陕西省西安地区陕师大附中、西安高级中学等八校2021届高三4月联考数学(理)试题
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（Ⅱ）求 的值.
18．西安市自2021年5月启动对“车不让人行为”处罚以来，斑马线前机动车抢行不文明行为得以根本改变，斑马线前礼让行人也成为了一张新的西安“名片”.
但作为交通重要参与者的行人，闯红灯通行却频有发生，带来了较大的交通安全隐患及机动车通畅率降低，交警部门在某十字路口根据以往的检测数据，得到行人闯红灯的概率约为0.4，并从穿越该路口的行人中随机抽取了200人进行调查，对是否存在闯红灯情况得到 列联表如下：
30岁以下
30岁以上
合计
闯红灯
60
未闯红灯
80
合计
200
近期，为了整顿“行人闯红灯”这一不文明及项违法行为，交警部门在该十字路口试行了对闯红灯行人进行经济处罚，并从试行经济处罚后穿越该路口行人中随机抽取了200人进行调查，得到下表：
处罚金额 （单位：元）
5
10
15
20
闯红灯的人数
50
40
20
0
将统计数据所得频率代替概率，完成下列问题.
A． B． C． D．
8．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
9．已知 的展开式中， 系数为56，则实数 的值为（ ）
A．6或-1B．-1或4C．6或5D．4或5
10．过抛物线 焦点 的直线交抛物线于 两点，若 ，则 （ ）
A．9B．72C． D．36
11．已知函数 ，若等比数列 满足 ，则 （ ）
本题主要考查了复数坐标的表示，属于基础题.
3．D
【分析】
利用原命题写出逆否命题、逆命题、否定，再判断其真假或命题写法的正确性．
【详解】
根据逆否命题的定义可知，A正确；
B项逆命题为：已知函数 在区间 上的图象是连续不断的，若 在区间 内至少有一个零点，则 ，为假命题，如 在区间 上有一个零点，但 ，即B正确；
（Ⅰ）若 是第一象限内该椭圆上的一点， ,求点 的坐标.
（Ⅱ）若直线 与圆 相切，交椭圆 于 两点，是否存在这样的直线 ，使得 ？
21．已知函数 的图象在 处的切线 过点 .
（1）若函数 ，求 的最大值（用 表示）；
（2）若 ，证明： .
22．已知曲线 （ 为参数）， （ 为参数）
（Ⅰ）将 的方程化为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
1.132
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
19．在如图所示的几何体中，四边形 为平行四边形， ， 平面 ， ， ， ， ， ，且 是 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值的大小.
20．已知 分别是椭圆 的左右焦点.
（Ⅰ）将 列联表填写完整（不需写出填写过程），并根据表中数据分析，在未试行对闯红灯行人进行经济处罚前，是否有99.9%的把握认为闯红灯与年龄有关；
（Ⅱ）当处罚金额为10元时，行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低多少；
（Ⅲ）结合调查结果，谈谈如何治理行人闯红灯现象.
参考公式： ，其中
参考数据：
0.25
0.15
2．B
【分析】
由题意得 ，得到复数在复平面内对应的点 ，即可作出解答.
【详解】
Baidu Nhomakorabea由题意得，e2i＝cos 2＋isin 2，
∴复数在复平面内对应的点为(cos 2，sin 2)．
∵2∈ ，
∴cos 2∈(－1，0)，sin 2∈(0，1)，
∴e2i表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限，
故选B.
【点睛】
根据否定的定义可知，C正确；
D项逆命题为:若 ，则 为 的极值点是假命题，如函数 ，虽然 ，但 不是函数 的极值点．
【点睛】
判断一个命题为假命题，可举一个反例，即可证明其为假命题．
A．2019B． C．2D．
12．若关于 的方程 恰有3个不相等实根，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0．19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为．
【校级联考】陕西省西安地区陕师大附中、西安高级中学等八校2019届高三4月联考数学（理）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 ， ,那么 等于（ ）
A． B． C． D．
2．欧拉公式eix＝cosx＋isinx(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e2i表示的复数在复平面中对应的点位于( )
一年级
二年级
三年级
女生
373
男生
377
370
14．设变量 满足约束条件 ，则目标函数 的最小值为__________．
15．记 为数列 的前项和，若 ，则 _______．
16．已知函数 ，若互不相等的实数 ， ， 满足 ，则 的取值范围是__________．
三、解答题
17．在 中， ， ， .
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）若 上的点 对应的参数为 ， 为 上的动点，求 中点 到直线 （ 为参数）距离的最小值.
23．已知 均为实数，且 .
（Ⅰ）求 的最小值；
（Ⅱ）若 对任意的 恒成立，求实数 的取值范围.
参考答案
1．A
【解析】
【分析】
对集合 进行化简，再进行 的运算。
【详解】
故选A。
【点睛】
在化简集合时要注意集合的研究对象，如 的研究对象是 而不是 。
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．下列关于命题的说法错误的是（ ）
A．命题“若 ，则 ”的逆否命题为“若 ，则 ”
B．已知函数 在区间 上的图象是连续不断的，则命题“若 ，则 在区间 内至少有一个零点”的逆命题为假命题
C．命题“ ,使得 ”的否定是：“ ，均有 ”
D．“若 为 的极值点，则 ”的逆命题为真命题
4．函数 的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知在三棱锥 中， ， ， ，平面 平面 ，若三棱锥的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
6．设函数 ， 表示 的反函数，定义如框图表示的运算，若输入 ，输出 ；当输出 时，则输入 为（ ）
A． B．6C． D．8
7．已知点 ， ， ，若 ，则 的值为（ ）
18．西安市自2021年5月启动对“车不让人行为”处罚以来，斑马线前机动车抢行不文明行为得以根本改变，斑马线前礼让行人也成为了一张新的西安“名片”.
