湖南省长沙市雅礼中学2020-2021学年高二下学期期中数学(理)试题
湖南省2020年高二下学期期中数学试卷(理科)(II)卷
湖南省2020年高二下学期期中数学试卷（理科）（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2020高三上·新余月考) 已知为虚数单位，且复数满足，则的共轭复数是（）A .B .C .D .2. （2分）函数导数是（）A .B .C .D .3. （2分）下面说法正确的有（）（1）演绎推理是由一般到特殊的推理；（2）演绎推理得到的结论一定是正确的；（3）演绎推理一般模式是“三段论”形式；（4）演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关。
A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个4. （2分）(2016·城中模拟) 给出下列4个命题，其中正确命题的个数是（）①计算：9192除以100的余数是1；②命题“∀x＞0，x﹣lnx＞0”的否定是“∃x＞0，x﹣lnx≤0”；③y=tanax（a＞0）在其定义域内是单调函数而且又是奇函数；④命题p：“|a|+|b|≤1”是命题q：“对任意的x∈R，不等式asinx+bcosx≤1恒成立”的充分不必要条件．A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个5. （2分）函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f ′（x）在（a，b）内的图象如下图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极大值点的个数为（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个6. （2分） (2016高二下·三原期中) 用反证法证明命题：“已知a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A . 方程x2+ax+b=0没有实根B . 方程x2+ax+b=0至多有一个实根C . 方程x2+ax+b=0至多有两个实根D . 方程x2+ax+b=0恰好有两个实根7. （2分） (2016高三上·宜春期中) 设f（x）= ，则 f（x）dx的值为（）A . +B . +3C . +D . +38. （2分）在复平面内，复数对应的点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限9. （2分）用数学归纳法证明：（n∈N*）时第一步需要证明（）A .B .C .D .10. （2分） (2016高一下·广州期中) 已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（）A . （1，10 ）B . （5，6）C . （10，12）D . （20，24）11. （2分）以下说法，正确的个数为（）．①公安人员由罪犯的脚印的尺寸估计罪犯的身高情况，所运用的是类比推理．②农谚“瑞雪兆丰年”是通过归纳推理得到的．③由平面几何中圆的一些性质，推测出球的某些性质这是运用的类比推理．④个位是5的整数是5的倍数，2375的个位是5，因此2375是5的倍数，这是运用的演绎推理．A . 0B . 2C . 3D . 412. （2分）(2017·邯郸模拟) 已知 f（x）= ，其中e 为自然对数的底数，则（）A . f（2）＞f（e）＞f（3）B . f（3）＞f（e）＞f（2）C . f（e）＞f（2）＞f（3）D . f（e）＞f（3）＞f（2）二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高二下·辽宁期末) 复数满足 , 则 ________.14. （1分） (2017高二下·中原期末) 曲线y=xlnx在点（1，f（1））处的切线方程为________．15. （1分） (2018高二下·黑龙江期中) 给出下列等式：由以上等式可推出一个一般结论：对于， ________．16. （1分）函数f（x）=x3﹣ax2﹣bx+a2在x=1处有极值10，则点（a，b）为________．三、解答题 (共6题；共65分)17. （10分） (2016高一下·内江期末) 已知数列{an}与{bn}，若a1=3且对任意正整数n满足an+1﹣an=2，数列{bn}的前n项和Sn=n2+an ．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）求数列{ }的前n项和Tn ．18. （15分） (2019高二下·江门月考) 当为何实数时，复数，求：（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数？19. （10分） (2018高一下·齐齐哈尔期末) 如图，四棱锥中，底面，，， .（1）若，求证：平面平面；（2）若，且，，求直线和平面所成角的正切值.20. （10分） (2016高二下·辽宁期中) 如图所示，抛物线y=1﹣x2与x轴所围成的区域是一块等待开垦的土地，现计划在该区域内围出一块矩形地块ABCD作为工业用地，其中A、B在抛物线上，C、D在x轴上．已知工业用地每单位面积价值为3a元（a＞0），其它的三个边角地块每单位面积价值a元．（1）求等待开垦土地的面积；（2）如何确定点C的位置，才能使得整块土地总价值最大．21. （10分）(2018·景县模拟) 已知函数（1）讨论函数的单调区间.（2）设，讨论函数的零点个数.22. （10分） (2018高二下·黑龙江期中) 已知函数 .（1）当时，求函数的单调区间；（2）是否存在实数，使函数在上有最小值2？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.。
湖南省长沙市雅礼中学2020-2021学年高二下学期入学考试数学试题
湖南省长沙市雅礼中学2020-2021学年高二下学期入学考试数学试题湖南省长沙市雅礼中学2020-2021学年高二下学期入学考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知复数421i z i+=+（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是,M I N ，中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是 A ．815 B ．18 C ．115 D ．1303．函数3()2f x x ax a =-+在(0,1)内有极小值，则实数a 的取值范围为（） A ．(0,3) B ．(,3)-∞ C ．(0,)+∞ D ． 4．已知2:0- <<="" a="" b="" bdsfid="103" c="" d="" p="" x="" 的一个必要不充分条件是（="" ）="" ，那么命题p="" ．01x="" ．11x="" ．1223x="" ．122<="">x << 5．在由0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中,能被5整除的有( ) A ．512个B ．192个C ．240个D ．108个 6．已知函数()22cos f x x x =+，若()f x '是()f x 的导函数，则函数()f x '的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．7．已知双曲线M 的焦点12,F F 在x 30y +=是双曲线M 的一条渐近线，点P 在双曲线M 上，且120PF PF ?