第十节连续梁的影响线
转动刚度法求作连续梁的影响线
（） １
（ｂ） －
式 （ ）中 ， 表示 以 ０支座 为远 端 的 ／跨 连续 梁在 ／ １ －。 ｓ Ｚ Ｚ
端的转动刚度． 为第 ／ 的线刚度． ． ｉ Ｚ 跨 －。 ｓ 表示去掉第 ／ Ｚ
跨后 的 一 跨连续 梁 的转动 刚度 ． １
１ 支座 转角 的分配 与传递 关 系 ． ２
（ 己）
图 １ 用 转 动 刚 度分 析 位 移 曲线 示意 图
对 图 １ａ 所 示 连 续 梁 的 第 ／跨 ， 用 转 角 位 移 （） Ｚ 使
收 稿 日期 ：０ ７ ０ — ５ ２ ０ — ３ ０ 作者 简 介 ： 茂燧 （９ ９ 刘 １４ 一 ）男 ， 教 授 ， 副
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１ 连续 梁 位 移 曲线 中 的转 角 、 移 关 系 位
１１ 连 续梁 的杆 端转动 刚度 ．
【 ）
５， Ａ ｏ
在 文 献 ［］ ４中把 单 跨 梁 的 杆 端 转 动 刚度 扩 展 到 如
图 １ａ所示的 ／ （） Ｚ 跨连续梁 ， 并得到一个递推计算公式 ：
Ｓ。 ｉ× ＝４
Ａｂ ｔ ａ ｔ Ｔ ｅ ｐ ｐ ｒａ ａｙ ｅ ｅａ ｉｎ ｂ ｔ ｅ ｕ ｐ ｒ ｓｏ ｅ ａ ｄ ａ ｂ ｔａｙ —ｐ ｎ ｄ ｆ ｃ ｉｎ ｉ ｎ ｕ ｎ ｅ ｌ ｅ ｆ ｒ ｓｒ ｃ ： ｈ ａ ｅ ｎ ｌｓ ｓ ｒ ｌｔ ｅｗｅ ｎ ｓ ｐ ｏ ｔ ｌｐ ｒ ｉ ｒ — ａ ｅ ｅ ｔ ｎ ｉｆ ｅ ｃ ｉ ｏ ｏ ｎ ｒ ｓ ｌ ｏ ｌ ｎ ｓ ｐ ｏ ｅ ｄ ｎ ｍｅ ｔ ｉ ａ － ｎ ｏａ ｉｎ ｔ ｎ ｓ ｆｃ ｎ ｉ ｕ ｕ ｅ ｍ， ｓ ｂ ｉ ｅ ｏ ｍｕ ａ ｏ ｅ ｅ ｔ ｎ ｕ ｐ ｒ ｂ ｎ ｉ ｇ ｍｏ ｎ ，ｗ ｔ ｂ ｅ ｄ ｒ ｔｔ ａ ｓ ｆ ｅ ｓ ｏ ｏ ｔ ｏ ｓ ｂ ａ ｅ ｔ ｌ ｈ ｓ ｆｒ ｌ ｆｄ ｆ ｃ ｏ ｔ ｈ ｒ ｏｌ ｉ ｎ ａ ｓ ｌ ｉ ｆ ｎ ｔ ｎｕ ｉｇｒ ｔ ｔ ｎ ｔ ｎ ｓ ． ｔ ａ ｅ ｓ ｄ ｔ ｏ ｓ ｕ ｔ ｂ ｔ ｒ ｕ ｎ ｅｏ ｂ ｔａ ｙｃ ｎ ｉ ｕ ｕ ｅ ． ｕ ｃ ｏ ｓｎ ａｉ ａ ｓ ｆ ｅ ｓ Ｉ ｎｂ ｅ ｃ ｎ ｔ ｃ ｉ ａ ｙ ｉ ｅ ｃ ｆ ｉ ｒ ｏ ｔ ｏ ｓ ａ ｉ ｏ ｏｌ ｉ ｃ ｕ ｏ ｒ ａ ｒ ｒ ｌ ｆ ｎ ｒ ａ ｒ ｎ ｂｍ Ｋｅ ｒ ｓ ｃ ｎ ｉ ｕ ｕ ｅ ；ｒｔ ｔ ｎ ｓｉ ｎ ｓ ； ｎ ｕ ｎ ｅｌ ｅ ｙ ｗｏ ｄ ： ｏ ｔ ｏ ｓ ａ ｎ ｂｍ ｏ ｉ ｔ ｆ ｅ ｓ ｉ ｅ ｃ ｎ ａ ｏ ｆ ｌ ｆ ｉ
国开电大工程力学(本)形成性作业4参考答案
窗体底端
A. A
B. A
【答案】：A
题目17.作梁FQD的影响线如图（）（10分）
窗体顶端
窗体底端
A. A
B. B
【答案】：A
题目13.作梁F左QA的影响线如图（）（9分）
窗体顶端
窗体底端
A. A
B. B
【答案】：A
题目14.作梁FRB的影响线如图（A）（9分）
窗体顶端
窗体底端
A. A
B. B
【答案】：A
题目15.(1)作梁Mk的影响线如图（）（6分）
窗体顶端
窗体底端
A. A
B. B
【答案】：A
题目16.(2)作梁FQK的影响线如图（）（6分）
窗体顶端
窗体底端
A. A
B. B
C. C
D. D
【答案】：D
题目4.4．在弹性力学平面应变问题（xy平面）中，下列结论不正确的是（）。
窗体顶端
窗体底端
A. A
B. B
C. C
D. D
【答案】：B
题目5.5．在弹性力学平面问题的几何方程中，正应变与位移分量的关系为（）。
窗体顶端
窗体底端
A. A
B. B
题目1.1．绘制影响线采用的是（）。
A.实际荷载
B.移动荷载
C.单位荷载
D.单位移动荷载
【答案】：单位移动荷载
题目2.2．静定结构的影响线的形状特征是（）。
A.直线段组成
B.曲线段组成
C.直线曲线混合
D.变形体虚位移图
【答案】：直线段组成
题目3.3．在弹性力学平面应力问题（xy平面）中，下列结论不正确的是（）。
连续梁的影响线和内力包络图
【例10.9】 图（a）所示等截面连续梁受到 均布恒载和均布活载的作用，已知恒载的集度 为q＝20kＮ/ｍ，活载的集度为q1＝40kＮ/ｍ。 试绘制连续梁的内力包络图。
(a)
【解】 1）绘制弯矩包络图。 绘出恒载作用下的弯矩图。利用力矩分配法 计算恒载作用下连续梁的杆端弯矩，绘制弯矩图 如图 (b)所示。 绘制活载作用下的弯矩图。利用力矩分配法 计算各跨分别承受活载时的杆端弯矩，分别绘制 弯矩图如图 (c，e)所示。
[图(b)]。然后，设想在去掉支座B后的连续梁上，使B点
沿反力X的正向发生一个虚位移δ，这时梁发生如图(c)所
示的变形。称此状态为位移状态。
