(完整版)常微分方程习题及解答

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常微分方程计算题及答案

计算题（每题10分）1、求解微分方程2'22x y xy xe -+=。

2、试用逐次逼近法求方程2y x dxdy+=通过点(0,0)的第三次近似解. 3、求解方程'2x y y y e -''+-=的通解4、求方程组dx dt ydydtx y ==+⎧⎨⎪⎩⎪2的通解5、求解微分方程'24y xy x +=6、试用逐次逼近法求方程2y x dxdy-=通过点(1,0)的第二次近似解。

7、求解方程''+-=-y y y e x '22的通解8、求方程组dxdt x ydydtx y =+=+⎧⎨⎪⎩⎪234的通解9、求解微分方程xy y x '-2=24 10、试用逐次逼近法求方程2y x dxdy-=通过(0,0)的第三次近似解. 11、求解方程''+-=-y y y e x '24的通解12、求方程组dxdtx y dydtx y =+=+⎧⎨⎪⎩⎪2332的通解13、求解微分方程x y y e x (')-=14、试用逐次逼近法求方程22x y dxdy+=通过点(0,0)的第三次逼近解. 15、求解方程''+-=--y y y e x '22的通解16、求解方程x e y y y -=-+''32 的通解17、求方程组⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=yx dt dydtdx x y dt dy dt dx243452的通解 18、解微分方程22(1)(1)0x y dx y x dy -+-= 19、试用逐次逼近法求方程2dyx y dx=-满足初始条件(0)0y =的近似解：0123(),(),(),()x x x x ϕϕϕϕ.20、利用逐次逼近法，求方程22dyy x dx=-适合初值条件(0)1y =的近似解：012(),(),()x x x ϕϕϕ。

常微分方程习题及解答

常微分方程习题及解答常微分方程习题及解答常微分方程习题及解答一、问答题：1．常微分方程和偏微分方程有什么区别？微分方程的通解是什么含义?答：微分方程就是联系着自变量，未知函数及其导数的关系式。

常微分方程，自变量的个数只有一个。

偏微分方程，自变量的个数为两个或两个以上。

常微分方程解的表达式中，可能包含一个或几个任意常数，若其所包含的独立的任意常数的个数恰好与该方程的阶数相同，这样的解为该微分方程的通解。

2．举例阐述常数变易法的基本思想。

答：常数变易法用来求线性非齐次方程的通解，是将线性齐次方程通解中的任意常数变易为待定函数来求线性非齐次方程的通解。

例：求()()dy P x y Q x dx=+的通解。

首先利用变量分离法可求得其对应的线性齐次方程的通解为()P x dxy c ?=l ，然后将常数c 变易为x 的待定函数()c x ，令()()P x dxy c x ?=l ，微分之，得到()()()()()P x dxP x dx dy dc x c x P x dx dx=+l l ，将上述两式代入方程中，得到()()()()()()()()()P x dxP x dx P x dxdc x c x P x dxc x P x Q x ??+?=+l l l即 ()()()P x dxdc x Q x dx-?=l积分后得到()()()P x dxc x Q x dx c-?=+?%l进而得到方程的通解()()(())P x dxP x dxy Q x dx c -?=+?%l l3．高阶线性微分方程和线性方程组之间的联系如何？答：n 阶线性微分方程的初值问题()(1)11(1)01020()...()()()(),(),....()n n n n n nx a t x a t x a t x f t x t x t x t ηηη---'?++++=??'===?? 其中12()(),...(),()na t a t a t f t ，是区间a tb ≤≤上的已知连续函数，[]0,t a b ∈，12,,...,nηηη是已知常数。

