矩阵论—线性空间
矩阵论- 线性空间
n
不是线性空间
例5 [a , b]区间上连续实函数全体所构成的集合C a, b 对通常函数的加法和数乘运算构成相应实数域 R 上 的线性空间，称为实函数空间，记为 C a, b ( R)
（1）幂等律：A∪A＝A
（2）交换律：A∪B＝B∪A
（3）结合律：(A∪B)∪C＝A∪(B∪C) (A∩B)∩C＝A∩(B∩C) （4）分配律：(A∩B)∪C＝(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C＝(A∩C)∪(B∩C) （5）DeMongan 律： A ( B C ) ( A B) ( A C )
（3）称既单且满的映射为双射或者一一映射。
定理 3 设 A, B, C 是三个集合，f：A B 是由 A 到 B 的映射， g：B C 是由 B 到 C 的映射，对于 A 中的 每一个元素 x ，有 C 中唯一确定的元素 z 满足：
g ( f ( x)) z 。 即存在一个 A C 的映射， 记为：g f ；
1）若数集F中任意两个数作某一运算的结果仍在F 中，则说数集F对这个运算是封闭的． 2）数域的等价定义：如果一个包含0，1在内的数 集F 对于加法，减法，乘法与除法（除数不为0） 是封闭的，则称集 F为一个数域．
例1．证明：数集 是一个数域．
Q( 2 ) a b 2 | a , b Q
类似可证 Q( i ) a bi a , b Q , i 1 是数域.
定理5 任意数域F都包括有理数域Q． 即:有理数域为最小数域．
证明： 设F为任意一个数域．由定义可知，
0 F， 1 F . 于是有 m Z , m 1 1 1 F
戴华《矩阵论》 第一章线性空间与内积空间
这说明，维数是有限维线性空间的唯一的本质特征。在 同构的意义下，n维向量空间Pn并不只是线性空间V 的一 个特殊例子，而是所有的n维线性空间的代表。即每一个
1 0 C1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0
而基 ( III ) 到基 ( II ) 的过渡矩阵为
1 1 C2 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0
所以
( A , A2 , A3 , A4 ) ( E11 , E12 , E21 , E22 )C1 1 ( B1 , B2 , B3 , B4 ) ( E11 , E12 , E21 , E22 )C2
dim(V1 V2 ) dim(V1 ) dim(V2 ) dim(V1 V2 ).
在维数公式中，和空间的维数不大于子空间维数之和。那么何时等号成立呢？
V1 , V2 是数域 P 上线
性空间 V 的两个有限维子空间，则它们的交 与和
例1.4.6 设 S , K 分别是 n 阶实对称矩阵和反对称矩阵 的全体。显然容易证明 S , K 均为线性空间 R nn 的子
( III )
显然
1 A1 0 0 E11 E22 1 1 0 ( E11 , E12 , E21 , E22 ) 0 1
类似地，
1 A2 0 0 E11 E22 1 1 0 ( E11 , E12 , E21 , E22 ) 0 1 0 1 ( E11 , E12 , E21 , E22 ) 1 0
证明：
1 0 取1= 0 0
0 1 3= 0 0 2= 0 1 1 0
南京工业大学矩阵论ch1 线性空间讲义
第一章 线性空间线性空间是我们以前学习过的n 维向量空间的推广和抽象，它不仅在线性代数和矩阵的有关理论中占有重要的地位，而且它的理论和方法已经渗透到自然科学和工程技术的许多领域。
§1.1 线性空间的定义和性质为下面讨论需要，先引入数域的概念。
定义1 设P 是由一些复数组成的集合，如果它包含0与1，且P 中任意两个数的和、差、积、商（除数不为零）仍然属于P ，则称P 为一个数域。
显然，有理数集Q 、实数集R 和复数集C 都是数域，分别称为有理数域、实数域和复数域。
另外，数集},3{)3(Q b a b a Q ∈+=也是一个数域，但整数集不是数域。
我们知道n 维向量空间n R 就是全体n 维向量组成的集合，在其中定义了加法运算和实数与向量的数乘运算，并且这二种运算满足八条规律。
另外，在全体n m ⨯阶实矩阵组成的集合n m R ⨯中，也定义了矩阵的加法运算和实数与矩阵的数乘运算，且这二种运算满足八条规律。
还有很多这样的例子，从这些例子中可见，所考虑的对象虽然完全不同，但它们有一个共同点，即它们都具有两种运算：一种是两个元素之间的加法运算；另一种运算是数与元素之间的数乘运算，且满足八条规律。
我们撇开这些对象的具体含义，加以抽象化，得到线性空间的概念。
定义2 设P 是一个数域，V 是一个非空集合，如果1. V 中元素具有可加性 对任意V ∈βα,，在V 中总存在唯一元素γ与它们对应，γ称为α与β的和，记作βαγ+=，并且对任意V ∈γβα,,满足：（1）交换律 αββα+=+（2）结合律 )()(γβαγβα++=++（3）在V 中存在零元素0，使对任意V ∈α，都有αα=+0；（4）对任意V ∈α，存在V 中的元素β，使得0=+βα（β称为α的负元素，记为－α）；2. V 中元素与数域P 中的数具有可乘性 对任意P k ∈和任意V ∈α，在V 中总存在唯一元素δ与之对应，δ称为数k 与α的数量乘法（简称数乘），记为αδk =，并且对任意P l k ∈,，任意V ∈α，满足（5）αα=1；（6）结合律 αα)()(kl l k =；（7）左分配律 αααl k l k +=+)(；（8）右分配律 βαβαk k k +=+)(；则称非空集合V 为数域P 上的一个线性空间。
矩阵理论课件 第一章 线性空间与线性变换
x x1 x2 x y1 y2
k1
xn
k2
kn
k1 t1
k2
A
t2kn tn t1 源自ynt2x1
x2
t1
xn
A
t2
tn
tn
不同基之间过渡矩阵的求法：
已知两组基 (I )x1, x2 , , xn ( II ) y1, y2 , , yn
基 (III )到基 (I ) 的过渡矩阵 C1 为：
1 1 1 1
C1
0 0
1 0
1 1
1 1
0 0 0 1
基 (III )到基 (II )的过渡矩阵 C2 为：
1 0 1 1
C2
0 1
1 1
1 1
1
0
1 1 0 1
则由基 (I ) 到基 (II ) 的过渡矩阵 C 为：
1 1 1 11 1 0 1 1
③求V1 的V基2 与维数。
