幂函数及其性质

幂函数及其性质
a
1
学习目标
一、知识目标： 1.通过实例了解并记住幂函数的概念. 2.结合几个常见幂函数的图象观察图象特征并能
自行发现幂函数的性质. 3.记住幂函数的性质并会应用. 能力目标： 通过观察图象特征来归纳函数性质, 从而培养学生数形结合的能力. 情感目标： 通过观察图象体会数学的简洁美.
2.当α为奇数时,幂函数为奇函数, 当α为偶数时,幂函数为偶函数.
3.如果α>0,则幂函数 在(0,+∞)上为增函数;
α>1a=1
0<α<1
如果α<0,则幂函数
α<0
在(0,+∞)上为减函数。
a
22
练习：利用单调性判断下列各值的大小。
（1）5.20.8 与 5.30.8 （(23）) 0.20.3-2与 0.30.3-2
3
y 1 y x 2
2
(
( 1 ( y x - -
- - 6 - 4 2 2 4 6
-1
(-
-2
-3
-4
a
20
幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性，随常 数α取值的不同而不同.
y = x y = x2
1
y x2
y x1
R R 奇偶性 奇函数
R [0，+∞）
偶函数
R [0，+∞） ， 0 （ 0， +） R [0，+∞） ， 0 （ 0， +）
只要把点带入解析式中即可求出a，也就可以求 出函数的解析式。
待定系数法
a
7
解：设所求幂函数的解析式为y x
(3, 3)因为点在函数图像上，所以代
入解析式得： 3 3a 1
a 2
1
y x2
a
8
1
3.如果函数f (x) = (m2+2m－2) xm21 2n3
是幂函数，求实数m,n的值。
解：由题意得
定义域：{x x 0}
值 域：{y y 0}
奇偶性：在{x x 0}上是奇函数
单调性：在(0,)上是减函数
在(a,0)上是减函数
18
下面将5个函数的图像画在同一坐标系中
(1) yx (2) y x2 (3) y x3
(4)
1
y x2
(5) y x1
a
19
( 4 y x 3 ( y x 2
奇函数
非奇非偶 函数
奇函数
在（－∞,0]
在R上 上是减函
是增函 数，在(0,
数
+∞）上是
增函数
a
在R上 是增函 数
在(0，+∞) 上是增函数
在( －∞,0)， (0, +∞）上是 减函数
（1，1） 21
小结： 幂函数的性质:
幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性，随 常数α取值的不同而不同.
１.所有幂函数的图象都通过点(1,1);
a
2
一、幂函数的概念的引入
阅读课本第85页的具体实例（1）－（5）， 思考下列问题：
1.它们的解析式分别是什么？若用 x 表示自
y 变量, 表示 x 的函数,上述五个函数解析式
分别是什么?
a
3
问题引入：函数的生活实例
问题1：如果张红购买了每千克1元的苹果w千克，
那么她需要付的钱数p =w元，这里p是w的函数 。yx
值，则相应图象依次为:__C4__C_2__C_3 C1
1
一般地，幂函数的图象在直线x=1
的右侧，大指数在上，小指数在下，
指大图高
a
27
思考4：根据上述五个函数的图象，你能
归纳出幂函数 y x a 在第一象限的图
象特征吗？
α>1
y
1.图象都过点(1,1)
α=1
2.α>0时图象过原点且上升，
0<α<1
的平均速度v = t 1 km/s
，这里v是t的函数 。
y
1
x
若将它们的自变量全部用x来表示,函数值用
y来表示,a则它们的函数关系式将是:y
a
x4
以上问题中的函数有什么共同特征？
(1) y=x (2) y=x2
（1）都是函数；
（2）均是以自变量为底的 幂；
(3) y=x1/2
（3）指数为常数；
a
23
练习(4) 1） 1 . 3 0 .5 ＜ 1 . 5 0 .5
2） 5 . 1 2 ＜ 5.09 2
3）
1
0 .5 4
1
＞ 0 .4 4
4）
2
0 .7 3
2
＞ 0 .8 3
a
24
例例 21：.证明幂 f(x)函 x数 在 [0, )上是增 . 函数
证 : 任 x 明 1 ,x 2 取 [ 0 , ) 且 , x 1 x 2 ,则
(4) y=x3 (5) y=x-1
（4）自变量前的系数为1; （5）幂前的系数也为1。
一般地，函数y= x 叫做幂函数，其中x是自
变量，α是常数.
