完全平方公式的推广
完全平方公式讲解
完全平方公式讲解第一部分概念导入1 •问题：根据乘方的定义，我们知道：穿=日・a,那么(a+b) 2应该写成什么样的形式呢？ ( a+b) 2的运算结果有什么规律？计算下列各式，你能发现什么规律？(1)_____________________________ (P+1)2=( p+1)( P+1) = ；( m+2)2= ；(2)(P-1)2= ( p-1) ( p-1) = _______ ；( m-2) 2= _____ ；2 •学生计算3 •得到结果：(1) (p+1) 2= (p+1) ( p+1) =p2+2p+12 2(m+2) = (m+2) (m+2) = m +4m+4(2) (p-1) 2= (p-1) (p-1) = p2-2p+12 2(m-2) = ( m-2) ( m-2=m -4m+44•分析推广：结果中有两个数的平方和，而2p=2 • p • 1, 4m=2- m- 2，恰好是两个数乘积的二倍。
(1) ( 2)之间只差一个符号。
推广：计算(a+b) 2= ______ _______ _(a-b) 2= _________________ 【2］得到公式，分析公式(1) •结论：(a+b) 2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2即：两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)它们的积的2倍.(2 )公式特征左边：二项式的平方右边：二项式中每一项的平方与这两项乘积2倍的和.注意：公式右边2ab的符号取决于左边二项式中两项的符号.若这两项同号，则2ab取“ + ”，若这两项异号，则2ab的符号为“―” •(3)公式中字母可代表的含义公式中的a和b可代表一个字母，一个数字及单项式.(4 )几何解释图1 — 5图1 —5中最大正方形的面积可用两种形式表示：©( a + b) 2②a2+ 2ab+ b2,由于这两个代数式表示同一块面积，所以应相等，即( a + b) 2= a2+ 2ab + b2因此，用几何图形证明了完全平方公式的正确性.【学习方法指导］［例1 ］计算(1) (3a+ 2b) 2(2) (mn —n2) 2点拨：运用完全平方式的时候，要搞清楚公式中a，b在题目中分别代表什么，在展开的过程中要把它们当作整体来做，适当的地方应打括号，如：进行平方的时候.同时应注意公式中2ab的符号.解：(1) (3a + 2b) 2=( 3a) 2+ 2 • ( 3a) • (2b) + ( 2b) 2= 9a2+ 12ab + 4b2(2) (rnn— iCT ?◎ b—〔机打)z—g(讥”)* 异+( ii)zA + *</ — 2 必+ ¥=z>? if —2 mtf ~\~ »4注意：(2)中n2的指数2与公式中b2的二次方所代表含义不同，所以在展开过程中不要漏掉“二次方”.［例2 ］计算(1)(- m- n) 2(2) (- 5a—2) ( 5a+ 2)点拨：(1)可直接用完全平方公式•由于一m与一n是同号，所以公式中的2ab取“ + ” .( 2)中两个二项式虽然不同，但若将第一个括号中的“一”提出，则剩下的两个括号里的项完全相同，可利用完全平方公式进行计算.解：(1) (- m- n) 2=(-m) 2+ 2 •( —m) (- n) + (—n) 2=m2+ 2mn+ n2(2)(- 5a- 2) (5a+ 2)=-(5a+ 2) (5a+ 2)=-(5a+ 2) 2=-(25a2+ 20a + 4)=-25a2- 20a- 4小结：由(2)可知，将两个二项式相乘，两个括号里的每一项都相反的话，可先作适当调整，再利用完全平方公式进行计算.［例3 ］计算(1)(x-2y) 2-( x- y) (x+ y)(2)(m-n) (m2- n2) ( m+ n)点拨：(1)可分别应用平方差公式与完全平方公式进行乘法运算，再化简. (2)可先利用平方差公式将m-n与m + n相乘，再将所得结果m2- n2与中间括号里的m2- n2相乘，可利用完全平方公式.解：(1) (x- 2y) 2-( x - y) (x+ y)=(x2- 4xy+ 4护)-(x2- y2)=x2- 4xy+ 4y2- x2+ y2=-4xy+ 5y2(2) (m-n) (m2- n2) ( m+ n)=(m- n) ( m+ n) ( m^- n2)=(m^-n2) (m2-n2)=(m2) 2- 2 • m2• n2+( n2) 2=m4- 2m2n2+ n4说明：这两题在能用公式的地方尽量用公式，是因为应用公式可以简化运算，若想不到，用多乘多也可.［例4］计算：(x+ — ) 2-(x- y ) 22 2a 2—b 2=一、选择题1•下列运算中，正确的是() 2•下列运算中，利用完全平方公式计算正确的是(点拨：第一种方法是利用完全平方公式直接展开，第二种方法是可利用平方差公式逆运算:(a + b ) (a — b ),将此题转化为平方差公式进行计算.解法一：(x + y ) 222 (x 2+ xy + 仝)— 42(x 2— xy + L )4 =x 2+ xy + 2 y 2—x 2 + xy — 44=2xy解法二: = ［“+和+仃-和+炉-3-子口u u(出+ tO =* y■加』［例 5］计算：(a — 2b + 1) ( a + 2b — 1)点拨：此题“三项式乘三项式”，且这两个括号中的三项只有符号不同•先找出两个括号中完全相同的项放在一起，再把互为相反数的项放在一起， 构成(a + b ) ( a — b )的形式，利用平方差公式进行简化运算.(a -W相反-[a-(26-1) J La *^(26 -1).②寿_(2卜・关键：此题最重要一步就是由①到②的过程转化, 随堂练习要保证代数式在形式发生变化的同时，大小不变!A . 3a+2b=5abB . (a — 1) 2=a 2— 2a+1C . a 6心a 2D . (a 4) 5=a 9A . (x+y ) 2=x 2+y 2B . ( x — y ) 2=x 2 — y2C . (- x+y ) 2=x 2-2xy+y 2D . (- x -y ) 2=x 2- 2xy+y 23•下列各式计算结果为 2xy - x 2-y 2的是() A . (x - y ) 2 B . (- x -y ) 2 C .-( x+y ) 2 D .-( x -y )4•若等式(x - 4) 2=x 2 - 8x+m 2成立，则m 的值是()A . 16B . 4C . - 4D . 4 或—4二、 填空题5. (- x -2y ) 2= ______.6. 若(3x+4y ) 2= (3x - 4y ) 2+B ，贝U B= ______ .7. _______________________________ 若 a - b=3, ab=2，则 a 2+b 2= . 19 9 8 . ( --- ---- y ) 2= — x 2— xy+ ______ ; ( ____ ) 2=——a 2- 6ab+ _____ .34 16 三、 解答题 9 .利用完全平方公式计算：(1) 20082； ( 2) 782 .110 .先化简，再求值：(2x - 1) (x+2)-( x -2) 2-( x+2) 2,其中 x=-311利用公式计算：196212某正方形边长a cm ,若把这个正方形的边长减小1 1 分别求a 2+2 , (a - ) 2的值a a15.