分析： 设V的两个子空间为
求 x1, x2, , xm , y1, y2, , yn
的最大无关组： 的基。
V1
V2
V1 L( x1, x2 , , xm ) V2 L( y1, y2 , , yn )
解： ⑴先将 V表1 示成生成子空间 x1 x2 x3 x4 0 的基础解系为
k1x1 k2 x2 kn xn 构成的集合形成V 的一个子空间，称之为由该向量组生 成的子空间。记为 W L( x1, x2 , , xn )
定义3 （子空间的和）
设 W1,W2 是 V L(P) 的两个子空间，称集合
W W1 W2 x y x W1, y W2
为子空间 W1 和 W2 的和。
矩阵理论与线性空间的关系
矩阵理论与线性空间的关系矩阵理论和线性空间是线性代数中两个重要的概念。
矩阵理论是研究矩阵的性质和运算规律的数学分支，而线性空间则是研究向量空间的性质和结构的数学概念。
尽管它们是不同的概念，但是它们之间存在着密切的联系和相互依存的关系。
首先，矩阵可以看作是线性空间中的一个重要工具。
线性空间是指具有加法运算和数乘运算的集合，并满足一定的运算规则。
矩阵可以表示线性空间中的向量，它们可以进行加法和数乘运算。
通过矩阵的运算，我们可以更方便地进行线性空间的计算和推导。
例如，通过矩阵的加法和数乘运算，我们可以求解线性方程组，计算线性变换的复合等。
其次，线性空间的概念也为矩阵理论提供了基础。
线性空间中的向量可以表示为矩阵的形式，而线性空间的运算规则也可以通过矩阵的运算来描述。
例如，线性空间中的向量可以表示为一个列向量或行向量，而向量的加法和数乘运算可以通过矩阵的加法和数乘运算来实现。
线性空间的基和维度也可以通过矩阵的秩和特征值来描述。
此外，矩阵理论和线性空间的关系还体现在矩阵的特殊性质和线性空间的结构之间的联系上。
例如，矩阵的秩可以表示线性空间的维度，矩阵的特征值可以表示线性空间的基等。
矩阵的特征向量和特征值可以用来描述线性变换的特征和性质，而线性变换又是线性空间的重要内容之一。
通过矩阵理论，我们可以更好地理解线性空间的结构和性质。
最后，矩阵理论和线性空间的关系还体现在它们在实际问题中的应用上。
矩阵理论和线性空间的概念和方法广泛应用于数学、物理、工程等领域。
例如，在图像处理中，矩阵可以用来表示图像，而线性空间的概念和方法可以用来处理图像的特征提取、图像压缩等问题。
在机器学习和数据分析中，矩阵和线性空间的理论也被广泛应用于数据降维、聚类分析等问题。
综上所述，矩阵理论和线性空间是线性代数中两个重要的概念。
它们之间存在着密切的联系和相互依存的关系。
矩阵可以看作是线性空间中的一个重要工具，而线性空间的概念和方法也为矩阵理论提供了基础。
矩阵论第一章线性空间和线性变换
∃x∈R, x ∉ R
（采用这种观点来读数学，你不觉得别有情致吗？）每一种作用都有 其特性，因而每种运算都有它所服从的规律——运算律，所以在定义 运算时，需要讨论或说明它的运算律。
既然如此，是否有某种方式来描述我们的物质世界呢？就宏观现 象而论，涉及到各式各样的物质，自然的作用使物质产生互变，而且 我们认为物质世界是“完备”的，这句话意味着人类的向往，例如“点 石成金”等这类愿望。从这些粗糙的认识出发，我们来探讨描述它的
§6.1 K 积……………………………………………………（258） §6.2 拉伸算子Vec ……………………………………………（264）
§6.3 几个常见的矩阵方程…………………………………（271） 参考目录……………………………………………………………（275）
第一章 线性空间和线性变换
§1.1 引言
12121212nnnnnxxyyxxyyxyfxyxyxy?????12????????????????????????????????定义数乘12nnnxxaxaxafxfaxaxax??????????????????????????????容易验证这些运算满足公理系的要求nff是线性空间
目录
第二章 特征值和特征向量………………………………………（86） §2.1 引言………………………………………………………（86） §2.2 特征值、特征多项式和最小多项式……………………（87） §2.3 特征矢量和特征子空间………………………………（103） §2.4 约当标准型……………………………………………（113） §2.5 特征值的分布…………………………………………（128） §2.6 几个例子………………………………………………（138）
矩阵论小结
矩阵论线性空间定义：本质是个集合，满足一定条件下的集合。
首先定义了加法运算（满足加法的交换结合律），在这个集合中能找到零元素，与负元素；然后定义数乘运算（数域上的元素与集合当中的元素相乘），并且满足数乘的分配，结合律（集合中的元素能否进行乘法运算并没有定义）。
最后指出，这些运算都是封闭的，运算的结果与集合中的元素唯一对应。
称这样的一个集合为线性空间。
注意：运算结果与集合中的元素对应。
例如0*a=0（此零非彼零，不是数域里的零，而是线性空间当中的零，即集合当中的零元素<很可能不是零>）核空间：矩阵A对应于齐次线性方程组Ax=0的解空间。
子空间：线性空间对应集合的一个子集，并且也满足线性空间的定义的一个子集。
其中，零空间，与线性空间本身构成平凡子空间，还存在的其他子空间构成非平凡子空间。
矩阵A的核空间就是他的一个子空间，相当于对矩阵A构成的空间中的元素进行了限定。
矩阵A的列向量的线性组合构成了矩阵A的值域空间（其中的基为最大无关组的个数）。
注意：子空间交，与子空间的和任然为子空间，但子空间的并集不一定再是子空间。
属于两个子空间的线性无关的两个基的并基构成新的元素，但是这个元素不在属于原来的两个子空间的任意一个。
子空间中的几个等价定义：（1）直和定义为V1与V2的交空间只包含零元素（不一定是数字零），构成零子空间（2）直和空间中的元素表达式唯一。
（3）V1的基于V2的基直接构成直和空间的基。
（4）和空间的维度等于V1与V2维度的和。
线性映射性质：（1）V1的零元素经过线性映射变为V2的零元素（2）线性相关组经过线性映射之后任然为线性相关（3）线性无关组经过单射线性映射后任然为线性无关同构：两个线性空间之间存在一个一一对应的线性变换，则称这两个矩阵是同构的。
相应的线性变换称为同构映射。
任一线性空间都能够找到一个数域向量与其同构，这个向量就是坐标。
线性变换T的秩，线性映射的坐标表示：T表示线性空间到线性空间的映射，在具体的基底下（两个线性空间基都确定的情况），可以由一个矩阵A表示T，为V到V‘的线性映射。