常微分方程习题与答案

第十二章常微分方程(A)、是非题1.任意微分方程都有通解。

（）2 •微分方程的通解中包含了它所有的解。

（）3. 函数y =3si nx-4cosx是微分方程y，y=0的解。

（）4. 函数y = x2・e x是微分方程y'；"-2y ' y = 0的解。

（）5. 微分方程xy"T nx=0的通解是y =丄（1 nx）2+C （C为任意常数）。

（）26. y"=siny是一阶线性微分方程。

（）7. / = x3y3 xy不是一阶线性微分方程。

（）8 . /-2/ 5^0的特征方程为『-2—5=0。

（）9. dy = 1 x y2 xy2是可分离变量的微分方程。

（）dx、填空题1 .在横线上填上方程的名称①y _ 3 ln xdx _ xdy 二0 是__________________________ 。

②xy2 x dx y _ x2 y dy = 0 是__________________________ 。

③x-d^ = y l n 丫是。

dx x④xy ：= y x2 sin x 是__________________ 。

⑤y y -2y =0是________________________ 。

2 . y si nxy"-x=cosx的通解中应含____________ 个独立常数。

3. _____________________________________ y “ = e Qx的通解是。

4. ______________________________________ y = sin 2x - cos x 的通解是。

5. _______________________________ x^ 2x2y 2，x3y=x4，1是阶微分方程。

6•微分方程y y - y Q =0是________________ 阶微分方程。

i7. y-丄所满足的微分方程是。

(完整版)常微分方程试题及答案

第十二章常微分方程(A)、是非题1.任意微分方程都有通解。

（X ）2.微分方程的通解中包含了它所有的解。

15•微分方程xy |nx 0的通解是y 2In① y 3 In xdx xdy 0是可分离变量微分方程。

② xy 2x dx y x 2y dy 0是可分离变量微分方程。

③ x? y 4是齐次方程。

y 2y 0是二阶常系数齐次线性微分方程。

6. ysiny 是一阶线性微分方程。

（X)7. y 3 3x yxy 不是一阶线性微分方程。

(O )8. y 2y 5y 0的特征方程为r 22r 5 0。

(9. dy 1 xy 2 xy 2是可分离变量的微分方程。

dx、填空题1.在横线上填上方程的名称o )(O )2. sin xy x cosx 的通解中应含 _3个独立常数。

3. 1 e 2x 的通解是-e 2x C 1x C 2。

42x4.1 sin2x cosx 的通解是 -sin2x cosx C 1x C 2。

45. xy 2x 2yx 41是二 ______ 阶微分方程。

3.函数y 3sinx 4cosx 是微分方程y y 0的解。

（0 ）4.函数y x 2 e x 是微分方程y 2y y0的解。

（X ）C （C 为任意常数）。

（0 ）④xyy x 2 sinx 是一阶线性微分方程。

6 .微分方程y y阶微分方程。

1A. 3 B7. y y 满足y L 0 2的特解是（B ） oxA. y e x 1 B . y 2e x C . y 2 e 2&微分方程y y sinx 的一个特解具有形式 A . y a sinx24 .微分方程y 3y 3的一个特解是（cosxC 1e xC 2e x 是方程y y 0的（A ）,其中C 1,C 2为任意常数。

A.通解B .特解C .是方程所有的解 D .上述都不对7. 8.丄所满足的微分方程是yx空的通解为y xCx 2。

9.dx dy 0的通解为 x10.dy dx 2yx 15x 1 2,其对应的齐次方程的通解为11. 方程xy 1 0的通解为y 12. 3阶微分方程x 3 * 5的通解为yx 2Cxe 2 o x C 1 x C 2 x C 3 o120三、选择题1 .微分方程 xyy 3y 4y 0的阶数是（D ） oA. 3 B 2 .微分方程x 51的通解中应含的独立常数的个数为3.下列函数中，哪个是微分方程dy 2xdx 0的解（A . y 2xB . y x 2C .2x Dy a cosxy xy 3y 2 011 .在下列函数中，能够是微分方程 y y 0的解的函数是（C ）y 1 B . y x C . y sinx D . y.Cx17.微分方程0的解为（B ）C . y x asin x bcosxy acosx bsinx9.下列微分方程中,是二阶常系数齐次线性微分方程。

常微分方程试题及答案

常微分方程试题及答案一、单项选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪一项不是常微分方程的特点？A. 未知函数是连续的B. 未知函数是可微的C. 未知函数的导数是未知的D. 方程中包含未知函数的导数答案：A2. 常微分方程的解是指满足方程的函数，下列哪一项不是解的性质？A. 唯一性B. 存在性C. 可微性D. 可积性答案：D3. 一阶线性微分方程的一般形式是：A. $ y' + p(x)y = q(x) $B. $ y' = p(x)y + q(x) $C. $ y' - p(x)y = q(x) $D. $ y' + p(x)y = q(x) $ 或 $ y' - p(x)y = q(x) $答案：A4. 已知微分方程 $ y'' - y = 0 $ 的一个特解是 $ y = e^x $，那么它的通解是：A. $ y = C_1e^x + C_2e^{-x} $B. $ y = C_1e^x + C_2 $C. $ y = C_1e^x + C_2e^x $D. $ y = C_1 + C_2e^{-x} $答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 微分方程 $ y'' + y' + y = 0 $ 的通解是 $ y = C_1e^{-x}+ C_2e^{-\frac{1}{2}x} $，其中 $ C_1 $ 和 $ C_2 $ 是常数。

2. 微分方程 $ y'' - 4y = 0 $ 的通解是 $ y = C_1\cos(2x) +C_2\sin(2x) $，其中 $ C_1 $ 和 $ C_2 $ 是常数。

3. 微分方程 $ y'' + 4y = 0 $ 的通解是 $ y = C_1\cos(2x) +C_2\sin(2x) $，其中 $ C_1 $ 和 $ C_2 $ 是常数。

（完整版）常微分方程基本概念习题及解答

（完整版）常微分方程基本概念习题及解答§1.2 常微分方程基本概念习题及解答1．dxdy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。

解：ydy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1特解为y= e 2x .2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。

解：y 2dx=-(x+1)dy 2y dy dy=-11+x dx 两边积分: -y1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解x=0,y=1时 c=e特解：y=|)1(|ln 1+x c 3．dx dy =yx xy y 321++ 解：原方程为：dxdy =y y 21+31x x + y y 21+dy=31x x +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 24. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0解：原方程为： y y -1dy=-xx 1+dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c另外 x=0,y=0也是原方程的解。