x
F=1
FBy
(b)力状态
δ y
(c)位移状态
在位移状态中，梁发生的与荷载F=1对应 的位移是y；与反力X对应的位移是δ。根据功 的互等定理：力状态的外力在位移状态的位移
上作的虚功，等于位移状态的外力在力状态的
位移上作的虚功。即有
故得
Xδ- Fy=0
Xy
图(c)所示的位移图可以看出，不论单位荷 载F=1在梁上移动到何处，上式均能成立。
(c)位移状态
δ y
若令δ=1，则有 X = y。
由此可见，当δ=1时，图(c)所示的位移图就是反力X 的影响线。同时在影响线图形中，梁轴线上方的部分标 正号，梁轴线下方的部分标负号，如图 (d)所示。
(b)恒载作用下的M图 （单位：kN·m）
(c) 活载在第一跨的M图 （单位：kN·m）
(d) 活载在第二跨的M图 （单位：kN·m）
(e) 活载在第三跨的M图 （单位：kN·m）
计算各弯矩图中各等分点处的竖标值。将梁 的每一跨分为四等分，计算各弯矩图中各等分点 处的竖标值，并将各等分点处对应的正、负竖标 值分别与恒载弯矩图相应竖标叠加，即得到最大 和最小弯矩值。
第十节连续梁的影响线
影响线， 若求 M A 影响线，由平衡条件∑ M A = 0 得影响线方程： 得影响线方程： 1 M A = x1l − x = 2 (3lx 2 − x 3 − 2l 2 x) 2l
二、机动法作超静定梁的影响线 原理及步骤
用机动法作连续梁某量值S影响线形状的原理和步骤瑟 用该法作静定多跨梁的影响线类似： 用该法作静定多跨梁的影响线类似： (1)撤去与量值 相应的约束， (1)撤去与量值S相应的约束，代以正向约束力S。 (2)令S沿其正向发生（单位）位移，勾画一条满足约 (2)令 沿其正向发生（单位）位移， 束条件的平滑挠曲线， 影响线的大致形状。 束条件的平滑挠曲线，它就是S影响线的大致形状。 (3)基线上方为正 下方为负。 基线上方为正， (3)基线上方为正，下方为负。
以下图所示单跨超静定梁B 例 以下图所示单跨超静定梁B支座反力 FRB影 响线的形状作法为例加以说明。 响线的形状作法为例加以说明。
影响线，解除B支座得 欲求 F 影响线，解除 支座得 RB 如图所示悬臂梁（状态Ⅱ 如图所示悬臂梁（状态Ⅱ）。 令其发生沿 FRB方向发生虚位移 由虚功互等定理知：状态Ⅰ 由虚功互等定理知：状态Ⅰ上外力在状 等于状态Ⅱ 态Ⅱ相应位移上所做的虚功 等于状态Ⅱ 上外力在状态Ⅰ 上外力在状态Ⅰ相应位移上作的虚功
§10-10 超静定梁的影响线
一、静力法作超静定梁的影响线
静力法作超静定结构影响线需要用力法等解超静定结构的 方法建立影响线方程。 方法建立影响线方程。 如用力法作影响线时，先用力法解出多余未知力， 如用力法作影响线时，先用力法解出多余未知力，作出多 余未知力的影响线，然后用叠加原理作其它内力（ 余未知力的影响线，然后用叠加原理作其它内力（反力的 影响线）。 影响线）。
由 δW
力矩分配法及连续梁的影响线
力矩分配法及连续梁的影响线(总分：100.00，做题时间：90分钟)一、{{B}}填空题{{/B}}(总题数：9，分数：18.00)1.下图所示刚架分配系数μAD=______，μAC=______。
（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：2/7，2/7）解析：2.下图所示结构各杆线刚度i=常数，若采用力矩分配法计算(忽略轴向变形)，则AD杆的近端分配系数为______。
（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：1/2）解析：由于D结点无竖向位移，故应将D端看成固定端支座。
3.下图所示结构各杆EI=常数，用力矩分配法计算(因C处转角微小，故BC杆无水平位移)，则可得：M BA=______，M CB=______(均以外侧受拉为正)。
（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：根据力矩分配法，将刚结点B固结，转角处的杆端弯矩为[*]，然后传递到刚结点处分配，可求得各杆端弯矩。
4.下图所示结构中14杆的分配系数μ14为______。
（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：361）解析：由于结点1无线位移，支承端4应视为固定端，并注意14杆长度。
5.下图所示结构用力矩分配法求解时，其结点不平衡力矩m K=______。
（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：6.下图所示结构的弯矩M BA=______，M BC=______。
