2020高考数学总复习 函数
2020高考冲刺数学总复习压轴解答：函数、不等式与导数的综合问题(附答案及解析)
专题三 压轴解答题第六关 函数、不等式与导数的综合问题【名师综述】1.本专题在高考中的地位导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点， 所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 2．本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用【考点方向标】方向一 用导数研究函数的性质典例1．（2020·山东高三期末）已知函数21()2ln (2)2f x x a x a x =+-+． （1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间； （2）是否存在实数a ，使函数34()()9g x f x ax x =++在(0,)+∞上单调递增？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．【举一反三】（2020·云南昆明一中高三期末（理））已知函数2()(1)xx f x e ax e =-+⋅，且()0f x …. （1）求a ；（2）证明：()f x 存在唯一极大值点0x ，且()0316f x <.方向二 导数、函数与不等式典例2．（2020·四川省泸县第二中学高三月考）已知函数()sin f x x ax =-.（1）对于(0,1)x ∈，()0f x >恒成立，求实数a 的取值范围； （2）当1a =时，令()()sin ln 1h x f x x x =-++，求()h x 的最大值； （3） 求证：1111ln(1)1231n n n+<+++⋅⋅⋅++-*()n N ∈.【举一反三】（2020·黑龙江哈尔滨三中高三月考）已知111123S n =++⋅⋅⋅+，211121S n =++⋅⋅⋅+-，直线1x =，x n =，0y =与曲线1y x=所围成的曲边梯形的面积为S .其中n N ∈，且2n ≥.（1）当0x >时，()ln 11axx ax x <+<+恒成立，求实数a 的值； （2）请指出1S ，S ，2S 的大小，并且证明；（3）求证：131112lnln 3132313n i n n i i i =+⎛⎫<+-< ⎪+--⎝⎭∑.方向三 恒成立及求参数范围问题典例3．（2020·天津高三期末）已知函数()2ln h x ax x =-+. （1）当1a =时，求()h x 在()()2,2h 处的切线方程； （2）令()()22a f x x h x =+，已知函数()f x 有两个极值点12,x x ，且1212x x >，求实数a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若存在012x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使不等式()()()()20ln 1112ln 2f x a m a a ++>--++对任意a （取值范围内的值）恒成立，求实数m 的取值范围.【举一反三】（2020·江苏高三专题练习）已知函数()(32)xf x e x =-，()(2)g x a x =-，其中,a x R ∈. （1）求过点(2,0)和函数()y f x =的图像相切的直线方程； （2）若对任意x ∈R ，有()()f x g x ≥恒成立，求a 的取值范围； （3）若存在唯一的整数0x ，使得00()()f x g x <，求a 的取值范围.【压轴选编】1．（2020·山西高三开学考试）已知函数()()()222ln ,2ln f x x ax a x a R g x x x x =--+∈=-.（1）讨论()f x 的单调性；（2）求证：当1a =时，对于任意()0,x ∈+∞，都有()()f x g x <.2．（2020·河南鹤壁高中高三月考）已知函数2()ln (0,)a xf x x a a R x a=++≠∈ （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）设1()2a x g x x a a=+-+，当0a >时，证明：()()f x g x ≥.3．（2020·四川石室中学高三月考）已知函数()22ln f x x x =-+．（1）求函数()f x 的最大值； （2）若函数()f x 与()ag x x x=+有相同极值点． ①求实数a 的值；①若对于121,,3x x e ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦（e 为自然对数的底数），不等式()()1211f xg x k -≤-恒成立，求实数k 的取值范围．4．（2020·江西高三）已知函数()()ln f x x x a b =++，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线为210x y --=.（1）求a ，b 的值；（2）若对任意的()1,x ∈+∞，()()1f x m x ≥-恒成立，求正整数m 的最大值.5．（2020·江西高三）已知函数()e 2xf x m x m =--.（1）当1m =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（2）若()0f x >在(0,)+∞上恒成立，求m 的取值范围．6．（2020·江西高三）已知函数()()2xf x x e =-.（1）求()f x 的单调区间；（2）证明：对任意的()0,x ∈+∞，不等式()2ln 6xf x x x >-恒成立.7．（2020·四川高三月考）已知函数21()(32)()2xf x m e x m R =--∈. （1）若0x =是函数()f x 的一个极值点，试讨论()ln ()()h x b x f x b R =+∈的单调性； （2）若()f x 在R 上有且仅有一个零点，求m 的取值范围.8．（2020·山西高三）已知函数()2ln 21f x a x x =-+（其中a R ∈）. （1）讨论函数()f x 的极值；（2）对任意0x >，2()2f x a ≤-恒成立，求a 的取值范围.9．（2020·北京高三期末）已知函数()2xf x x e =（1）求()f x 的单调区间；（2）过点()1,0P 存在几条直线与曲线()y f x =相切，并说明理由； （3）若()()1f x k x ≥-对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围.10．（2020·全国高三专题练习）已知函数()()33114ln 10f f x ax x x '=--的图象在点()()1,1f 处的切线方程为100++=x y b . （1）求a ，b 的值； （2）若()13f x m >对()0,x ∈+∞恒成立，求m 的取值范围.11．（2020·天津静海一中高三月考）已知函数()ln 1()f x ax x a R =--∈． （1）讨论()f x 的单调性并指出相应单调区间； （2）若21())1(2g x x x x f ---=，设()1212,x x x x <是函数()g x 的两个极值点，若32a ≥，且()()12g x g x k -≥恒成立，求实数k 的取值范围．12.（2020·山东高三期末）已知函数()()2sin ln 12x f x x x =+-+.（1）证明：()0f x ≥； （2）数列{}n a 满足：1102a <<，()1n n a f a +=（n *∈N ）. （①）证明：1102a <<（n *∈N ）； （①）证明：n *∀∈N ，1n n a a +<.13．（2020·四川三台中学实验学校高三开学考试）已知函数()ln f x x x a =+，()ln ,g x x ax a =-∈R . （1）求函数()f x 的极值； （2）若10a e<<，其中e 为自然对数的底数，求证：函数()g x 有2个不同的零点； （3）若对任意的1x >，()()0f x g x +>恒成立，求实数a 的最大值.14．（2020·河北高三期末）已知函数()f x 满足:①定义为R ；①2()2()9xx f x f x e e+-=+-. （1）求()f x 的解析式；（2）若12,[1,1]x x ∀∈-；均有()()21122(2)61x a x x f x -+-+-…成立，求a 的取值范围；（3）设2(),(0)()21,(0)f x x g x x x x >⎧=⎨--+≤⎩，试求方程[()]10g g x -=的解.15．（2020·湖南高三月考）已知函数2()()af x x ax a R x=+-∈. （1）当1a =且1x >-时，求函数()f x 的单调区间；（2）当21e a e ≥+时，若函数2()()ln g x f x x x =--的两个极值点分别为1x 、2x ，证明12240()()1g x g x e <-<+.16．（2020·江西高三期末）已知函数2()x f x e ax x =--（e 为自然对数的底数）在点(1,(1))f 的切线方程为(3)y e x b =-+. （1）求实数,a b 的值；（2）若关于x 的不等式4()5f x m >+对于任意(0,)x ∈+∞恒成立，求整数m 的最大值.17．（2020·江西高三期末）已知函数()()()2,xf x x m e nxm n R =--∈在1x =处的切线方程为y ex e =-.（1）求,m n 的值；（2）当0x >时，()3f x ax -…恒成立，求整数a 的最大值.18．（2020·河南高三期末）已知函数()()ln 1mxf x x x m=+-+，()1,0x ∈-. （1）若1m =，判断函数()f x 的单调性并说明理由； （2）若2m ≤-，求证：关于x 的不等式()()()21xx m f x e x-+⋅<-在()1,0-上恒成立.19．（2020·江西高三月考）已知函数32()32f x x x x =-+，()g x tx t R =∈，，()xe x xφ=. （1）求函数()()y f x x φ=⋅的单调增区间；（2）令()()()h x f x g x =-，且函数()h x 有三个彼此不相等的零点0m n ，，，其中m n <. ①若12m n =，求函数()h x 在x m =处的切线方程； ①若对[]x m n ∀∈，，()16h x t ≤-恒成立，求实数M 的取值范围.专题三 压轴解答题第六关 函数、不等式与导数的综合问题【名师综述】1.本专题在高考中的地位导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点， 所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 2．本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用【考点方向标】方向一 用导数研究函数的性质典例1．（2020·山东高三期末）已知函数21()2ln (2)2f x x a x a x =+-+． （1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间； （2）是否存在实数a ，使函数34()()9g x f x ax x =++在(0,)+∞上单调递增？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）()f x 的单调递增区间为(]0,1和[)2,+∞，单调递减区间为()1,2（2）存在,724a ≥ 【解析】（1）当1a =时，21()2ln 3(0)2f x x x x x =+->． 所以2()3f x x x '=+-=232(2)(1)x x x x x x-+--=令()0f x '≥，则01x <≤或2x ≥，令()0f x '<，则12x <<， 所以()f x 的单调递增区间为(]0,1和[)2,+∞，单调递减区间为()1,2 （2）存在724a ≥，满足题设，因为函数34()()9g x f x ax x =++=23142ln 229x a x x x +-+所以224()23a g x x x x '=+-+，要使函数()g x 在0,∞（+）上单调递增，224()20,(0,)3a g x x x x x '=+-≥+∈+∞，即3243660x x x a +-+≥，(0,)x ∈+∞⇔324366x x xa +-≥-，(0,)x ∈+∞ 令32436()6x x x h x +-=，(0,)x ∈+∞，则2()21(21)(1)h x x x x x '=+-=-+，所以当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，()h x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，当1,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0h x '>，()h x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 所以12x =是()h x 的极小值点，也是最小值点，且17224h ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴324366x x x+--在(0,)+∞上的最大值为724．所以存在724a ≥，满足题设．【举一反三】（2020·云南昆明一中高三期末（理））已知函数2()(1)xx f x e ax e =-+⋅，且()0f x …. （1）求a ；（2）证明：()f x 存在唯一极大值点0x ，且()0316f x <. 【答案】（1）1a =；（2）证明见解析. 【解析】（1）因为()()ee 10xxf x ax =--≥,且e0x>,所以e 10x ax --≥,构造函数()e 1xu x ax =--,则()'e xu x a =-,又()00u =,若0a ≤,则()'0u x >,则()u x 在R 上单调递增,则当0x <时,()0u x <矛盾,舍去；若01a <<,则ln 0a <,则当ln 0a x <<时,'()0u x >,则()u x 在(ln ,0)a 上单调递增,则()()ln 00u a u <=矛盾,舍去；若1a >,则ln 0a >,则当0ln x a <<时,'()0u x <,则()u x 在(0,ln )a 上单调递减,则()()ln 00u a u <=矛盾,舍去；若1a =,则当0x <时,'()0u x <,当0x >时,'()0u x >, 则()u x 在(,0)-∞上单调递减,在(0,)+∞上单调递增, 故()()00u x u ≥=,则()()e 0xf x u x =⋅≥,满足题意；综上所述,1a =.（2）证明:由（1）可知()()2e 1e xxf x x =-+⋅,则()()'e2e 2xxf x x =--,构造函数()2e 2xg x x =--,则()'2e 1xg x =-,又()'g x 在R 上单调递增,且()'ln20g -=,故当ln2x <-时,)'(0g x <,当ln 2x >-时,'()0g x >, 则()g x 在(,ln 2)-∞-上单调递减,在(ln 2,)-+∞上单调递增,又()00g =,()2220e g -=>,又33233332223214e 16e 022e 2e 8e 2e g --⎛⎫-=-==< ⎪⎝⎭+, 结合零点存在性定理知,在区间3(2,)2--存在唯一实数0x ,使得()00g x =, 当0x x <时,()'0f x >,当00x x <<时,()'0f x <,当0x >时,()'0f x >, 故()f x 在()0,x -∞单调递增,在()0,0x 单调递减,在()0,∞+单调递增,故()f x 存在唯一极大值点0x ,因为()0002e 20xg x x =--=,所以00e 12xx =+, 故()()()()022200000011e1e 11112244x x x x f x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+=+-++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,因为0322x -<<-,所以()201133144216f x ⎛⎫<--+<⎪⎝⎭. 方向二 导数、函数与不等式典例2．（2020·四川省泸县第二中学高三月考）已知函数()sin f x x ax =-. （1）对于(0,1)x ∈，()0f x >恒成立，求实数a 的取值范围； （2）当1a =时，令()()sin ln 1h x f x x x =-++，求()h x 的最大值；（3） 求证：1111ln(1)1231n n n+<+++⋅⋅⋅++-*()n N ∈. 【答案】（1）sin1a ≤.（2）max ()(1)0h x h ==.（3）见解析.【解析】（1）由()0f x >，得：sin 0x ax ->，因为01x <<，所以sin xa x<， 令sin ()x g x x=，()2cos sin 'x x xg x x -=， 再令()cos sin m x x x x =-，()'cos sin cos sin 0m x x x x x x x =--=-<， 所以()m x 在()0,1上单调递减， 所以()()0m x m <，所以()'0g x <，则()g x 在()0,1上单调递减， 所以()(1)sin1g x g >=，所以sin1a ≤. （2）当1a =时，()sin f x x x =-， ①()ln 1h x x x =-+，()11'1x h x x x-=-=， 由()'0h x =，得：1x =，当()0,1x ∈时，()'0h x >，()h x 在()0,1上单调递增； 当()1,x ∈+∞时，()'0h x <，()h x 在()1,+∞上单调递减； ①()max (1)0h x h ==.（3）由（2）可知，当()1,x ∈+∞时，()0h x <， 即ln 1x x <-， 令1n x n +=，则11ln1n n n n ++<-，即()1ln 1ln n n n+-<， 分别令1,2,3,,n n =L 得，()11ln 2ln11,ln 3ln 2,,ln 1ln 2n n n-<-<+-<L ，将上述n 个式子相加得：()()*111ln 1121n n N n n+<++++∈-L . 