用向量法证明垂直PPT课件
利用空间向量证明平行、垂直问题PPT精品课件
②∵u＝(0,3,0)，v＝(0，－5,0)，∴u＝－
3 5
v，
∴u∥v，∴α∥β.
③∵u＝(2，－3,4)，v＝(4，－2,1)，
∴u与v不共线，也不垂直，
∴α与β相交但不垂直．
(3)①∵u＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)，
∴u·a＝－6＋8－2＝0，
∴u⊥a，∴l⊂α或l∥α.
②∵u＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)，∴u＝－
贝 多 芬
你知道托尔斯泰哪些 文学代表作？
它们在俄国历史上起 过什么作用？
托尔斯泰晚年为什么 选择“平民化”的道
“我要扼住命运的咽喉，它决不能使我 完全屈服”
——贝多芬
1.当时贝多芬遇到了怎样的厄 运？
2.他是怎样“扼住命运的咽 喉”？
《吃土豆的人》
哪一首乐曲标志着贝多芬在艺术 上和思想上的成熟？
b，∴a∥b，∴l1∥l2.
②∵a＝(5,0,2)，b＝(0,4,0)，
∴a·b＝0，∴a⊥b，
∴l1⊥l2.
③∵a＝(－2,1,4)，b＝(6,3,3)，
∴a与b不共线，也不垂直，∴l1与l2相交或异面．
(2)①u＝(1，－1,2)，v＝3，2，－12 ，
∴u·v＝3－2－1＝0，∴u⊥v，∴α⊥β.
A．(2,3,1)
B．(1，－1,2)
C．(1,2,1)
D．(1,0,3)
解析：A→D＝xA→B＋yA→C＝(x＋y，x＋2y，x－y)， 对四个选项逐个检验，只有当(x＋y，x＋2y，x－y)＝
(1,0,3)时有解xy＝ ＝2－1 . 答案：D
1．注意用向量中的有关公式及变形，借助建立直角坐 标系将复杂的几何问题化为简单的代数问题．
向量法证明垂直
BD＝AD－AB＝ b－ a， 1 → → 1→ 1 1 OG＝OC＋CG＝ (AB＋AD)＋ CC1＝ (a＋ b)－ c， 2 2 2 2 1 1 1 ∴A1O·BD＝ (c＋ a＋ b)· (b－ a)＝ c· (b－ a)＋ (a＋ b)· (b－ a) 2 2 2 1 2 2 1 2 ＝ c· b－ c· a＋ (b － a )＝ (|b | － |a |2)＝ 0. 2 2 ∴A1O⊥BD，∴ Α1O⊥ BD. 同理可证，A1O⊥OG，∴ A1O⊥ OG. 又∵ OG∩ BD＝ O，且 A1O⊄面 GBD， ∴ A1O⊥面 GBD.
→
→
→
→
误区警示
审题不清致误
【示例】 在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为棱BB1
的中点，在棱DD1上是否存在点P，使MD⊥平面PAC?
[错解] 如图建立空间直角坐标系，则 A(1 ， 0，0)， C(0，1， 0)， D(0， 0， 0)， 1 M(1，1， )， 2 假设存在 P(0，0，x)满足条件， 则PA＝(1，0，－x)，AC＝(－1，1，0)．
→
→
题型三
证明面面垂直
在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝ 【 例 3】 90°，∠ADB＝30°，E、F分别是AC、AD的中点， 求证：平面BEF⊥平面ABC.
[规范解答 ]建系如图，取 A(0，0，a)， 则易得 B(0，0，0)，C( 3 3 a， a，0)， 2 2
→
→
3 3 a， a， 0)＝ 0 2 2
→ ∴ n⊥CD，∴平面 BEF⊥平面 ABC.
【变式3】 在正棱锥P－ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是 △PAB的重心，E、F分别为BC、PB上的点，且BE∶EC＝ PF∶FB＝1∶2. 求证：平面GEF⊥平面PBC； 证明 如图，以三棱锥的顶点P为原
立体几何中的向量方法——证明平行及垂直
立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直1．直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量．(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为⎩⎨⎧n ·a ＝0，n ·b ＝0.2．用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)⇔v 1∥v 2.(2)设直线l 的方向向量为v ，与平面α共面的两个不共线向量v 1和v 2，则l ∥α或l ⊂α⇔存在两个实数x ，y ，使v ＝x v 1＋y v 2.(3)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ∥α或l ⊂α⇔v ⊥u .(4)设平面α和β的法向量分别为u 1，u 2，则α∥β⇔u 1 ∥u 2.3．用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2⇔v 1·v 2＝0.(2)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α⇔v ∥u .(3)设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β⇔u 1⊥u 2⇔u 1·u 2＝0.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线的方向向量是唯一确定的．( )(2)平面的单位法向量是唯一确定的．( )(3)若两平面的法向量平行，则两平面平行．( )(4)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行．( )(5)若a ∥b ，则a 所在直线与b 所在直线平行．( )(6)若空间向量a 平行于平面α，则a 所在直线与平面α平行．( )1．下列各组向量中不平行的是( )A ．a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2，－4,4)B ．c ＝(1,0,0)，d ＝(－3,0,0)C ．e ＝(2,3,0)，f ＝(0,0,0)D ．g ＝(－2,3,5)，h ＝(16,24,40)2．已知平面α有一点M (1，－1,2)，平面α的一个法向量为n ＝(6，－3,6)，则下列点P 中，在平面α的是( )A ．P (2,3,3)B ．P (－2,0,1)C ．P (－4,4,0)D ．P (3，－3,4)3．已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x ，y ，z 分别为______________．4．若A (0,2，198)，B (1，－1，58)，C (－2,1，58)是平面α的三点，设平面α的法向量n ＝(x ，y ，z )，则x ∶y ∶z ＝________.题型一 证明平行问题例1 (2013·改编)如图，在四面体A －BCD 中，AD ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，AD ＝2，BD ＝22，M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且AQ ＝3QC .