5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0解：原方程为：dx dy =-yx y x +- 令xy =u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -112++u u du=x 1dx ln(u2+1)x 2=c-2arctgu即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg2x y . 6. x dxdy -y+22y x -=0 解：原方程为：dx dy =x y +x x ||-2)(1x y - 则令x y =u dx dy =u+ x dx du 211u - du=sgnx x1dx arcsin xy =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0解:原方程为：tgy dy =ctgxdx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=xc cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +ye xy 32+=0 解：原方程为：dx dy =y e y 2e x 32 e x 3-3e 2y -=c.9.x(lnx-lny)dy-ydx=0解：原方程为：dx dy =x y ln xy 令xy =u ,则dx dy =u+ x dx du u+ x dxdu =ulnu ln(lnu-1)=-ln|cx| 1+lnx y =cy. 10. dxdy =e y x - 解：原方程为：dx dy =e x e y - e y =ce x 11 dxdy =(x+y)2 解：令x+y=u,则dx dy =dx du -1 dxdu -1=u 2 211u +du=dx arctgu=x+carctg(x+y)=x+c 12. dx dy =2)(1y x + 解：令x+y=u,则dx dy =dx du -1 dx du -1=21uu-arctgu=x+cy-arctg(x+y)=c. 13. dx dy =1212+-+-y x y x解: 原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dxxdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0dxy-d(y 2-y)-dx 2+x=cxy-y 2+y-x 2-x=c 14: dx dy =25--+-y x y x 解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dxxdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0dxy-d(21y 2+2y)-d(21x 2+5x)=0 y 2+4y+x 2+10x-2xy=c. 15:dxdy =(x+1) 2+(4y+1) 2+8xy 1+ 解：原方程为：dxdy =（x+4y ）2+3 令x+4y=u 则dx dy =41dx du -41 41dx du -41=u 2+3 dxdu =4 u 2+13 u=23tg(6x+c)-1 tg(6x+c)=32(x+4y+1). 16:证明方程y x dxdy =f(xy),经变换xy=u 可化为变量分离方程，并由此求下列方程：1）y(1+x 2y 2)dx=xdy2）y x dx dy =2222x -2 y x 2y+ 证明：令xy=u,则xdx dy +y=dxdu 则dx dy =x 1dx du -2x u ，有： u x dx du =f(u)+1)1)((1+u f u du=x1dx 所以原方程可化为变量分离方程。

常微分方程习题及评分标准答案

常微分⽅程习题及评分标准答案常微分⽅程分项习题⼀、选择题（每题3分）第⼀章：1．微分⽅程''20y xy y +-=的直线积分曲线为（）（A ）1y =和1y x =- （B ）0y =和1y x =- （C ）0y =和1y x =+ （D ）1y =和1y x =+ 第⼆章：2．下列是⼀阶线性⽅程的是（）（A ）2dy x y dx =- （B ）232()0d y dy xy dx dx-+= （C ）22()0dy dy x xy dx dx +-= （D ）cos dy y dx= 3．下列是⼆阶线性⽅程的是（）（A ）222d y dyxx y dx dx +=- （B ）32()()0dy dy xy dx dx -+= （C ）2(1)0dy x xy dx +-= （D ）22cos cos d y y x dx=4．下列⽅程是3阶⽅程的为（）（A ）'23y x y =+ （B ）3()0dy xy dx+= （C ）3223()0dy d yx y dx dx+-= （D ）3cos dy y dx = 5．微分⽅程43()()0dy dy dyx dx dx dx+-=的阶数为（）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）46．⽅程2342()20dy d yx y dx dx+-=的阶数为（）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 7．针对⽅程dy x ydx x y-=+，下列说法错误的是（）．（A ）⽅程为齐次⽅程（B ）通过变量变换yu x=可化为变量分离⽅程（C ）⽅程有特解0y =（D ）可以找到⽅程形如y kx =的特解(1y x =- 8．针对⽅程2sin (1)y x y '=-+，下列说法错误的是（）．（A ）为⼀阶线性⽅程（B ）通过变量变换1u x y =-+化为变量分离⽅程（C ）⽅程有特解12y x π=++（D ）⽅程的通解为tan(1)x y x C -+=+ 9．伯努利⽅程n y x Q y x P dxdy)()(+=，它有积分因⼦为（）（A ）(1)()n P x dx e -? （B ）()nP x dx e ?（C ）(1)()n P x dx xe -? （D ）()nP x dx xe ?10．针对⽅程2(cos sin )dyy y x x dx+=-，下列说法错误的是（）．（A ）⽅程为伯努利⽅程（B ）通过变量变换2z y =可化为线性⽅程（C ）⽅程有特解0y =（D ）⽅程的通解为1sin x y Ce x=-11．⽅程2()dy yxf dx x=经过变量变换（）可化为变量分离⽅程。

