五年级奥数-等积变换求面积
小学五年级奥数精讲等积变形求面积(含答案)
小学奥数精讲：等积变形求面积“三角形的面积等于底与高的积的一半”这个结论是大家熟知的，据此我们立刻就可以知道： 等底等高的两个三角形面积相等． 这就是说两个三角形的形状可以不同，但只要底与高分别相等，它们的面积就相等，当然这个问题不能反过来说成是“面积相等的两个三角形底与高一定分别相等”．另一类是两个三角形有一条公共的底边，而这条底边上的高相等，即这条底边的所对的顶点在一条与底边平行的直线上，如右图中的三角形A 1BC 与A 2BC 、A 3BC 的面积都相等。
图形割补是求图形面积的重要方法，利用割补可以把—些形状不规则的图形转换成与之面积相等但形状规则的图形，或把不易求面积的图形转换成易求面积的图形．利用添平行线或添垂线的办法，常常是进行面积割补的有效方法，利用等底等高的三角形面积相等这个性质则是面积割补的重要依据，抓住具体的图形的特点进行分析以确定正确的割补方法则是面积割补的关键．进行图形切拼时，应该有意识地进行计算，算好了再动手寻找切拼的方案．不要盲目地乱动手．本讲中．的几个例子都是经过仔细计算才切拼成功的。
例1、已知三角形ABC 的面积为1，BE ＝ 2AB ，BC ＝CD ，求三角形BDE 的面积?例2、如下图，A 为△CDE 的DE 边上中点，BC=31 CD ，若△ABC(阴影部分)面积为5平方厘米，求△ABD 及△ACE 的面积．例3、 2002年在北京召开了国际数学家大会，大会会标如下图所示，它是由四个相同的直角基本概念例题分析三角形拼成(直角边长为2和3)，问：大正方形面积是多少?例4、下图中，三角形ABC和DEF是两个完全相同的直角边长等于9厘米的等腰直角三角形，求阴影部分的面积．练习提高1、如图，已知平行四边形ABCD的面积是60平方分米，E、F分别是AB、AD边上的中点，图中阴影部分的面积是多少平方分米?2、右图中的长方形ABCD的长是20厘米，宽是12厘米，AF=BE，图中阴影部分的面积是多少平方厘米？3、如图，四边形ABCD 是平行四边形，DC ＝CE ，如果△BCE 的面积是15平方厘米，那么梯形ABED 的面积是多少平方厘米？4、正方形ABCD 的边长是12厘米，已知DE 是EC 长度的2倍，三角形DEF 的面积是多少平方厘米？CF 长多少厘米？5、如图，在平行四边形ABCD 中，AE ＝ED ，BF ＝FC ，CG ＝GD ，平行四边形ABCD 的面积是阴影三角形EFG 的多少倍？（4）6、一个长方形被两条直线分成四个长方形，其中三个面积分别是20平方米，25平方米和30平方米，阴影部分的面积是多少平方米？7、如右图，平行四边形ABCD 的面积是240平方厘米，如果平行四边形内任取一点0，连接AO 、BO 、CO 、DO ，三角形AOD 与三角形BOC 的面积和的21，加上三角形AOB 与三角形DOC 的面积和的31，结果是多少?8、图8-17中，三角形ABC的面积是30平方厘米，D是BC的中点，AE的长是ED的2倍，求三角形CDE的面积．9、如图，正方形的边长为10厘米，用一根铁丝弯成直角，把这根铁丝放到正方形上，使直角顶点与正方形的中心O重合，问正方形在直角内部的部分有多大面积？答案：【例题分析】例1． 4例2．三角形ABD=10平方厘米三角形ACE=15平方厘米例3. 13例4. 27【练习提高】1. 22.52. 1203. 454. 三角形DEF=24平方厘米 CF=6厘米5. 4倍6. 37.57. 1008. 59. 25。
小学数学 等积变换求面积 PPT+课后作业 带答案
例题对角1线
对角线
对角线
如图所示，两个相等的等腰直角三角形与一个正方形摆放成梯形ABCD。已知等腰直角三 角形的斜边AB长度是8厘米，求梯形ABCD的面积。
斜边
斜边
斜边
大等腰三角形面积=斜边×斜边÷2 小等腰三角形面积=斜边×斜边÷2÷2 等腰直角三角形面积=斜边长度的平方÷4
练习1
如图所示，等腰直角三角形ABD和BCD拼成了一个直角梯形ABCD。已知BD长6厘米，求 梯形ABCD的面积。
G
B
A
连接DF，AC//DF
F
S ACF = S ACD = S 正方形ABCD ÷2
=10×10÷2
=50（平方厘米）
C
D
E
例题5
如图所示，四边形ABCD是一个直角梯形，以上底AD为边向外作长方形ADEF，面积为10 平方厘米，连接BE交AD于O，连接OC。求图中阴影部分的面积。
FE // AC // BC 和 FB // ED
6
等高三角形模型可得， S ABD = S ACD
所以三角形ABC的面积是三角形BDO面积的4倍
三角形ABC的面积=6×4=24（平方厘米）
例题3