【举一反三】（2020·黑龙江哈尔滨三中高三月考）已知111123S n =++⋅⋅⋅+，211121S n =++⋅⋅⋅+-，直线1x =，x n =，0y =与曲线1y x=所围成的曲边梯形的面积为S .其中n N ∈，且2n ≥.（1）当0x >时，()ln 11axx ax x <+<+恒成立，求实数a 的值； （2）请指出1S ，S ，2S 的大小，并且证明；（3）求证：131112lnln 3132313n i n n i i i =+⎛⎫<+-< ⎪+--⎝⎭∑. 【答案】（1）1；（2）12S S S <<，证明见解析；（3）见解析 【解析】（1）由已知得0a ≤时，不合题意，所以0a >.()ln 11axx x <++恒成立，即()()()1ln 10ax x x x <++>恒成立. 令()()()1ln 1m x x x ax =++-，()()'ln 11m x x a =++-. 当1a ≤时，()m x 在()0,∞+上为增函数，此时()0m x >成立.当1a >时，()m x 在()10,1a e --上为减函数，不合题意，所以1a ≤.令()()ln 1n x ax x x =-+，()1'1n x a x =-+，当1a ≥时，()n x 在()0,∞+上为增函数，此时()0n x >，()ln 1x ax +<恒成立.当01a <<时，()n x 在10,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上为减函数，不合题意，所以1a ≥.综上得1a =. （2）由（1）知()()ln 101x x x x x <+<>+.令1x i =，得111ln 11i i i⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭， 从而11111111ln 112321n i n i n -=⎛⎫+++<+<+++ ⎪-⎝⎭∑L L ，又因为11ln nS dx n x==⎰，则12S S S <<. （3）由已知111232313ni i i i =⎛⎫+- ⎪--⎝⎭∑1111111123323n n ⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭L 111123n n n =++⋅⋅⋅+++，因为111ln 11i i i⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭，所以 111111ln 1ln 1ln 1123123n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++>++++++ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L 31ln1n n +=+， 111123ln ln ln 123131n n n n n n n n n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<+++ ⎪ ⎪ ⎪+++-⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L ln 3=.从而131112lnln 3132313n i n n i i i =+⎛⎫<+-< ⎪+--⎝⎭∑. 方向三 恒成立及求参数范围问题典例3．（2020·天津高三期末）已知函数()2ln h x ax x =-+. （1）当1a =时，求()h x 在()()2,2h 处的切线方程； （2）令()()22a f x x h x =+，已知函数()f x 有两个极值点12,x x ，且1212x x >，求实数a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若存在0122x ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，使不等式()()()()20ln 1112ln 2f x a m a a ++>--++对任意a （取值范围内的值）恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）322ln 220x y +-+=（2）()1,2（3）1,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【解析】()1当1a =时，()()12ln ,'2h x x x h x x=-+=-+2x =时，()()3'2,24ln 22h h =-=-+()h x ∴在()()2,2h 处的切线方程为()34ln 222y x +-=--，化简得：322ln 220x y +-+= ()2对函数求导可得，()()221'0ax ax f x x x-+=>，令()'0f x =，可得2210ax ax -+=20440112a a a a ⎧⎪≠⎪∴->⎨⎪⎪>⎩，解得a 的取值范围为()1,2 ()3由2210ax ax -+=，解得1211x x ==+而()f x 在()10,x 上递增，在()12,x x 上递减，在()2,x +∞上递增12a <<Q211x ∴=+<()f x ∴在122⎡⎤+⎢⎥⎣⎦单调递增 ∴在1,22⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上，()()max 22ln 2f x f a ==-+012x ⎡⎤∴∃∈⎢⎥⎣⎦，使不等式()()()()20ln 1112ln 2f x a m a a ++>--++对a M ∀∈恒成立等价于不等式2(2ln 2ln 1112))()n (l 2a a m a a -+++>--++恒成立 即不等式2()ln 1ln 210a ma a m +--+-+>对任意的()12a a <<恒成立令()()2ln 1ln 21g a a ma a m =+--+-+，则()()121210,'1ma a m g g a a ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭==+ ①当0m ≥时，()()'0,g a g a <在()1,2上递减()()10g a g <=不合题意①当0m <时，()1212'1ma a m g a a ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭=+ 12a <<Q若1112m ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，即104m -<<时，则()g a 在()1,2上先递减 ()10g =Q12a ∴<<时，()0g a >不能恒成立若111,2m ⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭即14m ≤-，则()g a 在()1,2上单调递增 ()()10g a g ∴>=恒成立m ∴的取值范围为1,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【举一反三】（2020·江苏高三专题练习）已知函数()(32)xf x e x =-，()(2)g x a x =-，其中,a x R ∈. （1）求过点(2,0)和函数()y f x =的图像相切的直线方程； （2）若对任意x ∈R ，有()()f x g x ≥恒成立，求a 的取值范围； （3）若存在唯一的整数0x ，使得00()()f x g x <，求a 的取值范围. 【答案】（1）2y x =-，8833918y e x e =-.（2）8319a e ≤≤.（3）345[,1)(7,5]3a e e e∈⋃. 【解析】（1）设切点为()00,x y ，()()'31xf x e x =+，则切线斜率为()0031x e x +，所以切线方程为()()000031x y y e x x x -=+-，因为切线过()2,0，所以()()()000032312x x ex e x x --=+-，化简得200380x x -=，解得080,3x =. 当00x =时，切线方程为2y x =-， 当083x =时，切线方程为8833918y e x e =-. （2）由题意，对任意x R ∈有()()322xe x a x -≥-恒成立，①当(),2x ∈-∞时，()()323222x x maxe x e x a a x x ⎡⎤--≥⇒≥⎢⎥--⎣⎦，令()()322x e x F x x -=-，则()()()2238'2x e x xF x x -=-，令()'0F x =得0x =，()()max 01F x F ==，故此时1a ≥.①当2x =时，恒成立，故此时a R ∈. ①当()2,x ∈+∞时，()()min323222x x e x e x a a x x ⎡⎤--≤⇒≤⎢⎥--⎣⎦，令()8'03F x x =⇒=，()83min 893F x F e ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故此时839a e ≤.综上：8319a e ≤≤.（3）因为()()f x g x <，即()()322xex a x -<-，由（2）知()83,19,a e ⎛⎫∈-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭，令()()322x e x F x x -=-，则当(),2x ∈-∞，存在唯一的整数0x 使得()()00f x g x <， 等价于()322x e x a x -<-存在唯一的整数0x 成立，因为()01F =最大，()513F e -=，()11F e =-，所以当53a e<时，至少有两个整数成立， 所以5,13a e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭. 当()2,x ∈+∞，存在唯一的整数0x 使得()()00f x g x <， 等价于()322x e x a x ->-存在唯一的整数0x 成立，因为83893F e ⎛⎫= ⎪⎝⎭最小，且()337F e =，()445F e =，所以当45a e >时，至少有两个整数成立，所以当37a e ≤时，没有整数成立，所有(347,5a e e ⎤∈⎦.综上：(345,17,53a e e e ⎡⎫⎤∈⋃⎪⎦⎢⎣⎭. 【压轴选编】1．（2020·山西高三开学考试）已知函数()()()222ln ,2ln f x x ax a x a R g x x x x =--+∈=-.（1）讨论()f x 的单调性；（2）求证：当1a =时，对于任意()0,x ∈+∞，都有()()f x g x <. 【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）由题意()f x 的定义域为()0,∞+，且()()()222222x a x a a x ax a f x x a x x x--+--+'=--+==， 当0a =时，()20f x x '=-<； 当0a >时，2a x >时，()0f x '<；02ax <<时，()0f x '>； 当0a <时，x a >-时，()0f x '<；0x a <<-时，()0f x '>；综上所述，当0a =时，()f x 在()0,∞+上为减函数； 当0a >时，()f x 在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数，在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为减函数； 当0a <时，()f x 在()0,a -上为增函数，在(),a -+∞上为减函数. （2）要证()()f x g x <，即证()21ln 0x x x -+>，当12x =时，不等式显然成立； 当12x >时，即证ln 021x x x +>-；当102x <<时，即证ln 021xx x +<-； 令()ln 21x F x x x =+-，则()()()()()22411112121x x F x x x x x ---'=+=--， 当12x >时，在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上()0F x '<，()F x 为减函数；在()1,+∞上()0F x '>，()F x 为增函数，①()()min 110F x F ==>，①ln 021xx x +>-.当102x <<时，在10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上()0F x '>，()F x 为增函数；在11,42⎛⎫⎪⎝⎭上()0F x '<，()F x 为减函数， ①()max 111ln 0442F x F ⎛⎫==-<⎪⎝⎭，①ln 021x x x +<-， 综上所述，当0x >时，()()f x g x <成立.2．（2020·河南鹤壁高中高三月考）已知函数2()ln (0,)a xf x x a a R x a=++≠∈ （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）设1()2a x g x x a a=+-+，当0a >时，证明：()()f x g x ≥. 【答案】（1）见解析；（2）证明见解析【解析】（1）22121(2)()()a x a x a f x x x a ax+-'=-+= 当0a >时，()0f x x a '>⇒>，()00f x x a '<⇒<<当0a <时，()002f x x a '>⇒<<-，()02f x x a '<⇒>- ①0a >时，()f x 在(0,)a 上递减，在(,)a +∞递增 0a <时，()f x 在(0,2)a -上递增，在(2,)a -+∞递减（2）设1()()()ln 2a F x f x g x x x a=-=++- 则221()(0)a x aF x x x x x-'=-=> Q 0a >，(0,)x a ∴∈时，()0F x '<，()F x 递减(,)x a ∈+∞，()0,F x '>()F x 递增，1()()ln 1F x F a a a∴≥=+-设1()ln 1h x x x =+-，(0)x >,则22111()(0)x h x x x x x-'=-=>1x >时，()0,h x '>时，()h x 递增， 01x <<时，()0h x '<，∴()h x 递减()(1)0h x h ∴≥=，()()0F a h a ∴=≥()0F x ∴≥，即()()f x g x ≥3．（2020·四川石室中学高三月考）已知函数()22ln f x x x =-+．（1）求函数()f x 的最大值； （2）若函数()f x 与()ag x x x=+有相同极值点． ①求实数a 的值；①若对于121,,3x x e ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦（e 为自然对数的底数），不等式()()1211f xg x k -≤-恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】（①）()11f =-；（①）（①）1； （①）()34 ,2ln31,3⎛⎤-∞-+⋃+∞ ⎥⎝⎦． 【解析】（1）22(1)(1)()2(0)x x f x x x x x+-'=-+=->， 由()0{0f x x >>'得01x <<，由()0{0f x x <>'得1x >，①()f x 在(0,1)上为增函数，在(1,)+∞上为减函数， ①函数()f x 的最大值为(1)1f =-； （2）①()a g x x x=+，①2()1a g x x =-'，（①）由（1）知，1x =是函数()f x 的极值点，又①函数()f x 与()ag x x x=+有相同极值点， ①1x =是函数()g x 的极值点，①(1)10g a =-='，解得1a =， 经检验，当1a =时，函数()g x 取到极小值，符合题意；（①）①211()2f e e =--，(1)1f =-，(3)92ln 3f =-+， ①2192ln 321e -+<--<-， 即1(3)()(1)f f f e <<，①1[,3]x e∀∈，min max ()(3)92ln 3,()(1)1f x f f x f ==-+==-，由（①）知1()g x x x =+，①21()1g x x =-'，当1[,1)x e∈时，()0g x '<，当(1,3]x ∈时，()0g x '>，故()g x 在1[,1)e 为减函数，在(1,3]上为增函数，①11110(),(1)2,(3)333g e g g e e =+==+=，而11023e e <+<，①1(1)()(3)g g g e <<，①1[,3]x e ∀∈，min max 10()(1)2,()(3)3g x g g x g ====，①当10k ->，即1k >时，对于121,[,3]x x e ∀∈，不等式12()()11f xg x k -≤-恒成立12max 1[()()]k f x g x ⇔-≥-12max [()()]1k f x g x ⇔≥-+，①12()()(1)(1)123f x g x f g -≤-=--=-，①312k ≥-+=-，又①1k >，①1k >， ①当10k -<，即1k <时，对于121,[,]x x e e ∀∈，不等式12()()11f xg x k -≤-，12min 1[()()]k f x g x ⇔-≤-12min [()()]1k f x g x ⇔≤-+，①121037()()(3)(3)92ln 32ln 333f x g x f g -≥-=-+-=-+，①342ln 33k ≤-+，又①1k <， ①342ln 33k ≤-+．综上，所求的实数k 的取值范围为34(,2ln 3](1,)3-∞-+⋃+∞． 4．（2020·江西高三）已知函数()()ln f x x x a b =++，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线为210x y --=.（1）求a ，b 的值；（2）若对任意的()1,x ∈+∞，()()1f x m x ≥-恒成立，求正整数m 的最大值. 【答案】（1）1a =，0b =；（2）3【解析】（1）由()()ln f x x x a b =++得：()ln 1f x x a '=++ 由切线方程可知：()1211f =-=()112f a '∴=+=，()11f a b =+=，解得：1a =，0b =（2）由（1）知()()ln 1f x x x =+则()1,x ∈+∞时，()()1f x m x ≥-恒成立等价于()1,x ∈+∞时，()ln 11x x m x +≤-恒成立令()()ln 11x x g x x +=-，1x >，则()()2ln 21x x g x x --'=-. 