7-6. 线性变换的值域与核 线性映射(变换)的象(值域)和核是两...

•反之，由于对于任意给定的ｎ个 向量β1，β2，…，βn，有唯一 的线性变换σ,使得σ(αj)=βj， 因此,对于任意ｎ阶矩阵Ａ=(ａij) 若令 βj=ａ1jα1＋ａ2jα2＋…＋ａnjαn 1≤j≤n 则σ关于基 α1，α2，…，αn的矩阵即为Ａ
▲ Ｌ(Ｖ)与Ｍn（Ｆ）的同构关系 Ｌ(Ｖ)与Ｍn（Ｆ）的同构关系不 仅保持加法和纯量乘法，而且还 保持乘法， 即若σ→Ａ，τ→Ｂ ，则 σ＋τ→Ａ＋Ｂ，ｋσ→ｋ Ａ，στ→ＡＢ，此外， σ可逆 等价于Ａ可逆，且σ-1 → Ａ-1。
▲乘法:积στ的定义 乘法: στ的定义
(στ)(ξ)＝ (στ)(ξ)＝σ(τ(ξ)) 的合成映射称为σ 的积. 即σ与τ的合成映射称为σ与τ的积. 注意与函数有关定义的差别,数学分析中, 注意与函数有关定义的差别,数学分析中, 两个函数的积不是它们作为映射的积, 两个函数的积不是它们作为映射的积,两个 函数的复合函数才是它们作为映射时的积. 函数的复合函数才是它们作为映射时的积. 此外,σ(ξ) τ(ξ)是没有定义的 ,σ(ξ)·τ(ξ)是没有定义的. 此外,σ(ξ) τ(ξ)是没有定义的.关于线 性变换的积的算律与矩阵的积的算律是相 同的,线性变换的乘法不满足交换律, 同的,线性变换的乘法不满足交换律,消去 这是需要注意的. 律,这是需要注意的.
▲幂：σn＝σσ…σ， σ0＝ι σσ σ
线性变换与矩阵 在数域Ｆ上ｎ维向量空间Ｖ中可以利 用Ｖ的基给出Ｖ的线性变换σ的矩阵 表示Ａ.从而把讨论线性变换的问题转 化为用矩阵来处理,讨论起来既具体又 简单,并且提供了丰富的内容,同时使 我们看到矩阵工具的使用.在学习这部 分内容时要逐步体会利用矩阵解决问 题的方便以及熟练掌握Ｖ的线性变换 σ与Ｆ上ｎ阶矩阵Ａ的对应关系
• 作业：P326－14、15
线性变换的运算
•令Ｖ是数域Ｆ上一个向量空间。 Ｖ到自身的一个线性映射叫做Ｖ的 一个线性变换。用Ｌ(Ｖ)表示向量 空间Ｖ的一切线性变换所成的集合， 设σ，τ，ρ∈Ｌ(Ｖ)
▲加法：和σ＋τ的定义 (σ＋τ)(ξ)＝σ（ξ）＋τ（ξ） 且Ｌ(Ｖ)对加法作成一个加群，即满 足向量空间定义中的前四个公理。 ▲ 纯量乘法：空间定义中的第七，八个公理，对加 法则满足分配律。 ◆Ｌ(Ｖ)对加法和纯量乘法作成一个 向量空间。零向量即为零变换θ。
▲线性变换和矩阵的一一对应关系 设σ∈Ｌ(Ｖ),α1,α2,…,αn为Ｖ 的基,σ(αj)＝ａ1jα1＋ａ2jα2＋… ＋ａnjαn,1≤j≤n 即（σ(α1)，…， σ(αn)）＝（α1,…,αn）Ａ 则称ｎ 阶矩阵Ａ＝(ａij)为线性变换σ关于基 α1,α2,…,αn的矩阵,它的第j列元素 就是σ(αj)关于基α1,α2,…,αn的坐 标.这样,取定Ｖ的一个基后,对于Ｖ的 每一个线性变换,有唯一确定的ｎ阶矩 阵与它对应.特别,θ→Ｏ,ι→E E
▲相似矩阵ｎ阶矩阵Ａ相似于Ｂ定义: 存在可逆矩阵Ｔ,使得Ｔ-1ＡＴ＝Ｂ。 相似矩阵与向量的等价关系一样具有 自反性，对称性和传递性。 ▲ 线性变换关于不同基的矩阵是相似 矩阵，反之，任意两个相似矩阵都可 看成一线性变换关于不同基的矩阵。
思考题
• 在有限维线性空间中，线性变换σ的性质 与线性变换的象和核有什么关系？ • Fn[x]中，微商线性变换的象与核是什么？
7-6. 线性变换的值域与核
线性映射（变换）的象（值域） 和核是两个重要概念，在今后的代数 学习中，常用到映射的象和核的概念 。这里除要正确理解线性映射的象和 核的定义，还要会求出给定的线性映 射的象和核。
首先是子空间象和原象的概念: Ｖ的子空间Ｖ/在σ之下的象是 σ（Ｖ/ )＝｛σ(ξ)│ξ∈Ｖ/ ｝. Ｗ的子空间Ｗ/在σ之下的原象是 σ-1(Ｗ/)＝｛ξ∈Ｖ│σ(ξ)∈Ｗ/｝ σ的象记为 Im(σ)，它就是Ｖ在 σ之下的象，即 Im(σ)＝σ（Ｖ）。
线性映射的其它性质 ◆线性映射为满射和单射的充要条件： σ为满射等价于 Im(σ)＝Ｗ； σ为 单射等价于 ker(σ)＝｛０｝. ◆Ｖ的子空间的象是Ｗ的一个子空间， 特别 Im(σ) 是Ｗ的子空间。 ◆Ｗ的子空间的原象是Ｖ的子空间， 特别 ker(σ)是Ｖ的子空间。 ◆线性映射的合成映射,线性映射的逆 映射(如果存在的话)仍是线性映射
σ的核记为 ker(σ)，它就是Ｗ的
零子空间在σ之下的原象，即 ker(σ)＝｛ξ∈Ｖ σ(ξ)＝ ＝｛ξ∈ ker(σ)＝｛ξ∈Ｖ│σ(ξ)＝０｝ • 可以看出 ker(σ) 就是σ(ξ)＝０ 的解的集合。例如 sin x 的核就是 sin x＝0 的解的集合｛kπ│k＝ 0,±1,±2,…｝，注意σ(ξ)＝０的 形式，它是齐次线性方程组或由它可 变为齐次线性方程组，因此有时求核 就是求解一个齐次线性方程组