#研究生矩阵论第1讲 线性空间
矩阵论1、意义随着科学技术的发展，古典的线性代数知识己不能满足现代科技的需要，矩阵的理论和方法业巳成为现代科技领域必不可少的工具．有人认为：“科学计算实质就是矩阵的计算”．这句话概括了矩阵理论和方法的重要性及其使用的广泛性．因此，学习和掌握矩阵的基本理论和方法，对于理、工科研究生来说是必不可少的数学工具．2、内容《矩阵论》和工科《线性代数》课程在研究矩阵的内容上有较大的差异：线性代数：研究行列式、矩阵的四则运算(加、减、乘、求逆 ) 以及第一类初等变换 (非正交的)、对角标准形 (含二次型) 以及n阶线性方程组的解等基本内容．矩阵论：研究矩阵的几何理论(线性空间、线性算子、内积空间等)、第二和第三类初等变换(正交的)、分析运算(矩阵微积分和级数)、矩阵的范数和条件数、广义逆和分解、若尔当标准形以及几类特殊矩阵和特殊运算等,内容十分丰富．3、方法在研究的方法上，矩阵论和线性代数也有很大的不同：线性代数：引入概念直观，着重计算．矩阵论：着重从几何理论的角度引入矩阵的许多概念和运算，把矩阵看成是线性空间上线性算子的一种数量表示．深刻理解它们对将来正确处理实际问题有很大的作用．第1讲 线性空间内容： 1.线性空间的概念；2.基变换和坐标变换；3.子空间和维数定理；4.线性空间的同构线性空间和线性变换是矩阵分析中经常用到的两个极其重要的概念，也是通常几何空间概念的推广和抽象，线性空间是某类客观事物从量的方面的一个抽象．§1 线性空间的概念1. 群，环，域代数学是用符号代替数（或其它）来研究数（或其它）的运算性质和规律的学科，简称代数．代数运算：假定对于集A 中的任意元素a 和集B 中的任意元素b ，按某一法则和集C 中唯一确定的元素c 对应，则称这个对应为A 、B 的一个（二元）代数运算．代数系统：指一个集A 满足某些代数运算的系统．1.1群定义1.1 设V 是一个非空集合，在集合V 的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法，记为“+”．即，对V 中给定的一个法则，对于V 中任意元素βα,，在V 中都有惟一的一个元ν和他们对应，称ν为βα,的和，记为βαν+=．若在“+”下，满足下列四个条件，则称V 为一个群．1）V 在“+”下是封闭的．即，若,,V ∈βα有 V ∈+βα；2) V 在“+”下是可结合的．即，)()(γβαγβα++=++ ，V ∈γ；3）在V 中有一个元e ，若,V ∈β有 βββ=+=+e e ；e 称为单位元；4）对于,V ∈β有 e =+=+αββα．称α为β的逆元．注：对V 任意元素βα,，都有αββα+=+，则称V 为交换群或阿贝尔群．1.2 环定义1.2 设V 是一个非空集合，在集合V 的元素之间定义了两种代数运算，分别叫做加法、乘法，记为“+”和“*”．即，对V 中给定的一个法则，对于V 中任意元素α,β，在V 中都有惟一的一个元ν和他们对应，称ν为α,β的和和积，记为βαν+=（βαν*=）．满足下列三个条件，则称V 为一个环． 1）V 在“+”下是阿贝尔群；2) V 在“*”下是可结合的．即，)()(νβανβα**=**；3）乘法对加法满足左、右分配律，即对于V 中任意元素α，β，ν，有 βνανβαν**)(*+=+，νβνανβα*+*=*+)(．注：对V 任意元素βα,，都有αββα*=*，则称V 为交换环．1.3 域定义 1.3 设V 满足环的条件，且在对“加法”群中去除单位元的集合对于“乘法”满足交换群的条件，则称V 为域．例：有理数集对于通常的数的加法和乘法运算构成域，称之为有理数域．最常见的数域有有理数域Q 、实数域R 、复数域C ．实数域和复数域是工程上较常用的两个数域．此外，还有其它很多数域.如{}.,2)2(Q b a b a Q ∈+=，不难验证，)2(Q 对实数四则运算封闭的，所以)2(Q 也是一个数域.而整数集合Z 就不是数域. 数域有一个简单性质，即所有的数域都包含有理数域作为它的一部分．特别，每个数域都包含整数0和1． 2. 线性空间定义 1.4 设V 是一个非空集合，P 是一个数域．在集合V 的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法，记为“+”：即，给出了一个法则对于V 中任意元素βα,，在V 中都有惟一的一个元ν和他们对应，称ν为βα,的和，记为βαν+=．在数域P 和集合V 的元素之间还定义了一种代数运算，称为数量乘法（数乘），记为“∙”：即，对于数域P 中任一数k 和V 中任一元α，在V 中都有惟一的一个元δ和它们对应，称δ为k 和α的数乘，记为αδ∙=k ．如果加法和数乘这两种运算在V 中是封闭的，且满足如下八条规则：⑴ 交换律αββα+=+；⑵ 结合律)()(γβαγβα++=++ ，V ∈γ；⑶ V V ∈∃∈∀0,α，有αα=+0，（0称为零元素）；⑷ V V ∈∃∈∀βα,，有 0=+βα，（β称为的α负元素，记为α-）； ⑸ P V ∈∈∀1,α，有 αα=∙1；⑹ αα∙=∙∙)()(kl l k ，P l k ∈,；⑺ ααα∙+∙=∙+l k l k )(；⑻ βαβα∙+∙=+∙k k k )(，则称集合V 为数域P 上的线性空间.当数域P 为实数域时，V 就称为实线性空间；P 为复数域，V 就称为复线性空间．例 1.按通常向量的加法和数乘运算，由全体实n 维向量组成的集合，在实数域R 上构成一个实线性空间，记为n R ；由全体复n 维向量组成的集合，在复数域C 上构成—个复线性空间，记为n C ．例 2.按照矩阵的加法及数和矩阵的乘法，由数域P 上的元素构成的全体n m ⨯矩阵所成的集合，在数域P 上构成一个线性空间，记为n m P ⨯．而其中秩为)0(>r r 的全体矩阵所成的集合rR 则不构成线性空间，为什么？（事实上，零矩阵r R O ∉）．例3.按通常意义的函数加法和数乘函数，闭区间[]b a ,上的连续函数的全体所成的集合，构成线性空间[]b a C ,．例4. 设+R ＝{全体正实数}，其“加法”及“数乘”运算定义为xy y x =+, k x x k = 。
矩阵论学习-(线性空间与线性变换)
ka1 ,
kb1 +
k( k 2
1 ) a21
ka2 ,
kb2
+
k(
k2
1)
a22
=
ka1
+
ka2 ,
kb1
+
kb2
+
k( k 2
1) (
a21
+
a22 )
+
k2 (
a1 a2 )
.