=，如果抛物线2 16y x =的准线经过双曲线M的一个焦点，那么12||||PF PF ?=（） A ．21 B ．14 C ．7 D ．08．有六名同学参加演讲比赛，编号分别为1，2，3，4，5，6，比赛结果设特等奖一名，A ，B ，C ，D 四名同学对于谁获得特等奖进行预测.A 说：不是1号就是2号获得特等奖；B 说：3号不可能获得特等奖；C 说：4，5，6号不可能获得特等奖；D 说：能获得特等奖的是4，5，6号中的一个.公布的比赛结果表明，A ，B ，C ，D 中只有一个判断正确.根据以上信息，获得特等奖的是（）号同学.A ．1B ．2C ．3D ．4，5，6号中的一个 9．ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC 的面积为2224a b c +-，则C = A ．π2 B ．π3 C ．π4 D ．π610．设()f x 、()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0x <时，()()()()''0f x g x f x g x ->，且()03g =，则不等式()()0f x g x <的解集是（） A ．()()3,03,-?+∞ B ．()()3,00,3- C ．()(),33,-∞-+∞ D ．()(),30,3-∞- 11．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R 与产量x 的关系式为R(x)= 21400x ,0400,{?280000,400,x x x -≤≤>则总利润最大时，每年生产的产品是 ( )A ．100单位B ．150单位C ．200单位D ．300单位12．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=＞＞过右焦点F 且斜率为(0)k k ＞的直线与C 相交于A B 、两点．若3AF FB =，则k =A ．1BCD ．2二、填空题13．双曲线221x y -=的离心率为14．如图，平面PAD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，90PAD ∠=?，且2PA AD ==，E ，F 分别是线段PA ，CD 的中点，则异面直线EF 与BD 所成角的余弦值为______.15．有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不能相邻，有______种不同的站法.16．已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a =________三、解答题17．已知在等比数列{}n a 中, 11a =,且2a 是1a 和31a -的等差中项.（1）求数列{}n a 的通项公式;（2）若数列{}n b 满足()*21n n b n a n N =-+∈,求{}n b 的前n 项和n S .18．已知函数()()22sin cos cos x x f x x x R x --∈=.（1）求23f π?? ???的值. （2）求()f x 的单调递增区间.19．《中华人民共和国道路交通安全法》第47条的相关规定：机动车行经人行道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”《中华人民共和国道路交通安全法》第90条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣3分，罚款50元的处罚.下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让斑马线”行为统计数据：（1）请利用所给数据求不“礼让斑马线”驾驶员人数y 与月份x 之间的回归直线方程ybx a =+，并预测该路口9月份的不“礼让斑马线”驾驶员人数；（2）若从表中1月份和4月份的不“礼让斑马线”驾驶员中，采用分层抽样方法抽取一个容量为7的样本，再从这7人中任选2人进行交规调查，求抽到的两人恰好来自同一月份的概率. 参考公式：()()()1 122211?n n i i i ii i n n i i i i x y nx y x x y y b x nx x x ====---==--∑∑∑∑，??a y bx =-. 参考数据：511415ii i x y ==∑.20．如图，在边长为4的菱形ABCD 中,60DAB ∠=，点,E F 分别是,CD CB 的中点，AC EF O ?=，沿EF 将CEF ?翻折到PEF ?，连接,,PA PB PD ，得到如图的五棱锥P ABFED -，且PB =（1）求证：BD ⊥平面POA （2）求二面角--B AP O 的余弦值.21．如图所示，在直角坐标系xOy 中，点11,2P ?? ???到抛物线C ：()220y px p =>的准线的距离为54.点(),1M t 是C 上的定点，A ，B 是C 上的两动点，且线段AB 的中点(),Q m n 在直线OM 上.（1）求曲线C 的方程及点M 的坐标；（2）记()d m =，求弦长AB （用m 表示）；并求d 的最大值.22．已知函数()(2)(1)2ln f x a x x =---，1()x g x xe -=，（,a R e ∈为自然对数的底数）.（1）若不等式()0f x >对于一切1(0,)2x ∈恒成立，求a 的最小值；（2）若对任意的0(0,]x e ∈，在(0,]e 上总存在两个不同的i x (1,2)i =，使0()()i f x g x =成立，求a 的取值范围.参考答案1．D【分析】利用复数的除法运算化简出3322z i=-，即可得出对应点，便可得所在象限.【详解】解：∵41i=，∴复数()()()31213311122iz ii i i-+===-++-，即3322z i=-，则对应点坐标为33,22-，位于第四象限.故选：D.【点睛】本题考查复数的除法运算，复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题.2．C【解析】试题分析：开机密码的可能有(,1),(,2),(,3),(,4),(,5),(,1),(,2),(,3),(,4),(,5)M M M M M I I I I I，(,1),(,2),(,3),(,4),(,5)N N N N N，共15种可能，所以小敏输入一次密码能够成功开机的概率是115，故选C．【考点】古典概型【解题反思】对古典概型必须明确两点：①对于每个随机试验来说，试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相等．只有在同时满足①、②的条件下，运用的古典概型计算公式()mP An=（其中n是基本事件的总数，m是事件A包含的基本事件的个数）得出的结果才是正确的．3．D【解析】试题分析：对于函数，求导可得，∵函数在（0，1）内有极小值，∴，则其有一根在（0，1）内，a ＞0时，3x 2-2a=0两根为±，若有一根在（0，1）内，则0＜＜1，即0＜a ＜．a=0时，3x 2-3a=0两根相等，均为0，f （x ）在（0，1）内无极小值．a ＜0时，3x 2-3a=0无根，f （x ）在（0，1）内无极小值，综合可得，0＜a ＜．考点：考查利用导数研究函数的极值问题，体现了转化的思想方法．4．B【详解】解: p ：x 2－x <0的充要条件为0<x<="" bdsfid="270" p=""></x【解析】试题分析：由于能被5整除的数，其个位必为0或5，由此分两类：第一类：个位为0的，有个；第二类：个位为5的，再分两小类：第1小类：不含0的，有个，第2小类：含0的，有个，从而第二类共有48个；故在由数字0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中，能被5整除的个数有60+48=108个，故选D ．