令()ln 2hx x x =--，则()111x h x x x-'=-=∴当()1,x ∈+∞时，()0h x '>，则()h x 单调递增()31ln30h =-<Q ，()422ln20h =-> ()03,4x ∴∃∈，使得()00h x =当()01,x x ∈时，()0g x '<；()0,x x ∈+∞时，()0g x '>()()()000min0ln 11x x g x g x x +∴==-()000ln 20h x x x =--=Q 00ln 2x x ∴=- ()()()()0000min 0213,41x x g x g x x x -+∴===∈-()03,4m x ∴≤∈，即正整数m 的最大值为35．（2020·江西高三）已知函数()e 2xf x m x m =--.（1）当1m =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （2）若()0f x >在(0,)+∞上恒成立，求m 的取值范围． 【答案】（1）y x =-；（2）[2,)+∞【解析】（1）因为1m =,所以()e 21xf x x =--,所以()e 2xf x '=-,则(0)0,(0)1f f '==-,故曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x =-.（2）因为()e 2x f x m x m =--,所以()e 2xf x m '=-,①当2m ≥时,()0f x '>在(0,)+∞上恒成立,则()f x 在(0,)+∞上单调递增,从而()(0)0f x f >=成立,故2m ≥符合题意; ①当02m <<时,令()0f x '<,解得20lnx m <<,即()f x 在20,ln m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,则2ln(0)0f f m ⎛⎫<= ⎪⎝⎭,故02m <<不符合题意; ①当0m ≤时,0()e 2x f x m '-<=在(0,)+∞上恒成立,即()f x 在(0,)+∞上单调递减,则()(0)0f x f <=,故0m ≤不符合题意.综上,m 的取值范围为[2,)+∞. 6．（2020·江西高三）已知函数()()2x f x x e =-.（1）求()f x 的单调区间；（2）证明：对任意的()0,x ∈+∞，不等式()2ln 6xf x x x >-恒成立.【答案】（1）单调递增区间为()1,+?，单调递减区间为(),1-∞（2）证明见解析【解析】（1）因为()()2x f x x e =-，所以()()1x f x x e '=-，令()0f x ¢>，解得1x >；令()0f x ¢<，解得1x <.故()f x 的单调递增区间为()1,+?，单调递减区间为(),1-∞.（2）要证()2ln 6xf x x x >-，只需证()ln 32x f x x>-.由（1）可知()()min 1f x f e ==-.令()ln 3(0)2x h x x x =->，则()21ln 2xh x x -'=， 令()21ln 0ln 102xh x x x e x-'=>⇒<⇒<<， 所以当()0,x e ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增；当(),x e ∈+∞时，()0h x '<，()h x 单调递减， 则()()max 132h x h e e==-. 因为 2.71828e =⋅⋅⋅，所以 2.75e ->-，所以1133 2.7524e -<-=-， 从而132e e->-，则当0x >时，()()min max f x h x >.故当0x >时，()()f x h x >恒成立，即对任意的()0,x ∈+∞，()2ln 6xf x x x >-.7．（2020·四川高三月考）已知函数21()(32)()2xf x m e x m R =--∈. （1）若0x =是函数()f x 的一个极值点，试讨论()ln ()()h x b x f x b R =+∈的单调性； （2）若()f x 在R 上有且仅有一个零点，求m 的取值范围.【答案】（1）当0b …时，()h x 在(0,)+∞上单调递减；当0b >时，()h x 在上单调递增，在)+∞上单调递减；（2）2222,333e ⎧⎫⎛⎫++∞⋃⎨⎬⎪⎩⎭⎝⎭. 【解析】（1）()(32)xf x m e x '=--，因为0x =是函数()f x 的一个极值点，则(0)320f m '=-=，所以23m =，则21()ln (0)2h x b x x x =->，当2()b b x h x x x x-'=-=，当0b …时，()0h x '…恒成立，()h x 在(0,)+∞上单调递减，当0b >时，2()000h x b x x '>⇒->⇒<<所以()h x 在上单调递增，在)+∞上单调递减. 综上所述：当0b …时，()h x 在(0,)+∞上单调递减；当0b >时，()h x 在上单调递增，在)+∞上单调递减. （2）()f x 在R 上有且仅有一个零点，即方程2322x x m e -=有唯一的解，令2()2xx g x e=， 可得(2)()0,()2xx x g x g x e -'>=， 由(2)()02xx x g x e -'==， 得0x =或2x =，（1）当0x …时，()0g x '…，所以()g x 在(,0]-∞上单调递减，所以()(0)0g x g =…，所以()g x 的取值范围为[0,)+∞. （2）当02x <<时，()0g x '>，所以()g x 在(0,2)上单调递增， 所以0()(2)g x g <<，即220()g x e<<， 故()g x 的取值范围为220,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭. （3）当2x …时，()0g x '…，所以()g x 在[2,)+∞上单调递减， 所以(0)()(2)g g x g <…，即220()g x e <…， 即()g x 的取值范围为220,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦. 所以，当320m -=或2232m e ->， 即23m =或22233m e >+时，()f x 在R 上有且只有一个零点，故m 的取值范围为2222,333e ⎧⎫⎛⎫++∞⋃⎨⎬⎪⎩⎭⎝⎭. 8．（2020·山西高三）已知函数()2ln 21f x a x x =-+（其中a R ∈）. （1）讨论函数()f x 的极值；（2）对任意0x >，2()2f x a ≤-恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）[1,)+∞ 【解析】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，2'()2af x x=-， ①当0a ≤时，'()0f x <，所以()f x 在(0,)+∞上是减函数，()f x 无极值. ①当0a >时，令'()0f x =，得x a =，在(0,)a 上，'()0f x >，()f x 是增函数；在(,)a +∞上，'()0f x <，()f x 是减函数. 所以()f x 有极大值()2ln 21f a a a a =-+，无极小值.（2）由（1）知，①当0a ≤时，()f x 是减函数，令2a x e =，则0(0,1]x ∈，222220()(2)21(2)320a a f x a a e a e --=-+--=->，不符合题意，①当0a >时，()f x 的最大值为()2ln 21f a a a a =-+， 要使得对任意0x >，2()(1)f x a ≤-恒成立， 即要使不等式22ln 212a a a a -+≤-成立， 则22ln 230a a a a --+≤有解.令2()2ln 23(0)g a a a a a a =--+>，所以'()2ln 2g a a a =-令()'()2ln 2h a g a a a ==-，由22'()0ah a a-==，得1a =. 在(0,1)上，'()0h a >，则()'()h a g a =在(0,1)上是增函数； 在(1,)+∞上，'()0h a <，则()'()h a g a =在(1,)+∞上是减函数. 所以max ()(1)20h a h ==-<，即'()0g a <， 故()g a 在(0,)+∞上是减函数，又(1)0g =，要使()0g a ≤成立，则1a ≥，即a 的取值范围为[1,)+∞. 9．（2020·北京高三期末）已知函数()2xf x x e =（1）求()f x 的单调区间；（2）过点()1,0P 存在几条直线与曲线()y f x =相切，并说明理由； （3）若()()1f x k x ≥-对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）增区间为(),2-∞-，()0,∞+，单调减区间为()2,0-；（2）三条切线，理由见解析；（3）0,2⎡+⎣ 【解析】（1）()()()222xxf x x x e x x e '==++，()0f x '>得，2x <-或0x >；()0f x '<得，20x -<<；所以()f x 的单调增区间为(),2-∞-，()0,∞+；单调减区间为()2,0-； （2）过()1,0P 点可做()f x 的三条切线；理由如下：设切点坐标为()0200,x x x e，所以切线斜率()()00002xx x k x e f '=+= 所以过切点的切线方程为：()()002200002x x x e x x e x y x -=+-，切线过()1,0P 点，代入得()()0022*******x x x e x x e x -=+-，化简得(0000x x x x e=，方程有三个解，00x =，0x =0x 所以过()1,0P 点可做()f x 的三条切线. （3）设()()21xg x x e k x -=-，①0k =时，因为20x ≥，0x e >，所以显然20x x e ≥对任意x ∈R 恒成立； ①k 0<时，若0x =，则()()0001f k k =>-=-不成立， 所以k 0<不合题意.①0k >时，1x ≤时，()()210xg x x e k x -=->显然成立，只需考虑1x >时情况；转化为21xx e k x ≥-对任意()1,x ∈+∞恒成立令()21xx e h x x =-（1x >），则()min k h x ≤，()()()(()2222(2)111xx xx x x ex x e x x e h x x x +--'==--，当1x <<时，()0h x '<，()h x 单调减；当x >()0h x '>，()h x 单调增；所以()(min 2h x h==+=所以(2k ≤+综上所述，k 的取值范围(0,2+⎡⎣. 10．（2020·全国高三专题练习）已知函数()()33114ln 10f f x ax x x '=--的图象在点()()1,1f 处的切线方程为100++=x y b . （1）求a ，b 的值；（2）若()13f x m >对()0,x ∈+∞恒成立，求m 的取值范围. 【答案】（1）13a =,403=-b ；（2）2642ln 2<-m【解析】（1）()()23114310f f x ax x''=--, 因为()f x 在()()1,1f 处的切线方程为100++=x y b ,即10y x b =--,此时切线斜率10k =-,则()3(1)13141010f f a k ''=--==-,解得13a =,所以()()333101114ln 314ln 3103f x x x x x x x ⨯-=--=+-, 所以()31110113114ln13333f =⨯+⨯-=+=,则10103b =--,解得403=-b（2）由（1）知()31314ln 3f x x x x =+-, ()32143143x x f x x x x+-'=+-=, 设函数()()33140g x xx x =+->,则()2330g x x '=+>,所以()g x 在()0,∞+为增函数,因为()20g =,令()0g x <,得02x <<；令()0g x >,得2x >, 所以当02x <<时,()0f x '<；当2x >时,()0f x '>, 所以()()3min 126223214ln 214ln 233f x f ==⨯+⨯-=-, 从而12614ln 233<-m ,即2642ln 2<-m 11．（2020·天津静海一中高三月考）已知函数()ln 1()f x ax x a R =--∈．（1）讨论()f x 的单调性并指出相应单调区间； （2）若21())1(2g x x x x f ---=，设()1212,x x x x <是函数()g x 的两个极值点，若32a ≥，且()()12g x g x k -≥恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】（1）答案见解析（2）15,2ln 28⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【解析】（1）由()ln 1f x ax x =--，(0,)x ∈+∞， 则11()ax f x a x x'-=-=， 当0a ≤时，则()0f x '≤，故()f x 在(0,)+∞上单调递减；当0a >时，令1()0f x x a'=⇒=， 所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增．综上所述：当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递减； 当0a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增． （2）①21()ln (1)2g x x x a x =+-+， 21(1)1()(1)x a x g x x a x x-++'=+-+=, 由()0g x '=得2(1)10x a x -++=，①121x x a +=+，121=x x ，①211x x =①32a ≥①111115210x x x x ⎧+≥⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩解得1102x <≤.①()()()()222112121211221111ln(1)2ln 22x g x g x x x a x x x x x x ⎛⎫-=+--+-=-- ⎪⎝⎭. 设22111()2ln 022h x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--<≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则()2233121()0x h x x x x x '--=--=<,①()h x 在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减；当112x =时，min 115()2ln 228h x h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭. ①152ln 28k ≤-，即所求k 的取值范围为15,2ln 28⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.12.（2020·山东高三期末）已知函数()()2sin ln 12x f x x x =+-+.（1）证明：()0f x ≥； （2）数列{}n a 满足：1102a <<，()1n n a f a +=（n *∈N ）. （①）证明：1102a <<（n *∈N ）； （①）证明：n *∀∈N ，1n n a a +<.【答案】（1）证明见解析（2）（i ）证明见解析（ii ）证明见解析 【解析】（1）由题意知，()1cos 1f x x x x'=+-+，()1,x ∈-+∞， 当()1,0x ∈-时，()1101f x x x x'<+-<<+，所以()f x 在区间()1,0-上单调递减， 当()0,x ∈+∞时，()()g x f x '=，因为()()()22111sin 011g x x x x '=+->>++所以()g x 在区间()0,∞+上单调递增，因此()()00g x g >=，故当()0,x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在区间()0,∞+上单调递增， 因此当()1,x ∈-+∞时，()()00f x f ≥=，所以()0f x ≥ （2）（①）()f x 在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，()()00f x f >=，因为881288311111C C 147122224e ⎛⎫⎛⎫=+=+++>++=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L ， 故83318ln ln ln 022e ⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭，所以()1113131131sin ln sin ln 18ln 22826822822f x f π⎛⎫⎛⎫<=+-<+-=+-<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因此当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()01f x <<，又因为110,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()()()()()()12110,2n n n a f a ff a f f f a --⎛⎫====∈ ⎪⎝⎭LL L（①）函数()()h x f x x =-（102x <<），则()()11cos 11h x f x x x x''=-=+--+， 令()()x h x ϕ='，则()()0x g x ϕ''=>，所以()x ϕ在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；因此()()111217cos 1cos 0222326h x x ϕϕ⎛⎫'=≤=+--=-<⎪⎝⎭， 所以()h x 在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()()00h x h <=， 因此()()10n n n n n a a f a a g a +-=-=<， 所以x *∀∈N ，1n n a a +<13．（2020·四川三台中学实验学校高三开学考试）已知函数()ln f x x x a =+，()ln ,g x x ax a =-∈R . （1）求函数()f x 的极值； （2）若10a e<<，其中e 为自然对数的底数，求证：函数()g x 有2个不同的零点； （3）若对任意的1x >，()()0f x g x +>恒成立，求实数a 的最大值. 【答案】（1）极小值为1a e-+；无极大值（2）证明过程见解析；（3）2. 【解析】（1）函数()f x 的定义域为0x >，因为()ln f x x x a =+，所以()ln 1f x x =+‘，当1x e >时，()0f x >‘，所以函数()f x 单调递增；当10x e<<时，()0f x <‘，所以函数()f x 单调递减，因此1e是函数()f x 的极小值，故函数()f x 的极值为极小值，值为11()f a e e =-+；无极大值（2）函数()g x 的定义域为0x >，因为()ln ,g x x ax =-所以'1()g x a x=-，因为10a e <<，所以当1x a >时，'()0g x <，因此函数()g x 是递减函数，当10x a<<时，'()0g x >，。