4
矩 阵 论 学 习 辅 导 与 典型 题 解 析
故有 k⊙ ( α β) = ( k⊙α) ( k⊙β) , 即八条运算法则皆成立 , V 在实域 R 上构
第一章 线性空间与线性变换
线性空间是某一类事物从量方面的一个数学抽象, 线性变换则是反映线性空 间元素之间最基本的线性函数关系 , 它们是研究线性代数的理论基础 .理解本章的 主要概念 , 掌握基本定理、结论和方法 , 对学好矩阵论起着关键的作用 .
§1 .1 线性空间 , 基、维数及坐标
一、线性空间与子空间
mn
mn
mn
∑ ∑ ( aij + bij ) = ∑∑ aij + ∑ ∑ bij = 0
i = 1j = 1
i = 1j = 1
i = 1j = 1
即有 A + B∈ W4 , 同样由于 kA = ( kaij ) m × n ,
mn
mn
∑∑ kaij = k∑∑ aij = k0 = 0
i = 1j = 1
i = 1j = 1
即有 kA∈ W4 .加法运算和数乘运算封闭 , 故 W4 是一个子空间 .
⑥ ( kl ) ⊙α=
研究生矩阵论第1讲 线性空间
矩阵论1、意义随着科学技术的发展，古典的线性代数知识己不能满足现代科技的需要，矩阵的理论和方法业巳成为现代科技领域必不可少的工具．有人认为：“科学计算实质就是矩阵的计算”．这句话概括了矩阵理论和方法的重要性及其使用的广泛性．因此，学习和掌握矩阵的基本理论和方法，对于理、工科研究生来说是必不可少的数学工具．2、内容《矩阵论》和工科《线性代数》课程在研究矩阵的内容上有较大的差异：线性代数：研究行列式、矩阵的四则运算(加、减、乘、求逆 ) 以及第一类初等变换 (非正交的)、对角标准形 (含二次型) 以及n阶线性方程组的解等基本内容．矩阵论：研究矩阵的几何理论(线性空间、线性算子、内积空间等)、第二和第三类初等变换(正交的)、分析运算(矩阵微积分和级数)、矩阵的范数和条件数、广义逆和分解、若尔当标准形以及几类特殊矩阵和特殊运算等,内容十分丰富．3、方法在研究的方法上，矩阵论和线性代数也有很大的不同：线性代数：引入概念直观，着重计算．矩阵论：着重从几何理论的角度引入矩阵的许多概念和运算，把矩阵看成是线性空间上线性算子的一种数量表示．深刻理解它们对将来正确处理实际问题有很大的作用．第1讲 线性空间内容： 1.线性空间的概念；2.基变换和坐标变换；3.子空间和维数定理；4.线性空间的同构线性空间和线性变换是矩阵分析中经常用到的两个极其重要的概念，也是通常几何空间概念的推广和抽象，线性空间是某类客观事物从量的方面的一个抽象．§1 线性空间的概念1. 群，环，域代数学是用符号代替数（或其它）来研究数（或其它）的运算性质和规律的学科，简称代数．代数运算：假定对于集A 中的任意元素a 和集B 中的任意元素b ，按某一法则和集C 中唯一确定的元素c 对应，则称这个对应为A 、B 的一个（二元）代数运算．代数系统：指一个集A 满足某些代数运算的系统．1.1群定义1.1 设V 是一个非空集合，在集合V 的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法，记为“+”．即，对V 中给定的一个法则，对于V 中任意元素βα,，在V 中都有惟一的一个元ν和他们对应，称ν为βα,的和，记为βαν+=．若在“+”下，满足下列四个条件，则称V 为一个群．1）V 在“+”下是封闭的．即，若,,V ∈βα有 V ∈+βα；2) V 在“+”下是可结合的．即，)()(γβαγβα++=++ ，V ∈γ；3）在V 中有一个元e ，若,V ∈β有 βββ=+=+e e ；e 称为单位元；4）对于,V ∈β有 e =+=+αββα．称α为β的逆元．注：对V 任意元素βα,，都有αββα+=+，则称V 为交换群或阿贝尔群．1.2 环定义1.2 设V 是一个非空集合，在集合V 的元素之间定义了两种代数运算，分别叫做加法、乘法，记为“+”和“*”．即，对V 中给定的一个法则，对于V 中任意元素α,β，在V 中都有惟一的一个元ν和他们对应，称ν为α,β的和和积，记为βαν+=（βαν*=）．满足下列三个条件，则称V 为一个环． 1）V 在“+”下是阿贝尔群；2) V 在“*”下是可结合的．即，)()(νβανβα**=**；3）乘法对加法满足左、右分配律，即对于V 中任意元素α，β，ν，有 βνανβαν**)(*+=+，νβνανβα*+*=*+)(．