如图所示，图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米，则图中阴影部分三角形的面积是 多少平方厘米？
A
D 4
G
F
4
B
C
E
三角形面积=底×高÷2 阴影部分三角形的底是小正方形的一条边 而高也是小正方形的一条边 阴影部分的面积=4×4÷2=8（平方厘米）
在梯形中寻找面积 相等的三角形
AD // BC △ ABC和△DBC △ BAD和△CAD △ ABO和△CDO 连接BE
五年级奥数图形与面积
图形与面积转化的方法大体上分两点：（1）利用平移、旋转、弦图、割补法、差不变等技巧解题（2）利用五大模型之高相等面积比＝底的比（关键高相等：同一个三角形等高、平行线间的三角形等高）（3）利用五大模型之相似三角形：相似三角形在我们小学的学习过程中常用的就是金字塔和沙漏。
（4）等积变形：两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比1、一点引两条直线分别与两组边平行，见右图。
所分得的四①过矩形内部的个小矩形，其面积满足这样的规律：2、梯形的对角线讲梯形分成的四个三角形有：ab＝cd,且c＝d对称、旋转、平移、割补等技巧将其转换0、按照图中的样子，在一个平行四边行纸片上割去了甲、乙两个直角三角形，已知甲三角形的两条直角边分别为2厘米和4厘米，乙三角形的两条直角边分别为3厘米和6厘米，求图中阴影部分的面积。
（11）1、有红、黄、绿三块大小一样的正方形纸片，放在一个底面为正方形的盒内，它们之间相互叠合（见下图）。
已知露在外面的部分中，红色面积是20，黄色面积是14，绿色面积是10。
求正方形盒底的面积。
【】2、如图，在正方形ABCD中，红色，绿色正方形的面积分别是52和13，且红、绿两个正方形有一个顶点重合。
黄色正方形的一个顶点位于红色正方形两条对角线的交点，另一顶点位于绿色正方形两条对角线的交点，求黄色正方形面积。
【】3、在正方形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边的中点(如图)，连接线段AF、BG、CH、DE，由这四条线段在正方形中围成的小正方形的面积占大正方形面积的几分之几？【1/5】4、如图正方形ABCD的边长是5，E，F分别是AB和BC的中点，求四边形BFGE的面积是多少?【5】5、已知正方形的面积是120平方厘米，B、E为正方形边上的中点，求题中阴影部分的面积是多少平方厘米？【14】6、有一个长方形，它的长是宽的4倍，对角线长34厘米，求这个长方形面积。
五年级奥数等积变换求面积
等积变换求面积“三角形的面积等于底与高的积的一半”这个结论是大家熟知的，据此我们立刻就可以知道：等底等高的两个三角形面积相等．这就是说两个三角形的形状可以不同，但只要底与高分别相等，它们的面积就相等，当然这个问题不能反过来说成是“面积相等的两个三角形底与高一定分别相等”．另一类是两个三角形有一条公共的底边，而这条底边上的高相等，即这条底边的所对的顶点在一条与底边平行的直线上，如右图中的三角形A1BC与A2BC、A3BC的面积都相等。
图形割补是求图形面积的重要方法，利用割补可以把—些形状不规则的图形转换成与之面积相等但形状规则的图形，或把不易求面积的图形转换成易求面积的图形．利用添平行线或添垂线的办法，常常是进行面积割补的有效方法，利用等底等高的三角形面积相等这个性质则是面积割补的重要依据，抓住具体的图形的特点进行分析以确定正确的割补方法则是面积割补的关键．进行图形切拼时，应该有意识地进行计算，算好了再动手寻找切拼的方案．不要盲目地乱动手．本讲中．的几个例子都是经过仔细计算才切拼成功的。
例1、已知三角形ABC的面积为1，BE＝2AB，BC＝CD，求三角形BDE的面积?例2、如下图，A为△CDE的DE边上中点，BC=31CD，若△ABC(阴影部分)面积为5平方厘米，求△ABD及△ACE的面积．基本概念例题分析例3、 2002年在北京召开了国际数学家大会，大会会标如下图所示，它是由四个相同的直角三角形拼成(直角边长为2和3)，问：大正方形面积是多少?例4、下图中，三角形ABC和DEF是两个完全相同的直角边长等于9厘米的等腰直角三角形，求阴影部分的面积．1、如图，已知平行四边形ABCD的面积是60平方分米，E、F分别是AB、AD边上的中点，图中阴影部分的面积是多少平方分米?2、右图中的长方形ABCD的长是20厘米，宽是12厘米，AF=BE，图中阴影部分的面积是多少平方厘米？练习提高3、如图，四边形ABCD是平行四边形，DC＝CE，如果△BCE的面积是15平方厘米，那么梯形ABED的面积是多少平方厘米？