(顺时针为正)（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：9M/11，3M/11）解析：7.用力矩分配法计算下图(a)所示结构，EI=常数，可得：M AB=______kN·m，M BA=______kN·m，M CA=______kN·m。
结构力学课程作业 连续梁的影响线、最不利荷载布置及内力包络图
结构力学课程作业——连续梁的影响线、最不利荷载布置及内力包络图班级道桥0901学号U*********姓名苏鑫华中科技大学土木工程与力学学院2011年12月结构力学课程作业一、题目EI=C K123x l l l其中 L1=12m L2=12m L3=21m 二、要求1、用力法计算求得支点弯矩1M 、2M 的影响线；2、用挠度法计算求得支点弯矩1M 、2M 的影响线；3、求第二跨内截面K 的弯矩，剪力影响线及支座1的反力影响线；4、在求影响线的基础上，进行均布移动荷载的最不利布置；5、连续梁承受均布活荷载18p KN m =及恒载12q KN m =时，绘出弯矩、剪力包络图。
三、计算1. 绘制三跨等截面连续梁的弯矩影响线 1） 1）用力法求作连续梁支点弯矩影响线分析原结构得，这是一个二次超静定结构，所取基本结构为分跨的简支梁，多余约束未知力有1M 、2M ，如下图：故可列基本方程如下：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++0022221211212111p p x x x x δδδδδδ其中21M M 、如下图：所以得：EIEI l EIl EIds M M EIEI l l EIl l EIds M M EI EI l l EIl l EIds M M LLL26311211133212132121833212132121222121123232222221211111==⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯⨯====+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯+⨯⨯===+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯+⨯⨯==⎰⎰⎰δδδδ分析知荷载P=1作用于基本结构不同跨时，会有不同的弯矩图，现得荷载P=1分别作用于第一、第二、第三跨时的弯矩图如下：得：()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==--=-==⎰作用于第三跨，作用于第二跨，作用于第一跨1016211,612221211p p EI l a a a p EIl a a EI ds M M Lp pδ()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--=-===⎰作用于第三跨，作用于第二跨，作用于第一跨16211611,02322222p EI l a a a p EI l a a p EI ds M M Lp pδ 带入EIl l EI lEI l l 3,6,33222212212111+===+=δδδδ到基本方程中，得出1M 、2M 通解为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=21242)168221684(M 212121p p p p EI M EI δδδδ 所以对于不同的跨，带入相应的p p 21δδ、可得1M 、2M 的影响线方程为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--=--=--=作用于第三跨1)2)(1(47作用于第二跨1)2158413)(1(24作用于第一跨1)1(722)(21P a a a P a a a P a a x M⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=---=+--=-=作用于第三跨1)2)(1(7作用于第二跨1)1)(1(78用于第一跨作1)1(74)(22P a a a P a a a P a a x M由1M 、2M 的影响线方程可得其影响线图形如下：M1(x) 1.176M2(x)0.1340.2140.18752.625以上影响线数值为将每跨四等分后相应点的弯矩值 2）用挠度法求作连续梁支点弯矩影响线 先分析1M ，得其大致弯矩图为所以进行力矩分配：固端弯矩分配系数1-1-0.5节点弯矩1-10.70.30.350.15-0.150.15所以得挠度曲线为：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧---=-⨯----=+--⨯-+-=+-=+⨯+-=作用于第三跨)2)(1(40441)]2(15.0[6)(作用于第二跨)15.185.1)(1(2)](15.0)2(1[6)(作用于第一跨)1)(1(24-6)1)(1(-)](10[6)(233332222222121111l