方程与不等式课件

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《基本不等式》一元二次函数、方程和不等式PPT教学课件(第一课时基本不等式)

1．下列不等式中，正确的是( )
A．a＋4a≥4
B．a2＋b2≥4ab
C． ab≥a＋2 b
D．x2＋x32≥2 3
解析：选 D.a＜0，则 a＋4a≥4 不成立，故 A 错；a＝1，b＝1，
a2＋b2＜4ab，故 B 错，a＝4，b＝16，则 ab＜a＋2 b，故 C 错；
由基本不等式可知 D 项正确．
2.2 基本不等式
第1课时基本不等式
第二章一元二次函数、方程和不等式
考点
学习目标
基本不等式
理解基本不等式的内容及导出过程
利用基本不等式能够运用基本不等式求函
求最值
数或代数式的最值
核心素养逻辑推理数学运算
第二章一元二次函数、方程和不等式
问题导学预习教材 P44－P46，并思考以下问题： 1．基本不等式的内容是什么？ 2．基本不等式成立的条件是什么？ 3．利用基本不等式求最值时，应注意哪些问题？
栏目导引
第二章一元二次函数、方程和不等式
■名师点拨利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则，即： ①一正：符合基本不等式a＋2 b≥ ab成立的前提条件，a＞0，b ＞0； ②二定：化不等式的一边为定值； ③三相等：必须存在取“＝”号的条件，即“＝”号成立．以上三点缺一不可．
第二章一元二次函数、方程和不等式
所以 y＝x＋x－4 2＝x－2＋x－4 2＋2
≥2 （x－2）·x－4 2＋2＝6，
当且仅当 x－2＝x－4 2，即 x＝4 时，等号成立．
所以 y＝x＋x－4 2的最小值为 6.
栏目导引
第二章一元二次函数、方程和不等式
(2)因为 0<x<12，所以 1－2x>0，所以 y＝12x(1－2x)＝14×2x×(1－2x)≤142x＋12－2x2＝14×14＝ 116，当且仅当 2x＝1－2x，即当 x＝14时，ymax＝116.

函数、方程、不等式以及它们图像_课件共90页

20
解：（2）
已知f(x)图像关于x=1对称（ xR，都有 2x x 1 ）
2 xR有 f(2x)f(x)
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解：又f(x)是R上的偶函数 f(x)f(x) f[2(x) ]f(x) f(2x)f(x)
f(2x)f(x) 即f(x)是以2为周期的周期函数
函数、方程、不等式以及它们的图像
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1
函数是中学数学的一个重要概念。函数的思想，就是用运动变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，建立函数关系，运用函数的知识，使问题得到解决。
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2
和函数有必然联系的是方程，方程
f(x) 0的解就是函数 yf(x) 的图像与x轴的交点的横坐标，函数 yf(x)
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解：（2）
由题意可知方程组

y

a
x
有解
ax x
y x
显然 x 0 不是方程 ax x 的解，所以存在非零常数T，使得 aT T
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解：
对于 f(x) ax ，有
f( x T ) a x T a T a x T a x T ( x )f f(x)axM
f ( x ) 在 (1,1) 上是奇函数；
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证明（2）：
f(x1)
f(1)1 2
f(xn1)f(12xxnn2) f(1x nx nx x nn)f(xn)f(xn)
2f(xn)
f (xn1) 2 f (xn )
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证明（2）：
y x的图像有公共点，证明： f(x) ax M；（3）若函数

高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式精品课件

二、填空题(每小题 5 分，共 15 分) 8．给出下列结论： ①若 ac>bc，则 a>b； ②若 a<b，则 ac2<bc2； ③若1a<1b<0，则 a>b； ④若 a>b，c>d，则 a－c>b－d； ⑤若 a>b，c>d，则 ac>bd. 其中正确结论的序号是___③_____．
解析 ①当 c>0 时，由 ac>bc 可得 a>b，当 c<0 时，由 ac>bc 可得 a<b，故 ①错；
4．已知 a，b，c 为不全相等的实数，P＝a2＋b2＋c2＋3，Q＝2(a＋b＋c)，
那么 P 与 Q 的大小关系是( A )
A．P>Q
B．P≥Q
C．P<Q
D．P≤Q
解析 ∵P－Q＝a2＋b2＋c2＋3－2(a＋b＋c)＝(a－1)2＋(b－1)2＋(c－1)2，且 a，b，c 不全相等，∴P－Q>0，∴P>Q.
12．(10
分)已知
a，b
为正实数，试比较
a＋ b
b与 a
a＋
b的大小． a
)
－
(
a＋
b)＝(
a－ b
b)＋(
b－ a
a
)
＝
a－b b
＋
b－a a
＝
（a－b）（ a－ ab
b）＝（
a－
b）2（ ab
a＋
b） .
∵a，b 为正实数，
∴ a＋ b>0， ab>0，( a－ b)2≥0，
A类
1 2
7.5
B类
1 3
6
今制定计划欲使总产值最高，则 A 类产品应开发___2_0____件，最高产值为