2020版高考数学一轮复习 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用讲义理(含解析)
第4讲函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及应用1.“五点法”作函数y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的简图“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x轴相交的三个点，作图时的一般步骤为：(1)定点：如下表所示．(2)作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到y＝A sin(ωx＋φ)在一个周期内的图象．(3)扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得y＝A sin(ωx＋φ)在R上的图象．2．函数y＝sin x的图象经变换得到y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的步骤1．概念辨析(1)将函数y ＝3sin2x 的图象左移π4个单位长度后所得图象的解析式是y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.( ) (2)利用图象变换作图时，“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致．( )(3)将函数y ＝2sin x 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得函数y＝2sin x2的图象．( )(4)由图象求解析式时，振幅A 的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的．( )答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ 2．小题热身(1)函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的振幅、频率和初相分别为( ) A ．2，1π，π4B ．2，12π，π4 C ．2，1π，π8D ．2，12π，－π8答案 A解析 函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的振幅是2，周期T ＝2π2＝π，频率f ＝1T ＝1π，初相是π4，故选A.(2)用五点法作函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6在一个周期内的图象时，主要确定的五个点是________、________、__________、________、________.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫π6，0⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，1⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6，0⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，－1⎝ ⎛⎭⎪⎫13π6，0解析 列表：五个点依次是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0、⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，1、⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6，0、⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，－1、⎝ ⎛⎭⎪⎫13π6，0.(3)将函数f (x )＝－12cos2x 的图象向右平移π6个单位长度后，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数y ＝g (x )的图象，则g ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＝________.答案32解析 函数f (x )＝－12cos2x 的图象向右平移π6个单位长度后得函数y ＝－12cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝－12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数g (x )＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－π3＝sin π3＝32.(4)(2018·长春模拟)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为________．答案 f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 解析 由图象可知A ＝2，T 4＝7π12－π3＝π4，所以2πω＝π，ω＝2，所以f (x )＝2sin(2x＋φ)，又f ⎝⎛⎭⎪⎫7π12＝－2，所以2×7π12＋φ＝2k π＋3π2，k ∈Z ，φ＝2k π＋π3，k ∈Z ，又|φ|<π，所以φ＝π3，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.题型 一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换1．(2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( )A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2答案 D解析 由C 2：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋π2＝cos ( 2x ＋π6 )＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12. 根据三角函数图象变换的规律，可得D 正确．2．(2018·蚌埠一模)已知ω>0，顺次连接函数y ＝sin ωx 与y ＝cos ωx 的任意三个相邻的交点都构成一个等边三角形，则ω＝( )A ．π B.6π2 C.4π3D.3π 答案 B解析 当正弦值等于余弦值时，函数值为±22，故等边三角形的高为2，由此得到边长为2×33×2＝263，边长即为函数的周期，故2πω＝263，ω＝6π2.3．已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上单调递增，求ω的最大值．解 函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2ω，π2ω上单调递增，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2ω，π2ω，所以⎩⎪⎨⎪⎧－π2ω≤－π3，π2ω≥π4.解得0<ω≤32，所以ω的最大值为32.4．已知函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在区间[0，π]内的图象；(3)说明y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象可由y ＝cos x 的图象经过怎样的变换而得到．解 (1)函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的振幅为1，周期T ＝2π2＝π，初相是－π3. (2)列表：描点，连线．(3)解法一：把y ＝cos x 的图象上所有的点向右平移π3个单位长度，得到y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图象；再把y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象．解法二：将y ＝cos x 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，得到y ＝cos2x 的图象；再将y ＝cos2x 的图象向右平移π6个单位长度，得到y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象．作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象常用的两种方法(1)五点法作图：用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，3π2，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．(2)图象的变换：由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.1.要想得到函数y ＝sin2x ＋1的图象，只需将函数y ＝cos2x 的图象( ) A.向左平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度B.向右平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度C.向左平移π2个单位长度，再向下平移1个单位长度D.向右平移π2个单位长度，再向下平移1个单位长度答案 B解析 先将函数y ＝cos2x 的图象向右平移π4个单位长度，得到y ＝sin2x 的图象，再向上平移1个单位长度，即得y ＝sin2x ＋1的图象，故选B.2.(2018·青岛模拟)将函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图象向左平移π12个单位得到函数g (x )的图象，在g (x )图象的所有对称轴中，离原点最近的对称轴方程为( )A.x ＝－π24B ．x ＝π4C.x ＝5π24D ．x ＝π12答案 A解析 当函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变时，此时函数解析式可表示为f 1(x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3，再将所得图象向左平移π12个单位得到函数g (x )的图象，则g (x )可以表示为g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3.则函数g (x )的图象的对称轴可表示为4x ＋2π3＝π2＋k π，k ∈Z ，即x ＝－π24＋k π4，k∈Z .则g (x )的图象离原点最近的对称轴，即g (x )的图象离y 轴最近的对称轴为x ＝－π24.题型 二 由图象确定y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式1.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)，其导函数f ′(x )的图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2的值为( )A ．2 2 B. 2 C ．－22 D ．－24答案 D解析 依题意得f ′(x )＝Aωcos(ωx ＋φ)，结合函数y ＝f ′(x )的图象，则T ＝2πω＝4⎝⎛⎭⎪⎫3π8－π8＝π，ω＝2.又Aω＝1，因此A ＝12.因为0<φ<π，3π4<3π4＋φ<7π4，且f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＝－1，所以3π4＋φ＝π，即φ＝π4，所以f (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π4＝－12×22＝－24. 2.设f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)，其图象上最高点M 的坐标是(2，2)，曲线上的点P 由点M 运动到相邻的最低点N 时，在点Q (6,0)处越过x 轴．(1)求A ，ω，φ的值；(2)函数f (x )的图象能否通过平移变换得到一个奇函数的图象？若能，写出变换方法；若不能，说明理由．解 (1)由题意知A ＝2，T ＝(6－2)×4＝16，所以ω＝2πT ＝π8.又因为Q (6,0)是零值点，且|φ|<π，所以π8×6＋φ＝π，所以φ＝π4，经验证，符合题意．所以A ＝2，ω＝π8，φ＝π4.(2)f (x )的图象经过平移变换能得到一个奇函数的图象．由(1)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋π4，当f (x )的图象向右平移2个单位长度后，所得图象的函数解析式为g (x )＝2sin π8x ，是奇函数.确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0)中参数的方法(1)求A ，b ：确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m2，b ＝M ＋m2；(2)求ω：确定函数的周期T ，则可得ω＝2πT；(3)求φ：常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．具体如下：1．(2018·四川绵阳诊断)如图是函数f (x )＝cos(πx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫0<φ<π2的部分图象，则f (3x 0)＝( )A.12 B ．－12C.32D ．－32答案 D解析 ∵f (x )＝cos(πx ＋φ)的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32， ∴32＝cos φ，结合0<φ<π2，可得φ＝π6.∴由图象可得cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx 0＋π6＝32，πx 0＋π6＝2π－π6，解得x 0＝53. ∴f (3x 0)＝f (5)＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π＋π6＝－32.2.已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|＜π2，y ＝f (x )的部分图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24等于________．答案3解析 观察图象可知T 2＝3π8－π8，所以π2ω＝π4，ω＝2，所以f (x )＝A tan(2x ＋φ)．又因为函数图象过点⎝⎛⎭⎪⎫3π8，0，所以0＝A tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×3π8＋φ，所以3π4＋φ＝k π(k ∈Z )，所以φ＝k π－3π4(k ∈Z )．又因为|φ|<π2，所以φ＝π4.又图象过点(0,1)，所以A ＝1.综上知，f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π24＋π4＝ 3.题型 三 三角函数图象性质的应用角度1 三角函数模型的应用1．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )A.5 B ．6 C ．8 D ．10答案 C解析 由图象可知，y min ＝2，因为y min ＝－3＋k ，所以－3＋k ＝2，解得k ＝5，所以这段时间水深的最大值是y max ＝3＋k ＝3＋5＝8.角度2 函数零点(方程根)问题2.已知关于x 的方程2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋1－a ＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上存在两个根，则实数a的取值范围是________．答案 [2,3)解析 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋1－a ＝0化为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝a －12，令t ＝x ＋π6，由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3得，t ＝x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6，画出函数y ＝sin t ，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6的图象和直线y ＝a －12，当12≤a －12<1，即2≤a <3时，函数y ＝sin t ，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6的图象和直线y ＝a －12有两个公共点，原方程有两个根.