a a a EI x l EIl x l x l a a a EI x l x l EIl x l x EI l a a EI l a a a x l EIl x l x y又可知EIEI EI 7.7)15.02(6262112101=-⨯+⨯=+=δδδ 由1δyM -=得A 支座处的影响线方程为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--=--=--=作用于第三跨1)2)(1(47作用于第二跨1)2158413)(1(24作用于第一跨1)1(722)(21P a a a P a a a P a a x M同理得B 支座处的情况和A 类似 得其大致变形曲线为：所以进行力矩分配：固端弯矩分配系数0.4280.5711-10.5-0.286-0.214节点弯矩-0.2140.2141-1⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧--=-⨯-+-=++-⨯--+--=+⨯--=作用于第三跨)2)(1(9658)]2(1[6)(作用于第二跨)1)(1(63752)]()2(214.0[6)l (作用于第一跨63)1)(1(376)](214.00[6)(2333322222221111l a a a EI x l EIl x l x l a a a EI x l x l EIl x x EI l a a a x l EIl x l x y又可知EIEI EI 926)214.012(63223212=⨯+-⨯=+=δδδ 由2δyM -=得B 支座处的影响线方程为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=---=+--=-=作用于第三跨1)2)(1(7作用于第二跨1)1)(1(78用于第一跨作1)1(74)(22P a a a P a a a P a a x M2. 绘制三跨等截面连续梁中第二跨内截面K 的弯矩，剪力影响线及支座1的反力影响线。
连续梁的影响线和内力包络图
得
XK
KF KK
(a)
式中： δKK ——由于XK＝1 的作用，基本结构上截面
K沿X的方向所引起的虚位 移，如图c所示，其值与荷 载F=1的位置无关，为一
正值常数；
δFK——由于荷载F＝1的作用，基本结构上截面K沿XK的方向 所引起的位移，如图d所示，其值随F=1的位置移动而变化。
X K FK （c）
由此可见，由 δKK ＝1而产生的梁的虚竖向位移图就代表XK的 影响线，如图e所示。因两者的符号相反，故在影响线中，应取 梁轴线上方的图形为正，下方的为负。
目录
影响线\连续梁的影响线和内力包络图
综上所述，由机动法绘制超静定梁的某量值XK影响线的步 骤如下：
1）去掉与XK相应的约束，并用XK代替其作用。 2）使所得基本结构沿XK的正向产生单位虚位移，由此得 到的梁的虚竖向位移图即代表XK的影响线。 3）在梁轴线上方的图形标注正号，下方的标注负号。
建筑力学
影响线\连续梁的影响线和内力包络图
连续梁的影响线和内力包络图
1.1 连续梁的影响线
连续梁属于超静定梁，欲求影响线方程，必须先解超静定 结构，并且反力、内力的影响线都为曲线，绘制较繁琐。
土木工程中通常遇到的多跨连续梁在活载作用下的计算， 大多是可动均布荷载的情况（如楼面人群荷载）。此时，只 需知道影响线的轮廓，就可确定最不利荷载位置，因此，对 于活载作用下的连续梁，通常采用机动法绘制影响线的轮廓。
目录
影响线\连续梁的影响线和内力包络图
设有一n次超 静定梁，如图a 所示，现绘制某 指定量值XK（例 如MK）的影响 线。
为此，可先去掉与XK相应的约束，并以XK代替其作用，如图 b所示，把这个（n－1）次超静定结构作为基本结构
连续梁影响线计算表格
连续梁影响线计算表格通常包括以下列：
截面编号：表示连续梁的各个截面，用于区分不同的截面位置。
位置（X）：表示截面在连续梁上的位置，可以是相对位置或绝对位置。
弯矩影响线：表示截面上弯矩的影响线，通常以表格形式列出不同位置的弯矩值。
剪力影响线：表示截面上剪力的影响线，通常以表格形式列出不同位置的剪力值。
转角影响线：表示截面上转角的影响线，通常以表格形式列出不同位置的转角值。
根据实际需要，还可以增加其他列，例如支座反力、挠度等。
以下是一个简单的连续梁影响线计算表格示例：
截面编号位置（m）弯矩影响线（kN·m）剪力影响线（kN）转角影响线（rad）10.000.000.000.00
2 3.0012.50 5.000.01
3 6.0025.0010.000.02
49.0037.5015.000.03
...............