为了扩大绿化面积，若将一个正方形花坛的边长增加 3米，？则它的面积就增加 39平方米，求这个正方3 cm ,则面积减少了多少?13.已知 x+y=1 , 求1 x 2+xy+丄y 2的值. 2 2114.已知 a+ =5 a形花坛的边长.-时，找不到计算器，去向小华借，小华看了看题说根本2 不需要用计算器，而且很快说岀了答案•你知道他是怎么做的吗?17.已知：a + b=- 5，ab = - 6，求a2+ b2.18利用公式计算：992- 119.计算(1) (ab 1)( ab 1) ; (2) ( 2x 3)( 2x 3);(3) 1022; (4) 992.(5)(a b1)(a b 1) ； (6) (m 2n p)2.20. 一个正方形的边长增加3cm,它的面积就增加239cm ,这个正方形的边长是多少？21.当a1,b 1时,求(3a 2b)(3a22b) (a 2b)2的值16.小明在计算2200920082 2 20092007 2009200922.求证：当n为整数时，两个连续奇数的平方差2 2(2n 1) (2n 1)是8的倍数23. 观察下列等式:2 2 2 .2 2 2 2 21 0 1 ,2 1 3,3 2 5 ,4 3 7,请用含自然数n的等式表示这种规律为：____________________ .2 224. 已知4x Mxy 9y是一个完全平方式，求M的值.25.2005年12月1日是星期四，请问：再过2005 2天的后一天是星期几？答案1. B2. C 点拨：(x+y) 2=x2+2xy+y2，所以 A 不正确；(x—y2=x2- 2xy+y2,所以 B 不正确；(—x+y) 2= (-x) 2+2 (-x) y+y2=x2—2xy+y2，所以C正确；(—x —y) 2= (x+y) 2=x2+2xy+y2,所以 D 也不正确，故选C.3. D4. D 点拨：因为(x-4) 2=2—8x+16，所以若(x-4) 2=x2-8x+m2成立，则m2=16，从而得m=±4，故选D.__ 、5. x2+4xy+4y2点拨：(—x —2y) 2=[ —(x+2y) ] 2= (x+2y ) 2=x2+4xy+4y2.6. 48xy 点拨：B= (3x+4y) 2—( 3x —4y) 2=9x2+24xy+16y2—( 9x2—24xy+16y2) ?=?9x2+?24xy+16y 2—92 +24xy—16y2=48xy .7. 13 点拨：因为a—b=3，ab=2,所以a F+b2= (a—b) 2+2ab=32+2X2=9+4=13.3 1 2 3 28. —x; — y ; —a—4b;16b22 9 4三、9. 解：(1) 20082= (2000+8) 2 =20002+2 X2000 >8+8 2=4000000+32000+64=4032064;(2)782= ( 80—2) 2=802—2X80X2+22=6400 —320+4=6084.10. 解：(2x—1) (x+2 ) — ( x—2) 2—( x+2) 2=2x2+4x —x —2—( x2—4x+4 ) — ( x2+4x+4 )=2x 2+3x —2 —x2+4x —4 —x2—4x —4=3x —10 .1 1当x=—时，原式=3X(—-) —10=—1—10=—11.3 311思路：196接近整数200,故196= 200 —4,则此题可化为(200 —4 ) 2，利用完全平方公式计算.解：1962①(200— 4) 22002-2X 200 X 4 + 42 =40000 — 1600+ 16 = 38416说明：1 .可转化为完全平方的形式的数必须较接近一个整数才较易进行计算. 12. 思路：先分别表示出新旧正方形的边长，再根据“正方形面积=边长X 边长” ，表示出两个正方形的面积，用“大-小”即可得出所求.计算的关键在完全平方式的展开.解：原正方形面积：a 2 现正方形面积：(a — 3) 2面积减少了 a 2—( a — 3) 2 = a 2—( a 2 — 6a + 9)= a 2— a 2 + 6a — 9=( 6a — 9) (cm 2) 答：面积减少了( 6a — 9) cm 2. 13. 解：因为 x+y=1，所以(x+y ) 2=1,即 x 2+2xy+y 2=1.11 1 1 1 所以一 x 2+xy+— y 2= — (x 2+2xy+y 2) =— X =— .22 222点拨：通过平方将已知条件转化为完全平方公式，从而巧妙求值.1 1 1 所以(a —) 2=a 2+ 2 — 2a- =23 — 2=21.aaa点拨：注意公式的一些变形形式，例如： a F +b 2= (a+b ) 2 — 2ab, a 2+b 2= ( a — b )2+2ab ， (a+b )2=( a — b ) 2+4ab ， ( a — b ) 2=(a+b ) 2 — 4ab 等等.15. 解：设这个正方形花坛的边长为 x 米，依题意列方程得，(x+3 ) 2 — x 2=39, ?即 x 2+6x+9 — x 2=39， 6x=30， x=5. 答：这个正方形花坛的边长为 5米.点拨：适当引进未知数，？根据题中的相等关系得到方程，解方程即可. 16. 解：知道，做法如下：______ 200920082 ______ _________ 200920082 ___________ 200920072200920092 2 (20092008 1)2(20092008 1)2 22_____________________ 20092008 200920082 2 200920081 200920082 ____________2 20092008 1 2200920082 12 20092008^ 2点拨：由 200920072= (20092008 — 1) 2，200920092= ( 20092008+1) 2，运用完全平方公式化简即可.17. 点拨：同时存在a + b ，ab, a 2+ b 2的公式为完全平方公式(a + b ) 2 = a 2 +2ab + b 2,将题目中所给条件分别看作整体，代入公 式即可.注意：1.不要分别求出 a 和b ,运算繁琐.n.若已知a +b (或a — b), ab , a 2+ b 2中的二者，都可利用完全平方公式求出第三者.解：a 2+ b 2 =( a + b ) 2 — 2ab14. 因为 a+^=5，所以 a 2+4 =a1 1(a+ ) 2 — 2 a •=52 —2=23,aa当 a + b = — 5, ab =— 6 时原式=(—5) 2 —2 X(— 6)= 25 + 12 = 37.18. 点拨：可分别用完全平方公式或平方差公式两种方法得到相同的答案. 19. 【点拨】(1)符合平方差公式的特征，只要将 ab 看成是a , 1看成是b 来计算.( 2)利用加法交换律将原式变形为 ( 32x)( 3 2x) , 然后运用平方差公式计算 .22(3) 可将 1022改写为 (1002) ,利用两数和的平方公式进行简便运算 .22(4) 可将 99 改写为 (100 1) ，利用两数差的平方公式进行简便运算 . 解：(1) (ab 1)(ab 1) =(ab)2 1 a 2b 21；(2)( 2x 3)(2x 3)= ( 3 2x)( 3 2x) =( 3)2(2x)2 9 4x 2；(3)1022 = (100 2) 2 =100 2 2 100 2 2210000 400 4 10404 ； (4)992 =(100 1) 2=10022 100 1 1 10000 200 1 9801.