证明：PQ ∥平面BCD .如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP＝BQ＝λ(0<λ<2)．(1)当λ＝1时，证明：直线BC1∥平面EFPQ；(2)是否存在λ，使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．题型二证明垂直问题例2如图所示，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．求证：AB1⊥平面A1BD.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC ＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°角．(1)求证：CM∥平面PAD；(2)求证：平面PAB⊥平面PAD.题型三解决探索性问题例3 如图，棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC和∠A1AC均为60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD.(1)求证：BD⊥AA1；(2)求二面角D－A1A－C的余弦值；(3)在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由．如图所示，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P为侧棱SD上的点．(1)求证：AC⊥SD.(2)若SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由．利用向量法解决立体几何问题典例：如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．(1)证明：PB∥平面AEC；(2)设二面角D－AE－C为60°，AP＝1，AD＝3，求三棱锥E－ACD的体积．A 组 专项基础训练1．若直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为n ＝(－2,0，－4)，则( )A ．l ∥αB ．l ⊥αC ．l ⊂αD ．l 与α相交2．若AB →＝λCD →＋μCE →，则直线AB 与平面CDE 的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．在平面D ．平行或在平面3．已知A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C (3,7，－5)，则平行四边形ABCD 的顶点D 的坐标是( )A ．(2,4，－1)B ．(2,3,1)C ．(－3,1,5)D ．(5,13，－3)4．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则实数λ等于( )A.627B.637C.607D.6575．如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AA 1＝3，AD ＝22，P 为C 1D 1的中点，M 为BC 的中点．则AM 与PM 所成的角为( )A ．60°B ．45°C ．90°D ．以上都不正确6．已知平面α的三点A (0,0,1)，B (0,1,0)，C (1,0,0)，平面β的一个法向量n ＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是________．7．设点C (2a ＋1，a ＋1,2)在点P (2,0,0)、A (1，－3,2)、B (8，－1，4)确定的平面上，则a ＝________.8．如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝2a 3，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是________． 9．如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12PD .证明：平面PQC ⊥平面DCQ .10．如图，在底面是矩形的四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，E ，F 分别是PC ，PD 的中点，PA ＝AB ＝1，BC ＝2.(1)求证：EF ∥平面PAB ；(2)求证：平面PAD ⊥平面PDC .B 组 专项能力提升11．如图，正方形ABCD 与矩形ACEF 所在平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 在EF 上，且AM ∥平面BDE ，则M 点的坐标为( )A ．(1,1,1)B ．(23，23，1)C ．(22，22，1) D ．(24，24，1) 12．设u ＝(－2,2，t )，v ＝(6，－4,4)分别是平面α，β的法向量，若α⊥β，则t 等于( )A ．3B ．4C ．5D ．613．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 为正方形A 1B 1C 1D 1四边上的动点，O 为底面正方形ABCD 的中心，M ，N 分别为AB ，BC 的中点，点Q 为平面ABCD 一点，线段D 1Q 与OP 互相平分，则满足MQ →＝λMN →的实数λ有________个．14．如图所示，已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，且AB ＝AA 1，D 、E 、F 分别为B 1A 、C 1C 、BC的中点．求证：(1)DE ∥平面ABC ；(2)B 1F ⊥平面AEF .15．在四棱锥P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E、F分别是AB、PB的中点．(1)求证：EF⊥CD；(2)在平面PAD求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论．。
用空间向量证明线线垂直与线面垂直
第二节 用空间向量证明线线垂直与线面垂直一、空间向量及其数量积1、 在空间，既有大小又有方向的量称为空间向量。
用AB 或a 表示，其中向量的大小称为向量的长度或或a。
正如平面向量可用坐标(x,y.)表示，空间向量也可用坐标(x,y,z)表示。
若已知点A 坐标为（x 1，y 1，z 1）,点B 坐标为（x 2，y 2，z 2） 则向量AB =（x 2 -x 1，y 2- y 1，z 2 -z 1）即是终点坐标减起点坐标。
在空间，知道向量=（x ，y ，z=222z y x ++2、 空间向量数量积① 已知两个非零向量a 、b ，在空间任取一点O ，作OA =a ，OB =b ，则角∠AOB 叫向量a 与b 的夹角，记作＜a ，b ＞规定，若0≤＜a ，b ＞≤π，若＜a ，b ＞=2π，称a 与b 垂直，记作a ⊥。