注意：上述示例仅为示意，实际计算结果可能因具体情况而有所不同。
影响线习题及答案
影响线习题及答案影响线是结构力学中的一个重要概念，它描述了在结构的某一点施加一个单位力时，结构中其他各点的内力变化情况。
以下是一些影响线习题及相应的答案。
习题1：单跨简支梁的影响线- 题目：假设有一根长度为L的单跨简支梁，求在梁的中点施加一个向下的单位力时，梁上各点的弯矩影响线。
- 答案：在梁的中点施加一个向下的单位力时，梁的中点处会产生一个弯矩，其大小为单位力乘以梁长度的一半。
由于对称性，弯矩影响线在梁的中点处达到最大值，然后随着距离中点的增加而逐渐减小，直到梁的两端点处降为零。
习题2：连续梁的影响线- 题目：考虑一个由三根等长的简支梁组成的连续梁，求在中间梁的中点施加一个向下的单位力时，连续梁上各点的弯矩影响线。
- 答案：在中间梁的中点施加单位力时，由于连续梁的连续性，弯矩影响线在中间梁的中点处达到最大值，然后向两侧逐渐减小。
在中间梁的端点处，由于受到相邻梁的约束，弯矩影响线会出现突变。
在连续梁的支点处，弯矩影响线为零。
习题3：悬臂梁的影响线- 题目：一根长度为L的悬臂梁，在自由端施加一个向下的单位力，求梁上各点的剪力影响线。
- 答案：在悬臂梁的自由端施加单位力时，由于力的作用，梁上各点的剪力影响线为一个线性函数。
在自由端处剪力为单位力，随着距离自由端的增加，剪力线性减小，直到梁的固定端处剪力为零。
习题4：影响线的绘制方法- 题目：简述如何绘制一个结构的影响线。
- 答案：绘制影响线通常包括以下步骤：首先确定结构的几何形状和支撑条件；然后选择一个单位力施加点；接着计算该单位力作用下结构的内力分布；最后，根据内力分布绘制影响线。
影响线通常在结构图上以曲线形式表示，曲线的高度表示在该点的内力大小。
习题5：影响线的应用- 题目：说明影响线在实际工程中的应用。
- 答案：影响线在实际工程中有多种应用，例如：在桥梁设计中，通过影响线可以确定车辆荷载对桥梁内力的影响；在建筑结构设计中，影响线可以帮助工程师评估风载或雪载对结构的影响；在地震工程中，影响线用于评估地震力对结构的响应。
结构力学教案 第10章 影响线及其应用
第十章 影响线及其应用10．1 影响线的概念一、移动荷载对结构的作用1、移动荷载对结构的动力作用:启动、刹车、机械振动等.2、由于荷载位置变化，而引起的结构各处的反力、内力、位移等各量值的变化及产生最大量值时的荷载位置。
二、解决移动荷载作用的途径1、利用以前的方法解决移动荷载对结构的作用时，难度较大。
例如吊车在吊车梁上移动时，R B 、M C2、影响线是研究移动荷载作用问题的工具。
根据叠加原理，首先研究一系列荷载中的一个，而且该荷载取为方向不变的单位荷载。
10.2 用静力法绘制静定结构的影响线一、静力法把荷载Ｐ＝１放在结构的任意位置，以x 表示该荷载至所选坐标原点的距离，由静力平衡方程求出所研究的量值与x 之间的关系（影响线方程）。
根据该关系作出影响线。
二、简支梁的影响线1、支座反力的影响线∑M B =0：∑M A =0：2、弯矩影响线1M C影响线弯矩图（1）当P=1作用在AC段时，研究CB：∑M C=0：（2）当P=1作用在CB段时，研究CB：∑M C=0：3、剪力影响线（1）当P=1作用在AC段时，研究CB：（2）当P=1作用在CB段时，研究CB：三、影响线与量布图的关系1、影响线：表示当单位荷载沿结构移动时，结构某指定截面某一量值的变化情况（分析左图）。
2、量布图（内力图或位移图）：表示当荷载位置固定时，某量值在结构所有截面的分布情况（分析右图）。
四、伸臂梁的影响线例10−1 试作图10−4（a）所示外伸梁的反力R A、R B的影响线，C、D截面弯矩和剪力的影响线以及支座B截面的剪力影响线。
10.3 用机动法作影响线一、基本原理机动法是以虚位移原理为依据把作影响线的问题转化为作位移图的几何问题。
二、优点 不需要计算就能绘出影响线的轮廓。
以X 代替A 支座作用，结构仍能维 持平衡。
