全等三角形最全题型完整答案

全等三角形1
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、解答题
1．已知：如图，等腰三角形ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，直线l经过点C（点A、B都在直线l的同侧），AD⊥l，BE⊥l，垂足分别为D、E．求证：△ADC≌△CEB．
2．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝12厘米，BC＝9厘米，AD＝BD＝6厘米．(1)如果点P在线段BC上以3厘米秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA
上由C点向A点运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，1秒钟时，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，点P运动到BC的中点时，如果
△BPD≌△CPQ，此时点Q的运动速度为多少．
(2)若点Q以(1)②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？
3．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，BD=DC，求证：∠B=∠C
4．如图，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过点A的一条直线，且B点
和C点在AE的两侧，BD⊥AE 于点D，CE⊥AE于点E．
（1）求证：△ABD≌△ACE
（2）试说明线段BD，线段DE和线段CE的数量关系
5．已知：如图，在长方形ABCD中，AB=4cm，BC=6cm，点E为AB中点，如果点P 在线段BC上以每秒2cm的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CD上由点C向点D运动．设点P运动时间为t秒，若某一时刻△BPE与△CQP全等，求此时t的值及点Q的运动速度．
6．已知：如图，点A、D、C、B在同一条直线上，AD=BC，AE=BF，CE=DF，求证：AE∥BF．
7．已知OP平分∠AOB，∠DCE的顶点C在射线OP上，射线CD交射线OA于点F，射线CE交射线OB于点G．
（1）如图1，若CD⊥OA，CE⊥OB，请直接写出线段CF与CG的数量关系；
（2）如图2，若∠AOB=120º，∠DCE=∠AOC，试判断线段CF与CG的数量关系，并说明理由．
8．（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m, CE⊥直线m,垂足分别为点D、E.证明:DE=BD+CE.
（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,其中α为任意锐角或钝角.请问结论
DE=BD+CE是否成立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.
（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合）,点F为∠BAC平分线上的一点,且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状.
9．如图，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AE=AC，AF⊥CB，垂足为F．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）求∠FAE的度数；
（3）求证：CD=2BF+DE．
10．如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F
（1）证明：PC=PE；
（2）求∠CPE的度数；
（3）如图2，把正方形ABCD 改为菱形ABCD ，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE ，试探究线段AP 与线段CE 的数量关系，并说明理由．
11．如图①，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，AE 是过A 点的一条直线，且B 、C 在AE 的异侧，BD AE ⊥于D ，CE AE ⊥于E .
（1）求证：BD DE CE =+.
（2）若将直线AE 绕点A 旋转到图②的位置时（BD CE <），其余条件不变，问BD 与DE 、CE 的关系如何？请予以证明.
12．如图（1），在ABC 中，90A ∠=︒，AB AC =，点D 是斜边BC 的中点，点E ，F 分别在线段AB ，AC 上， 且90EDF ∠=︒．
（1）求证：DEF 为等腰直角三角形；
（2）若ABC 的面积为7，求四边形AEDF 的面积；
（3）如图（2），如果点E 运动到AB 的延长线上时，点F 在射线CA 上且保持90EDF ∠=︒，DEF 还是等腰直角三角形吗．请说明理由．
13．如图，CA ＝CB ，CD ＝CE ，∠ACB ＝∠DCE ＝α，AD 、BE 交于点H ，连接CH .
(1)求证：△ACD ≌△BCE ；
(2)求证：CH 平分∠AHE ；
(3)求∠CHE 的度数．(用含α的式子表示)
14．认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题．（1）如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，试证明∠BOC
＝90°+1
2
A ∠
（2）如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC 与∠A有怎样的关系？请说明理由．
（3）如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC 与∠A有怎样的关系？（只写结论，不需证明）
15．探究与发现：如图（1）所示的图形，像我们常见的学习用品一圆规，我们，不妨把这样图形叫做“规形图
（1）观察“规形图（1）”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的数量关系，并说明理由；
（2）请你直接利用以上结论，解决以下问题：
①如图（2），把一块三角尺XYZ放置在△ABC上使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若∠A＝40°，则∠ABX+∠ACX＝°．
②如图（3），DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度数．
16．如图，△ABC 是边长为3的等边三角形，△BDC 是等腰三角形，且∠BDC ＝120°.以点D 为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB 于点M ，交AC 于点N ，连接MN.
