安徽省合肥一中2014-2015学年高二上学期期中考试数学(文)试题(扫描版)
2015-2016年安徽省合肥一中高二上学期期中数学试卷及参考答案(文科)
2015-2016学年安徽省合肥一中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.每小题所给的四个选项中只有一个选项正确，请将正确的选项填入答题卡中，答错或不答不得分）1．（5分）下列结论中正确的是（）A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．当正棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等时该棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线2．（5分）已知A（1，0，2），B（1，﹣3，1），点M在z轴上且到A、B两点的距离相等，则M点坐标为（）A．（﹣3，0，0）B．（0，﹣3，0）C．（0，0，﹣3）D．（0，0，3）3．（5分）直线2x﹣y+k=0与4x﹣2y+1=0的位置关系是（）A．平行B．不平行C．平行或重合D．既不平行也不重合4．（5分）一个正方体内接于半径为R的球，则该正方体的体积是（）A．2R3B．πR3C．R3D．R35．（5分）圆心为C（6，5），且过点B（3，6）的圆的方程为（）A．（x﹣6）2+（y﹣5）2=10 B．（x﹣6）2+（y+5）2=10 C．（x﹣5）2+（y﹣6）2=10 D．（x﹣5）2+（y+6）2=106．（5分）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l ⊥n，l⊄α，l⊄β，则（）A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于l7．（5分）已知圆的方程为x2+y2﹣6x﹣8y=0，设圆中过点（2，5）的最长弦与最短弦为分别为AB、CD，则直线AB与CD的斜率之和为（）A．0 B．﹣1 C．1 D．﹣28．（5分）已知不等式组表示的平面区域恰好被面积最小的圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2及其内部所覆盖，则圆C的方程为（）A．（x﹣1）2+（y﹣2）2=5 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=8 C．（x﹣4）2+（y﹣1）2=6 D．（x﹣2）2+（y﹣1）2=59．（5分）如图是一个几何体的三视图（侧试图中的弧线是半圆），则该几何体的体积是（）A．8+2πB．8+πC．8+πD．8+π10．（5分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°．将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A﹣BCD．则在三棱锥A ﹣BCD中，下列命题正确的是（）A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC11．（5分）若直线y=kx+4+2k与曲线有两个交点，则k的取值范围是（）A．[1，+∞）B．[﹣1，﹣）C．（，1]D．（﹣∞，﹣1]12．（5分）点P（x0，y0）在圆x2+y2=r2内，则直线和已知圆的公共点的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．不能确定二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.请将每小题对的答案填在答题卡中，答错或不答不得分）13．（5分）设直线3x﹣4y+5=0的倾斜角为α，则sinα=．14．（5分）若直线2ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）经过圆x2+y2+2x﹣4y+1=0的圆心，则+的最小值是．15．（5分）在梯形ABCD中，∠ABC=，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2．将梯形ABCD 绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为．16．（5分）已知正四面体ABCD的棱长为9，点P是三角形ABC内（含边界）的一个动点满足P到面DAB、面DBC、面DCA的距离成等差数列，则点P到面DCA 的距离最大值为．三、解答题（本大题共6小题，第17题10分，18-22，每题12分，共70分.请写出详细地解答步骤或证明过程）17．（12分）已知两直线x﹣2y+4=0和x+y﹣2=0的交点为P，直线l过点P且与直线5x+3y﹣6=0垂直．（Ⅰ）求直线l的方程；（Ⅱ）求直线l关于原点对称的直线方程．18．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，点P为DD1的中点．（1）求证：直线BD1∥平面PAC；（2）求证：平面PAC⊥平面BDD1；（3）求三棱锥D﹣PAC的体积．19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB=AC=2AA1=2，∠BAC=120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD上异于端点的点．（Ⅰ）在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD1A1；（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l交AC于点Q，求三棱锥A1﹣QC1D的体积．（锥体体积公式：，其中S为底面面积，h为高）20．（12分）已知⊙O：x2+y2=1和定点A（2，1），由⊙O外一点P（a，b）向⊙O引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|=|PA|．（1）求实数a，b间满足的等量关系；（2）求线段PQ长的最小值；（3）若以P为圆心所作的⊙P与⊙O有公共点，试求半径最小值时⊙P的方程．21．（12分）已知曲线C的方程为x2+y2﹣3x=0（＜x≤3）．（1）曲线C所在圆的圆心坐标；（2）是否存在实数k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．2015-2016学年安徽省合肥一中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.每小题所给的四个选项中只有一个选项正确，请将正确的选项填入答题卡中，答错或不答不得分）1．（5分）下列结论中正确的是（）A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．当正棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等时该棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线【解答】解：正八面体的各个面都是三角形，但不是三棱锥，故A错误；以锐角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体是两个圆锥形成的组合体，故B错误；正六棱锥圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母棱锥的侧棱长一定大于底面多边形的边长，故C错误；圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线，故D正确；故选：D．2．（5分）已知A（1，0，2），B（1，﹣3，1），点M在z轴上且到A、B两点的距离相等，则M点坐标为（）A．（﹣3，0，0）B．（0，﹣3，0）C．（0，0，﹣3）D．（0，0，3）【解答】解：设点M（0，0，z），则∵A（1，0，2），B（1，﹣3，1），点M到A、B两点的距离相等，∴∴z=﹣3∴M点坐标为（0，0，﹣3）故选：C．3．（5分）直线2x﹣y+k=0与4x﹣2y+1=0的位置关系是（）A．平行B．不平行C．平行或重合D．既不平行也不重合【解答】解：∵由方程组，得2k﹣1=0，当k=时，方程组由无穷多个解，两条直线重合，当k≠时，方程组无解，两条直线平行，综上，两条直线平行或重合，故选：C．4．（5分）一个正方体内接于半径为R的球，则该正方体的体积是（）A．2R3B．πR3C．R3D．R3【解答】解：一个正方体内接于半径为R的球，可知正方体的对角线的长度就是球的直径，设正方体的棱长为：a，可得=2R，解得a=．该正方体的体积是：a3=．故选：C．5．（5分）圆心为C（6，5），且过点B（3，6）的圆的方程为（）A．（x﹣6）2+（y﹣5）2=10 B．（x﹣6）2+（y+5）2=10 C．（x﹣5）2+（y﹣6）2=10 D．（x﹣5）2+（y+6）2=10【解答】解：因为|BC|==，所以圆的半径r=，又圆心C（6，5），则圆C的标准方程为（x﹣6）2+（y﹣5）2=10．故选：A．6．（5分）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l ⊥n，l⊄α，l⊄β，则（）A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于l【解答】解：由m⊥平面α，直线l满足l⊥m，且l⊄α，所以l∥α，又n⊥平面β，l⊥n，l⊄β，所以l∥β．由直线m，n为异面直线，且m⊥平面α，n⊥平面β，则α与β相交，否则，若α∥β则推出m∥n，与m，n异面矛盾．故α与β相交，且交线平行于l．故选：D．7．（5分）已知圆的方程为x2+y2﹣6x﹣8y=0，设圆中过点（2，5）的最长弦与最短弦为分别为AB、CD，则直线AB与CD的斜率之和为（）A．0 B．﹣1 C．1 D．﹣2【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x﹣3）2+（y﹣4）2=25，∴圆心坐标为（3，4），∴过（2，5）的最长弦AB所在直线的斜率为=﹣1，又最长弦所在的直线与最短弦所在的直线垂直，∴过（2，5）最短弦CD所在的直线斜率为1，则直线AB与CD的斜率之和为﹣1+1=0．故选：A．8．（5分）已知不等式组表示的平面区域恰好被面积最小的圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2及其内部所覆盖，则圆C的方程为（）A．（x﹣1）2+（y﹣2）2=5 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=8 C．（x﹣4）2+（y﹣1）2=6 D．（x﹣2）2+（y﹣1）2=5【解答】解：由题意知此平面区域表示的是以O（0，0），P（4，0），Q（0，2）构成的三角形及其内部，且△OPQ是直角三角形，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，故圆心是（2，1），半径是，所以圆C的方程是（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．故选：D．9．（5分）如图是一个几何体的三视图（侧试图中的弧线是半圆），则该几何体的体积是（）A．8+2πB．8+πC．8+πD．8+π【解答】解：根据几何体的三视图得，该几何体的上半部分是棱长为2的正方体，下半部分是半径为1，高为2的圆柱的一半，∴该几何体的体积为V=23+×π×12×2=8+π．故选：B．10．（5分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°．将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A﹣BCD．则在三棱锥A ﹣BCD中，下列命题正确的是（）A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC【解答】解：∵在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°∴BD⊥CD又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD=BD故CD⊥平面ABD，则CD⊥AB，又AD⊥AB故AB⊥平面ADC，所以平面ABC⊥平面ADC．故选：D．11．（5分）若直线y=kx+4+2k与曲线有两个交点，则k的取值范围是（）A．[1，+∞）B．[﹣1，﹣）C．（，1]D．（﹣∞，﹣1]【解答】解：曲线即x2+y2=4，（y≥0）表示一个以（0，0）为圆心，以2为半径的位于x轴上方的半圆，如图所示：直线y=kx+4+2k即y=k（x+2）+4表示恒过点（﹣2，4）斜率为k的直线结合图形可得，∵解得∴要使直线与半圆有两个不同的交点，k的取值范围是故选：B．12．（5分）点P（x0，y0）在圆x2+y2=r2内，则直线和已知圆的公共点的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．不能确定【解答】解：圆心O（0，0）到直线x0x+y0y=r2的距离为d=∵点M（x0，y0）在圆内，∴x02+y02＜r2，则有d＞r，故直线和圆相离，直线与圆的公共点为0个故选：A．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.请将每小题对的答案填在答题卡中，答错或不答不得分）13．（5分）设直线3x﹣4y+5=0的倾斜角为α，则sinα=．【解答】解：直线3x﹣4y+5=0的倾斜角为α，可得tanα=，α是锐角．即：=，又sin2α+cos2α=1，解得sinα=．故答案为：．14．（5分）若直线2ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）经过圆x2+y2+2x﹣4y+1=0的圆心，则+的最小值是4．【解答】解：x2+y2+2x﹣4y+1=0的圆心（﹣1，2），所以直线2ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）经过圆心，可得：a+b=1，+=（+）（a+b）=2+≥4，当且仅当a=b=．+的最小值是：4．故答案为：4．15．（5分）在梯形ABCD中，∠ABC=，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2．将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为．【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图：旋转体是底面半径为1，高为2的圆锥，挖去一个相同底面高为1的倒圆锥，几何体的体积为：=．故答案为：．16．（5分）已知正四面体ABCD的棱长为9，点P是三角形ABC内（含边界）的一个动点满足P到面DAB、面DBC、面DCA的距离成等差数列，则点P到面DCA 的距离最大值为2．【解答】解：设动点P到面DAB、面DBC、面DCA的距离分别为h1，h2，h3，∵正四面体ABCD的棱长为9，每个面面积为S==，取BC中点E，连结AE．过S作SO⊥面ABC，垂足为O，则AO==3，∴高h=SO==3，∴正四面体ABCD的体积V==S（h1+h2+h3），∴h1+h2+h3=3，∵满足P到面DAB、面DBC、面DCA的距离成等差数列，∴h 1+h2+h3=3h2=3，∴，h2+h3=2，∴点P到面DCA的距离最大值为2．故答案为：2．三、解答题（本大题共6小题，第17题10分，18-22，每题12分，共70分.请写出详细地解答步骤或证明过程）17．（12分）已知两直线x﹣2y+4=0和x+y﹣2=0的交点为P，直线l过点P且与直线5x+3y﹣6=0垂直．（Ⅰ）求直线l的方程；（Ⅱ）求直线l关于原点对称的直线方程．【解答】解：（Ⅰ）联立方程组，解得，∴直线x﹣2y+4=0和x+y﹣2=0的交点P（0，2），又∵直线5x+3y﹣6=0的斜率为，∴直线l的斜率为，∴直线l的方程为y﹣2=（x﹣0），化为一般式可得3x﹣5y+10=0；（Ⅱ）由题意和对称性可得直线l上的点P（0，2）关于原点的对称点（0，﹣2）在要求的直线上，由对称可得要求的直线与l平行，故斜率也为，∴直线l关于原点对称的直线方程为y+2=x，化为一般式可得3x﹣5y﹣10=018．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，点P为DD1的中点．