第1章 随机事件与概率电子教案

概率论与数理统计
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5．事件的差
定义 “事件A发生而事件B不发生”称为事件A与事件 B的差，记作A-B。事件A与B的差如图1.6中的阴影部分 所示。
图1.6
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1.1.3 事件间的关系和运算
事件之间的关系和运算具有下列性质
(1) 交换律 ABBA； ABBA。
时发生”是不可能事件：ABΦ，则称事件A与B互不相
容(或互斥)。如图1.4所示。
图1.4
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4．互不相容事件与对立事件
定义 如果事件A与事件B必有一个发生且仅有一个发
生，即 ABΩ，ABΦ则称事件A与B互为对立事件。
记作 AB ,读作A为B的对立事件或B为A的对立事件。
(2) 结合律 A(BC )(AB )C； A(BC )(AB)C。 (3) 分配律A(BC)ABAC； A∪(BC)=(A∪B)(A∪C) 。
(4) 摩根法则 ABAB ； ABAB 。
对于n个事件 A i(i1,2,,n)有
A 1A 2 A nA 1A 2 A n
A 1 A 2 A n A 1 A 2 A n
(1) 可以在完全相同的条件下重复进行；
(2) 试验会出现哪些可能的结果在试验前是已知的，但每 次试验究竟会出现哪一个结果在试验前是无法准确预 知的。
在随机试验中，每一个可能出现的不可再分解的最简单 的结果称为随机试验的基本事件或样本点；由全体基 本事件构成的集合称为基本事件空间或样本空间，样 本空间通常用表示。
解 (1)“三次取到合格品”=A1A2 A3 ；
(2)“三次中至少有一次取到合格品”=A1A2A3 ;
(3)“三次中恰有两次取到合格品”A=1 A2 A3 A1A2A3 A1A2A3 ;
(4)“三次中最多有一次取到合格品”A=1 A2 A1A3 A2 A3
。
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由事件的频率的性质可以推想事件的概率也应有相应的 性质：
B表示“零件不合格”，A则B
。
定义 若事件B包含事件A，同时事件A又包含事件B， 则称事件A与事件B相等，记作 AB。
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2.事件的和
定义 “事件A与事件B中至少有一个发生”也是一个 随机事件，称之为事件A与事件B的和(或和事件)，记
作AB
。 A与B的和如图1.2中的阴影部分所示
例3 掷一颗骰子，观察出现的点数。用表示“出现 点”，则为这个试验的全体基本事件。这个随机试验 的样本空间。
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1.1.2 随机事件
特别的，必然事件对应样本空间，不可能事件对应空 集(当然和也是的子集)。本书中用表示必然事件，用 表示不可能事件。
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A的对立事件 A ,如图1.5所示的阴影部分所示。
图1.5
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4．互不相容事件与对立事件
例如掷一颗骰子，设A表示“出现偶数点”，B表示 “出现3点”，C表示“出现奇数点”，则A与B互不 相容，A与C互不相容，而且A与C互为对立事件。但 B与C是相容的。
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1.1.3 事件间的关系和运算
例 从一批产品中每次取出一个产品进行检验(每次取出的产品不
放回)，事件 A i 表示第i次取到合格品。试用事件的运算表示下列
事件；
(1) 三次都取到了合格品；
(2) 三次中至少有一次取到合格品；
(3) 三次中恰有两次取到合格品；
(4) 三次中最多有一次取到合格品。
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1.1.1 随机试验与样本空间
例1 射击环靶的试验，用表示“击中环”，则为这个 试验的全体基本事件，样本空间。
例2 记录某电话总机在一天内接到呼唤的次数，是一 个随机试验。试验结果(接到呼唤的次数)可能值为所 有的非负整数(因为难以规定一个呼唤次数的上界)。 所以样本空间。
第1章 随机事件与概率
1.1 随 机 事 件 1.2 事件的概率 1.3 概率的加法公式 1.4 条件概率与乘法公式 1.5 全概率公式与贝叶斯公式 1.6 事件的独立性与贝努里概型
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1.1.1 随机试验与样本空间
为了研究随机现象，就要进行实验或对随机现象进行观 察。这种实验或观察的过程称为随机试验。概率论里 所研究的随机试验具有下面两个特征：
1.2 事件的概率
研究随机试验，不仅需要分析它在一定条件下可能产 生的各种结果，而且还要分析各种结果发生的可能性 大小。刻画随机事件发生可能性大小的量，则是本节 要研究的概率的概念。此外本节还涉及概率的性质和 简单的计算。
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1.2.1 概率的统计定义及性质
定义1 在一个随机试验中，如果随着试验次数的增大， 事件A出现的频率在某个常数p附近摆动并逐渐稳定于 p，则称p为事件A的概率，记为 P(A) p。这个定义称 为概率的统计定义。
图1.2
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2.事件的和
例如在验收机械零件时，规定只要尺寸和粗糙度有一 不合格则零件就不合格，则“零件不合格”(用C表示) 就是“尺寸不合格”(用A表示)与“粗糙度不合 格”(用B表示)的和，即
一般地，称“事件A1,A2,,An中至少有一个发生”
为事件A1,A2,,An 的和，记作A 1A 2A n 或
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1.1.3 事件间的关系和运算
1．事件的包含与相等
定义 如果事件A发生必然导致事件B发生，则称事件B包含事
件A，或事件A包含于事件B，记作BA或 AB。 这种关系如
图1.1所示。
图1.1
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1.事件的包含与相等
例如在验收机械零件时，设A表示“尺寸不合格”，
n
n
A i或 A i 。
i1
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3．事件的积
定义 “事件A与事件B同时发生”也是一个随机事 件，称为事件A与事件B的积(或积事件)。A与B的 积如图1.3中的阴影部分所示。
图1.3
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4．互不相容事件与对立事件
定义 如果两个事件A与B不能同时发生，即“A与B同