考点：排列组合．6．A【分析】先求导数，再利用二次求导研究导函数零点以及对应区间导函数符号，即可判断选择.【详解】()()()22cos 22sin 22cos 0f x x x f x x x f x x '''=+∴=-∴=-≥因此当0x =时，()0f x '=；当0x >时，()()00f x f ''>=；当0x <时，()()00f x f ''<=；故选：A【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性以及零点，考查基本分析判断能力，属中档题. 7．B【解析】试题分析：因为双曲线M 的焦点12,F F 在x 轴上，所以设双曲线方程为，因为抛物线的准线过双曲线的焦点，且一条渐近线方程为730x y +=，所以，解得；因为点P 在双曲线M 上，且120PF PF ?=，所以，解得；故选B ．考点：1.双曲线的定义和几何性质；2.抛物线的几何性质．8．C【分析】因为只有一人猜对，而C ，D 互相否定，故C ，D 中一人猜对，再分类讨论，综合分析即可得出结论.【详解】解：因为C ，D 互相否定，故C ，D 中一人猜对，假设D 对，则B 也对与题干矛盾，故D 错，猜对者一定是C ，于是B 一定猜错，A 也错，则获得特等奖的是：3号同学.故选：C.【点睛】本题考查合情推理的应用，同时考查推理能力、分析和解决问题的能力，属于基础题. 9．C【解析】分析：利用面积公式12ABC S absinC =和余弦定理2222a b c abcosC +-=进行计算可得．详解：由题可知222124ABC a b c S absinC +-== 所以2222absinC a b c +-=由余弦定理2222a b c abcosC +-=所以sinC cosC =()C 0,π∈C 4π∴=故选C.点睛：本题主要考查解三角形，考查了三角形的面积公式和余弦定理．10．A【分析】构造函数()()()g x F x f x =，根据已知条件，可判断出()F x 的奇偶性和单调性，且()()330F F =-=，将求不等式()()0f x g x <的解集，转化成求()0F x <的解集，即可得出答案.【详解】解：根据题意，设函数()()()g x F x f x =，由于当0x <时，()()()()''0f x g x f x g x ->，即：()()()()''0g x f x g x f x -<所以()()()()()()2'0'g x f x g x f F x f x x '=则()F x 在(),0-∞上为减函数，因为()f x 、()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，则()()()()()()g x g x F x F x f x f x -===---，所以()F x 在R 上为奇函数，则()F x 在()0,+∞上也为减函数，由于()03g =，所以()()()3303g F f ==，即()30F =，()30F -=，因为()()()()()()()22g x f x g x f x f x F x f x =?=?，要求不等式()()0f x g x <，即求()0F x <，解得：30x -<<或3x >，则不等式()()0f x g x <的解集为：()()3,03,-?+∞.故选：A.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，结合运用函数的奇偶性解不等式，还考查构造函数的思想及等价转化思想，属于中档题.11．D【分析】利用总收益与成本的差可得总利润关于x 的解析式，利用分段函数的性质，分别求出两段函数的最值，从而可得结果.【详解】设总成本为C 元，总利润为P 元，则C=20000+100x ，P=R-C=2x 30020000,0400,{260000100,400,x x x x --≤≤->所以P′=300,0400,{100,400,x x x -≤≤-> 令P′=0，得x=300．当0<x0；当x>300时，P′<0．所以当x=300时，P 取得最大值，故选D ．</x【点睛】本题考查的是函数模型的应用．解决函数模型应用的解答题，要注意以下几点：①读懂实际背景，将实际问题转化为函数模型．②对涉及的相关公式，记忆要准确．③在求解的过程中计算要正确．另外需要熟练掌握求解方程、不等式、函数最值的方法，才能快速正确地求解． 12．B【解析】因为2c e a ==，所以2c a =，从而22224a b a c =-=，则椭圆方程为222241x y a a +=．依题意可得直线方程为()y k x =-，联立2222(){41y k x x y a a =+=可得22222(14)(31)0k x ax k a +-+-=设,A B 坐标分别为1122(,),(,)x y x y，则2212122(31)14k a x x x x k-+==+ 因为3AF FB =，所以1122(,)3(,)22a x y x a y --=-，从而有123x x += ① 再由3AF FB =可得3AF FB =，根据椭圆第二定义可得12()3()2323a x a x -=?-，即2133x x a -= ② 由①②可得12,39x a x a ==，所以2221225(31)914k a x x a k -?==+，则22(31)5149k k -=+，解得k =0k >，所以k =B 13【解析】思路分析：由题可得，故离心率考点：此题考查双曲线离心率的计算.点评：简单题，知道离心率的计算公式即可解答.14【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，求出()1,2,1EF =-，()2,2,0BD =-，再利用向量法求异面直线的夹角公式求出结果.【详解】以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系Axyz ，则()0,0,1E ，()1,2,0F ，()2,0,0B ，()0,2,0D . ()1,2,1EF =-，()2,2,0BD =-，故cos ,66EF BDEF BD EF BD ?-====?..【点睛】本题考查利用空间向量法求异面直线的夹角，属于基础题.15．24【分析】利用捆绑法，将甲和乙捆绑排列，再把甲乙当成一个整体与戊排列，再利用插空法将丙丁插入3个空位中，便可算出结果.【详解】解：由题知，5名同学站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不能相邻，故有22222324A A A =（种）不同的方法.故答案为：24.【点睛】本题考查排列的应用，利用捆绑法和插空法解决相邻和不相邻问题，属于中档题. 16．12【分析】令1t x =-，得到()f t 的解析式，判断出()f t 是偶函数，从而得到()f x 的图像关于1x =成轴对称，根据函数()f x 有唯一零点，得到()10f =，从而得到a 的方程，解出a 的值.【详解】()()()()221111211x x x x f x x x a e e x a e e --+--+=-++=--++ 设1t x =-，则()()21t t f t t a e e -=-++定义域为R ，()()()()21t t f t t a e e f t --=--++= 所以()f t 为偶函数，所以()f x 的图像关于1x =成轴对称要使()f x 有唯一零点，则只能()10f =，即()2001210a e e -?++= 解得12a =，故答案为：12. 【点睛】本题考查判断函数奇偶性，根据函数的零点求参数的值，属于中档题.17．