② 已知空间两个向量a 、bCOS ＜a ，b ＞叫向量a 、b 的数量积，记作b a ⋅COS＜，＞若⊥⇔a ⋅＝０③ 若已知空间向量a ＝（x 1，y 1，z 1）， b ＝（x 2，y 2，z 2） 则a ∙b ＝x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2 ， COS ＜a ，222222212121212121z y x z y x z z y y x x ++⋅++++=例１ 如图，已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BCA=900,D 1、E 1分别为A 1B 1、A 1C 1中点，若BC=CA=CC 1，求向1BD 与1AE 所成角的余弦值。
C 1B 1 Ａ1ＡＣＢ D 1 E 1练习：已知正方体ABCD —1111D C B A 中，11E B =11F D =411B A ，求向量1BE 与1DF 所成角的余弦值。
二 、利用向量证线线垂直与线面垂直例2 在正方体ABCD —1111D C B A 中，求证A 1C ⊥平面AB 1D 1练习：在正方体ABCD —1111D C B A 中，O 为底面ABCD 的中心，P 为DD 1的中点， 求证：B 1O ⊥平面PAC 。
用向量讨论垂直和平行(课堂PPT)
与平行获得处理这类问题的方法。
3 认识事物之间的规律性，进一步体会向量方法 在立体几何中的具体作用。
5
导学案反馈
闪光点：1、按时交导学案； 2、对课本认真解读了，对知识达到了一定的理
解； 态度方面：个别卷面不整洁； 知识理解方面：
1、求点的轨迹是要注意建系设点（合作探究2） 2、当不确定椭圆的焦点在哪个坐标轴上时，要注 意讨论。（合作探究3）
另一个平面，则这两个平面平行。
14
例 2.在 正 方 形 A B C D-A 1B 1C 1D 1 中 ,
求 证 :平 面 A 1B D//平 面 C B 1D 1
证明:如图分别以D1A1、D1C1、D1D
三边所在的直线为x,y,z轴建立空间 A
直角坐标系.设正方体的棱长为1,
Z
D
C
B
则A1(1,0,0),B1(1,1,0),
求证CD 平面BDM
A
A1
解 :
D
如 图 ,以 C为 原 点 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 .
B( 2,0,0),B1( 2,1,0),A1(0,1,1),
C
C1
MY
B1
D( 2,1,1),M( 2,1,0),
B
2 22 2
X
uuur CD(
2, 2
1, 2
12),uAu1uBr (
uuuur 2,1,1)，DM(0,
C'
A'
底面是正三角形，AA' 底面ABC，
A'C AB',求证：BC' AB'
证明：设底面边长 1, 为
设a AA',b AB,c AC C
立体几何中的向量方法——证明平行及垂直
立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直1．直线的方向向量与平面的法向量确实定(1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量．(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为⎩⎨⎧n ·a ＝0，n ·b ＝0.2．用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)⇔v 1∥v 2.(2)设直线l 的方向向量为v ，与平面α共面的两个不共线向量v 1和v 2，则l ∥α或l ⊂α⇔存在两个实数*，y ，使v ＝*v 1＋y v 2.(3)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ∥α或l ⊂α⇔v ⊥u .(4)设平面α和β的法向量分别为u 1，u 2，则α∥β⇔u 1∥u 2.3．用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2⇔v 1·v 2＝0.(2)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α⇔v ∥u .(3)设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β⇔u 1⊥u 2⇔u 1·u 2＝0.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打"√〞或"×〞)(1)直线的方向向量是唯一确定的．()(2)平面的单位法向量是唯一确定的．()(3)假设两平面的法向量平行，则两平面平行．()(4)假设两直线的方向向量不平行，则两直线不平行．()(5)假设a ∥b ，则a 所在直线与b 所在直线平行．()(6)假设空间向量a 平行于平面α，则a 所在直线与平面α平行．()1．以下各组向量中不平行的是()A ．a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2，－4,4)B ．c ＝(1,0,0)，d ＝(－3,0,0)C ．e ＝(2,3,0)，f ＝(0,0,0)D ．g ＝(－2,3,5)，h ＝(16,24,40)2．平面α有一点M (1，－1,2)，平面α的一个法向量为n ＝(6，－3,6)，则以下点P 中，在平面α的是()A ．P (2,3,3)B ．P (－2,0,1)C ．P (－4,4,0)D ．P (3，－3,4)3．AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，假设AB →⊥BC →，BP →＝(*－1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数*，y ，z 分别为______________．4．假设A (0,2，198)，B (1，－1，58)，C (－2,1，58)是平面α的三点，设平面α的法向量n ＝(*，y ，z )，则*∶y ∶z ＝________.题型一 证明平行问题例1(2013·改编)如图，在四面体A －BCD 中，AD ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，AD ＝2，BD ＝22，M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且AQ ＝3QC .证明：PQ ∥平面BCD .如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，A 1B 1，A 1D 1的中点，点P ，Q 分别在棱DD 1，BB 1上移动，且DP ＝BQ ＝λ(0<λ<2)．(1)当λ＝1时，证明：直线BC 1∥平面EFPQ ；(2)是否存在λ，使平面EFPQ 与平面PQMN 所成的二面角为直二面角？假设存在，求出λ的值；假设不存在，说明理由．