竞赛课 公开课课件完全平方公式
完全平方公式公开课精品PPT课件
= a2-2ab+b2
学习新知
完全平方公式： 两数和(或差)的平方,等于它们的平方和 加上(或减去)它们乘积的2倍.
式子表示为： ① (a+b)2=a2+2ab+b2
两数和的完全平方公式
② (a-b)2=a2-2ab +b2.
两数差的完全平方公式
合写：(a±b)2=a2±2ab+b2.
记忆口诀： 头平方，尾平方，2倍乘积在中央，中间符号照原样!
15
谢谢大家
荣幸这一路，与你同行
It'S An Honor To Walk With You All The Way
讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
-(a+b)2
(4)(a-b)(b-a)
-(a-b)2
课堂小结 作业：课本112页复习巩固
第3题、第4题
提高题：
1.已知(m+n)2=2,(m-n)2=8, 则m2+n2=（ ） A.10 B.6 C.5 D.3
2.已知x+y=8，x-y=4，求xy。
例 综合运用乘法公式计算
(1)(2x-1)2-(3x+1)2; (2)(a-b)2•(a+b)2; (3)(x+y)(-x+y)(x2-y2).
()
3.(a±b)2=a2±b2
X( )
另辟蹊径：
(1) (-2xưx)2或 (2x-5)2
(m+2n)2
抢答！
下面的式子能否 结构令计算简便呢？
(1) (-2a-3b)2
(2a+3b)2
(2)(x+y)(2x+2y)
2(x+y)2
《完全平方公式》PPT课件
-.
思考:
你能计算图1和图2的面积吗？
b
a
a
b
图1
b a
b a 图2
b ab b²
(a+b)
a a²² ab
ab
(a b)2 a2+ 2ab+b2
b a b²
a
b
a² a
(a-b)² b
ab
(a b)2 a2 ab ab b2
a2 2ab b2
完全平方公式的数学表达式：
3、若a b 5，ab 6， 求 a2b2，a2ab b2.
基础练习:
1.运用完全平方公式计算:
(1)(x+6)2；
(2) (y-5)2；
(3) (-2x+5)2；
(4) ( 2 x - 3 y)2.
34
2.运用完全平方公式计算:
(1) 9.9
(2)201
3.若a b 5，ab 6， 求 a2b2，a2ab b2.
4.已知 x y 8，x y 4，求xy.
.
(1)
(1 x 2 y2)2 23
(2) 1012
解：1
1 2
x
2 3y2Βιβλιοθήκη 21 2x
2
2
1 2
x
2 3
y2
2 3
y2
2
1 x2 2 xy2 4 y4;
43
9
21012 100 12
1002 21001 12
10201.
例3：计算： (1) (x 2y) (x 2y) (x 2y)2 8y2
2
x
2
1 2
x
2 3
y
完全平方公式PPT课件
(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2
1、积为二次三项式；
2、积中两项为两数的平方和；
3、另一项是两数积的2倍，且与乘式中间的符号相同.
首平方，尾平方，积的2倍放中央 .
4、公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式.
例4 运用完全平方公式计算：
(1)(3m+n)2；
(2)
x
-
1 2
2
.
(1)(3m+n)2
解 (3m+n)2
= (3m)2+2 ·3m ·n + n2
= 9m2+6mn+n2.
（2）
2
x - 1
2
解
x
-
1
2
2
=
x2
-2·x·1Fra bibliotek+
12
2 2
= x2 - x+ 1 4
想一想:
下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改 正？
思考 (a+b)2与(-a-b)2相等吗？ (a-b)2与(b-a)2相等吗？ (a-b)2与a2-b2相等吗？ 为什么？
说一说
1. (a-b)2与(b-a)2有什么关系？ 答：相等. 这是因为 (b-a)2 = [-(a-b)]2=(a-b)2. 2. (a+b)2与(-a-b)2有什么关系？ 答：相等. 这是因为 (-a-b)2 = [-(a+b)]2=(a+b)2.