(1) 12n n a (2) n S 221n n =+-【分析】(1)由题意结合等差数列的性质得到关于公比的方程，解方程求得公比的值，然后结合首项求解数列的通项公式即可.(2)结合(1)的结果首先确定数列{}n b 的通项公式，然后分组求和即可求得数列{}n b 的前n 项和n S .【详解】(1)设等比数列{}n a 的公比为q ,则2a q =,23a q =, ∵2a 是1a 和31a -的等差中项,∴()21321a a a =+-,即()2211q q =+-,解得2q =,∴12n n a -=.(2) 121212n n n b n a n -=-+=-+,则()()11321122n n S n -??=+++-++++?? ()12112212nn n ??+--??=+-. 221n n =+-.【点睛】数列求和的方法技巧：(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．18．（1）223f π??=（2）2,63k k k Z ππππ??++∈ 【分析】（1）已知()f x 的解析式，代入23x π=，直接算出23f π?? ???的值；（2）利用二倍角公式和辅助角公式化简得()2sin 26f x x π??=-+ ，结合正弦函数的单调性，即可求出()f x 的单调递增区间.【详解】解：（1）由2sin 3π=21cos 32π=-， 22211232222f π=----= ? ? ? ????，即：223f π=. （2）由22cos 2cos sin x x x =-与sin 22sin cos x x x =得()cos 222sin 26x x f x x π??=-=-+ ??，由正弦函数的性质得3222262k x k πππππ+≤+≤+，k Z ∈，解得263k x k ππππ+≤≤+，k Z ∈，所以()f x 的单调递增区间是2,63k k k Z ππππ??++∈. 【点睛】本题考查正弦型函数的单调性，还运用二倍角正弦和余弦公式、辅助角公式、特殊角的三角函数值化简求值，属于基础题.19．（1）8.5125.5y x =-+，49人；（2）37. 【分析】(1)先求得3x =,100y =,再代入公式计算即可.(2)利用枚举法将基本事件全部列出再求概率即可.【详解】（1）由表中数据知,3x =,100y =, 122114151500?8.55545n i ii n i i x y nx y b xnx ==--===---∑∑,??125.5a y bx =-=, ∴所求回归直线方程为8.5125.5y x =-+.令9x =,则8.591?25.549y=-?+=人. （2）由已知可得：1月份应抽取4位驾驶员,设其编号分别为1a ,2a ,3a ,4a ,4月份应抽取3位驾驶员,设其编号分别为1b ,2b ,3b ,从这7人中任选2人包含以下基本事件,()12,a a ,()13,a a ,()14,a a ,()11,a b ,()12,a b ,()13,a b ,()23,a a ,()24,a a ,()21,a b ,()22,a b ,()23,a b ,()34,aa ,()31,ab ,()32,a b ,()33,a b ,()41,a b ,()42,a b ,()43,a b ,()12,bb ,()13,b b ,()23,b b 共21个基本事件；设“抽到的两人恰好来自同一月份”为事件A ,则事件A 包含的基本事件是()12,a a ,()13,a a ,()14,a a ,()23,a a ,()24,a a ,()34,a a ,()12,b b ,()13,b b ,()23,b b ,共有9个基本事件,()93217P A ==. 【点睛】本题主要考查了线性回归方程的求解与古典概型求解概率的方法.属于基础题.20．（1）见解析（2 【解析】试题分析：（1）先证明//,,BD EF BD AC EF AC ⊥⊥，从而,EF AO EF PO ⊥⊥，根据线面垂直的判定定理可证明BD ⊥平面POA ；（2）设AO BD H ?=，连接BO ，由（1）可得EF PO ⊥，根据勾股定理可得BO PO ⊥,根据线面垂直的判定定理可得PO ⊥平面BFED ，以O 为原点，OF 在直线为x 轴，AO 所在直线y 轴，OP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，分别求出平面BAP 与平面APO 的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果.试题解析：（1）点分别是的中点菱形的对角线互相垂直（2）设，连接ABD ∴?为等边三角形，，在中，在中，，BO ? 平面BFED 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则设平面PAB 的法向量为，由,n AP n AB ⊥⊥得令得3,z x =-=∴平面PAB 的一个法向量为()3,1,3n =--，由（1）知平面PAO 的一个法向量为，设求二面角B AP O --的平面角为θ，则2cos cos ,13||n BHn BH n BH θ?====? ∴二面角B AP O --的余弦值为3913，【方法点晴】本题主要考查线面垂直的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.21．（1）2y x =.()1,1M .（2）A B =d 的最大值为1. 【分析】（1）根据抛物线的定义，求出12p =，即可得出抛物线的方程，便得出点M 的坐标；（2）由点()1,1M ，得出(),Q m m ，利用点差法求出直线AB 的斜率，得出直线AB 的方程为()12y m x m m-=-，直线方程与抛物线方程联立，写出韦达定理，利用弦长公式求出弦长AB ，通过基本不等式求得d 的最大值.【详解】解：（1）()220y px p =>的准线为2p x =-，∴5124p ?--= ，∴12p =，∴抛物线C 的方程为2y x =.又点(),1M t 在曲线C 上，∴1t =.故()1,1M .（2）由（1）知，点()1,1M ，从而n m =，即点(),Q m m ，依题意，直线AB 的斜率存在，且不为0，设直线AB 的斜率为()0k k ≠，且()11,A x y ，()22,B x y ，由211222y x y x ?=?=?，得()()121212y y y y x x -+=-，故21k m ?=，所以直线AB 的方程为()12y m x m m-=-，即2220x my m m -+-=. 由22220x my m m y x-+-=?=?，消去x ，整理得22220y my m m -+-=，所以2440m m ?=->，122y y m +=，2122y y m m =-.。
湖南省2021年高二下学期期中数学试卷(理科)(II)卷