(1)求证：MN ＝BM ＋NC ；
(2)求△AMN 的周长．
17．如图，在△ABC 中，AB =AC =2，∠B =40°，点D 在线段BC 上运动（D 不与B 、C 重合），连接AD ，作∠ADE =40°，DE 交线段AC 于E 点．
（1）当∠BDA =115°时，∠BAD =___°，∠DEC =___°；
（2）当DC 等于多少时，△ABD 与△DCE 全等？请说明理由；
（3）在点D 的运动过程中，△ADE 的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA 的度数；若不可以，请说明理由．
18．如图，已知ABC 中，AB BC =，60B ∠=︒，D 是AC 的中点，E 是BC 延长线上的一点，且CE CD =，DM BC ⊥，垂足为M ．
()1求E ∠的度数；
()2求证：M 是BE 的中点．
19．如图，在等边△ABC 中，点D ，E 分别在边AC ，AB 上，且AD=BE ，BD ，CE 交于点P ，CF ⊥BD ，垂足为点F ．
（1）求证：BD=CE ；
（2）若PF=3，求CP 的长．
20．如图，等边ABC ∆的边长为10cm ，点D 从点C 出发沿CA 向点A 运动，点E 从点B 出发沿AB 的延长线BF 向右运动，已知点D ，E 都以1cm/s 的速度同时开始运动，运动过程中DE 与BC 相交于点P ，点D 运动到点A 后两点同时停止运动．
（1）当ADE ∆是直角三角形时，求D ，E 两点运动的时间；
（2）求证：在运动过程中，点P 始终是线段DE 的中点．
21．如图．在等边△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线相交于点O ，且OD ∥AB ，OE ∥AC ． （1）试判定△ODE 的形状，并说明你的理由；
（2）线段BD 、DE 、EC 三者有什么关系，写出你的判断过程．
22．如图，ABC 是等腰三角形，AB AC =，点D 是AB 上一点，过点D 作DE BC ⊥交BC 于点E ，交CA 延长线于点F ．
（1）证明：ADF 是等腰三角形；
（2）若60B ∠=︒，4BD =，2AD =，求EC 的长．
23．如图，D 是等边ABC ∆的边AB 上一点，E 是BC 延长线上一点，
,CE DA =连DE 接交AC 于F ，过D 点作DG AC ⊥于G 点．证明下列结论：
()11;2
AG AD = ()2;DF EF =
()3DGF ADG ECF S S S ∆∆∆=+
24．如图，点 C 为线段 AB 上一点，△ACM 、△CBN 都是等边三角形，AN 、MC 交于点 E ，BM 、CN 交于点 F
（1）说明 AN=MB 的理由
（2）△CEF 是什么三角形？为什么？
25．如图，∠AOB 内部求作一点P ，使PC ＝PD ，并且点P 到两边的距离相等．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
26．如图，在△ABC 中，边AB 的垂直平分线OM 与边AC 的垂直平分线ON 交于点O ，分别交BC 于点D 、E ，已知△ADE 的周长5cm ．
（1）求BC 的长；
（2）分别连接OA 、OB 、OC ，若△OBC 的周长为13cm ，求OA 的长．
27．如图1，在正方形ABCD 中，,E F 分别是, BC CD 上的点，且45EAP ∠=︒，则有结论EF BE FD =+成立；
()1如图2，
在四边形ABCD 中，,90, AB AD B D E F =∠=∠=︒、分别是, BC CD 上的点，且EAF ∠是BAD ∠的一半， 那么结论EF BE FD =+是否仍然成立?若成立，请证明；不成立，请说明理由．
()2若将()1中的条件改为：如图3，在四边形ABCD 中，
,180AB AD B ADC =∠+∠=︒，延长BC 到点E ，延长CD 到点F ，使得EAF ∠仍然是BAD ∠的一半，则结论EF BE FD =+是否仍然成立?若成立，请证明；不成立，请写出它们的数量关系并证明
参考答案
1．见解析
【解析】
【分析】
先证明DAC ECB ∠=∠，根据AAS 证ADC CEB ≌．
【详解】
∵∠DAC+∠DCA ＝∠ECB+∠DCA ＝90°，
∴∠DAC ＝∠ECB ，
在△ADC 和△CEB 中，
ADC CEB DAC ECB AC BC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝，
∴△ADC ≌△CEB （AAS ）．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．
2．（1）①全等，理由见解析；②4cm /s .（2）经过了24秒，点P 与点Q 第一次在BC 边上相遇．
【解析】
【分析】
（1）①先求得BP=CQ=3，PC=BD=6，然后根据等边对等角求得∠B=∠C ，最后根据SAS 即可证明；②因为V P ≠V Q ，所以BP≠CQ ，又∠B=∠C ，要使△BPD 与△CQP 全等，只能BP=CP=4.5，根据全等得出CQ=BD=6，然后根据运动速度求得运动时间，根据时间和CQ 的长即可求得Q 的运动速度；（2）因为V Q >V P ，只能是点Q 追上点P ，即点Q 比点P 多走AB+AC 的路程，据此列出方程，解这个方程即可求得．
【详解】
(1)①1秒钟时，△BPD 与△CQP 是否全等；理由如下：
∵t =1秒，
∴BP =CQ =3(cm )
∵AB =12cm ，D 为AB 中点，
∴BD=6cm，
又∵PC=BC−BP=9−3=6(cm)，∴PC=BD
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△BPD与△CQP中,{BP CQ B C BD PC
=
∠=∠
=
，
∴△BPD≌△CQP(SAS)，
②∵V P≠V Q，
∴BP≠CQ，
又∵∠B=∠C，
要使△BPD≌△CPQ，只能BP=CP=4.5，∵△BPD≌△CPQ，
∴CQ=BD=6.
∴点P的运动时间t=
4.5
33
BP
==1.5(秒)，
此时V Q=
6
1.5
CQ
t
==4(cm/s).
(2)因为V Q>V P，只能是点Q追上点P，即点Q比点P多走AB+AC的路程，
设经过x秒后P与Q第一次相遇，
依题意得：4x=3x+2×12，
解得：x=24(秒)
此时P运动了24×3=72(cm)
又∵△ABC的周长为33cm，72=33×2+6，
∴点P、Q在BC边上相遇，即经过了24秒，点P与点Q第一次在BC边上相遇．
点睛：本题考查了三角形全等的判定和性质、等腰三角形的性质以及属性结合思想的运用，解题的根据是熟练掌握三角形的全都能的判定和性质.