b a
b a 图2
完全平方公式 的几何意义 和的完全平方公式：
b ab
b²
(a+b)²
完全平方公式一等奖课件
完全平方公式一等奖课件Title: The First Prize Courseware on the Quadratic FormulaIntroduction:I. What is a Perfect Square Trinomial?1. Definition: A perfect square trinomial is a quadratic expression that can be factored into the square of a binomial.2. Structure: A perfect square trinomial follows the general form: (ax + b)^2 = a^2x^2 + 2abx + b^2.。
3. Characteristic Features: Key features include a perfect square binomial and positive leading coefficient.II. Applying the Perfect Square Formula:1. Derivation: The Quadratic Formula can be derived by expanding and factoring a perfect square trinomial.2. Constant Coefficient: The constant coefficient of a perfect square trinomial is always the square of half the coefficient of the linear term.3. Square of a Binomial: The perfect square trinomial can be factored into (a + b)^2, where a represents the root(s) of the quadratic equation.III. Solving Quadratic Equations:1. General Form: A quadratic equation can be represented as ax^2 + bx + c = 0, where a, b, and c are constants.2. Discerning Perfect Square Trinomials: Recognizing the perfect square form is crucial in the factorization of quadratic equations.3. Solving Using Quadratic Formula: Apply the Quadratic Formula: x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a) to find the roots.IV. Real-Life Applications:1. Architecture: The construction of arches and parabolic structures often employs quadratic principles.2. Physics: Motion problems involving projectiles, gravity, and vertical displacement can be modeled using quadratic equations.3. Finance: Calculating profit and loss, as well as determining break-even points, can be done through quadratic equations.V. Example Problems:1. Factorization: Given a quadratic equation, factorize it into a perfect square trinomial.2. Finding Roots: Find the roots of a given quadratic equation using the Quadratic Formula.3. Word Problems: Solve real-life word problems involving quadratic equations.Conclusion:In conclusion, we have explored the concept of perfect square trinomials and the Quadratic Formula in this first prize courseware. We have learned how to recognize and apply the perfect square form, solve quadratic equations using the Quadratic Formula, and examined real-life applications. Mastering the Quadratic Formula will equip you with the skills to solve various mathematical and practical problems. Thank you for your participation, and I hope you found this courseware both informative and engaging!。
完全平方公式公开课ppt课件
如将表达式$(x+5)^2$展开，得到 $x^2 + 10x + 25$，比原式更为简 洁，方便后续的代数运算。
解决实际问题
总结词
应用示例
完全平方公式不仅在数学领域有广泛 应用，还能够帮助解决实际生活中的 问题。
如利用完全平方公式解决物理中的自 由落体问题，通过建立数学模型，求 出物体落地时的速度和位移。
批判性思维
03
在学习和应用完全平方公式的过程中，学生可以通过分析和评
价不同的方法和思路，培养批判性思维。
06
总结与展望
本节课的总结
完全平方公式的定义和形式
本节课介绍了完全平方公式的定义和形式，包括平方差公式和完 全平方公式，并通过实例进行了演示和讲解。
完全平方公式的应用
重点讲解了完全平方公式在代数、几何等领域的应用，包括因式分 解、求根公式、一元二次方程的解法等。
条件二
需要满足二次项系数为1的条件。在完全平方公式 中，二次项系数必须为1，否则无法应用完全平方 公式进行简化。
04
完全平方公式的应用实例
代数表达式化简
总结词
完全平方公式在代数表达式化简 中具有重要作用，能够简化复杂 的代数式，提高计算效率和准确
性。
详细描述
通过完全平方公式，可以将复杂的 二次项和一次项组合转化为简单的 平方形式，从而简化代数表达式的 结构，方便计算和推导。
完全平方数的个位数特征
个位数是0、1、4、5、6、9的数不一定是完全平方数， 但个位数是2、3、7、8的数一定是完全平方数。
完全平方公式的形式
完全平方公式：$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ 和 $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
3 完全平方公式 大赛获奖课件 公开课一等奖课件
解： (1)16x2+ 24x +9 = (4x)2 + 2·4x·3 + (3)2 = (4x + 3)2；
(2)-x2+ 4xy-4y2 =-(x2-4xy+4y2) =-(x-2y)2.