湖南省2021年高二下学期期中数学试卷（理科）（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分） (2019高二上·黑龙江期末) 设，则“ ”是的（）A . 必要而不充分条件B . 充分而不必要条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件2. （2分） (2018高二上·沈阳期末) 下列说法正确的是：（）A . 若命题，则；B . 命题已知，若，则或是真命题；C . 设，则是的充分不必要条件；D . ，如果，则的否命题是，如果，则3. （2分） (2016高二上·淮南期中) 用数学归纳法证明不等式“ + +…+ ＞（n＞2）”时的过程中，由n=k到n=k+1时，不等式的左边（）A . 增加了一项B . 增加了两项C . 增加了两项，又减少了一项D . 增加了一项，又减少了一项4. （2分） (2016高三上·兰州期中) 由曲线y=x2+1，直线y=﹣x+3及坐标轴所围成图形的面积为（）A .B .C .D . 35. （2分）(2017·成都模拟) 定义在R上的偶函数f（x）满足f（1﹣x）=f（1+x），且当x∈[0，1]时，f （x）= ．则直线x﹣4y+2=0与曲线y=f（x）的交点个数为（）A . 3B . 4C . 5D . 66. （2分） 4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修2门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有（）A . 12种B . 24种C . 30种D . 36种7. （2分）已知双曲线C的焦点、实轴端点分别恰好是椭圆的长轴端点、焦点，则双曲线C的渐近线方程为（）A . 4x±3y=0B . 3x±4y=0C . 4x±5y=0D . 5x±4y=08. （2分） (2016高二上·莆田期中) 若A、B两点的坐标分别是A（3cosa，3sina，1），B（2cosb，2sinb，1），则| |的取值范围是（）A . [0，5]B . [1，5]C . （1，5）D . [1，25]9. （2分）(2017·霞浦模拟) 若（3x﹣1）5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5 ，则a1+a2+a3+a4+a5=（）A . ﹣1B . 31C . 32D . 3310. （2分） (2020高二下·阳江月考) 已知的定义域为R，的导函数的图象如所示，则（）A . 在处取得极小值B . 在处取得极大值C . 是上的增函数D . 是上的减函数，上的增函数二、填空题 (共5题；共5分)11. （1分）平行四边形OABC各顶点对应的复数分别为zO＝0，zA＝2＋ i，zB＝－2a＋3i，zC＝－b＋ai，则实数a－b为________．12. （1分） (2017高二下·濮阳期末) 的展开式中的有理项共有________．13. （1分） (2016高二下·红河开学考) 如图，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，分数以O、B为圆心，半径为画圆弧，点P在两圆之外的概率为________．14. （1分） (2016高二下·东莞期中) 设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r= ；类比这个结论可知：四面体P﹣ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4 ，内切球的半径为r，四面体P﹣ABC的体积为V，则r=________．15. （1分） (2015高二上·福建期末) 已知F1 ， F2是椭圆 1（m＞2）的左，右焦点，点P在椭圆上，若|PF1|•|PF2|=2 m，则该椭圆离心率的取值范围为________．三、解答题 (共6题；共42分)16. （10分） (2020高二下·鹤壁月考) [选修4-4:坐标系与参数方程]已知曲线的参数方程为 ( 为参数)，以原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为 .（1）求曲线的直角坐标方程;（2）设 .直线与曲线交于点 .求的值.17. （10分） (2017高二下·汉中期中) 已知函数f（x）=ex ， g（x）=lnx（1）若曲线h（x）=f（x）+ax2﹣ex（a∈R）在点（1，h（1））处的切线垂直于y轴，求函数h（x）的单调区间；（2）若函数在区间（0，2）上无极值，求实数a的取值范围．18. （10分）如图甲，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD= ，AB=BC=1，AD=2，E是AD的中点，O是AC 与BE的交点，将△ABE沿BE折起到△A1BE的位置，如图乙．（1）证明：CD⊥平面A1OC；（2）若平面A1BE⊥平面BCDE，求BC与平面A1CD所成的角．19. （5分）(2018·丰台模拟) 已知椭圆：的一个焦点为，点在椭圆上．（Ⅰ）求椭圆的方程与离心率；（Ⅱ）设椭圆上不与点重合的两点，关于原点对称，直线，分别交轴于，两点．求证：以为直径的圆被轴截得的弦长是定值．20. （2分）已知数列的通项公式为，其前n项和为，则在数列、、中，有理数项的项数为（）A . 42B . 43C . 44D . 4521. （5分）(2019·福建模拟) 已知函数， .（Ⅰ）若是函数的极小值点，求的取值范围；（Ⅱ）设，点是直线与函数的交点，求证: .参考答案一、选择题 (共10题；共20分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：二、填空题 (共5题；共5分)答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共42分)答案：16-1、答案：16-2、考点：解析：答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、考点：解析：答案：21-1、考点：解析：。
2020年湖南省高二(下)期中数学试卷解析版
19. 在某校组织的高二女子排球比赛中，有 A、B 两个球队进入决赛，决赛采用 7 局 4 胜制．假设 A、B 两队在每场比赛中获胜的概率都是 ．并记需要比赛的场数为 ξ．
（Ⅰ）求 ξ 大于 4 的概率； （Ⅱ）求 ξ 的分布列与数学期望．
20. 已知函数
（1）求 f（x）的单调区间； （2）求曲线 y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
=______． 14. 曲线 y=ln（2x-1）上的点到直线 2x-y+8=0 的最短距离是______． 15. 一同学在电脑中打出如下图形（〇表示空心圆，●表示实心圆）〇●〇〇●〇〇〇●〇
〇〇〇●……若将此若干个圆依此规律继续下去，得到一系列的圆，那么前 2019 个 圆中有实心圆的个数为______． 三、解答题（本大题共 7 小题，共 75.0 分） 16. 甲罐中有 5 个红球，2 个白球和 3 个黑球，乙罐中有 4 个红球，3 个白球和 3 个黑 球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以 A1，A2 和 A3 表示由甲罐取出的球 是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以 B 表示由乙罐取出的球 是红球的事件．则下列结论中正确的是______（写出所有正确结论的编号）．
5. （1-x）5+（1-x）6+（1-x）7+（1+x）8 的展开式中，含 x3 的项的系数（ ）
A. -9
B1
6. 函数 f(x)＝x3-ax2-bx+a2 在 x＝1 处有极值 10，则点(a，b)为（ ）
A. (3，-3)
B. (-4，11)
C. (3，-3)或(-4，11)
的取值范围为（ ）
A. （-23，9）
湖南省长沙市2020年高二下学期期中数学试卷(理科)(II)卷
湖南省长沙市2020年高二下学期期中数学试卷（理科）（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分） (2015高二上·济宁期末) 命题“∀x＞0，x2+x＞0”的否定是（）A . ∃x0＞0，x02+x0＞0B . ∃x0＞0，x02+x0≤0C . ∀x＞0，x2+x≤0D . ∀x≤0，x2+x＞02. （2分） (2015高三上·枣庄期末) 直线l：x+ y﹣3=0的倾斜角α为（）A .B .C .D .3. （2分） (2018高一下·江津期末) 某单位为了了解用电量（千瓦时）与气温（℃）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：气温/℃181310－1用电量/千瓦时24343864由表中数据可得回归直线方程，其中。
