第三章恒定电场题解
第三章静电场及其边值问题的解法
电路； • 在电力系统中，可利用电容器来改善系统的功率因数，以
减少电能的损失和提高电气设备的利用率；
如何求电容器的电容？
14
电磁场与波
1. 电容 电容是导体系统的一种基本属性，是描述导体系统 储存电荷能
力的物理量。
孤立导体的电容
界条件为
或
ED11tn
s
0
介质1
nˆ
E1
1
1
注：媒质1为介质，媒质2为导体
导体
22
电磁场与波
静电位的边界条件
设P1和P2是介质分界面两侧紧贴界面的相邻两点，其电位分
别为ϕ1和ϕ 2
当两点间距离⊿l→0时,C与D趋于同一 点，取作电位参考点
1 2
媒质1 1
1 A
B 2
媒质2 2
D
l
C
由
和
2
2
n
1
1
n
S
• 若介质分界面上无自由电荷，即 s 0
2
2
n
1
1
n
•
导体表面上电位的边界条件：
常数，
n
S
电磁场与波
例 3.5 无限长同轴线内外导体半径分别为a,b,外导体接地，内
导体电位为U，内外导体间部分填充介电常数为ɛ1的介质，其余部
分介电常数为ɛ2 ，(a)图中二介质层分界面半径为c；(b)图 0 1
孤立导体的电容定义为所带电量q与其电位的比值，即
Cq
电位参考点为 无穷远处
例： 真空中半径a的孤立带电导体球，其表面电荷量为q,则电位？
q 4 0 a
C 40a
静电场分析
电位确定值(电位差)
两点间电位差有定值
选择电位参考点的原则: 应使电位表达式有意义 应使电位表达式最简单 同一个问题只能有一个参考点 电位参考点电位一般为0；
二、电位函数的求解
中国矿业大学
点电荷的电位
v E
q
40r 2
evr
vQ
Q v v P' Q v v
S
Ev(rv)g(4
r2
evr)0
Q
0
v E
Q
4 0 r 2
evr
r
Ñ 在球内区域：ra
Q 3Q
Ev(rv)gdSv
V 4 a3 S
Q
0
Ev(rv)g(4 r2
v E
Qr
4 0 a3
evr ) evr
4 r3
3
0
3.2 电位函数
中国矿业大学
一、电位函数与电位差
电位函数
v
E 0
中国矿业大学
补充内容：利用高斯定理求解静电场
Ñ Ev(rv)gdSv 1 (rv)dV Q
S
0 V
0
求解的关键：高斯面的选择。
高斯面的选择原则：
1）场点位于高斯面上；
2）高斯面为闭合面；
3）在整个或分段高斯面上，Ev
或
vv EgdS
为恒定值。
只有当电荷呈某种对称分布时才可能满足以上原则，因此用
中国矿业大学
真空中静电场性质小结：
微分形式
积分形式
gEv(rv) (rv)
Ev(rv)
0
0
ÑS Ev(rv)gdSv
ÑC
Ev(rv)
0
Q
0
静电场性质：是一种有源无旋场，是保守场。
电磁场与电磁波第三章静态场及其边值问题的解PPT课件
解法的优缺点
分离变量法的优点是简单易行，适用于具有多个变量 的偏微分方程。但是，该方法要求边界条件和初始条
件相互独立，且解的形式较为复杂。
有限差分法的优点是简单直观，适用于各种形状的求 解区域。但是，该方法精度较低，且对于复杂边界条
件的处理较为困难。
有限元法的优点是精度较高，适用于各种形状的求解 区域和复杂的边界条件。但是，该方法计算量大，且
05 实例分析
实例一：简单电场的边值问题求解
总结词
通过一个简单的电场边值问题，介绍如 何运用数学方法求解静态场的边值问题 。
VS
详细描述
选取一个简单的电场模型，如平行板电容 器间的电场，通过建立微分方程和边界条 件，采用有限差分法或有限元法进行数值 求解，得出电场分布的解。
实例二：复杂电场的边值问题求解
恒定磁场与准静态场的定义与特性
恒定磁场
磁场强度不随时间变化的磁场。
准静态场
接近静态场的动态场，其特性随 时间缓慢变化。
特性
恒定磁场与准静态场均不产生电 磁波，具有空间稳定性和时间恒
定性。
恒定磁场与准静态场的边值问题
边值问题
描述场域边界上物理量（如电场强度、磁场强度）的约束条件。
解决边值问题的方法
静电屏蔽
在静电屏蔽现象中，静态 场用于解释金属屏蔽壳对 内部电荷或电场的隔离作 用。
高压输电
在高压输电线路中，静态 场用于分析电场分布和绝 缘性能。
02 边值问题的解法
定义与分类
定义
边值问题是指在一定的边界条件下，求解微分方程或积分方程的问题。在电磁场理论中，边值问题通常涉及到电 场、磁场和波的传播等物理量的边界条件。
特性
空间均匀性
5 恒定电场的边界条件
15~16
十、恒定电场的基本方程 边界条件
20
第三章 静电场分析
5. 恒定电场的边界条件
用类比关系推导恒定电场边界条件。
15~16
十、恒定电场的基本方程 边界条件
(1) J 的边界条件
(2) E 的边界条件 (3) 电位边界条件
S
ˆ 0 J1n J 2 n J dS 0 ( J1 J 2 ) n
