磁场最小面积史鸿耀

磁场最小面积史鸿耀 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

（2010南平模拟）（强化班学生做）如图所示，第

四象限内有互相正交的匀强电场E 与匀强磁场B 1，E 的大小为×103V/m ，B 1大小为．第一象限的某

个矩形区域内．．．．．

，有方向垂直纸面向里的匀强磁场B 2，磁场的下边界与x 轴重合．一质量m=1×10-14

kg 、电荷量q=1×10-10C 的带正电微粒以某一速

度v 沿与y 轴正方向60°角从M 点沿直线运动，经P

点

即进入处于第一象限内的磁场B 2区域．一段时间后，微粒经过y 轴上的N 点并与y 轴正方向成60°角的方向飞出．M 点的坐标为（0，-10），N 点的坐标为（0，30），不计微粒的重力，g 取10m/s 2．求：

（1）请分析判断匀强电场E 1的方向并求出微粒的运动速度v ； （2）匀强磁场B 2的大小为多大； （3）B 2磁场区域的最小面积为多少

解：(1) 由于重力忽略不计，微粒在第四象限内仅受 ，且微粒做直线运动，速度的变化会引起洛仑兹力的变化，所以微粒必做匀速直线运动．这样，电场力和洛仑兹力大小相等，方向相反，电场E 的方向与微粒运动的方向垂直，即与y 轴负方向成60°角斜向下． 由力的平衡有

Eq =B 1qv ∴

(2) 画出微粒的运动轨迹如图．由几何关系可

知粒子在第一象限内做圆周运动的 半径为

微粒做圆周运动的向心力由洛伦兹力提供，即解之得

(3) 由图可知，磁场B2的最小区域应该分布在图示的矩形PACD内．由几何关系易得

所以，所求磁场的最小面积为

如图所示，一带电粒子以某一速度在竖直平面内做匀速直线运动，经过一段时间后进入一垂直于纸面向里、磁感应强度为B的最小的圆形匀强磁场区域（图中未画出磁场区域），粒子飞出磁场后垂直电场方向进入宽为L的匀强电场. 电场强度大小为E，方向

竖直向上. 当粒子穿出电场时速度大小变为原来的倍. 已知带电粒子的质量为m，电量为q，重力不计. 粒子进入磁场前的速度与水平方向

成60°角. 试解答：

（1）粒子带什么电

（2）带电粒子在磁场中运动时速度多大

（3）该最小的圆形磁场区域的面积为多大

•解析:

（1）根据粒子在磁场中偏转的情况和左手定则可知，粒子带负电. （2分）

（2）由于洛伦兹力对粒子不做功，故粒子以原来的速率进入电场中，设带电粒

子进入

电场的初速度为v0，在电场中偏转时做类平抛运动，由题意知粒子离开电场时的

末速度大小为，将分解为垂直于电场方向（X方向）和平行于电场方向（y方向）的两个分速度：由几何关系知

①…………（1分）

②…………（1分）

③…………（1分）

④…………（1分）

F=Eq ⑤…………（1分）

联立①②③④⑤求解得：⑥…………（2分）

（3）如图所示，带电粒子在磁场中所受洛伦兹力作为向心力，设在磁场中做圆周运动的半径为R，圆形磁场区域的半径为r，则：

⑦…………（2分）

⑧…………（3分）

由几何知识可得：⑨…………（1分）

磁场区域的最小面积为⑩…………（1分）

联立⑧⑨⑩求解得S=…………（2分）

一质量为m，带电量为q的粒子，以速度v 0从O点沿y轴正方向射入磁感强度为B的一圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面，粒子飞出磁场区域后，从b处穿过x轴，速度方向与x轴正方向夹角为30°，如图，不计粒子重力，求：（1）圆形磁场区域的最小面积；（2）粒子从O进入磁场区域到达b点所经历的时间及b点的坐标．

解：（1）带电粒子在磁场中运动时，洛仑兹力提供向心力，则有

qv0B=m

v 2 0

R

解得，R=

mv0

qB

带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，连接粒子在磁场区入射点O和出射点c得弦长为l=2Rsin60°=

3

R如图所示，圆形磁场区域最小面积为ob为直径的圆，则磁场的半径为r=

R

2

．

故圆形磁场区域的最小面积为 S min=πr2

联立解得，S min=

3πm2

v 2

4q2B2

（2）带电粒子在磁场中轨迹圆弧对应的圆心角为120°，带电粒子在磁场中运动的时间为转动周期的

1

3

，即t1=

1

3

T=

2πm

3qB

由几何知识得：cb=l=

R

粒子离开磁场从c到b点的运动时间为 t2=

cb

v0

=

R

v0

故粒子从O进入磁场区域到达b点所经历的时间t=t1+t2=

2πm

3qB

+

R

v0

．b点的坐标x=ob=2lcos30°=3R=

3mv0

qB

．

如图所示，第四象限内有互相正交的匀强电场E与匀强磁场B1， E的大小为×103V/m， B1大小为；第一象

限的某个圆形区．．．．

域内，有方向垂直纸面向里的匀强磁场B 2，磁场的下边界与x 轴重合．一质量m =1×10-14kg 、电荷量q =1×10-10C 的带正电微粒以某一速度v 沿与y 轴正方向45°角从M 点沿直线运动，经P 点即进入处于第一象限内的磁场B 2区域．一段时间后，微粒经过y 轴上的N 点并与y 轴正方向成45°角的方向飞出．M 点的坐标为(0，-10)，N 点的坐标为(0，30)，不计粒子重力，g 取10m/s 2．

（1）请分析判断匀强电场E 的方向并求出微粒的运动速度v 的大小； （2）匀强磁场B 2的大小为多大 （3）B 2磁场区域的最小面积为多少

•

1)微粒在第四象限内仅受电场力和洛仑兹力，且微粒

做匀速直线运动，电场力和洛仑兹力大小相等，方向相反，电场E 的方向与微粒运动的方向垂直，即与y 轴负方向成45°角斜向下． (2分) 由力的平衡有

Eq =B 1qv (1分)

∴

(1分)

(2) 画出微粒的运动轨迹如图．

由几何关系可知粒子在第一象限内做圆周运动的半径为

(2分)

微粒做圆周运动的向心力由洛伦兹力提供，即

(2分)

解之得 (2分)