预测当气温为－4℃时，用电量的千瓦时数约为（）A . 72B . 70C . 68D . 664. （2分）设,则“且”是“”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件5. （2分）(2017·三明模拟) “牟合方盖”是我国古代数学家刘微在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体，它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．如图，正边形ABCD是为体现其直观性所作的辅助线，若该几何体的正视图与侧视图都是半径为r的圆，根据祖暅原理，可求得该几何体的体积为（）A .B .C .D .6. （2分）(2018·浙江学考) 如图，在直角坐标系中，坐标轴将边长为4的正方形分割成四个小正方形，若大圆为正方形的外接圆，四个小圆圆分别为四个小正方形的内切圆，则图中某个圆的方程是（）A .B .C .D .7. （2分） (2020高三上·静安期末) 若展开，则展开式中的系数等于（）A . 在中所有任取两个不同的数的乘积之和B . 在中所有任取三个不同的数的乘积之和C . 在中所有任取四个不同的数的乘积之和D . 以上结论都不对8. （2分） (2016高二上·湖北期中) 执行如图所示的程序框图，若输出的S= ，判断框内填入的条件可以是（）B . n≤10C . n≤1024D . n＜10249. （2分）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则的值为（）A .B .C .D .10. （2分）方程|x+y|= 所表示的曲线是（）A . 双曲线B . 抛物线C . 椭圆D . 不能确定11. （2分）如图，在某城市中，M、N两地间有整齐的道路网，若规定只能向东或向北两个方向沿图中的矩形的边前进，则从M到N不同的走法共有（）A . 13种B . 15种C . 25种12. （2分）在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是棱B1C1、AD的中点，直线AD与平面BMD1N所成角的余弦值为（）A .B .C .D .二、填空题： (共4题；共4分)13. （1分）(2018·北京) 已知直线l过点（1,0）且垂直于x轴，若l被抛物线截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________.14. （1分） (2016高二上·绍兴期中) 设双曲线x2﹣ =1的左、右焦点分别为F1、F2 ，若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|+|PF2|的取值范围是________15. （1分）(2017·齐河模拟) 已知Ω={（x，y）||x|≤1，|y|≤1}，A是曲线y=x3与围成的区域，若向区域Ω上随机投一点P，则点P落入区域A的概率为________．16. （1分） (2018高一上·大连期末) 已知正四棱锥的底面边长为4cm，高与侧棱夹角为，则其斜高长为________（cm）．三、解答题： (共6题；共50分)17. （10分）(2018高二上·潮州期末) 已知 ,命题，命题.（1）若为真命题，求实数的取值范围；（2）若命题是假命题, 命题是真命题,求实数的取值范围.18. （5分）已知圆C的圆心在直线3x﹣y=0上，与x轴相切，且被直线x﹣y=0截得的弦长为2，求圆C的方程．19. （10分）(2017·郎溪模拟) 五面体ABC﹣DEF中，面BCFE是梯形，BC∥EF，面ABED⊥面BCFE，且AB⊥BE，DE⊥BE，AG⊥DE于G，若BE=BC=CF=2，EF=ED=4．（1）求证：G是DE中点；（2）求二面角A﹣CE﹣F的平面角的余弦．20. （10分）(2017·唐山模拟) 某学校用简单随机抽样方法抽取了100名同学，对其日均课外阅读时间（单位：分钟）进行调查，结果如下：t[0，15）[15，30）[30，45）[45，60）[60，75）[75，90）男同学人数711151221女同学人数89171332若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书迷”．（1）将频率视为概率，估计该校4000名学生中“读书迷”有多少人？（2）从已抽取的8名“读书迷”中随机抽取4位同学参加读书日宣传活动．（i）求抽取的4位同学中既有男同学又有女同学的概率；（ii）记抽取的“读书迷”中男生人数为X，求X的分布列和数学期望．21. （10分） (2016高二上·遵义期中) 已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为，左焦点到左顶点的距离为1．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点M（1，1）的直线与椭圆C相交于A，B两点，且点M为弦AB中点，求直线AB的方程．22. （5分）(2017·三明模拟) 已知直线y=x+m与抛物线x2=4y相切，且与x轴的交点为M，点N（﹣1，0）．若动点P与两定点M，N所构成三角形的周长为6．（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）设斜率为的直线l交曲线C于A，B两点，当PN⊥MN时，证明：∠APN=∠BPN．参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题： (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题： (共6题；共50分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、。
2020-2021长沙市高中必修二数学下期中试卷附答案
2020-2021长沙市高中必修二数学下期中试卷附答案一、选择题1．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30o ，则该长方体的体积为（ ）A ．8B ．62C ．82D ．832．圆224470x y x y +--+=上的动点P 到直线0x y +=的最小距离为（ ）A ．1B ．221-C ．22D ．23．圆心在x +y =0上，且与x 轴交于点A （-3，0）和B （1，0）的圆的方程为（ ） A ．22(1)(1)5x y ++-=B ．22(1)(1)5x y -++=C ．22(1)(1)5x y -++=D ．22(1)(1)5x y ++-= 4．如图是某四面体ABCD 水平放置时的三视图（图中网格纸的小正方形的边长为1，则四面体ABCD 外接球的表面积为A ．20πB ．1256πC ．25πD ．100π5．如图是水平放置的平面图形的斜二测直观图，其原来平面图形面积是（ ）A ． 22B ． 42C ．4D ．86．若直线20ax y +-=和直线()2140x a y +-+=平行，则a 的值为（ ） A ．1-或2 B ．1- C ．2 D ．不存在7．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为4的正方形，两条虚线互相垂直且相等，则该几何体的体积是（ ）A ．1763B ．