函数的模型及其应用_课件
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解析：由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得曲线上的点的 切线斜率应逐渐增大，故选B.
答案：B
二次函数模型
【例1】 (2013年高考陕西卷)在如图所示的锐角三角形空地中， 欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单 位：m)的取值范围是( )
A．[15,20]
B．[12,25]
1．据调查，苹果园地铁的自行车存车处在某星期日的存车量为4 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.3元，普通车存车费是每辆 一次0.2元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x 的函数关系是( )
A．y＝0.1x＋800(0≤x≤4 000) B．y＝0.1x＋1 200(0≤x≤4 000) C．y＝－0.1x＋800(0≤x≤4 000) D．y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000) 解析：y＝0.2x＋(4 000－x)×0.3＝－0.1x＋1 200. 答案：D
C．[10,30]
D．[20,30]
[解析] 如图，过 A 作 AH⊥BC 于 H，交 DE 于 F，易知DBCE＝4x0＝AADB ＝AAFH＝A40F，则有 AF＝x，FH＝40－x，由题意知阴影部分的面积 S＝x(40 －x)≥300，解得 10≤x≤30，即 x∈[10,30]．
[答案] C
此时，当且仅当x＝
100 x
元． 分
x·10x0＝35－20＝15(万元)． ，即x＝10时，L(x)取得最大值15万
∵9<15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所 获利润最大，最大利润为15万元． 分
易漏掉固定成本
[常见失分探因]
注意判断对称轴与定义区间关系
注意回答问题作出结论
___________________[教你一个万能模板]_________________
(3)求模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将利用数学知识和方法得出的结论，还原到实际问题 中．
【典例】 (2014年济宁高三期末)(本题满分12分)小王大学毕业
后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子
产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本为
A．45.606万元 B．45.6万元
C．45.56万元
D．45.51万元
解析：设该公司在甲地销售 x 辆，则在乙地销售(15－x)辆，利润为
L(x)＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30＝－0.15x－115532 ＋0.15×1252352＋30，由于 x 为整数，所以当 x＝10 时，L(x)取最大值 L(10)
＝45.6，即能获得的最大利润为 45.6 万元． 答案：B
分段函数模型
【例2】 某旅游景点预计2014年1月份起前x个月的旅游人数的和
p(x)(单位；万人)与x的关系近似地满足p(x)＝
1 2
x(x＋1)(39－2x)(x∈N*，
且x≤12)．已知第x个月的人均消费额q(x)(单位：元)与x的近似关系是
变式训练
2．如图，在平面直角坐标系中，AC平行于x轴，四边形ABCD是 边长为1的正方形，记四边形位于直线x＝t(t>0)左侧图形的面积为f(t)， 则f(t)的大致图象是( )
解析：由题意得，
t20<t≤
2， 2
f(t)＝－t－
22＋1
2 2 <t<
2
，
1t≥ 2，
故其图象为C.
答案：C
指数函数模型
反思总结 解决二次函数型实际应用问题时，除利用条件建立目标函数外， 还要注意自变量的取值范围，如果涉及最值问题，要注意对称轴与定 义区间的关系．
变式训练
1．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别 为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在 这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为( )
②当7≤x≤12，且x∈N*时，g(x)＝－480x＋6 400是减函数，∴当x ＝7时，g(x)max＝g(7)＝3 040(万元)．
综上，2014年5月份的旅游消费总额最大，最大旅游消费总额为3 125万元．
反思总结 分段函数模型的应用技巧 (1)很多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时 就需要构建分段函数模型，如出租车的票价与路程的函数就是分段函 数． (2)构建分段函数时，要做到分段合理，不重不漏，并要注意实际 问题中各段自变量的取值范围，特别是端点值． (3)在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得 最大值、最小值．
＝e15n，解得t＝15，故m＝15－5＝10.