注：对V 任意元素βα,，都有αββα*=*，则称V 为交换环．1.3 域定义 1.3 设V 满足环的条件，且在对“加法”群中去除单位元的集合对于“乘法”满足交换群的条件，则称V 为域．例：有理数集对于通常的数的加法和乘法运算构成域，称之为有理数域．最常见的数域有有理数域Q 、实数域R 、复数域C ．实数域和复数域是工程上较常用的两个数域．此外，还有其它很多数域.如{}.,2)2(Q b a b a Q ∈+=，不难验证，)2(Q 对实数四则运算封闭的，所以)2(Q 也是一个数域.而整数集合Z 就不是数域. 数域有一个简单性质，即所有的数域都包含有理数域作为它的一部分．特别，每个数域都包含整数0和1． 2. 线性空间定义 1.4 设V 是一个非空集合，P 是一个数域．在集合V 的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法，记为“+”：即，给出了一个法则对于V 中任意元素βα,，在V 中都有惟一的一个元ν和他们对应，称ν为βα,的和，记为βαν+=．在数域P 和集合V 的元素之间还定义了一种代数运算，称为数量乘法（数乘），记为“∙”：即，对于数域P 中任一数k 和V 中任一元α，在V 中都有惟一的一个元δ和它们对应，称δ为k 和α的数乘，记为αδ∙=k ．如果加法和数乘这两种运算在V 中是封闭的，且满足如下八条规则：⑴ 交换律αββα+=+；⑵ 结合律)()(γβαγβα++=++ ，V ∈γ；⑶ V V ∈∃∈∀0,α，有αα=+0，（0称为零元素）；⑷ V V ∈∃∈∀βα,，有 0=+βα，（β称为的α负元素，记为α-）； ⑸ P V ∈∈∀1,α，有 αα=∙1；⑹ αα∙=∙∙)()(kl l k ，P l k ∈,；⑺ ααα∙+∙=∙+l k l k )(；⑻ βαβα∙+∙=+∙k k k )(，则称集合V 为数域P 上的线性空间.当数域P 为实数域时，V 就称为实线性空间；P 为复数域，V 就称为复线性空间．例 1.按通常向量的加法和数乘运算，由全体实n 维向量组成的集合，在实数域R 上构成一个实线性空间，记为n R ；由全体复n 维向量组成的集合，在复数域C 上构成—个复线性空间，记为n C ．例 2.按照矩阵的加法及数和矩阵的乘法，由数域P 上的元素构成的全体n m ⨯矩阵所成的集合，在数域P 上构成一个线性空间，记为n m P ⨯．而其中秩为)0(>r r 的全体矩阵所成的集合rR 则不构成线性空间，为什么？（事实上，零矩阵r R O ∉）．例3.按通常意义的函数加法和数乘函数，闭区间[]b a ,上的连续函数的全体所成的集合，构成线性空间[]b a C ,．例4. 设+R ＝{全体正实数}，其“加法”及“数乘”运算定义为xy y x =+, k x x k = 。
矩阵论复习
可求出 A(λ ) 的行列式因子 （3）将矩阵 A(λ )的不变因子 d 1 (λ ), d 2 (λ ),L , d r (λ ) 分解成 一次因式的幂： 一次因式的幂：
(λ − λ1 ) n1 , (λ − λ 2 ) n2 ,L , (λ − λ s ) ns
可求出 A(λ ) 的初等因子
4.Jordan标准形的求法 标准形的求法 4. （1）求矩阵 A 的初等因子
& & & C n = V λ1 + V λ 2 + L + V λ r
（3） A 的每一个特征值的几何重数等于代数重数. 的每一个特征值的几何重数等于代数重数. 的一维不变子空间的直和. （4） C n 可以分解成 A 的一维不变子空间的直和 的初等因子都是一次式. （5）A的初等因子都是一次式 的初等因子都是一次式 的最小多项式m(λ)没有重零点 没有重零点. （6）A的最小多项式 的最小多项式 没有重零点
即 A (ε 1 , ε 2 , L , ε n ) = (ε 1 , ε 2 , L , ε n ) A .
4.线性变换的值域与核 4.线性变换的值域与核 维线性空间V上的线性变换 ε 上的线性变换， 设A 是 n 维线性空间 上的线性变换，1 , ε 2 ,L , ε n 是 V 的一组基， 的一组基，A 在这组基下的矩阵是 A，则 ， （1）A 的核为Ker ( A ) = {α ∈ V | A (α ) = 0}; （2）A 的值域为R( A ) = { A (α ) | α ∈ V };
α = x 1ε 1 + x 2 ε 2 + L + x n ε n .