1603C ．1283D ．328．如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不平行的是( )A ．B ．C ．D ．9．已知实数,x y 满足250x y ++=，那么22x y +的最小值为（ ） A ．5 B ．10 C ．25 D ．21010．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知直三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，M 为11A C 的中点，则AM 与1BC 所成角的余弦值为( )A ．153B ．53C ．64D ．10412．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：①BM 与ED 平行 ②CN 与BE 是异面直线③CN 与BM 成60︒角 ④DM 与BN 是异面直线以上四个命题中，正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题13．经过两条直线2310x y ++=和340x y -+=的交点，并且平行于直线3470x y +-=的直线方程是________.14．若一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方形，则此圆柱的体积为 . 15．《九章算术》中，将底面为长方形且由一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P ABC -为鳖臑，PA ⊥平面ABC ，2,4PA AB AC ===，三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为__________.16．已知三棱锥P ABC -中，侧面PAC ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒，4AB AC ==，23PA PC ==，则三棱锥P ABC -外接球的半径为______.17．若圆的方程为2223()(1)124k x y k +++=-，则当圆的面积最大时，圆心坐标和半径分别为 、 ．18．已知三棱锥D ABC -的体积为2，ABC ∆是边长为2的等边三角形，且三棱锥D ABC -的外接球的球心O 恰好是CD 的中点，则球O 的表面积为_______.19．在一个密闭的容积为1的透明正方体容器内装有部分液体，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是 ．20．正四棱锥S -ABCD 的底面边长和各侧棱长都为2，点S 、A 、B 、C 、D 都在同一个球面上，则该球的体积为______．三、解答题21．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AD ⊥平面1A BC ，其垂足D 落在直线1A B 上．（Ⅰ）求证：1BC A B ⊥；（Ⅱ）若P 是线段AC 上一点，3,2AD AB BC ===，三棱锥1A PBC -的体积为3，求AP PC 的值. 22．如图，直角梯形BDFE 中，//,,22EF BD BE BD EF ⊥=，等腰梯形ABCD 中，//,,24AB CD AC BD AB CD ⊥==，且平面BDFE ⊥平面ABCD ．（1）求证：AC ⊥平面BDFE ；（2）若BF 与平面ABCD 所成角为4π，求二面角B DF C --的余弦值．23．已知圆C 过点()1,1A ，()3,1B -，圆心C 在直线250x y --=上，P 是直线34100x y -+=上任意一点．（1）求圆C 的方程；（2）过点P 向圆C 引两条切线，切点分别为M ，N ，求四边形PMCN 的面积的最小值．24．如图所示，四棱锥B AEDC -中，平面AEDC ⊥平面ABC ，F 为BC 的中点，P 为BD 的中点，且AE ∥DC ，90ACD BAC ∠=∠=︒，2DC AC AB AE ===．（Ⅰ）证明：平面BDE ⊥平面BCD ；（Ⅱ）若2DC =，求三棱锥E BDF -的体积．25．已知圆22:20M x y x a +-+=（1）若8a =-，过点(4,5)P 作圆M 的切线，求该切线的方程；（2）当圆22:(1)(23)4N x y ++-=与圆M 相外切时，从点(2,8)Q -射出一道光线，经过y 轴反射，照到圆M 上的一点R ，求光线从点Q 经反射后走到点R 所走过路线的最小值.26．如图所示，直角梯形ABCD 中，//AD BC ，,AD AB ⊥22,AB BC AD ===四边形EDCF 为矩形，2DE =，平面EDCF ⊥ABCD .（1）求证：//DF 平面ABE ；（2）求二面角B EF D --二面角的正弦值；（3）在线段BE 上是否存在点P ，使得直线AP 与平面BEF 所成角的正弦值为66，若存在，求出线段BP 的长，若不存在，请说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】首先画出长方体1111ABCD A B C D -，利用题中条件，得到130AC B ∠=o，根据2AB =，求得123BC =，可以确定122CC =，之后利用长方体的体积公式求出长方体的体积.【详解】在长方体1111ABCD A B C D -中，连接1BC ，根据线面角的定义可知130AC B ∠=o，因为2AB =，所以123BC =，从而求得122CC =，所以该长方体的体积为22V =⨯⨯= C.【点睛】该题考查的是长方体的体积的求解问题，在解题的过程中，需要明确长方体的体积公式为长宽高的乘积，而题中的条件只有两个值，所以利用题中的条件求解另一条边的长就显得尤为重要，此时就需要明确线面角的定义，从而得到量之间的关系，从而求得结果.2．B解析：B【解析】【分析】先求出圆心到直线0x y +=的距离，根据距离的最小值为d r -，即可求解.【详解】由圆的一般方程可得22(2)(2)1x y -+-=，圆心到直线的距离d ==所以圆上的点到直线的距离的最小值为1.故选B.【点睛】本题主要考查了点到直线的距离，圆的方程，属于中档题.3．A解析：A【解析】【分析】由题意得：圆心在直线x=-1上，又圆心在直线x+y=0上，故圆心M 的坐标为（-1，1），再由点点距得到半径。
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【点睛】
本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键．要求熟练掌握函数图象之间的变化关系．
4．D
【解析】
试题分析： 的否定是 ， 的否定是 ， 的否定是 ．故选D．
【考点】全称命题与特称命题的否定．
【方法点睛】全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．对含有存在（全称）量词的命题进行否定需要两步操作：①将存在（全称）量词改成全称（存在）量词；②将结论加以否定．
A． B．
C． D．
6．设函数 的图象关于直线 及直线 对称，且 时， ，则 （）
A． B． C． D．
7． 是方程 至少有一个负数根的（）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
8．已知 ， ， 是锐角，则 =（）
A． B． C． D．
9．设 则
A． B． C． D．
（1）求直方图中 的值；
（2）用分层抽样的方法从[260，280)和[280，300)这两组用户中确定6人做随访，再从这6人中随机抽取2人做问卷调查，则这2人来自不同组的概率是多少？
（3）求月平均用电量的众数和中位数.