（1）求证：直线BD1∥平面PAC；（2）求证：平面PAC⊥平面BDD1；（3）求三棱锥D﹣PAC的体积．【解答】解：（1）设AC∩BD=O，连接OP，∵O，P分别为BD，D1D中点，∴BD1∥OP…3′∵OP⊂平面PAC，BD1⊄平面PAC，∴BD1∥平面PAC…5′（2）∵D1D⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴D1D⊥AC…7′又AC⊥BD，D1D∩BD=D，∴AC⊥平面BDD1…9′∵AC⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面BDD1…10′（3）∵PD⊥平面ADC，（12分）=…14′∴V D﹣PAC19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB=AC=2AA1=2，∠BAC=120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD上异于端点的点．（Ⅰ）在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD1A1；（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l交AC于点Q，求三棱锥A1﹣QC1D的体积．（锥体体积公式：，其中S为底面面积，h为高）【解答】解：（Ⅰ）在平面ABC内，过点P作直线l和BC平行，由于直线l不在平面A1BC内，而BC在平面A1BC内，故直线l与平面A1BC平行．三角形ABC中，∵AB=AC=2AA1=2，∠BAC=120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，∴AD⊥BC，∴l⊥AD．再由AA1⊥底面ABC，可得AA1⊥l．而AA1∩AD=A，∴直线l⊥平面ADD1A1 ．（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l交AC于点Q，过点D作DE⊥AC，∵侧棱AA1⊥底面ABC，故三棱柱ABC﹣A1B1C为直三棱柱，故DE⊥平面AA1C1C．直角三角形ACD中，∵AC=2，∠CAD=60°，∴AD=AC•cos60°=1，∴DE=AD•sin60°=．∵===1，﹣QC1D的体积==••DE=×1×∴三棱锥A=．20．（12分）已知⊙O：x2+y2=1和定点A（2，1），由⊙O外一点P（a，b）向⊙O引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|=|PA|．（1）求实数a，b间满足的等量关系；（2）求线段PQ长的最小值；（3）若以P为圆心所作的⊙P与⊙O有公共点，试求半径最小值时⊙P的方程．【解答】解：（1）连接OQ，∵切点为Q，PQ⊥OQ，由勾股定理可得PQ2=OP2﹣OQ2．由已知PQ=PA，可得PQ2=PA2，即（a2+b2）﹣1=（a﹣2）2+（b﹣1）2．化简可得2a+b﹣3=0．（2）∵PQ====，故当a=时，线段PQ取得最小值为．（3）若以P为圆心所作的⊙P 的半径为R，由于⊙O的半径为1，∴|R﹣1|≤PO ≤R+1．而OP===，故当a=时，PO取得最小值为，此时，b=﹣2a+3=，R取得最小值为﹣1．故半径最小时⊙P 的方程为+=．21．（12分）已知曲线C的方程为x2+y2﹣3x=0（＜x≤3）．（1）曲线C所在圆的圆心坐标；（2）是否存在实数k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）∵曲线C的方程为x2+y2﹣3x=0，整理得其标准方程为：（x﹣）2+y2=，∴圆C的圆心坐标为（，0）．（2）结论：当k∈[﹣，]∪{﹣，}时，直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点．理由如下：直线代入圆的方程，消去y，可得：（1+k2）x2﹣（3+8k2）x+16k2=0，令△=（3+8k2）2﹣4（1+k2）•16k2=0，解得k=±，又∵轨迹C的端点（，±）与点（4，0）决定的直线斜率为±，∴当直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点时，k的取值范围为[﹣，]∪{﹣，}．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。
2015-2016年安徽省合肥一中高二(下)期中数学试卷(文科)和答案
2015-2016学年安徽省合肥一中高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若z1=（m2+m+1）+（m2+m﹣4）i，m∈R，z2=3﹣2i，则m=1是z1=z2的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件2．（5分）如图是导函数y=f′（x）的图象，那么函数y=f（x）在下面哪个区间是减函数（）A．（x1，x3）B．（x2，x4）C．（x4，x6）D．（x5，x6）3．（5分）已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为（）A．B．C．D．=0.08x+1.234．（5分）用反证法证明命题“若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是（）A．假设a，b，c不都是偶数B．假设a，b，c都不是偶数C．假设a，b，c至多有一个是偶数D．假设a，b，c至多有两个是偶数5．（5分）下列命题中正确的是（）A．函数y=48x﹣x3有两个极值点B．函数y=x3﹣x2+x有两个极值点C．函数y=x3有且只有1个极值点D．函数y=e x﹣x无极值点6．（5分）若直线y=m与y=3x﹣x3的图象有三个不同的交点，则实数m的取值范围为（）A．（﹣2，2）B．[﹣2，2]C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）7．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，（t为参数，t∈R），圆C的参数方程为，（θ为参数，θ∈[0，2π）），则圆心C到直线l的距离为（）A．0B．2C．D．8．（5分）下面使用类比推理正确的是（）A．直线a，b，c，若a∥b，b∥c，则a∥c，类推出：向量，，，若∥，∥，则∥B．同一平面内，直线a，b，c，若a⊥c，b⊥c，则a∥b，类推出：空间中，直线a，b，c，若a⊥c，b⊥c，则a∥bC．实数a，b，若方程x2+ax+b=0有实数根，则a2≥4b，类推出：复数a，b，若方程x2+ax+b=0有实数根，则a2≥4bD．由向量加法的几何意义，可以类比得到复数加法的几何意义9．（5分）点P是曲线y=x2﹣1nx上任意一点，则点P到直线y=x﹣2的距离的最小值是（）A．1B．C．2D．210．（5分）曲线y=x3上一点B处的切线l交x轴于点A，△OAB（O是原点）是以A为顶点的等腰三角形，则切线l的倾斜角为（）A．30°B．45°C．60°D．120°11．（5分）若f（n）为n2+1（n∈N*）的各位数字之和，如142+1=197，1+9+7=17，则f（14）=17，记f1（n）=f（n），f2=f（f1（n））…f k+1=f k（f（n）），k∈N*则f2016（8）=（）A．3B．5C．8D．1112．（5分）定义在（0，+∞）上的可导函数f（x）满足f′（x）•x＜f（x），且f（2）=0，则＞0的解集为（）A．（0，2）B．（0，2）∪（2，+∞）C．（2，+∞）D．∅二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）如图，函数F（x）=f（x）+x2的图象在点P处的切线方程是y=﹣x+8，则f（5）+f′（5）=．14．（5分）已知函数f（x）=2x2﹣ax+lnx在其定义域上不单调，则实数a的取值范围是．15．（5分）二维空间中圆的一维测度（周长）l=2πr，二维测度（面积）S=πr2；三维空间中球的二维测度（表面积）S=4πr2，三维测度（体积）V=πr3；四维空间中“超球”的三维测度V=8πr3，则猜想其四维测度W=．16．（5分）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1，3，6，10，…，第n个三角形数为．记第n个k边形数为N （n，k）（k≥3），以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数，正方形数N（n，4）=n2，五边形数，六边形数N（n，6）=2n2﹣n，…可以推测N（n，k）的表达式，由此计算N（10，24）=．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知复数，若z2+az+b=1﹣i，（1）求z；（2）求实数a，b的值．18．（10分）已知a，b，c均为实数，且a=x2﹣2y+，b=y2﹣2z+，c=z2﹣2x+，求证：a，b，c中至少有一个大于0．19．（12分）有以下三个不等式：（12+42）（92+52）≥（1×9+4×5）2；（62+82）（22+122）≥（6×2+8×12）2；（202+102）（1022+72）≥（20×102+10×7）2．请你观察这三个不等式，猜想出一个一般性的结论，并证明你的结论．20．（12分）某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行抽样调查，调查结果如下表所示（1）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”（2）已知在被调查的北方学生中有5人是数学系的学生，其中2人喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率？参考公式：K2=，n=a+b+c+d下面的临界表供参考：21．（12分）已知f（x）=xe x，g（x）=﹣（x+1）2+a，若∃x1，x2∈R使得f（x1）≤g（x2）成立，求实数a的取值范围．22．（14分）已知函数f（x）=kx，（1）求函数的单调递增区间；（2）若不等式f（x）≥g（x）在区间（0，+∞）上恒成立，求k的取值范围；（3）求证：．2015-2016学年安徽省合肥一中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若z1=（m2+m+1）+（m2+m﹣4）i，m∈R，z2=3﹣2i，则m=1是z1=z2的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【解答】解：当m=1，则z1=（m2+m+1）+（m2+m﹣4）i=3﹣2）i，此时z1=z2，充分性成立．若z1=z2，则，即，则，即m=1或m=﹣2，此时必要性不成立，故m=1是z1=z2的充分不必要条件，故选：A．2．（5分）如图是导函数y=f′（x）的图象，那么函数y=f（x）在下面哪个区间是减函数（）A．（x1，x3）B．（x2，x4）C．（x4，x6）D．（x5，x6）【解答】解：若函数单调递减，则f′（x）≤0，由图象可知，x∈（x2，x4）时，f′（x）＜0，故选：B．3．（5分）已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为（）A．B．C．D．=0.08x+1.23【解答】解：法一：由回归直线的斜率的估计值为1.23，可排除D由线性回归直线方程样本点的中心为（4，5），将x=4分别代入A、B、C，其值依次为8.92、9.92、5，排除A、B法二：因为回归直线方程一定过样本中心点，将样本点的中心（4，5）分别代入各个选项，只有C满足，故选：C．4．（5分）用反证法证明命题“若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是（）A．假设a，b，c不都是偶数B．假设a，b，c都不是偶数C．假设a，b，c至多有一个是偶数D．假设a，b，c至多有两个是偶数【解答】解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定“至少有一个”的否定“都不是”．即假设正确的是：假设a、b、c都不是偶数故选：B．5．（5分）下列命题中正确的是（）A．函数y=48x﹣x3有两个极值点B．函数y=x3﹣x2+x有两个极值点C．函数y=x3有且只有1个极值点D．函数y=e x﹣x无极值点【解答】解：A．函数y=48x﹣x3的导数y′=48﹣3x2，y′=0，则x=±4，在x=±4处附近导数符号异号，则均为极值点，故A正确；B．函数y=x3﹣x2+x的导数y′=3x2﹣2x+1，判别式△=4﹣12＜0，y′＞0，函数单调递增，故无极值，故B错；C．y=x3的导数y′=3x2≥0，函数单调递增，无极值，故C错；D．函数y=e x﹣x的导数y′=e x﹣1，y′=0，得x=0，在x=0处附近导数左负右正，故为极小值点，故D错．故选：A．6．（5分）若直线y=m与y=3x﹣x3的图象有三个不同的交点，则实数m的取值范围为（）A．（﹣2，2）B．[﹣2，2]C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）【解答】解：∵y=3x﹣x3，∴y′=3﹣3x2，令y′=0，得x=±1，∵x∈（﹣∞，﹣1）时，y′＜0；x∈（﹣1，1）时，y′＞0；x∈（1，+∞）时，y′＜0．∴当x=1时，y取极大值2，当x=﹣1时，y取极小值﹣2，∵直线y=m与y=3x﹣x2的图象有三个不同交点∴m的取值范围为﹣2＜m＜2．故选：A．7．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，（t为参数，t∈R），圆C的参数方程为，（θ为参数，θ∈[0，2π）），则圆心C到直线l的距离为（）A．0B．2C．D．【解答】解：直线l的参数方程为，（t为参数，t∈R），消去参数化为普通方程：y=x+1，即x﹣y+1=0．圆C的参数方程为，（θ为参数，θ∈[0，2π）），利用平方关系可得普通方程：（x﹣1）2+y2=1，可得圆心C（1，0）．则圆心C到直线l的距离d==，故选：C．8．（5分）下面使用类比推理正确的是（）A．直线a，b，c，若a∥b，b∥c，则a∥c，类推出：向量，，，若∥，∥，则∥B．同一平面内，直线a，b，c，若a⊥c，b⊥c，则a∥b，类推出：空间中，直线a，b，c，若a⊥c，b⊥c，则a∥bC．实数a，b，若方程x2+ax+b=0有实数根，则a2≥4b，类推出：复数a，b，若方程x2+ax+b=0有实数根，则a2≥4bD．由向量加法的几何意义，可以类比得到复数加法的几何意义【解答】解：对于A，=时，不正确；对于B，空间中，直线a，b，c，若a⊥c，b⊥c，则a∥b或a⊥b或相交，故不正确；对于C，方程x02+ix0+（﹣1±i）=0有实根，但a2≥4b不成立，故C不正确；对于D，由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义，正确．故选：D．9．（5分）点P是曲线y=x2﹣1nx上任意一点，则点P到直线y=x﹣2的距离的最小值是（）A．1B．C．2D．2【解答】解：由题意作图如下，当点P是曲线的切线中与直线y=x﹣2平行的直线的切点时，最近；故令y′=2x﹣=1解得，x=1；故点P的坐标为（1，1）；故点P到直线y=x﹣2的最小值为=；故选：B．10．（5分）曲线y=x3上一点B处的切线l交x轴于点A，△OAB（O是原点）是以A为顶点的等腰三角形，则切线l的倾斜角为（）A．30°B．45°C．60°D．120°【解答】解：对曲线y=x3求导，得，y′=3x2，设切点B（x0，x03），则B点处的切线斜率为3x02，∴切线l的方程为y﹣x03=3x02（x﹣x0）令y=0，得A（x0，0）∵|OA|=|AB|∴|x0|=解方程得：x04=∴切线l的斜率为3x02=∴切线l的倾斜角为60°故选：C．11．（5分）若f（n）为n2+1（n∈N*）的各位数字之和，如142+1=197，1+9+7=17，则f（14）=17，记f1（n）=f（n），f2=f（f1（n））…f k+1=f k（f（n）），k∈N*则f2016（8）=（）A．3B．5C．8D．11【解答】解：∵82+1=65，∴f1（8）=f（8）=6+5=11，同理，由112+1=122得f2（8）=1+2+2=5；由52+1=26，得f3（8）=2+6=8，可得f4（8）=6+5=11=f1（8），f5（8）=f2（8），…，∴f k+3（8）=f k（8）对任意k∈N*成立又∵2016=3×672，∴f2016（8）=f2013（8）=f2000（8）=…=f3（8）=8．