人教版高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式全套PPT课件

[解析] ，，又 , ，即 .又，，即．故，．
【变式探究】
已知且，求的取值范围．
[解析] 令，，则，．由解得 ,又，，，．
方法总结不等式具有可加性（需同向）与可乘性（需同正），但不能相减或相除，应用时要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意等价变形．
方法总结应用基本不等式时，注意下列常见变形中等号成立的条件：
第二章一元二次函数、方程和不等式
2.1 等式性质与不等式性质
学习目标
1.会用不等式（组）表示实际问题中的不等关系.（数学建模）
2.会运用作差法比较两个数或式子的大小.（数学运算）
3.梳理等式的性质，掌握不等式的性质，会用不等式的性质证明不等式或解决范围问题.（逻辑推理）
自主预习·悟新知
合作探究·提素养
（2）已知， .求证：．
②
[解析] （1）对于①，若，，，，则，①错误；对于②，对于正数，，，若，则，所以，所以，又，所以，②正确．综上，正确结论的序号是②．（2）因为，所以 .所以．又因为，所以 .所以，即，所以．
探究2 重要不等式
设，，记，，分别为，的算术平均数、几何平均数、调和平均数.古希腊数学家帕波斯于公元4世纪在其名著《数学汇编》中研究过时，，，的大小关系.
问题1：.你能探究，，的大小关系吗？
[答案] 能,因为，，，所以，即；，即 .所以 .所以，，中最大的为，最小的为 .
问题1：.小明的说法正确吗？用什么性质判断小明的说法是否正确？
[答案] 不正确，用等式的性质.当时，一定成立，反过来，当时，不能推出，如当时，成立，不成立.故“ 是成立的充要条件”是错误的.

一元二次方程、不等式课件高三数学一轮复习

(2)− 2 + 2 − 3 < 0
2+5
(3)
−2
2+5
(4)
−2
≤0
(5)0< 2 − −2 ≤ 4
≥3
解题技巧
拓展
高次不等式的解法
(1)（x − 2）2 (x − 4) > 0
(3)
x2 −9
x−1
≤0
(2) (-x 2 + 2x + 3)(x + 1)>0
解题技巧
“穿针引线法”：
①最高次系数化为正
②从右上方开始画图，奇穿偶切
考点二含参数不等式解法
(1)x2+ax+1<0(a∈R);
【解析】(1)Δ=a2-4.
①当Δ=a2-4≤0,即-2≤a≤2时,原不等式无解.
②当Δ=a2-4>0,即a>2或a<-2时,方程
2 −4
−+

x2+ax+1=0的两根分别为x1=
,
2
−− 2 −4
若 m＝0，显然－1<0；
m<0，
若 m≠0，则 Δ＝m 2＋4m<0 ⇒－4<m<0.
所以 m 的取值范围为(－4,0]．
(2)要使 f(x)<－m＋5 在[1,3]上恒成立，
2
只需 mx －mx＋m<6 恒成立(x∈[1,3])，
又因为