例3 把下列各式分解因式： (1)3ax2+6axy+3ay2 ；(2)(a+b)2-12(a+b)+36.
我们把a²+2ab+b²和a²-2ab+b²这样的式子叫作完全
平方式. 观察这两个式子：
a2+2ab+b2
a2－2ab+b2
（1）每个多项式有几项？ 三项 （2）每个多项式的第一项和第三项有什么特征？ 这两项都是数或式的平方，并且符号相同 （3）中间项和第一项，第三项有什么关系？ 是第一项和第三项底数的积的±2倍
B C
讲授新课
一 线段垂直平分线的性质 观察： 已知点A与点A′关于直线l 对称，如果线段AA′沿 直线l折叠，则点A与点A′重合，AD=A′D，∠1=∠2= 90°，即直线l 既平分线段AA′，又垂直线段AA′.
l
12
●
●
A
D
A′ (A)
知识要点
我们把垂直且平分一条线段的直线叫作这 条线段的垂直平分线.
例6 已知a，b，c分别是△ABC三边的长，且a2＋2b2＋ c2－2b(a＋c)＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由．
解：由a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，得 a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＝0， 即(a－b)2＋(b－c)2＝0， ∴a－b＝0，b－c＝0，∴a＝b＝c， ∴△ABC是等边三角形．
完全平方公式公开课公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
x
目的展示
1、经历两个数旳和（差）旳平方旳探究，归纳 出完全平方公式。 2、经过对几何图形面积旳求解，验证完全平方 式，并能利用完全平方公式进行简朴旳运算 3、经过自主、合作、探究，探索完全平方公式， 感悟从详细到抽象旳研究措施，感受观察、猜 测，归纳、验证旳数学思想 要点：完全平方公式旳推导、应用。 难点：面积验证完全平方公式和完全平方，灵 活应用完全平方公式
平方；另一项是（它们积旳2倍）； 3.乘式中间旳符号与它们积旳二倍旳符 号（相同 ）。
例1 利用完全平方公式计算：
(1)(4m+n)2
2
y
1 2
2
解：(4m+n)2=(4m)2+ 2•4m •n+n2
(a + b)2= a2 + 2 a b + b2 =16m2 +8mn +n2
2
y
1 2
a 你b2能验a证 b完 全a 平b方 公式吗？
a2 ab ba b2
a2 ab ba b2
a2 2ab b2
a2 2ab b2
探究二：
你能根据图14.2 -2和图14.2 -3 中旳 面积阐明完全平方公式吗?
b
a
a
b
图 14.2--2
b a
b a 图14.3-3
议一议
应用完全平方公式计算
• （1）1022
99 （2）
2
小结
１.这节课你学到了些什么知识？ ２.你有什么收获？
两你数能和用(文或字差表)述旳完平全方平,方等公于式它吗们？旳 平方和,加(或减)它们旳积旳2倍.
