浅谈二分法求方程的近似解的思路与技巧

专业代码：080101

楚雄师范学院

(Chxiong Normal University)

数学系2008级数学与应用数学专业教育实习

教育教学研究论文

实习生姓名茶本卫

学号20081021112

专业数学与应用数学

年级08级

实习单位紫系中学

实习时间2011年10月---11月

楚雄师范学院数学系编制

二0一一年九月二十八日

目录

浅谈二分法求方程的近似解的思路与技巧

摘要：在二分法中，由于不断取中点，区间不断缩小，区间的中点逐渐逼近方程根(或函数零点)的精确值，所以二分法体现了无限逼近的极限思想；二分法本质上又是一种区间迭代的数值算法，渗透了算法思想；二分法还体现了非此即彼的哲学思想，它综合了函数、方程、不等式、数列、极限等多种知识，主要有以下四方面的应用。

关键词:二分法；零点存在定理；精确度

Talking about the dichotomy of ideas and techniques for finding

approximate solutions to equations

Abstract:Dichotomy, given the access point , shrinking intervals , gradually approaching the midpoint of the interval root of equation ( or function zeros) The exact values , approximation of dichotomy reflects the infinite limit thought ; Dichotomy is essentially an interval iterative numerical algorithms , infiltrated algorithm,Dichotomy is reflected either/or philosophy , which combines functions, equations,inequalities , series, limits, and other knowledge , there are four main areas of application.

Keywords:Dchotomy,zero point existence theorem, accuracy.

前 言

二分法,由于不断取中点,区间不断缩小,区间的中点逐渐逼近方程根(或函数零点)的精确值,所以二分法体现了无限逼近的极限思想;二分法本质上又是一种区间迭代的数值算法,渗透了算法思想;二分法还体现了非此即彼的哲学思想,它综合了函数、方程、不等式、数列、极限等多种知识。

二分法在过去是大学的内容随着课程改革的进程，我们把它放入高中教材中进行教授，对于高中生很难理解。为了帮助高中学生更好的掌握并能很好的理解它的思想，以便把它的思想应用于实际生活。由于本人第一次讨论这方面的知识，希望读者给予意见，对我的错误的地方给于指证。

1.用二分法求方程的近似解

1.1基本概念

1.1.1零点

使f(x)=0的实数x 叫做函数y=f(x)的零点. 1.1.2二分法

对于区间[]b a ,上连续不断且()()0<⋅b f a f 的函数()x f y =，通过不断地把函数()x f 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法(bisection). 1.1.3方程

含有未知数的等式叫方程，这是中学中的逻辑定义，方程的定义还有函数定义法，关系定义，而含未知数的等式不一定是方程，如0x=0就不是方程，应该这样定义. 1.1.4实数

实数包括有理数和无理数。其中无理数就是无限不循环小数，有理数就包括整数和分数。数学上，实数直观地定义为和数轴上的点一一对应的数。原本的数称作“实数”——意义是“实在的数”。

1.1.5精确度

若区间[]n n b a ,的长度ε<-n n a b ,则称ε为方程近似解n x 的精确度,此时ε<-n x x *

.所以

区间[]n n b a ,任意一个值都是满足精确度ε的近似解.设函数零点的精确值为*

x ,近似值为n x ,由精

确度定义可知ε<-n n a b ,又n n n a b x x -≤-*,所以ε<⋅-≤-n

n a b x x 200*.

1.2运算方法

【例1】用二分法求方程013422

3

=+--x x x 在区间()3,2的实数解.(精确度01.0) .

1.2.1一般理论求解

解:法1：设()13422

3

+--=x x x x f ,由()0512*******

3

<-=+⨯-⨯-⨯=f ，

()0101333432323>=+⨯-⨯-⨯=f ，由零点存在性定理知,区间()3,2可作初始区间()3,2,用

二分法逐次计算列表如下:

精确值为：01.0132>=-=-b a ，中点为：

5.22

3

22=+=+b a ()025.015.235.245.225.223<-=+⨯-⨯-⨯=f

同理可得,区间()3,5.2可作零点存在的新区间()3,5.2； 精确值为：01.05.035.2>=-=-b a ，中点为：

75.22

3

5.22=+=+b a ()00938.4175.2375.2475.2275.223>=+⨯-⨯-⨯=f

同理可得,区间()75.2,5.2可作零点存在的新区间()75.2,5.2； 精确值为：01.025.075.25.2>=-=-b a ，中点为：

625.22

75

.25.22=+=+b a ()07383.11625.23625.24625.22625.223>=+⨯-⨯-⨯=f