20．如图，四棱锥 ，底面 为矩形， 平面 ， 为 的中点.
（1）证明： 平面 ；
C．(－1,1)D．(－3,1)
2．下列函数中既是偶函数，又在 上单调递增的函数是（ ）
A． B． C． D．
3．如图所示是 的图象的一段，它的一个解析式是（ ）
A． B．
C． D．
4．命题“ ，使得 ”的否定形式是（ ）
A． ，使得 B． ，使得
C． ，使得 D． ，使得
5．若函数 同时满足下列三个性质：①最小正周期为 ；②图象关于直线 对称；③在区间 上单调递增，则 的解析式可以是（）
5．A
【分析】
利用性质①可排除 ,利用性质②可排除 ,利用性质③可排除 ,通过验证选项 同时满足三个性质.
【详解】
逐一验证，由函数 的最小正周期为 ，而 中函数最小正周期为 ,故排除B；
又 ，所以 的图象不关于直线 对称，故排除C；
若 ，则 ，故函数 在 上单调递减，故排除D；
令 ，得 ，所以函数 在 上单调递增．由周期公式可得 ,当 时, , 所以函数 同时满足三个性质.
湖南省长沙市雅礼中学2020-2021学年高二下学期期中数学（理）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若集合A＝{x|3＋2x－x2>0}，集合B＝{x|2x<2}，则A∩B等于()
A．(1,3)B．(－∞，－1)
【点睛】
本题考查函数的奇偶性和单调性，考查理解辨析能力，是基础题.
3．D
【解析】
【分析】
根据图象的最高点和最低点求出A，根据周期T 求ω，图象过（ ），代入求 ，即可求函数f（x）的解析式；
【详解】
由图象的最高点 ，最低点 ，可得A ，
周期T π，
∴ ．
图象过（ ），
∴ ，
可得： ，
则解析式为y sin（2 ）
故选A．
【详解】
依题意，可得集合A＝{x|3＋2x－x2>0}＝(-1,3)，B＝{x|2x<2}＝(－∞，1)，
∴A∩B＝(－1,1)．
【点睛】
本题主要考查了集合的交集运算，其中解答中正确利用不等式的解法，求得集合 是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
2．A
【分析】
（1）利用偶函数定义判断，可排除D选项；
（2）且在 上单调递增，只有A选项符合要求.
【详解】
（1）A选项中，令 ， ，则函数 为偶函数，在 上单调递增；
（2）B选项中，令 ， ，则函数 为偶函数，在 上即有增区间，又有减区间；
（3）C选项中，令 ， ，则函数 为偶函数，在 上单调递减；
（4）D选项中，令 ， ，则函数 为奇函数.
故选：A.
16．已知圆 ，直线 与圆O交于A､B两点， ，分别过A､B两点作直线 的垂线交 轴于C､D两点，则 __________.
三、解答题
17．在△ABC中，角A､B､C所对边分别为 且 .
（1）求 的值；
（2）若 ，求 面积的最大值.
18．某企业生产A，B两种产品，根据市场调查和预测，A产品的利润与投资额成正比，设比例系数为 ，其关系如图1；B产品的利润与投资额的算术平方根成正比，设比例系数为 ，其关系如图2．（注：利润与投资额单位是万元）
（1）分别将A，B两种产品的利润表示为投资额的函数，并求出 的值，写出它们的函数关系式；
（2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A，B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资额，才能使企业获得最大利润，其最大利润为多少万元．
19．某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)以[160，180)､[180，200)､[200，220)､[220，240)､[240，260)､[260，280)､[280，300)分组的频率分布直方图如图所示：
10．设奇函数 在 上为增函数，且 ，若 ，使 ，不等式 成立，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． 或 或 D． 或 或
11．在平面直角坐标系中，若P，Q满足条件：（1）P,Q都在函数f（x）的图象上；（2）P,Q两点关于直线y=x对称，则称点对{P,Q}是函数f(x)的一对“可交换点对”.（{P,Q}与{Q,P}看作同一“可交换点”.试问函数 的“可交换点对有（）
（2）设二面角 为60°， ， ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
21．设数列 满足 ．
（Ⅰ）求数列 的通项公式 ；知函数
（1）若 对任意的 恒成立，求实数 的取值范围；
（2）求证：对任意的 （ 为自然对数的底数． ）．
参考答案
1．C
【分析】
根据不等式的解法，求得集合 ，根据集合的交集运算，即可求解.
A．0对B．1对C．2对D．3对
12．设函数 在R上存在导数 ， 有 ，在 上 ，若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知 的定义域是 ，则 的定义域是____________.
14．函数f（x）=sin2x+sinxcosx的最大值为_________．
15．要得到 的图象，需将函数 的图象上的点至少向左平移_______个单位长度.