《常微分方程》答案_习题4.2

习题4.21. 解下列方程（1）045)4(=+''-x x x 解：特征方程1122045432124-==-===+-λλλλλλ，，，有根故通解为x=tt t t e c e c e c e c --+++432221 (2)03332=-'+''-'''x a x a x a x 解：特征方程0333223=-+-a a a λλλ有三重根a =λ故通解为x=at at at e t c te c e c 2321++ （3）04)5(=''-x x解：特征方程0435=-λλ有三重根0=λ，=4λ2，=5λ-2 故通解为54232221c t c t c e c e c x t t ++++=-（4）0102=+'+''x x x解：特征方程01022=++λλ有复数根=1λ-1+3i,=2λ-1-3i故通解为t e c t e c x t t 3sin 3cos 21--+= (5) 0=+'+'x x x解：特征方程012=++λλ有复数根=1λ,231i +-=2λ,231i-- 故通解为t ec t ec x t t 23sin 23cos 212211--+=(6) 12+=-''t s a s 解：特征方程022=-a λ有根=1λa,=2λ-a当0≠a 时，齐线性方程的通解为s=at at e c e c -+21Bt A s +=~代入原方程解得21aB A -== 故通解为s=at at e c e c -+21-)1(12-t a当a=0时,)(~212γγ+=t t s 代入原方程解得21,6121==γγ 故通解为s=t c c 21+-)3(612+t t(7) 32254+=-'+''-'''t x x x x解：特征方程025423=-+-λλλ有根=1λ2,两重根=λ 1 齐线性方程的通解为x=t t t te c e c e c 3221++又因为=λ0不是特征根，故可以取特解行如Bt A x +=~代入原方程解得A=-4，B=-1故通解为x=t t t te c e c e c 3221++-4-t (8) 322)4(-=+''-t x x x解：特征方程121201224-===+-λλλλ重根，重根有故齐线性方程的通解为x=t t t t te c e c te c e c --+++4321取特解行如c Bt At x ++=2~代入原方程解得A=1，B=0,C=1 故通解为x=t t t t te c e c te c e c --+++4321+12+t (9)t x x cos =-'''解：特征方程013=-λ有复数根=1λ,231i +-=2λ,231i--13=λ 故齐线性方程的通解为t t t e c t e c t ec x 321221123sin 23cos ++=--取特解行如t B t A x sin cos ~+=代入原方程解得A=21,21-=B 故通解为t t t e c t e c t ec x 321221123sin 23cos ++=--)sin (cos 21t t +-(10) t x x x 2sin 82=-'+''解：特征方程022=-+λλ有根=1λ-2,=2λ 1 故齐线性方程的通解为x=t t e c e c 221-+ 因为+-2i 不是特征根取特解行如t B t A x 2sin 2cos ~+=代入原方程解得A=56,52-=-B 故通解为x=t t e c e c 221-+t t 2sin 562cos 52-- （11）t e x x =-'''解：特征方程013=-λ有复数根=1λ,231i +-=2λ,231i--13=λ 故齐线性方程的通解为t t t e c t e c t ec x 321221123sin 23cos ++=-- =λ1是特征方程的根，故t Ate x =~代入原方程解得A=31故通解为t t t e c t e c t ec x 321221123sin 23cos ++=--+t te 31（12）t e s a s a s =+'+''22解：特征方程0222=++a a λλ有2重根=λ-a 当a=-1时，齐线性方程的通解为s=t tte c e c 21+,=λ1是特征方程的2重根，故t e At x 2~=代入原方程解得A=21通解为s=22121t te c e c t t ++,当a ≠-1时，齐线性方程的通解为s=at atte c e c --+21,=λ1不是特征方程的根，故t Ae x =~代入原方程解得A=2)1(1+a故通解为s=at at te c e c --+21+te a 2)1(1+ （13）t e x x x 256=+'+''解：特征方程0562=++λλ有根=1λ-1,=2λ-5 故齐线性方程的通解为x=tte c e c 521--+=λ2不是特征方程的根，故t Ae x 2~=代入原方程解得A=211 故通解为x=t t e c e c 521--++t e 2211 （14）t e x x x t cos 32-=+'-''解：特征方程0322=+-λλ有根=1λ-1+2i,=2λ-1-2i故齐线性方程的通解为t e c t e c x t t 2sin 2cos21+=i ±-1不是特征方程的根, 取特解行如t e t B t A x -+=)sin cos (~代入原方程解得A=414,415-=B 故通解为t e c t e c x t t 2sin 2cos21+=+t e t t --)sin 414cos 415((15) t t x x 2cos sin -=+''解：特征方程012=+λ有根=1λi,=2λ- i 故齐线性方程的通解为t c t c x sin cos 21+=t x x sin =+'',=1λi,是方程的解 )sin cos (~t B t A t x +=代入原方程解得 A=21- B=0 故t t x cos 21~-=t x x 2cos -=+'' t B t A x 2sin 2cos ~+=代入原方程解得 A=31B=0 故t x 2cos 31~= 故通解为t c t c x sin cos 21+=t t cos 21-t 2cos 31+习题 6-11．求出齐次线性微分方程组y t A dtdy)(=的通解，其中A （t ）分别为：（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011)(t A ；（2）⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=0110)(t A ；（3）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000010100)(t A 。

常微分方程第四版课后练习题含答案

常微分方程第四版课后练习题含答案第一章：常微分方程基本概念和初值问题1.2 课后练习题1.2.1（1）y′=2y+3，y(0)=1，求解y(t)；（2）y′+ty=1，y(0)=0，求解y(t)。

解答：（1）该微分方程为一阶线性常微分方程，其通解为$$y(t)=Ce^{2t}-\\frac{3}{2}$$代入初始条件y(0)=1，可得$$C=\\frac{5}{2}$$所以$$y(t)=\\frac{5}{2}e^{2t}-\\frac{3}{2}$$（2）首先设$u(t)=e^{\\frac{t^2}{2}}y(t)$，则$u'(t)=e^{\\frac{t^2}{2}}(y'+ty)$。

代入原方程可得$$u'(t)=e^{\\frac{t^2}{2}}$$对其积分得$$u(t)=\\int e^{\\frac{t^2}{2}} dt +C=\\frac{\\sqrt{2\\pi}}{2}erf\\frac{t}{\\sqrt{2}}+C$$其中$erf(x)=\\frac{2}{\\sqrt{\\pi}}\\int_0^x e^{-t^2} dt$称为误差函数。

进一步解得$$y(t)=e^{-\\frac{t^2}{2}}u(t)-ue^{-\\frac{t^2}{2}}=-\\frac{\\sqrt{2\\pi}}{2}erf\\frac{t}{\\sqrt{2}}e^{-\\frac{t^2}{2}}$$ 代入初始条件y(0)=0即可得到最终解答。

第二章：一阶线性微分方程2.2 课后练习题2.2.1求下列方程的通解：（1）(2x+1)y′+y=1；（2）(x−1)y′−y=2x；（3）$(2+\\cos x)y'-y=2-x\\cos x$。