使其发生虚位移，依虚位移原理： X ·δX +P · δP =0 X=－P δP /δX =－ δP /δX 令 δX =1， 则 X=－δP 结论：为作某量值的影响线，只需将与该量值相应的联系去掉，并以未知量X 代替；Q C 影响线)而后令所得的机构沿X的正方向发生单位位移，则由此所得的虚位移图即为所求量值的影响线。
10(超)静定结构的影响线
§9-5 超静定力的影响线1、影响线的特征与求解方法1）影响线的特征静定结构——反力、内力影响线均为直线；位移影响线为曲线。
超静定结构——各量值的影响线均为曲线。
2）影响线的求作方法静力法——利用静力平衡条件求影响线方程，进而绘制影响线。
但对超静定力的影响线须解超静定问题，复杂、少用。
机动法——利用影响线与移动载荷作用点位移（挠度）图的比拟关系，快速绘制影响线轮廓。
简便、实用。
2、机动法求作超静定力影响线以图9-14连续梁（超静定梁）M K的影响线为例，说明用机动法求作超静定力影响线的方法。
1）取基本结构（超静定、几何不变体系）图b——去掉与XK 相应的约束，代之以(暴露出)约束反力XK ；A B C D EF P=1K（a）原结构A B C D EF P=1X K(M K)(下拉为正)(b)基本结构图9-14§9-5 超静定力的影响线2）建立力法典型方程k kk kp X δδ+=1()kp k pk kk kkX x δδδδ∴=-=-⋅()()pk kp x x δδ=ABCD EF P =1K ABCD E F P =1X K (M K )(下拉为正)(b)基本结构§9-5 超静定力的影响线K 截面相对转角为0式中δkk ——常数,不随X 而变化。
δpk ——载荷F P =1位置参数X 的函数，即δPK =δPK (x)，其位移图如图9-14c 所示。
互等定理图9-14ABCDEX K (M K )(下拉为正)θB(c)挠度图⏹写成更明确的形式：()()1pk kkk x x X δδ=-ABCD EK+图9-15X k (M k )的影响线结论:X k 与δpk 成正比;挠度图即为影响线轮廓线图9-14ABCDEX K (M K )(下拉为正)θB(c)作用挠度图1kM=§9-5 超静定力的影响线X k 向上为正δpk 以向下为正(与p=1同向)X k 与δpk 反向3、求做超静定力影响线的步骤⏹1）撤去与所求约束力（或量值）相应的约束，代之以反力X K ；●2）使体系沿X K 正方向发生位移，作出移动载荷作用点的挠度δPK =δPK (x)（位移）图即为影响线X K (x)的形状；●3）将δPK 图除以常数δKK 使可确定影响线的具体数值；●4）横坐标以上图形为正号，横坐标以下图形为负号。
影响线的应用连续梁的内力包络图
M Ax
A x
P=1 B
P=1
超
基本结构
静
定
结
构
的
影
响
线
MP图
1 x
x
4a
4a
M Ax
A
x
P=1
B P=1
1 x
x
4a
4a
MA(x)=1
基本结构
MP图
M图
超
静
11
4a 3EI
定 结 构 的
影
响
线
1
1P
1 EI
4ax 3
1
x
2
4a
x2 6
1
x 4a
❖ 由力法方程，11 M A x 1P 0
超
用时作出M2影响线
静 定 结
构
的
影
响
线
❖ 二、挠度法作影响线的轮廓
1．挠度法作影响线的原理
P=1
超
C
静
A
B
定 结
构
的
以支座B的反力RB为例说明其影响线与挠度图之间的关系
影 响 线
------
取如下的基本结构
挠
度
法
x
P=1
RB（x）
❖ 力法方程为
x
P=1
B
BB RB x BP 0
P=1 x
96 66 36 6
3x ...........................4. a x 5a 8a
超
静
1
11/8
定 结
0.3125
构 的
影
响
线
2a
2a
a
从上述作法可见，其过程与静定结构影响线的作法并没有不同， 只是计算麻烦，需用力法求解