1
3

x2－x＋1＝x－22＋4>0，
6
所以 m<x2－x＋1.
2 f(x)g(x)>0(<0)
□

一元二次函数方程和不等式课件

y>0, 即 x2－2x －3 >0
x <－1 或 x > 3 y=0，即x2－2x －3 =0 x =－1 或 x = 3
-1
3
y<0，即x2－2x －3 <0 －1< x < 3
y = x2－2x －3
变一变
一元二次方程： a x 2 + b x + c = 0 ( a > 0 ) ,
一元二次不等式：a x 2 + b x + c > 0 ( a > 0 ) ,
画一画
画出二次函数 y = x 2 - 2 x - 3 的图象.
y x
-1
3
看一看
说一说
（1）方程 x 2 - 2 x - 3 = 0 的根是
x 1 = -1, x 2 = 3 （2）不等式 x 2 - 2 x - 3 > 0 的解集是 { x | x﹤-1 或 x > 3 } （3）不等式 x 2 - 2 x - 3 < 0 的解集是 { x | -1 < x < 3} 思考：二次方程、二次不等式、二次函数，三者之间有什么关系？ y = x 2-2x3 y -1 3 x
x2 +bx+c<0
x
的解集是 { x | -1 < x < 3 }, 求实数 b , c 的值.
解：依题意，-1 ，3 是方程
x2 +bx+c=0
x
y = x 2+ bx + c y -1 3 x
的两根 , 所以 -1 + 3 = - b, -1×3 = c, 解得b = -2 , c = -3.
a x 2+ b x + c < 0 ( a > 0 ) , 一元二次函数： y = a x 2 + b x + c ( a > 0 ) ，三者之间有什么关系？

《基本不等式》一元二次函数、方程和不等式PPT教学课件(第二课时基本不等式的应用)

利用基本不等式求最值【例 1】 (1)已知 x<54，求 y＝4x－2＋4x－1 5的最大值； (2)已知 0<x<12，求 y＝12x(1－2x)的最大值． [思路点拨] (1)看到求 y＝4x－2＋4x－1 5的最值，想到如何才能出现乘积定值；(2)要求 y＝12x(1－2x)的最值，需要出现和为定值．
2 2 [x＋2x≥2 x·2x＝2 2，当
________．
且仅当 x＝ 2时，等号成立．]
栏目导航
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3．设 x，y∈N*满足 x＋y＝20， 100 [∵x，y∈N*，∴20＝x＋
则 xy 的最大值为________．
y≥2 xy，
∴xy≤100.]
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合作探究提素养
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(3)当 x>1 时，函数 y＝x＋x－1 1≥2 x－x 1，所以函数 y 的最小值是
2 x－x 1.(
)
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[提示] (1)由 a＋b≥2 ab可知正确． (2)由 ab≤a＋2 b2＝4 可知正确． (3) x－x 1不是常数，故错误．
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
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栏目导航
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利用基本不等式求最值的关键是获得满足基本不等式成立条件，即 “一正、二定、三相等”.解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件.具体可归纳为三句话：若不正，用其相反数，改变不等号方向；若不定应凑出定和或定积；若不等，一般用后面第三章§3.2 函数的基本性质中学习.
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∵x>0，∴x＋22x5≥2 x·22x5＝30. 当且仅当 x＝22x5，即 x＝15 时，上式等号成立． ∴当 x＝15 时，y 有最小值 2 000 元．因此该楼房建为 15 层时，每平方米的平均综合费用最少．

一元二次函数方程和不等式课件ppt

y 3
= y
x
2-2x-
{ x | x﹤-1 或 x > 3 }
-1 3 x
（3）不等式 x 2 - 2 x - 3 < 0 的解集是
{ x | -1 < x < 3}
思考：二次方程、二次不等式、二次函数，三者之间有什么关系？
为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益
只需 f (1)< 0, 即 4－2 a < 0,
所以 a > 2. x
y
1x
为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益
例3. 若不等式 x 2 - 2 a x + 3 > 0 对任意 x ∈[ -1 , 3 ] 恒成立，求实数 a 的取值范围.
看一看
为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益
说一说
（1）方程 x 2 - 2 x - 3 = 0 的根是
x1 （2）不等式 x
= -1, 2- 2
x x
2
-
= 3
3 >
0
的解集是
解：依题意，-1 ，3 是方程
x2 +bx+c=0
x
的两根 , 所以
-1 + 3 = - b, -1×3 = c,
解得 b = -2 , c = -3.