1 2
ˆE E dl 0 E n
l
ˆ E1t E2t n
1 2 1 2 n n 1 2 0
21
第三章 静电场分析
15~16
十、恒定电场的基本方程 边界条件 ˆ n J1 E1 5. 恒定电场的边界条件
(4) 折射关系
J 0 J 0( 0) t t
15
第三章 静电场分析
3. 恒定电场的本构关系
本构方程：
15~16
十、恒定电场的基本方程 边界条件
dS
低
J E
高
U E dl I J dS dl R dS
JE
dl
ˆ E lˆ (s ˆ lˆ) J s
l E1 D / 1 ˆr D e 2 r E2 D / 2
b
8
第三章 静电场分析
4.静电场的边界条件
U E1 dr E2 dr 6) 解： a c
c b
15~16
九、介质中的高斯定理 边界条件
2
a
1
c
21 2U l c b 2 ln 1 ln a c
电场。
传导电流(Conduction Current)：导电媒质中的恒定电流； 运动电流(Convection Current)：真空中电子或离子运 动形成的电流。 基本变量：电流密度 J 和电场强度 E ；
2020学年高中物理 专题2.1 电源和电流试题 新人教版选修3-1
第1节电源和电流一、电源和恒定电场1．电源的概念电源就是把从正极搬迁到负极的装置。
从能量的角度看，电源是一种能够不断地把其他形式的能量转变为的装置。
2．电源的作用保持导体两端的（电压），使电路有持续的电流。
3．导线内的电场有电源的电路中，导线内的电场，是由电源、导线等电路元件所积累的共同形成的。
详尽的分析说明：尽管这些电荷也在运动，有的流走了，但是另外的又来补充，所以电荷的分布是稳定的，电场的分布也是稳定的，故称。
4．恒定电场由稳定分布的电荷所产生的电场称为恒定电场。
二、电流及其微观表达式1．电流通过导体横截面的跟通过这些电荷量所用的时间的。
2．电流的定义式。
3．电流的单位安（安培），。
1 mA= A，1 μA= A。
自由电子电能电势差电荷恒定电场稳定的电荷量比值 A 10-3 10-6电流的微观表达式取一段粗细均匀的导体，两端加一定的电压，设导体中的自由电子沿导体定向移动的速率为v。
设想在导体中取两个横截面B和C，横截面积为S，导体中每单位体积的自由电荷数为n，每个自由电荷带的电荷量为q，则在时间t内处于相距为v t的两截面B、C间的所有自由电荷将通过截面C。
体积为V=vtS电荷数为N=nV总电荷量为Q=nVq=nvtSq电流为I=Q/t=nvqS此即电流的微观表达式。
【例题】如图所示是静电除尘器示意图，A接高压电源正极，B接高压电源的负极，AB之间有很强的电场，空气被电离为电子和正离子，电子奔向正极A的过程中，遇到烟气中的煤粉，使煤粉带负电吸附到正极A上，排出的烟就成为清洁的了，已知每千克煤粉会吸附n mol电子，每昼夜除尘的质量为m，计算高压电源的电流I （电子电荷量设为e，阿伏伽德罗常数为N，一昼夜时间为t）。
A参考答案：试题解析：根据电流定义式，只要能够计算出一昼夜时间内通过的电荷量Q，就可以求出电流。
由于电离出的气体中电子和正离子同时导电，煤粉吸附的电荷量为总电荷量的一半。
，，，。
规律总结：1．当正、负电荷同时参与导电时，电流定义式中的电荷量是正、负电荷的电荷量的绝对值之和；2．电流与横截面积结无关，电流的方向与自由电子定向移动的方向相反；3．等效思想：将电荷的绕核运动等效为电荷沿着一个环形导体定向运动，从而形成环形电流，再结合电流的定义式求解。
工程电磁场--第3章--恒定电场的基本原理
fe Ee lim qt 0 q t
q t 为试验电荷的电荷量。
19
提供局外力的装置就是电源。 在电源中，其他形式的能量转换为电能。 在整个闭合回路中，电能又转换为别的 形式的能量。
20
2．电动势
下图是一个典型的导电回路， 蓝色部分为导 电媒质，黄色部分为电源。 电源中除库仑电场 外，还存在局外电场。 电源之外的导电媒 质中只有库伦电场。
0 1 E ex ， D ex 1 x 1 x
自由电荷体密度
0 0 D ( )=2 x 1 x (1 x)
32
D E E E
E
E
E E E 2 E J 上式说明积累自由电荷的体密度与 的空间 变化有关。 对于均匀导电媒质，介电常数 和电导率 都
5
如果体积的厚度可以忽略， 可以认为电荷在面上运动，形成面电流。 密度为 的面电荷 以速度 v 运动， 形成面电流密度 K ， 定义 K v 。 如图所示， db0 是垂直于 v 方向的线段元。
6
dl db0 dl dS dq dI K v dt dtdb0 dtdb0 dtdb0 db0
4
7
7
7
3
7
10 5
1.03× 10
7
10 15
16
3.2 恒定电场的基本方程