4、正方形ABCD的边长是12厘米，已知DE是EC长度的2倍，三角形DEF的面积是多少平方厘米？CF长多少厘米？5、如图，在平行四边形ABCD中，AE＝ED，BF＝FC，CG＝GD，平行四边形ABCD的面积是阴影三角形EFG的多少倍？（4）6、一个长方形被两条直线分成四个长方形，其中三个面积分别是20平方米，25平方米和30平方米，阴影部分的面积是多少平方米？7、如右图，平行四边形ABCD 的面积是240平方厘米，如果平行四边形内任取一点0，连接AO 、BO 、CO 、DO ，三角形AOD 与三角形BOC 的面积和的21，加上三角形AOB 与三角形DOC 的面积和的31，结果是多少?8、图8-17中，三角形ABC 的面积是30平方厘米，O 是BC 的中点，AE 的长是ED 的2倍，求三角形CDE 的面积．9、如图，正方形的边长为10厘米，用一根铁丝弯成直角，把这根铁丝放到正方形上，使直角顶点与正方形的中心O 重合，问正方形在直角内部的部分有多大面积？。
小学奥数中常见的辅助线的添加技巧4-等积变形(有关三角形面积、共边定理、长方形面积、圆的等图形问题)
小学奥数中常见的辅助线的添加技巧方法4、等积变形（四）等积变形例1 如图1，ABCD 是直角梯形，E 是BC 上任意一点，AD=6厘米，AB=5厘米，BC=8厘米。
求图中阴影部分的面积。
练习1 如图1-1，已知梯形ABCD 的下底是8厘米，高是5厘米，求图中阴影部分的面积。
练习2 如图1-2，长方形ABCD 的面积为60平方厘米，P 是长方形ABCD 边AD 上任意一点，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，求五边形PEBCF 的面积。
练习3 如图1-3，已知平行四边形ABCD 的面积为48平方厘米，P 是平行四边形内任意一点，连接PA 、PB 、PC 、PD ，那么△APD 和△BPC 的面积之和是多少？C DEABC DA BC D EF PABCDP图1图1-1图1-2图1-3例2 如图2，四边形ABCD 和BEFH 是两个正方形，EF=8厘米，求图中阴影部分的面积。
练习1 如图2-1，ABCD 和BEFH 是两个正方形，正方形BEFH 的面积是15平方厘米，求图中阴影部分的面积。
练习2 如图2-2，ABCD 和BEFH 是两个正方形，AB=12厘米，BE=8厘米，求图中阴影部分的面积。
练习3 如图2-3，ABCD 和BEFH 是两个正方形，△DGH 和△EGH 的面积相差2.4平方厘米，AB ：BE=3：2，求正方形ABCD 的面积。
A B C DE FHAB C DE FHGA B C D EFHGA B C DE FH图2-1图2-2图2-3图2例3 如图3，四边形ABCD 和CEFG 都是正方形，且正方形ABCD 的边长是10厘米，求三角形BFD 的面积。
练习1 如图3-1，四边形ABCD 和CEFG 是两个正方形，大正方形ABCD 的面积是24平方厘米，求三角形BDF 的面积。
练习2 如图3-2， ABCD 和CEFG 是两个正方形，BC=9厘米，CE=6厘米，求图中阴影部分的面积。
五年级奥数基础教程-用等量代换求面积小学
用等量代换求面积一个量可以用它的等量来代替；被减数和减数都增加（或减少）同一个数，它们的差不变。
前者是等量公理，后者是减法的差不变性质。
这两个性质在解几何题时有很重要的作用，它能将求一个图形的面积转化为求另一个图形的面积，或将两个图形的面积差转化为另两个图形的面积差，从而使隐蔽的关系明朗化，找到解题思路。
例1两个相同的直角三角形如下图所示（单位：厘米）重叠在一起，求阴影部分的面积。
分析与解：阴影部分是一个高为3厘米的直角梯形，然而它的上底与下底都不知道，因而不能直接求出它的面积。
因为三角形ABC与三角形DEF完全相同，都减去三角形DOC后，根据差不变性质，差应相等，即阴影部分与直角梯形OEFC面积相等，所以求阴影部分的面积就转化为求直角梯形OEFC的面积。
直角梯形OEFC的上底为10-3=7（厘米），面积为（7+10）×2÷2=17（厘米2）。
所以，阴影部分的面积是17厘米2。
例2在右图中，平行四边形ABCD的边BC长10厘米，直角三角形ECB的直角边EC长8厘米。
已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10厘米2，求平行四边形ABCD的面积。
分析与解：因为阴影部分比三角形EFG的面积大10平方厘米2，都加上梯形FGCB后，根据差不变性质，所得的两个新图形的面积差不变，即平行四边行ABCD比直角三角形ECB的面积大10厘米2，所以平行四边形ABCD的面积等于10×8÷2+10=50（厘米2）。