角度3 三角函数图象性质的综合3.函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图，则( )A ．函数f (x )的对称轴方程为x ＝4k π＋π4(k ∈Z )B.函数f (x )的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤8k π＋π4，8k π＋5π4(k ∈Z )C.函数f (x )的递增区间为[8k ＋1,8k ＋5](k ∈Z )D.f (x )≥1的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤8k －13，8k ＋73(k ∈Z )答案 D解析 由题图知，A ＝2，函数f (x )的最小正周期T ＝4×(3－1)＝8，故ω＝2π8＝π4，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋φ，因为点(1,2)在图象上，所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝2，因为|φ|<π2，所以φ＝π4，即f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4，由π4x ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )得x ＝4k ＋1，即函数f (x )的对称轴方程为x ＝4k ＋1(k ∈Z )，所以A 项错误；由2k π＋π2≤π4x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )得8k ＋1≤x ≤8k ＋5，即函数f (x )的单调减区间为[8k ＋1,8k ＋5](k ∈Z )，所以B ，C两项错误；由2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4≥1，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4≥12，所以2k π＋π6≤π4x ＋π4≤2k π＋5π6(k ∈Z )，解得8k －13≤x ≤8k ＋73(k ∈Z )，即不等式f (x )≥1的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤8k －13，8k ＋73(k ∈Z )，故选D.(1)三角函数模型在实际应用中体现的两个方面①已知三角函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则；②把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模．(2)三角函数的零点、不等式问题的求解思路①把函数表达式转化为正弦型函数形式y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)； ②画出一个周期上的函数图象；③利用图象解决有关三角函数的方程、不等式问题．(3)研究y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质时可将ωx ＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想解题.1.设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3(x ∈R )，则f (x )( )A.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6上是增函数B.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2上是减函数 C.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上是增函数D.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6上是减函数答案 A解析 函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3(x ∈R )的图象如图所示，由图象可知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3(x ∈R )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6上是增函数．故选A.2.一个大风车的半径为8 m,12 min 旋转一周，它的最低点P 0离地面2 m ，风车翼片的一个端点P 从P 0开始按逆时针方向旋转，则点P 离地面距离h (m)与时间t (min)之间的函数关系式是( )A ．h (t )＝－8sin π6t ＋10B.h (t )＝－cos π6t ＋10C.h (t )＝－8sin π6t ＋8D.h (t )＝－8cos π6t ＋10答案 D解析 设h (t )＝A cos ωt ＋B ，因为12 min 旋转一周， 所以2πω＝12，所以ω＝π6，由于最大值与最小值分别为18,2.所以⎩⎪⎨⎪⎧－A ＋B ＝18，A ＋B ＝2，解得A ＝－8，B ＝10.所以h (t )＝－8cos π6t ＋10.3.若函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)满足f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个零点，则f (x )的最小正周期为( )A.π2 B ．π C.3π2D ．2π 答案 B解析 依题意，函数f (x )图象的一条对称轴为x ＝0＋π32＝π6，又因为函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个零点，所以π6－0≤T 4≤π2－π6，所以2π3≤T ≤4π3.根据选项可得，f (x )的最小正周期为π.。
2020高考数学冲刺核心考点 专题6 第1讲 函数的图象与性质(小题)
2
PART TWO
真题体验 押题预测
真题体验 1.(2019·全国Ⅰ，理，5)函数 f(x)＝csoins xx＋＋xx2在[－π，π]上的图象大致为
√
解析 ∵f(－x)＝cossi－n－x＋x－－xx2＝－csoins xx＋＋xx2＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，排除 A； ∵f(π)＝csoins ππ＋＋ππ2＝－1π＋π2>0，∴排除 C； ∵f(1)＝csoins 11＋＋11，且 sin 1>cos 1， ∴f(1)>1，∴排除B，故选D.
若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)等于
A.－50
B.0
√C.2
D.50
解析 ∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)， ∴f(1－x)＝－f(x－1).∵f(1－x)＝f(1＋x)， ∴－f(x－1)＝f(x＋1)，∴f(x＋2)＝－f(x)， ∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)， ∴函数f(x)是周期为4的周期函数. 由f(x)为奇函数且定义域为R得f(0)＝0，又∵f(1－x)＝f(1＋x)， ∴f(x)的图象关于直线x＝1对称， ∴f(2)＝f(0)＝0，又f(1)＝2，∴f(－1)＝－2， ∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0， ∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50) ＝0×12＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2. 故选C.
跟踪演练2 (1)定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x，x≥1，
若对任意的 x∈[m，m＋1]，不等式 f(1－x)≤f(x＋m)恒
成立，则实数m的最大值为
2023年高考数学总复习第二章 函数概念与基本初等函数第5节：指数与指数函数(学生版)
2023年高考数学总复习第二章函数概念与基本初等函数第5节指数与指数函数考试要求1.了解指数函数模型的实际背景；2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点，会画底数为2，3，10，12，13的指数函数的图像；4.体会指数函数是一类重要的函数模型.1.根式的概念及性质(1)概念：式子na 叫作根式，其中n 叫作根指数，a 叫作被开方数.(2)性质：(na )n ＝a (a 使na 有意义)；当n 为奇数时，na n ＝a ，当n 为偶数时，na n ＝|a |，a ≥0，a ，a <0.2.分数指数幂规定：正数的正分数指数幂的意义是a mn ＝na m (a >0，m ，n ∈N +，且n >1)；正数的负分数指数幂的意义是a －mn ＝1na m(a >0，m ，n ∈N +，且n >1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.3.指数幂的运算性质实数指数幂的运算性质：a r a s ＝a r ＋s ；(a r )s ＝a rs ；(ab )r ＝a r b r ，其中a >0，b >0，r ，s ∈R .4.指数函数及其性质(1)概念：函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫作指数函数，其中指数x 是自变量，函数的定义域是R ，a 是底数.(2)指数函数的图像与性质a >10<a <1图像定义域R 值域(0，＋∞)性质过定点(0，1)，即x ＝0时，y ＝1当x >0时，y >1；当x <0时，0<y <1当x <0时，y >1；当x >0时，0<y <1在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数1.画指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图像，应抓住三个关键点：(1，a )，(0，1)，12.指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图像和性质跟a 的取值有关，要特别注意应分a >1与0<a <1来研究.3.在第一象限内，指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图像越高，底数越大.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)4（－4）4＝－4.()(2)分数指数幂a mn 可以理解为mn 个a 相乘.()(3)函数y ＝2x －1是指数函数.()(4)函数y ＝a x2＋1(a >1)的值域是(0，＋∞).()2.(易错题)若函数f (x )＝(a 2－3)·a x 为指数函数，则a ＝________.3.(易错题)函数y ＝21x －1的值域是________.4.函数f (x )＝a x －1＋2(a >0且a ≠1)的图像恒过定点________.5.(2021·贵阳一中月考)3213－76＋814×42－－2323________.6.已知a 35－13，b 35－14，c ＝3234，则a ，b ，c 的大小关系是________.考点一指数幂的运算1.计算：823－－780＋4（3－π）4＋[(－2)6]12＝________.2.[(0.06415)－2.5]23－3338－π0＝________.3.(2021·沧州七校联考1412·（4ab －1）3（0.1）－1·（a 3·b －3）12(a >0，b >0)＝________.4.已知f (x )＝3x ＋3－x ，f (b )＝4，则f (2b )＝________.考点二指数函数的图像及应用例1(1)已知实数a ，b 满足等式2022a ＝2023b ，下列等式一定不成立的是()A.a ＝b ＝0B.a <b <0C.0<a <bD.0<b <a(2)若函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________.训练1(1)函数f (x )＝a x －b 的图像如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是()A.a >1，b <0B.a >1，b >0C.0<a <1，b >0D.0<a <1，b <0(2)如果函数y ＝|3x －1|＋m 的图像不经过第二象限，则实数m 的取值范围是________.考点三解决与指数函数性质有关的问题角度1比较指数式的大小例2(1)设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是() A.a<b<c B.a<c<bC.b<a<cD.b<c<a(2)若e a＋πb≥e－b＋π－a，下列结论一定成立的是()A.a＋b≤0B.a－b≥0C.a－b≤0D.a＋b≥0角度2解简单的指数方程或不等式例3(1)已知实数a≠1，函数f(x)4x，x≥0，2a－x，x<0，若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为________.(2)若2x2＋114x－2，则函数y＝2x的值域是()A.18，2 B.18，2C.－∞，18 D.[2，＋∞)角度3指数函数性质的综合应用例4(1)不等式4x－2x＋1＋a>0，对任意x∈R都成立，则实数a的取值范围是________.(2)已知定义域为R的函数f(x)＝－12＋12x＋1，则关于t的不等式f(t2－2t)＋f(2t2－1)<0的解集为________.训练2(1)(2021·郑州调研)已知函数f(x)＝4x－12x，a＝f(20.3)，b＝f(0.20.3)，c＝f(log0.32)，则a，b，c的大小关系为()A.c<b<aB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b(2)若函数f (x )2＋2x ＋3，19，则f (x )的单调递增区间是______.(3)函数y ＋1在区间[－3，2]上的值域是________.1.若函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)f (－1)＝()A.1B.2C.3D.32.(2021·成都诊断)不论a 为何值，函数y ＝(a －1)2x －a2恒过定点，则这个定点的坐标是()113.(2022·哈尔滨质检)函数y ＝a x －1a(a >0，且a ≠1)的图像可能是()4.(2020·天津卷)设a ＝30.7，b 0.8，c ＝log 0.70.8，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a ＜b ＜cB.b ＜a ＜cC.b ＜c ＜aD.c ＜a ＜b5.(2021·衡水中学检测)当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)·4x－2x<0恒成立，则实数m的取值范围是()A.(－2，1)B.(－4，3)C.(－3，4)D.(－1，2)6.(2020·新高考山东卷)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝e rt描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)()A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天7.化简：（a23·b－1）－12·a－12·b136a·b5(a>0，b>0)＝________.8.设偶函数g(x)＝a|x＋b|在(0，＋∞)上单调递增，则g(a)与g(b－1)的大小关系是____________.9.已知函数f(x)，a≤x<0，x2＋2x，0≤x≤4的值域是[－8，1]，则实数a的取值范围是________.10.已知定义域为R的函数f(x)＝－2x＋b2x＋1＋2为奇函数.(1)求b的值；(2)任意t∈R，f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围.11.已知函数f(x)＝4x＋m2x是奇函数.(1)求实数m的值；(2)设g(x)＝2x＋1－a，若函数f(x)与g(x)的图像有公共点，求实数a的取值范围.12.若关于x的方程|a x－1|＝2a(a>0，且a≠1)有两个不相等的实根，则a的取值范围是()A.0，12(1，＋∞) B.0，12C.12，1 D.(1，＋∞)13.(2022·邯郸模拟)设f(x)|2x－1|，x≤2，－x＋5，x>2，若互不相等的实数a，b，c满足f(a)＝f(b)＝f(c)，则2a＋2b＋2c的取值范围是()A.(16，32)B.(18，34)C.(17，35)D.(6，7)14.已知定义在R上的函数f(x)＝2x－12|x|.(1)若f(x)＝32，求x的值；(2)若2t f(2t)＋mf(t)≥0对任意t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围.。
高考数学复习考点知识讲解课件6 函数的定义域与值域
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(2)基本初等函数的定义域 ①整式函数的定义域为 R. ②分式函数中分母_不___等__于__0__. ③偶次根式函数被开方式__大__于__或__等__于___0___. ④一次函数、二次函数的定义域均为 R. ⑤函数 f(x)＝x0 的定义域为__{_x_|x_≠__0_}__． ⑥指数函数的定义域为____R______. ⑦对数函数的定义域为_(_0_，__＋__∞__)_．
0<2－x<1， ⇒x≠32
1<x<2， ⇒x≠32.