1．局外场
要维持导电媒质中的恒定电流，就必须有恒定 的电场强度。 （作用：克服运动中的阻力） 在电场的作用下，正自由电荷沿电场强度方向 运动， 负自由电荷沿相反方向运动。 对于金属导体， 主要是自由电子沿电场相反方向运动。
2恒定电场
─ 焦耳定律积分形式
导体有电流时，必有功率损耗，其功率密度为
p dP dV J E
W/m3 ─ 焦耳定律微分形式
9
2.2
电源电动势与局外场强
2.2.1 电源电动势与局外场强 提供非静电力将其它形式的
能量转为电能的装置称为电源。
恒定电流的形成
要产生恒定电场，形成恒定电流，需要连接 直流电源。直流电源能将电源内的原子或分子的 正、负电荷分开，使正电荷移向正极，负电荷移 向负极。显然，这种移动电荷的作用力不是电场 的库仑力，称之为局外力，用 f e 表示。
第二章
序 导电媒质中的电流
恒定电场
电源电动势与局外场强
恒定电场基本方程、分界面上的衔接条件 导电媒质中恒定电场与静电场的比拟
电导和部分电导
1
2.0 序
静电场中，导体内没有电场，没有电荷的运 动，导体是等位体，导体表面是等位面。 维持导体中具有恒定电流的电场称为恒定电 场。它与静电场有相似之处。 本章要求: 理解各种电流密度的概念，通过欧姆定律和焦 耳定律理解场量之间的关系。 掌握恒定电场的基本方程和分界面上的衔接条 件。 掌握静电比拟法和电导的计算。
E1n J1n / 1 0
理想介质
导体中
导体与理想介质分界面
E1t E2t J1t / 1 J1 / 1 0
D2 n D1n 2 E 2 n 1 E1n 2 E 2 n
结论1 分界面导体侧的电流一定与导体表面平行。 结论2 导体与理想介质分界面上必有面电荷。
l
( E ) dS 0
S
得 E 0
恒定电场是无旋场。
14
3. 恒定电场（电源外）的基本方程
电动力学习题解答3
第三章 静磁场1. 试用A 表示一个沿z 方向的均匀恒定磁场0B ，写出A 的两种不同表示式，证明二者之差为无旋场。
解：0B 是沿 z 方向的均匀恒定磁场，即 z B e B 00=，由矢势定义B A =⨯∇得0//=∂∂-∂∂z A y A y z ；0//=∂∂-∂∂x A z A z x ；0//B y A x A x y =∂∂-∂∂三个方程组成的方程组有无数多解，如：○10==z y A A ，)(0x f y B A x +-= 即：x x f y B e A )]([0+-=； ○20==z x A A ，)(0y g x B A y += 即：y y g x B e A )]([0+= 解○1与解○2之差为y x y g x B x f y B e e A )]([)]([00+-+-=∆ 则 0)//()/()/()(=∂∂-∂∂+∂∂+∂-∂=∆⨯∇z x y y x x y y A x A z A z A e e e A 这说明两者之差是无旋场2. 均匀无穷长直圆柱形螺线管，每单位长度线圈匝数为n ，电流强度I ，试用唯一性定理求管内外磁感应强度B 。
解：根据题意，取螺线管的中轴线为 z 轴。
本题给定了空间中的电流分布，故可由⎰⨯='430dV r rJ B πμ 求解磁场分布，又 J 只分布于导线上，所以⎰⨯=304r Id r l B πμ1)螺线管内部：由于螺线管是无限长理想螺线管，所以其内部磁场是均匀强磁场，故只须求出其中轴 线上的磁感应强度，即可知道管内磁场。
由其无限长的特性，不z y x z a a e e e r ''sin 'cos ---=φφ， y x ad ad d e e l 'cos ''sin 'φφφφ+-= )''sin 'cos ()'cos ''sin '(z y x y x z a a ad ad d e e e e e r l ---⨯+-=⨯φφφφφφz y x d a d az d az e e e '''sin '''cos '2φφφφφ+--=取''~'dz z z +的一小段，此段上分布有电流'nIdz⎰++--=∴2/32220)'()'''sin '''cos '('4z a d a d az d az nIdz z y x e e e B φφφφφπμ ⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-=+=+=z z I n a z a z d nI nI z a dz a d e e 02/3202/3222200])/'(1[)/'(2)'(''4μμφπμπ2)螺线管外部：由于螺线管无限长，不妨就在过原点而垂直于轴线的平面上任取一点)0,,(φρP 为场点，其中a >ρ。
第三章 边值问题的解法
解：根据轴对称的特点和无限长的假设， 可确定电位函数满足一维拉普拉斯方程，