例3在右图中，AB=8厘米，CD=4厘米，BC=6厘米，三角形AFB比三角形EFD的面积大18厘米2。
求ED的长。
分析与解：求ED的长，需求出EC的长；求EC的长，需求出直角三角形ECB的面积。
因为三角形AFB 比三角形EFD的面积大18厘米2，这两个三角形都加上四边形FDCB后，其差不变，所以梯形ABCD比三角形ECB的面积大18厘米2。
也就是说，只要求出梯形ABCD的面积，就能依次求出三角形ECB的面积和EC 的长，从而求出ED的长。
五年级奥数：图形与面积
图形与面积转化的方法大体上分两点：（1）利用平移、旋转、弦图、割补法、差不变等技巧解题（2）利用五大模型之高相等面积比＝底的比（关键高相等：同一个三角形等高、平行线间的三角形等高）（3）利用五大模型之相似三角形：相似三角形在我们小学的学习过程中常用的就是金字塔和沙漏。
（4）等积变形：两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比1、一点引两条直线分别与两组边平行，见右图。
所分得的四①过矩形内部的个小矩形，其面积满足这样的规律：2、梯形的对角线讲梯形分成的四个三角形有：ab＝cd,且c＝d对称、旋转、平移、割补等技巧将其转换0、按照图中的样子，在一个平行四边行纸片上割去了甲、乙两个直角三角形，已知甲三角形的两条直角边分别为2厘米和4厘米，乙三角形的两条直角边分别为3厘米和6厘米，求图中阴影部分的面积。
（11）1、有红、黄、绿三块大小一样的正方形纸片，放在一个底面为正方形的盒内，它们之间相互叠合（见下图）。
已知露在外面的部分中，红色面积是20，黄色面积是14，绿色面积是10。
求正方形盒底的面积。
【51.2】2、如图，在正方形ABCD中，红色，绿色正方形的面积分别是52和13，且红、绿两个正方形有一个顶点重合。
黄色正方形的一个顶点位于红色正方形两条对角线的交点，另一顶点位于绿色正方形两条对角线的交点，求黄色正方形面积。
【29.25】3、在正方形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边的中点(如图)，连接线段AF、BG、CH、DE，由这四条线段在正方形中围成的小正方形的面积占大正方形面积的几分之几？【1/5】4、如图正方形ABCD的边长是5，E，F分别是AB和BC的中点，求四边形BFGE的面积是多少?【5】5、已知正方形的面积是120平方厘米，B、E为正方形边上的中点，求题中阴影部分的面积是多少平方厘米？【14】6、有一个长方形，它的长是宽的4倍，对角线长34厘米，求这个长方形面积。
利用“等积变形”的方法巧算面积-教学设计
教学内容：利用等积变形的思想求解平面图形的面积教学背景：在学生已经掌握长方形、平行四边形、梯形、三角形等平面图形面积的一般计算方法的基础上，拓展学生的思维方式，利用“转换”策略解决问题的能力。
转化是解决问题时经常采用的方法，能把较复杂的问题变成较简单的问题，把新颖的问题变成已经解决的问题。
转化的手段和具体方法是多样而灵活的，既与实际问题的内容和特点有关，也与学生的认知结构有关，掌握转化策略不仅有利于问题的解决，更有益于思维的发展。
教学对象：五年级学生教学目标：1、学生能了解“等积变形”的含义；2、学生能理解利用“等积变形”求解平面图形面积的方法。
3、学生能够合理地进行较简单的“等积变形”问题的解答。
教学难点：能够在不改变面积的情况下合理地对平面图形的形状进行改变。
教学过程：一、介绍登记变形的含义。
“等积变形”法，顾名思义就是在不改变平面图形面积的前提下，改变平面图形的形状，从而求出相关面积的方法。
二、例题讲解：1、出示例题：在直角三角形中有一个正方形,求这个正方形的面积是多少(单位:厘米)。
2、讲解利用“等积变形”解题的方法。
3、出示进阶练习，帮助学生进行巩固练习。
（1）如图，在直角三角形ABC中有一个正方形EFCD，E正好落在直角三角形的斜边AB 上。
已知AE=7cm，EB=10cm，阴影部分的面积是（）。
A、70B、17C、35D、3（2）如图，梯形的上底12cm，高28cm，求解阴影部分的面积时，可以先阴影部分的面积可以转化成一个（）来求解。
A、梯形B、三角形C、长方形D、平行四变形（3）正方形ABCD的边长是12厘米，已知DE是EC长度的2倍，求CF长多少厘米时，我们可以先把阴影部分转化成（）再来计算。
A、△ABCB、△ADEC、△ACED、△CEF（4）如图，连接正方形四条边的中点，围成一个小正方形，大正方形的面积时小正方形的（）倍。
A、3B、4C、5D、6（5）如图，阴影部分的面积是（）。
多边形面积-五年级奥数11