a b 2 a2 2ab b2
a b 2 a2 2ab b2
完全平方公式 (优质课)获奖课件 (优质课)获奖课件
(3)例子： 把 x2＋6x＋9 和 4x2－20x＋25 因式分解． 显然，它们不能用学过的方法，可以用完全平方公式 分解吗？ 三、应用举例 1．(1)提问：式子 x2－4x＋4，1＋16a2，4x2＋4x－1，
x2＋xy＋y2，m2＋2nm＋n2 是不是完全平方式？ (2)填空： m2＋(____)＋4＝(m＋2)2，m2＋(____)＋4＝(2－m)2，
让学生体会法则的理论依据：乘法对加法的分配律． 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个 多项式的每一项，再把所得的积相加． (二)例题讲解与巩固练习 1．教材例6计算： (1)(3x＋1)(x＋2)； (2)(x－8y)(x－y)； (3)(x＋y)(x2－xy＋y2)．
2．计算下列各题：
1．叙述平方差公式，并写出公式．
2．把下列各式分解因式：
(1)－16＋x2；
(2)x3－xy2；
(3)m4－1; (4)ab(x－y)3＋ab3(y－x)．
3．填空：
(1)(a＋b)2＝________； (2)(a－b)2＝________．
二、探究新知
完全平方式与完全平方公式
(1)公式： 把乘法公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2和(a－b)2＝a2－2ab＋b2反 过来，就可以得到：a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，a2－2ab＋b2＝(a －b)2. 这就是说，两个数的平方和，加上(或减去)这两个数的积 的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方． 把a2＋2ab＋b2和a2－2ab＋b2这样的式子叫做完全平方式． 上面两个公式叫做完全平方公式． (2)完全平方式的形式和特点； ①项数：三项； ②有两项是两个数的平方和，这两项的符号相同； ③有一项是这两个数的积的两倍．
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推导过程
引入
通过具体例题引入完全平方公式 的概念，让学生明确学习目标。
推导步骤
逐步详细展示完全平方公式的推 导过程，包括展开、整理、简化 等步骤，确保逻辑严密。
推导结论
公式形式
总结得出完全平方公式的标准形式， 强调公式中的重要部分，如中间项系 数、首尾项平方等。
应用举例
通过具体例题，演示如何运用完全平 方公式进行计算，帮助学生理解公式 的实际应用。
它可以帮助我们简化二次多项式，将其表示为一个 更简单的形式，便于计算和解决各种数学问题。
完全平方公式还可以用于证明一些重要的数学定理 ，如勾股定理和三角形的余弦定理等。
02
完全平方公式的推导过程
推导前的准备
知识储备
学生应具备基本的代数知识和运算能力，了解平方、乘法等基本 概念。
工具准备
准备黑板、白板或PPT等教学演示工具，以便清晰地展示推导过 程。
详细描述
该公式是二次项和一次项的完全平方 公式，其中$a$和$b$是常数，表示一 个二次多项式和一个一次多项式相加 或相减的结果。
二次项和常数的完全平方公式
总结词
表示形式为$a^2+2ac+c^2$，适用于二次项和常数的完全平方公式。
详细描述
该公式是二次项和常数的完全平方公式，其中$a$、$c$是常数，表示一个二次多项式和一个常数相加 或相减的结果。
完全平方公式ppt课件
目
CONTENCT
录
• 完全平方公式简介 • 完全平方公式的推导过程 • 完全平方公式的应用 • 完全平方公式的变种 • 完全平方公式的练习题
01
完全平方公式简介
完全平方公式的定义
01
完全平方公式是一种数学公式， 用于将一个二次多项式表示为一 个一次多项式和一个常数的乘积 的平方。
完全平方公式公开课2公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
(a + b)2= a2 +2 a b + b2 =16x2 +40xy +25y2
(2)(2x-3)2=(2x)2-2.2x.3 + 32
(a - b)2= a2 - 2 a b + b2
=4x2-12x+9
(3)(mn- a )2
3、假如x2+mx+4是一种完全平方 式,那么m旳值是C( )
A.4 B.-4 C.4或-4 D.8或-8
4， (4a_+___1)2 = 16a2-( +8a
5，用长, 宽分别为a,b旳矩形拼成 一种带孔正方形利用面积旳不同表 达措施,写出一种恒等式 _(_a_+_b_)2_-_(_a_-b_)_2_=_4_a_b____.
单项式字母指数不是1时，乘方时要 记住字母指数需乘2。
小结：
1、完全平方公式：(a+b)2= a2 +2ab+b2
(a-b)2= a2 - 2ab+b2
2、注意：项数、符号、字母及其指数；
3、公式旳逆向使用；a2 +2ab+b2 = (a+b)2 4、解题时常用结论：a2 - 2ab+b2= (a-b)2
(-a-b)2 =(a+b)2
(a-b)2 =(b-a)2
和平方，平方和；究竟有啥
不同？乘积二倍项。再说和 平方：a、b符号同，乘积二 倍项为正；a、b符号异，乘 积二倍项为负。
P43 知识技能 1 . 2
解: (n+1)2-n2 =[(n+1)+n][(n+1)- n] =2n+1
《完全平方公式》PPT课件 (公开课获奖)2022年北师大版 (18)
1、 能用几何和代数的思想准确推导出完全平 方公式。
2、能正确应用完全平方公式进行简单的计算 。
3、感受完全平方公式的带来的简化运算。
环节一：合作交流 探索新知
学校准备要将操场那个边长为a米的正方 形花坛进行扩建，将它的边长增加b米，请求 出扩建后的正方形花坛的面积？
S小= a2
b
S大= (a +b)2
P24---25 读一ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ.