2.线性子空间 2.线性子空间 是线性空间， 是 的非空子集， （1）设V是线性空间，W是V 的非空子集，则W是V 的 是线性空间 是 子空间的充分必要条件是
矩阵论_第一章_线性空间和线性映射
（3） 零元素 在 V 中存在一个元素 0 ，使得对 于任意的 V 都有
0
（4） 负元素 对于 V 中的任意元素 都存 在一个元素 使得
0
1
则称 是 的 负元素. （ 5） 数 1
（ 6）
（ 7）
k (l ) (kl ) (k l ) k l
[a1 , a2 , a3 , ] [b1, b2 , b3 , ] [a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 , ] k[a1, a2 , a3 , ] [ka1, ka2 , ka3 , ]
则
R
为实数域
R上的一个线性空间。
二 线性空间的基本概念及其性质
于是可得
1 2 0 1 1 0 3 4 x1 1 1 x2 1 1 1 1 1 1 x3 x4 0 1 1 0
解得
7 4 1 2 x1 , x2 , x3 , x4 3 3 3 3
称 n 阶方阵
a1n a22 a2 n an 2 ann a12
a11 a12 a a22 21 P a n1 a n 2
a1n a2 n ann
是由旧的基底到新的基底的过渡矩阵，那么上式可 以写成
1
x1 1 x 1 2 x3 1 x4 4
第三节 线性空间的子空间
定义 设
V 为数域 F 上的一个 n 维线性空间，
W 为 V 的一个非空子集合，如果对于任意的 , W 以及任意的 k , l F 都有
与向量组
1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 , 0 0 , 1 0 , 1 1
矩阵论学习复习资料
x V = X = 1 x 3
x 2 x1 − x 4 = 0 x − x = 0, x4 2 3
5. 设 V1, V2 分别是
V1 = {(x1, x2 L, x2 ) x1 + x2 +L+ xn = 0, xi ∈K} V2 = {(x1, x2 L, x2 ) xi − xi+1 = 0, xi ∈K}
6. 求下列矩阵的 求下列矩阵的Jordan标准形 标准形
1 0 3 1 −1 1 − 4 −1 0 A = − 3 − 3 3 , B = 7 1 2 − 2 − 2 2 − 7 − 6 −1
7. 求下列矩阵的最小多项式
a O −1 − 2 6 a A = −1 0 3, B = b −1 −1 3 N b
0 0 1 0
b N b a O a
8.设A 是一个 阶方阵，其特征多项式为 设 是一个6阶方阵 阶方阵， 最小多项式为m ƒ(λ)=(λ+2)2(λ-1)4, 最小多项式为 A(λ)=(λ+2)(λ-1)3, λ 求出A的若当标准形 求出 的若当标准形. 的若当标准形 9.对于 阶方阵 ，如果使 m=O成立的最小正整数 对于n 阶方阵A，如果使A 对于 成立的最小正整数 为m，则称 是m次幂零矩阵，证明所有 阶n-1次幂 次幂零矩阵， ，则称A是 次幂零矩阵 证明所有n阶 次幂 零矩阵彼此相似，并求其若当标准形 零矩阵彼此相似，并求其若当标准形. 10. 如果λ1,λ2,…, λs是A 的特征值，则Ak的特征值只能 的特征值， …
矩阵论复习 一. 线性空间 1. 线性空间的概念 2. 线性空间的基，维数与坐标（基变换与与坐 线性空间的基，维数与坐标（ 标变换） 标变换） 3. 线性子空间的概念与运算 (1)定义 (2) 运算（交与和，直和） 定义 运算（交与和，直和）
01_矩阵论_第一章线性空间与线性变换
则有
1 0 0 1 0 0 0 0 A a11 0 0 a12 0 0 a21 1 0 a22 0 1
因此 R22 中任何一个向量都可写成向量组
1 0 0 1 0 0 0 0 E11 0 0 , E12 0 0 , E21 1 0 , E22 0 1
Pn [ x] { ai xi | ai R}
i 0 n 1
在通常多项式加法和数乘多项式运算下构成线性 空间 Pn[x]。 值得指出的是次数等于 n 1 的多项式集合
V { ai x | ai R, an1 0}
i i [a, b] = {f (x) | f (x) 是区间 [a, b] 上 实连续函数 } ，对于函数的加法与数乘运算构成 实数域上的线性空间。
定义 1.3 设 1, 2, …, n 是线性空间 Vn(F) 的一组基，若 V,
xi i (1 2
i 1 n
x1 x2 n ) x n
(1.1)
则称数 x1, x2, …, xn 是 在基 {1, 2, …, n} 下 的坐标，(1.1) 式中向量 (x1, x2, …, xn)T 为 的坐 标向量，也简称为坐标。
从上述线性空间例子中可以看到，许多常见 的研究对象都可以在线性空间中作为向量来研究。 另外应理解加法和数乘分别是 V 中的一个二元运 算和数域 F 和 V 中元素间的运算，要求运算满足 定义 1.1 中的八条性质，它们已不再局限在数的 加法、乘法的概念中。
一个数学例子 取集合为正实数集合 R+，F 为实数域 R，加 法“”和数乘“”如下定义 ：a, bR+，ab = ab， ：kR(i.e. F )，aR+，k a = ak。 在此运算下，R+ 是 R 上的一个线性空间，其中 加法零元素是 R+ 中的数 1，R+ 中元素 a 的负元素 是 a1。
矩阵理论第一章线性空间与线性变换精品PPT课件
(A1) 加法交换律： ， (A2) 加法结合律：( ) ( )，
(A3) 具有加法单位元（零向量） V ，使得
(A4) 具有加法逆元（负向量） V
( )
，使得
(M1) 数乘的结合律：k(l ) (kl)
例3 闭区间 [a,b]上的所有实值连续函数按通常函
数的加法和数与函数的乘法，构成线性空间 C[a, b]
例4 次数不超过 n 的所有实系数多项式按通常多项
式加法和数与多项式的乘法，构成线性空间 P[ x]n
例5 所有收敛的实数数列按数列极限的加法和数乘，
构成线性空间
。l
例6 齐次线性方程组 Ax 的所有解的集合构成数 域 R 上的线性空间 N ( A) ，称为 Ax 的解空间，
或矩阵 的A核空间或零空间，即
N ( A) { x Rn | Ax , A Rmn}
Ker( A)
例7 所有矩阵向量积 Ax 的集合构成数域 R 上的
线性空间 R( A) ， 称为矩阵 A 的列空间或值域， 也称为矩阵 A 的像 ， 即
R( A) { y Rm | y Ax, x Rn, A Rmn}
(M2) 数乘的单位元：1 (D1) 分配律1: k( ) k k (D2) 分配律2:(k l) k l
注意：这里我们不再关心元素的特定属性，而 且我们也不用关心这些线性运算（加法和数乘） 的具体形式。
例2 所有 m n 阶的实（复）矩阵按矩阵的加法和
数乘，构成线性空间 Rmn (C mn ) 。
中，直觉和抽象是交互为用的。”（汤川秀树，1949 年诺贝尔物理奖获得者）。
几何方法与代数方法的融和是数学自身的需要和数 学统一性的体现，也是处理工程问题的有力手段。
矩阵论_线性空间和线性映射课件.ppt
AX 0 有无穷多解时，其解空间的基底即为其基础
解系；解空间的维数即为基础解系所含向量的个数。
例3
设 1,2 ,
,
为
s
n
维线性空间
V
中的
一组向量，那么非空子集合
span1,2, ,s
k11 k22 kss ki F
构成线性空间 V 的一个子空间，称此子空间为有限生 成子空间，称 1,2 , ,s 为该子空间的生成元。
δ(f(t))=f’(t) 为S到S的变换。 ❖ 例3：S为平方可积函数构成的集合，则傅里叶变换：