【点拨】(5,6)两个因式中都含有三项，把三项看成是两项，符号相同的看作是一项，符号相反的看作是一项，运用公式 计算，本题可将 (a b) 看作是一项 .先将三项看成是两项，用完全平方公式，然后再用完全平方公式计算解：(5) (a b 1)(a b 1) =[(a b) 1][( a b) 1] (a b)2 1 a 2 2ab b 21;( 6) (m 2np)2=[(m 2n) p]2 (m 2n)2 2(m2n) p2p 22=m4mn 224n 2mp 4np p .【点评 】 1. 在运用平方差公式时 , 应分清两个因式中是不是有一项完全相同, 有一项互为相反数 , 这样才可以用平方差公式， 否则不能用; 2. 完全平方公式就是求一个二项式的平方，其结果是一个完全平方式，两数和或差的平方，等于这两个数的平方2 2 2 2 2 2和，加上或减去这两个数乘积的 2倍，在计算时不要发生：(a b) a b 或(a b) a b 这样的错误; 3.当因式中含有三项或三项以上时，要适当的分组,看成是两项，用平方差公式或完全平方公式. 20.【点拨】如果设原正方形的边长为 xcm,根据题意和正方形的面积公式可列出方程求解 . 解：设原正方形的边长为xcm,则 (x 3)2 x 239即 x 2 6x 9 x 2 39，解得 X=5.答:这个正方形的边长是 5cm . 21.【点拨】先用乘法公式计算,去括号、合并同类项后，再将 a 、b 的值代入计算出结果.2 2 2 2 2解： (3a 2b)(3a 2b) (a 2b)2 9a 2 4b 2 (a 2 4ab 4b 2)=9a 24b 2 a 24ab4b 2 8a 24ab 8b 2；当a 1,b 1时，(3a 2b)(3a 2b) (a 2b)28a 22 24ab 8b =8(-1)4( 1) 18=-4【点拨】运用完全平方公式将 (2n1)2(2n 21)化简，看所得的结果是否是8整数倍.2证明：(2n 1)(2n 1)2=4n 24n 21 (4n 4n 1)= 4n24n 1 4n 24n 1 8n ，又T n 为整数，二8n 也为整数且是8的倍数.23. 【点拨】本题是属于阅读理解，探索规律的题目，认真观察、分析已知的等式的特点，从中总结出规律 .同学们相互研讨交流一下.答案为：n2(n 1)2 2n 1(n 1且n 为整数).24. 【点拨】已知条件是一个二次三项式，且是一个完全平方式， x 2 与 y 2项的系数分别为4和9,所以这个完全平方式应该是2(2x 3y),由完全平方公式就可以求出 M .2 2 2解：根据(2x 3y) =4x 12xy 9y 得： M 12.二M 12答：M 的值是土 12.2 225. 【点拨】因为每个星期都有7天，要求再过2005天的后一天是星期几，可以想办法先求出 2005是7的多少倍数还余几天.解: 20052 = (7 286 3)2 (7 286)22 (7 286)3 9=(7 286)2(6 286) 7 7 2.2显然2005年12月1日是星期四，再过2005 天的后一天实际上要求星期四再过两天后的一天是星期日。
第3课时乘法公式(原卷版)
第三课时——乘法公式知识点一：平方差公式：1. 公式内容：两数的和乘以两数的差等于这两数的 。
即：()()=-+b a b a 。
2. 特点分析：式子左边是两个二项式相乘，它们其中一项 ，另一项 。
式子右边等于 的平方减去 的平方。
3. 几何意义：如图，将图①的蓝色部分移到 图②的位置。
图①的面积为：()()b a b a -+ 图②的面积为：22b a -图①与图②的面积相等。
所以()()22b a b a b a -=-+【类型一：平方差公式的计算】1．计算：（1）（a +2）（a ﹣2）； （2）（3a +2b ）（3a ﹣2b ）；（3）（﹣x ﹣1）（1﹣x ）； （4）（﹣4k +3）（﹣4k ﹣3）2．计算：（1）（2m +3n ）（2m ﹣3n ）； （2）（﹣3a ﹣21b ）（﹣3a +21b ）；（3）（﹣4x +y ）（y +4x ）； （4）（x +y ）（x ﹣y ）+（y ﹣z ）（y +z ）﹣（x +z ）（x ﹣z ）．【类型二：利用平方差公式求相关式子的值】3．已知a +b ＝﹣3，a ﹣b ＝1，则a 2﹣b 2的值是（ ） A ．8B ．3C ．﹣3D ．104．若a +b ＝3，则a 2﹣b 2+6b 的值为（ ） A ．3 B ．6C ．9D ．125．若a 2﹣b 2＝32，a +b ＝21，则a ﹣b 的值为（ ） A ．﹣21B ．34C ．23D ．26．若x +y ＝2，x 2﹣y 2＝4，则x ﹣y 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3【类型三：利用平方差公式简便运算】7．计算：199×201＝（ ） A ．3999B ．4179C ．41790D ．399998．计算20202﹣2019×2021的结果是（ ） A ．﹣1B ．0C ．1D ．﹣29．化简（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）的结果是（ ） A ．232﹣1B ．232+1C ．（216+1）2D ．（216﹣1）2【类型四：平方差公式的几何背景】10．如图，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），将余下部分拼成一个长方形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的恒等式为（）A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2B．（a+b）2＝a2+2ab+b2C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）D．a2+ab＝a（a+b）11．如图在边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，把余下的部分沿虚线剪开，拼成一个矩形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，可以验证的等式是（）A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．a2+ab＝a（a+b）12．【探究】如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示），通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式．（用含a，b的等式表示）【应用】请应用这个公式完成下列各题：（1）已知4m2＝12+n2，2m+n＝4，则2m﹣n的值为．（2）计算：20192﹣2020×2018．【拓展】计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12．1. 公式内容：两数和（或差）的平方等于这两数的平方和加（或减）这两数的积的2倍。
完全平方公式
如何用完全平方公式解决实际问题，比如计算房间面积、计算价格等。
用完全平方公式解决实际问题