解答：（1）该微分方程为一阶线性常微分方程，设方程的通解为$y=Ce^{-\\int \\frac{1}{2x+1} dx}+\\frac{1}{2x+1}$。

(完整版)常微分方程习题及解答

常微分方程习题及解答一、问答题：1．常微分方程和偏微分方程有什么区别？微分方程的通解是什么含义?答：微分方程就是联系着自变量，未知函数及其导数的关系式。

常微分方程，自变量的个数只有一个。

偏微分方程，自变量的个数为两个或两个以上。

2．举例阐述常数变易法的基本思想。

答：常数变易法用来求线性非齐次方程的通解，是将线性齐次方程通解中的任意常数变易为待定函数来求线性非齐次方程的通解。

例：求()()dyP x y Q x dx=+的通解。

首先利用变量分离法可求得其对应的线性齐次方程的通解为()P x dxy c ⎰=l ，然后将常数c 变易为x 的待定函数()c x ，令()()P x dxy c x ⎰=l ，微分之，得到()()()()()P x dxP x dx dy dc x c x P x dx dx⎰⎰=+l l ，将上述两式代入方程中，得到 ()()()()()()()()()P x dxP x dx P x dxdc x c x P x dx c x P x Q x ⎰⎰+⎰=+l l l即()()()P x dx dc x Q x dx-⎰=l 积分后得到()()()P x dxc x Q x dx c -⎰=+⎰%l 进而得到方程的通解()()(())P x dxP x dxy Q x dx c -⎰⎰=+⎰%l l3．高阶线性微分方程和线性方程组之间的联系如何？答：n 阶线性微分方程的初值问题()(1)11(1)01020()...()()()(),(),....()n n n n n nx a t xa t x a t x f t x t x t x t ηηη---'⎧++++=⎪⎨'===⎪⎩ 其中12()(),...(),()n a t a t a t f t ，是区间a tb ≤≤上的已知连续函数，[]0,t a b ∈，12,,...,n ηηη是已知常数。

常微分方程习题与答案

第十二章常微分方程(A)、是非题1.任意微分方程都有通解。

（）2 •微分方程的通解中包含了它所有的解。

（）3. 函数y =3si nx-4cosx是微分方程y，y=0的解。

（）4. 函数y = x2・e x是微分方程y'；"-2y ' y = 0的解。

（）5. 微分方程xy"T nx=0的通解是y =丄（1 nx）2+C （C为任意常数）。

（）26. y"=siny是一阶线性微分方程。

（）7. / = x3y3 xy不是一阶线性微分方程。

（）8 . /-2/ 5^0的特征方程为『-2—5=0。

（）9. dy = 1 x y2 xy2是可分离变量的微分方程。

（）dx、填空题1 .在横线上填上方程的名称①y _ 3 ln xdx _ xdy 二0 是__________________________ 。

②xy2 x dx y _ x2 y dy = 0 是__________________________ 。

③x-d^ = y l n 丫是。

dx x④xy ：= y x2 sin x 是__________________ 。

⑤y y -2y =0是________________________ 。

2 . y si nxy"-x=cosx的通解中应含____________ 个独立常数。

3. _____________________________________ y “ = e Qx的通解是。

4. ______________________________________ y = sin 2x - cos x 的通解是。

5. _______________________________ x^ 2x2y 2，x3y=x4，1是阶微分方程。

6•微分方程y y - y Q =0是________________ 阶微分方程。

i7. y-丄所满足的微分方程是。

(完整版)〈常微分方程》应用题及答案

应用题（每题10分）1、设在上有定义且不恒为零，又存在并对任意恒有()f x (,)-∞∞()f x ',x y ，求。

()()()f x y f x f y +=()f x 2、设，其中函数在内满足以下条件()()()F x fx g x =(),()f x g x (,)-∞∞()(),()(),(0)0,()()2xf xg x g x f x f f x g x e ''===+=（1）求所满足的一阶微分方程；()F x （2）求出的表达式。

()F x 3、已知连续函数满足条件，求。

()f x 320()3x xt f x f dt e ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰()f x 4、已知函数在内可导，，且满足()f x (0,)+∞()0,lim ()1x f x f x →+∞>=，求。

110()lim ()h x h f x hx e f x →⎛⎫+ ⎪= ⎪⎪⎝⎭()f x 5、设函数在内连续，，且对所有，满足条件()f x (0,)+∞5(1)2f =,(0,)x t ∈+∞，求。

111()()()xt x tf u du t f u du x f u du =+⎰⎰⎰()f x 6、求连续函数，使它满足。

()f x 1()()sin f tx dt f x x x =+⋅⎰7、已知可微函数满足，试求。

()f t 31()()1()xf t dt f x t f t t =-+⎰()f x 8、设有微分方程，其中。

试求在内的连续函'2()y y x ϕ-=21()01x x x ϕ<⎧=⎨>⎩(,)-∞∞数使之在和内部满足所给方程，且满足条件。

()y y x =(,1)-∞()1,+∞(0)0y =9、设位于第一象限的曲线过点，其上任一点处的法线与轴()y f x =12⎫⎪⎪⎭(,)P x y y 的交点为Q ，且线段PQ 被轴平分。

常微分方程_习题集(含答案)

《常微分方程》课程习题集一、单选题1. 设函数(,),(,)M x y N x y 连续可微, 则方程(,)(,)0M x y dx N x y dy += 是全微分方程的充分必要条件是 . (A) M N y x ∂∂=∂∂， (B) ,M N x y ∂∂=∂∂ (C) ,M N y x ∂∂≠∂∂ (D) .M N x y ∂∂≠∂∂2. 下面的方程是全微分方程的是 . (A) 0ydx xdy x y-=+， (B) 220y dx x dy +=， (C) 220xy dx x ydy -=， (D)220ydx xdy x y -=-. 3. 设一阶方程2()()(),(()()0)dy p x y q x y r x p x r x dx=++≠，则它是。