所以函数的定义域为1，32∪32，2.
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角度 2：求抽象函数的定义域 【例 2】 已知函数 f(2x＋1)的定义域为(0,1)，则 f(x)的定义域是___(1_,_3_)__． [思路引导] 由已知得 x∈(0,1)→求 2x＋1 的范围→得 f(x)的定义域．
2
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[解析] (1)要使原函数有意义，
－x2＋9x＋10≥0， 则x－1>0，
x－1≠1，
解得 1<x≤10 且 x≠2，所以函数 f(x)＝ －x2＋9x＋10－
lnx2－1的定义域为(1,2)∪(2,10]，故选 D．
(2)要使函数有意义，则log12 2－x>0， 2x－3≠0
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2020届高考数学一轮复习第二章函数的概念与基本初等函数2.6函数与方程课件
t2 et
,易得h(t)为偶函数,
又由f(x)有唯一零点得函数h(t)的图象与直线y=a有唯一交点,则此交点的横坐标为0,
所以a= 1 0 = 1 ,故选C.
22
4.(2018天津,14,5分)已知a>0,函数f(x)=
x2 2ax a, x 0, x2 2ax 2a, x
4
x4
相对复杂的运算过程.利用数形结合时,容易在区间的端点处出现误判.
2.(2018课标全国Ⅰ,9,5分)已知函数f(x)=
e
x
,
x
0,
g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的取
ln x, x 0,
值范围是 ( )
A.[-1,0) B.[0,+∞)
C.[-1,+∞) D.[1,+∞)
∴包含f(x)零点的区间是(2,4),故选C.
2.(2015北京,14,5分)设函数f(x)=
2x
a,
x
1,
4(x a)(x 2a), x 1.
①若a=1,则f(x)的最小值为
;
②若f(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围是
.
答案
①-1
②
1 2
,1
9
,又
x∈[0,π],所以满足要求的零点有3个.
5.(2015湖北,13,5分)函数f(x)=2sin
xsin x
2
-x2的零点个数为
.
答案 2
解析 易知f(x)=2sin xcos x-x2=sin 2x-x2,函数f(x)的零点个数可转化为函数y1=sin 2x与y2=x2图象 的交点个数,在同一坐标系中画出y1=sin 2x与y2=x2的图象如图所示:
高考数学一轮总复习三角函数解三角形第6节 函数y=sin(ωx+φ)的图象与性质及三角函数模型的应用
解析:由题图可知 T=
所以
||
- = (T 为 f(x)的最小正周期),即 T=π,
=π,即ω=±2,又ω>0,故 f(x)=2cos(2x+ ).
点( ,0)可看作“五点法”中的第二个点,故 2× + = ,得 =- ,
则 f(x)=2cos(2x-),所以 f()=2cos(2×-)=- .
t=+2kπ或 t= +2kπ,k∈Z,
由题图可知,ωx2+ -(ωx1+ )= -= ,
即ω(x2-x1)= ,所以ω=4.
因为 f( )=sin( + )=0,所以 + =2kπ,k∈Z,即 =- +2kπ,
[课程标准要求]
1.了解函数y=Asin(ωx+ )的物理意义,能画出y=Asin(ωx+ )
的图象,了解参数A,ω, 对函数图象变化的影响.2.会用三角函
数解决一些简单的实际问题,体会三角函数是描述周期变化现象的
重要函数模型.
积累·必备知识
回顾教材,夯实四基
1.y=Asin(ωx+ )的有关概念
√
D.0,,,,
解析:令x 依次等于 0,,π, ,2π,得 x 依次为 0,π,2π,3π,4π.
故选 C.
3.(必修第一册 P239 练习 T2 改编)为了得到函数 y=sin(x-)的图象,只要把
2020年高考数学专题复习二次函数与幂函数
二次函数与幂函数1．幂函数(1)定义：形如y ＝x α(α∈R )的函数称为幂函数，其中底数x 是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝x －1.(2)图象(3)性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减． 2．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ②顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)． ③零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． (2)二次函数的图象和性质判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y ＝2x 12是幂函数．( )(2)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．( ) (3)当n <0时，幂函数y ＝x n是定义域上的减函数．( )(4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈[a ，b ]的最值一定是4ac －b24a.( )(5)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈R 不可能是偶函数．( )(6)在y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中，a 决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．( )答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)√(教材习题改编)如图是①y ＝x a；②y ＝x b；③y ＝x c在第一象限的图象，则a ，b ，c的大小关系为( )A ．c <b <aB ．a <b <cC ．b <c <aD ．a <c <b解析：选D.根据幂函数的性质，可知选D.已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图象在x 轴上方，则a 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，120 B ．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－120 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫120，＋∞D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－120，0解析：选C.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，1－20a ＜0，得a ＞120.(教材习题改编)已知幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，22，则此函数的解析式为________；在区间________上递减．答案：y ＝x －12 (0，＋∞)(教材习题改编)函数g (x )＝x 2－2x (x ∈[0，3])的值域是________．解析：由g (x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，x ∈[0，3]，得g (x )在[0，1]上是减函数，在[1，3]上是增函数．所以g (x )min ＝g (1)＝－1，而g (0)＝0，g (3)＝3. 所以g (x )的值域为[－1，3]． 答案：[－1，3]幂函数的图象及性质(1)幂函数y ＝f (x )的图象过点(4，2)，则幂函数y ＝f (x )的图象是( )(2)若(a ＋1)12<(3－2a )12，则实数a 的取值范围是________． 【解析】 (1)设幂函数的解析式为y ＝x α， 因为幂函数y ＝f (x )的图象过点(4，2)， 所以2＝4α，解得α＝12.所以y ＝x ，其定义域为[0，＋∞)，且是增函数，当0<x <1时，其图象在直线y ＝x 的上方，对照选项，故选C.(2)易知函数y ＝x 12的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥0，3－2a ≥0，a ＋1<3－2a ，解得－1≤a <23.【答案】 (1)C (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，23幂函数的性质与图象特征的关系(1)幂函数的形式是y ＝x α(α∈R )，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．(2)判断幂函数y ＝x α(α∈R )的奇偶性时，当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断．(3)若幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递增，则α>0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α<0.1．已知幂函数f (x )＝x m 2－2m －3 (m ∈Z )的图象关于y 轴对称，并且f (x )在第一象限是单调递减函数，则m ＝________．解析：因为幂函数f (x )＝xm 2－2m －3(m ∈Z )的图象关于y 轴对称，所以函数f (x )是偶函数，所以m 2－2m －3为偶数，所以m 2－2m 为奇数，又m 2－2m <0，故m ＝1.答案：12．当0<x <1时，f (x )＝x 1.1，g (x )＝x 0.9，h (x )＝x －2的大小关系是________．解析：如图所示为函数f (x )，g (x )，h (x )在(0，1)上的图象，由此可知h (x )>g (x )>f (x )．答案：h (x )>g (x )>f (x )求二次函数的解析式已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．【解】 法一：(利用一般式)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.所以所求二次函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.法二：(利用顶点式)设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)． 因为f (2)＝f (－1)， 所以抛物线的对称轴为x ＝2＋（－1）2＝12. 所以m ＝12.又根据题意函数有最大值8，所以n ＝8，所以f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8.因为f (2)＝－1，所以a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4，所以f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7.法三：(利用零点式)由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值8，即4a （－2a －1）－a24a ＝8.解得a ＝－4或a ＝0(舍去)，所以所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.求二次函数解析式的方法根据已知条件确定二次函数的解析式，一般用待定系数法，但所给条件不同选取的求解方法也不同，选择规律如下：1．若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(常数a ，b ∈R )是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f (x )＝________．解析：由f (x )是偶函数知f (x )的图象关于y 轴对称，所以－a ＝－⎝⎛⎭⎪⎫－2a b ，即b ＝－2，所以f (x )＝－2x 2＋2a 2，又f (x )的值域为(－∞，4]，所以2a 2＝4，故f (x )＝－2x 2＋4.答案：－2x 2＋42．已知二次函数f (x )的图象经过点(4，3)，它在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，求f (x )的解析式．解：因为f (2＋x )＝f (2－x )对任意x ∈R 恒成立， 所以f (x )的对称轴为x ＝2.又因为f (x )的图象被x 轴截得的线段长为2， 所以f (x )＝0的两根为1和3. 设f (x )的解析式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0)，又f (x )的图象过点(4，3)， 所以3a ＝3，a ＝1， 所以所求f (x )的解析式为f (x )＝(x －1)(x －3)，即f (x )＝x 2－4x ＋3.二次函数的图象与性质(高频考点)高考对二次函数图象与性质进行考查，多与其他知识结合，且常以选择题形式出现，属中高档题．主要命题角度有：(1)二次函数图象的识别问题； (2)二次函数的单调性问题； (3)二次函数的最值问题．角度一 二次函数图象的识别问题已知abc >0，则二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )【解析】 A 项，因为a <0，－b2a <0，所以b <0.又因为abc >0，所以c >0，而f (0)＝c <0，故A 错． B 项，因为a <0，－b2a>0，所以b >0.又因为abc >0，所以c <0，而f (0)＝c >0，故B 错． C 项，因为a >0，－b2a <0，所以b >0.又因为abc >0，所以c >0，而f (0)＝c <0，故C 错．D 项，因为a >0，－b2a >0，所以b <0，因为abc >0，所以c <0，而f (0)＝c <0，故选D. 【答案】 D角度二 二次函数的单调性问题函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a 的取值范围是________．【解析】 当a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1在[－1，＋∞)上递减，满足条件．当a ≠0时，f (x )的对称轴为x ＝3－a2a，由f (x )在[－1，＋∞)上递减知⎩⎪⎨⎪⎧a <03－a 2a≤－1，解得－3≤a <0.综上，a 的取值范围为[－3，0]． 【答案】 [－3，0]若函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1的单调减区间是[－1，＋∞)，则a 为何值？解：因为函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1的单调减区间为[－1，＋∞)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a <0，a －3－2a＝－1，解得a ＝－3.角度三 二次函数的最值问题已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋1，x ∈[－1，2]． (1)若a ＝1，求f (x )的最大值与最小值；(2)f (x )的最小值记为g (a )，求g (a )的解析式以及g (a )的最大值． 【解】 (1)当a ＝1时，f (x )＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2，x ∈[－1，2]， 则当x ＝1时，f (x )的最小值为0，x ＝－1时，f (x )的最大值为4. (2)f (x )＝(x －a )2＋1－a 2，x ∈[－1，2]， 当a <－1时，f (x )的最小值为f (－1)＝2＋2a ， 当－1≤a ≤2时，f (x )的最小值为f (a )＝1－a 2， 当a >2时，f (x )的最小值为f (2)＝5－4a ， 则g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧2＋2a ，a <－1，1－a 2，－1≤a ≤2，5－4a ，a >2，可知，g (a )在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，g (a )的最大值为g (0)＝1.