完全平方公式的证明
解答
用完全平方公式计算代数式的值
验证完全平方公式
用完全平方公式解决实际问题
THANKS
感谢观看
公式表述
$a^2$：一个数的平方是指这个数与自己的平方的乘积。例如，$5^2 = 5 \times 5 = 25$。
平方的含义
$(a \pm b)^2$：一个数的完全平方是指这个数与另一个数的平方和它们两倍的乘积的乘积。例如，$(3 \pm 2)^2 = 3^2 \pm 2 \times 3 \times 2 + 2^2 = 9 \pm 12 + 4 = 13 \pm 12$。
差的平方等于平方的差
公式
$(ab)^2 = a^2b^2$
解释
两个数的乘积的平方等于每个数的平方与另一个数的乘积。
积的乘方等于乘方的积
03
完全平方公式的应用
完全平方公式可以用来简化代数式，将复杂的表达式化为简单的形式。
简化代数式
在解一元二次方程时，完全平方公式可以用来求解方程的根。
解方程
在代数中的应用
完全平方的含义
$(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$：可以用图形表示完全平方公式。首先画一个矩形，长为$a$，宽为$b$。将矩形分割成两个正方形和四个矩形。两个正方形的面积分别为$a^2$和$b^2$，四个矩形的面积分别为两个$ab$。将这些面积相加得到$(a \pm b)^2$。
公式的图形表示
02
完全平方公式的性质
$(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$
初一奥数专题讲义——完全平方公式与平方差公式
初一奥数专题讲义——完全平方公式与平方差公式完全平方公式与平方差公式一．知识要点1．乘法公式就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。
公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式。
公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开），还可以由右到左逆用（因式分解），还要记住一些重要的变形及其逆运算――除法等。
2．基本公式完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2平方差公式：（a+b）(a－b)=a2－b2立方和（差）公式：(a±b)(a2 ab+b2)=a3±b3 3．公式的推广（1）多项式平方公式：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc即：多项式平方等于各项平方和加上每两项积的2倍。
（2）二项式定理：(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3(a±b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4（a±b)5=a5±5a4b+10a3b2 ±10a2b3＋5ab4±b5…………注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律4．公式的变形及其逆运算由（a+b）2=a2+2ab+b2得a2+b2=(a+b)2－2ab由(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b) 得a3+b3=(a+b)3－3ab(a+b)5．由平方差、立方和（差）公式引伸的公式（a+b）(a3－a2b+ab2－b3)=a4－b4(a+b)(a4－a3b+a2b2－ab3+b4)=a5+b5(a+b)(a5－a4b+a3b2－a2b3+ab4－b5)=a6－b6…………注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n为正整数(a+b)(a2n－1－a2n－2b+a2n－3b2－…＋ab2n－2－b2n－1)=a2n－b2n(a+b)(a2n－a2n－1b+a2n－2b2－…－ab2n－1+b2n)=a2n+1+b2n+1类似地：（a－b）(a n－1+a n－2b+a n－3b2+…＋ab n－2+b n－1)=a n－b n由公式的推广③可知：当n为正整数时a n－b n能被a－b整除,a2n+1+b2n+1能被a+b整除,a2n－b2n能被a+b及a－b整除。
完全平方公式
完全平方公式【概念】 【推导证明】 【典型例题】 【专项练习】 【相关链接】概念：完全平方公式：两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)它们的积的2倍。
222222()2()2a b a ab b a b a ab b +=++-=-+这两个公式叫做（乘法的）完全平方公式。
运用公式时应注意：①公式中的字母a ，b 可以是任意的代数式，②公式的结果应为三项，注意不要漏项和写错符号。
推导证明：方法一：（代数法）1两数和的平方公式22222()()()2a b a b a b a ab ab b a ab b +=++=+++=++2两数差的平方公式22222()()()2a b a b a b a ab ab b a ab b -=--=--+=-+或(a -b )2=[a +(-b )]2=a 2+2⋅a ⋅(-b )+(-b )2=a 2-2ab +b 2即(a -b )2=a 2-2ab +b 2方法二：（几何法）a b a ba 2ababb 2说明：两数差的完全平方公式几何证法（略）典型例题：【例1】．计算(x+2y)2解：(x+2y)2=x2+2⋅x⋅2y+(2y)2=x2+4xy+4y2【例2】．计算(-x+2y)2解法一：(-x+2y)2=(-x)2+2⋅(-x)⋅2y+(2y)2=x2-4xy+4y2解法二：(-x+2y)2=(2y-x)2=(2y)2-2⋅2y⋅x+x2=4y2-4xy+x2解法三：(-x+2y)2=[-(x-2y)]2=(x-2y)2=x2-4xy+4y2【例3】下列计算中，正确的有（）（1）(b-4c)2=b2-16c2（2）(x-2yz)2=x2+4xyz+4y2z2（3）222 1124 a b a ab b ⎛⎫+=++⎪⎝⎭（4）(4m-n)2=16m2-4mn+n2（5）(-2a-b)2=4a2-4ab+b2解析：只有（3）是正确的（1）(b-4c)2=b2-16c2按平方差公式计算了，结果应为b2-8bc+16c2，（2）(x-2yz)2=x2+4xyz+4y2z2应该是两数差的完全平方公式，结果应为x2-4xyz+4y2z2（4）(4m-n)2=16m2-4mn+n2 , 中间项应该为-8mn而不是-4mn，结果应为16m2-8mn+n2（5）(-2a-b)2=4a2-4ab+b2可以先将(-2a-b)2变形为[-（2a+b）]2=（2a+b)2, 所以结果为4a2+4ab+b2【例4】．运用公式简便计算（1）1032（2）1982解：（1）1032=(100+3)2=1002+2⨯100⨯3+32=10000+600+9=10609（2）1982=(200-2)2=2002-2⨯200⨯2+22=40000-800+4【例5】．解下列各式（1）已知a2+b2=13，ab=6，求(a+b)2，(a-b)2的值。
6乘法公式2