故选：C．12．（5分）定义在（0，+∞）上的可导函数f（x）满足f′（x）•x＜f（x），且f （2）=0，则＞0的解集为（）A．（0，2）B．（0，2）∪（2，+∞）C．（2，+∞）D．∅【解答】解：令g（x）=，∵x•f′（x）＜f（x），∴x•f′（x）﹣f（x）＜0．∴，∴g（x）在（0，+∞）上单调递减，∵f（2）=0，即g（2）=0．∴g（x）=＞0的解集是0＜x＜2．故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）如图，函数F（x）=f（x）+x2的图象在点P处的切线方程是y=﹣x+8，则f（5）+f′（5）=﹣5．【解答】解：F（5）=f（5）+5=﹣5+8=3，所以f（5）=﹣2．又F′（x）=f′（x）+x，所以F′（5）=f′（5）+×5=﹣1，解得f′（5）=﹣3，f（5）+f′（5）=﹣5．故答案为：﹣514．（5分）已知函数f（x）=2x2﹣ax+lnx在其定义域上不单调，则实数a的取值范围是（4，+∞）．【解答】解：∵f（x）=2x2﹣ax+lnx，x＞0，∴f′（x）=4x﹣a+=，令g（x）=4x2﹣ax+1，若f（x）在其定义域上不单调，则g（x）在（0，+∞）有解，∴，解得：a＞4，则实数a的取值范围是（4，+∞），故答案为：（4，+∞）．15．（5分）二维空间中圆的一维测度（周长）l=2πr，二维测度（面积）S=πr2；三维空间中球的二维测度（表面积）S=4πr2，三维测度（体积）V=πr3；四维空间中“超球”的三维测度V=8πr3，则猜想其四维测度W=2πr4．【解答】解：∵二维空间中圆的一维测度（周长）l=2πr，二维测度（面积）S=πr2，观察发现S′=l三维空间中球的二维测度（表面积）S=4πr2，三维测度（体积）V=πr3，观察发现V′=S∴四维空间中“超球”的三维测度V=8πr3，猜想其四维测度W，则W′=V=8πr3；∴W=2πr4；故答案为：2πr416．（5分）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1，3，6，10，…，第n个三角形数为．记第n个k边形数为N （n，k）（k≥3），以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数，正方形数N（n，4）=n2，五边形数，六边形数N（n，6）=2n2﹣n，…可以推测N（n，k）的表达式，由此计算N（10，24）=1000．【解答】解：原已知式子可化为：，，，，由归纳推理可得，故=1100﹣100=1000故答案为：1000三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知复数，若z2+az+b=1﹣i，（1）求z；（2）求实数a，b的值．【解答】解：（1），（2）把Z=1+i代入z2+az+b=1﹣i，即（1+i）2+a（1+i）+b=1﹣i，得a+b+（2+a）i=1﹣i．所以解得a=﹣3；b=4所以实数a，b的值分别为﹣3，418．（10分）已知a，b，c均为实数，且a=x2﹣2y+，b=y2﹣2z+，c=z2﹣2x+，求证：a，b，c中至少有一个大于0．【解答】解：反证法：假设a，b，c都小于或等于0，则有a+b+c=（x﹣1）2+（y﹣1）2+（z﹣1）2+π﹣3≤0，而该式显然大于0，矛盾，故假设不正确，故a，b，c中至少有一个大于0．19．（12分）有以下三个不等式：（12+42）（92+52）≥（1×9+4×5）2；（62+82）（22+122）≥（6×2+8×12）2；（202+102）（1022+72）≥（20×102+10×7）2．请你观察这三个不等式，猜想出一个一般性的结论，并证明你的结论．【解答】解：结论为：（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2．…（5分）证明：（a2+b2）（c2+d2）﹣（ac+bd）2=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2﹣（a2c2+b2d2+2abcd）=a2d2+b2c2﹣2abcd=（ac﹣bd）2≥0所以（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2．…（12分）20．（12分）某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行抽样调查，调查结果如下表所示（1）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”（2）已知在被调查的北方学生中有5人是数学系的学生，其中2人喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率？参考公式：K2=，n=a+b+c+d下面的临界表供参考：【解答】解：（1）所以有95%的把握认为南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异．（2）21．（12分）已知f（x）=xe x，g（x）=﹣（x+1）2+a，若∃x1，x2∈R使得f（x1）≤g（x2）成立，求实数a的取值范围．【解答】解：f'（x）=e x+xe x=（1+x）e x，当x＞﹣1时，f'（x）＞0，函数递增；当x＜﹣1时，f'（x）＜0，函数递减，所以当x=﹣1时，f（x）取得极小值即最小值．函数g（x）的最大值为a，若∃x1，x2∈R使得f（x1）≤g（x2）成立．则有g（x）的最大值大于等于f（x）的最小值，即a≥﹣，故实数a的取值范围为[﹣，+∞）22．（14分）已知函数f（x）=kx，（1）求函数的单调递增区间；（2）若不等式f（x）≥g（x）在区间（0，+∞）上恒成立，求k的取值范围；（3）求证：．【解答】解：（1）∵（x＞0），∴，令g'（x）＞0，得0＜x＜e，故函数的单调递增区间为（0，e）．（2）由，则问题转化为k大于等于h（x）的最大值．又，令．当x在区间（0，+∞）内变化时，h'（x）、h（x）变化情况如下表：），由表知当时，函数h（x）有最大值，且最大值为，因此k≥．（3）由≤，∴＜（x≥2），∴＜．又∵＜=1﹣+++…+=1﹣＜1，∴＜．。
安徽省合肥一中、合肥六中、北城中学联考2015-2016学年高二上学期期末数学试卷(文科) Word版含解析
2015-2016学年安徽省合肥一中、合肥六中、北城中学联考高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共60分） 1．空间直角坐标系中，点A （﹣2，1，3）关于点B （1，﹣1，2）的对称点C 的坐标为（ ） A ．（4，1，1） B ．（﹣1，0，5） C ．（4，﹣3，1） D ．（﹣5，3，4）2．过直线3x ﹣2y+3=0与x+y ﹣4=0的交点，与直线2x+y ﹣1=0平行的直线方程为（ ） A ．2x+y ﹣5=0 B ．2x ﹣y+1=0 C ．x+2y ﹣7=0 D ．x ﹣2y+5=03．“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．抛物线x=﹣4y 2的准线方程为（ ）A ．y=1B ．y=C ．x=1D ．x=5．直线l ⊂平面α，直线m ⊄平面α，命题p ：“若直线m ⊥α，则m ⊥l ”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．36．棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后所得的几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．B ．18C ．D ．7．双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，则m 的值等于（ ）A ．12B ．20C ．D ．8．过点（0，﹣2）的直线l 与圆x 2+y 2=1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．9．O 为坐标原点，F 为抛物线的焦点，P 是抛物线C 上一点，若|PF|=4，则△POF的面积为（ ）A．1 B．C．D．210．四棱锥P﹣ABCD的底面是一个正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，E是棱PA的中点，则异面直线BE与AC所成角的余弦值是（）A． B． C．D．11．两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是球面面积的，则这两个圆锥的体积之比为（）A．2：1 B．5：2 C．1：4 D．3：112．点A是椭圆上一点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，I是△AF1F2的内心．若，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．命题“∀x∈R，x2﹣2x﹣1＞0”的否定形式是．14．抛物线y2=6x，过点P（4，1）引一条弦，使它恰好被P点平分，则该弦所在的直线方程为．15．圆上的点（2，1）关于直线x+y=0的对称点仍在圆上，且圆与直线x﹣y+1=0相交所得的弦长为，则圆的方程为．16．下列四个命题申是真命题的是（填所有真命题的序号）①“p∧q为真”是“p∨q为真”的充分不必要条件；②空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角相等；③在侧棱长为2，底面边长为3的正三棱锥中，侧棱与底面成30°的角；④动圆P过定点A（﹣2，0），且在定圆B：（x﹣2）2+y2=36的内部与其相内切，则动圆圆心P的轨迹为一个椭圆．三、解答题（共有6小题，共70分）17．已知命题p：∀x∈[2，4]，x2﹣2x﹣2a≤0恒成立，命题q：f（x）=x2﹣ax+1在区间上是增函数．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．18．（1）求与椭圆有相同的焦点，且经过点（4，3）的椭圆的标准方程．（2）求与双曲线有相同的渐近线，且焦距为的双曲线的标准方程．19．如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是等腰梯形，AB=CD=AD=1，BC=2，E，M，N分别是所在棱的中点．（1）证明：平面MNE⊥平面D1DE；（2）证明：MN∥平面D1DE．20．已知A（﹣3，0），B（3，0），C（x0，y0）是圆M上的三个不同的点．（1）若x0=﹣4，y0=1，求圆M的方程；（2）若点C是以AB为直径的圆M上的任意一点，直线x=3交直线AC于点R，线段BR 的中点为D．判断直线CD与圆M的位置关系，并证明你的结论．21．如图，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC=，M为BC的中点．（Ⅰ）证明：AM⊥PM；（Ⅱ）求点D到平面AMP的距离．22．已知椭圆的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），P是椭圆C上任意一点，且椭圆的离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l1，l2是椭圆的任意两条切线，且l1∥l2，试探究在x轴上是否存在定点B，点B 到l1，l2的距离之积恒为1？若存在，求出点B的坐标；若不存在，请说明理由．2015-2016学年安徽省合肥一中、合肥六中、北城中学联考高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．空间直角坐标系中，点A（﹣2，1，3）关于点B（1，﹣1，2）的对称点C的坐标为（）A．（4，1，1）B．（﹣1，0，5） C．（4，﹣3，1） D．（﹣5，3，4）【考点】空间中的点的坐标．【分析】利用中点坐标公式求解．【解答】解：设C（x，y，z），∵点A（﹣2，1，3）关于点B（1，﹣1，2）的对称点C，∴，解得x=4，y=﹣3，z=1，∴C（4，﹣3，1）．故选：C．2．过直线3x﹣2y+3=0与x+y﹣4=0的交点，与直线2x+y﹣1=0平行的直线方程为（）A．2x+y﹣5=0 B．2x﹣y+1=0 C．x+2y﹣7=0 D．x﹣2y+5=0【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】联立方程组，求出直线的交点，由此能求出过交点且平行于直线2x+y﹣1=0的直线方程．【解答】解：联立，得x=1，y=3，∴交点为（1，3），过直线3x﹣2y+3=0与x+y﹣4=0的交点，与直线2x+y﹣1=0平行的直线方程为：2x+y+c=0，把点（1，3）代入，得：2+3+c=0，解得c=﹣5，∴直线方程是：2x+y﹣5=0，故选：A．3．“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】，解得或x＜0，即可判断出判断出．【解答】解：，解得或x＜0，∴“”是“”的必要不充分条件．故选：B．4．抛物线x=﹣4y2的准线方程为（）A．y=1 B．y=C．x=1 D．x=【考点】抛物线的简单性质．【分析】将方程化为标准方程，再由y2=﹣2px的准线方程为x=，即可得到所求．【解答】解：抛物线x=﹣4y2即为y2=﹣x，可得准线方程为x=．故选：D．5．直线l⊂平面α，直线m⊄平面α，命题p：“若直线m⊥α，则m⊥l”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】由直线与平面垂直的性质定理得命题P是真命题，￢P是假命题，由此能求出结果．【解答】解：∵直线l⊂平面α，直线m⊄平面α，命题p：“若直线m⊥α，则m⊥l”，∴命题P是真命题，∴命题P的逆否命题是真命题；￢P：“若直线m不垂直于α，则m不垂直于l”，∵￢P是假命题，∴命题p的逆命题和否命题都是假命题．故选：B．6．棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后所得的几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．B．18 C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】作出几何体的直观图，观察截去几何体的结构特征，代入数据计算．【解答】解：由三视图可知正方体边长为2，截去部分为三棱锥，作出几何体的直观图如图所示：故该几何体的表面积为：3×22+3×（）+=，故选：D．7．双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，则m的值等于（）A．12 B．20 C． D．【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．【分析】求得椭圆的焦点坐标，由双曲线的焦点与椭圆的重合，可得=4，解方程即可得到m的值．【解答】解：椭圆的焦点为（±4，0），由双曲线的焦点与椭圆的重合，可得=4，解得m=12．故选：A．8．过点（0，﹣2）的直线l与圆x2+y2=1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据直线和圆的位置关系即可得到结论．【解答】解：若直线斜率不存在，此时x=0与圆有交点，直线斜率存在，设为k，则过P的直线方程为y=kx﹣2，即kx﹣y﹣2=0，若过点（0，﹣2）的直线l与圆x2+y2=1有公共点，则圆心到直线的距离d≤1，即≤1，即k2﹣3≥0，解得k≤﹣或k≥，即≤α≤且α≠，综上所述，≤α≤，故选：A．9．O为坐标原点，F为抛物线的焦点，P是抛物线C上一点，若|PF|=4，则△POF的面积为（）A．1 B．C．D．2【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线方程求得抛物线的准线方程与焦点坐标，利用|PF|=4，求得P点的纵坐标，代入抛物线方程求得横坐标，代入三角形面积公式计算即可得到．【解答】解：由抛物线方程得准线方程为：y=﹣1，焦点F（0，1），又P为C上一点，|PF|=4，可得y P=3，代入抛物线方程得：|x P|=2，∴S△POF=|0F|•|x P|=．故选：C．10．四棱锥P﹣ABCD的底面是一个正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，E是棱PA的中点，则异面直线BE与AC所成角的余弦值是（）A． B． C．