3．证明见解析．
【解析】
【分析】
试题分析：首先根据角平分线的性质可得DE=DF ，又有BD=CD ，可证Rt △BDE ≌Rt △CDF （HL ），即可得证∠B=∠C ．
试题解析：证明：∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，
∴DE=DF ，
在△BDE 和△CDF 中，
{DE DF
BD DC ==
∴△BDE ≌△CDE （HL ）
∴∠B=∠C
考点：1．角平分线的性质；2．全等三角形的判定与性质．
4．（1）证明见解析；（2）BD=DE+CE ．理由见解析
【解析】
【分析】
（1）利用直角三角形的两锐角互余以及余角的性质即可证得∠ABD=∠CAE ，则利用AAS 即可证得△ABD ≌△CAE ；
（2）利用全等的性质得BD=AE ，AD=CE ，由AE=AD+DE ，即可得到BD=DE+CE ．
【详解】
解：（1）证明：∵∠BAE+∠CAE=90°，
又∵直角△ABD 中，∠BAE+∠ABD=90°，
∴∠ABD=∠CAE ．
则在△ABD 和△ACE 中，
===BAE CAE ADB AEC AB AC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
，
∴△ABD ≌△CAE ；
（2）∵△ABD ≌△CAE ；
∴BD=AE ，AD=CE ，
∵AE=AD+DE ，
∴BD=DE+CE ．
此题考查全等三角形的判定与性质，解题关键在于掌握有两组角对应相等，并且其中一组角所对边对应相等，那么这两个三角形全等；全等三角形的对应边相等．
5．见解析
【解析】
【分析】
由∠B=∠C=90°
，可知存在以下两种情况使△BPE ≌△CQP ，（1）当BP=CP ，BE=CQ 时；（2）当BP=CQ ，BE=CP 时；设点Q 的运动的时间为vcm/s ，则由已知易得
BP=2t ，CP=6-2t ，BE=2，CQ=vt ，由此根据上述两种情况分别列出关于t 和v 的方程，解方程即可求得对应的t 和v 的值.
【详解】
设点 Q 的运动速度为v cm/s ，则 2BP t =，62CP t =-，2BE =，CQ vt =． ∵∠B=∠C=90°，
∴存在以下两种情况使△BPE ≌△CPQ.
（1）当BP=CP ，BE=CQ 时，△BPE ≌△CPQ ，此时有：
262t t =-，2vt =，
解得：32t =，43
v =； （2）当BP=CQ ，BE=CP 时，△BPE ≌△CPQ ，
此时有：2t vt =，262t =-．
解得：2t =，2v =．
综上所述，
t 的值为 32 秒，Q 点的速度为4/3
cm s ；或t 的值为2秒，Q 点的速度为2 cm/s ． 【点睛】 “由∠B=∠C=90°，知道存在以下两种情况使△BPE ≌△CQP ：（1）当BP=CP ，BE=CQ 时；（2）当BP=CQ ，BE=CP 时”是解答本题的关键.
6．证明见解析.
【解析】
分析：可证明△ACE ≌△BDF ，得出∠A=∠B ，即可得出AE ∥BF ；
详证明：∵AD=BC ，∴AC=BD ，
在△ACE 和△BDF 中，
AC BD AE BF CE DF ⎧⎪⎨⎪⎩
＝＝＝，
∴△ACE ≌△BDF （SSS ）
∴∠A=∠B ，
∴AE ∥BF ；
点睛：本题考查了全等三角形的判定及性质以及平行线的判定问题，关键是用SSS 证明△ACE ≌△BDF ．
7．（1）CF=CG ；（2）CF=CG ，见解析
【解析】
【分析】
(1)结论CF=CG ，由角平分线性质定理即可判断．
(2)结论：CF=CG ，作CM ⊥OA 于M ，CN ⊥OB 于N ，证明△CMF ≌△CNG ，利用全等三角形的性质即可解决问题．
【详解】
解：（1）结论：CF=CG ；
证明：∵OP 平分∠AOB ，CF ⊥OA ，CG ⊥OB ，
∴CF=CG （角平分线上的点到角两边的距离相等）；
（2）CF=CG.理由如下：如图，
过点C 作CM ⊥OA ，CN ⊥OB ，
∵OP 平分∠AOB ，CM ⊥OA ，CN ⊥OB ，∠AOB=120º，
∴CM=CN （角平分线上的点到角两边的距离相等），
∴∠AOC=∠BOC=60º（角平分线的性质），
∵∠DCE=∠AOC ，
∴∠AOC=∠BOC=∠DCE=60º，
∴∠MCO=90º-60º =30º，∠NCO=90º-60º =30º，
∴∠MCN=30º+30º=60º，
∴∠MCN=∠DCE ，
∵∠MCF=∠MCN-∠DCN ，∠NCG=∠DCE-∠DCN ，
∴∠MCF=∠NCG ，
在△MCF 和△NCG 中，
CMF CNG CM CN
MCF NCG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
∴△MCF ≌△NCG （ASA ），
∴CF=CG （全等三角形对应边相等）；
【点睛】
本题考查三角形综合题、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握角平分线的性质的应用，熟练证明三角形全等 ．
8．（1）见解析（2）成立（3）△DEF 为等边三角形
【解析】
解：（1）证明：∵BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，∴∠BDA ＝∠CEA=900．
∵∠BAC ＝900，∴∠BAD+∠CAE=900．
∵∠BAD+∠ABD=900，∴∠CAE=∠ABD ．
又AB="AC" ，∴△ADB ≌△CEA （AAS ）．∴AE=BD ，AD=CE ．
∴DE="AE+AD=" BD+CE ．
（2）成立．证明如下：
∵∠BDA =∠BAC=α，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD +∠CAE=1800—α．∴∠DBA=∠CAE ． ∵∠BDA=∠AEC=α，AB=AC ，∴△ADB ≌△CEA （AAS ）．∴AE=BD ，AD=CE ． ∴DE=AE+AD=BD+CE ．
（3）△DEF 为等边三角形．理由如下：
由（2）知，△ADB ≌△CEA ，BD=AE ，∠DBA =∠CAE ，
∵△ABF 和△ACF 均为等边三角形，∴∠ABF=∠CAF=600．
∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF ．∴∠DBF=∠FAE ．
∵BF=AF ，∴△DBF ≌△EAF （AAS ）．∴DF=EF ，∠BFD=∠AFE ．
∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=600．
∴△DEF 为等边三角形．
（1）因为DE=DA+AE ，故由AAS 证△ADB ≌△CEA ，得出DA=EC ，AE=BD ，从而证得DE=BD+CE ．
（2）成立，仍然通过证明△ADB ≌△CEA ，得出BD=AE ，AD=CE ，所以DE=DA+AE=EC+BD ．
（3）由△ADB ≌△CEA 得BD=AE ，∠DBA =∠CAE ，由△ABF 和△ACF 均等边三角形，得∠ABF=∠CAF=600，FB=FA ，所以∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF ，即∠DBF=∠FAE ，所以△DBF ≌△EAF ，所以FD=FE ，∠BFD=∠AFE ，再根据
∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=600得到△DEF 是等边三角形．
9．（1）证明见解析；（2）∠FAE=135°；（3）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件易证∠BAC=∠DAE ，再由AB=AD ，AE=AC ，根据SAS 即可证得△ABC ≌△ADE ；