[答案] 10
反思总结 指数函数型多涉及增长率、减少率、银行利率．细胞分裂等一系 列问题，通常可以表示为y＝a·(1＋p)x的形式，利用指数运算与对数函 数图象性质去求解．
变式训练 3．某电脑公司2012年的各项经营收入中经营电脑配件的收入为 400万元，占全年经营总收入的40%，该公司预计2014年经营总收入要 达到1 690万元，且计划从2012年到2014年每年经营总收入的年增长率 相同，则2013年预计经营总收入为________万元．
2．在某种新型材料和研制中，实验人员获得了下列一组实验数 据．现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其 中最接近的一个是( )
A.y＝2x C．y＝21(x2－1)
B．y＝log2x D．y＝2.61cos x
解析：通过检验可知，y＝log2x较为接近． 答案：B
三种增长型函数模型的图象与性质
(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最
大？最大利润是多少？
源自文库
[教你快速规范审题] 1．审条件，挖解题信息
2．审结论，明解题方向
3．建联系，找解题突破口
[教你准确规范解答] (1)因为每件商品售价为5元，则x万件商品销售收入为5x万元．依
题意得，
当0<x<8时，
L(x)＝5x－13x2＋x－3＝－31x2＋4x－3； 分 当x≥8时，
解析：设年增长率为x，则有4400%0 ×(1＋x)2＝1 690，1＋x＝1130，因 此2013年预计经营总收入为4400%0 ×1130＝1 300万元．
答案：1300
——函数的实际应用问题 函数模型的应用有两个方面：一方面是利用已知函数模型解决问 题；另一方面是建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解决实际 问题． 建立函数模型解应用问题的步骤如下： (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择 模型； (2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应 的数学模型；
【例3】 (2014年惠州模拟)将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，t
分钟后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y＝aen t．假设过5分钟后甲
桶和乙桶的水量相等，若再过m分钟甲桶中的水只有
a 8
升，则m＝
________. [解析] 根据题意12＝e5n，令81a＝aen t，即18＝en t，因为12＝e5n，故18
函数的模型及其应用
[最新考纲展示] 1．了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长 特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函 数类型增长的含义． 2．了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函 数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的 广泛应用．
几类常见函数模型
____________________[通关方略]____________________ 应用函数模型解应用题要注意 (1)正确理解题意，选择适当的函数模型． (2)要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定 义域． (3)在解决函数模型后，必须验证这个数学解对实际问题的合理 性．
g(x)>f(x)>h(x)．
答案：B
4．(2014年长春外国语学校模拟)物价上涨是当前的主要话题，特 别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方 案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务 Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方 案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是( )
3．f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函 数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是( )
A．f(x)>g(x)>h(x)
B．g(x)>f(x)>h(x)
C．g(x)>h(x)>f(x)
D．f(x)>h(x)>g(x)
解析：画出函数的图象，当x∈(4，＋∞)时，指数函数的图象位于 二次函数图象的上方，二次函数的图象位于对数函数图象的上方，故
W(x)万元．在年产量不足8万件时，W(x)＝
1 3
x2＋x(万元)；在年产量不小
于8万件时，W(x)＝6x＋
100 x
－38(万元)．每件产品售价为5元．通过市
场分析，小王生产的商品能当年全部售完．
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年
利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)
q(x)＝3165x－ 0x2∈xxN∈*，N且*，7且≤1x≤≤x1≤2.6，
(1)写出2014年第x个月的旅游人数f(x)(单位：人)与x的函数关系
式：
(2)试问2014年第几个月旅游消费总额最大，最大月旅游消费总额
为多少元？
[解析] (1)当x＝1时，f(1)＝p(1)＝37， 当2≤x≤12，且x∈N*时， f(x)＝p(x)－p(x－1) ＝12x(x＋1)(39－2x)－12(x－1)x(41－2x) ＝－3x2＋40x， 验证x＝1也满足此式， 所以f(x)＝－3x2＋40x(x∈N*，且1≤x≤12)．
(2)第x个月旅游消费总额为
g(x)＝－－33xx22＋＋4400xx·136x50－x2∈xNx*∈，N且*，7≤且x1≤≤1x2≤，6，
6x3－185x2＋1 400xx∈N*，且1≤x≤6， 即g(x)＝－480x＋6 400x∈N*，且7≤x≤12. ①当1≤x≤6，且x∈N*时， g′(x)＝18x2－370x＋1 400，令g′(x)＝0， 解得x＝5或x＝1940(舍去)． 当1≤x<5时，g′(x)>0， 当5<x≤6时，g′(x)<0， ∴当x＝5时，g(x)max＝g(5)＝3 125(万元)．
____________________[通关方略]____________________
三种模型的增长差异
在 区 间 (0 ， ＋ ∞ ) 上 ， 尽 管 函 数 y ＝ ax(a>1) ， y ＝ logax(a>1) 和 y ＝ xn(n>0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次” 上．随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大 于 y ＝ xn(n>0)的 增 长 速 度 ， 而 y ＝ logax(a>1) 的 增 长 速 度 则 会 越 来 越 慢．因此，总会存在一个x0，使得当x>x0时，有logax<xn<ax.
L(x)＝5x－6x＋10x0－38－3＝35－x＋10x0 分
－31x2＋4x－3，0<x<8，
所以L(x)＝35－x＋10x0，x≥8.