第十章影响线
下面介绍用静力法绘制简支梁的反力、弯矩和剪力
影响线的方法。
1. 反力影响线
如图所示简支梁，支座反力FBy的影响线已在上一
节中讨论过，现在用同样的方法研究支座反力FAy的影
置。当荷载F＝1在AC段上移动时，取截面C的右
边CB段为隔离体，由平衡条件 ∑MC＝０，得
x MC FByb l b
(0≤x≤a)
上式表明，MC的影响线在截面C左边为一条
直线。定出两点连线即可绘出该段影响线。
x F=1
A
C
a FAy
b l
B
x FBy
MC的影响线也可以这样绘制：把FBy的影响线 的竖标乘以b，然后保留其中的AC段，就得到MC
C
B
x
(a)
a
b
FAy
l l
FBy
1
FBy影响线
A
B
b
1
l
(b)FSC影响线
a1l1F Nhomakorabeay影响线
A
B
由图可见，剪力FSC的影响
A
线 由 两 段 互 相 平 行 的 直 线 AC 和
CB所组成。图(b)中的竖标表示 1
当荷载F＝1的作用点位于截面C
稍左时产生的剪力FSC之值，竖 标表示当荷载F＝１的作用点位 1 于截面C稍右时产生的剪力FSC A 之值。
当x＝０时， FAy＝１ 当x＝l 时， FAy＝０
在对应于梁跨的水平 基线两端，分别标出上述竖 标 并 连 以 直 线 ， 即 得 FAy 的 影 响 线 如 图 (b) 所 示 。 为 便 于 比 较 ， 反 力 FBy 的 影 响 线 也绘于图中[图(c)]。
03-课件：10.10 超静定梁的影响线
x
A
x
A
F=1
l EI
F=1
作FB的影响线：
B
11.X1 1P 0
B
11
2
M 1 ds
l3
EI 3EI
A
X1
B
1P
M 1.M P ds x2 (3l x)
EI
6EI
l
M 1图
X1=1
X1
1P 11
x2 (3l x) 2l 3
x
F=1
A
B
MP图
FB影响线
1
FB
x2 (3l 2l 3
（3）正负号判断：横坐标以上图形，影响线取为正；反 之取负；
F=1 KC
FS C
1
作FSK的影响线： 虚位移图 FSK影响线
F=1 KC
1 C FC
作FC的影响线： FC影响线
x)
说明：1、利用力法确定影响线方程； 2、影响线是曲线
二、机动法作超静定结构影响线的基本原理
作FB的影响线：
x
F=1
A
B l EI
X1
1P 11
1P (x) 11
P1(x) 11
x
A
A
FB影响线
F=1
B
1P
P1
δ11
B
P1(x)：F=1作用点竖向虚位移图； 说明：FB影响线与竖向位移图P1成正比的， 即将P1的竖标除以常数11后反号得到。
11.X1 1P 0
X1
1P 11
1P (x) 11
P1(x) 11
令11 1
MK (x) P1(x)
MK影响线
三、机动法作超静定结构影响线的步骤
10.11 用机动法作连续梁的影响线
重庆大学土木工程学院®
0.084l
0.067l
0.037l
10.11.2 用机动法作连续梁的影响线
x FP =1 B FP =1 l
l B
对于连续梁而言，依据的是线弹性体 系的虚功原理，作出的位移图是线弹 性体系（较原超静定次数降低一次的 体系）的位移图——曲线图形。
A
A
x
C l
l C
x
FP =1 B FP =1
10.11 用机动法作连续梁的影响线
10.11.1 用静力法作连续梁的影响线
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
l
1.5l
0.213 l
0.067 l 0.137 l
0
y y1 y2 3 3
0.130 l 0.058 l
0
0
M3影响线
0.058 l
0.083l
All Rights Reserved
3
4
5
Mi影响线
FQi 0 1 1 2
两切线平行
i
3
4
5
FQi影响线
FQ2右 0 1 1 2
两切线平行
3
4
5
FQ2右影响线
FQ2左
0
1 1
2
3
4