（2）已知∠CAE=90°，AC=AE ，根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得∠E=45°，由（1）知△BAC ≌△DAE ，根据全等三角形的性质可得∠BCA=∠E=45°，再求
得∠CAF=45°
，由∠FAE=∠FAC+∠CAE 即可得∠FAE 的度数； （3）延长BF 到G ，使得FG=FB ，易证△AFB ≌△AFG ，根据全等三角形的性质可得AB=AG ，∠ABF=∠G ，再由△BAC ≌△DAE ，可得AB=AD ，∠CBA=∠EDA ，CB=ED ，所以AG=AD ，∠ABF=∠CDA ，即可得∠G=∠CDA ，利用AAS 证得△CGA ≌△CDA ，由全等三角形的性质可得CG=CD ，所以CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF ．
【详解】
（1）∵∠BAD=∠CAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=90°，∠CAD+∠DAE=90°，
∴∠BAC=∠DAE ，
在△BAC 和△DAE 中，
AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△BAC ≌△DAE （SAS ）；
（2）∵∠CAE=90°，AC=AE ，
∴∠E=45°，
由（1）知△BAC ≌△DAE ，
∴∠BCA=∠E=45°，
∵AF ⊥BC ，
∴∠CFA=90°，
∴∠CAF=45°，
∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=45°+90°=135°；
（3）延长BF 到G ，使得FG=FB ，
∵AF ⊥BG ，
∴∠AFG=∠AFB=90°，
在△AFB 和△AFG 中，
BF F AFB AFG AF AF G =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△AFB ≌△AFG （SAS ），
∴AB=AG ，∠ABF=∠G ，
∵△BAC ≌△DAE ，
∴AB=AD ，∠CBA=∠EDA ，CB=ED ，
∴AG=AD ，∠ABF=∠CDA ，
∴∠G=∠CDA ，
在△CGA 和△CDA 中，
GCA DCA CGA CDA AG AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△CGA ≌△CDA ，
∴CG=CD ，
∵CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF ，
∴CD=2BF+DE ．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质，解决第3问需作辅助线，延长BF到G，使得FG=FB，证得△CGA≌△CDA是解题的关键．
10．（1）证明见解析（2）90°（3）AP=CE
【解析】
【分析】
(1)、根据正方形得出AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，结合PB=PB得出△ABP ≌△CBP，从
而得出结论；(2)、根据全等得出∠BAP=∠BCP，∠DAP=∠DCP，根据PA=PE得出∠DAP=∠E，即∠DCP=∠E，易得答案；(3)、首先证明△ABP和△CBP全等，然后得出PA=PC，
∠BAP=∠BCP，然后得出∠DCP=∠E，从而得出∠CPF=∠EDF=60°，然后得出△EPC是等边三角形，从而得出AP=CE.
【详解】
(1)、在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，
在△ABP和△CBP中，又∵ PB=PB ∴△ABP ≌△CBP（SAS），∴PA=PC，∵PA=PE，∴PC=PE；
(2)、由（1）知，△ABP≌△CBP，∴∠BAP=∠BCP，∴∠DAP=∠DCP，
∵PA=PE，∴∠DAP=∠E，∴∠DCP=∠E，∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），
∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E，即∠CPF=∠EDF=90°；
(3)、AP＝CE
理由是：在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP，
在△ABP和△CBP中，又∵ PB=PB ∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA=PC，∠BAP=∠DCP，
∵PA=PE，∴PC=PE，∴∠DAP=∠DCP，∵PA=PC ∴∠DAP=∠E，∴∠DCP=∠E
∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E，
即∠CPF=∠EDF=180°﹣∠ADC=180°﹣120°=60°，∴△EPC是等边三角形，∴PC=CE，
∴AP=CE
考点：三角形全等的证明
11．（1）见解析；（2）BD=DE-CE ，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据已知利用AAS 判定△ABD ≌△CAE 从而得到BD=AE ，AD=CE ，因为AE=AD+DE ，
所以BD=DE+CE ；
（2）根据已知利用AAS 判定△ABD ≌△CAE 从而得到BD=AE ，AD=CE ，因为AD+AE=BD+CE ，所以BD=DE-CE ．
【详解】
解：（1）∵∠BAC=90°，BD ⊥AE ，CE ⊥AE ，
∴∠BDA=∠AEC=90°，
∵∠ABD+∠BAE=90°，∠CAE+∠BAE=90°
∴∠ABD=∠CAE ，
∵AB=AC ，
在△ABD 和△CAE 中，
BDA AEC ABD CAE AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ABD ≌△CAE （AAS ），
∴BD=AE ，AD=CE ，
∵AE=AD+DE ，
∴BD=DE+CE ；
（2）BD 与DE 、CE 的数量关系是BD=DE-CE ，理由如下：
∵∠BAC=90°，BD ⊥AE ，CE ⊥AE ，
∴∠BDA=∠AEC=90°，
∴∠ABD+∠DAB=∠DAB+∠CAE ，
∴∠ABD=∠CAE ，
∵AB=AC ，
在△ABD 和△CAE 中，
BDA AEC ABD CAE AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ABD ≌△CAE （AAS ），
∴BD=AE ，AD=CE ，
∴AD+AE=BD+CE ，
∵DE=BD+CE ，
∴BD=DE-CE ．
【点睛】
此题主要考查全等三角形的判定和性质，常用的判定方法有SSS ，SAS ，AAS ，HL 等．这种类型的题目经常考到，要注意掌握．
12．（1）证明见解析；（2）3.5；（3）是，理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）由题意连接AD ，并利用全等三角形的判定判定△BDE ≌△ADF(ASA)，进而分析证得DEF 为等腰直角三角形；
（2）由题意分析可得S 四边形AEDF =S ∆ADF +S ∆ADE =S ∆BDE +S ∆CDF ，以此进行分析计算求出四边形AEDF 的面积即可；
（3）根据题意连接AD ，运用全等三角形的判定判定△BDE ≌△ADF(ASA)，进而分析证得DEF 为等腰直角三角形.