1、如图1, D、E分别是AB、AC上的点.
(1)∠ ABC与∠ DBC是不是同一个角? 是
(2)∠BAC与∠ DAE是不是同一个角? 是
(3)∠BAC与∠ ACB是不是同一个角? 不是
2、如图2，图中共有多少个角？请分别表示它们。
A 共有10个角
D
E
E D
C
B
B
图1
C
〔〕 〔〕 〔〕 〔〕 〔〕
〔〕
变式训练2:
计算：
1、 (2m+n) 2 2、(2x－3y)2
3、 (－a+b) 2 4、(－a－b) 2
随堂练习
随堂p24练习
1、计算：
(1) (
1 2
x − 2y)2 ；
(2) (− 2xy+
1 5
x )2
;
(3) (n +1)2 − n2.
1、根底训练：教材P26 习题1、2 2、扩展训练：试一试
a
a
b
环节二：参与其中 体验特征
做一做
两数和的完全平方公式： (a + b)2 = a2 + 2ab+b2
运用公式计算： ① (2x +y)2 ② (mn + 2)2
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= =
首平方
尾平方
2倍乘积放中央
总结
这节课我们还学会了什么？
1．如何判断应该选择哪个公式？ 根据式子中括号的个数，一个括号，就用_________________，两 个括号，就用____完___全__平__方__公___式_ ． 平方差公式
2．括号内有三项时怎么利用公式？ 添括号，把三项变成两项．
练习 运用完全平方公式计算：
补充题 答案：3
例题
运用完全平方公式计算 ：
练习
练习 运用完全平方公式计算：
练习 运用完全平方公式计算：
添括号法则 之前我们学习过去括号法则
反过来，可以得到添括号法则
归纳
添括号时， 括号前是正号时，括到括号里的各项都不变符号； 如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．
例题 运用乘法公式计算：
这个符合完全平方公式还是平方差公式 ？只有一个括号，只能是完全平方公 式先变形 再化简
归纳
1．如何判断应该选择哪个公式？ 根据式子中括号的个数，一个括号，就用_________________， 两个括号，就用__完__全___平__方__公__式____ ． 平方差公式
2．括号内有三项时怎么利用公式？
添括号，把三项变成两项．
练习
Байду номын сангаас
1．在等号右边的括号内填上适当的项，并用去括号法则检验．
（1）a+b-c=a+（
）
（2）a-b-c=a-（
）
（3）a+b-c=a-（
）
（4）a+b+c=a-（
）
练习 2．运用乘法公式计算：
（2）（2x+y+z）（2x-y-z）
练习
已知x，y的和与差的平方求积
我国著名数学家华罗庚曾在给青少年撰写的“数学是我国人民所擅长的学科”一 文中谈到，我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列.他说：“实际上我们 祖国伟大人民在人类史上，有过无比睿智的成就.”其中”杨辉三角“（图1）就 是在一我例国.南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》（1261年）一书中 ，用图1的三角形解释二项和的乘方规律.杨辉在注释中提到，在他之前北宋数学 家贾宪（1050年左右）也用过上述方法，因此我们称这个三角形为”杨辉三角“ 或”贾宪三角“.