五年级奥数 多边形的面积1、 和差法：分割、合并、倍数比2、 运动法：3、 等积变换法：等底、等高则等积；等积、等高则等底；等积、等底则等高。
例1、求阴影部分的面积。
例2、大、小两个正方形的边长分别是8厘米和6厘米， 求阴影部分的面积。
例3、两个相同的直角三角形如图重叠在一起， 求阴影部分的面积。
例4、求阴影部分面积。
例5、图中长方形ABCD 中AB=5厘米，BC=8厘米。
三角形DEF （甲）的面积 比三角形ABF （乙）的面积大8平方厘米。
求DE 的长。
练习:1、在三角形ABC 中，DC=2BD ，CE=3AE ，三角形ADE 的面积是 8平方厘米。
求三角形ABC 的面积。
3cm4cm6cm5cm2cm12cm甲ABCDEF乙 AD B C 10cm 10cm24cm45° EABCDE5cm2、四边形ABCD 中，AC 和BD 互相垂直，AC=20厘米，BD=15厘米。
求四边形的面积。
3、在四边形ABCD 中，∠C=45°，∠B=90°，∠D=90°， AD=4cm ，BC=12cm 。
求四边形ABCD 的面积。
4、AF=2cm,AB=4cm,CD=5cm,DE=8cm,∠B=∠E=90°。
求四边形ACDF 的面积。
5、已知大正方形比小正方形边长多2厘米，大正方形比小正方形的面积大10平方厘米。
求大、小正方形的面积各数多少平方厘米。
6、图中两个正方形的边长是10厘米和7厘米，求阴影部分的面积（如图）7.如左下图所示，平行四边形ABCD 的周长是75厘米，以BC 为底的高是14厘米，以CD 为底的高是16厘米。
求平行四边形ABCD 的面积。
ACBD 45°AB CDAB CDEF 4cm8cm2cm8.如右上图所示，在一个正方形水池的周围，环绕着一条宽2米的小路，小路的面积是80米2，正方形水池的面积是多少平方米？9.如右图所示，一个长方形被一线段分成三角形和梯形两部分，它们的面积差是28厘米2，梯形的上底长是多少厘米？10.如下图，在三角形ABC中，BD=DF=FC，BE=EA。
五年级奥数培优教程之第5章图形专题
第四章 图形第四课时------等面积转换法专题解析：几何中直接求面积很难时，可以找一个或者构造一个面积易求且面积相等的图形进行转换，从而得解。
例题1：如图所示，求阴影部分的面积（单位：厘米）。
针对性训练：1、 如图所示，BE 长7厘米，长方形AEFD 面积是33平方厘米。
求CD 的长度。
2、 如图是两个完全一样的直角三角形重叠在一起，按照图中的已知条件求阴影部分的面积（单位：厘米）。
例2：如图梯形的上底AB 长20厘米，下底DC 长30厘米，高15厘米，求阴影部分的面积。
B46考点归纳1、如图，E是平行四边形ABCD底边BC的中点，阴影部分的面积是3.1平方厘米，则平行四边形的面积是多少平方厘米？2、如图，E、F分别是平行四边形ABCD相邻两边的中点，求阴影部分的面积（单位：厘米）？3、如图，已知四条线段的长分别是：AB=2cm，CE=6cm，CD=5cm，AF=4cm，并且有两个直角。
求四边形ABCD的面积。
例3：如图，已知AB=BC=6厘米，三角形BCE的面积比三角形ADE的面积大3平方厘米，则AD 长是多少厘米？1、如图，四边形ABCG、DEFG是长方形，那么三角形BCM的面积与三角形DEM的面积之差是多少（单位：厘米）？2、如图，三角形ABC的面积为36平方厘米，延长BA到E,D是AC的中点，A是BE的三等分点，求三角形ADE的面积。
3、如图，在三角形ABC中，DC:BC=2:5,BO:OE=4:1,求AE:EC的比是多少？自我检测1、如图，由两个完全一样的直角三角重叠在一起，则阴影部分的面积为。
（单位：厘米）2、图中，ABCD是正方形，三角形DEF面积比三角形ABF的面积大6平方厘米，CD长4厘米。
则DE的长度为厘米。
3、如图是一块长方形草地。
长方形长12米，宽8米。
中间有三条宽2米的道路，一条是长方形，另两条是平行四边形。
求有草部分（阴影部分）的面积。
4、图中四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，已知三角形AFH的面积为6平方厘米，求三角形CDH 的面积5、如图正方形ABCD的边长是4厘米,CG是3厘米,长方形DEFG的长DG是5厘米,那么它的宽DE是多少厘米？第四章 图形第六课时------等底等高法等底等高解三角形面积问题例1：图中长方形的长为12厘米，宽为6厘米。
巧用等积转换求解图形面积
巧用等积转换求解图形面积
【问题】一个图形是由一大一小两个正方形组合而成的，已知小正方形的边长是4厘米，△ABC的面积是多少平方厘米？