R2
采用圆柱坐标系
R1
1 (r ) 0 积分 Aln r B
r r r
由边界条件 U A ln R1 B 0 Aln R2 B
A U ln R1 R2
B
U ln R1
ln
R2
第3章 边值问题的解 法
给定边界条件下求有界空间 的静电场和电源外恒定电场的问 题，称之为边界值问题。
3.1边值问题的提法(分类)
3.1.1边值问题的分类
1 狄利克雷问题：给定整个场域边界面S上各点电位的（函数）
值
f (s)
2 聂曼问题：给定待求位函数在边界面上的法向导数值
/ n f (s)
q
4π0
(r
2
2dr
1
cos
d
)2 1/ 2
(d
2r2
a
2dra2 cos
a4 )1/ 2
导体球不接地：
q a q d
b a2 d
q q a q d
a
—
a
导体球不接地：根据电荷守恒定律，导体球上感应电荷代
数和应为零，就必须在原有的镜像电荷之外再附加另一镜
球壳内：边界为r = a1的导体球面，
边界条件为 (a1, ,) 0
➢ 根据球面镜像原理，镜像电荷
的位置和大小分别为
a1 q1
q
1
b1
a12 d1
q1
q1
《电磁场与电磁波》复习纲要(含答案)
S
第二类边值问题（纽曼问题） 已知场域边界面上的位函数的法向导数值，即 第三类边值问题（混合边值问题） 知位函数的法向导数值，即
|S f 2 ( S ) n
已知场域一部分边界面上的位函数值，而其余边界面上则已
|S1 f1 ( S1 )、 | f (S ) S 2 2 n 2
线处有无限长的线电流 I，圆柱外是空气（µ0 ），试求圆柱内 外的 B 、 H 和 M 的分布。 解：应用安培环路定理，得 H C dl 2 H I I H e 0 磁场强度 2π I e 0 a 2 π 磁感应强度 B I e 0 a 2 π 0 I B e 2π M H 磁化强度 0 0 0
C
F dl F dS
S
5、无旋场和无散场概念。 旋度表示场中各点的场量与旋涡源的关系。 矢量场所在空间里的场量的旋度处处等于零，称该场为无旋场（或保守场） 散度表示场中各点的场量与通量源的关系。 矢量场所在空间里的场量的散度处处等于零，称该场为无散场（或管形场） 。 6、理解格林定理和亥姆霍兹定理的物理意义 格林定理反映了两种标量场 （区域 V 中的场与边界 S 上的场之间的关系） 之间满足的关系。 因此，如果已知其中一种场的分布，即可利用格林定理求解另一种场的分布 在无界空间，矢量场由其散度及旋度唯一确定 在有界空间，矢量场由其散度、旋度及其边界条件唯一确定。 第二章 电磁现象的普遍规律 1、 电流连续性方程的微分形式。
D H J t B E t B 0 D
D ) dS C H dl S ( J t B E dl dS S t C SB dS 0 D dS ρdV V S
工程电磁场-基本概念
1
1 2 0
C1
100 ,
得 C1
100
1 2 0
代入 C1 和 C2
x2
1
100 x
（V）
20
20
d
x
1
E
dx
ex
0
100
2
0
e
x
（V m）
第三章 恒定电场的基本原理
1、体电流密度的定义式 2、电流密度与电场强度的关系 3、电源中电场强度的表达式 4、电荷守恒原理的表达式 5、导电媒质分界面衔接条件的标量表达式 6、恒定电场边界条件的分类
量为
场点坐标 (r,, z)是不变量，源点坐标 (0,, z) 中 z 是变量，统一用θ表
示
总的电场强度 若为无限长直导线
习题 2-1
（3）静电场环路定理
由电位计算电场强度，是求梯度的运算，也就是求微分 的运算
在静电场中，任意一点的电场强度E 的方向总是沿着
电位减少最快方向，其大小等于电位的最大变化率。
有些金属或化合物当温度降到某一临界数值
后， ，变为超导体, J E 不再适用。
3、电源中电场强度的表达式
作用于单位电荷上的局外电场力定义为局外电
场强度，记为 Ee 。 电源中总的电场强度 ET EC Ee 。
在电源以外的区域，只存在库仑电场。
总的电场强度 ET EC 。
4、电荷守恒原理的表达式
1、体电流密度的定义式
将单位时间内流过某个面积 S 的电荷量
定义为穿过该面积的电流，用 I 表示 I lim q dq t0 t dt
电流的单位是安（培）（A）。1 安＝1 库秒。 电荷在空间体积中运动，形成体电流。
恒定电场习题答案
恒定电场习题答案恒定电场习题答案恒定电场是物理学中一个重要的概念，它描述了一个电场在空间中保持不变的情况。
在学习电场时，我们经常会遇到一些习题，这些习题旨在帮助我们理解和应用恒定电场的原理。
在本文中，我将为大家提供一些常见恒定电场习题的答案，并解释其中的原理和推导过程。
1. 问题：一个电荷为q的点电荷位于坐标原点O，一个电荷为-Q的点电荷位于坐标轴上点A(x, 0)处。