乘法公式（二）【知识要点】1.平方差公式： (a+b)(a-b)=a 2-b 22.完全平方公式：(a+b)2=a 2+2ab+b 2(a-b)2=a 2-2ab+b 23．完全平方公式的变形及推广：（1）()()[]()222b a b a b a +=+-=--；()()[]()222b a b a b a -=--=+-； （2）()()22a b b a -=+-；()()[]22c b a c b a +-=--； （3）()()()b a b a b a ++=+23； （4）()()ab b a ab b a b a 222222+-=-+=+；()()ab b a b a 422-+=- *（5）()ac bc ab c b a c b a 2222222+++++=++ 【典型例题】一、配方法例1 （1）221.23450.7655 2.4690.7655++⨯（2）如果22530a ab m -+是一个完全平方式，那么m = 。
（3）若2226100x x y y ++-+=，试求x ，y 的值。
举一反三：（1）（2）求多项式222451213x xy y y -+-+的最小值。
（3）已知x ，y 满足22524x y x y ++=+求代数式xy x y+的值。
（4）已知222214a b a b ab +++=，求a 、b 的值．二、三元完全平方公式：()ac bc ab c b a c b a 2222222+++++=++ 例2 （1）2)32(c b a -+特殊案例： （1）(23)(23)x y z x y z +---+ （2）()()x y z x y z ++--例3 （1）如果5,7,x y z xy yz zx ++=++=求222x y z ++的值。
（2）已知44221,1,21aa a a a a ++=-求的值．（3）．如果,31=+x x 则1242++x x x =例3．已知：222a b c ab bc ac ++=++ 求证：a =b =c 。
《完全平方公式》整式的运算
算2023-11-06CATALOGUE 目录•整式运算的基本概念•《完全平方公式》的推导与证明•《完全平方公式》在整式运算中的应用•《完全平方公式》的拓展与延伸•练习与思考01整式运算的基本概念整式单项式与多项式的统称，是基本的数学概念之一。
分类按项数可分为单项式和多项式，按次数可分为一次、二次、三次等。
整式的定义与分类加减法乘法除法多项式乘以多项式，按分配律展开，再合并同类项。
多项式除以多项式，转化为乘法，再合并同类项。
03整式的运算规则02 01合并同类项，系数相加减，字母及指数不变。
交换两个整式的顺序，结果不变。
整式的性质交换律结合两个整式的乘除法，结果不变。
结合律分配两个整式的乘除法，结果不变。
分配律02《完全平方公式》的推导与证明《完全平方公式》的推导过程运用多项式的展开与合并利用乘法分配律借助完全平方数的性质利用多项式的恒等变形拆项、分组、配方证明结论：两数平方和加上或减去两倍乘积，等于两倍乘积的和或差。
《完全平方公式》的证明方法《完全平方公式》的应用举例求解一元二次方程利用完全平方公式转化为一元一次方程求出方程的根•证明一些等式或不等式•利用完全平方公式进行恒等变形•证明等式或不等式成立•在整式的运算中，《完全平方公式》是一个非常重要的内容。
它不仅在求解一元二次方程中有着广泛的应用，还可以用于证明一些等式或不等式。
通过掌握《完全平方公式》的推导过程和证明方法，可以更好地理解整式的运算法则，提高数学运算能力。
03《完全平方公式》在整式运算中的应用完全平方公式可以简化整式乘法运算，提高计算效率。
总结词在整式乘法中，如果两个多项式相乘，我们可以通过将两个多项式的每一项分别相乘得到结果，然后合并同类项。
但是，如果使用完全平方公式，可以将两个多项式的乘积表示为另一个多项式，从而简化计算过程。
例如，$(a+b)(a^2+2ab+b^2)=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$，通过完全平方公式，我们可以快速得到结果。
§15.2.2完全平方公式
提高练习题
总结词：综合运用
详细描述：综合思考题是更高层次的练习，要求学习者能够综合运用完全平方公式和其他数学知识来解决复杂的问题。这些问题通常涉及到多个数学概念和技巧，需要学习者具备较高的思维能力和综合素质。通过解决这类问题，可以提高学习者的数学思维能力和解决问题的能力。
综合思考题
感谢您的观看
THANKS
$ab = frac{(a+b)^2 - (a-b)^2}{4}$，$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$
完全平方公式的变形
利用完全平方公式可以将一元二次方程转化为更简单的形式，从而求解。
解一元二次方程
在代数运算中，完全平方公式可以简化复杂的代数表达式，提高运算效率。
代数运算
在几何图形中，完全平方公式可以用于计算图形的面积和周长等。
完全平方公式是数学中一个重要的恒等式，它在代数、几何和三角学等领域有着广泛的应用。
完全平方公式的意义
02
完全平方公式的证明
总结词
数学归纳法是一种证明完全平方公式的方法，通过归纳推理，逐步推导证明结论。
详细描述
首先，我们假设$n=k$时，公式成立，即$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$。然后，我们考虑$n=k+1$的情况，通过展开$(a+b)^{k+1}$并利用归纳假设，我们可以推导出$(a+b)^{k+1}=[a(a+b)^k+b(a+b)^k]=(a^2+ab+ba+b^2)(a+b)=(a^2+2ab+b^2)(a+b)=(a+b)^2$。因此，我们证明了当$n=k+1$时，公式也成立。
完全平方公式的运用及其推广
２９４ 完全平方公式的运用及其推广■陶其亮 （云南省昭通市昭阳区大寨子乡中学 ６５７００７）【中图分类号】Ｇ６３２ 【文献标识码】Ａ 【文章编号】２０９５－３０８９（２０１８）３２－０２９４－０２ 一、完全平方公式完全平方公式（ａ±ｂ）２＝ａ２±２ａｂ＋ｂ２，是整式运算中最重要的公式之一．在数学计算中可以简化运算过程，提高运算能力，从而培养良好的数学素质。
二、完全平方公式的运用１．ａ２＋ｂ２＝（ａ＋ｂ）２－２ａｂ＝（ａ－ｂ）２＋２ａｂ２．（ａ＋ｂ）２＝（ａ－ｂ）２＋４ａｂ３．（ａ－ｂ）２＝（ａ＋ｂ）２－４ａｂ４．（ａ＋ｂ）２＋（ａ－ｂ）２＝２（ａ２＋ｂ２）５．（ａ＋ｂ）２－（ａ－ｂ）２＝４ａｂ６．ａｂ＝（ａ＋ｂ２）２－（ａ－ｂ２）２例１：计算１．２３５×０．２３５×２．４７－１．２３５３－１．２３５×０．２３５２．解：由ａ２＋ｂ２＝（ａ＋ｂ）２－２ａｂ＝（ａ－ｂ）２＋２ａｂ得１．２３５×０．２３５×２．４７－１．２３５３－１．２３５×０．２３５２＝－１．２３５×（１．２３５２＋０．２３５２－０．２３５×２．４７）＝－１．２３５×［（１．２３５－０．２３５）２＋２×１．２３５×０．２３５－０．２３５×２．４７］＝－１．２３５×（１２＋０）＝－１．２３５例２：已知ｘ１，ｘ２是方程２ｘ２－３ｘ－５＝０的两个根，求代数式（ｘ１－ｘ２）２的值．解：由韦达定理知ｘ１＋ｘ２＝－ｂａ＝－－３２＝３２ｘ１ｘ２＝ｃａ＝－５２＝－５２所以（ｘ１－ｘ２）２＝（ｘ１＋ｘ２）２－４ｘ１ｘ２＝（３２）２－４×（－５２）＝９４＋１０＝４９４例３：计算２０１８２２０１９２＋２０１７２－２．