【思路点睛】想直接求解△ABC的面积是不可能的，因为仅凭“小正方形的边长为4厘米”这个条件无法知道△ABC的一组底和高的值，从而该题不能直接求解，肯定是用间接求解法。
又因为只知道小正方形的边长而不知道大正方形的边长，所以△ABC的面积肯定与大正方形的面积无关，只与小正方形的面积有关。
仔细观察，你会发现△ABC的部分面积在大正方形内，我们便会很容易的想到应该把△ABF等面积转换到小正方形内。
如果是把△ABF等面积转换为△BGC，则求解△ABC的面积就相当于求解直角梯形BFCG的面积，可是我们并不能确定梯形BFCG的底BF长到底是多少，所以不可能把△ABF等面积转换为△BGC来求解。
如果我们把△ABF等面积转换为△FDC，则求解△ABC的面积就相当于求解△BDC的面积，而△BDC的面积刚好是小正方形面积的一半。
下面我们来重点思考△ABF 是否能等面积转换为△FDC。
我们知道直角梯形ABDE的面积＝（A E＋BD）×E D÷2，而直角三角形AEC的面积＝(ED＋DC) ×AE÷2，可见直角梯形ABDE的面积＝直角三角形AEC 的面积，也就是说，△ABF的面积＝△FDC的面积。
所以我们可以确定△ABC的面积＝△BDC的面积＝小正方形面积的一半＝8平方厘米。
淮安中欣国际实验学校五（3）班张天赐
指导老师：金海。
五年级奥数第5讲--等积变形
A
D
B
C
2021/10/10
白汀水
4
例如下图中，△ABC与△DBC的底相同（它们的底都 是BC），△ABC的高是△DBC高的2倍（D是AB中点， AB=2BD，有AH=2DE），则△ABC的面积是△DBC 面积的2倍．
A
D
B
C
E
H
上述结论，是我们研究三角形等积变形的重要依据．
2021/10/10
白汀水
C
B
D
解：连结AC，∵AB//CD，∴S△ADE=S△ACE
E？ F
A
又∵AD//BC，∴S△ACF=S△ABF 而 S△ACF=S△ACE+S△AEF∶S△ABF=S△BEF+S△AEF ∴ S△ACE=S△BEF ∴S△BEF=S△ADE=1．
2021/10/10
白汀水
16
=4×3=12（平方厘米）．
2021/10/10
白汀水
12
例6 如下页图，在△ABC中，BD=2AD，AG=2CG， BE=EF=FC=BC/3，求阴影部分面积占三角形面积的几分之几？
解：连结BG，在△ABG中，
A
∵ BD=2AD， ∴S ⊿ADG=S⊿ABG，在⊿ABC中， ∵ AG=2CG， ∴S ⊿ABG=2/3S⊿ABC，
解：①连结BD；
②过A作BD的平行线，与CB的延长线交于A′．
白汀水 ③连结A′D，则△A′CD与四边形ABCD等积．
2021/10/10
11
例5 如右图，已知在△ABC中，BE=3AE，CD=2AD．若
△ADE的面积为1平方厘米．求三角形ABC的面积． A
解法1：连结BD，在△ABD中 ∵ BE=3AE，
五年级奥数培优教程之等积变形求面积
第2课等积变形求面积一、知识要点等底等高的三角形面积相等平行四边形如果两个三角形底相等，大三角形面积是小三角形面积的2倍，大三角形高是小三角形高的。
如果两个三角形底相等，大三角形面积是小三角形面积的3倍，大三角形高是小三角形高的。
如果两个三角形底相等，大三角形面积是小三角形面积的4倍，大三角形高是小三角形高的。
如果两个三角形底相等，大三角形面积是小三角形面积的n倍，大三角形高是小三角形高的。
如果两个平行四边形形底相等，大平行四边形面积是小平行四边形形面积的2倍，大平行四边形高是小平行四边形高的。
如果两个平行四边形形底相等，大平行四边形面积是小平行四边形形面积的3倍，大平行四边形高是小平行四边形高的。
如果两个平行四边形形底相等，大平行四边形面积是小平行四边形形面积的4倍，大平行四边形高是小平行四边形高的。
如果两个平行四边形形底相等，大平行四边形面积是小平行四边形形面积的n倍，大平行四边形高是小平行四边形高的。
二、典型例题分析【例1】四边形ABCD中，M为AB的中点，N为CD的中点，如果四边形ABCD的面积是80平方厘米，求阴影部分BNDM的面积是多少？【练一练】如图，六边形ABCDEF的面积是16平方厘米，M、N、P、Q分别是AB、CD、DE、AF的中点。
求图中阴影部分的面积。
【例2】如图，平行四边形ABCD中，AE=EF=FB，AG=2CG，三角形GEF的面积是6平方厘米，平行四边形的面积是多少平方厘米？【练一练】如图，在一个等边三角形中任意取一点P，连接PA、PB、PC，过P点作三角形的垂线，E、F、G分别为垂足。
三角形ABC被分成6个三角形。
已知三角形ABC的面积为40平方厘米，求图中阴影部分的面积。
【例3】下图中正方形ABCD的边长是4厘米，长方形DEFG的长DG=5厘米，问长方形的宽DE为多少厘米？【练一练】两个相同的直角三角形叠放在一起，求阴影部分的面积。