题型二 证明垂直问题例2 如下图，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABC —A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1的中点．求证：AB 1⊥平面A 1BD .如下图，在四棱锥P －ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，PC ＝2，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝90°，AB ＝4，CD ＝1，点M 在PB 上，PB ＝4PM ，PB 与平面ABCD 成30°角．(1)求证：CM ∥平面PAD ；(2)求证：平面PAB ⊥平面PAD .题型三 解决探索性问题例3 如图，棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC和∠A1AC均为60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD.(1)求证：BD⊥AA1；(2)求二面角D－A1A－C的余弦值；(3)在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1，假设存在，求出点P的位置，假设不存在，请说明理由．如下图，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P为侧棱SD上的点．(1)求证：AC⊥SD.(2)假设SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.假设存在，求SE∶EC的值；假设不存在，试说明理由．利用向量法解决立体几何问题典例：如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．(1)证明：PB∥平面AEC；(2)设二面角D－AE－C为60°，AP＝1，AD＝3，求三棱锥E－ACD的体积．A组专项根底训练1．假设直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则()A．l∥αB．l⊥αC．l⊂αD．l与α相交2．假设AB→＝λCD→＋μCE→，则直线AB与平面CDE的位置关系是()A．相交B．平行C．在平面D．平行或在平面3．A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C(3,7，－5)，则平行四边形ABCD的顶点D的坐标是() A．(2,4，－1) B．(2,3,1)C．(－3,1,5) D．(5,13，－3)4．a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，假设a，b，c三向量共面，则实数λ等于()A.627B.637C.607D.6575．如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AA 1＝3，AD ＝22，P 为C 1D 1的中点，M 为BC 的中点．则AM 与PM 所成的角为()A ．60°B ．45°C ．90°D ．以上都不正确6．平面α的三点A (0,0,1)，B (0,1,0)，C (1,0,0)，平面β的一个法向量n ＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是________．7．设点C (2a ＋1，a ＋1,2)在点P (2,0,0)、A (1，－3,2)、B (8，－1，4)确定的平面上，则a ＝________.8．如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝2a 3，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是________． 9．如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB＝12PD .证明：平面PQC ⊥平面DCQ . 10．如图，在底面是矩形的四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，E ，F 分别是PC ，PD 的中点，PA ＝AB ＝1，BC ＝2.(1)求证：EF ∥平面PAB ；(2)求证：平面PAD ⊥平面PDC .B 组 专项能力提升11．如图，正方形ABCD 与矩形ACEF 所在平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 在EF 上，且AM ∥平面BDE ，则M 点的坐标为()A ．(1,1,1)B ．(23，23，1) C ．(22，22，1) D ．(24，24，1)12．设u ＝(－2,2，t )，v ＝(6，－4,4)分别是平面α，β的法向量，假设α⊥β，则t 等于()A ．3B ．4C ．5D ．613．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 为正方形A 1B 1C 1D 1四边上的动点，O 为底面正方形ABCD 的中心，M ，N 分别为AB ，BC 的中点，点Q 为平面ABCD 一点，线段D 1Q 与OP 互相平分，则满足MQ →＝λMN→的实数λ有________个．14．如下图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，且AB ＝AA 1，D 、E 、F 分别为B 1A 、C 1C 、BC 的中点．求证：(1)DE ∥平面ABC ；(2)B 1F ⊥平面AEF .15．在四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD ＝DC ，E 、F 分别是AB 、PB 的中点．(1)求证：EF ⊥CD ；(2)在平面PAD 求一点G ，使GF ⊥平面PCB ，并证明你的结论．。
高中数学空间向量与立体几何1.41.4.1第3课时空间中直线平面的垂直课件
[跟进训练] 3．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中 点．求证：平面AED⊥平面A1FD1.
[证明] 以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x 轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.
设正方体的棱长为2， 则D(0,0,0)，A(2,0,0)，E(2,2,1)，F(0,1,0)， A1(2,0,2)，D1(0,0,2)， ∴D→A＝D→1A1＝(2,0,0)，D→E＝(2,2,1)， D→1F＝(0,1，－2)．
当堂达标·夯基础
1．已知直线l1的方向向量a＝(1,2，－2)，直线l2的方向向量b＝
(－2,3，m)．若l1⊥l2，则m＝( )
A．1
B．2
C．12
D．3
B [由于l1⊥l2，所以a⊥b，故a·b＝－2＋6－2m＝0，即m＝2.]