分
(2)当0<x<8时，L(x)＝－13(x－6)2＋9. 此时，当x＝6时，L(x)取得最大值L(6)＝9(万元)． 分 当x≥8时，
L(x)＝35－x＋10x0≤35－2
答案：B
二次函数模型
【例1】 (2013年高考陕西卷)在如图所示的锐角三角形空地中， 欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单 位：m)的取值范围是( )
A．[15,20]
B．[12,25]
1．据调查，苹果园地铁的自行车存车处在某星期日的存车量为4 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.3元，普通车存车费是每辆 一次0.2元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x 的函数关系是( )
A．y＝0.1x＋800(0≤x≤4 000) B．y＝0.1x＋1 200(0≤x≤4 000) C．y＝－0.1x＋800(0≤x≤4 000) D．y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000) 解析：y＝0.2x＋(4 000－x)×0.3＝－0.1x＋1 200. 答案：D
C．[10,30]
D．[20,30]
[解析] 如图，过 A 作 AH⊥BC 于 H，交 DE 于 F，易知DBCE＝4x0＝AADB ＝AAFH＝A40F，则有 AF＝x，FH＝40－x，由题意知阴影部分的面积 S＝x(40 －x)≥300，解得 10≤x≤30，即 x∈[10,30]．
[答案] C
此时，当且仅当x＝
100 x
元． 分
x·10x0＝35－20＝15(万元)． ，即x＝10时，L(x)取得最大值15万
∵9<15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所 获利润最大，最大利润为15万元． 分
易漏掉固定成本
[常见失分探因]
注意判断对称轴与定义区间关系
注意回答问题作出结论
___________________[教你一个万能模板]_________________
(3)求模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将利用数学知识和方法得出的结论，还原到实际问题 中．
【典例】 (2014年济宁高三期末)(本题满分12分)小王大学毕业
后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子
产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本为
A．45.606万元 B．45.6万元
C．45.56万元
D．45.51万元
解析：设该公司在甲地销售 x 辆，则在乙地销售(15－x)辆，利润为
L(x)＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30＝－0.15x－115532 ＋0.15×1252352＋30，由于 x 为整数，所以当 x＝10 时，L(x)取最大值 L(10)
＝45.6，即能获得的最大利润为 45.6 万元． 答案：B
分段函数模型
【例2】 某旅游景点预计2014年1月份起前x个月的旅游人数的和
p(x)(单位；万人)与x的关系近似地满足p(x)＝
1 2
x(x＋1)(39－2x)(x∈N*，
且x≤12)．已知第x个月的人均消费额q(x)(单位：元)与x的近似关系是
变式训练
2．如图，在平面直角坐标系中，AC平行于x轴，四边形ABCD是 边长为1的正方形，记四边形位于直线x＝t(t>0)左侧图形的面积为f(t)， 则f(t)的大致图象是( )
解析：由题意得，
t20<t≤
2， 2
f(t)＝－t－
22＋1
2 2 <t<
2
，
1t≥ 2，
故其图象为C.
答案：C
指数函数模型
反思总结 解决二次函数型实际应用问题时，除利用条件建立目标函数外， 还要注意自变量的取值范围，如果涉及最值问题，要注意对称轴与定 义区间的关系．
变式训练
1．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别 为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在 这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为( )
②当7≤x≤12，且x∈N*时，g(x)＝－480x＋6 400是减函数，∴当x ＝7时，g(x)max＝g(7)＝3 040(万元)．
综上，2014年5月份的旅游消费总额最大，最大旅游消费总额为3 125万元．
反思总结 分段函数模型的应用技巧 (1)很多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时 就需要构建分段函数模型，如出租车的票价与路程的函数就是分段函 数． (2)构建分段函数时，要做到分段合理，不重不漏，并要注意实际 问题中各段自变量的取值范围，特别是端点值． (3)在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得 最大值、最小值．
＝e15n，解得t＝15，故m＝15－5＝10.