（单位：分米）【例4】两个正方形拼成一个图形，其中小正方形的边长是4厘米，求阴影部分的面积。
五年级奥数第5讲等积变形
学生课程讲义课程名称五年级奥数上课时间任课老师沈老师第05 讲，本讲课题：等积变形内容概要熟知各种规则图形的面积求法，结合等积变形来求出不规则图形面积。
两个平面图形面积相等,称为这两个图形等积.解决平面图形面积问题的主要渠道是将欲求的图形的面积转化为已经学过的基本图形的面积问题.其中三角形的等积变形的技巧是各种等积变形的核心,都要运用到“等(同)底、等(同)高的两个三角形面积相等”这个基本规则,并由此衍生出因题而宜的种种精巧的等积变形的技巧。
【例1】计算：如图，5-1，ABCD是直角梯形，两条对角线把梯形分为4个三角形，已知其中两个三角形的面积为3平方厘米和6平方厘米，求直角梯形ABCD的面积。
随堂练习1如图5-2，三角形ABO的面积为9平方厘米，线段BO的长度是OD的3倍，梯形ABCD的面积是多少平方厘米？【例2】如图5-3，把三角形ABC的一条边AB延长1倍到D，把它的另一边AC延长2倍到E，得到一个较大的三角形ADE，三角形ADE的面积是三角形ABC面积的多少倍？随堂练习2如图5-5，AE=3AB，BD=2BC,△DBE面积是△ABC面积的多少倍？【例3】如图5-6，已知三角形ABC的面积为56平方厘米，是平行四边形DEFC的2倍，阴影部分的面积是多少平方厘米？随堂练习3如图5-8，△ABC面积=24平方厘米，M为AB中点，E 为AM上任意一点，MD与EC平行，求EBD的面积。
【例4】如图5-9所示，矩形ABCD的面积为24平方厘米，三角形ADM 与三角形BCN的面积之和为7.8平方厘米，则四边形PMON的面积是多少平方厘米。
随堂练习4如图5-10，平行四边形ABCD中BF=2DF.E是BC中点。
三角形BEF的面积等于8平方厘米，求平行四边形ABCD的面积。
【例5】如图5-11，梯形ABCD的面积是45平方厘米，高6厘米，AD∥BC，三角形AED的面积是5平方厘米，BC=10厘米。
求三角形BCE的面积。
五年级奥数---等积变换
第二十一讲等积变换一个量可以用它的等量来代替;被减数和减数都增加（或减少）同一个数,它们的差不变.前者是等量公理，后者是减法的差不变性质。
这两个性质在解几何题时有很重要的作用，它能将求一个图形的面积转化为求另一个图形的面积,或将两个图形的面积差转化为另两个图形的面积差，从而使隐蔽的关系明朗化,找到解题思路。
例题1：两个相同的直角三角形如下图所示（单位:厘米）重叠在一起,求阴影部分的面积。
解：因为三角形ABC与三角形DEF完全相同，都减去三角形DOC后，根据差不变性质,差应相等,即阴影部分与直角梯形OEFC面积相等，所以求阴影部分的面积就转化为求直角梯形OEFC的面积.直角梯形OEFC的上底为10—3=7(厘米）,面积为（7+10）×2÷2=17（厘米2）。
答：阴影部分的面积是17厘米2。
例题2：在右图中，平行四边形ABCD的边BC长10厘米，直角三角形ECB的直角边EC长8厘米。
已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10厘米2，求平行四边形ABCD的面积.解：因为阴影部分比三角形EFG的面积大10厘米2，都加上梯形FGCB后，根据差不变性质,所得的两个新图形的面积差不变，即平行四边行ABCD比直角三角形ECB的面积大10厘米2，所以平行四边形ABCD的面积等于10×8÷2+10=50（厘米2)。
答：平行四边形ABCD的面积是50cm.例题3：在右图中，AB=8厘米，CD=4厘米,BC=6厘米，三角形AFB比三角形EFD的面积大18厘米2。
求ED的长。
解：因为三角形AFB比三角形EFD的面积大18厘米2，这两个三角形都加上四边形FDCB后,其差不变，所以梯形ABCD比三角形ECB的面积大18厘米2.梯形ABCD面积=（8+4）×6÷2=36（厘米2），三角形ECB面积=36—18=18（厘米2），EC=18÷6×2=6（厘米），ED=6-4=2(厘米）。
五年级奥数第5讲等积变形
【例1】计学生课程讲义课程名称五年级奥数上课时间任课老师沈老师第05讲，本讲课题：等积变形内容概要熟知各种规则图形的面积求法，结合等积变形来求出不规则图形面积。
两个平面图形面积相等,称为这两个图形等积•解决平面图形面积问题的主要渠道是将欲求的图形的面积转化为已经学过的基本图形的面积问题•其中三角形的等积变形的技巧是各种等积变形的核心，都要运用到“等（同）底、等（同）高的两个三角形面积相等”这个基本规则, 并由此衍生出因题而宜的种种精巧的等积变形的技巧。