（A ）线性非齐次方程；（B ）伯努利方程；（C ）黎卡堤方程； (D) 克莱洛方程。

4. 设一阶方程()(),(0,1)n dy p x y q x y n dx=+≠，则它是。

（A ）线性非齐次方程；（B ）伯努利方程；（C ）黎卡堤方程； (D) 克莱洛方程。

5. 形如'(')y xy y ϕ=+的一阶隐式方程称为。

（A ）线性非齐次方程；（B ）伯努利方程；（C ）黎卡堤方程； (D) 克莱洛方程。

6. 二阶微分方程2100x x x '''++=的通解是。

（A ）12[cos3sin 3]t x e C t C t -=+,（B ）312[cos sin ]t x e C t C t -=+,（C ）12[cos sin ]t x e C t C t -=+,(D) 312[cos3sin 3]t x e C t C t -=+.7. 二阶微分方程250x x x '''++=的通解是。

（A ）12[cos sin ]t x e C t C t -=+,（B ）212[cos sin ]t x e C t C t -=+,（C ）12[cos 2sin 2]t x e C t C t -=+,(D) 212[cos 2sin 2]t x e C t C t -=+.8. 二阶微分方程440x x x '''-+=的通解是。

常微分方程习题及答案.[1](可编辑修改word版)

一、是非题第十二章常微分方程(A)1. 任意微分方程都有通解。

()2. 微分方程的通解中包含了它所有的解。

()3. 函数 y = 3sin x - 4 cos x 是微分方程 y ' + y = 0 的解。

()4. 函数 y = x 2 ⋅ e x 是微分方程 y ' - 2 y ' + y = 0 的解。

()5. 微分方程 xy ' - ln x = 0 的通解是()y =1(ln x )2+ C 2( C 为任意常数)。

6. y ' = sin y 是一阶线性微分方程。

()7. y ' = x 3 y 3 + xy 不是一阶线性微分方程。

()8． y ' - 2 y ' + 5 y = 0 的特征方程为r 2 - 2r + 5 = 0 。

( ) 9． dy= 1 + x + y 2 + xy 2 是可分离变量的微分方程。

()dx二、填空题1. 在横线上填上方程的名称① (y - 3)⋅ ln xdx - xdy = 0 是。

② (xy 2 + x )dx + (y - x 2 y )dy = 0 是。

③ x dy = y ⋅ l n y 是。

dx x ④ xy ' = y + x 2 sin x 是。

⑤ y ' + y ' - 2 y = 0 是。

2. y ' + sin xy ' - x = cos x 的通解中应含个独立常数。

3. y ' = e -2x 的通解是。

4. y ' = sin 2x - cos x 的通解是。

5. xy ' + 2x 2 y '2 + x 3 y = x 4 + 1是阶微分方程。

6. 微分方程 y ⋅ y ' - (y ')6= 0 是阶微分方程。

51 2 1 2 7. y = 1所满足的微分方程是。

常微分方程习题及答案

第十二章常微分方程(A)7. y=-所满足的微分方程是x、是非题 1•任意微分方程都有通解。

（） 2.微分方程的通解中包含了它所有的解。

（） 3.函数y =3sinx —4cosx 是微分方程y" + y=0的解。

（） 4.函数y=x 2 ■e x 是微分方程y"-2y ，+y=0的解。

（）1 25.微分方程xy'-1 n X = 0的通解是j In x ） +C （C 为任意常数）。

（） 6.y' 7. y'8. y 9. dydx 、填空题=sin y 是一阶线性微分方程。

（） = x 3y 3+xy 不是一阶线性微分方程。

（） -2/ +5y=0 的特征方程为 r 2-2 r + 5=0。

(= 1+x + y 2 +xy 2是可分离变量的微分方程。

（） 1.在横线上填上方程的名称 ①(y -3 H n xdx-xdy =0 是 ②(xy 2 +x dx + (y - X 2y dy = 0是 2. 3.4. 5. ③x —.ln y 是 dx x ④ xy’ = y +x 2sinx 是y ^+sin xy’—x =cosx 的通解中应含y =sin2x -cosx 的通解是 xy'" + 2x 2y"2 +x 3y = x 4 +1是6.微分方程yry"-(y '6 =0是个独立常数。

阶微分方程。

12. 3阶微分方程yJx 3的通解为三、选择题1 .微分方程xyy "+x （y ，3-y 4y = 0的阶数是（） A. 3 B . 4 C . 5 D . 22 .微分方程厂-x 2y"-x 5=1的通解中应含的独立常数的个数为（）。

A. 3 B . 5 C . 4 DA . y = 2xB . y = X 2C .24 .微分方程y'=3y 3的一个特解是（）。

常微分方程课后练习题含答案

常微分方程课后练习题含答案练习1：考虑动力学方程组：$$ \\begin{align} \\frac{dx}{dt}&=x(1-y)\\\\ \\frac{dy}{dt}&=y(1-x)\\end{align} $$a)画出相图b)确定方程组的固定点及其稳定性c)求出轨道在极限$\\lim\\limits_{t\\to\\infty}$时的行为答案1：a)相图如下所示：image-1b)如果(x,y)是方程组的一个固定点，则：$$ \\begin{aligned} \\frac{dx}{dt}&=0 \\\\ \\frac{dy}{dt}&=0\\end{aligned} $$由$\\frac{dx}{dt}=x(1-y)$得，固定点必须是x=0或y=1•当x=0时，$\\frac{dy}{dt}=y$，因此固定点为(0,0)，是不稳定的。