【详解】
解：（1）证明：如图①，连接AD.
∵∠BAC=90˚,AB=AC,点D 是斜边BC 的中点，
∴AD ⊥BC ，AD=BD ，
∴∠1=∠B=45°，
∵∠EDF=90°，∠2+∠3=90°，
又∵∠3+∠4=90°，
∴∠2=∠4，
在△BDE 和△ADF中，∠1=∠B，AD=BD,∠2=∠4，
∴△BDE≌△ADF(ASA),
∴DE=DF,
又∵∠EDF=90°，
∴ΔDEF为等腰直角三角形.
（2）由（1）可知DE=DF，∠C=∠6=45°，
又∵∠2+∠3=90°，∠2+∠5=90°，
∴∠3=∠5，
∴△ADE≌△CDF，
∴S
=S∆ADF+S∆ADE=S∆BDE+S∆CDF，
四边形AEDF
∴S∆ABC=2 S四边形AEDF,
∴S
=3.5 .
四边形AEDF
（3）是.如图②，连接AD.
∵∠BAC=90°，AB=AC，D是斜边BC的中点，
∴AD⊥BC,AD=BD ，
∴∠1=45°，
∵∠DAF=180°-∠1=180°—45°=135°，∠DBE=180°-∠ABC=180°-45°=135°，∴∠DAF=∠DBE，
∵∠EDF=90°，
∴∠3+∠4=90°，
又∵∠2+∠3=90°，
∴∠2=∠4,
在△BDE和△ADF中，∠DAF=∠DBE，AD=BD,∠2=∠4,
∴△BDE ≌△ADF(ASA),
∴DE=DF,
又∵∠EDF=90°，
∴△DEF 为等腰直角三角形.
【点睛】
本题考查等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，根据题意作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
13．(1)证明见解析；(2) 证明见解析；(3) 90°－
12
α 【解析】
试题分析：（1）由CA=CB ，CD=CE ，∠ACB=∠DCE=α，利用SAS ，即可判定：
△ACD ≌△BCE ；
（2）首先作CM ⊥AD 于M ，CN ⊥BE 于N ，由△ACD ≌△BCE ，可证∠CAD=∠CBE ，再证△ACM ≌△BCN ，（或证△ECN ≌△DCM ），可得CM=CN ，即可证得CH 平分∠AHE ； （3）由△ACD ≌△BCE ，可得∠CAD=∠CBE ，继而求得∠AHB=∠ACB=α，则可求得∠CHE 的度数．
试题解析：(1)证明：∵∠ACB ＝∠DCE ＝α，
∴∠ACD ＝∠BCE .
在△ACD 和△BCE 中， CA CB ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ACD ≌△BCE (SAS)．
(2)证明：过点C 作CM ⊥AD 于M ，CN ⊥BE 于N .
∵△ACD ≌△BCE ，∴∠CAM ＝∠CBN .
在△ACM 和△BCN 中，
90CAM CBN AMC BNC AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
∴△ACM ≌△BCN .
∴CM ＝CN .
∴CH 平分∠AHE .
(3)令BC 、AH 交于点Q .
∵∠AQC ＝∠BQH ，∠CAD ＝∠CBE ，
∴∠AHB ＝∠ACB ＝α.
