌握椭圆的几何性质，能正确地画出椭圆的图形，并了解椭圆的一些实际应用．

（二）能力训练点

通过对椭圆的几何性质的教学，培养学生分析问题和解决实际问题的能力．

（三）学科渗透点

使学生掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解，这样才能解决随之而来的一些问题，如弦、最值问题等．

二、教材分析1．重点：椭圆的几何性质及初步运用．

（解决办法：引导学生利用方程研究曲线的性质，最后进行归纳小结．）

2．难点：椭圆离心率的概念的理解．

（解决办法：先介绍椭圆离心率的定义，再分析离心率的大小对椭圆形状的影响，最后通过椭圆的第二定义讲清离心率e的几何意义.）

3．疑点：椭圆的几何性质是椭圆自身所具有的性质，与坐标系选择无关，即不随坐标系的改变而改变．

（解决办法：利用方程分析椭圆性质之前就先给学生说明．）

三、活动设计

提问、讲解、阅读后重点讲解、再讲解、演板、讲解后归纳、小结．

四、教学过程

（一）复习提问

1．椭圆的定义是什么？

2 •椭圆的标准方程是什么?

学生口述，教师板书.

（二）几何性质

根据曲线的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，是

解析几何的基本问题之一.本节课就根据椭圆的标推方程手+ £*〉

b> 0）来研究椭圆的几何性质•说明：椭圆自身固有几何量所具有的性质是与坐标系选择无关，即不随坐标系的改变而改变.

1范围

引导学生从标椎方程4+4=1得出不等式

a b a b

即凶

（图2-18）.注意结合图形讲解，并指出描点画图时，就不能取范围以外的点.

2. 对称性

先请大家阅读课本椭圆的几何性质2.

设问：为什么"把x换成-x ,或把y换成-y ?,或把x、y同时换成-x、-y时, 方程都不变，所以图形关于y轴、x轴或原点对称的” 呢？

y

團2-18

事实上，在曲线的方程里，如果把x换成-x而方程不变，那么当点P（x , y）在曲线上时，点P关于y轴的对称点Q（-x , y）也在曲线上，所以曲线关于y轴对称.类似可以证明其他两个命题.

同时向学生指出：如果曲线具有关于y轴对称、关于x轴对称和关于原点对称中的任意两种，那么它一定具有另一种对称.如：如果曲线关于x轴和原点对称，那么它一定关于y轴对称.

事实上，设P（x , y）在曲线上，因为曲线关于x轴对称，所以点P i（x，-y）必在曲线上.又因为曲线关于原点对称，所以P1关于原点对称点P2（-x , y）必在曲

线上•因P（x，y）、P2（-x，y）都在曲线上，所以曲线关于y轴对称.

最后指出：x轴、y轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心即椭圆中心.

3. 顶点

引导学生从椭圆的标推方程= 1分祈它与屛趾y轴的交点.

a b

只须令x=0，得y=± b,点Bi（0，-b）、B2（0，b）是椭圆和y轴的两个交点；令y=0，得x=± a，点A1（-a，0）、A2（a，0）是椭圆和x轴的两个交点.强调指出：椭圆有四个顶点A i（-a，0）、A2（a，0）、B i （0，-b）、B2（0，b）.

教师还需指出：

（1）线段A1A2、线段B1B2分别叫椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a 和2b;

（2） a、b的几何意义：a是长半轴的长，b是短半轴的长；

这时，教师可以小结以下：由椭圆的范围、对称性和顶点，再进行描点画图，只须描出较少的点，就可以得到较正确的图形.

4. 离心率

教师直接给出椭圆的离心率的定义：

禰的焦距与长轴的应二

a

等到介绍椭圆的第二定义时，再讲清离心率e的几何意义.

先分析椭圆的离心率e的取值范围：

••• a>c>0，二0 v e v 1.

再结合图形分析离心率的大小对椭圆形状的影响：

（1）%接近吋也接近和从而b = E越小，因此椭圆越扁；

⑵当e接近0时，c越接近0，从而b越接近a，因此椭圆接近圆；

(3) 当e=0时，c=0, a=b两焦点重合，椭圆的标准方程成为x2+y2=a2，图形就是圆了.

(三) 应用