求点P(x, y)处的电场强度。
解答：根据库仑定律，点电荷产生的电场强度与距离的平方成反比。
设点P处的电场强度为E，那么有：E = k * (q / r^2) + k * (-Q / (x^2 + y^2))其中，k是库仑常数，r是点O到点P的距离。
由于点A处的电荷产生的电场强度只与x坐标有关，所以它对点P处的电场强度没有影响。
2. 问题：一个均匀带电圆盘的半径为R，总电荷量为Q。
求圆盘轴线上距离圆盘中心为x处的电场强度。
解答：由于圆盘是均匀带电的，我们可以将它看作由无数个小电荷元素组成。
每个小电荷元素产生的电场强度可以通过库仑定律计算，然后将所有的电场强度矢量相加即可。
设一个小电荷元素dq位于圆盘上的点P，距离圆盘中心的距离为r。
根据电场强度的定义，我们可以得到：dE = k * (dq / r^2)由于圆盘是均匀带电的，所以每个小电荷元素dq的电荷量为dQ = Q / (πR^2)* 2πr，其中πR^2是圆盘的总电荷量，2πr是圆盘上对应的弧长。
将dQ代入上式，可以得到：dE = k * (Q / (πR^2) * 2πr) / r^2根据对称性，可以知道圆盘轴线上的电场强度只有x分量，没有y和z分量。
将dE的x分量积分，可以得到：E = ∫[k * (Q / (πR^2) * 2πr) / r^2] * cosθ其中θ是点P处的极角。
3. 问题：一个均匀带电线段的总电荷量为Q，长度为L。
求距离线段中心距离为x处的电场强度。
电磁场思考题
1.什么是矢量场的通量通量的值为正、负或0分别表示什么意义解答：矢量场F 穿出闭合曲面S 的通量为：dS e F dS F sn s⎰⎰==··ψ当⎰>s dS F 0·时，表示穿出闭合曲面S 的通量多于进入的通量，此时闭合曲面内必有发出矢量线的源，成为正通量源。
当⎰<sdS F 0·时，表示穿出闭合曲面S 的通量少于进入的通量，此时闭合曲面内必有汇集矢量线的源，成为负通量源。
当⎰=sdS F 0·时，表示穿出闭合曲面S 的通量等于进入的通量，此时闭合曲面内正通量源与负通量源的代数和为0，或者闭合面内无通量源。
2.什么是散度定理它的意义是什么 解答：矢量分析中的一个重要定理：⎰⎰⋅=⋅∇vsdS FdV F 称为散度（高斯）定理。
意义：矢量场F 的散度F ⋅∇在体积V 上的体积分等于矢量场F 在限定该体积的闭合面S 上的面积分，是矢量的散度的体积分与该矢量的闭合曲面积分之间的一个变换关系。
3.什么是矢量场的环流环流的值为正、负或0分别表示什么意义解答：矢量场F 沿场中的一条闭合回路C 的曲线积分，⎰⋅=Γcdl F ，称为矢量场F 沿闭合路径C 的环流。
⎰>⋅cdl F 0或⎰<⋅cdl F 0，表示场中有产生该矢量的源，称为漩涡源。
⎰=⋅cdl F 0，表示场中没有产生该矢量场的源。
4.什么是斯托克斯定理它的意义是什么 斯托克斯定理能用于闭合曲面吗解答：在矢量场F 所在的空间中，对于任一以曲线C 为周界的曲面S ，存在如下重要关系式：⎰⎰⋅=⋅⨯∇scdl F dS F ，称为斯托克斯定理。
意义：矢量场F 的旋度F ⨯∇在曲面S 上的面积分等于矢量场F 在限定曲面的闭合曲线C 上的线积分，是矢量旋度的曲面积分与该矢量沿闭合曲线积分之间的一个变换关系。
能用于闭合曲面。
5.无旋场和无散场的区别是什么解答：无旋场F 的旋度处处为0，即0≡⨯∇F ，它是由散度源所产生的，它总可以表示为某一标量场的梯度，即()0=∇⨯∇u 。
(完整word版)恒定电场习题解答
习题33-1 半径为a 的均匀极化介质球以它的一条直径为轴匀速旋转，角速度ω，该轴平行于球的极化强度P ，求：（1）由于旋转形成的面电流密度分布；（2）通过球面上ϕ =ϕ0的半圆周也即球的一条“经线”的总电流；（3）通过这条“经线”的上半段（0≤θ≤π/2）和下半段（π/2≤θ≤π）的电流分别是多少？解：由于介质球均匀极化，极化强度为常矢量，可设P z a P =。
（1）介质球表面的极化面电荷密度为θcos PS P P ρr z =•=•=a a n P球面上任一点的线速度为θωωϕsin a a r z a a a r ωv =⨯=⨯= 旋转时介质球表面的极化电荷形成面电流，其密度为 θωθθωρϕϕ2sin 21cos sin PS S a P P a a a v J === （2）通过球面上ϕ =ϕ0的半圆周的总电流为 0d 2sin 21d π02πS ==•=⎰⎰θθωθϕa P a I a J（3）通过上半段（0≤θ≤π/2）的电流为22π0221d 2sin 21a P a P I ωθθω==⎰通过下半段（π/2≤θ≤π）的电流为 2π2π221d 2sin 21a P a P I ωθθω-==⎰ 3-2 如题3.2图所示的平行板电容器中充满线形介质，σ是常数，ax b εσ=+（a 、b 为常数）。