[答案] 10
反思总结 指数函数型多涉及增长率、减少率、银行利率．细胞分裂等一系 列问题，通常可以表示为y＝a·(1＋p)x的形式，利用指数运算与对数函 数图象性质去求解．
变式训练 3．某电脑公司2012年的各项经营收入中经营电脑配件的收入为 400万元，占全年经营总收入的40%，该公司预计2014年经营总收入要 达到1 690万元，且计划从2012年到2014年每年经营总收入的年增长率 相同，则2013年预计经营总收入为________万元．
2．在某种新型材料和研制中，实验人员获得了下列一组实验数 据．现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其 中最接近的一个是( )
A.y＝2x C．y＝21(x2－1)
B．y＝log2x D．y＝2.61cos x
解析：通过检验可知，y＝log2x较为接近． 答案：B
三种增长型函数模型的图象与性质
(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最
大？最大利润是多少？
源自文库
[教你快速规范审题] 1．审条件，挖解题信息
2．审结论，明解题方向
3．建联系，找解题突破口
[教你准确规范解答] (1)因为每件商品售价为5元，则x万件商品销售收入为5x万元．依
题意得，
当0<x<8时，
L(x)＝5x－13x2＋x－3＝－31x2＋4x－3； 分 当x≥8时，
解析：设年增长率为x，则有4400%0 ×(1＋x)2＝1 690，1＋x＝1130，因 此2013年预计经营总收入为4400%0 ×1130＝1 300万元．
答案：1300
——函数的实际应用问题 函数模型的应用有两个方面：一方面是利用已知函数模型解决问 题；另一方面是建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解决实际 问题． 建立函数模型解应用问题的步骤如下： (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择 模型； (2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应 的数学模型；
【例3】 (2014年惠州模拟)将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，t
分钟后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y＝aen t．假设过5分钟后甲
桶和乙桶的水量相等，若再过m分钟甲桶中的水只有
a 8
升，则m＝
________. [解析] 根据题意12＝e5n，令81a＝aen t，即18＝en t，因为12＝e5n，故18
函数的模型及其应用
[最新考纲展示] 1．了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长 特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函 数类型增长的含义． 2．了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函 数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的 广泛应用．
几类常见函数模型
____________________[通关方略]____________________ 应用函数模型解应用题要注意 (1)正确理解题意，选择适当的函数模型． (2)要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定 义域． (3)在解决函数模型后，必须验证这个数学解对实际问题的合理 性．
g(x)>f(x)>h(x)．
答案：B
4．(2014年长春外国语学校模拟)物价上涨是当前的主要话题，特 别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方 案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务 Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方 案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是( )
3．f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函 数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是( )
A．f(x)>g(x)>h(x)
B．g(x)>f(x)>h(x)
C．g(x)>h(x)>f(x)
D．f(x)>h(x)>g(x)
解析：画出函数的图象，当x∈(4，＋∞)时，指数函数的图象位于 二次函数图象的上方，二次函数的图象位于对数函数图象的上方，故
W(x)万元．在年产量不足8万件时，W(x)＝
1 3
x2＋x(万元)；在年产量不小
于8万件时，W(x)＝6x＋
100 x
－38(万元)．每件产品售价为5元．通过市
场分析，小王生产的商品能当年全部售完．
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年
利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)
q(x)＝3165x－ 0x2∈xxN∈*，N且*，7且≤1x≤≤x1≤2.6，
(1)写出2014年第x个月的旅游人数f(x)(单位：人)与x的函数关系
式：
(2)试问2014年第几个月旅游消费总额最大，最大月旅游消费总额
为多少元？
[解析] (1)当x＝1时，f(1)＝p(1)＝37， 当2≤x≤12，且x∈N*时， f(x)＝p(x)－p(x－1) ＝12x(x＋1)(39－2x)－12(x－1)x(41－2x) ＝－3x2＋40x， 验证x＝1也满足此式， 所以f(x)＝－3x2＋40x(x∈N*，且1≤x≤12)．
(2)第x个月旅游消费总额为
g(x)＝－－33xx22＋＋4400xx·136x50－x2∈xNx*∈，N且*，7≤且x1≤≤1x2≤，6，
6x3－185x2＋1 400xx∈N*，且1≤x≤6， 即g(x)＝－480x＋6 400x∈N*，且7≤x≤12. ①当1≤x≤6，且x∈N*时， g′(x)＝18x2－370x＋1 400，令g′(x)＝0， 解得x＝5或x＝1940(舍去)． 当1≤x<5时，g′(x)>0， 当5<x≤6时，g′(x)<0， ∴当x＝5时，g(x)max＝g(5)＝3 125(万元)．
____________________[通关方略]____________________
三种模型的增长差异
在 区 间 (0 ， ＋ ∞ ) 上 ， 尽 管 函 数 y ＝ ax(a>1) ， y ＝ logax(a>1) 和 y ＝ xn(n>0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次” 上．随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大 于 y ＝ xn(n>0)的 增 长 速 度 ， 而 y ＝ logax(a>1) 的 增 长 速 度 则 会 越 来 越 慢．因此，总会存在一个x0，使得当x>x0时，有logax<xn<ax.
L(x)＝5x－6x＋10x0－38－3＝35－x＋10x0 分
－31x2＋4x－3，0<x<8，
所以L(x)＝35－x＋10x0，x≥8.
分
(2)当0<x<8时，L(x)＝－13(x－6)2＋9. 此时，当x＝6时，L(x)取得最大值L(6)＝9(万元)． 分 当x≥8时，
L(x)＝35－x＋10x0≤35－2