1234 5
2．若平面α，β的法向量分别为a＝(2，－1,0)，b＝(－1，－
易得B(0,0,0)，A(0，－1， 3)，
D( 3，－1,0)，C(0,2,0)，
因而E0，12， 23，F 23，12，0，
所以E→F＝
23，0，－
23，B→C＝(0,2,0)，
因此E→F·B→C＝0.从而E→F⊥B→C，
所以EF⊥BC．
用向量法证明直线与直线垂直的方法和步骤 (1)基底法：①选取三个不共面的已知向量(通常是它们的模及其 两两夹角为已知)为空间的一个基底；②把两直线的方向向量用基底 表示；③利用向量的数量积运算，计算出两直线的方向向量的数量 积为0；④由方向向量垂直得到两直线垂直．
(2)坐标法：①根据已知条件和图形特征，建立适当的空间直角 坐标系，正确地写出各点的坐标；②根据所求出点的坐标求出两直 线方向向量的坐标；③计算两直线方向向量的数量积为0；④由方向 向量垂直得到两直线垂直．
2-3-4用向量讨论垂直与平行课件(北师大版选修2-1)
2．用空间向量解决立体几何问题的步骤 (1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉 及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它 们之间距离和夹角等问题； (3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义．
题型一 求空间平面的法向量 【例 1】 正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2，E、F 分别为棱 A1D1、A1B1 的中点，求平面 EFBD 的一个法向量．
2 2
名师点睛 1．求平面法向量的步骤 若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标 系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下： 设平面的法向量为 n＝(x，y，z)． (1)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标 a＝(a1，1，1)， b c b＝(a2，b2，c2)；
(2)根据法向量的定义建立关于 x、y、z
同理设平面 EGF 的一个法向量为 n2＝(x2，y2，z2)， → n2·EF＝0 y2＋z2＝0， 由 ⇔ → n ·EG＝0 x2＋y2＋z2＝0， 2 令 y2＝1 可得：x2＝0，z2＝－1， ∴n2＝(0，1，－1)， ∴n1＝n2⇒n1∥n2， ∴平面 EGF∥平面 ABD. 方法点评 利用等价转化思想将立体几何问题转化为空间向量 的坐标运算，大大降低了思维的难度，同学们只要运算仔细就 可以了，这种思想的运用必须掌握好．
证明
法一 如图，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为 2，
则有 D(0，0，0)，A1(2，0，2)，P(0，1，0)，M(0，2，1)，N(1， 2，0)． → → → ∴A1P＝(－2，1，－2)，DM＝(0，2，1)，DN＝(1，2，0)， → → → → ∴A1P·DM＝0，A1P·DN＝0. ∴A1P⊥DM，A1P⊥DN， 又 DM∩DN＝D， ∴A1P⊥平面 DMN.
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系(2)(共36张PPT)
C(0,2,0),C1(0,2,1),E 0,0,
2
,
1
则1 =(0,0,1),=(-2,2,0),1 =(-2,2,1), = -2,0,2 .
设平面 AA1C1C 的一个法向量为 n1=(x1,y1,z1).
1 ·1 = 0,
1 = 0,
则
⇒
-21 + 21 = 0.
1 · = 0
令 x1=1,得 y1=1.∴n1=(1,1,0).
设平面 AEC1 的一个法向量为 n2=(x2,y2,z2).
-22 + 22 + 2 = 0,
2 ·1 = 0,
1
则
⇒
-2
+
2 = 0,
2
2 · = 0
2
令 z2=4,得 x2=1,y2=-1.∴n2=(1,-1,4).
1 1
证明:同例题建系,易知= 0,2 , 2 ,=(a,0,0),因为 · =0,所以 AF⊥BC.
归纳总结
利用向量方法证明线线垂直的方法
(1)坐标法:建立空间直角坐标系,写出相关点的坐标,求出两直线方向向量的坐标,然
后通过数量积的坐标运算法则证明数量积等于0,从而证明两条直线的方向向量互
=0,因此 CE⊥AM,CE⊥AD.
又 AM∩AD=A,∴CE⊥平面 AMD.
又 CE⊂平面 CED,∴平面 AMD⊥平面 CED.
金题典例
金题典例 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角
形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中点,E是B1C的中点.
设直线 l 的方向向量为 μ,平面 α 的法向量
为 n,则
l⊥α⇔μ∥n⇔∃λ∈R,使得 μ=λn
用空间向量研究直线、平面的位置关系PPT课件
和平面.
（一）点的位置向量
1.思考：如何用空间向量表示空间中的一个点?
2.点的位置向量
如图 ，在空间中，我们取一定点 作为基点，
那么空间中任意一点 就可以用向量来表示:我
们把向量称为点 的位置向量.
向量称为点 的位置向量.
三
探究新知2——平面的法向量（互学）
注：其中符号
,
,
= − ；
4.平面法向量的三种求法
(3)求法三：叉乘法(该方法只适合选择题、填空题，不可用于解答题)
已知两个不共线的空间向量 = , , 与 = , , ,设向
量 = , , 为向量与确定平面的法向量,则
三
探究新知2——平面的法向量（互学）
1.平面法向量的定义
我们知道，给定空间一点 和一条直线，则过点 且
垂直于直线的平面是唯一确定的.由此得到启发，我们可以
利用点和直线的方向向量来确定平面.
如图，直线 ⊥ ,取直线的方向向量，我们称向量为
平面的法向量.