解：２０１８２２０１９２＋２０１７２－２＝２０１８２（２０１８＋１）２＋（２０１８－１）２－２＝２０１８２２（２０１８２＋１２）－２＝２０１８２２×２０１８２＋２－２＝２０１８２２×２０１８２＝１２例４：若（１０１２＋２５）２－（１０１２－２５）２＝１０ｎ，则ｎ＝．解：∵（１０１２＋２５）２－（１０１２－２５）２＝４×１０１２×２５＝１０２×１０１２＝１０１４∴ｎ＝１４例５：已知ａ＋ｂ＝７０，ｃ２＝ａｂ－１２２５，求ａ，ｂ，ｃ的值．解：∵（ａ＋ｂ）２－（ａ－ｂ）２＝４ａｂ∴（ａ－ｂ）２＝（ａ＋ｂ）２－４ａｂ＝７０２－４（ｃ２＋１２２５）＝－４ｃ２∴（ａ－ｂ）２＋４ｃ２＝０由非负数的性质得ａ＝ｂ，ｃ＝０，从而ａ＝３５，ｂ＝３５，ｃ＝０．例６：若ａ，ｂ，ｃ满足（ａ＋２ｂ）（ａ＋２ｃ）＝（ｂ＋２ｃ）（ｂ＋２ａ）＝（ｃ＋２ａ）（ｃ＋２ｂ），求证：ａ＝ｂ＝ｃ．解：由（ａ＋２ｂ）（ａ＋２ｃ）＝（ａ＋ｂ＋ｃ）２－（ｂ－ｃ）２（ｂ＋２ｃ）（ｂ＋２ａ）＝（ｂ＋ｃ＋ａ）２－（ｃ－ａ）２（ｃ＋２ａ）（ｃ＋２ｂ）＝（ｃ＋ａ＋ｂ）２－（ａ－ｂ）２所以（ａ＋ｂ＋ｃ）２－（ｂ－ｃ）２＝（ｂ＋ｃ＋ａ）２－（ｃ－ａ）２＝（ｃ＋ａ＋ｂ）２－（ａ－ｂ）２即（ｂ－ｃ）２＝（ｃ－ａ）２＝（ａ－ｂ）２①．若ａ≠ｂ，则由①式可知ｂ≠ｃ，ｃ≠ａ，即ａ，ｂ，ｃ互不相等，不妨设ｃ＜ｂ＜ａ，于是ａ－ｃ＞０，ｂ－ｃ＞０，故（ａ－ｃ）２＞（ｂ－ｃ）２与（ａ－ｃ）２＝（ｂ－ｃ）２矛盾，因此，ａ＝ｂ．所以（ａ－ｂ）２＝０，由①式得ｂ＝ｃ，故ａ＝ｂ＝ｃ．例７：若两个自然数ａ，ｂ满足ａ＋ｂ＝３０，求这两个数乘积的最大值．解：由ａｂ＝（ａ＋ｂ２）２－（ａ－ｂ２）２＝（３０２）２－（ａ－ｂ２）２∵（ａ－ｂ２）２≥０∴当ａ＝ｂ时，这两个数的乘积有最大值为２２５．三、完全平方公式的推广【推广１】（从后往前算，每满十向前进１）例８：计算２３２的值．【推广２】ａｂ·ａｃ＝ａ（ａ＋１）ｂ·ｃ（ｂ＋ｃ＝１０，若ｂ·ｃ＜１０，则在ｂ·ｃ前添加一个０，即乘数位数减１个０）例９：计算１９×１１的值．１９×１１＝１×（１＋１）９×１＝１×２９×獉１＝２０９例１０：计算６３×６＝，２５２．６３×６７＝６×（６＋１）３×７＝６×７２１＝４２２１２５２＝２×（２＋１）５×５＝２×３２５＝６２５【推广３】ａｂ·ａｃ＝ａ２ａ·ｂ＋ａ·ｃｂ·ｃ（从后往前算，每满十向前进１）例１１：计算５６×５８＝．【推广４】ａｂ·ｃｄ＝ａ·ｃ·ａ·ｄ＋ｂ·ｃｂ·ｄ（从后往前算，每满十向前进１）例１２：计算７９×６４＝．例１３：计算８９×９８＝．参考文献［１］赵兴荣．完全平方公式的应用举例（初二）［Ｊ］．数理天地：初中版，２０１７，０（５）：３－３．［２］刘家良．且看完全平方公式的应用［Ｊ］．数理天地：初中版，２０１６，０（２）：２－３．［３］曹秀之．完全平方公式的应用［Ｊ］．初中生数学学习：初一版，２００３，（７）：６４－６５．［４］皇甫军［１］．例谈完全平方公式的应用［Ｊ］．中学生数理化：初中版初二，２００６，（７）：２８－２９．［５］谢盛富．完全平方公式及其变形的应用［Ｊ］．中学生数学：初中版，２０１６，０（５）：５－６．［６］高文良［１］．完全平方公式的变式应用［Ｊ］．中学生数学：初中版，２０１１，（７）：２－２．［７］刘顿．完全平方公式的变形与应用［Ｊ］．中学课程辅导：初一版，２００３，（５）：３３－３３．［８］陈剑［１］．完全平方公式的一个引申及应用［Ｊ］．中小学数学：初中版，２００９，（４）：３５－３５．浅谈儿童水墨画教学■田 鱼 （重庆市北碚区朝阳小学 ４００７００）【摘 要】现代儿童水墨画教学是现代教育改革的背景下为致力于发展儿童的综合能力，加强文化传承和文化交流，促进其全面发展的一门艺术课程。
乘法公式精选题(含答案)
5、已知 ，求 的值。
=6
6、若多项式 加上一个单项式后，能成为一个整式的完全平方，请你尽可能多的写出这个单项式。
7、设 ，
求① 的值。② 的值。
知识点4.平方差公式：a2－b2=______________
知识点5.完全平方公式：①(a＋b)2=______________②(a－b)2=______________
知识点6.完全平方公式的常用变形(应用):①(a+b)(a-b)=a2－b2
②a2+b2=(a+b)2-2ab③a2+b2=(a-b)2+2ab④(a-b)2=(a+b)2-4ab
（3） （4）
（A）（1）（2）（3）（B）（1）（2）（4）（C）（1）（3）（4）（D）（2）（3）（4）
4、无论x、y取何值时， 的值都是（A）
（A）正数（B）负数（C）零（D）非负数
5、如果一个多项式与 的积是 ，则这个多项式是（C）
（A） （B）
（C） （D）
6、若（x+a）（x+b）中不含x的一次项，那么a、b一定是（B）
8．①已知a2+b2+c2=18,ab+bc+ac=13,则(a+b+c)2=________
②已知a2+b2+c2=18，a+b+c=6，则ab+bc+ac=__________
③a-b=5,b-c=2,则a2+b2+c2-ab-bc-ac=__________
初一练习卷
一、填空
1、 =-1 ，则 =2
5.①求(2x+2)(x2-3x)展开式中x2的系数。
数学史完全平方公式
数学史完全平方公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：数学史上有许多重要的公式被发现，其中之一就是完全平方公式。
这个公式在代数中起着非常重要的作用，它可以帮助我们解决一些复杂的问题，简化计算过程。
今天我们就来探讨一下完全平方公式的历史、推导和应用。
完全平方公式是一个关于二次多项式的性质，它可以将一个二次多项式方程转化为一个完全平方的形式。
这个公式的形式是：(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2在这个公式中，a和b可以是任意的实数或者复数。
这个公式的推导并不难，可以通过展开左边的式子进行推导。
完全平方公式在数学史上最早可以追溯到古希腊，当时的数学家们已经开始研究代数方程。
完全平方公式的具体形式直到17世纪才被详细地描述出来。
当时，法国数学家拉世尔（François Viète）首次描述了完全平方公式，并且给出了一些推论和应用。
后来，随着代数学的进步，完全平方公式被广泛地应用于解决各种数学问题。
我们可以用完全平方公式来求解一元二次方程的根，或者简化一些复杂的代数表达式。
完全平方公式的推导并不难，我们可以通过展开(a+b)^2来证明它的正确性。
我们将(a+b)^2展开为(a+b)(a+b)，然后使用分配律和合并同类项的原则，最终得到a^2 + 2ab + b^2。
当我们了解了完全平方公式的推导方法以后，就可以更好地理解这个公式的应用。
如果我们要解决方程x^2 + 6x + 9 = 0，我们可以将它写成(x+3)^2 = 0的形式，然后得出x = -3。
这样，我们就可以很快地求解出方程的根。
除了解二次方程以外，完全平方公式还可以用来简化一些复杂的代数表达式。
如果我们要计算(3x+2y)^2，我们可以直接使用完全平方公式展开，得到9x^2 + 12xy + 4y^2。
这样，我们就可以快速地计算出这个表达式的值。
完全平方公式在高中数学中也被广泛地教授和应用。
学生们通常会在代数学习的早期阶段就学习这个公式，并且在之后的学习中不断地应用它来解决各种问题。
完全平方公式习题课整理
01
平方差公式：(a+b)(a-b)=a^2-b^2
02
完全平方公式：(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