(1)确定二次函数图象应关注的三个要点一是看二次项系数的符号，它确定二次函数图象的开口方向； 二是看对称轴和最值，它确定二次函数图象的具体位置；三是看函数图象上的一些特殊点，如函数图象与y 轴的交点、与x 轴的交点，函数图象的最高点或最低点等．从这三个方面入手，能准确地判断出二次函数的图象．反之，也可以从图象中得到如上信息．(2)二次函数最值的求法二次函数的区间最值问题一般有三种情况：①对称轴和区间都是给定的；②对称轴动，区间固定；③对称轴定，区间变动．解决这类问题的思路是抓住“三点一轴”进行数形结合，三点指的是区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴．具体方法是利用函数的单调性及分类讨论的思想求解．对于②、③，通常要分对称轴在区间内、区间外两大类情况进行讨论．1．(2017·高考浙江卷)若函数f (x )＝x 2＋ ax ＋b 在区间[0, 1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( )A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关解析：选B.f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22－a 24＋b ，①当0≤－a 2≤1时，f (x )min ＝m ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－a 24＋b ，f (x )max ＝M ＝max{f (0)，f (1)}＝max{b ，1＋a ＋b }，所以M －m ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 24，1＋a ＋a 24与a 有关，与b 无关；②当－a2<0时，f (x )在[0，1]上单调递增，所以M －m ＝f (1)－f (0)＝1＋a 与a有关，与b 无关；③当－a2>1时，f (x )在[0，1]上单调递减，所以M －m ＝f (0)－f (1)＝－1－a 与a 有关，与b 无关．综上所述，M －m 与a 有关，但与b 无关，故选B.2．已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0，1]时有最大值2，则实数a 的值为________．解析：f (x )＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1， 当a ≥1时，y max ＝a ；当0＜a ＜1时，y max ＝a 2－a ＋1； 当a ≤0时，y max ＝1－a .根据已知条件得，⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1a ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1a 2－a ＋1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤01－a ＝2， 解得a ＝2或a ＝－1. 答案：－1或23．若函数f (x )＝ax 2＋20x ＋14(a ＞0)对任意实数t ，在闭区间[t －1，t ＋1]上总存在两实数x 1，x 2，使得|f (x 1)－f (x 2)|≥8成立，则实数a 的最小值为________．解析：因为a ＞0，所以二次函数f (x )＝ax 2＋20x ＋14的图象开口向上．在闭区间[t －1，t ＋1]上总存在两实数x 1，x 2， 使得|f (x 1)－f (x 2)|≥8成立， 只需t ＝－10a时f (t ＋1)－f (t )≥8，即a (t ＋1)2＋20(t ＋1)＋14－(at 2＋20t ＋14)≥8， 即2at ＋a ＋20≥8，将t ＝－10a代入得a ≥8.所以a 的最小值为8. 故答案为8. 答案：8三个“二次”间的转化(2019·金华市东阳二中高三调研)已知二次函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )． (1)当a ＝－6时，函数f (x )的定义域和值域都是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，b 2，求b 的值；(2)当a ＝－1时在区间[－1，1]上，y ＝f (x )的图象恒在y ＝2x ＋2b －1的图象上方，试确定实数b 的范围．【解】 (1)当a ＝－6时，函数f (x )＝x 2－6x ＋b ，函数对称轴为x ＝3，故函数f (x )在区间[1，3]上单调递减，在区间(3，＋∞)上单调递增．①当2<b ≤6时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，b 2上单调递减；故有⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝b2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2＝1，无解；②当6<b ≤10时，f (x )在区间[1，3]上单调递减，在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤3，b 2上单调递增，且f (1)≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，故⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝b 2f （3）＝1，解得b ＝10； ③当b >10时，f (x )在区间[1，3]上单调递减，在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤3，b 2上单调递增，且f (1)<f (b2)，故⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2＝b 2f （3）＝1，无解．所以b 的值为10. (2)当a ＝－1时，f (x )＝x 2－x ＋b ，由题意可知x 2－x ＋b >2x ＋2b －1对x ∈[－1，1]恒成立， 化简得b <x 2－3x ＋1，令g (x )＝x 2－3x ＋1，x ∈[－1，1]，图象开口向上，对称轴为x ＝32，在区间[－1，1]上单调递减，则g (x )min ＝－1，故b <－1.(1)二次函数、二次方程与二次不等式统称三个“二次”，它们常结合在一起，而二次函数又是三个“二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．因此，解决此类问题首先采用转化思想，把方程、不等式问题转化为函数问题．借助于函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点．(2)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键①一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．②两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min .[提醒] 当二次项系数a 是否为0不明确时，要分类讨论．1．(2019·宁波市余姚中学期中检测)设a <0，(3x 2＋a )(2x ＋b )≥0在(a ，b )上恒成立，则b －a 的最大值为( )A ．13B ．12C ．33D ．22解析：选A.因为(3x 2＋a )(2x ＋b )≥0在(a ，b )上恒成立， 所以3x 2＋a ≥0，2x ＋b ≥0或3x 2＋a ≤0，2x ＋b ≤0，①若2x ＋b ≥0在(a ，b )上恒成立，则2a ＋b ≥0，即b ≥－2a >0，此时当x ＝0时，3x 2＋a ＝a ≥0不成立，②若2x ＋b ≤0在(a ，b )上恒成立，则2b ＋b ≤0，即b ≤0，若3x 2＋a ≤0在(a ，b )上恒成立，则3a 2＋a ≤0，即－13≤a ≤0，故b －a 的最大值为13.2．已知函数f (x )＝x 2－x ＋1，在区间[－1，1]上不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析：f (x )>2x ＋m 等价于x 2－x ＋1>2x ＋m ，即x 2－3x ＋1－m >0， 令g (x )＝x 2－3x ＋1－m ，要使g (x )＝x 2－3x ＋1－m >0在[－1，1]上恒成立，只需使函数g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1，1]上的最小值大于0即可． 因为g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1，1]上单调递减， 所以g (x )min ＝g (1)＝－m －1. 由－m －1>0，得m <－1 .因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－1)． 答案：(－∞，－1)幂函数y ＝x α(α∈R )的图象的特征当α>0时，图象过原点和点(1，1)，在第一象限图象从左往右是逐渐上升； 当α<0时，图象过点(1，1)，但不过原点，在第一象限图象从左往右是逐渐下降．求解二次函数最值的关键点求二次函数的最值，应抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．二次函数中的恒成立问题与二次函数有关的不等式恒成立的条件(1)ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b 2－4ac <0；(2)ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b 2－4ac <0；(3)a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min .易错防范(1)对于函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，要认为它是二次函数，就必须满足a ≠0，当题目条件中未说明a ≠0时，就要讨论a ＝0和a ≠0两种情况．(2)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．(3)数形结合思想是研究二次函数问题的基本方法．特别是涉及二次方程、二次不等式的时候常常要结合图形寻找思路．(4)含字母系数的二次函数问题经常使用的方法是分类讨论．比如讨论二次函数的对称轴与给定区间的位置关系，讨论二次方程根的大小等．[基础达标]1．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α＝( )A ．12B ．1C ．32D ．2解析：选C.因为函数f (x )＝k ·x α是幂函数，所以k ＝1，又函数f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，解得α＝12，则k ＋α＝32. 2．若幂函数f (x )＝x mn (m ，n ∈N *，m ，n 互质)的图象如图所示，则( )A ．m ，n 是奇数，且mn<1 B ．m 是偶数，n 是奇数，且m n >1 C ．m 是偶数，n 是奇数，且m n <1 D ．m 是奇数，n 是偶数，且m n>1解析：选C.由图知幂函数f (x )为偶函数，且m n<1，排除B ，D ；当m ，n 是奇数时，幂函数f (x )非偶函数，排除A ；选C.3．若函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的x ∈R 都有f (x －1)＝f (3－x )，则以下结论中正确的是( )A ．f (0)<f (－2)<f (5)B ．f (－2)<f (5)<f (0)C ．f (－2)<f (0)<f (5)D ．f (0)<f (5)<f (－2)解析：选A.若函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的x ∈R 都有f (x －1)＝f (3－x )，则f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图象的对称轴为x ＝1且函数f (x )的图象的开口方向向上，则函数f (x )在(1，＋∞)上为增函数，所以f (2)<f (4)<f (5)，又f (0)＝f (2)，f (－2)＝f (4)，所以f (0)<f (－2)<f (5)．4．(2019·瑞安四校联考)定义域为R 的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝x 2－x ，则当x ∈[－2，－1]时，f (x )的最小值为( )A ．－116B ．－18C ．－14D ．0解析：选A.当x ∈[－2，－1]时，x ＋2∈[0，1]，则f (x ＋2)＝(x ＋2)2－(x ＋2)＝x2＋3x ＋2，又f (x ＋2)＝f [(x ＋1)＋1]＝2f (x ＋1)＝4f (x )，所以当x ∈[－2，－1]时，f (x )＝14(x 2＋3x ＋2)＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322－116，所以当x ＝－32时，f (x )取得最小值，且最小值为－116，故选A.5．若函数f (x )＝x 2－2x ＋1在区间[a ，a ＋2]上的最小值为4，则a 的取值集合为( ) A ．[－3，3] B ．[－1，3] C ．{－3，3}D ．{－1，－3，3}解析：选C.因为函数f (x )＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2，对称轴x ＝1，因为在区间[a ，a ＋2]上的最小值为4，所以当1≤a 时，y min ＝f (a )＝(a －1)2＝4，a ＝－1(舍去)或a ＝3，当a ＋2≤1时，即a ≤－1，y min ＝f (a ＋2)＝(a ＋1)2＝4，a ＝1(舍去)或a ＝－3，当a <1<a ＋2，即－1<a <1时，y min ＝f (1)＝0≠4，故a 的取值集合为{－3，3}．6．(2019·温州高三月考)已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)，g (x )＝f (f (x ))，若g (x )的值域为[2，＋∞)，f (x )的值域为[k ，＋∞)，则实数k 的最大值为( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选C.设t ＝f (x )，由题意可得g (x )＝f (t )＝at 2＋bt ＋c ，t ≥k ，函数y ＝at 2＋bt ＋c ，t ≥k 的图象为y ＝f (x )的图象的部分，即有g (x )的值域为f (x )的值域的子集，即[2，＋∞)⊆[k ，＋∞)， 可得k ≤2，即有k 的最大值为2. 故选C.7．已知幂函数f (x )＝x －12，若f (a ＋1)<f (10－2a )，则实数a 的取值范围是________．解析：因为f (x )＝x －12＝1x(x >0)，易知x ∈(0，＋∞)时为减函数，又f (a ＋1)<f (10－2a )，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>0，10－2a >0，a ＋1>10－2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a >－1，a <5，a >3，所以3<a <5.答案：(3，5)8．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋2a ＋4的定义域为R ，值域为[1，＋∞)，则a 的值为________．解析：由于函数f (x )的值域为[1，＋∞)，所以f (x )min ＝1.