若已知电容器中恒定漏电流为J x ，求电容器中的电荷密度ρf 。
题3-2图解：由导电媒质的本构关系可知，两极板之间的电场强度为 σxx J E =Ox于是可得电位移矢量x x xx J b ax J )(+===a a E D σεε电容器中的电荷密度为x aJ ρ=•∇=D f3-3 内、外导体半径分别为a 和b 的同轴电缆，内外导体之间填充两层电容率分别为ε1和ε2、电导率分别为σ1和σ2的介质，介质分界面半径为c 。
当外加电压为U 时，求两种介质中的电场及分界面上的自由电荷密度。
高中物理讲义.必修三.第三章：电路(知识点总结+习题)
电源和电流【引入】前面的两章我们都在学习静电场，激发静电场的是静止电荷。
那么电荷运动起来又会有什么作用呢？其实早在初中我们就学习了，电荷的定向移动产生了电流。
这一节课我们进一步思考，电荷在怎样的条件下会定向移动。
生活中比较常见的含有大量自由电荷的是导体，如何让导体内的电荷定向移动呢？如左图，导体两端连接AB两个金属球，分别带正负电荷。
导体内自由电荷（电子）在静电力作用下，沿导线定向移动，产生了电流。
随后AB之间的电势差消失，达成静电平衡，如右图。
整个过程只形成了短暂的电流。
【小结】电流的形成条件①导体内部有自由移动的电子②导体两端有电势差【思考】如何能持续形成电流呢？或者说如何维持导体两端的电势差？我们加一个装置，不断的把负电荷从A搬运到B，这样AB两球之间一直维持电势差，这样导线内就一直存在电流。
这个装置就是电源。
一、电源1.定义表述1：把电子持续的从正极搬运到负极的装置。
这个过程中在克服静电力做功，把其它能量转化为电能。
表述2：通过非静电力做功，把其它形式的能量转化为电能。
2.作用维持正负极之间的电势差，来维持电流。
在电源两极电荷、导线电荷的作用下，空间中形成了大小、方向都十分稳定的电场——恒定电场。
二、恒定电场1.定义由稳定分布的电荷激发的电场，强弱、方向都不变化。
注：（1）虽然电荷在定向移动，但是总会得到等量的补充，形成了动态稳定。
(2）恒定电场不是静电场。
但是在静电场中的电学概念同样适用。
2.导线中的恒定电场导线中的恒定电场是沿着导线方向的。
这个电场是接通电源后以光速建立的。
导线中的电荷在恒定电场的作用下形成了恒定电流。
三、恒定电流（一）概念大小和方向都不随时间变化的电流产生条件：①自由电荷②稳定的电场注：金属中自由电荷是电子；溶液中自由电荷是阴阳离子（二）电流大小单位时间内通过导线横截面的电荷量1.决定式I=qt单位：安培（A）电子定向移动速率为v、导线横截面积为s、单位体积内有电子n则，通过电荷量=通过体积*n*eq=svtne2.微观表达式I=neSv注：这里的e是电子的带电量（三）电流方向规定正电荷定向移动的方向为电流方向。
《电磁场理论》练习题与参考答案(最新版)
第1~2章 矢量分析 宏观电磁现象的基本规律1. 设：直角坐标系中，标量场zx yz xy u ++=的梯度为A，则M （1，1，1）处A= ，=⨯∇A 0 。
2. 已知矢量场xz e xy e z y e A z y x ˆ4ˆ)(ˆ2+++= ，则在M （1，1，1）处=⋅∇A 9 。
3. 亥姆霍兹定理指出，若唯一地确定一个矢量场（场量为A），则必须同时给定该场矢量的 旋度 及 散度 。
4. 任一矢量场在无限大空间不可能既是 无源场 又是 无旋场 ，但在局部空间 可以有 以及 。
5. 写出线性和各项同性介质中场量D 、E 、B 、H、J 所满足的方程（结构方程）： 。
6. 电流连续性方程的微分和积分形式分别为 和 。
7. 设理想导体的表面A 的电场强度为E 、磁场强度为B，则（a ）E 、B皆与A 垂直。
（b ）E 与A 垂直，B与A 平行。
（c ）E 与A 平行，B与A 垂直。
（d ）E 、B 皆与A 平行。
答案：B8. 两种不同的理想介质的交界面上，（A ）1212 , E E H H ==（B ）1212 , n n n n E E H H == (C) 1212 , t t t t E E H H == (D) 1212 , t t n n E E H H ==答案：C9. 设自由真空区域电场强度(V/m) )sin(ˆ0βz ωt E eE y -=，其中0E 、ω、β为常数。
则空间位移电流密度d J（A/m 2）为：ˆˆˆ222x y z e e e ++A⋅∇A ⨯∇E J H B E Dσ=μ=ε= , ,t q S d J S ∂∂-=⋅⎰ t J ∂ρ∂-=⋅∇ 0A ∇⋅=0A ∇⨯=（a ） )cos(ˆ0βz ωt E ey - （b ） )cos(ˆ0βz ωt ωE e y -（c ） )cos(ˆ00βz ωt E ωey -ε （d ） )cos(ˆ0βz ωt βE e y -- 答案：C 10. 已知无限大空间的相对介电常数为4=εr ，电场强度(V/m) 2cos ˆ0dxeE x πρ= ，其中0ρ、d 为常数。