注意:幂函数中α的可以为任意实数.
a
5
一、幂函数的定义： 一般地，我们把形如 y x 的函数叫做
幂函数，其中 x为自变量，为常数。
y x 中 x前面的系数是1，后面没有其它项。
m2 2m 2 1 m2 1 0 2n 3 0
解 得 m3,n3.
a
2
9
二、幂函数与指数函数比较
a为底数 指数 幂值
α为指数 底数
幂值
判断一个函数是幂函数还是指数函数的切入点：
看未知数x是指数还是底数
指数a函数
幂函1数0
二、五个常用幂函数的图像和性质
(1) yx (2) y x2 (3) y x3
f(x1)f(x2)x1x2
(
x1
x2)(
x1
x2)
x1 x2
x1 x2 x1 x2
方法技巧:分子有理化
因 0 x 1 为 x 2 , 所 x 1 x 2 以 0 ,x 1 x 2 0 ,
所 以 f(x1)f(x2) 即幂函 af(x)数 x在 [0, )上的25 增. 函
1
(4) y x 2 (5) y x1
a
11
函数 yx的图像
定义域： R
值 域： R
奇偶性：在R上是奇函数
单调性：在aR上是增函数
12
函数 y x2的图像
定义域： R
值 域：[0,)
奇偶性：在R上是偶函数
单调性：在[0,)上是增函数
在(,0]上是减函数
a
13
用描点法作出函数y=x3的图象.
问题2：如果正方形的边长为a，那么正方形的面积
是S = a²， 这里S是a的函数。
y x2
问题3：如果立方体的边长为a，那么立方体的体积
是V = a³， 这里V是a的函数 。
问
题
4:
如
果
1
正
方
形
场
地
的
面
积
为
S
，
那
y 么正
3
方x
形
的
边问长题a5=：S如2，果某这人里tas是内S骑的车函行数进。了1km，那么他y 骑x车12
例3 若m412 32m12,
则求m的取值范围.
解:
幂函数f
(x)
x
1
2的定义域是(0,
)
且在定义域上是减函数,
0 3 2m m 4
1 m 3 ,即为m的取值范围.
3
2
a
26
练习3: 如图所示，曲线是幂函数 y = xk 在第一象
限内的图象，已知 k分别取 1 , 1 , 1 , 2 四个 2
a
29
作业: 利用单调性判断下列各值的大小。
(1)1.30.5与 1.50.5 (2)5.12与 5.092
1
1
(3)1.794与1.814
a
30
再见!
a
31
a
14
函数 y x3的图像
定义域： R
值 域： R
奇偶性：在R上是奇函数
单调性：在aR上是增函数
15
1
1
y x 2 用描点法作出函数y x 2 的图象.
a
16
1
函数 y x 2 的图像
定义域：[0,)
值 域： [0,)
奇偶性： 非奇非偶函数
单调性：在[a0,)上是增函数
17
函数 y x1 的图像
练习1：判断下列函数哪几个是幂函数？
（1）y 3x; (2)y x2; (3)y 2x2; (4)y x2 1;
(5)y 1
思考：指数函数y=ax与幂
答案（2x）（5）函数y=xα有什么区别？
a
6
2.已知幂函数y = f (x)的图象经过点
（3 ，3 ），求这个函数的解析式。
分析：例题要求函数的解析式，首先由题知， 此函数是幂函数，也就符合幂函数的一般形 式 y x ，而且我们知道图像(过2点, 2 )
α<0时图象不过原点且下降， 1x=1 的右侧指大图高. o 1
x
a
28
小结:
1．记住幂函数的定义；
2．掌握幂函数的图象和性质；
3．能利用幂函数的性质解决有关问题; 4．这节课我们从观察图象入手,运用自然语言描述
了函数的图象特征,最后抽象到运用数学语言和符 号刻画了相应的数量特征. 这是一个循序渐进的 过程,这也是数学学习和研究中经常使用的方法.
2.5 5 与 2.7 5