F ( f )() f (t)e jtdt
为S到S上的一个变换。
线性空间的定义
定义：设 V 是一个非空的集合，F 是一个数域，在集合 V 中定 义两种代数运算, 一种是加法运算，用 + 来表示，另一种是 数乘运算, 用 ∙ 来表示, 并且这两种运算满足下列八条运算律：
都是线性相关的函数组。
线性空间的基底与维数
定义：设 V 性无关的向量 1,2,,n ，使得 V 中的任意一个向量 都可以由 1,2,,n 线性 表出:
k11 k22 knn
则称 1,2, ,n 为 V 的一个基底；(k1, k2, , kn )T 为 向量 在基底 1,2,,n 下的坐标。此时我们称 V 为一个 n 维线性空间，记为 dimV=n。
an 2 收敛
n 1
线性空间的基本概念及其性质
基本概念：线性组合；线性表示；线性相关；线性无关； 向量组的极大线性无关组；向量组的秩。
❖ 基本性质：
（1）含有零向量的向量组一定线性相关； （2）整体无关则部分无关；部分相关则整体相关； （3）如果含有向量多的向量组可以由含有向量少的向量
矩阵论—线性空间
二、基、维数与坐标
1.线性相关性
线性空间中相关性概念与线性代数中向量组线性相关性 概念类似。 •线性组合： 1 , 2 L m V , c 1 , c 2 L c m K
c 1 1 c 2 2 L c m m @ c 称为元素组 i i
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过渡矩阵A 的性质：
A为非奇异矩阵
A 的第i 列是β i 在基{εi }下的坐标
因此在处理一些问题是时，如何选择适当的基使 我们所讨论的向量的坐标比较简单是一个实际的 问题．
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2. 坐标变换
( 1 , 2 , , n ) x1 x2 ( , , , ) X 1 2 n xn
矩 阵 论
数学科学学院 陈建华
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§0.1 线性空间
• • • • • • 线性空间的定义 基、维数与坐标 基变换与坐标变换 线性子空间 子空间的交与和 子空间的直和
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一. 线性空间的定义
设集合 V≠ ，F 是数域，称 空间，如果 1) 2)
, V ＋ V V, a F
（2） V（F）中任何元素的负元素是惟一的。
（3）数零和零元素的性质： 0 =0，k 0=0，k =0 =0 或k=0 （4） =（1） 数0
向量0
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证明： 任一元素的负元素也是唯一的。假设对V 中元素 x，存 在两个负元素 y 和 z ，则根据负元律有
矩阵论 第一章 线性空间
σ :A→B
表示。
如果通过映射 σ ，与A中元素 x 对应的
B中元素是 y ，则记作
σ : x y 或 y = σ (x) 14
第一章 线性空间
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y 叫做元素 x 在 σ 下的象，
x 叫做 y 在σ 下的原象。
A在σ 下的象的集合记作
10
第一章 线性空间
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☆ 空集：不含任何元素的集合，记为φ．
注意：｛φ｝≠φ 2、集合间的关系
约定：空集是任 意集合的子集合.
☆ 如果B中的每一个元素都是A中的元素，则称B是 A的子集，记作 B ⊆ A ，（读作B包含于A）
B ⊆ A当且仅当 ∀x∈B ⇒ x∈ A
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
☆ 如果A、B两集合含有完全相同的元素，则称 A与 B相等，记作A＝B .
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1）M＝｛a，b，c｝、M´＝｛1,2，3｝
σ：σ(a)＝1，σ(b)＝1，σ(c)＝2
（既不单射， 也不是满射）
τ：τ(a)＝3，τ(b)＝2，τ(c)＝1 （双射）
2）M=Z，M´＝Z＋， τ：τ(n)＝|n|＋1, ∀n ∈ Z （是满射，但不是单射） 3）M＝ Pn×n ，M´＝P，（P为数域）
σ (A) = {σ (x) x ∈ A}
某个集合A到自身的映射也称为A的 一个变换。
15
问题：
第一章 线性空间
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1。映射与大学中的函数有什么区别联系？
映射
函数
σ :A→B xy
y = f (x)
2。对应于函数，象集是什么？
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V
是向量，V 是 F 上的向量
(向量加法)； (数量乘法)
a V
（统称为运算封闭性） ，且满足算律： ① ② ③ ④
＋ ＋
；
⑤ ⑥ ⑦ ⑧
(ab )α a(b α )
1
；
( ＋ )＋ ＋ ( ＋ ) ；
； ； .
0 V , V , 0
• 向量的线性相关与线性无关： –定义形式和向量空间Rn中的定义一样。 –有关性质与定理和Rn中的结果一样。 例2 证明：C[0，1]空间中的向量组{ex，e2x，e3x }，x[0，1] 线性无关。
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• 例3 设R22 中向量组{ Ai }
1 A 1 1 1 0 A2 2 1 2 3 3 A3 0 1 2 A4 1 3
（2） V（F）中任何元素的负元素是惟一的。
（3）数零和零元素的性质： 0 =0，k 0=0，k =0 =0 或k=0 （4） =（1） 数0
向量0
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证明： 任一元素的负元素也是唯一的。假设对V 中元素 x，存 在两个负元素 y 和 z ，则根据负元律有
例6
已知空间R2×2 中两组基（I）{ Eij }
1 0 , A2 = 0 1 1 0 , A3 = 0 3 0 A4 = 1 0 0 0 3
2 （II）A1 = 0
1. 求从基（I）到基（II）的过渡矩阵A 。
7 2. 求向量 B = 1 3 在基（II）的坐标 Y 。 2
P V
a
直观模型
a
l
注意
8条算律中运算的意义， 要从习惯认识的束缚中解脱出来。
常见的线性空间 1.几何向量空间 ( R n ,+ , ,R )
2.矩阵空间
3.多项式空间
(P
mn
,+ ,,P )
( P [ x ],+ ,,P ) ( C ,+ ,,R )
4.复数域空间 6.正实数空间
矩 阵 论
数学科学学院 陈建华
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§0.1 线性空间
• • • • • • 线性空间的定义 基、维数与坐标 基变换与坐标变换 线性子空间 子空间的交与和 子空间的直和
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一. 线性空间的定义
设集合 V≠ ，F 是数域，称 空间，如果 1) 2)
, V ＋ V V, a F
4 7
1.讨论{Ai}的线性相关性; 2.求向量组的秩和极大线性无关组; 3.把其余的向量表示成极大线性无关组的线性组合.