给定一个点 和一个向量，那么过点A，且以向量为
是直线上的任意一点，由向量共线的条件可知，点在
直线上的充要条件是存在实数，使得
= ,即 =
二
探究新知1——空间中点、直线和平面的向量表示（互学）
2.直线的向量表示
进一步地，如图，取定空间中的任意一点，可以得
到点在直线上的充要条件是存在实数，使
= ,
, , ;
③列方程：由 ⊥ ⇔ ∙ = 列出方程
⊥
∙ =
向量法在空间垂直关系中的应用 课件
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1
(3)由于点 M 在 AE 上， 所以可设A→M＝λ·A→E＝λ·(0,2,1)＝(0,2λ，λ)， ∴M(2,2λ，λ)，A→1M＝(0,2λ，λ－2)． 要使 A1M⊥平面 DAE，需 A1M⊥AE， ∴A→1M·A→E＝(0,2λ，λ－2)·(0,2,1)＝5λ－2＝0， ∴λ＝25．故当 AM＝25AE 时，A1M⊥平面 DAE．
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1
面面垂直
已知正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 2，E、F、 G 分别是 BB1、DD1、DC 的中点，求证：
(1)平面 ADE∥平面 B1C1F； (2)平面 ADE⊥平面 A1D1G； (3)在 AE 上求一点 M，使得 A1M⊥平面 DAE．
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1
[分析] 证法一：选取基向量A→B＝a，A→D＝b，A→A1＝c ―→
用a，b，c表示E→F，A→B1，B→1C0 ―→ 结论
证法二： 建系 ―→ 求出A、C、E、F、B1各点坐标 ―→
求出E→F，A→B1，A→C的坐标 ―→
利用向量的坐标运算求得E→F·A→B1＝0，E→F·A→C＝0
―→
结论
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1
[证明] 证法一：设A→B＝a，A→D＝b，A→A1＝c，则E→F＝E→B1＋ B→1F＝12(B→B1＋B→1D1)＝12(A→A1＋B→D)
[方法规律总结] 证明直线l⊥平面α，(一)取直线的方向向 量e和平面的法向量n，验证e∥n；(二)取直线的方向向量e和与 平面α平行的两不共线向量a，b，验证e·a＝0且e·b＝0．可以 选取基向量表示，方便建系时一般用坐标法证明．
3.2立体几何中的向量方法 第2课时 空间向量与垂直关系 课件
研一研· 问题探究、课堂更高效
3.2 第2课时
例 2 如图所示， 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，O 为 AC 与 BD 的交点，G 为 CC1 的中 点．求证：A1O⊥平面 GBD.
证明 方法一 如图取 D 为坐标原点， DA、DC、DD1 所在的直线分别作 x 轴， y 轴，z 轴建立空间直角坐标系． 设 正 方 体 棱 长 为 2 ， 则 O(1,1,0) ， A1(2,0,2)，G(0,2,1)，B(2,2,0)，D(0,0,0)， → → → ∴OA1＝(1，－1,2)，OB＝(1,1,0)，BG＝(－2,0,1)， → → → → 而OA1· OB＝1－1＋0＝0，OA1· BG＝－2＋0＋2＝0. → → → → ∴OA1⊥OB，OA1⊥BG，即 OA1⊥OB，OA1⊥BG， 而 OB∩BG＝B，∴OA1⊥平面 GBD.
角坐标系．则 C(0,0,0)，A(3,0,0)，C1(0,0,4)，B(0,4,0)， → → ∵AC＝(－3,0,0)，BC1＝(0，－4,4)， → → ∴AC· BC1＝0.∴AC⊥BC1.
小结 证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系 →写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得 到两直线垂直．
解析 ∵(1,2,0)· (2，－1,0)＝0，∴两法向量垂直，从 而两平面垂直．
练一练· 当堂检测、目标达成落实处
3.2 第2课时
4.如图，在四棱锥 P－ ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA⊥平面 ABCD，AP＝AB＝ 2， BC＝2 2， E， F 分别是 AD， PC 的中点． 证 明： PC⊥平面 BEF.
练一练· 当堂检测、目标达成落实处
3.2 第2课时
又 E，F 分别是 AD，PC 的中点，
第七章 第六节 第一课时 证明平行与垂直
则 A(0， 3 ，0)，D(0，0，0)，E(1，0，t)，B(－1，0，0)，B1(－1，0，2t)，
A，
3
，0)，D→E
＝1，0，t
，
→ A1N
＝(－1，－
3
，
2λt－2t)，
设平面 ADE 的法向量 n＝(x，y，z)，
则nn··DD→→AE＝＝x＋3yt＝z＝00 ，取 z＝1，得 n＝(－t，0，1)，
z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意可知 D(0，0，0)，B(1，2，0)，A(1，0，0)，C(0，
2，0)，S(0，0， 3 )，
→ BS
＝(－1，－2，
3 )，D→C ＝(0，2，0)，
假设存在 M，N 满足 MN⊥CD 且 MN⊥SB.
∵M 在线段 CD 上，可设B→M ＝λB→S ＝(－λ，－2λ， 3 λ)(λ∈[0，1]). ∵D→M ＝D→B ＋B→M ＝(1，2，0)＋(－λ，－2λ， 3 λ)＝(1－λ，2－2λ， 3 λ)， ∴M 的坐标(1－λ，2－2λ， 3 λ)，
N 在线段 SB 上，可设 N(0，y，0)，y∈[0，2]，
则N→M ＝(1－λ，2－2λ－y， 3 λ).
要使 MN⊥CD 且 MN⊥SB，则NN→ →MM· ·DB→→SC＝＝00，，
又B→S ＝(－1，－2， 3 )，D→C ＝(0，2，0)， 可得2－（（2－1－2λλ－）y－）2＝（02－2λ－y）＋3λ＝0 ， 解得 λ＝14 ∈[0，1]，y＝32 ∈[0，2]. 故存在 M，N 使 MN⊥CD 且 MN⊥SB， 其中 M 是线段 SB 靠近 B 的四等分点，N 是线段 CD 靠近 C 的四等分点．
∵PB⊄平面 EFG，∴PB∥平面 EFG.