D．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出异面直线BE与AC所成角的余弦值．【解答】解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，则B（2，0，0），E（0，0，1），A（0，0，0），C（2，2，0），=（﹣2，0，1），=（2，2，0），设异面直线BE与AC所成角为θ，则cosθ===．故选：B．11．两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是球面面积的，则这两个圆锥的体积之比为（）A．2：1 B．5：2 C．1：4 D．3：1【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】设球半径为r，则根据圆锥底面与球面积的关系得出圆锥的底面半径，根据勾股定理求出球心到圆锥底面的距离，得到两圆锥的高度．【解答】解：设球的半径为R，圆锥底面的半径为r，则πr2=×4πR2=，∴r=．∴球心到圆锥底面的距离为=．∴圆锥的高分别为和．∴两个圆锥的体积比为：=1：3．故选：D．12．点A是椭圆上一点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，I是△AF1F2的内心．若，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设△AF1F2的内切圆半径为r，由已知得|AF1|r=2×|F1F2|r﹣|AF2|r，从而a=2，由此能求出椭圆的离心率．【解答】解：设△AF1F2的内切圆半径为r，则S△IAF1=|AF1|r，S△IAF2=|AF2|r，S△IF1F2=|F1F2|r，∵，∴|AF1|r=2×|F1F2|r﹣|AF2|r，整理，得|AF1|+|AF2|=2|F1F2|．∴a=2，∴椭圆的离心率e===．故选：B．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．命题“∀x∈R，x2﹣2x﹣1＞0”的否定形式是．【考点】命题的否定．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题所以，命题“∀x∈R，x2﹣2x﹣1＞0”的否定形式是：．故答案为：．14．抛物线y2=6x，过点P（4，1）引一条弦，使它恰好被P点平分，则该弦所在的直线方程为3x﹣y﹣11=0．【考点】抛物线的简单性质．【分析】设过点P（4，1）的直线与抛物线的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），代入抛物线的方程，相减，结合直线的斜率公式和中点坐标公式，以及点斜式方程可得直线方程，再由代入法，检验即可得到所求直线方程．【解答】解：设过点P（4，1）的直线与抛物线的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），即有y12=6x1，y22=6x2，相减可得，（y1﹣y2）（y1+y2）=6（x1﹣x2），即有k AB====3，则直线方程为y﹣1=3（x﹣4），即为3x﹣y﹣11=0．将直线y=3x﹣11代入抛物线的方程，可得9x2﹣72x+121=0，判别式为722﹣4×9×121＞0，故所求直线为3x﹣y﹣11=0．故答案为：3x﹣y﹣11=0．15．圆上的点（2，1）关于直线x+y=0的对称点仍在圆上，且圆与直线x﹣y+1=0相交所得的弦长为，则圆的方程为（x﹣1）2+（y+1）2=5．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设出圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，由圆上的点关于直线的对称点还在圆上得圆心在这条直线上，把圆心坐标代入到直线x+y=0中得方程①；把A的坐标代入圆的方程得方程②；由圆与直线x﹣y+1=0相交的弦长，利用垂径定理，勾股定理得方程③，三者联立求出a、b和r的值，即得圆的方程．【解答】解：设所求圆的圆心为（a，b），半径为r，∵点A（2，1）关于直线x+y=0的对称点A′仍在这个圆上，∴圆心（a，b）在直线x+y=0上，∴a+b=0，①且（2﹣a）2+（1﹣b）2=r2；②又直线x﹣y+1=0截圆所得的弦长为，且圆心（a，b）到直线x﹣y+1=0的距离为d==，根据垂径定理得：r2﹣d2=，即r2﹣（）2=③；由方程①②③组成方程组，解得；∴所求圆的方程为（x﹣1）2+（y+1）2=5．故答案为：（x﹣1）2+（y+1）2=5．16．下列四个命题申是真命题的是①③④（填所有真命题的序号）①“p∧q为真”是“p∨q为真”的充分不必要条件；②空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角相等；③在侧棱长为2，底面边长为3的正三棱锥中，侧棱与底面成30°的角；④动圆P过定点A（﹣2，0），且在定圆B：（x﹣2）2+y2=36的内部与其相内切，则动圆圆心P的轨迹为一个椭圆．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据充分条件和必要条件的定义结合复合命题的真假关系进行判断．②根据空间角的平行定理进行判断．③根据线面所成角的定义进行求解判断．④根据圆与的内切关系以及椭圆的定义进行判断．【解答】解：①“p∧q为真”，则p，q同时为真命题，则“p∨q为真”，当p真q假时，满足p∨q为真，但p∧q为假，则“p∧q为真”是“p∨q为真”的充分不必要条件正确，故①正确；②空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补；故②错误，③设正三棱锥为P﹣ABC，顶点P在底面的射影为O，则O为△ABC的中心，∠PCO为侧棱与底面所成角∵正三棱锥的底面边长为3，∴CO=∵侧棱长为2，∴在直角△POC中，tan∠PCO=∴侧棱与底面所成角的正切值为，即侧棱与底面所成角为30°，故③正确，④如图，设动圆P和定圆B内切于M，则动圆的圆心P到两点，即定点A（﹣2，0）和定圆的圆心B（2，0）的距离之和恰好等于定圆半径，即|PA|+|PB|=|PM|+|PB|=|BM|=6＞4=|AB|．∴点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，故动圆圆心P的轨迹为一个椭圆，故④正确，故答案为：①③④三、解答题（共有6小题，共70分）17．已知命题p：∀x∈[2，4]，x2﹣2x﹣2a≤0恒成立，命题q：f（x）=x2﹣ax+1在区间上是增函数．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】根据函数恒成立问题，求出p为真时的a的范围，根据二次函数的性质求出q为真时的a的范围，从而判断出p、q一真一假时的a的范围即可．【解答】解：∀x∈[2，4]，x2﹣2x﹣2a≤0恒成立，等价于a≥x2﹣x在x∈[2，4]恒成立，而函数g（x）=x2﹣x在x∈[2，4]递增，其最大值是g（4）=4，∴a≥4，若p为真命题，则a≥4；f（x）=x2﹣ax+1在区间上是增函数，对称轴x=≤，∴a≤1，若q为真命题，则a≤1；由题意知p、q一真一假，当p真q假时，a≥4；当p假q真时，a≤1，所以a的取值范围为（﹣∞，1]∪[4，+∞）．18．（1）求与椭圆有相同的焦点，且经过点（4，3）的椭圆的标准方程．（2）求与双曲线有相同的渐近线，且焦距为的双曲线的标准方程．【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意可设椭圆方程，代入（4，3），解方程可得λ，进而得到所求椭圆方程；（2）由题意可设所求双曲线的方程为﹣=1（λ≠0），由焦距可得4|λ|+9|λ|=13，解方程即可得到所求双曲线的方程．【解答】解：（1）由所求椭圆与椭圆有相同的焦点，设椭圆方程，由（4，3）在椭圆上得，则椭圆方程为；（2）由双曲线有相同的渐近线，设所求双曲线的方程为﹣=1（λ≠0），由题意可得c2=4|λ|+9|λ|=13，解得λ=±1．即有双曲线的方程为﹣=1或﹣=1．19．如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是等腰梯形，AB=CD=AD=1，BC=2，E，M，N分别是所在棱的中点．（1）证明：平面MNE⊥平面D1DE；（2）证明：MN∥平面D1DE．【考点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）由已知推导出NE⊥DE，NE⊥DD1，从而NE⊥平面D1DE，由此能证明平面MNE⊥平面D1DE．（2）推导出AB∥DE，从而AB∥平面D1DE，进而BB1∥平面D1DE，平面ABB1A1∥平面D1DE，由此能证明MN∥平面D1DE．【解答】证明：（1）由等腰梯形ABCD中，∵AB=CD=AD=1，BC=2，N是AB的中点，∴NE⊥DE，又NE⊥DD1，且DD1∩DE=D，∴NE⊥平面D1DE，又NE⊂平面MNE，∴平面MNE⊥平面D1DE．…（2）等腰梯形ABCD中，∵AB=CD=AD=1，BC=2，N是AB的中点，∴AB∥DE，∴AB∥平面D1DE，又DD1∥BB1，则BB1∥平面D1DE，又AB∩BB1=B，∴平面ABB1A1∥平面D1DE，又MN⊂平面ABB1A1，∴MN∥平面D1DE．…20．已知A（﹣3，0），B（3，0），C（x0，y0）是圆M上的三个不同的点．（1）若x0=﹣4，y0=1，求圆M的方程；（2）若点C是以AB为直径的圆M上的任意一点，直线x=3交直线AC于点R，线段BR 的中点为D．判断直线CD与圆M的位置关系，并证明你的结论．【考点】圆的一般方程．【分析】（1）利用待定系数法建立方程关系进行求解即可．（2）根据直线和圆的位置关系进行判断即可．【解答】解：（1）设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0圆的方程为x2+y2﹣8y﹣9=0…（2）直线CD与圆M相切O、D分别是AB、BR的中点则OD∥AR，∴∠CAB=∠DOB，∠ACO=∠COD，又∠CAO=∠ACO，∴∠DOB=∠COD又OC=OB，所以△BOD≌△COD∴∠OCD=∠OBD=90°即OC⊥CD，则直线CD与圆M相切．…（其他方法亦可）21．如图，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC=，M为BC的中点．（Ⅰ）证明：AM⊥PM；（Ⅱ）求点D到平面AMP的距离．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；点、线、面间的距离计算．【分析】（Ⅰ）取CD的中点E，连接PE、EM、EA，证明PE⊥平面ABCD，从而可得△ADE、△ECM、△ABM均为直角三角形，利用勾股定理可得结论；（Ⅱ）利用V P﹣ADM =V D﹣PAM，可求D点到平面PAM的距离．【解答】（Ⅰ）证明：取CD的中点E，连接PE、EM、EA ∵△PCD为正三角形∴PE⊥CD，PE=PDsin∠PDE=2sin60°=∵平面PCD⊥平面ABCD∴PE⊥平面ABCD∵四边形ABCD是矩形∴△ADE、△ECM、△ABM均为直角三角形由勾股定理得EM=，AM=，AE=3∴EM2+AM2=AE2，∴∠AME=90°∴AM⊥PM（Ⅱ）解：设D点到平面PAM的距离为d，连接DM，则V P﹣ADM =V D﹣PAM∴而在Rt△PEM中，由勾股定理得PM=∴∴∴，即点D到平面PAM的距离为22．已知椭圆的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），P是椭圆C上任意一点，且椭圆的离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l1，l2是椭圆的任意两条切线，且l1∥l2，试探究在x轴上是否存在定点B，点B 到l1，l2的距离之积恒为1？若存在，求出点B的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由椭圆的离心率为，求出，由此能求出椭圆C的方程．（2）设l1：y=kx+m，l2：y=kx+n（m≠n），两直线分别与椭圆联立，得到m2=1+2k2，m=﹣n，由此利用点B到l1，l2的距离之积恒为1，能求出点B坐标，当l1，l2的斜率不存在时，点B（±1，0）到l1，l2的距离之积为1．由此能求出结果．【解答】解：（1）∵椭圆的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），P是椭圆C上任意一点，且椭圆的离心率为，∴=，解得，∴椭圆C的方程为．…（2）①当l1，l2的斜率存在时，设l1：y=kx+m，l2：y=kx+n（m≠n），△=0，m2=1+2k2，同理n2=1+2k2m2=n2，m=﹣n，设存在，又m2=1+2k2，则|k2（2﹣t2）+1|=1+k2，k2（1﹣t2）=0或k2（t2﹣3）=2（不恒成立，舍去）∴t2﹣1=0，t=±1，点B（±1，0），②当l1，l2的斜率不存在时，点B（±1，0）到l1，l2的距离之积为1．综上，存在B（1，0）或（﹣1，0）．…2016年5月11日。
安徽省合肥市高二上学期期中数学试卷
安徽省合肥市高二上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）首项为-24的等差数列从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围是（）A .B .C .D .2. （2分）为第一象限角是的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件3. （2分） (2016高二上·济南期中) 数列1 ，2 ，3 ，4 ，…的一个通项公式为（）A . n+B . n﹣C . n+D . n+4. （2分） (2016高三上·黑龙江期中) 已知定义在R上的函数f（x）为偶函数，且满足f（x）=f（x+2），f（﹣1）=1，若数列{an}的前n项和Sn满足2Sn=an+1 ， a1= ，则f（a5）+f（a6）=（）A . 4B . 2C . 1D . 05. （2分） (2016高二上·湖州期末) 若不等式x+ ≤a（x+2y）对任意的正实数x，y都成立，则实数a的最小值是（）A .B .C .D .6. （2分） (2017高二下·原平期末) 已知为数列的前项和且，则的值为（）A . 8B . 10C . 16D . 327. （2分）在中，，则ｂ等于（）A .B .C .D .8. （2分） (2019高一上·水富期中) 函数有四个零点，则的取值范围为（）A .B .C .D .9. （2分）(2016·安庆模拟) 若实数a，b满足，则的最大值为（）A . 1B .C .D . 210. （2分）在三角形ABC中，A=120°，AB=5，BC=7，则的值为（）A .B .C .D .11. （2分） (2016高一下·老河口期中) 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足bcosC=a，则△ABC的形状是（）A . 等边三角形B . 锐角三角形C . 直角三角形D . 钝角三角形12. （2分）某人为了观看2014年世界杯，在2007年1月1日到银行存入a元定期储蓄，若年利率为P，且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2013年年底将所有存款和利息全部取回，则可取回的钱的总数（元）为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）如图，已知点D在△ABC的BC边上，且∠DAC=90°，cosC= ，AB=6，BD= ，则ADsin∠BAD=________．14. （1分）(2013·广东理) 在等差数列{an}中，已知a3+a8=10，则3a5+a7=________．15. （1分） (2017高二下·呼伦贝尔开学考) 若关于x的不等式x2﹣4x+a2≤0的解集是空集，则实数a的取值范围是________．16. （1分） (2017高一下·南京期末) 若实数x，y满足x＞y＞0，且 + =1，则x+y的最小值为________．三、解答题 (共6题；共36分)17. （5分）在等比数列{an}中，a5=， q=﹣，求S7 ．18. （10分） (2018高一下·通辽期末) 若数列是公差大于零的等差数列，数列是等比数列，且,.（1）求数列和的通项公式；（2）设数列的前项和为 ,求的最大值.19. （1分）关于x的不等式0≤x2+px+q≤1的解集为[3，4]，则p+q=________．20. （5分）画出不等式组表示的平面区域．21. （10分）(2017·太原模拟) 已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，a=2bcosB，b≠c．（1）证明：A=2B；（2）若a2+c2=b2+2acsinC，求A．22. （5分） (2018高二上·黑龙江期末) 已知关于的二次函数（Ⅰ）设集合和，分别从集合中随机取一个数作为和，在区间上是增函数的概率．（Ⅱ）设点是区域内的随机点，求函数在区间上是增函数的概率．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共36分)17-1、18-1、18-2、19-1、20-1、21-1、21-2、22-1、。