人教A版必修第一册第二章一元二次函数、方程和不等式2.1等式性质与不等式性质-课件

对这个性质进行解释吗？
二、不等式性质
性质3：如果a ＞b，那么a+c ＞b+c.
追问2：两个实数大小关系还可以形象地在
数轴上表达出来，你能从几何意义的角度
对这个性质进行解释吗？
二、不等式性质
性质3：如果a ＞b，那么a+c ＞b+c.
追问2：两个实数大小关系还可以形象地在
数轴上表达出来，你能从几何意义的角度
特性”的思想方法，你能猜想并证明不等式
的基本性质吗？
二、不等式性质
性质1：如果a ＞ b，那么b ＜a;
如果b ＜a，那么a >b．
即： a ＞ b b ＜a;
追问1：你打算怎么证明？
二、不等式性质
性质1：如果a ＞ b，那么b ＜a;
如果b ＜a，那么a ＜b．
即： a ＞ b b ＜a．
对这个性质进行解释吗？
二、不等式性质
追问3：你能从性质3中得到什么结论吗？
由性质3可得
a+b>c a b (b) c (b)
a c b
二、不等式性质
追问4：是否还有其他结论？
性质4：如果 a＞b， c>0 ，那么 ac ＞bc;
如果 a>b， c<0 ，那么 ac < bc．
你还可以猜想并证明不等式的其
.
他性质吗？
二、不等式性质
性质3：如果a ＞b ，那么a+c ＞b+c.
.
追问：在基本性质3中，不等式的两边同
加同一个实数。如果两边同加不同的实
数，即不等式两边分别加上不相等的两
个数，能得到什么不等关系呢？
二、不等式性质

中考数学复习分类精品课件：第二单元《方程与不等式》

；
(2)已知 A，B 两件服装的成本共 500 元，鑫洋服装店老板分别以 30% 和 20%的利润率定价后进行销售，该服装店共获利 130 元，问 A，B 两件服装的成本各是多少元？
解：设 A 服装的成本为 x 元，根据题意，得 30%x＋20%(500－x)＝130.解得 x＝300. 则 500－x＝200. 答：A，B 两件服装的成本分别为 300 元，200 元．
的关系；
(2)设：设关键未知数(可设直接或间接未知数)；
(3)列：根据题意寻找⑲ 等量关系
列方程(组)；
(4)解：解方程(组)；
(5)验：检验所解答案是否正确，是否符合题意和实际情况；
(6)答：规范作答，注意单位名称．
2．常见的应用题类型及基本数量关系：
常见类型
基本数量关系
路程＝速度×时间
相遇
行
甲走的路程＋乙走的路程＝两地距离.
(2)面积问题常见图形：
(3)利润问题； (4)握手问题．
7．(1)某药品经过两次降价，每瓶零售价由 100 元降为 81 元．已知两次降价的百分率都为 x，那么 x 满足的方程是 100(1－x)2＝81 ；
(2)某机械厂七月份营业额为 1 000 万元，第三季度总的营业额为 3 990 万元．设该厂八、九月份平均每月的营业额增长率为 x，那么 x 满足的方程是1 000＋1 000(1＋x)＋1 000(1＋x)2＝3 990 ．
3．解下列方程： (1)2(x＋3)＝5x；解：去括号，得 2x＋6＝5x. 移项，得 2x－5x＝－6. 合并同类项，得－3x＝－6. 系数化为 1，得 x＝2.
(2)x＋2 1－2＝x4. 解：去分母，得 2(x＋1)－8＝x. 去括号，得 2x＋2－8＝x. 移项，得 2x－x＝8－2. 合并同类项，得 x＝6.

一次函数与方程不等式关系PPT课件

方程的解与函数的零点
对于形如y=kx+b的一次函数，其与x轴的交点即为方程 y=0的解，也就是函数的零点。通过对方程进行求解，可以得到函数的零点，从而确定函数的图像与x轴的交点。
03
不等式的解集与函数的图像
一次函数图像在平面坐标系中的位置和形态可以通过不等式来描述。对于形如y<kx+b或y>kx+b的不等式，其解集对应于函数图像在坐标系中的位置和取值范围。通过解不等式，可以得到函数图像在坐标系中的位置和形态。
一次函数与不等式的关系
01
不等式可以转化为函数形式
不等式可以看作是函数的特殊情况，如 (ax + b > c) 可以视为 (y = ax
+ b) 在 (y) 轴上的截距大于 (c) 的情况。
02
解不等式即找函数值的范围
解不等式的过程是找到满足条件的 (x) 值范围，即函数值的范围。
03
函数图像与不等式的解集关系
函数图像上方的区域对应不等式的解集，下方的区域对应不等式的非解
集。
一次函数在方程与不等式中的应用
利用一次函数解一元一次方程
通过将方程转化为函数形式，可以更直观地找到方程的解。
利用一次函数解一元一次不等式
将不等式转化为函数形式，可以更方便地找到满足条件的 (x) 值范围。
一次函数在解决实际问题中的应用
02
方程与不等式的基本概念
方程的概念
1 2
3
方程
表示数学关系的一种数学模型，由等号和等号右边的未知数组成。
一元一次方程
只含有一个未知数，且未知数的次数为1的方程。
二元一次方程
含有两个未知数，且未知数的次数为1的方程。