•当y=1时，$\\frac{dx}{dt}=0$，因此固定点为(1,1)，是稳定的。

综上，方程组的固定点为(0,0)和(1,1)，其中(1,1)是稳定的。

c)当$t\\to\\infty$时，我们需要检查轨道的极限行为。

假设(x(t),y(t))是由方程组确定的轨迹，x0=x(0)和y0=y(0)是轨迹的起点。

轨迹的限制曲线由y(1−x)=x(1−y)确定，展开可得y=x或xy=0.5。

将方程组改写为$$ \\frac{dy}{dx}=\\frac{y(1-x)}{x(1-y)} $$则在y=x处，$$ \\frac{dy}{dx}=1 $$这意味着沿着这个轨道移动的速度是恒定的，因此轨迹沿着一条直线移动。

由$\\frac{dy}{dx}=\\frac{y(1-x)}{x(1-y)}$可知，在非负轴上，当y>1−x时$\\frac{dy}{dx}>0$，当y<1−x时$\\frac{dy}{dx}<0$。

(完整版)常微分方程练习试卷及答案

常微分方程练习试卷一、填空题。

1.方程 x 3 d2x 10 是阶（线性、非线性）微分方程 .dt 22. 方程 x dyf (xy ) 经变换 _______ ，能够化为变量分别方程.y dx3.微分方程 d 3 y y 2x 0 知足条件 y(0) 1, y (0)2 的解有个 .dx 34. 设常系数方程 yy*2 xxx，则此方程的系数ye x 的一个特解 y ( x) eexe，， .5. 朗斯基队列式 W (t )0是函数组 x 1(t), x 2 (t),L , x n (t ) 在 a x b 上线性有关的条件 .6. 方程 xydx (2 x 2 3y 2 20) dy 0 的只与 y 有关的积分因子为.7. 已知 X A(t) X 的基解矩阵为 (t ) 的，则 A(t ).8. 方程组 x '2 0．0 x 的基解矩阵为59. 可用变换将伯努利方程化为线性方程 .10 . 是知足方程 y2 y 5y y 1 和初始条件的独一解 .11. 方程的待定特解可取的形式 :12. 三阶常系数齐线性方程 y 2 y y 0 的特点根是二、计算题1. 求平面上过原点的曲线方程 , 该曲线上任一点处的切线与切点和点 (1,0) 的连线互相垂直 .dy x y 1 2．求解方程.dxx y 3d 2 x dx 2。

3. 求解方程 x2( )dt dt4．用比较系数法解方程 . .5．求方程y y sin x 的通解.6．考证微分方程(cos x sin x xy 2 )dx y(1 x2 )dy0 是适合方程，并求出它的通解.311A X 的一个基解基解矩阵(t) ，求dXA X7．设 A，，试求方程组dX241dt dt 知足初始条件x(0)的解 .8.求方程dy2x13y2经过点 (1,0)的第二次近似解 . dx9.求dy)34xy dy8y20 的通解(dxdx10. 若A 21试求方程组 x Ax 的解(t ),(0)141,并求expAt2三、证明题1.若(t), (t ) 是 X A(t) X 的基解矩阵，求证：存在一个非奇怪的常数矩阵 C ，使得(t)(t )C .2.设 ( x) (x0 , x) 是积分方程y(x)y0x2 y( )]d ,x0 , x [ , ] [x0的皮卡逐渐迫近函数序列 {n (x)} 在 [,] 上一致收敛所得的解，而(x) 是这积分方程在 [ ,] 上的连续解，试用逐渐迫近法证明：在[,] 上( x)( x) .3. 设都是区间上的连续函数 ,且是二阶线性方程的一个基本解组 . 试证明 :(i)和都只好有简单零点(即函数值与导函数值不可以在一点同时为零);(ii)和没有共同的零点;(iii)和没有共同的零点.4. 试证：假如(t ) 是dXAX 知足初始条件(t0 )的解，那么(t) exp A(t t 0 ) dt.答案一 . 填空题。