5
两切线平行
All Rights Reserved 重庆大学土木工程学院®
FQ2左影响线
当FP=1移动时，位移 P也随FP=1的位 x FP =1 置变化，是荷载位置参数 x的函数；而 A x无关，是一常数 C = 1,因此， B B 则与 ,假设 式（b）可表示为
l
x A
P B=1
C
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代入力法方程， 代入力法方程，解得
如图所示为一次超静定梁， 例 如图所示为一次超静定梁，试求 FRB 、 A M 的影响线
力法基本体系。 力法基本体系。 力法的典型方程 作出单位弯矩图 M 1 ，荷载弯矩图 M p 由图乘法求系数 代入力法方程， 代入力法方程，解得
x1 即为FRB
，其影响线方程为三次抛物线。 其影响线方程为三次抛物线。
以下图所示单跨超静定梁B 例 以下图所示单跨超静定梁B支座反力 FRB影 响线的形状作法为例加以说明。 响线的形状作法为例加以说明。
影响线，解除B支座得 欲求 F 影响线，解除 支座得 RB 如图所示悬臂梁（状态Ⅱ 如图所示悬臂梁（状态Ⅱ）。 令其发生沿 FRB方向发生虚位移 由虚功互等定理知：状态Ⅰ 由虚功互等定理知：状态Ⅰ上外力在状 等于状态Ⅱ 态Ⅱ相应位移上所做的虚功 等于状态Ⅱ 上外力在状态Ⅰ 上外力在状态Ⅰ相应位移上作的虚功
利用力法的基本原理将超静定结构 转换为静定结构
如图所示为一次超静定梁， 例 如图所示为一次超静定梁，试求 FRB 、 A M 的影响线
为力法基本体系。 图b为力法基本体系。 为力法基本体系 力法的典型方程： δ11 x1 + ∆1 p = 0 力法的典型方程： 作出单位弯矩图 M 1 ，荷载弯矩图 M p 分别如图c、 所求 所求。 分别如图 、d所求。 由图乘法求得： 由图乘法求得：
影响线， 若求 M A 影响线，由平衡条件∑ M A = 0 得影响线方程： 得影响线方程： 1 M A = x1l − x = 2 (3lx 2 − x 3 − 2l 2 x) 2l
二、机动法作超静定梁的影响线 原理及步骤
用机动法作连续梁某量值S影响线形状的原理和步骤瑟 用该法作静定多跨梁的影响线类似： 用该法作静定多跨梁的影响线类似： (1)撤去与量值 相应的约束， (1)撤去与量值S相应的约束，代以正向约束力S。 (2)令S沿其正向发生（单位）位移，勾画一条满足约 (2)令 沿其正向发生（单位）位移， 束条件的平滑挠曲线， 影响线的大致形状。 束条件的平滑挠曲线，它就是S影响线的大致形状。 (3)基线上方为正 下方为负。 基线上方为正， (3)基线上方为正，下方为负。
适用机动法作图示连续梁的影响线形状。 例二 适用机动法作图示连续梁的影响线形状。 包括 M A , FRA , FRC , M K , FQK , M C , FQC左 , FQC右
解：
三.举例
图10-26由 δW21来自=0，所以δW12
=0
δW12 = Fp × y ( x) + FR × δ11 = 0 1 FR ( x) = − y ( x)
δ11
可知，由支反力 FRB 引起的弹性变形曲线 可知， 即为 FRB 的影响线。 的影响线。
与静定多跨梁影响线的区别
静定多跨梁撤去一个约束后，结构变为具有一个自 由度的几何可变体系，虚位移图是机构的位移图， 所以影响线由直线段组成。 超静定梁撤去一个约束后，可能仍为几何不变体系， 其位移图是弹性体变形图，因此连续梁的影响线一 般是曲线图形。
§10-10 超静定梁的影响线
一、静力法作超静定梁的影响线
静力法作超静定结构影响线需要用力法等解超静定结构的 方法建立影响线方程。 方法建立影响线方程。 如用力法作影响线时，先用力法解出多余未知力， 如用力法作影响线时，先用力法解出多余未知力，作出多 余未知力的影响线，然后用叠加原理作其它内力（ 余未知力的影响线，然后用叠加原理作其它内力（反力的 影响线）。 影响线）。