向量法证明平行与垂直-人教版高中数学
第02讲一向量法证明平行与垂直知识图谱-利用向量证明空间中的平行关系-利用向星证明空间中的垂直关系宜线的方向向量与直线的向量方程利用向量方法证明线面平行关系利用向星方法证明线线与面面的平行关系利用向星方法证明线线垂直平面的法向星利用向星方法证明线面垂直利用向量方法证明面面垂直第02讲-向量法证明平行与垂直错题回顾利用向量证明空间中的平行关系知识Si井一・直线的方向向量与直线的向量方程1.点的位置向量在空间中，我们取一定点0作为基点，那么空间中任意一点P的位置就可以用向量成来表示，我们把向量质称为点P的位置向量.2.直线的方向向量空间中任一直线I的位置可以由I上的一个定点A以及一个定方向确定，如图，点村是直线，上的一点，向量或表示直线［的方向向量，则对于直线［上任一点户，有步弟，这样点工和向量成,不仅可以确定直线，的位置，还可具体表示出/上的任意点;直线I上的向量S以及与3共线的向量叫做i的方向向量・3.直线I的向量方程直线上任意一点P定存在实数，，使得衣=龙①，①式可以看做直线［的参数方程，直线f的参数方程还可以作如下表示：对空间中任意一确定点。
，点户在直线［上的充要条件是存在唯一的实数，满足等式灵=鬲*②，如果在，上取后=株，则上式可以化为灸=扇以刀=函硕赤-&)=(1-!)宓H房①；①②③都叫做空间直线的向量参数方程.二•平面的法向量1.平面法向量的定义已知平面a，如果向量成的基线与平面a垂直，则向量成叫作平面”的法向量或者说向量成与平面a正交.2.平面法向量的性质(1)平面“上的一个法向量垂直于平面“共面的所有向量；(2)一个平面的法向量有无限多个，它们互相平行.三.用向量方法证明空间中的平行关系1.牺平行设直线4房的方向向量分别是'，5，则要证明4"《或4与"重合，只需要证明加,即M疗.2.线面平行(1)设直线，的方向向量是a,平面。
的法向量是元，要证明〃r/,只需要证明Sz；=o;(2)根据线面平行的判定定理：如果直线(平面夕卜)与平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行；所以，要证明2直线和一个平面平行，也可以在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可；(3)根据共面向量定理可知：如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共面向量确定的平面一定平行.已知两个不共线向量名逡与平面“共面，一条直线］的一个方向向量为亍，则由共面向量定理，可得E或［在位内9存在两个实数W,使土戒+>£.3平行(1借能求出平面s月的法向量元足，要证明耻，只需要证明河即可.(2)由面面平行的判定定理：要证明面面平行,只要转化为相应的线面平行、线线平行即可，已知两个不共线的向量相与与平面“共面，则由两平面平行的判定与性质，得。
空间向量与垂直关系 课件
形.∠ABC=60°,E是PC的中点,F是AB的中点,试建立恰
当的空间直角坐标系,求平面DEF的法向量.z
【解题指南】解答本题的关键是
依据平面PAB⊥平面ABCD,寻找并
证明平面ABCD的垂线,建立恰当
的空间直角坐标系.
x
y
【解析】因为PA=PB,F为AB的中点,所以PF⊥AB, 又因为平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面 ABCD=AB,PF⊂平面PAB. 所以PF⊥平面ABCD,因为AB=BC,∠ABC=60°, 所以△ABC是等边三角形,所以CF⊥AB. 以F为坐标原点,建立空间直角坐标系(如图所示).
所以 AB1 1,2, 3 ,BA1 1,2, 3 ,BD 2,1,0.
方法一:因为 AB1 BA1 =1×(-1)+2×2+(- 3 )× 3 =0.
AB1 BD =1×(-2)+2×1+(- 3 )×0=0. 所以 AB1 BA1，AB1 BD， 即AB1⊥BA1,AB1⊥BD. 又因为BA1∩BD=B,所以AB1⊥平面A1BD.
【方法技巧】
1.利用待定系数法求平面法向量的步骤
(1)设向量:设平面的法向量为n=(x,y,z).
(2)选向量:在平面内选取两不共线向量,.
(3)列方程组:由
n
AB 0，
列出方程组.
n AC 0
(4)解方程组:
n AB 0，
n AC 0
(5)赋非零值:取其中一个为非零值(常取±1).
(6)得结论:得到平面的一个法向量.
空间向量与垂直关系
探究点1 垂直关系：
设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ，
(1) l m a b a b 0.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
∴平面 CEF⊥平面 PBC.
2021
16
点评：①证明直线 l1 与 l2 垂直时，取 l1、l2 的方向向
量 a、b，证明 a·b＝0.
②证明直线 l 与平面 α 垂直时，取 α 的法向量 n，l
的方向向量 a，证明 a∥n.
或取平面 α 内的两相交直线的方向向量 a、b 与直线
l 的方向向量 e，证明 a·e＝0，b·e＝0.
x
2021
C
1
B
1
E
C
F
y
B
10
例3 正方体 AB C A 1B D 1C 1D 1中，E、F分别 是BB1,，CD中点，求证：D1F 平面ADE.