chapter3-恒定电场(zhang)
恒定电场
什么是恒定电场？
静电场：静止电荷产生的电场—静态平衡 恒定电流：
电荷的流动不随时间改变—动态平衡
恒定电场： 维持恒定电流的电场为恒定电场 传导电流—导电煤质中
传导电流是指大量排列在一起的电荷在受到外电场力的作用之下，朝着一个 固定的方向移动，因而实现电能的传导的。 每一个电荷位移十分微小的，仅仅在平衡位置附近运动。但由于电荷排列的 紧密，受力电荷通过与相邻电荷的碰撞，将能量传导给下一个电荷，瞬时传 到很远的地方。
解法二
U
I J dS J 2πrl
r
R2
R1
E
I E J 2πrl I
2π Rl
l
R2 dr I R2 U E dr ln R1 2π lr 2π l R1
I，J，E，P
2
恒定电场的基本性质
2.1 电流连续性方程:
从任一闭合面流出的总电流
(2)电流强度与电流密度的关系: I
S J dS
(3)运动电荷的体电流:已知运动电荷的体密
度v及运动速度v，如果在电流区域某点取一面
元dS垂直于电流方向，则在dt时间内，穿过dS的 电荷为：
dq v vdtdS
则：
J
dI dq / dt v v dS dS
J v v
J E
•
欧姆定律的积分形式只适用于稳恒情况，而欧姆定律的微分形式不仅对
稳恒情况，而且对非稳恒情况也适用。
例3-1：运用欧姆定理的微分形式推导图中均匀导电材料(长度为L,导电率为， 横截面为S)中的电压与电流关系式。 L 解：在导电材料内部，有：J=E，J与E的方向均与电流方向一致。在导体两 端点之间有：
第三章恒定电场题解
第三章 恒定电场3-1 导电回路的电阻为R 。
要使回路中维持恒定电流I ，则回路中电源的电动势e 应为多少？解 根据欧姆定律，可知 RI e =3-2 一平行平板电容器如图3-1所示。
两极板相距d ，极板之间有两层电介质。
第一种电介质厚度为a ，介电常数为ε1，电导率为γ1。
第二种电介质厚度为d a -，介电常数为ε2，电导率为γ2。
若两极之间加电压U ，求电介质中的电场强度、漏电流密度、电介质分界面上自由电荷的面密度。
解 据题意可得 ()U a d E a E =-+21，又有 2211E E γγ=，得 1212E E γγ=，代入上式，得介质中的电场强度为 ()()a d a U a d a U E -+=-+=122211γγγγγ，()a d a U E -+==1212γγγ 漏电流密度为 ()121212211γγγγγγγ-+===a d U E E J 分界面上自由电荷的面密度为 ()()1212112112212γγγγεγεεεσ-+-=-=-=a d U E E D D3-3 如图3-2所示，由导电媒质构成的半圆环，电导率为γ，求A 、B 之间的电阻。
解 设有电流I 从A 向B 流动，A 、B 间的电压为U ，则在导电媒质中，有02=∇ϕ，对于圆柱坐标，有012222=∂∂=∇αϕϕr ，解得 B A +=αϕ 代入边界条件 ()00==αϕ，得 0=B()U A ===ππαϕ，得 π/U A =即 απϕU =，ααϕϕe E ∂∂-=-∇=r 1，απγγe U r ⋅-==1E J bR R a U adr U r Jds I b R R +=⋅--=-=⎰⎰+ln 1πγπγ 因此，可得所求电阻为 Rb R a I I U R +==ln γ3-4 如图3-3图所示，由导电媒质构成的扇形，厚度为h ，电导率为γ。
求A 、B 之间的电阻。
解 设A 、B 间的电压为U ，则在导电媒质中有012=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∇r r r r ϕϕ，解得 B r A +=ln ϕ，代入边界条件， 0ln 1=+B R A ，U B R A =+2ln ，解得 12/ln R R U A =，121/ln ln R R R U B -= 可得 112ln /ln R r R R U =ϕ，r r rR R U r e e E 1/ln 12⋅-=∂∂-=-∇=ϕϕ r rR R U e E J γγ⋅-==12/ln ，b R R a U r a U r I b R R +=⋅=⋅-=⎰⎰+ln d 1d πγπγs J 因此，可得 Rb R a I U R +==ln γπ3-5 如图3-4图所示，半球形电极埋于陡壁附近。