常微分方程课后习题答案.doc

习题 3.4(一)、解下列方程，并求奇解（如果存在的话）：1、422⎪⎭⎫ ⎝⎛+=dx dy x dx dyx y解：令p dxdy =，则422p x xp y +=，两边对x 求导，得dxdp px xpdxdp xp p 3244222+++=()02213=⎪⎭⎫⎝⎛++p dx dpxxp 从0213=+xp 得 0≠p 时，2343,21py px -=-=；从02=+p dxdp x得 222,c pc y pc x +==，0≠p 为参数，0≠c 为任意常数.经检验得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==222c p c y p c x ，（0≠p ）是方程奇解.2、2⎪⎭⎫⎝⎛-=dx dy y x解：令p dxdy =，则2p x y +=，两边对x 求导，得dxdp p p 21+=pp dxdp 21-=，解之得 ()c p p x +-+=21ln 2，所以()c p p p y +-++=221ln 2，且y=x+1也是方程的解，但不是奇解. 3、21⎪⎭⎫ ⎝⎛++=dx dy dxdy xy解：这是克莱洛方程，因此它的通解为21c cx y ++=，从⎪⎩⎪⎨⎧=+-++=01122c cx c cx y 中消去c, 得到奇解21x y -=.4、02=-+⎪⎭⎫⎝⎛y dx dy x dx dy 解：这是克莱洛方程，因此它的通解为 2c cx y +=，从⎩⎨⎧=++=022c x c cx y 中消去c, 得到奇解 042=+y y . 5、022=-+⎪⎭⎫⎝⎛y dx dy xdx dy 解：令p dxdy =，则22p xp y +=，两边对x 求导，得 dxdp pdxdp xp p 222++=22--=x pdpdx ，解之得 232-+-=cpp x ，所以 1231-+-=cpp y ，可知此方程没有奇解. 6、0123=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛dx dy y dx dy x解：原方21⎪⎭⎫⎝⎛-=dx dy dxdy xy ，这是克莱罗方程，因此其通解为21ccx y -=，从⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-02132c x c cx y 中消去c ，得奇解042732=+y x .7、21⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=dx dy dx dy x y解：令p dxdy =，则()21p p x y =+=，两边对x 求导，得 22+-=-p ce x p ，所以 ()212+-+=-p e p c y p ，可知此方程没有奇解. 8、()022=--⎪⎭⎫ ⎝⎛a x dx dy x解：()xa x dx dy 22-=⎪⎭⎫ ⎝⎛xa x dxdy -±=dx x a x dy ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-±= ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-±=2123232axx y ()()22349a x x c y -=+可知此方程没有奇解. 9、3312⎪⎭⎫⎝⎛-+=dx dy dx dyx y解：令p dxdy =，则3312p p x y -+=，两边对x 求导，得 dxdp pdxdp p 22-+=212pp dxdp --=解之得 ()c p p x +--+-=2ln 3222，所以 c p p p p y +------=2ln 6433123，且 322-=x y 也是方程的解，但不是方程的奇解.10、()012=-++⎪⎭⎫⎝⎛y dx dy x dx dy 解：2⎪⎭⎫⎝⎛++=dx dy dx dydx dyx y这是克莱罗方程，因此方程的通解为2c c cx y ++=，从⎩⎨⎧++++=cx c c cx y 212中消去c, 得方程的奇解()0412=++y x .（二）求下列曲线族的包络. 1、2c cx y +=解:对c 求导，得 x+2c=0, 2x c -=, 代入原方程得，442222xxxy -=+-=，经检验得，42xy -=是原方程的包络.2、0122=-+cx y c解：对c 求导，得 yxc x yc 2,0222-==+，代入原方程得0124424=--yxy yx，即044=+y x ，经检验得044=+y x 是原方程的包络. 3、()()422=-+-c y c x解：对c 求导，得 –2(x-c)-2(y-c)=0, 2y x c +=,代入原方程得()82=-y x .经检验,得 ()82=-y x 是原方程的包络.4、()c y c x 422=+-解：对c 求导，得 -2(x-c)=4, c=x+2,代入原方程得()2442+=+x y ，()142+=x y , 经检验，得()142+=x y 是原方程的包络.(三) 求一曲线，使它上面的每一点的切线截割坐标轴使两截距之和等于常数c.解：设所求曲线方程为y=y(x),以X 、Y 表坐标系，则曲线上任一点（x,y(x)）的切线方程为()()()()x X x y x y Y -'=-，它与X 轴、Y 轴的截距分别为y y x X '-=，y x y Y '-=，按条件有 a y x y y y x ='-+'-，化简得y y a y x y '-'-'=1，这是克莱洛方程，它的通解为一族直线cac cx y --=1，它的包络是()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧----=--=21101c acc a x c ac cx y ，消去c 后得我们所求的曲线()24a y x ax +-=.(四) 试证：就克莱洛方程来说，p-判别曲线和方程通解的c-判别曲线同样是方程通解的包络，从而为方程的奇解.证：克莱洛方程 y=xp+f(p)的p-判别曲线就是用p-消去法，从()()⎩⎨⎧'+=+=c f x c f cx y 0 中消去p 后而得的曲线；c-判别曲线就是用c-消去法，从通解及它对求导的所得的方程()()⎩⎨⎧'+=+=c f x c f cx y 0中消去c 而得的曲线，显然它们的结果是一致的，是一单因式，因此p-判别曲线是通解的包络，也是方程的通解. 习题4.11. 设()t x 和()t y 是区间b t a ≤≤上的连续函数，证明：如果在区间b t a ≤≤上有()()≠t y t x 常数或()()t x t y 常数，则()t x 和()t y 在区间b t a ≤≤上线形无关。

(完整版)常微分方程试题及答案2023年修改整理

第十二章常微分方程(A)一、是非题1．任意微分方程都有通解。

( X )2．微分方程的通解中包含了它所有的解。

( X )3．函数x x y cos 4sin 3-=是微分方程0=+''y y 的解。

( O ) 4．函数x e x y ⋅=2是微分方程02=+'-''y y y 的解。

( X )5．微分方程0ln =-'x y x 的通解是()C x y +=2ln 21 (C 为任意常数)。

( O )6．y y sin ='是一阶线性微分方程。

( X ) 7．xy y x y +='33不是一阶线性微分方程。

( O ) 8．052=+'-''y y y 的特征方程为0522=+-r r 。

( O )9．221xy y x dxdy +++=是可分离变量的微分方程。

( O )二、填空题1．在横线上填上方程的名称①()0ln 3=-⋅-xdy xdx y 是可分离变量微分方程。

②()()022=-++dy y x y dx x xy 是可分离变量微分方程。

③xy y dx dy x ln ⋅=是齐次方程。

④x x y y x sin 2+='是一阶线性微分方程。

⑤02=-'+''y y y 是二阶常系数齐次线性微分方程。

2．x x y x y cos sin =-'+'''的通解中应含 3 个独立常数。

3．x e y 2-=''的通解是21241C x C e x ++-。

4．x x y cos 2sin -=''的通解是21cos 2sin 41C x C x x +++-。

5．124322+=+'+'''x y x y x y x 是 3 阶微分方程。

6．微分方程()06='-''⋅y y y 是 2 阶微分方程。