安徽省合肥一中高二数学上学期第一次段考试卷 理(含解析)-人教版高二全册数学试题
2015-2016学年某某省某某一中高二（上）第一次段考数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．如果直线a和直线b是异面直线，直线c∥a，那么直线b与c( )A．异面 B．相交 C．平行 D．异面或相交2．若用m，n表示两条不同的直线，用α表示一个平面，则下列命题正确的是( ) A．若m∥n，n⊂α，则m∥αB．若m∥α，n⊂α，则m∥nC．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n3．利用斜二测画法画一个水平放置的平面四边形的直观图，得到的直观图是一个边长为1的正方形（如图所示），则原图形的形状是( )A．B．C．D．4．一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能为①长方形；②正方形；③圆；④椭圆．其中正确的是( )A．①② B．②③ C．③④ D．①④5．在空间四边形ABCD中，E，F分别为边AB，AD上的点，且AE：EB=AF：FD=1：4，又H，G 分别为BC，CD的中点，则( )A．BD∥平面EFG，且四边形EFGH是矩形B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是菱形D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形6．中心角为135°的扇形，其面积为S1，其围成的圆锥的全面积为S2，则=( ) A．B．C．D．7．自半径为R的球面上一点M，引球的三条两两垂直的弦MA、MB、MC，则MA2+MB2+MC2等于( ) A．R2B．2R2C．4R2D．8R28．正四棱锥S﹣ABCD的侧棱长为，底面边长为，E为SA的中点，则异面直线BE和SC 所成的角为( )A．30° B．45° C．60° D．90°9．棱长为2的正方体被一平面截得的几何体的三视图如图所示，那么被截去的几何体的体积是( )A．B．C．4 D．310．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )A．B．16π C．9πD．11．某几何体中的一条线段长为，在该几何体的正视图中，这条线段的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a+b的最大值为( )A．B．C．4 D．12．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=，BC=AA1=1，点M为AB1的中点，点P为对角线AC1上的动点，点Q为底面ABCD上的动点（点P、Q可以重合），则MP+PQ的最小值为( ) A．B．C．D．1二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为__________．14．长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=4，AD=3，AA1=2，则AC1与BD所成角的余弦值为__________．15．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1、S2，体积分别为υ1，υ2，若它们的侧面积相等，且的值为__________．16．由空间一点O出发的四条射线两两所成的角相等，则这个角的余弦值为__________．三、解答题（共6小题，满分70分）17．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为C1D1，B1C1的中点，AC∩BD=P，A1C1∩EF=Q，求证：（1）D、B、F、E四点共面；（2）若A1C∩平面DBFE=R，则P、Q、R三点共线．18．如图所示，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别为AB、PC的中点，平面PAD∩平面PBC=l．（1）判断BC与l的位置关系，并证明你的结论；（2）判断MN与平面PAD的位置关系，并证明你的结论．19．一个圆锥的底面半径为2cm，高为6cm，其中有一个高为xcm的内接圆柱．（1）求圆锥的侧面积；（2）当x为何值时，圆柱的侧面积最大？并求出最大值．20．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．（1）若正方体的棱长为1，求三棱锥B1﹣A1BE的体积；（2）在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥面A1BE？若存在，试确定点F的位置，并证明你的结论．21．如图所示，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，E，F分别是BC，A1D1的中点．（1）求证：四边形B1EDF为菱形；（2）求A1C与DE所成的角的余弦值．22．如图，三棱锥A﹣BCD中，对棱AB与CD所成角为60°，且AB=CD=α，该三棱锥被一平面所截，截面为平行四边形EFGH．（1）求证：CD∥平面EFGH；（2）E在AD的何处时，截面面积最大？并求面积的最大值；（3）求证：四边形EFGH的周长为定值．2015-2016学年某某省某某一中高二（上）第一次段考数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．如果直线a和直线b是异面直线，直线c∥a，那么直线b与c( )A．异面 B．相交 C．平行 D．异面或相交【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】直线b和c有可能在同一平面上，也有可能不在同一平面上，如果b和c在同一平面上的话，二者的位置关系为相交；如果b和c不在同一平面上，二者的位置关系为异面．【解答】解：∵直线a与b是异面直线，直线c∥a，∴直线b和c有可能在同一平面上，也有可能不在同一平面上，如果b和c在同一平面上的话，二者的位置关系为相交；如果b和c不在同一平面上，二者的位置关系为异面．故选：D．【点评】本题考查两条直线的位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．2．若用m，n表示两条不同的直线，用α表示一个平面，则下列命题正确的是( ) A．若m∥n，n⊂α，则m∥αB．若m∥α，n⊂α，则m∥nC．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】在A中，m∥α或m⊂α；在B中，m与n平行或异面；在C中，m与n相交、平行或异面；在D中，由直线与平面垂直的性质得m∥n．【解答】解：由m，n表示两条不同的直线，用α表示一个平面，知：若m∥n，n⊂α，则m∥α或m⊂α，故A错误；若m∥α，n⊂α，则m与n平行或异面，故B错误；若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或异面，故C错误；若m⊥α，n⊥α，则由直线与平面垂直的性质得m∥n，故D正确．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．3．利用斜二测画法画一个水平放置的平面四边形的直观图，得到的直观图是一个边长为1的正方形（如图所示），则原图形的形状是( )A．B．C．D．【考点】斜二测法画直观图．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】利用斜二测画法的过程把给出的直观图还原回原图形，即找到直观图中正方形的四个顶点在原图形中对应的点，用直线段连结后得到原四边形．【解答】解：还原直观图为原图形如图，故选：A．【点评】本题考查了平面图形直观图的画法，解答的关键是熟记斜二测画法的要点和步骤，从而还原得到原图形．4．一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能为①长方形；②正方形；③圆；④椭圆．其中正确的是( )A．①② B．②③ C．③④ D．①④【考点】简单空间图形的三视图．【分析】本题给出了正视图与侧视图，由所给的数据知凭据三视图的作法规则，来判断侧视图的形状，由于正视图中的长与侧视图中的长不一致，此特征即是判断俯视图开关的关键，由此标准对四个可选项依次判断即可．【解答】解：由题设条件知，正视图中的长与侧视图中的长不一致，对于①，俯视图是长方形是可能的，比如此几何体为一个长方体时，满足题意；对于②，由于正视图中的长与侧视图中的长不一致，故俯视图不可能是正方形；对于③，由于正视图中的长与侧视图中的长不一致，故俯视图不可能是圆形；对于④，如果此几何体是一个椭圆柱，满足正视图中的长与侧视图中的长不一致，故俯视图可能是椭圆．综上知②③是不可能的图形故选B【点评】本题考点是简单空间图形的三视图，考查根据作三视图的规则来作出三个视图的能力，三视图的投影规则是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”．三视图是高考的新增考点，不时出现在高考试题中，应予以重视5．在空间四边形ABCD中，E，F分别为边AB，AD上的点，且AE：EB=AF：FD=1：4，又H，G 分别为BC，CD的中点，则( )A．BD∥平面EFG，且四边形EFGH是矩形B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是菱形D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形【考点】棱锥的结构特征．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由已知得EF∥BD．由此能证明EF∥平面BCD．由已知条件推导出HG∥BD．HG∥EF．EF≠HG．从而得到四边形EFGH为梯形．【解答】解：如图所示，在平面ABD内，∵AE：EB=AF：FD=1：4，∴EF∥BD．又BD⊂平面BCD，EF⊄平面BCD，∴EF∥平面BCD．又在平面BCD内，∵H，G分别是BC，CD的中点，∴HG∥BD．∴HG∥EF．又，∴EF≠HG．在四边形EFGH中，EF∥HG且EF≠HG，∴四边形EFGH为梯形．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时发注意空间思维能力的培养．6．中心角为135°的扇形，其面积为S1，其围成的圆锥的全面积为S2，则=( ) A．B．C．D．【考点】弧度制的应用．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】设扇形半径为1，l为扇形弧长，也为圆锥底面周长，由扇形面积公式求得侧面积，再利用展开图的弧长为底面的周长，求得底面半径，进而求底面面积，从而求得表面积，最后两个结果取比即可．【解答】解：设扇形半径为1，则扇形弧长为1×=，设围成圆锥的底面半径为r，则2πr=，r=，扇形的面积S1=×1×=，圆锥的表面积S2=S1+πr2=+=，∴=．故选：C．【点评】本题主要考查圆锥的侧面积和表面积的求法，同时，还考查了平面与空间图形的转化能力，属基础题．7．自半径为R的球面上一点M，引球的三条两两垂直的弦MA、MB、MC，则MA2+MB2+MC2等于( ) A．R2B．2R2C．4R2D．8R2【考点】球内接多面体．【专题】计算题．【分析】由题意知，此四点组成的三个线段恰好是长方体同一个顶点出发的三条棱，体对角线就外接球球的直径．【解答】解：由题意，MA、MB、MC两两互相垂直，故三个线段是一个长方体共顶点的三条棱，此长方体的体对角线恰好是外接球的直径，∵A、B、C、M是半径为R的球面上的四点，∴球的直径是2R，∴AB2+AC2+AD2=4R2．故选C．【点评】本题考查球内接多面体，解题的关键是能理解出球的内接长方体的体对角线就是直径，考查计算能力．8．正四棱锥S﹣ABCD的侧棱长为，底面边长为，E为SA的中点，则异面直线BE和SC 所成的角为( )A．30° B．45° C．60° D．90°【考点】异面直线及其所成的角．【专题】计算题．【分析】接底面正方形ABCD对角线AC、BD，取底面ABCD对角线AC的中点F，连接EF，BD，说明EF与BE的成角是BE与SC的成角，通过在△BFE中根据余弦定理，BF2=EF2+BE2﹣2EF•BEcos∠BEF，求出cos∠BEF解得异面直线BE与SC所成角的大小．【解答】解：连接底面正方形ABCD对角线AC、BD，取底面ABCD对角线AC的中点F，连接EF，BD，EF是三角形ASC的中位线，EF∥SC，且EF=SC，则EF与BE的成角是BE与SC的成角，BF=，AB=，EF=，三角形SAB是等腰三角形，从S作SG⊥AB，cosA===，根据余弦定理，BE2=AE2+AB2﹣2AE•AB•cosA=2，BE=，在△BFE中根据余弦定理，BF2=EF2+BE2﹣2EF•BEcos∠BEF，cos∠BEF=，∠BEF=60°；异面直线BE与SC所成角的大小60°．故选C．【点评】本题考查异面直线及其所成的角，考查计算能力，是基础题．9．棱长为2的正方体被一平面截得的几何体的三视图如图所示，那么被截去的几何体的体积是( )A．B．C．4 D．3【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，该几何体为正方体沿体对角线截成．【解答】解：该几何体为正方体沿体对角线截成，其分成两部分的几何体的体积相等，而正方体的体积V=23=8，故被截去的几何体的体积是=4，故选C．【点评】三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，本题考查了学生的空间想象力，识图能力及计算能力．10．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )A．B．16π C．9πD．【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记为O，求出PO1，OO1，解出球的半径，求出球的表面积．【解答】解：设球的半径为R，则∵棱锥的高为4，底面边长为2，∴R2=（4﹣R）2+（）2，∴R=，∴球的表面积为4π•（）2=．故选：A．【点评】本题考查球的表面积，球的内接几何体问题，考查计算能力，是基础题．11．某几何体中的一条线段长为，在该几何体的正视图中，这条线段的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a+b的最大值为( )A．B．C．4 D．【考点】简单空间图形的三视图．【专题】计算题；压轴题．【分析】设棱长最长的线段是长方体的对角线，由题意所成长方体的三度，求出三度与面对角线的关系，利用基本不等式即可求出a+b的最大值【解答】解：结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算．如图设长方体的长宽高分别为m，n，k，由题意得，⇒n=1，所以（a2﹣1）+（b2﹣1）=6⇒a2+b2=8，∴（a+b）2=a2+2ab+b2=8+2ab≤8+a2+b2=16⇒a+b≤4当且仅当a=b=2时取等号．故选C．【点评】本题是基础题，考查长方体的对角线与三视图的关系，长方体的三度与面对角线的关系，基本不等式在求最值中的应用，考查空间想象能力，计算能力，常考题型．12．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=，BC=AA1=1，点M为AB1的中点，点P为对角线AC1上的动点，点Q为底面ABCD上的动点（点P、Q可以重合），则MP+PQ的最小值为( ) A．B．C．D．