但作为交通重要参与者的行人，闯红灯通行却频有发生，带来了较大的交通安全隐患及机动车通畅率降低，交警部门在某十字路口根据以往的检测数据，得到行人闯红灯的概率约为0.4，并从穿越该路口的行人中随机抽取了200人进行调查，对是否存在闯红灯情况得到 列联表如下：
30岁以下
30岁以上
合计
闯红灯
60
未闯红灯
80
合计
200
近期，为了整顿“行人闯红灯”这一不文明及项违法行为，交警部门在该十字路口试行了对闯红灯行人进行经济处罚，并从试行经济处罚后穿越该路口行人中随机抽取了200人进行调查，得到下表：
处罚金额 （单位：元）
5
10
15
20
闯红灯的人数
50
40
20
0
将统计数据所得频率代替概率，完成下列问题.
A． B． C． D．
8．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
9．已知 的展开式中， 系数为56，则实数 的值为（ ）
A．6或-1B．-1或4C．6或5D．4或5
10．过抛物线 焦点 的直线交抛物线于 两点，若 ，则 （ ）
A．9B．72C． D．36
11．已知函数 ，若等比数列 满足 ，则 （ ）
本题主要考查了复数坐标的表示，属于基础题.
3．D
【分析】
利用原命题写出逆否命题、逆命题、否定，再判断其真假或命题写法的正确性．
【详解】
根据逆否命题的定义可知，A正确；
B项逆命题为：已知函数 在区间 上的图象是连续不断的，若 在区间 内至少有一个零点，则 ，为假命题，如 在区间 上有一个零点，但 ，即B正确；
（Ⅰ）若 是第一象限内该椭圆上的一点， ,求点 的坐标.
（Ⅱ）若直线 与圆 相切，交椭圆 于 两点，是否存在这样的直线 ，使得 ？
21．已知函数 的图象在 处的切线 过点 .
（1）若函数 ，求 的最大值（用 表示）；
（2）若 ，证明： .
22．已知曲线 （ 为参数）， （ 为参数）
（Ⅰ）将 的方程化为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
1.132
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
19．在如图所示的几何体中，四边形 为平行四边形， ， 平面 ， ， ， ， ， ，且 是 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值的大小.
20．已知 分别是椭圆 的左右焦点.
（Ⅰ）将 列联表填写完整（不需写出填写过程），并根据表中数据分析，在未试行对闯红灯行人进行经济处罚前，是否有99.9%的把握认为闯红灯与年龄有关；
（Ⅱ）当处罚金额为10元时，行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低多少；
（Ⅲ）结合调查结果，谈谈如何治理行人闯红灯现象.
参考公式： ，其中
参考数据：
0.25
0.15
2．B
【分析】
由题意得 ，得到复数在复平面内对应的点 ，即可作出解答.
【详解】
Baidu Nhomakorabea由题意得，e2i＝cos 2＋isin 2，
∴复数在复平面内对应的点为(cos 2，sin 2)．
∵2∈ ，
∴cos 2∈(－1，0)，sin 2∈(0，1)，
∴e2i表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限，
故选B.
【点睛】
根据否定的定义可知，C正确；
D项逆命题为:若 ，则 为 的极值点是假命题，如函数 ，虽然 ，但 不是函数 的极值点．
【点睛】
判断一个命题为假命题，可举一个反例，即可证明其为假命题．
A．2019B． C．2D．
12．若关于 的方程 恰有3个不相等实根，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0．19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为．
【校级联考】陕西省西安地区陕师大附中、西安高级中学等八校2019届高三4月联考数学（理）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 ， ,那么 等于（ ）
A． B． C． D．
2．欧拉公式eix＝cosx＋isinx(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e2i表示的复数在复平面中对应的点位于( )
一年级
二年级
三年级
女生
373
男生
377
370
14．设变量 满足约束条件 ，则目标函数 的最小值为__________．
15．记 为数列 的前项和，若 ，则 _______．
16．已知函数 ，若互不相等的实数 ， ， 满足 ，则 的取值范围是__________．
三、解答题
17．在 中， ， ， .
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）若 上的点 对应的参数为 ， 为 上的动点，求 中点 到直线 （ 为参数）距离的最小值.
23．已知 均为实数，且 .
（Ⅰ）求 的最小值；
（Ⅱ）若 对任意的 恒成立，求实数 的取值范围.
参考答案
1．A
【解析】
【分析】
对集合 进行化简，再进行 的运算。
【详解】
故选A。
【点睛】
在化简集合时要注意集合的研究对象，如 的研究对象是 而不是 。
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．下列关于命题的说法错误的是（ ）
A．命题“若 ，则 ”的逆否命题为“若 ，则 ”
B．已知函数 在区间 上的图象是连续不断的，则命题“若 ，则 在区间 内至少有一个零点”的逆命题为假命题
C．命题“ ,使得 ”的否定是：“ ，均有 ”
D．“若 为 的极值点，则 ”的逆命题为真命题
4．函数 的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知在三棱锥 中， ， ， ，平面 平面 ，若三棱锥的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
6．设函数 ， 表示 的反函数，定义如框图表示的运算，若输入 ，输出 ；当输出 时，则输入 为（ ）
A． B．6C． D．8
7．已知点 ， ， ，若 ，则 的值为（ ）