证明：设正方体棱长为1,建立如图所示坐标系D-xyz，
1
1
z
A (1,0,0 ), D (0,0,0 ), E (1,1, 2 ), D1 (0,0,1), F (0, 2 ,0 ) D1
C1
则 D1F
(0, 1 , 1), DA 2
(1,0,0 ), DE
(1,1,
1 2
)
A1
B1
则 D1F
DA
01
10 2
(1) 0
0
D1F
DE
01
1 1 (1) 1
2
2
0
则D1FD,AD1FDE
D A
x
E
C
F
y
B
则D1FD,AD1FDE ,又DADED
所以 D1F平面 ADE
2021
③证明平面 α 与 β 垂直时，取 α、β 的法向量 n1、n2，
证明 n1·n2＝0
2021
17
小结： 运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的一般步骤
①建立恰当的空间直角坐标系；②求出相关点的坐 标；③写出向量的坐标；④结合公式进行计算，论证； ⑤转化为几何结论．
2021
18
拓展： 在棱长为 1 的正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E、 F 分别为棱 AB 和 BC 的中点，试在棱 B1B 上找一点 M， 使得 D1M⊥平面 EFB1.
β
uv
α
2021
9
例3 正方体 AB C A 1B D 1C 1D 1中，E、F分别
是BB1,，CD中点，求证：D1F 平面ADE.
证明：设正方体棱长为1,建立如图所示坐标系D-xyz，
A ( 1 , 0 , 0 ) D ( , 0 , 0 , 0 ) E ( 1 , , 1 ,1 2 ) D 1 , ( 0 , 0 , 1 ) F ( , 0 ,1 2 , 0 ) 则 D 1 F ( 0 ,1 2 , 1 )
∴
y z
3 4 3 2
x x
所以n，（4，3，6）是平面的一个法向量
2021
5
总结:如何求平面的法向量
⑴设平面的法向量为 n ( x, y, z)
⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的 坐标 a (a1,b1,c1),b (a2,b2,c2 ) ⑶根据法向量的定义建立关于 x, y, z 的方程
组
n
a
0
n b 0
⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.
2021
6
二、用向量讨论垂直关系
设直l线 、m的方向向量方向别 向为 量 a和b分 ,
平面、的法向量分u别 ,v 为
（ 1） l m a b ab 0
l
a
b
m
2021
7
（2）l a // u a u
l
u
a
C
A
B
2021
8
（3） u v u v 0
用向量法证明垂直
2021
1
学习目标: 1 掌握用向量法证明立体几何中的线、面垂直关系 2 认识到向量方法是解决立体几何的基本方法 重点：用向量方法讨论空间中的垂直关系 难点：将立体几何问题转化为向量问题．
2021
2
一、方向向量与法向量
１．直线的方向向量
l是空间一直线，A、P是直线 l上任意两点，
则 AP 称为直线l 的方向向量
直线的方向向量不，唯并一且它们都是平行的
•l
A•
P
2、平面的法向量
l
l 如果直线l 平面 ，取直线 的方向向
量a ，则向量 a 叫做平面 的法向量
a
平面的法向量不唯一，
它们都是平行的
2021
3
例1. 如图所示, 正方体的棱长为1
(1)直线OA的一个方向向量坐标为___(_1_,0__,0_)___
(2)平面OABC 的一个法向量坐标为__(_0_,0__,1_)____ (3)平面AB1C 的一个法向量坐标为__(_-_1_,-_1_,_1_)__
z
O1
C1
A1
B1
o
C
y
A
B
x
2021
4
例 2.在空间直角坐标系中,已知 A(3,0,0), B(0,4,0) ,
C(0,0, 2) ,试求平面 ABC 的一个法向量. n (4, 3, 6)
，
∴zx＝＝－2yy ，令 y＝1，则 n＝(2,1，－1)．
2021
15
设平面 PBC 的一个法向量 u＝(x，y，z)，
u·B→C＝0 则u·B→P＝0
，∵B→C＝(－1,0,0)，
B→P＝(－1，－1,1)，∴－ －xx＝ －0y＋z＝0 ，
∴yx＝＝z0 ，令 z＝1，则 u＝(0,1,1)， ∵u·n＝0，∴u⊥n，
11
例 4、在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 为正方形， PD⊥平面 ABCD，E、F 分别为棱 AD、PB 的中点， PD＝AD.求证：平面 CEF⊥平面 PBC.
2021
12
2021
13
证明：以 D 为原点，直线 DA、DC、DP 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立如下图空间直角坐标系．
设平面ADE的一个法向量为n (x, y, z),
则n DA, n DE
z 则n DA 0, n DE 0因为DA (1,0,0), DE (1,1, 1)
2
D1
则x
x0 y 1 z
2
0解得z
x0 2 y
A
1
取y 1得n (0,1,2)
D
由n2D1F可知D1F//n
A
所以D1F 平面ADE
设 PD＝1，则 P(0,0,1)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)， ∴E(12，0,0)，F(12，12，12)，
2021
14
设平面 CEF 的一个法向量为 n＝(x，y，z)，则
n·E→F＝0 n·E→C＝0
，∵E→F＝(0，12，12)，
E→C＝(－12，1,0)，∴12－y＋12x12＋z＝y＝0 0
解：设 AB 平 的 C面 一个法 n(向 x,y,量 z) 为
则 nA,BnA， C 因 A为 B （ -3， 4， 0） ,AC (3,0,2)
∴
( (
x, x,
y, y,
z) z)
(3, (3,
4, 0,
0) 2)
0 0
即
3 x 3 x
4y 2z
0 0
取 x 4,则 n (4, 3, 6)