∴∠AHE ＝180°
－α. ∴∠CHE ＝
12∠AHE ＝90°－12
α. 14．（1）见解析；（2）∠BOC=12A ∠，理由见解析；（3）∠BOC=90°－12A ∠ 【解析】
【分析】
（1）利用△ABC 和△BOC 的内角和为180°进行角度转化可得结论；
（2）设∠ABO=x ，∠ACO=y ，利用△ABC 和△OBC 的内角和，可得出2个关于x 、y 、∠A 、
∠BOC 的方程，消去x 、y 可得；
（3）设∠DBO=x ，∠ECO=y ，利用△ABC 和△OBC 的内角和，可得出2个关于x 、y 、∠A 、
∠BOC 的方程，消去x 、y 可得．
【详解】
（1）∵OB 、OC 分别时∠ABC 和∠ACB 的角平分线
∴∠ABO=2∠1，∠ACB=2∠2
在△ABC 中，∠A+2∠1+2∠2=180°，化简得：∠A+2(∠1+∠2)=180°
在△BOC 中，∠1+∠2+∠BOC=180°，化简得：∠1+∠2=180°－∠BOC ，代入上式得：
∠A+2(180°－∠BOC)=180°
化简得：∠BOC=90°+12
A ∠ （2）设∠ABO=x ，∠ACO=y
∵O 是∠ABC 与外角∠ACD 的平分线BO 和CO 的交点
∴∠OBC=∠OBA=x ，∠OCD=∠OCA=y ，∠ACB=180°－2y
∴在△ABC中，∠A+2x+(180°－2y)=180°，化简得：∠A=2(y－x)
在△BOC中，x+∠BOC+(180°－2y+y)=180°，化简得：∠BOC=(y－x)
∴∠BOC=1
2
A ∠
（3）设∠DBO=x，∠ECO=y
同理，∠OBC=x，∠OCB=y，∠ABC=180°－2x，∠ACB=180°－2y
∴在△ABC中，∠A+(180°－2x)+ (180°－2y)=180°，化简得：2(x+y)－∠A=180°在△OBC中，x+y+∠BOC=180°，化简得：x+y=180°－∠BOC，代入上式得：
∠A+2∠BOC=180°，即：∠BOC=90°－1
2
A ∠
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理和角平分线的性质，解题关键是利用方程思想，结合三角形内角和关系转化为方程的形式求解．
15．（1）∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C，理由见解析；（2）①50；②∠DCE＝85°．
【解析】
【分析】
（1）首先连接AD并延长至点F，然后根据外角的性质，即可判断出∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C；
（2）①由（1）可得∠A+∠ABX+∠ACX＝∠X，然后根据∠A＝40°，∠X＝90°，即可
求解；
（3）②由∠A＝40°，∠DBE＝130°，求出∠ADE+∠AEB的值，然后根据∠DCE＝
∠A+∠ADC+∠AEC，求出∠DCE的度数即可.
【详解】
（1）如图，∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C，理由是：
过点A、D作射线AF，
∵∠FDC＝∠DAC+∠C，∠BDF＝∠B+∠BAD，
∴∠FDC+∠BDF＝∠DAC+∠BAD+∠C+∠B，即∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C；
（2）①如图（2），∵∠X＝90°，
由（1）知：∠A+∠ABX+∠ACX＝∠X＝90°，∵∠A＝40°，
∴∠ABX+∠ACX＝50°，
故答案为：50；
②如图（3），∵∠A＝40°，∠DBE＝130°，∴∠ADE+∠AEB＝130°﹣40°＝90°，
∵DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，
∴∠ADC＝1
2
∠ADB，∠AEC＝
1
2
∠AEB，
∴∠ADC+∠AEC＝1
(ADB AEB)
2
∠+∠＝45°，
∴∠DCE＝∠A+∠ADC+∠AEC＝40°+45°＝85°．
【点睛】
本题主要考查了三角形外角性质以及角平分线的定义的运用，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键.
16．（1）证明见解析；（2）6.
【解析】
【分析】
（1）先证明△BDF≌△CDN，得出∠BDF＝∠CDN，DF＝DN，同时再证明△DMN≌△DMF，得出MN＝MF＝MB＋BF＝MB＋CN.
（2）根据MN＝MB＋CN，得出△AMN的周长为AM＋AN＋MN＝AM＋MB＋AN＋CN＝AB＋AC＝6.
【详解】
解：(1)∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°，∴∠BCD＝∠DBC＝30°.
∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠BCA＝60°，
∴∠DBA＝∠DCA＝90°，
延长AB 至F ，使BF ＝CN ，连接DF ，
由SAS 可证△BDF ≌△CDN ，
∴∠BDF ＝∠CDN ，DF ＝DN ，
∵∠MDN ＝60°，∴∠FDM ＝∠BDM ＋∠CDN ＝60°，
由SAS 可证△DMN ≌△DMF ，
∴MN ＝MF ＝MB ＋BF ＝MB ＋CN
(2)由(1)知MN ＝MB ＋CN ，
∴△AMN 的周长为AM ＋AN ＋MN ＝AM ＋MB ＋AN ＋CN ＝AB ＋AC ＝6
【点睛】
本题属于开放性应用题，适当的构建三角形是解题的关键.题中构建辅助线的方法是“延长AB 至F ，使BF ＝CN ，连接DF ”，这是本题的重点.
17．（1） 25，115；（2）当DC =2时，△ABD ≌△DCE ，理由见解析；（3）可以；当∠BDA 的度数为110°或80°时，△ADE 的形状是等腰三角形．
【解析】
【分析】
（1）根据三角形内角和定理，将已知数值代入即可求出BAD ∠，根据平角的定义，可求出EDC ∠的度数，根据三角形内和定理，即可求出DEC ∠．
（2）当AB DC =时，利用AAS 可证明ABD DCE ∆≅∆，即可得出2AB DC ==． （3）假设ADE ∆是等腰三角形，分为三种情况讨论：①当AD AE =时，
40ADE AED ∠=∠=︒，根据AED C ∠>∠，得出此时不符合；②当DA DE =时，求出70DAE DEA ∠=∠=︒，求出BAC ∠，根据三角形的内角和定理求出BAD ∠，根据三角形的内角和定理求出BDA ∠即可；③当EA ED =时，求出DAC ∠，求出BAD ∠，根据三角形的内角和定理求出ADB ∠．
【详解】
（1）在BAD 中，40B ∠= ，115BDA ∠=，
1801804011525BAD ABD BDA ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，