2. 线性空间的维数
定义：线性空间中最大线性无关元素组所含元素个数称为的 维数，记为dimV 。 本课程只考虑有限维情况，对于无限维情况不涉及 。 例4. 全体m×n 阶实矩阵的集合构成一个实线性空间（对 于矩阵加法和数对矩阵的数乘运算），求其维数。 Eij(i=1,2, …,m,j=1,2 ,…,n)构成了最大线性无关元素组， 所以该空间的维数为mn。
i1 m
1 , 2 L m
的一个线性组合。 •线性表示： 线性空间V 中某个元素x 可表示为其中某个元素组的线性 组合，则称 x 可由该元素组线性表示。
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• 线性相关 线性无关 极大线性无关组
【线性相关性概念是个非常重要的概 念，有了线性相关性才有下面的线性 空间的维数、基和坐标】
称为V的由 1 , 2 , , r 生成的子空间，记作 L ( 1 , 2 , , r ) ． 称 1 , 2 , , r 为 L ( 1 , 2 , , r ) 的一组 生成元.
n元齐次线性方程组
a11 x1 a12 x 2 a 1 n x n 0 a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n 0 a s 1 x 1 a s 2 x 2 a sn x n 0
实线性 空间
2
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三、基变换与坐标变换
1. 基变换
设 1 , 2 , , n 和 1 , 2 , , n 是n维线性空间V的
两组基向量。它们的关系描述为：
a1 1 a1 2 a1 n a 21 a 22 a 2 n ( 1 , 2 , , n ) ( 1 , 2 , , n ) a n1 a n 2 a nn a1 1 a1 2 a1 n a 21 a 22 a 2 n 称为由 , , , 到 , , , 的 A 1 2 n 1 2 n 过渡矩阵。 a n1 a n 2 a nn
5.连续函数空间 (C [a ,b ],+ ,,R )
( R , , ,R )
+
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例1 证明：( R , , ,R ) 是一个线性空间。
+
特别注意 ：该线性空间的零元及负元。
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注意：
（1）线性空间不能离开某一数域来定义。实际上，对于不同 数域，同一个集合构成的线性空间会不同，甚至一种能成为线 性空间而另一种不能成为线性空间。 （2）两种运算、八条性质。数域P 中的运算是具体的四则运算， 而V 中所定义的加法运算和数乘运算则可以十分抽象。 （3）除了两种运算和八条性质外，还应注意唯一性、封闭性。 唯一性一般较显然，封闭性还需要证明，出现不封闭的情况： 集合小、运算本身就不满足。
(W ) ，若W对于V中两种运算封闭，即
, W , 有 W ; W , k P , 有 k W
则 W 是 V 的一个子空间． 推论：V 为数域 P上的线性空间,
W V (W ), 则
W是V的子空间 , W , a , b P , a b W .
讨论：（1）一般来说，线性空间及其元素是抽象的对象，不同空间的
元素完全可以具有千差万别的类别及性质。但坐标表示却把它们统一了起 来，坐标表示把这种差别留给了基和基元素，由坐标所组成的新向量仅由 数域中的数表示出来。
（2）更进一步，原本抽象的“加法”及 “数乘”经过坐标表示就演化 为向量加法及数对向量的数乘。 （3）显然，同一元素在不同坐标系中的坐标通常是不同的。
则数组
a1 , a 2 , , a n ，就称为 在基 1 , 2 , , n
下的坐标，记为
( a1 , a 2 , , a n ).
有时也形式地记作
( 1 , 2 , , n )
a1 a2 an
注意：
x + y = o＝ x + z y = y + o = y +( x + z) = (y + x) + z = o + z = z [零元律] [结合律] [零元律] 即 y 和 z 相同，故负元素唯一。 ①：设w=0x，则 x+w = 1x+0x = (1+0)x = x，故 w=o [恒等律,幺元] ②：设w=(－1)x，则 x+w = 1x+(－1)x = [1+(－1)]x = 0x = o，故w=－x
3.几类特殊的子空间
（1）P[x]n是P[x]的的线性子空间． （2)生成子空间 定义：V 为数域 P上的线性空间， 1 , 2 , , r V ， 则子空间 W { k 1 1 k 2 2 k r r k i P , i 1, 2 , , r }
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过渡矩阵A 的性质：
A为非奇异矩阵
A 的第i 列是β i 在基{εi }下的坐标
因此在处理一些问题是时，如何选择适当的基使 我们所讨论的向量的坐标比较简单是一个实际的 问题．
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2. 坐标变换
( 1 , 2 , , n ) x1 x2 ( , , , ) X 1 2 n xn
注：零空间的维数定义为0. dimV＝ 0 V＝{0}
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3.线性空间的基与坐标 基
在 n 维线性空间 V 中，n 个线性无关的向量
1 , 2 , , n ，称为 V 的一组基；
坐标
设 1 , 2 , , n 为线性空间 V 的一组基， V , 若 a a a , a ,a , ,a P 1 1 2 2 n n 1 2 n
A
( 1 , 2 , , n )
x1 x2 ( , , , ) X 1 2 n xn
X AX
A 1 X X
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V , V ,
/ /
； ；
a ( ) a a (a b ) a b
0
线性空间概念集中体现了现代数学的两大特征： 集合论的思想（康托儿） 公理化方法（希尔伯特） 它们的相互结合将数学的发展引向高度抽象的道路，并渗 透到数学的各个领域之中，从而进一步揭示了各个数学分 支的内在联系。