你能用一个式子概括上述规律吗？
=
怎么证明呢？
代数证明 =
几何证明
ab ab
=
完全平方差
观察式子，回答下列问问题： ①等式左边都是两个数__差__的__平___方____ ②等式右边都是两个数__平__方___的__和____，再减去这两个数 __积__的___两__倍____
你能用一个式子概括上述规律吗？
巧记口诀
2倍符号看前方
= =
首平方
尾平方
2倍乘积放中央
完全平方公式 怎么推导完全平方公式？ 利用完全平方公式计算应该注意什么？
易错点
下面各式的计算是否正确？如果不正确，说明错的原因 ？
漏了中间项 漏了中间项，且符号错误 中间项符号不对 漏了中间项的系数2
例题 运用完全平方公式计算 ：
ab
解：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项 式的每一项，再把所得的积相加．
一位老人非常喜欢孩子． 每当有孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果招待他们．来一个孩 子，老人就给这个孩子一块糖， 来两个孩子，老人就给每个孩子两块塘， …… （1）第一天有a个男孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少 块糖？
（4）这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总 数哪个多？多多少？
这个式子有什么特点？
这是两个数的平方和 你知道怎么算这种式子吗？
下面就来探究一下．
探究 计算下列各式：
完全平方和
观察式子，回答下列问问题：
①等式左边都是两个数__和__的__平___方____ ②等式右边都是两个数__平__方__的___和____，再加上这两个数 __积___的__两__倍____
在等式右边的括号内填上适当的项：
点睛：“-”变，“+”不变，要变全都变 思考：怎么检验添括号是否正确呢？ 从右往左去括号
练习 判断下列运算是否正确，不正确的请改正：
例题
运用乘法公式计算：
（1）（x+2y-3）（x-2y+3） 这个符合完全平方公式还是平方差公式 ？有两个括号，只能是平方差公 式先变形 原式=[x+(2y-3）][x-（ 2y-3）] 再化简
（2）第二天有b个女孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多 少块糖？
一位老人非常喜欢孩子． 每当有孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果招待他们．来一个孩 子，老人就给这个孩子一块糖， 来两个孩子，老人就给每个孩子两块塘， …… （3）第三天这（a+b）个孩子一起去看老人，老人一共给了这 些孩子多少块糖？
完全平方公式
教学目标
理解完全平方公式，能用公式进行计算． 经历探索完全平方公式的过程，进而感受特殊到一般、数 形结合思想，发展符号意识和几何直观观念．
教学重点 完全平方公式的推导和运用．
教学难点 理解完全平方公式的结构特征，灵活应用完全平方公式．
知识回顾
多项式乘多项式的法则
（a + b）（p + q）= ap + aq + bp + bq
ab
例题 运用完全平方公式计算： 方法一：
方法二：
哪种方法比较简单？
总结：为了简便，可以先把括号内变形为首项为正的．
思考
练习 1．运用完全平方公式计算：
练习 2．下面各式的计算错在哪里？应当怎么改正？
漏了中间项 漏了中间项的系数2
练习 运用完全平方公式计算：
练习 运用完全平方公式计算：
练习 运用完全平方公式计算：
=
怎么证明呢？
代数证明 =
几何证明
=
=
完全平方公式
= = 你能用文字语言表述完全平方公式吗？ 两数和（或差）的平方，等于它们的平方和， 加上（或减去）它们的积的2倍．
公式特点
= =
①积为__二_____次___三____项式． ②积中两项为两数的平方_和____，另一项为两数的积____的_2_倍_____ ，且符号与等式左边符号相__同______． ③公式中的字母a，b可以单个的数或字母，也可以表示式子．
已知x，y的和与差的平方求积 答案：8
已知x，y的和与积求平方和 答案：7
已知x，y的和与积求平方和
答案： 59
已知x，y的和与积求平方和 答案：11或-11
已知x、y的积与和求代数式的值
已知x，y的和与积，如何求x，y的平方和 ．
完全平方公式的几何意义
总结
这节课我们学会了什么？ 2倍符号看前方
复习巩固 1.运用平方差公式计算：
复习巩固 2.运用完全平方公式计算：
综合运用 3.运用乘法公式计算：
综合运用 4.先化简，再求值：
综合运用
综合运用
6.如图，一块直径为a+b的圆形钢板，从中挖去直径分别为a与 b的两个圆，求剩下的钢板的面积.
拓广探索
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拓广探索 9.解方程组
杨辉三角