郑州市第七中学数学几何模型压轴题单元试卷(word版含答案)

郑州市第七中学数学几何模型压轴题单元试卷（word 版含答案）

一、初三数学 旋转易错题压轴题（难）

1．已知抛物线y=ax 2+bx-3a-5经过点A(2，5)

（1）求出a 和b 之间的数量关系．

（2）已知抛物线的顶点为D 点，直线AD 与y 轴交于(0，-7)

①求出此时抛物线的解析式；

②点B 为y 轴上任意一点且在直线y=5和直线y=-13之间，连接BD 绕点B 逆时针旋转90°，得到线段BC ，连接AB 、AC ，将AB 绕点B 顺时针旋转90°，得到线段BH ．截取BC 的中点F 和DH 的中点G ．当点D 、点H 、点C 三点共线时，分别求出点F 和点G 的坐标．

【答案】（1）a+2b=10；（2）①y= 2x 2+4x-11，②G 1(

478，91-8+)，

F 1(-8，33-4+)，

G 2(8，-8

)，F 2(218，-4) 【解析】

【分析】

（1）把点A 坐标代入抛物线y=ax 2+bx-3a-5即可得到a 和b 之间的数量关系；

（2）①求出直线AD 的解析式，与抛物线y=ax 2+bx-3a-5联立方程组，根据直线与抛物线有两个交点，结合韦达定理求出a ，b ，即可求出解析式；

②作AI ⊥y 轴于点I ，HJ ⊥y 轴于点J.设B （0，t ），根据旋转性质表示粗H 、D 、C 坐标，应含t 式子表示直线AD 的解析式，根据D 、H 、C 三点共线，把点C 坐标代入求出

131t -4+=，2t -4

=，分两类讨论，分别求出G 、F 坐标。 【详解】

解：（1）把A （2,5）代入y=ax 2+bx-3a-5得4a+2b-3a-5=5

∴a+2b=10

∴a 和b 之间的数量关系是a+2b=10

（2）①设直线AD 的解析式为y=kx+c

∵直线AD 与y 轴交于（0，-7），A （2,5）

∴2k c 5{c -7+==解得k 6{c -7

==即直线AD 的解析式为y=6x-7 联立抛物线y=ax 2+bx-3a-5与直线AD ：y=6x-7 得2y ax +bx-3a-5{y 6x-7

== 消去y 得ax 2+（b-6）x-3a+2=0

∵抛物线与直线AD 有两个交点

∴由韦达定理可得：x A +x D =b-6-a =2a 2a +，x A x D =-3a 2a

+

∵A （2,5）

∴x A =2即x D =

2a -22a +∵x D =b -2a =a-104a ∴2a -22a +=a-104a 解得a=2∴b=10-a 2

= 4 ∴此时抛物线的解析式为y= 2x 2+4x-11

②如图所示：作AI ⊥y 轴于点I ，HJ ⊥y 轴于点J.设B （0，t ）

∵A （2，5），∴AI=2，BJ=5-t

∵AB 绕点B 顺时针旋转90°，得到线段BH

∴AB=BH ，∠ABH=90°，∠AIB=∠BJH=90°

∵∠IAB+∠IBA=90°，∠ABH+∠IBA+∠JBH=180°

∴∠IBA+∠JBH=90°即∠IAB=∠JBH

∴△AJB ≌△BJH 即AI=BJ=2，BI=IH=5-t

∴H （5-t ，t-2）

∵D （-1，-13）∴y B -y D =t+13

同理可得：C （t+13，t-1）

设DH 的解析式为y=k 1x+b 1

∴1111-k b -13{5-t k b t-2+=+=（）解得11t 11k 6-t {t 11b -13-t-6

+=+= 即直线AD 的解析式为t 1111y x-13-66t t t ++=

-- ∵D 、H 、C 三点共线

∴把C （t+13，t-1）代入AD t 1111y x-13-66t t t ++=--得：t 1111t-1t 13-13-66t t t ++=+--（）

整理得2t 2+31t+82=0解得131305t -4+=，231-305t -4= 由图可知：①当131305t -

+=如图1所示： 此时H （51305+，39305-+） ，C （305-21-，35305-+） ∵点G 为DH 中点，点F 为BC 中点

∴G 1（47305+，91305-+） ，F 1（305-21-，33305-+） 由图可知：当231-305t -

=如图2所示： 此时H （51-305，39-305-） ，C （30521+，35-305-） ∵点G 为DH 中点，点F 为BC 中点

∴G 2（47-305，91-305-） ，F 2（30521+，33-305-） （14分） ∴综上所述：G 1（

47305+，91305-+） ，F 1（305-21-，33305-+） G 2（47-3058，91-305-8

） ，F 2（305218+，33-305-4）。

【点睛】

本题为含参数的二次函数问题，综合性强，难度较大，解题关键在于根据旋转性质，用含参数式子分别表示点的坐标，函数关系式，结合韦达定理，分类讨论求解。

2．如图，在矩形ABCD 中，6AB cm =，8AD cm =，连接BD ，将ABD △绕B 点作顺时针方向旋转得到A B D '''△（B ′与B 重合），且点D '刚好落在BC 的延长上，A D ''与CD 相交于点E ．

（1）求矩形ABCD 与A B D '''△重叠部分（如图1中阴影部分A B CE ''）的面积；

（2）将A B D '''△以每秒2cm 的速度沿直线BC 向右平移，如图2，当B ′移动到C 点时停止移动．设矩形ABCD 与A B D '''△重叠部分的面积为y ，移动的时间为x ，请你直接写出y 关于x 的函数关系式，并指出自变量x 的取值范围；

（3）在（2）的平移过程中，是否存在这样的时间x ，使得AA B ''△成为等腰三角形？若存在，请你直接写出对应的x

的值，若不存在，请你说明理由．

【答案】（1）2452cm ；（2）22331624(0)22588020016(4)3

335x x x y x x x ⎧--+≤<⎪⎪=⎨⎪-+≤≤⎪⎩；（3）存在，使得