1【考点】点、线、面间的距离计算；多面体和旋转体表面上的最短距离问题．【专题】空间位置关系与距离．【分析】画出图形，利用折叠与展开法则同一个平面，转化折线段为直线段距离最小，转化求解MP+PQ的最小值．【解答】解：由题意，要求MP+PQ的最小值，就是P到底面ABCD的距离的最小值与MP的最小值之和，Q是P在底面上的射影距离最小，展开三角形ACC1与三角形AB1C1，在同一个平面上，如图，易知∠B1AC1=∠C1AC=30°，AM=，可知MQ⊥AC时，MP+PQ的最小，最小值为：=．故选：C．【点评】本题考查最小值的求解，考查空间想象能力以及学生的计算能力，难度比较大．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为38+2π．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图分析出组合体是由一个圆柱和一个长方体构成．算出两个几何体的表面积，再减去2倍的圆柱的下底面积即得．【解答】解：根据三视图可得长方体的长宽高分别为4，3，1．圆柱的半径为1，高为1．则长方体表面积=2x（4x3+4x1+3x1）=38圆柱的表面积=2π×1×1+2×π×12=4π．所以组合体的表面积=38+4π﹣2π=38+2π．故答案为38+2π．【点评】本题考查了通过三视图求出圆柱和长方体的表面积，属于基础题．14．长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=4，AD=3，AA1=2，则AC1与BD所成角的余弦值为．【考点】异面直线及其所成的角．【专题】空间角．【分析】连结AC、BD，交于点O，则O是AC的中点，取CC1的中点O，连结OP，由三角形中位线定理得OP∥AC1，从而∠BOP是AC1与BD所成角（或所成角的补角），由此利用余弦能求出AC1与BD所成角的余弦值．【解答】解：连结AC、BD，交于点O，则O是AC的中点，取CC1的中点O，连结OP，由三角形中位线定理得OP∥AC1，∴∠BOP是AC1与BD所成角（或所成角的补角），∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=4，AD=3，AA1=2，∴OB=OC==，PC=，OP==，BP==，∴cos∠BOP===．∴AC1与BD所成角的余弦值为．故答案为：．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意余弦定理的合理运用．15．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1、S2，体积分别为υ1，υ2，若它们的侧面积相等，且的值为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】设两个圆柱的底面半径分别为R，r，高分别为H，h，由=，得=，由它们的侧面积相等，得=，由此能求出．【解答】解：设两个圆柱的底面半径分别为R，r，高分别为H，h，∵=，∴=，∵它们的侧面积相等，∴=1，∴=，∴==（）2×=．故答案为：．【点评】本题考查两个圆柱的体积的比值的求法，是中档题，解题时要注意圆柱的体积和侧面积计算公式的合理运用．16．由空间一点O出发的四条射线两两所成的角相等，则这个角的余弦值为﹣．【考点】异面直线及其所成的角．【专题】空间角．【分析】构造正四面体ABCD中，中心O到各顶点连线所夹的角相等，则∠AOD就为所求的角，由此能求出这个角的余弦值．【解答】解：如图，正四面体ABCD中，中心O到各顶点连线所夹的角相等，则∠AOD就为所求的角，设正四面体ABCD的棱长为a，作AE⊥面BCD，垂足为E，作BF⊥CD，交CD于F，则O∈AE，E∈AF，连结AF，则BF==，BE=，AE==，设OA=OB=r，则OE=，则，解得r=，∴cos∠AOD===﹣．∴这个角的余弦值为﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法、余弦定理的合理运用．三、解答题（共6小题，满分70分）17．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为C1D1，B1C1的中点，AC∩BD=P，A1C1∩EF=Q，求证：（1）D、B、F、E四点共面；（2）若A1C∩平面DBFE=R，则P、Q、R三点共线．【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】（1）由已知得EF∥D1B1，BB1∥DD1、BB1=DD1，从而BB1D1D是平行四边形，从而EF∥DB，由此能证明D、B、F、E共面．（2）由已知得EF是平面AA1C1C和平面DBFE的交线，R是EF是平面AA1C1C和平面DBFE的一个公共点，由此能证明P、Q、R三点共线．【解答】证明：（1）∵E、F分别为C1D1，B1C1的中点，∴EF是△B1C1D1的中位线，∴EF∥D1B1，∵ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，∴BB1∥DD1、BB1=DD1，∴BB1D1D是平行四边形，∴DB∥DB1，∴EF∥D1B1，∴EF∥DB，∴D、B、F、E共面．（2）∵AC∩BD=P，A1C1∩EF=Q，∴EF是平面AA1C1C和平面DBFE的交线，∵A1C交平面DBFE于R点，∴R是EF是平面AA1C1C和平面DBFE的一个公共点，PQ是AA1C1C与平面DBFE的交线，R是平面AA1C1C与平面DBFE的交点，∵两相交平面的所有公共点都在这两平面的交线上，∴P、Q、R三点共线．【点评】本题考查四点共面的证明，考查三点共线的证明，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．18．如图所示，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别为AB、PC的中点，平面PAD∩平面PBC=l．（1）判断BC与l的位置关系，并证明你的结论；（2）判断MN与平面PAD的位置关系，并证明你的结论．【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（1）由AD∥BC，可得BC∥平面PAD，再利用线面平行的性质可得BC∥l；（2）取CD的中点Q，连接MQ、NQ，可证平面MNQ∥平面PAD，再由面面平行的性质得线面平行．【解答】解：（1）结论：BC∥l．证明：∵AD∥BC，BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，∴BC∥平面PAD．又∵BC⊂平面PBC，平面PAD∩平面PBC=l，∴BC∥l．（2）结论：MN∥平面PAD．证明：取CD的中点Q，连结NQ，MQ，则NQ∥PD，MQ∥AD，又∵NQ∩MQ=Q，PD∩AD=D，∴平面MNQ∥平面PAD．又∵MN⊂平面MNQ，∴MN∥平面PAD．【点评】本题考查了线面平行的判定与性质，考查了面面平行的判定与性质，体现了线线、线面、面面平行关系的相互转化，要熟记相关定理的条件．19．一个圆锥的底面半径为2cm，高为6cm，其中有一个高为xcm的内接圆柱．（1）求圆锥的侧面积；（2）当x为何值时，圆柱的侧面积最大？并求出最大值．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】计算题；数形结合；函数思想；立体几何．【分析】（1）求出圆锥的母线长，利用侧面积公式求解即可．（2）由（1）由题意作出几何体的轴截面，根据轴截面和比例关系列出方程，求出圆柱的底面半径，再表示出圆柱的侧面积；根据基本不等式求出侧面面积的最大值．【解答】解：（1）母线长为：=（cm），所以圆锥的侧面积S=πrl=4．（cm2）．（2）设所求的圆柱的底面半径为r，它的轴截面如图：由图得，=，即r=2﹣．∴S圆柱侧=2πrx=2π（2﹣）x=4πx﹣x2≤=6π当且仅当x=3时取等号，∴当圆柱的高为3cm时，它的侧面积最大为6πcm2．【点评】本题的考点是简单组合体的面积问题，关键是作出轴截面，求出长度之间的关系式，表示出面积后利用函数的思想求出最值，考查了数形结合思想和函数思想．20．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．（1）若正方体的棱长为1，求三棱锥B1﹣A1BE的体积；（2）在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥面A1BE？若存在，试确定点F的位置，并证明你的结论．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的性质．【专题】综合题；转化思想；综合法；立体几何．【分析】（1）利用等体积转换，即可求三棱锥B1﹣A1BE的体积；（2）设AB1∩A1B=O，取C1D1中点F，连接OE、EB、B1F．根据三角形中位线定理，得EF∥C1D 且EF=C1D，平行四边形AB1C1D中，有B1O∥C1D且B1O=C1D，从而得到EF∥B1O且EF=B1O，四边形B1OEF为平行四边形，B1F∥OE，所以B1F∥平面A1BE，即存在C1D1中点F，使B1F∥平面A1BE．【解答】解：（1）===（2）当点F为C1D1中点时，可使B1F∥平面A1BE．证明如下：∵△C1D1D中，EF是中位线，∴EF∥C1D且EF=C1D，设AB1∩A1B=O，则平行四边形AB1C1D中，B1O∥C1D且B1O=C1D，∴EF∥B1O且EF=B1O，∴四边形B1OEF为平行四边形，B1F∥OE．∵B1F⊄平面A1BE，OE⊂平面A1BE，∴B1F∥平面A1BE．【点评】本题在正方体中，证明面面垂直并且探索线面平行的存在性，着重考查了正方体的性质、线面平行的判定，以及线面垂直、面面垂直的判定与性质、考查三棱锥B1﹣A1BE的体积等知识，属于中档题．21．如图所示，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，E，F分别是BC，A1D1的中点．（1）求证：四边形B1EDF为菱形；（2）求A1C与DE所成的角的余弦值．【考点】异面直线及其所成的角；棱柱的结构特征．【专题】计算题；证明题；转化思想．【分析】（1）要证四边形B1EDF为菱形，只要先证其是平行四边形，再说明邻边相等即可，根据正方体的性质易证；（2）根据异面直线所成角的定义，把直线A1C平移和直线DE相交，找到异面直线A1C与DE 所成的角，解三角形即可求得结果．【解答】解：（1）证明：取AD中点H，连接BH，FH，易证：FHBB1为矩形，因此，FB1∥BH，且FB1=BH，．又∵正方形ABCD中BH∥DE且BH=DE，∴FB1∥DE，FB1=DE，∴FB1ED为平行四边形．又∵FD=DE==a，∴四边形B1EDF为菱形．（2）连接AC交DE于点O，则===．过O点作OM∥A1C交AA1于点M，则∠MOD或其补角为DE与A1C所成的角．在△MOD中，OD=DE=×a=a，MO=A1C=×a=a，MD==a，cos∠MOD=．∴A1C与DE所成的角的余弦值等于．【点评】此题是个中档题．考查异面直线所成的角和棱柱的结构特征，以及解决异面直线所成的角的方法（平移法）的应用，体现了转化的思想和数形结合的思想方法．22．如图，三棱锥A﹣BCD中，对棱AB与CD所成角为60°，且AB=CD=α，该三棱锥被一平面所截，截面为平行四边形EFGH．（1）求证：CD∥平面EFGH；（2）E在AD的何处时，截面面积最大？并求面积的最大值；（3）求证：四边形EFGH的周长为定值．【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（1）由已知得EF∥GH，从而EF∥平面BCD，进而EF∥CD，由此能证明CD∥平面EFGH．（2）设=x，则S=ax•（1﹣x）asin60°=，由此能求出E为AD的中点时截面面积最大，并能求出面积的最大值．（3）四边形EFGH的周长：C=2（EF+EH），由此能证明四边形EFGH的周长为定值．【解答】（1）证明：∵四边形EFGH为平行四边形，∴EF∥GH，又GH⊂平面BCD，EF⊄平面BCD，∴EF∥平面BCD，∵平面ACD∩平面BCD=CD，EF⊂平面ACD，∴EF∥CD，∵EF⊂平面EFGH，CD⊄平面EFGH，∴CD∥平面EFGH．（2）解：设=x，则EF=xCD=ax，EH=（1﹣x）AB=（1﹣x）a，∠FEH=60°，∴S=ax•（1﹣x）asin60°=，当x=时，，∴E为AD的中点．（3）证明：由（2）知，四边形EFGH的周长：C=2（EF+EH）=2=2a为定值．【点评】本题考查线面平行的证明，考查截面面积最大时点的位置的确定，考查四边形EFGH 的周长为定值的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．。
2014-2015学年第一学期一中高二文科期中考试试卷
合肥一中2014-2015学年第一学期高二期中数学（文）试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 .0y a -+=（a 为常数）的倾斜角为（ ） A 30B 60C 150D 1202 .已知直线l 经过点(2,5)P -,且斜率为34-，则直线l 的方程为（ ） A 34140x y +-= B 34140x y -+= C 43140x y +-= D 43140x y -+=3 .如图，某简单几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，其体积为4π，则该几何体的俯视图可以是（ ）A B C D4. 如图是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图,,,A B C 是展开图上的三点，则在正方体盒子中，ABC ∠的值为（ ）A 30B 45C 60D 905.在空间四边形ABCD 中，E,F 分别是AB ，AD 的中点，::1:4AE EB AF FD ==,H,G 分别为,BC CD 的中点，则（ ）A ||EFG BD 平面,且四边形EFGH 是平行四边形B EF||BCD 平面,且四边形EFGH 是梯形C HG ||平面ABD ,且四边形EFGH 是平行四边形 D EH ||平面ADC ,且四边形EFGH 是梯形6.如图在四面体D ABC -中，若,AB CB AD CD ==，E 是AC 的中点，则下列正确的是（ ）A ⋅平面ABC ⊥平面ABDB ⋅平面ABD ⊥平面BDC C ⋅平面ABC ⊥平面BDED ⋅平面ABC ⊥平面ADC7.直线l 过点()1,2-且与直线2340x y -+=垂直，则l 的方程是（ ）.3210A x y +-= .3270B x y ++= .2350C x y -+= .2380D x y -+=8.若直线y kx =与圆()2221x y -+=的两个交点关于直线20x y b ++=对称，则,k b 的值分别为（ ）1.,42A k b ==- 1.,42B k b =-= 1.,42C k b == 1.,42D k b =-=-9.如图，在正四棱柱1111ABCD A BC D -中，,E F 分别是11,AB BC 的中点，则下列结论不成立的（ ）.A EF 与1BB 垂直 .B EF 与BD 垂直 .C EF 与CD 异面 .D EF 与11AC 垂直10.两条直线2,2y x a y x a =+=+的交点p 在圆()()22114x y -+-=的内部，则实数a的取值范围是（ ）1.,15A ⎛⎫- ⎪⎝⎭()1.,1,5B ⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭1.[,1)5C - [)1.,1,5D ⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
安徽省合肥一中、168中学2014-2015学年高二上学期期末数学(理)试题
合肥一中、168中学2014-2015学年高二上学期期末模拟数学试卷本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，全卷满分100分，考试时间100分钟。
考生注意事项：必须在标号所指示的答题卷上答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。