1801801154025EDC ADB ADE ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒．
AB AC =，40B ∠=，40B C ∴∠=∠=，
1801804025115C E DC D E C ︒-∠-∠=︒-︒-︒=∠=︒．
故答案为：25，115；
（2）当2DC =时，ABD DCE ∆≅∆．理由如下：
40C ∠=，140EDC DEC ∴∠+∠=︒，又40ADE ∠=，140ADB EDC ∴∠+∠=︒，ADB DEC ∴∠=∠．
在ABD △和DCE ∆中，B C ∠=∠，ADB DEC ∠=∠，当AB DC =时，
()ABD DCE AAS ∆≅∆，2AB DC ∴==；
（3）AB AC =，40B C ∴∠=∠=︒，分三种情况讨论：
①当AD AE =时，40ADE AED ∠=∠=︒，AED C ∠>∠，∴此时不符合；
②当DA DE =时，即1(18040)702
DAE DEA ∠=∠=︒-︒=︒，1804040100BAC ∠=︒-︒-︒=︒，1007030BAD ∴∠=︒-︒=︒；
1803040110BDA ∴∠=︒-︒-︒=︒；
③当EA ED =时，40ADE DAE ∠=∠=︒，1004060BAD ∴∠=︒-︒=︒，
180604080BDA ∴∠=︒-︒-︒=︒；
∴当110ADB ∠=︒或80︒时，ADE ∆是等腰三角形．
【点睛】
本题考查了学生对等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识点的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，综合性较强．
18．()130°；（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）先推出△ABC 是等边△ABC ，再根据等边三角形的性质得到∠ACB=∠ABC=60°，然后根据等边对等角可得：∠E=∠CDE ，最后根据外角的性质可求∠E 的度数；
（2）连接BD ，由等边三角形的三线合一的性质可得：11603022
∠=∠=︒︒⨯=DBC ABC ，结合（1）的结论可得：∠DBC=∠E ，然后根据等角对等边，可得：DB=DE ，最后根据等腰三角形的三线合一的性质可得：M 是BE 的中点．
【详解】
（1）解：∵ABC 中，AB BC =，60B ∠=︒
∴三角形ABC 是等边△ABC ，
∴∠ACB=∠ABC=60°，
又∵CE=CD ，
∴∠E=∠CDE ，
又∵∠ACB=∠E+∠CDE ， ∴1302
E ACB ∠=∠=︒； （2）证明：连接BD ，
∵等边△ABC 中，D 是AC 的中点， ∴11603022
∠=∠=︒︒⨯=DBC ABC 由（1）知∠E=30°
∴∠DBC=∠E=30°
∴DB=DE
又∵DM ⊥BC
∴M 是BE 的中点．
【点睛】
此题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的三线合一的性质的解题的关键．
19．（1）见解析；（2）6
【解析】
【分析】
(1)根据等边三角形的性质得到AB=BC ，∠BAC=∠ABC ，且AD=BE 则可得出△ABD ≌△BCE ，再利用全等三角形的性质即可得到答案；
(2)根据（1）可知∠ABC=60º，△ABD ≌△BCE 得到∠FPC 的度数，再根据有一个角是30°的直角三角形的性质即可得到答案；
【详解】
解：（1）证明：∵△ABC 为等边三角形，
∴ AB=BC ，∠BAC=∠ABC=60º，
又∵AD=BE ，
在△ABD 和△BCE 中，
AB BC BAC ABC AD BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ABD ≌△BCE （SAS ），
∴BD=CE
（2）由（1）可知∠ABC=60º，△ABD ≌△BCE ，
∴∠ABD=∠BCE ，
∴∠ABD+∠CBD =∠ABC=60º，
∴∠BCE+∠CBD =60º，
∴∠BPC =180º-60º=120º（三角形内角和定理），
∴∠FPC =180º-120º=60º，
∵CF ⊥BD ，
∴△CPF 为直角三角形，
∴∠FCP =30º，
∴CP=2PF ，
∵PF=3，∴CP=6
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理、有一个角是30°的直角三角形的性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
20．（1）103
秒；（2）证明见解析 【解析】
【分析】
（1）经过分析当△ADE 是直角三角形时，只有∠ADE=90°的情况，此时∠AED=30°．用运动时间t 表示出AD 和AE ，根据30度直角三角形的性质构造关于t 的方程即可求解； （2）过D 点作DK ∥AB 交BC 于点K ，证明△DKP ≌△EBP 即可说明点P 始终是线段DE 的中点．
【详解】
解：（1）ADE ∆中，60A ∠=︒，60AED ABC ∠≤∠=︒
所以若ADE ∆是直角三角形，只能90ADE ∠=︒
Rt ADE ∆中，60A ∠=︒得，∠AED=30°
∴2AE AD =
设D 点运动时间为t ，则E 点运动时间也为t ．
∴10AD t =-，10AE t =+
∴102(10)t t +=-，解得103
t = 所以当ADE ∆是直角三角形时，D ，E 两点运动时间为
103秒． （2）过点D 作//DK AB 交BC 于点K
∵等边三角形ABC ∆中．60A ∠=︒，60C ∠=°
且//DK AB
∴60C CDK CKD ∠=∠=∠=︒
∴CDK ∆为等边三角形
∴CD DK CK ==，120DKB ADK CBE ∠=︒=∠=∠
设D ，E 运动时间为t 秒，则CD BE t ==
在DKP ∆与EBP ∆中
DPK EPB DKP EBP DK BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴()DKP EBP AAS ∆∆≌
∴PD PE =
∴P 始终为DE 的中点
【点睛】
本题主要考查了等边三角形、全等三角形的判定和性质，用运动时间t 正确表示出对应线段长度是解题的关键．
21．（1）△ODE 是等边三角形；理由见解析；（2）BD=DE=EC ，理由见解析；
【解析】
【分析】
（1）根据平行线的性质及等边三角形的性质可得到△ODE 是等边三角形；
（2）根据角平分线的性质及平行线的性质可得到∠DBO=∠DOB ，根据等角对等边可得到DB=DO ，同理可证明EC=EO ，因为DE=OD=OE ，所以BD=DE=EC ．
【详解】
解：（1）△ODE 是等边三角形，