03 04
平方和公式： (a+b)^2+(c+d)^2=(a^2+b^2)+(c^2+d^2)+2(ac+bd)
平方差公式的变形：(a-b)^2=(a+b)^2-4ab
05
完全平方公式的变形：(a+b)^2-2ab=(a-b)^2
添加副标题
完全平方公式习题课整理
汇报人：
目录
CONTENTS
01 添加目录标题
02 完全平方公式的基 本形式和特点
03 完全平方公式的常 见类型和变形
04 完全平方公式的证 明方法和思路
05 完全平方公式的习 题解析和解题技巧
06 完全平方公式的实 际应用和拓展
添加章节标题
完全平方公式的基本形 式和特点
生物：解决遗传学、生态学等学科中的 二次方程问题
工程学：解决工程力学、工程热力学等 学科中的二次方程问题
经济学：解决经济学中的二次方程问题， 如投资决策、市场分析等
完全平方公式的拓展和引申
完全平方公式的变形：将公式变形为(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 完全平方公式的应用：在解方程、求值、证明等数学问题中的应用 完全平方公式的拓展：将公式拓展到二次函数、三次函数等更高次函数的求解 完全平方公式的引申：将公式引申到几何、物理等学科中的实际问题解决
完全平方公式的证明方 法和思路
证明完全平方公式的方法
平方差公式：a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)
七年级(下)完全平方公式
完全平方公式一、完全平方公式：两个数的和的平方等于这两个数的平方和与这两个数的积的2倍的和；两个数的差的平方等于这两个数的平方和与这两个数的积的2倍的差。
用字母表示：()02222≥++=+b ab a b a ()02-222≥+-=b ab a b a 注：（1）确定公式中的b a ,；（2）公式中是两式之和还是两式之差；（3）不论是两数和还是两数差的平方最后结果22,b a 的符号永远为正；（4）两数和的平方结果中两数积的2倍的符号是“+”，两数差的平方的结果中两数积的2倍的符号是“—”。
例1、利用完全平方公式解题：（1）()22b a +；（2）()22b a +-；（3）()23y x --； （4）()()x y y x --；（5）27.9；（6）()22232y x -练习1：计算：（1）2312⎪⎭⎫ ⎝⎛--a ；（2）()222n mn -；（3）()()2525+--a a ；（4）22009；（5）22159⎪⎭⎫ ⎝⎛。
二、完全平方公式的推广：()()[]()()ac bc ab c b a c c b a b a c b a c b a 22222222222+++++=++++=++=++例2、计算：（1）()2c b a -+；（2）()212-+-y x 练习2、计算：（1）()232c b a --；（2）()2z y x +-； （3）已知0=++c b a ，32222=++c b a ，求ab bc ab ++的值。
三、完全平方公式的逆向应用：()02222≥+=++b a b ab a ；()02222≥-=+-b a b ab a 例3、计算：（1）已知4=+y x ，求2221y xy x ++的值； （2）已知0136422=+-++y x y x ，x ，y 为有理数，求xy 的大小；（3）若42++mx x 是完全平方公式，则m 是？练习3、计算：（1）已知0178222=++-+y x y x ，求x ，y 的值； （2）若等式()2241525_____215y xy x y x +-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-成立，那么括号内是什么？ （3）若()1622--=+-b x a x x ，则a ，b 的值是多少？ 四、()()⎭⎬⎫-=+-+=++22222222b a b ab a b a b ab a ⇒()()22222b a b a b a -++=+，()()422b a b a ab --+= 例4、计算：（1）已知5=+b a ，6-=ab ，求b a -，22b a +的值；（2）已知3=-y x ，1522=+y x ，求y x +，xy 的大小；（3）已知21=+x x ，求21⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x ，221x x +，441x x +的值。
乘法公式：平方差与完全平方.doc
用乘法公式减少错误的 一个窍门：提高口算能 力，简化变形步骤。
一、 细说乘法公式 1、平方差公式应用的条件:两个多项式相乘，一个多项式可以看作两数的和，另一个多项式正好是这两数的差,或两多项式中，一项相同，另一项互为相反数结果写成：(相同项)2.(相反项)22、完全平方公式：结果可看作对这两数分别平方，再加上它们乘积的2倍。
即写成：(a-b) 2=a 2+b 2-2ab 试写出：(a ・b ・c) 2=3、完全平方公式相关变形及推广：(t) a 2 +b 2 =(白 + bV 一 2ab =(白 一 Z?)2 + lab ； (2)(a + /?)2 - (a -b)2= 4ah ;。
(一o + /?)2 =[—(Q -/?) - = (a _ I,)'；"[—(Q + D )} =(Q + /?)2；⑤(a.b+c.d) 2 =二、 下列能运用什么乘法公式：3、 (b-a) (-a-b)〈比较两项的关系： 〉. • •乘法公式4、(-a-b) (a+b)〈比较两项的关系：〉. • ♦5、(-a+b) (-a-b)〈比较两项的关系：〉. • •6、(a+b)(-a+b)〈比较两项的关系：〉(1)(2)(2 X — 3 y)((3)(—a+ — ) ( —a ——) 5(―a —5 )()=25—a 2平方差公式等号右边为：(相 同项)2-(相反项)2那含Y 的是相同项还是相反 项呢？含X 的呢？(4) (x-1) (x 2+l)() = X 4-1(5) (a+b+c)(a-b~c)= [ a + ()][a -()](7) 99x101x10001(8) 20092 -2008x20107、 (_a -b) (a-b)〈比较两项的关系： 〉. ♦ ♦ ^―8、 (-a+b) (a-b)〈比较两项的关系： 〉平方差公式组题【典型例题】 9、热身训练(-x+-y) (-y--x)=23” 3” 2相由项 相如项用乘法公式运算:10. 计算：(1) x 2- (%-2y)(x + 2力 + (%2-力()，+ %2)12.解方程:5x + 6(3x + 2)(- 2 + 3x) - 541-X —Y 1) -X + — =2 13.己知两个连续奇数的平方差为2000,则这两个连续奇数分别是多少?IO 。
21.2.2完全平方公式
（a+b）2与（-a-b）2相等 （a-b）2与（b-a）2相等 为什么？
∵ (a+b)2=a2+2ab+b2 (-a-b)2=(-a)2-2(-a)(b)+(b) 2=a2+2ab+b2 ∴ (a+b)2= (-a-b)2 ∵ (a-b)2=a2-2ab+b2 (b-a)2=b2-2ba+a2=a2-2ab+b2 ∴ (a-b)2=(b-a)2
练习
1.运用完全平方公式计算:
(1)(x+6)2; (2) (y-5)2;
(3) (-2x+5)2;
(4) (
x-
y)2.