一、 选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求1.在直角坐标系中，直线033=-+y x 的倾斜角是（ ） A ．6πB ．3π C ．65πD ．32π 2.命题“存在∈0x R ，02x ≤0”的否定是( )A ．不存在∈0x R, 02x >0 B ．存在∈0x R, 02x ≥0C ．对任意的∈x R, 2x≤0 D ．对任意的∈x R, 2x>03.已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“βα⊥”是“β⊥m ”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知椭圆1254122=+y x 的两个焦点为1F 、2F ，弦AB 过点1F ，则△2ABF 的周长为（ ） A ．10 B ．20 C ．241 D ． 4145.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于( ) A ． 4 B ． 6 C ．8 D ．126.在平行六面体1111D C B A ABCD -中，若11===AD AB AA ， 6011=∠=∠=∠BAD AB A AD A ，则直线1AC 与平面ABCD 所成的角的余弦值为( )第5题图A.32 B.322 C.33 D.367.椭圆141622=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是（ ） A.3 B.11 C.22 D.108.已知抛物线x y 42=上两个动点B 、C 和点A(1,2),且090=∠BAC ，则动直线BC 必过定点（ ）A. (2,5)B. (-2,5)C. (5,-2)D. (5,2) 二.填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分9.若圆C 与圆1)1()2(22=-++y x 关于坐标原点对称，则圆C 的方程是____________________________10.如图，在四棱锥ABCD O -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，ABCD OA 底面⊥，2=OA ，M 为OA 的中点．则异面直线OB 与MD 所成角余弦值为_______________11.P 为单位正方体1111D C B A ABCD -内（含正方体表面）任意一点，则AC AP ⋅的最大值为_____________________12.光线由点P(2,3)射到直线1-=+y x 上,反射后过点Q(1,1),则反射光线所在直线方程为_________________________13.在三棱锥P-ABC 中，给出下列四个命题：① 如果PA ⊥BC ，PB ⊥AC ，那么点P 在平面ABC 内的射影是∆ABC 的垂心；② 如果点P 到∆ABC 的三边所在直线的距离都相等，那么点P 在平面ABC 内的射影是∆ABC的内心；③ 如果棱PA 和BC 所成的角为60︒,PA=BC=2,E 、F 分别是棱PB 、AC 的中点,那么EF=1； ④ 如果三棱锥P-ABC 的各棱长均为1,则该三棱锥在任意一个平面内的投影的面积都不大于12； 其中正确命题的序号是____________ 三、解答题: 本大题共5小题，共48分第10题图如图所示，已知圆M A y x C ),0,1(,8)1(:22定点=++为圆上一动点，点P 在线段AM 上，点N 在CM 上，且满足N 点,0,2=⋅=15.(本小题满分8分）圆锥SO 的侧面展开图为如图所示的半径为4的半圆，半圆中∠ASC ＝045. ①圆锥SO 的体积；②在圆锥母线SC 上是否存在一点E ，使得OEA SC 平面⊥，若存在，求此时EC SE∶的值；若不存在，说明理由.16.(本小题满分12分）如图ABCD 为正方形，ABCD VD 平面⊥,VD=AD=2,F 为VA 中点，E 为CD 中点. ①求证：VEB DF平面//；②求平面VEB 与平面VAD 所成二面角的余弦值；③V 、D 、C 、B 四点在同一个球面上，所在球的球面面积为S ，求S.第14题图CAC第15题图在平面直角坐标系中，已知：)4,0(),0,3(B A ，O 为坐标原点，以点P 为圆心的圆P 半径为1.①点P 坐标为P （1，2），试判断圆P 与OAB ∆三边的交点个数；②动点P 在OAB ∆内运动，圆P 与OAB ∆的三边有四个交点，求P 点形成区域的面积.18.(本小题满分12分）已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的离心率为3，右准线方程为33=x（Ⅰ）求双曲线C 的方程；（Ⅱ）设直线l 是圆O ：222r y x =+上动点)0)(,(0000≠y x y x P 处的切线，l 与双曲线C 交于不同的两点A,B ，是否存在实数r 使得AOB ∠始终为090。
安徽省合肥一中、合肥六中、北城中学联考2015-2016学年高二上学期期末数学试卷(理科)
2015-2016学年安徽省合肥一中、合肥六中、北城中学联考高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β“是“α∥β”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2．已知双曲线﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．4．设l、m、n为不同的直线，α、β为不同的平面，有如下四个命题，其中正确命题的个数是（）①若α⊥β，l⊥α，则l∥β②若α⊥β，l⊂α，则l⊥β③若l⊥m，m⊥n，则l∥n④若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n．A．4 B．3 C．2 D．15．直线x+（a2+1）y+1=0（a∈R）的倾斜角的取值范围是（）A．[0，] B．[，π）C．[0，]∪（，π） D．[，）∪[，π）6．如果圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=8上总存在两个点到原点的距离为，则实数a的取值范围是（）A．（﹣3，﹣1）∪（1，3）B．（﹣3，3）C．[﹣1，1] D．（﹣3，﹣1]∪[1，3）7．已知M={（x，y）|x2+2y2=3}，N={（x，y）|y=mx+b}．若对于所有的m∈R，均有M∩N ≠∅，则b的取值范围是（）A．B．C．D．8．如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，，AB=AC=A1A=1，已知G与E分别是棱A1B1和CC1的中点，D与F分别是线段AC与AB上的动点（不包括端点）．若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围是（）A．[，1）B．[，2）C．[1，）D．[，）9．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=60°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC 体积的最大值为，则球O的表面积为（）A．36πB．64πC．144π D．256π10．如图抛物线C1：y2=2px和圆C2： +y2=，其中p＞0，直线l经过C1的焦点，依次交C1，C2于A，B，C，D四点，则•的值为（）A．B．C．D．P211．椭圆的两焦点为F1（﹣c，0）、F2（c，0），P为直线上一点，F1P的垂直平分线恰过F2点，则e的取值范围为（）A．B．C．D．12．如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD折成△A1CD，所成二面角A1﹣CD﹣B的平面角为α，则（）A．∠A1CB≥αB．∠A1DB≤αC．∠A1DB≥αD．∠A1CB≤α二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题纸相应位置上）．13．若命题“∃x∈R，使得ax2+ax+1≤0”为假命题，则实数a的取值范围为．14．在平面直角坐标系内，已知B（﹣3，3），C（3，﹣3），且H（x，y）是曲线x2+y2=1上任意一点，则•的值为．15．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，以顶点A为球心，为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于．16．椭圆上任意两点P，Q，若OP⊥OQ，则乘积|OP|•|OQ|的最小值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．17．已知p：|1﹣|≤2；q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的必要非充分条件，求实数m的取值范围．18．如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，∠ADC=∠DCB=90°，AD=1，BC=3，PC=CD=2，PC⊥底面ABCD，E为AB的中点．（1）求证：平面PDE⊥平面PAC；（Ⅱ）求直线PC与平面PDE所成的角的正弦值．19．已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0．（1）若不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的方程；（2）从圆C外一点P（x，y）向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求点P的轨迹方程．20．椭圆的离心率为，右焦点到直线的距离为，过M（0，﹣1）的直线l交椭圆于A，B两点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线l交x轴于N，，求直线l的方程．21．在多面体ABCDE中，BC=BA，DE∥BC，AE⊥平面BCDE，BC=2DE，F为AB的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面ACD；（Ⅱ）若EA=EB=CD，求二面角B﹣AD﹣E的正切值的大小．22．如图，已知离心率为的椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点M（2，1），O为坐标原点，平行于OM的直线l交椭圆C于不同的两点A、B．（1）求椭圆C的方程．（2）证明：直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形．2015-2016学年安徽省合肥一中、合肥六中、北城中学联考高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β“是“α∥β”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】m∥β并得不到α∥β，根据面面平行的判定定理，只有α内的两相交直线都平行于β，而α∥β，并且m⊂α，显然能得到m∥β，这样即可找出正确选项．【解答】解：m⊂α，m∥β得不到α∥β，因为α，β可能相交，只要m和α，β的交线平行即可得到m∥β；α∥β，m⊂α，∴m和β没有公共点，∴m∥β，即α∥β能得到m∥β；∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．故选B．2．已知双曲线﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【考点】双曲线的标准方程．【分析】由抛物线标准方程易得其准线方程，从而可得双曲线的左焦点，再根据焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程渐近线方程，得a、b的另一个方程，求出a、b，即可得到双曲线的标准方程．【解答】解：由题意，=，∵抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣，双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，∴c=，∴a2+b2=c2=7，∴a=2，b=，∴双曲线的方程为．故选：D．3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】判断三视图对应的几何体的形状，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可．【解答】解：由三视图可知，几何体是组合体，左侧是三棱锥，底面是等腰三角形，腰长为，高为1，一个侧面与底面垂直，并且垂直底面三角形的斜边，右侧是半圆柱，底面半径为1，高为2，所求几何体的体积为：=．故选：A．4．设l、m、n为不同的直线，α、β为不同的平面，有如下四个命题，其中正确命题的个数是（）①若α⊥β，l⊥α，则l∥β②若α⊥β，l⊂α，则l⊥β③若l⊥m，m⊥n，则l∥n④若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n．A．4 B．3 C．2 D．1【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】①根据面面垂直和线面垂直的性质进行判断．②根据线面垂直的判定定理进行判断．③根据线面垂直和直线平行的性质进行判断．④根据线面平行和面面平行的性质进行判断．【解答】解：①若α⊥β，l⊥α，则l∥β或l⊂β，故①错误，②若α⊥β，l⊂α，则l⊥β或l∥β，故②错误，③若l⊥m，m⊥n，则l∥n或l与n相交或l与n异面，故③错误，④若m⊥α，α∥β，则m⊥β，若n∥β，则m⊥n．故④正确，故正确的是④，故选：D5．直线x+（a2+1）y+1=0（a∈R）的倾斜角的取值范围是（）A．[0，] B．[，π）C．[0，]∪（，π） D．[，）∪[，π）【考点】直线的倾斜角．【分析】由直线的方程得斜率等于，由于0＞﹣≥﹣1，设倾斜角为α，则0≤α＜π，﹣1≤tanα＜0，求得倾斜角α的取值范围．【解答】解：直线x+（a2+1）y+1=0（a∈R）的斜率等于，由于0＞﹣≥﹣1，设倾斜角为α，则0≤α＜π，﹣1≤tanα＜0，∴≤α＜π，故选B．6．如果圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=8上总存在两个点到原点的距离为，则实数a的取值范围是（）A．（﹣3，﹣1）∪（1，3）B．（﹣3，3）C．[﹣1，1] D．（﹣3，﹣1]∪[1，3）【考点】点与圆的位置关系．【分析】圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=8和圆x2+y2=2相交，两圆圆心距大于两圆半径之差、小于两圆半径之和．【解答】解：问题可转化为圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=8和圆x2+y2=2相交，两圆圆心距d==|a|，由R﹣r＜|OO1|＜R+r得，解得：1＜|a|＜3，即a∈（﹣3，﹣1）∪（1，3）故选A．7．已知M={（x，y）|x2+2y2=3}，N={（x，y）|y=mx+b}．若对于所有的m∈R，均有M∩N ≠∅，则b的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】交集及其运算．【分析】由M∩N≠∅，可得y=mx+b与x2+2y2=3有交点，联立方程，利用判别式，即可求得b的取值范围．【解答】解：由题意，∵M∩N≠∅，∴y=mx+b与x2+2y2=3有交点直线方程代入椭圆方程，整理可得（1+2m2）x2+4mbx+2b2﹣3=0∴△=16m2b2﹣4（1+2m2）（2b2﹣3）≥0∴2b2≤3+6m2∵对所有m∈R，均有M∩N≠∅，∴2b2≤3∴﹣≤b≤故选：C．8．如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，，AB=AC=A1A=1，已知G与E分别是棱A1B1和CC1的中点，D与F分别是线段AC与AB上的动点（不包括端点）．若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围是（）A．[，1）B．[，2）C．[1，）D．[，）【考点】点、线、面间的距离计算；棱柱的结构特征．【分析】建立空间直角坐标系，设出F、D的坐标，求出向量，利用GD⊥EF求得关系式，写出DF的表达式，然后利用二次函数求最值即可．【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），E（0，1，），G（，0，1），F（x，0，0），D（0，y，0）由于GD⊥EF，所以x+2y﹣1=0DF===∵0＜x＜1，0＜y＜1，∴0＜y＜，当y=时，线段DF长度的最小值是当y=0时，线段DF长度的最大值是1，而不包括端点，故y=0不能取1；故选A．