如图，5-1,ABCD是直角梯形,两条对角线把梯形分为4个三角形，已知其中两个三角形的面积为3平方厘米和6平方厘米求直角梯形ABCD的面积。
◎I 多少平方厘米?A 界C梦想从这里起飞【例2】如图5-3,把三角形ABC 的一条边 少平方厘米？AB 延长1倍到D,把它的 另一边AC 延长2倍到E, 得到一个较大的三角形ADE ，三角形ADE 的面积是三角形ABC 面积的多少【例3】如图5-6，已知三角形ABC 的面积为56平方厘米，是平行四边形DEFC 的2倍，阴影部分的面积是多倍？随堂练习3随堂练习2 如图5-5，AE=3AB BD=2BC,ADBE 面积是△ ABC 面积的多少倍？ 如图5-8，^ABC 面积=24平方厘米，M 为AB 中点，E 为AM 上任意一点，MD 与EC 平行，求EBD 的面积。
as-sE和为7.8平方厘米，则1'■只—9四边形PMON的面积是BC=10厘米。
求三角形BCE的面积。
【例4】如图5-9所示, 矩形ABCD的面积为24 平方厘米，三角形ADM 与三角形BCN的面积之【例5】如图5-11,梯形ABCD的面积是45平方厘米，高6厘米，AD〃BC,三角形AED的面积是5平方厘米，多少平方厘米。
随堂练习4如图5-10，平行四边形ABCD中BF=2DF.E是BC中点。
三角形BEF的面积等于8平方厘米，求平行四边形ABCD的面积。
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等积变换求面积
“三角形的面积等于底与高的积的一半”这个结论是大家熟知的，据此我们立刻就可以知道： 等底等高的两个三角形面积相等． 这就是说两个三角形的形状可以不同，但只要底与高分别相等，它们的面积就相等，当然这个问题不能反过来说成是“面积相等的两个三角形底与高一定分别相等”．
另一类是两个三角形有一条公共的底边，而这条底边上的高相等，即这条底边的所对的顶点在一条与底边平
行的直线上，如右图中的三角形A 1BC 与A 2BC 、A 3BC 的面积都相等。
图形割补是求图形面积的重要方法，利用割补可以把—些形状不规则
的图形转换成与之面积相等但形状规则的图形，或把不易求面积的图形转
换成易求面积的图形．
利用添平行线或添垂线的办法，常常是进行面积割补的有效方法，利
用等底等高的三角形面积相等这个性质则是面积割补的重要依据，抓住具体的图形的特点进行分析以确定正确的割补方法则是面积割补的关键．
进行图形切拼时，应该有意识地进行计算，算好了再动手寻找切拼的方案．不要盲目地乱动手．本讲中．的几个例子都是经过仔细计算才切拼成功的。
例1、已知三角形ABC 的面积为1，BE ＝ 2AB ，BC ＝CD ，求三角形BDE 的面积?
例2、如下图，A 为△CDE 的DE 边上中点，BC=3
1 CD ，若△ABC(阴影部分)面积为5平方厘米，求△ABD 及△ACE 的面积．
基本概念
例题分析
例3、 2002年在北京召开了国际数学家大会，大会会标如下图所示，它是由四个相同的直角三角形拼成(直角边长为2和3)，问：大正方形面积是多少?
例4、下图中，三角形ABC和DEF是两个完全相同的直角边长等于9厘米的等腰直角三角形，求阴影部分的面积．
练习提高
1、如图，已知平行四边形ABCD的面积是60平方分米，E、F分别是AB、AD边上的中点，图中阴影部分的面积是多少平方分米?
2、右图中的长方形ABCD的长是20厘米，宽是12厘米，AF=BE，图中阴影部分的面积是多少
平方厘米？
3、如图，四边形ABCD是平行四边形，DC＝CE，如果△BCE的面积是15平方厘米，那么梯形ABED的面积是多少平方厘米？
4、正方形ABCD的边长是12厘米，已知DE是EC长度的2倍，三角形DEF的面积是多少平方厘米？CF长多少厘米？
5、如图，在平行四边形ABCD中，AE＝ED，BF＝FC，CG＝GD，平行四边形ABCD的面积是阴影
三角形EFG的多少倍？（4）
6、一个长方形被两条直线分成四个长方形，其中三个面积分别是20平方米，25平方米和30平方米，阴影部分的面积是多少平方米？
7、如右图，平行四边形ABCD 的面积是240平方厘米，如果平行四边形内任取一点0，连接
AO 、BO 、CO 、DO ，三角形AOD 与三角形BOC 的面积和的21，加上三角形AOB 与三角形DOC 的面积和的3
1，结果是多少?
8、图8-17中，三角形ABC 的面积是30平方厘米，O 是BC 的中点，AE 的长是ED 的2倍，求三角形CDE 的面积．
9、如图，正方形的边长为10厘米，用一根铁丝弯成直角，把这根铁丝放到正方形上，使直角顶点与正方形的中心O 重合，问正方形在直角内部的部分有多大面积？。