其理由是：∵△ABC 是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵OD ∥AB ，OE ∥AC ，
∴∠ODE=∠ABC=60°，∠OED=∠ACB=60°
∴△ODE 是等边三角形；
（2）答：BD=DE=EC ，
其理由是：∵OB 平分∠ABC ，且∠ABC=60°，
∴∠ABO=∠OBD=30°，
∵OD ∥AB ，
∴∠BOD=∠ABO=30°，
∴∠DBO=∠DOB，
∴DB=DO，
同理，EC=EO，
∵DE=OD=OE，
∴BD=DE=EC．
【点睛】
等边三角形的判定与性质．
22．（1）见详解（2）4
【解析】
【分析】
（1）由AB=AC，可知∠B=∠C，再由DE⊥BC，可知∠F+∠C=90°，∠BDE+∠B=90，然后余角的性质可推出∠F=∠BDE，再根据对顶角相等进行等量代换即可推出∠F=∠FDA，于是得到结论；
（2）根据解直角三角形和等边三角形的性质即可得到结论．
【详解】
证明：（1）∵AB=AC
∴∠B=∠C，
∵FE⊥BC，
∴∠F+∠C=90°，∠BDE+∠B=90°，
∴∠F=∠BDE，
又∵∠BDE=∠FDA，
∴∠F=∠FDA，
∴AF=AD，
∴△ADF是等腰三角形；
（2）∵DE⊥BC，
∴∠DEB=90°,
∵∠B=60°,BD=4，
∴BE=1
2
BD=2
∵AB=AC
∴△ABC是等边三角形，
∴BC=AB=AD+BD=6，
∴EC=BC-BE=4
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的判定与性质、余角的性质、对顶角的性质等，根据余角性质求得相等的角是解题关键．
23．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【解析】
【分析】
（1）由等边△ABC，DG⊥AC，可求得∠AGD=90°，∠ADG=30°，然后根据直角三角形
中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可证得AG=1
2 AD；
（2）首先过点D作DH∥BC交AC于点H，证得△ADH是等边三角形，又由CE=DA，可利用AAS证得△DHF≌△ECF，继而可得DF=EF；
（3）由△ABC是等边三角形，DG⊥AC，可得AG=GH，即可得S△ADG=S△HDG，又由
△DHF≌△ECF，即可证得S△DGF=S△ADG+S△ECF．
【详解】
证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=60°，
∵DG⊥AC，
∴∠AGD=90°，∠ADG=30°，
∴AG=1
2 AD；
（2）过点D作DH∥BC交AC于点H，
∴∠ADH=∠B，∠AHD=∠ACB，∠FDH=∠E，∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠ACB=∠A=60°，
∴∠A=∠ADH=∠AHD=60°，
∴△ADH 是等边三角形，
∴DH=AD ，
∵AD=CE ，
∴DH=CE ，
在△DHF 和△ECF 中，
FDH E DFH EFC DH CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△DHF ≌△ECF （AAS ），
∴DF=EF
（3）∵△ABC 是等边三角形，DG ⊥AC ，
∴AG=GH ，
∴S △ADG =S △HDG ，
∵△DHF ≌△ECF ，
∴S △DHF =S △ECF ，
∴S △DGF =S △DGH +S △DHF =S △ADG +S △ECF ．
【点睛】
此题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及含30°直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
24．（1）见详解；（2）△CEF 是等边三角形，理由见详解．
【解析】
【分析】
（1）等边三角形的性质可以得出△ACN ，△MCB 两边及其夹角分别对应相等，两个三角形全等，得出线段AN 与线段BM 相等．
（2）平角的定义得出∠MCN ＝60°，通过证明△ACE ≌△MCF 得出CE ＝CF ，根据等边三角形的判定得出△CEF 的形状．
【详解】
（1）证明：∵△ACM 与△CBN 都是等边三角形，
∴AC ＝MC ，CN ＝CB ，∠ACM ＝∠BCN ＝60°．
∴∠MCN ＝180°－∠ACM －∠BCN ＝60°，∠ACM ＋∠MCN ＝∠BCN ＋∠MCN ， 即：∠ACN ＝∠MCB ，
在△ACN 和△MCB 中
AC MC ACN MCB NC BM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ACN ≌△MCB （SAS ）．
∴AN ＝BM ．
（2）解：△CEF 是等边三角形，理由如下：
∵∠ACM ═60°，∠MCN ＝60°，
∴∠ACM ＝∠MCN ，
∵△ACN ≌△MCB ，
∴∠CAE ＝∠CMB ．
在△ACE 和△MCF 中
CAE CMF AC MC ACE FCM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
∴△ACE ≌△MCF （ASA ）．
∴CE ＝CF ．
又∵∠MCN ＝60°，
∴△CEF 的形状是等边三角形．
【点睛】
本题考查了SAS ﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等，ASA ﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等，同时考查了等边三角形的性质和判定．
25．见解析
【解析】
【分析】
如图，作线段CD 的垂直平分线EF ，作∠AOB 的平分线OM ，OM 交EF 于点P ，点P 即为所求．
【详解】
如图，作线段CD的垂直平分线EF，作∠AOB的平分线OM，OM交EF于点P，点P即为所求．
【点睛】
本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
26．（1）5；（2）4
【解析】
【分析】
（1）根据线段的垂直平分线的性质得到DA＝DB、EA＝EC，根据三角形的周长公式计算，得到答案；
（2）根据三角形的周长公式求出OB+OC，根据线段垂直平分线的性质得到OB＝OC，计算即可．
【详解】
解：（1）∵DM是线段AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
同理，EA＝EC，
∵△ADE的周长5，
∴AD+DE+EA＝5，
∴BC＝DB+DE+EC＝AD+DE+EA＝5（cm）；
（2）∵△OBC的周长为13，
∴OB+OC+BC＝13，
∵BC＝5，
∴OB+OC＝8，
∵OM垂直平分AB，。