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第三章 恒定电场
3-1 导电回路的电阻为R 。
要使回路中维持恒定电流I ，则回路中电源的电动势
e 应为多少？
解 根据欧姆定律，可知 RI e =
3-2 一平行平板电容器如图3-1所示。
两极板相距d ，极板之间有两层电介质。
第一种电介质厚度为a ，介电常数为ε1，电导率为γ1。
第
二种电介质厚度为d a -，介电常数为ε2，电导率为γ2。
若两极之间加电压U ，求电介质中的电场强度、漏电流密
度、电介质分界面上自由电荷的面密度。
解 据题意可得 ()U a d E a E =-+21，又有 2211E E γγ=，
得 12
12E E γγ=，代入上式，得介质中的电场强度为 ()()a d a U a d a U E -+=-+=1222
11γγγγγ，()a d a U E -+==1212γγγ 漏电流密度为 ()
121212211γγγγγγγ-+===a d U E E J 分界面上自由电荷的面密度为 ()()1212112112212γγγγεγεεεσ-+-=-=-=a d U E E D D
3-3 如图3-2所示，由导电媒质构成的半圆环，电导率为γ，求A 、B 之间的电
阻。
解 设有电流I 从A 向B 流动，A 、B 间的电压为U ，则在
导电媒质中，有02=∇ϕ，对于圆柱坐标，有
012222
=∂∂=∇α
ϕϕr ，解得 B A +=αϕ 代入边界条件 ()00==αϕ，得 0=B ()U A ===ππαϕ，得 π/U A =
即 απϕU =，ααϕϕe E ∂∂-=-∇=r 1，απ
γγe U r ⋅-==1E J b
R R a U adr U r Jds I b R R +=⋅--=-=⎰⎰+ln 1πγπγ 因此，可得所求电阻为 R
b R a I I U R +==ln γ
3-4 如图3-3图所示，由导电媒质构成的扇形，厚度为h ，电
导率为γ。
求A 、B 之间的电阻。
解 设A 、B 间的电压为U ，则在导电媒质中有
012=⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∇r r r r ϕϕ，解得 B r A +=ln ϕ，代入边界条件， 0ln 1=+B R A ，U B R A =+2ln ，解得 1
2/ln R R U A =，121/ln ln R R R U B -= 可得 112ln /ln R r R R U =ϕ，r r r
R R U r e e E 1/ln 12⋅-=∂∂-=-∇=ϕϕ r r R R U e E J γγ⋅-==12/ln ，b
R R a U r a U r I b R R +=⋅=⋅-=⎰⎰+ln d 1d πγπγs J 因此，可得 R
b R a I U R +==ln γπ
3-5 如图3-4图所示，半球形电极埋于陡壁附近。
已知电极半径为a ，距离h ，
土壤的电导率为γ 。
a h <<，考虑陡壁的影响，
求接地电阻。
解 由于有地面和
陡壁的影响，求接
地电阻需按图3-5
取镜象，则可将整
个空间视为导电媒质（土壤）。
在图3-5中，设两电
极间的电压为U 2，极间有电流I 2，由于a h <<，则
在极间导电媒质中由于一个球中电流的影响，应有，
24r
I E πγ=，则有 a I U πγ41=，考虑另一电极的影响，有 h I U 242⋅=πγ 因此，球对地的电压为 ha
a h I h a I U U U 224211421+⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=πγπγ 接地电阻为 ha a h I U R πγ422
1+==
3-6 在导电媒质中，电荷的体密度为 ρεγ
=∇•()J 。
当导电媒质为均匀媒质时，ε和γ都不随空间位置变化，因此电荷密度为零。
另一方面，由定义可知，体电流密度为电荷体密度乘以电荷运动的速度。
试解释均匀导电媒质中体电流密度不为零而体电荷密度为零这一“矛盾”。
解 在定义式v J ρ=中，体电荷密度为运动电荷的体密度。
3-7 由导电媒质中欧姆定律的微分形式，试导出两电极之间电压与导电媒质中总
电流之间关系（欧姆定律的积分形式）。
解 设图3-6所示电导率为γ的导电媒质的长度为l 、截面为S ，其中的体电流密度为z J e J 0=， 则有E J γ=，对等式两边做体积积分，可得
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅=⋅v v v E v J d d 0γ，即 SU Il γ=，由此可得 R S
l I U ==γ，即为欧姆定律积分形式表达式。