9．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=60°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC 体积的最大值为，则球O的表面积为（）A．36πB．64πC．144π D．256π【考点】球的体积和表面积．【分析】当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，利用三棱锥O﹣ABC体积的最大值为，求出半径，即可求出球O的表面积．【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时V O﹣ABC =V C﹣AOB=×R=，故R=4，则球O的表面积为4πR2=64π，故选B．10．如图抛物线C1：y2=2px和圆C2： +y2=，其中p＞0，直线l经过C1的焦点，依次交C1，C2于A，B，C，D四点，则•的值为（）A．B．C．D．P2【考点】圆与圆锥曲线的综合．【分析】设抛物线的焦点为F，则|AB|=|AF|﹣|BF|=x1+﹣=x1，同理|CD|=x2，由此能够求出•的值．【解答】解：设抛物线的焦点为F，则|AB|=|AF|﹣|BF|=x1+﹣=x1，同理|CD|=x2，又=|AB||CD|=x1x2=．故选A．11．椭圆的两焦点为F1（﹣c，0）、F2（c，0），P为直线上一点，F1P的垂直平分线恰过F2点，则e的取值范围为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设点P（，m），则由中点公式可得线段PF1的中点K的坐标，根据线段PF1的斜率与KF2的斜率之积等于﹣1，求出m2的解析式，再利用m2≥0，得到3e4+2e2﹣1≥0，求得e的范围，再结合椭圆离心率的范围进一步e的范围．【解答】解：由题意得F1（﹣c，0）），F2（c，0），设点P（，m），则由中点公式可得线段PF1的中点K（，），∴线段PF1的斜率与KF2的斜率之积等于﹣1，∴•=﹣1，∴m2=﹣（+c）•（﹣3c）≥0，∴a4﹣2a2c2﹣3c4≤0，∴3e4+2e2﹣1≥0，∴e2≥，或e2≤﹣1（舍去），∴e≥．又椭圆的离心率0＜e＜1，故≤e＜1，故选：D．12．如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD折成△A1CD，所成二面角A1﹣CD﹣B的平面角为α，则（）A．∠A1CB≥αB．∠A1DB≤αC．∠A1DB≥αD．∠A1CB≤α【考点】二面角的平面角及求法．【分析】设∠ADC=θ，AB=2，则由题意知AD=BD=A1D=1．在空间图形中，连结A1B，设A1B=t．推导出cos∠A1DB=．过A1作A1N⊥DC，过B作BM⊥DC，垂足分别为N、M．过N作NP∥MB，使四边形BPNM为平行四边形，则NP⊥DC．连结A1P，BP，∠A1NP 就是二面角A1﹣CD﹣B的平面角，∠A1NP=α．由此能推导出α≤∠A1DB．【解答】解：设∠ADC=θ，AB=2，则由题意知AD=BD=A1D=1．在空间图形中，连结A1B，设A1B=t．在△A1DB中，cos∠A1DB===．过A1作A1N⊥DC，过B作BM⊥DC，垂足分别为N、M．过N作NP∥MB，使四边形BPNM为平行四边形，则NP⊥DC．连结A1P，BP，则∠A1NP就是二面角A1﹣CD﹣B的平面角，所以∠A1NP=α．在Rt△A1ND中，DN=A1Dcos∠A1DC=cos θ，A1N=A1Dsin∠A1DC=sin θ．同理，BM=PN=sin θ，DM=cos θ，故BP=MN=2cos θ．由题意BP⊥平面A1NP，故BP⊥A1P．在Rt△A1BP中，A1P2=A1B2﹣BP2=t2﹣（2cos θ）2=t2﹣4cos2θ．在△A1NP中，cos α=cos∠A1NP=====．∴cos α﹣cos∠A1DB=cos∠A1DB+﹣cos∠A1DB=cos∠A1DB+=（1+cos∠A1DB）≥0，∴cos α≥cos∠A1DB（当θ=时取等号），∵α，∠A1DB∈[0，π]，而y=cos x在[0，π]上为递减函数，∴α≤∠A1DB．故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题纸相应位置上）．13．若命题“∃x∈R，使得ax2+ax+1≤0”为假命题，则实数a的取值范围为[0，4）．【考点】特称命题．【分析】命题“∃x∈R，使得ax2+ax+1≤0”为假命题，即ax2+ax+1＞0恒成立，分当a=0时和当a≠0时两种情况分别讨论满足条件的a的取值，最后综合讨论结果，可得答案．【解答】解：∵命题“∃x∈R，使得ax2+ax+1≤0”为假命题，∴ax2+ax+1＞0恒成立，当a=0时，1＞0恒成立，满足条件，当a≠0时，若ax2+ax+1＞0恒成立，则，解得：a∈（0，4），综上所述：a∈[0，4），故答案为：[0，4）14．在平面直角坐标系内，已知B（﹣3，3），C（3，﹣3），且H（x，y）是曲线x2+y2=1上任意一点，则•的值为﹣35．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】求出的坐标，计算数量积．【解答】解：=（x+3，y﹣3），=（x﹣3，y+3），∴•=（x+3）（x﹣3）+（y﹣3）（y+3）=x2﹣9+y2﹣27=1﹣36=﹣35．故答案为﹣35．15．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，以顶点A为球心，为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于．【考点】弧长公式．【分析】球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点A所在的三个面上；另一类在不过顶点A的三个面上，且均为圆弧，分别求其长度可得结果．【解答】解：如图，球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点A 所在的三个面上，即面AA1B1B、面ABCD和面AA1D1D上；另一类在不过顶点A的三个面上，即面BB1C1C、面CC1D1D和面A1B1C1D1上．在面AA1B1B上，交线为弧EF且在过球心A的大圆上，因为，AA1=1，则．同理，所以，故弧EF的长为，而这样的弧共有三条．在面BB1C1C上，交线为弧FG且在距球心为1的平面与球面相交所得的小圆上，此时，小圆的圆心为B，半径为，，所以弧FG的长为．这样的弧也有三条．于是，所得的曲线长为．故答案为：16．椭圆上任意两点P，Q，若OP⊥OQ，则乘积|OP|•|OQ|的最小值为ab．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意可设点P（acosθ，bsinθ），其中θ∈[0，]，而且点Q（acos（θ+π2），bsin（θ+π2）），即可得出结论．【解答】解：题意可设点P（acosθ，bsinθ），其中θ∈[0，]，而且点Q（acos（θ+π2），bsin（θ+π2）），即点Q（﹣asinθ，bcosθ），那么|OP|2•|OQ|2=（a2cos2θ+b2sin2θ）•（a2sin2θ+b2cos2θ）=a2b2+14sin22θ，所以当sin2θ=0时，乘积|OP|•|OQ|最小值为ab．故答案为：ab．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．17．已知p：|1﹣|≤2；q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的必要非充分条件，求实数m的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】求出不等式的等价条件，根据充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】解：∵|1﹣|≤2，∴|x﹣4|≤6，即﹣2≤x≤10，∵x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），∴[x﹣（1﹣m）][x﹣（1+m）]≤0，即1﹣m≤x≤1+m，若￢p是￢q的必要非充分条件，即q是p的必要非充分条件，即，即，解得m≥9．18．如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，∠ADC=∠DCB=90°，AD=1，BC=3，PC=CD=2，PC⊥底面ABCD，E为AB的中点．（1）求证：平面PDE⊥平面PAC；（Ⅱ）求直线PC与平面PDE所成的角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．【分析】（I）点C为坐标原点建立空间直角坐标系，求出向量，，的坐标，根据数量积得出DE⊥AC，DE⊥CP，故而DE⊥平面PAC，于是平面PDE⊥平面PAC；（II）求出平面PDE的法向量，计算与的夹角，则直线PC与平面PDE所成的角的正弦值等于|cos＜＞|．【解答】解：（I）以点C为坐标原点，以直线CD，CB，CP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系C﹣xyz，则C（0，0，0），A（2，1，0），B（0，3，0），P（0，0，2），D（2，0，0），E（1，2，0）．∴，，，∴，，∴DE⊥CA，DE⊥CP，又CP∩CA=C，AC⊂平面PAC，CP⊂平面PAC，∴DE⊥平面PAC，∵DE⊂平面PDE，∴平面PDE⊥平面PAC．（Ⅱ），设是平面PDE的一个法向量，则，∴，令x=2，则y=1，z=2，即，∴=4，||=3，||=2，∴cos＜＞==．∴直线PC与平面PDE所成的角的正弦值为．19．已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0．（1）若不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的方程；（2）从圆C外一点P（x，y）向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求点P的轨迹方程．【考点】圆的切线方程；轨迹方程．【分析】（1）把圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标和半径，由直线l不过原点，得到该直线在坐标轴上的截距不为0，设出直线l的截距式方程，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离d，让d等于圆的半径列出关于a的方程，求出方程的解可得到a的值，确定出直线l的方程；（2）由切线的性质，得到三角形PCM为直角三角形，利用勾股定理得到|PC|2=|PM|2+r2，表示出|PM|2，由|PM|=|PO|，进而得到|PO|2，由设出的P的坐标和原点坐标，利用两点间的距离公式表示出|PO|，可得出|PO|2，两者相等，化简可得点P的轨迹方程．【解答】解：（1）将圆C配方得（x+1）2+（y﹣2）2=2．由题意知直线在两坐标轴上的截距不为零，设直线方程为x+y﹣a=0，由=，得|a﹣1|=2，即a=﹣1，或a=3．∴直线方程为x+y+1=0，或x+y﹣3=0；…（2）由于|PC|2=|PM|2+|CM|2=|PM|2+r2，∴|PM|2=|PC|2﹣r2．又∵|PM|=|PO|，∴|PC|2﹣r2=|PO|2，∴（x+1）2+（y﹣2）2﹣2=x2+y2．∴2x﹣4y+3=0即为所求．…20．椭圆的离心率为，右焦点到直线的距离为，过M（0，﹣1）的直线l交椭圆于A，B两点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线l交x轴于N，，求直线l的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；向量在几何中的应用；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）根据右焦点到直线的距离为，可得，利用椭圆的离心率为，可得，从而可得，，故可求椭圆的方程；（Ⅱ）设A （x1，y1），B（x2，y2），N（x0，0），利用，可得x2﹣x0，y2），设直线l的方程为y=kx﹣1（k≠0）．与椭圆方程联立，消去x可得（4k2+1）y2+2y+1﹣8k2=0，由此即可求得直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）设右焦点为（c，0）（c＞0）∵右焦点到直线的距离为，∴∴∵椭圆的离心率为，∴∴∴∴椭圆的方程为；（Ⅱ）设A （x1，y1），B（x2，y2），N（x0，0）∵，∴x2﹣x0，y2）∴①易知直线斜率不存在时或斜率为0时①不成立于是设直线l的方程为y=kx﹣1（k≠0）．与椭圆方程联立，消去x可得（4k2+1）y2+2y+1﹣8k2=0②∴③④由①③可得，代入④整理可得：8k4+k2﹣9=0∴k2=1此时②为5y2+2y﹣7=0，判别式大于0∴直线l的方程为y=±x﹣121．在多面体ABCDE中，BC=BA，DE∥BC，AE⊥平面BCDE，BC=2DE，F为AB的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面ACD；（Ⅱ）若EA=EB=CD，求二面角B﹣AD﹣E的正切值的大小．【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）取AC中点G，连接DG，FG，由已知得四边形DEFG是平行四边形，由此能证明EF∥平面ACD．（Ⅱ）过点B作BM垂直DE的延长线于点M，过M作MH⊥AD，垂足为H，连接BH，则∠BHM是二面角B﹣AD﹣E的平面角，由此能求出二面角B﹣AD﹣E的正切值的大小．【解答】解：（Ⅰ）证明：取AC中点G，连接DG，FG．因为F是AB的中点，所以FG是△ABC的中位线，则FG∥BC，FG=，所以FG∥DE，FG=DE，则四边形DEFG是平行四边形，所以EF∥DG，故EF∥平面ACD．（Ⅱ）解：过点B作BM垂直DE的延长线于点M，因为AE⊥平面BCDE，所以AE⊥BM，则BM⊥平面ADE，过M作MH⊥AD，垂足为H，连接BH，则AD⊥平面BMH，所以AD⊥BH，则∠BHM是二面角B﹣AD﹣E的平面角．设DE=a，则BC=AB=2a，在△BEM中，EM=，BE=，所以BM=．又因为△ADE∽△MDH，所以HM=，则tan∠BHM=．22．如图，已知离心率为的椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点M（2，1），O为坐标原点，平行于OM的直线l交椭圆C于不同的两点A、B．（1）求椭圆C的方程．（2）证明：直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）先由椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为和椭圆过点M（2，1），列出方程组，再由方程组求出a，b，由此能求出椭圆方程．（Ⅱ）由直线l∥OM，设l：y=，将式子代入椭圆C得：x2+2mx+2m2﹣4=0，设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，欲证明直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形．只需证明：k1+k2=0即可．【解答】（Ⅰ）解：设椭圆C的方程为： +=1（a＞b＞0），由题意得：，解得a2=8，b2=2，∴椭圆方程为．（Ⅱ）证明：由直线l∥OM，设l：y=，将式子代入椭圆C得：x2+2mx+2m2﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣2m，，设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，则，，∵k1+k2==1+m•=1+m•=0，故直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形．------------------------------------------------------------------------怎样才能学好数学一、把握好课堂的每一分钟如今的数学教师，都比较重视课堂教学的效益，所以，老师最期盼的事情就是：学生能够专心听讲，眼睛时刻盯在老师身上，或者盯在黑板上。