.去括号． （1）a+（b+c）= a+b+c 。 （2）a-（b-c）= a-b+c 。 添加括号使得下列等式成立： (1)a+b+c=a+ ( b+c ) (2)a-b+c=a- ( b-c )
2 2 2 x +2· x· 2y+(2y) (x+2y) =
=x2+4xy+4y2 2 2 2 (a - b ) =a - 2 a b + b
(x - 2y
2 2 ) =x -
2·x· 2y +(2y =x2 - 4xy+4y2
2 )
例3.运用完全平方公式计算: 1 2 2 2 1) (4a-b) 2) (y+ ) 3)(-2x-1)
完全平方公式的推广
完全平方公式的推广完全平方公式是指将一个二次多项式表示为一个一次多项式的平方形式。
对于一个一元二次方程ax^2+bx+c=0，如果它的两个根为x1和x2，那么根据完全平方公式，可以将这个二次方程写成(x-x1)(x-x2)=0的形式。
完全平方公式也可以推广到多项式的平方形式。
假设有一个多项式P(x)，它的平方可以表示为(Q(x))^2的形式，其中Q(x)也是一个多项式。
那么根据完全平方公式的推广，可以通过对Q(x)的系数进行变换，得到P(x)的展开式。
下面将对多项式的完全平方公式进行推广的方法进行详细的介绍。
设P(x)为一个一元多项式，形式如下：P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0要求P(x)的平方形式为(Q(x))^2，其中Q(x)为一个一元多项式：Q(x) = b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} + ... + b_1x + b_0根据完全平方公式的推广，如果P(x)的平方为(Q(x))^2，那么将P(x)的展开式与(Q(x))^2进行比较，可以得到如下关系：a_n^2=b_m^2a_n·a_{n-1}=2·b_m·b_{m-1}...a_1^2=b_1^2a_0^2=b_0^2通过上述关系，可以求解出Q(x)的系数b_0,b_1,...,b_m，从而得到完全平方公式的推广形式。
对于二次多项式来说，完全平方公式非常简单，可以直接通过解方程得到对应的展开式。
但是对于高次多项式来说，方程的解法不一定容易求得，因此需要借助其他的工具或技巧来解决。
对于一个二次多项式的平方形式，常见的方法是配方，即利用(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2这个公式将二次多项式展开成完全平方的形式。
对于高次多项式的平方形式，可以通过因式的形式来进行求解。
如果多项式P(x)可以因式分解为(Q(x))^2，其中Q(x)为一个多项式，那么多项式Q(x)的系数就是需要求解的。
七年级数学下册第一单元知识点归纳
七年级数学下册第一单元知识点归纳整式的乘除知识1：同底数幂的乘法1.法则:a m·an=am+n(m,n都是正整数)(1)底数a可代单项式,也可代表多项式；(2)运用该法则时,底数必须相同。
2.推广:a m·an·ap·…·aq=am+n+p+…+q(m,n,p,…,q均为正整数)3.逆用:a m+n=am·a(m,n都是正整数)例若a 3m=8,a2n=16,则a3m+2n= 。
[解析]因为a 3m=8,a2n=16,所以a3m+2n=a3m·a2n=8×16=128.4.拓展：知识2:幂的乘方1.法则:(a m)n=amn(m,n都是正整数)底数不变,指数相乘2.推广:[(a m)n]p=amnp(m,n,p都是正整数)3.逆用:a mn=(am)n=(an)m(m,n都是正整数)知识3:积的乘方1.法则:(ab)n=anbn(n为正整数)底数分别乘方.即:积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘2.推广:这个性质对于三个或三个以上因式的积的乘方也适用,如(abc)n=anbncn(n是正整数)若所给的幂底数可化为同一个数的幂的形式，可逆用幂的乘方化为同底数幂，根据指数的大小确定所给幂的大小关系,如820=6410,430=6410,因此820=430.3.利用幂的运算法则比较大小：所给幂的指数、底数均不相同,且指数较大时,可利用幂的乘方的性质化为同指数的幂,根据底数的大小关系确定所给幂的大小关系。
知识4：整式的乘法1.单项式与单项式相乘(1)法则:单项式与单项式相乘,把它们的系数、同底数幂分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式。
(2)步骤:2.单项式与多项式相乘(1)法则:单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加.单项式与多项式相乘的依据是乘法分配律。
人教版数学八年级上册说课稿14.2.2《完全平方公式》
人教版数学八年级上册说课稿14.2.2《完全平方公式》一. 教材分析完全平方公式是数学中一个重要的概念，它在解决二次方程和几何问题中起着关键的作用。
人教版数学八年级上册第14章第二节的内容完全平方公式，通过实例和推导，让学生理解和掌握完全平方公式的含义和应用。
二. 学情分析学生在学习完全平方公式之前，已经学习了有理数的乘法、完全平方和平方差公式等知识。
因此，学生对于完全平方公式的理解需要建立在这些知识的基础上。
同时，学生需要具备一定的逻辑思维能力和空间想象力，才能理解和应用完全平方公式。
三. 说教学目标1.让学生理解完全平方公式的含义和推导过程。
2.让学生能够运用完全平方公式解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和空间想象力。
四. 说教学重难点1.完全平方公式的推导和理解。
2.完全平方公式的应用和解决实际问题。
五. 说教学方法与手段1.采用问题驱动的教学方法，通过提问和解答的方式，引导学生思考和探索完全平方公式的推导过程。
2.使用多媒体教学手段，通过动画和图形展示，帮助学生直观地理解完全平方公式的含义和应用。
六. 说教学过程1.引入：通过提问和解答的方式，引导学生回顾完全平方和平方差公式的知识，为学习完全平方公式做铺垫。
2.推导：通过实例和数学推导，引导学生理解和掌握完全平方公式的推导过程。
3.应用：通过解决实际问题，让学生运用完全平方公式进行计算和解答。
4.练习：布置相关的练习题，让学生巩固和加深对完全平方公式的理解和掌握。
七. 说板书设计板书设计应包括完全平方公式的表达式和推导过程，以及相关的实例和练习题。
板书设计应简洁明了，突出完全平方公式的关键信息，方便学生理解和记忆。
八. 说教学评价教学评价可以通过学生的课堂表现、作业完成情况和练习题的正确率来进行。
对于学生的课堂表现，可以关注学生对于完全平方公式的理解和掌握程度，以及学生解决问题的能力和逻辑思维能力。
对于作业完成情况，可以关注学生对于完全平方公式的应用和解决实际问题的能力。
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完全平方公式的推广
一、完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2
语言叙述：两数和（差）的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数的积的两倍。
二、项数推广：*（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
证明如下: （a+b+c）2=[(a+b)+c] 2=(a+b) 2+2(a+b).c+c2
= a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2
= a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
语言描述：三数和的平方，等于这三个数的平方和加上每两项的积的2倍。
*（a+b+c+d）2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd
证明如下：（a+b+c+d）2=[（a+b）+（c+d）]2
=(a+b) 2+2（a+b）（c+d）+（c+d）2
= a2+2ab+b2+2（ac+ad+bc+bd）+ c2+2cd+d2
= a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd
语言描述：四数和的平方，等于这四个数的平方和加上每两数的积的2倍。
推广：几个数的和的平方，等于这几个数的平方和加上每两数的积的2倍。
注：①三数和、四数和的平方要求学生会推导，考试时大题应书写完整推导过程。
②如何计算“差”类问题：
例：计算：（a-b+c）2= [a+（-b）+c]2
= a2+（-b）2+c2+2a(-b)+2(-b)c+2ac
=a2+b2+c2-2ab-2bc+2ac
三、次数推广：计算并观察规律
* (a+b) 3= (a+b) 2 .（a+b）= （a2+2ab+b2）（a+b）
=a3 +a2b+2a2b+2ab2+ ab2+b3
=a3 +3a2b+3ab2 +b3
* (a+b) 4= (a+b) 2 .（a+b）2= （a2+2ab+b2）（a2+2ab+b2）
=a4 +2a3b+a2b2+2a3b+ 4a2b2+2ab3 +a2b2+2ab3 +b4
=a4 +4a3b+6a2b2 +4ab3+b4
规律：（a+b）n=的展开式中①每项的次数均为n
②按以上方式排列，正好是第一个字母的降幂排列，
同时，也是第二个字母的升幂排列。
③系数满足“杨辉三角”。
（a+b）0=1 1
（a+b）1=a+b 1 1
（a+b）2= a2+2ab+b2 1 2 1
（a+b）3= a3 +3a2b+3ab2 +b3 1 3 3 1
（a+b）4= a4 +4a3b+6a2b2 +4ab3+b4 1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
例：问（a+b）6的展开式是什么？
分析：（a+b）6的展开式各项应为：
a6 a5b a4b2 a3b3 a2b4 ab5 b6
对应数为： 1 6 15 20 15 6 1
解：（a+b）6=a6 +6a5b +15 a4b2 +20 a3b3+15 a2b4+6 ab5+ b6
例：求（a-b）5的展开式
解：∵（a+b）5=a5 +5a4b +10 a3b2 +10 a2b3+5 ab4+b5
∴（a-b）5=[a+(-b)] 5
=a5 +5a4(-b)+10 a3(-b)2 +10 a2(-b)3+5 a(-b)4+(-b)5
=a5 -5a4b +10 a3b2 -10 a2b3+5 ab4-b5
注：中等学生掌握“* ”公式的推导即可。