锐角三角比的意义

儒洋教育学科教师辅导讲义
课 题 锐角三角比的意义
教学目标
1、理解锐角的正切、余切、正弦、余弦的概念；
2、能正确使用锐角的正切、余切、正弦、余弦的符号语言；
3、培养观察、归纳、总结数学问题的能力。

教学内容
一、新课讲解：
1、操作：
（1）任作锐角∠。

（2）在上任取B 1、B 2、B 3，分别过B 1、B 2、B 3作的垂线。

垂足为C 1、C 2、C 3。

（3）量出B 1C 1和1，B 2C 2和2，B 3C 3和3的长度，并计算出111B C AC ，222B C
AC ，333
B C AC 的值。

2、探究：
由以上操作可得到：△1C 1、△2C 2、△3C 3。

显然有1C 12C 23C 3，
于是可得：331122123
B C B C B C
AC AC AC ==
3、结论：
在放大和缩小时，当锐角A 的大小固定不变后，无论△的边长怎么变化，两条直角边的比值总是不变的。

大写字母C 表示△的直角，小写字母a 表示∠A 的对边，b 表示∠B 的对边，c 表示斜边。

（如上图） 同理，通过分析可知在放大和缩小时，当锐角A 的大小固定不变后， 无论△的边长怎么变化，直角边与斜边的比值总是不变的。

二、知识要点：
锐角A 的对边（）与邻边（）的比叫做锐角A 的正切，记作。

如图△中，∠900
，b
a
AC BC A A A ===
的邻边锐角的对边锐角tan
锐角A 的邻边（）与对边（）的比叫做锐角A 的余切，记作。

如图△中，∠900
，a
b
BC AC A A A ===
的对边锐角的邻边锐角cot
锐角A 的对边（）与斜边（）的比叫做锐角A 的正弦，记作。

如图△中，∠900
，c
a
AB BC A A A ===
的斜边锐角的对边锐角sin
C
B
C 1B 3
B 2
B 1
C 3C 2A
b
a
c
A
C
B
锐角A 的对边（）与斜边（）的比叫做锐角A 的余弦，记作。

如图△中，∠900
，c
b
AB AC A A A ===的斜边锐角的邻边锐角cos
在直角三角形中，锐角A 的正切（）、余切（）、正弦（）、余弦（）统称为锐角A 的三角比，简称三角比。

注意：定义中应该注意的几个问题:
1、, 是在直角三角形中定义的，∠A 是锐角(注意数形结合,构造直角三角形).
2、, 是一个完整的符号,表示∠A 的正切，习惯省去“∠”号.
3、,是一个比值.注意比的顺序,且,均>0，无单位.
4、, 的大小只与∠A 的大小有关,而与直角三角形的边长无关.
5、角相等,则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等.
三、例题讲解：
例1、（1）在△中，∠90°，178，求、、、？
（2）在△中，∠90°，6，4
3
sin =A ，求①的长；②、、？ （3）若α为锐角，且2
1
tan =α，求α、α、α？
相关练习：
1、求出图6－4所示的△中的、和、的值．
2、△中，∠900
，12，5，求：，，，的值。

3、△中，∠900，9，7，求：，，，的值。

例2：在△中，∠90°，12，7，求:(1) 和的值（2）和的值
结论：①同一锐角的正切与余切互为倒数，即：
1
tanA=
cotA
或tanA cotA1
•=
②两个互余的锐角中，一锐角的正切等于它的余角的余切。

即：若∠∠90°，那么，
思考：∠A为锐角，则、、、的值的范围。

相关练习：
1、如图：△中，∠900，⊥，3，5，求，，∠，∠的值。

2、如图：△中，∠900，⊥，5，3，求，，∠，∠的值。

例3：已知在直角坐标系内有一点P （2，3），求与x 轴的正半轴的夹角为α，求∠α的四个三角比的值？
相关练习： 1、直线44
3
+=x y 交x 轴于A ，交y 轴于B ，求∠的正弦.
2、已知∠α的顶点在坐标原点，始边在x 轴的正半轴上，点P 在∠α的终边上，如果22tan =a ，且P 点横坐标为2，求P 点到原点的距离.
3、在菱形中，对角线的长为10，面积为30，求ABC 2
1
tan ∠的值
6．如图，在菱形中，⊥于E 点，＝1，＝13
5
.求四边形的周长。

7.已知：如图，在△中，是边上的高，E•为边•的中点，＝14，＝12，＝45
， 求：（1）线段的长；（2）∠的值．
8.如图，在△中，∠C ＝90°，D 为上一点，∠＝30°，＝2，＝23，求•的长．
A
D C B
五、课后练习：
1、在△中，∠C ＝90°，＝1，＝3，则＝，.
2、如图，在△中，∠C ＝90°， ＝9a ，＝12a ，＝15a ，,
3、在△中，若2，7，3，则．
4、在△中，∠90°，3，4，则，，．
5、在△中，∠90°，⊥于D ，5，12
5
，则，．
6、△中，∠90°，，，，则·．
7、若三角形三边长的比为5：12：13，则此三角形最小内角的正切值为．
8、在△中，∠90︒，AB BC 3
2
=,则
9、如图，菱形的对角线6，•8，•∠α， •则α=•，• α， α．
10、根据图示填空
（1）)
()(sin BC
AC A ==
（2）BC
BCD CD ACD )
(cos ,)(cos =∠=
∠
（3）)
()(tan ,)()(tan AC
BD B AC CD A ====
11、△中，各边长度都扩大两倍，那么锐角A 的各三角函数值（ ）
A ．都扩大两倍
B ．都缩小两倍
C ．保持不变
D ．无法确定 12、如图，△中，∠90°，⊥于D ，3，•4，•设∠α，•
则α的值为（ ）
A ．
34 B ．43 C ．35 D ．4
5
13、在△中，已知∠90°，周长为60，12
5
，则△的面积是（ ）
A ．30cm 2
B ．60cm 2
C ．120cm 2
D ．2402
14、如图，在直角△中，∠C ＝90o
，若＝5，＝4，则＝（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 15、在△中，∠90°，2，，则边的长是( )
A ．
B ．3
C ．
D ．
16、三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则α的值是﹙﹚ A ．4
3 B ．3
4 C ．53 D ．5
4
17、（1）化简：1sin 2sin 2+-αα （2）若α为锐角，3
1
，求和
18、（1）在△中，∠C ＝90°，＝
4
3
，＝10，求和。

（2）在△中，＝，∠C ＝90°，求；当＝4时，求的长。

19、等腰三角形周长为16，一边长为6，求底角的余弦值。

C
B
A
α。