又f (x )＝(x －a )2－a 2＋2a ＋4，当x ∈R 时，f (x )min ＝f (a )＝－a 2＋2a ＋4＝1，即a 2－2a －3＝0，解得a ＝3或a ＝－1.答案：－1或39．(2019·杭州四中第一次月考)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋1，若存在x 0使|f (x 0)|≤14，|f (x 0＋1)|≤14同时成立，则实数a 的取值范围为________．解析：由f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋4－a 24，考察g (x )＝x 2＋h ，当h ＝0时，有⎪⎪⎪⎪⎪⎪g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12≤14，⎪⎪⎪⎪⎪⎪g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋1≤14同时成立；当h ＝－12时，有⎪⎪⎪⎪⎪⎪g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12≤14，|g (－12＋1)|≤14同时成立．所以－12≤h ≤0，即－12≤4－a24≤0，解得－6≤a ≤－2或2≤a ≤ 6. 答案：[－6，－2]∪[2，6]10．设函数f (x )＝x 2－1，对任意x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x m －4m 2f (x )≤f (x －1)＋4f (m )恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析：依据题意，得x 2m 2－1－4m 2(x 2－1)≤(x －1)2－1＋4(m 2－1)在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞上恒成立，即1m 2－4m 2≤－3x 2－2x ＋1在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞上恒成立．当x ＝32时，函数y ＝－3x 2－2x ＋1取得最小值－53，所以1m 2－4m 2≤－53，即(3m 2＋1)(4m 2－3)≥0，解得m ≤－32或m ≥32. 答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ 11．已知幂函数f (x )＝(m 2－5m ＋7)x m －1为偶函数．(1)求f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )－ax －3在[1，3]上不是单调函数，求实数a 的取值范围． 解：(1)由题意m 2－5m ＋7＝1，解得m ＝2或m ＝3， 若m ＝2，与f (x )是偶函数矛盾，舍去， 所以m ＝3，所以f (x )＝x 2.(2)g (x )＝f (x )－ax －3＝x 2－ax －3，g (x )的对称轴是x ＝a2，若g (x )在[1，3]上不是单调函数， 则1<a2<3，解得2<a <6.12．(2019·台州市教学质量调研)已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图象过点(－1，3)，且关于直线x ＝1对称．(1)求f (x )的解析式；(2)若m ＜3，求函数f (x )在区间[m ，3]上的值域．解：(1)因为函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图象过点(－1，3)，且关于直线x ＝1对称，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＝1－b ＋c ＝3－b 2＝1，解得b ＝－2，c ＝0，所以f (x )＝x 2－2x .(2)当1≤m ＜3时，f (x )min ＝f (m )＝m 2－2m ，f (x )max ＝f (3)＝9－6＝3，所以f (x )的值域为[m 2－2m ，3]；当－1≤m ＜1时，f (x )min ＝f (1)＝1－2＝－1，f (x )max ＝f (－1)＝1＋2＝3，所以f (x )的值域为[－1，3]．当m ＜－1时，f (x )min ＝f (1)＝1－2＝－1，f (x )max ＝f (m )＝m 2－2m ，所以f (x )的值域为[－1，m 2－2m ]． [能力提升]1．(2019·台州质检) 如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A (－3，0)，对称轴为x ＝－1.给出下面四个结论：①b 2>4ac ；②2a －b ＝1；③a －b ＋c ＝0；④5a <b .其中正确的结论是( )A ．②④B ．①④C ．②③D ．①③解析：选B.因为二次函数的图象与x 轴交于两点，所以b 2－4ac >0，即b 2>4ac ，①正确；对称轴为x ＝－1，即－b2a ＝－1，2a －b ＝0，②错误；结合图象，当x ＝－1时，y >0，即a－b ＋c >0，③错误；由对称轴为x ＝－1知，b ＝2a ，又函数图象开口向下，所以a <0，所以5a <2a ，即5a <b ，④正确．故选B.2．(2019·温州市十校联考)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝12(|x －a 2|＋|x －2a 2|－3a 2)．若任取∀x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，则实数a 的取值范围为( ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－16，16 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－66，66 C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 解析：选B.因为当x ≥0时，f (x )＝12(|x －a 2|＋|x －2a 2|－3a 2)，所以当0≤x ≤a 2时，f (x )＝12(a 2－x ＋2a 2－x －3a 2)＝－x ；当a 2＜x ＜2a 2时，f (x )＝12(x －a 2＋2a 2－x －3a 2)＝－a 2；当x ≥2a 2时，f (x )＝12(x －a 2＋x －2a 2－3a 2)＝x －3a 2.综上，函数f (x )＝12(|x －a 2|＋|x －2a 2|－3a 2)在x ≥0时的解析式等价于f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，0≤x ≤a 2，－a 2，a 2＜x ＜2a 2，x －3a 2，x ≥2a 2.因此，根据奇函数的图象关于原点对称作出函数f (x )在R 上的大致图象如下，观察图象可知，要使∀x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，则需满足2a 2－(－4a 2)≤1，解得－66≤a ≤66. 3．已知函数f (x )＝|x 2＋ax ＋b |在区间[0，c ]内的最大值为M (a ，b ∈R ，c ＞0为常数)且存在实数a ，b ，使得M 取最小值2，则a ＋b ＋c ＝________．解析：函数y ＝x 2＋ax ＋b 是二次函数，所以函数f (x )＝|x 2＋ax ＋b |在区间[0，c ]内的最大值M 在端点处或x ＝－a2处取得．若在x ＝0处取得，则b ＝±2， 若在x ＝－a 2处取得，则|b －a 24|＝2，若在x ＝c 处取得，则|c 2＋ac ＋b |＝2. 若b ＝2，则|b －a 24|≤2，|c 2＋ac ＋b |≤2，解得a ＝0，c ＝0，符合要求，若b ＝－2，则顶点处的函数值的绝对值大于2，不成立． 可得a ＋b ＋c ＝2.故答案为2. 答案：24．(2019·宁波市余姚中学高三期中)已知f (x )＝34x 2－3x ＋4，若f (x )的定义域和值域都是[a ，b ]，则a ＋b ＝________．解析：因为f (x )＝34x 2－3x ＋4＝34(x －2)2＋1，所以x ＝2是函数的对称轴，根据对称轴进行分类讨论：①当b <2时，函数在区间[a ，b ]上递减，又因为值域也是[a ，b ]，所以得方程组⎩⎪⎨⎪⎧f （a ）＝bf （b ）＝a ， 即⎩⎪⎨⎪⎧34a 2－3a ＋4＝b 34b 2－3b ＋4＝a ，两式相减得34(a ＋b )(a －b )－3(a －b )＝b －a ，又因为a ≠b ，所以a ＋b ＝83，由34a 2－3a ＋4＝83－a ，得3a 2－8a ＋163＝0，所以a ＝43，所以b ＝43，故舍去． ②当a <2≤b 时，得f (2)＝1＝a ，又因为f (1)＝74<2，所以f (b )＝b ，得34b 2－3b ＋4＝b ，所以b ＝43(舍)，或b ＝4，所以a ＋b ＝5.③当a ≥2时，函数在区间[a ，b ]上递增，又因为值域是[a ，b ]，所以得方程组⎩⎪⎨⎪⎧f （a ）＝af （b ）＝b ，即a ，b 是方程34x 2－3x ＋4＝x 的两根，即a ，b 是方程3x 2－16x ＋16＝0的两根，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝43b ＝4，但a ≥2，故应舍去．综上得a ＋b ＝5.答案：55．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0，b ∈R ，c ∈R )． (1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），x ＞0，－f （x ），x ＜0，求F (2)＋F (－2)的值；(2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0，1]上恒成立，试求b 的取值范围． 解：(1)由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0，且－b2a ＝－1，解得a ＝1，b ＝2，所以f (x )＝(x ＋1)2.所以F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋1）2，x ＞0，－（x ＋1）2，x ＜0. 所以F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)由题意知f (x )＝x 2＋bx ，原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在(0，1]上恒成立， 即b ≤1x －x 且b ≥－1x －x 在(0，1]上恒成立．又当x ∈(0，1]时，1x－x 的最小值为0，－1x－x 的最大值为－2.所以－2≤b ≤0.故b的取值范围是[－2，0]．6．(2019·宁波市余姚中学期中检测)已知函数f (x )＝－x 2＋2bx ＋c ，设函数g (x )＝|f (x )|在区间[－1，1]上的最大值为M .(1)若b ＝2，试求出M ；(2)若M ≥k 对任意的b 、c 恒成立，试求k 的最大值．解：(1)当b ＝2时，f (x )＝－x 2＋4x ＋c 在区间[－1，1]上是增函数， 则M 是g (－1)和g (1)中较大的一个， 又g (－1)＝|－5＋c |，g (1)＝|3＋c |，则M ＝⎩⎪⎨⎪⎧|－5＋c |，c ≤1|3＋c |，c >1.(2)g (x )＝|f (x )|＝|－(x －b )2＋b 2＋c |，(ⅰ)当|b |>1时，y ＝g (x )在区间[－1，1]上是单调函数， 则M ＝max{g (－1)，g (1)}，而g (－1)＝|－1－2b ＋c |，g (1)＝|－1＋2b ＋c |，则2M ≥g (－1)＋g (1)≥|f (－1)－f (1)|＝4|b |>4，可知M >2.(ⅱ)当|b |≤1时，函数y ＝g (x )的对称轴x ＝b 位于区间[－1，1]之内， 此时M ＝max{g (－1)，g (1)，g (b )}， 又g (b )＝|b 2＋c |，①当－1≤b ≤0时，有f (1)≤f (－1)≤f (b )，则M ＝max{g (b )，g (1)}≥12(g (b )＋g (1))≥12|f (b )－f (1)|＝12(b －1)2≥12；②当0<b ≤1时，有f (－1)≤f (1)≤f (b )．则M ＝max{g (b )，g (－1)}≥12(g (b )＋g (－1))≥12|f (b )－f (－1)|＝12(b ＋1)2>12.综上可知，对任意的b 、c 都有M ≥12.而当b ＝0，c ＝12时，g (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－x 2＋12在区间[－1，1]上的最大值M ＝12，故M ≥k 对任意的b 、c 恒成立的k 的最大值为12.。
2020版高考数学复习课件： 绝对值函数与分段函数 (共27张PPT)
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高考总复习 一轮复习导学案 ·数学文科
微难点1 绝对值函数与分段函数
7. 已知函数f(x)＝x2＋2x－a(x∈R，a为常数)． (1) 当a＝2时，讨论函数f(x)的单调性； (2) 若a>－2，函数f(x)的最小值为2，求实数a的值．
【解答】(1)
当a＝2时，f(x)＝x2＋|2x－2|＝
x2＋2x－2，x≥1， x2－2x＋2，x<1，
结合图象知，
函数y＝f(x)的增区间为[1，＋∞)，减区间为(－∞，1]．
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微难点1 绝对值函数与分段函数
(2) 易知f(x)＝xx22－＋22xx＋－aa，，xx<≥a2a2，， 因为a>－2，所以a2>－1，结合图象可知： 当a≥2时，f(x)min＝f(1)＝a－1＝2，解得a＝3，符合题意； 当－2<a<2时，f(x)min＝f a2＝a42＝2，无解．
当x≥0时，f(x)＝x＋4 2－1，令f(x)＝0，即x＋4 2－1＝0，
(第4题)
解得x＝2；令f(x)＝1，即
4 x＋2
－1＝1，解得x＝0.易知函数f(x)在[0，＋∞)上为减函
数，又f(x)为偶函数，所以f(x)在(－∞，0)上为增函数，且f(－2)＝0，根据图象可
全国高考数学复习：专题(含参函数的单调性讨论)重点讲解与练习(附答案)
全国高考数学复习：专题（含参函数的单调性讨论）重点讲解与练习【方法总结】分类讨论思想研究函数的单调性讨论含参函数的单调性，其本质就是讨论导函数符号的变化情况，所以讨论的关键是抓住导函数解析式中的符号变化部分，即导数的主要部分，简称导主．讨论时要考虑参数所在的位置及参数取值对导函数符号的影响，一般来说需要进行四个层次的分类：(1)最高次幂的系数是否为0，即“是不是”；(2)导函数是否有变号零点，即“有没有”；(3)导函数的变号零点是否在函数定义域或指定区间内，即“在不在”；(4)导函数的变号零点之间的大小关系，即“大不大”．牢记：十二字方针“是不是，有没有，在不在，大不大”．考点一 导主一次型【例题选讲】[例1]已知函数f(x)＝x－a ln x(a∈R)，讨论函数f(x)的单调性．【对点训练】1．已知函数f(x)＝a ln x－ax－3(a∈R)．讨论函数f(x)的单调性．2．已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R)，讨论函数f(x)的单调性．考点二 导主二次型【方法总结】此类问题中，导数的解析式通过化简变形后，通常可以转化为一个二次函数的含参问题．对于二次三项式含参问题，有如下处理思路：(1)首先需要考虑二次项系数是否含有参数．如果二次项系数有参数，就按二次项系数为零、为正、为负进行讨论；(2)其次考虑二次三项式能否因式分解，如果二次三项式能因式分解，这表明存在零点，只需讨论零点是否在定义域内，如果x1，x2都在定义域内，则讨论个零点x1，x2的大小；如果二次三项式不能因式分解，这表明不一定存在零点，需讨论判别式Δ≤0和Δ>0分类讨论；【例题选讲】命题点1是不是＋有没有＋在不在[例2](2021ꞏ全国乙节选)已知函数f(x)＝x3－x2＋ax＋1．讨论f(x)的单调性．[例3](2018ꞏ全国Ⅰ节选)已知函数f(x)＝1x－x＋a ln x，讨论f(x)的单调性．[例4]设函数f(x)＝a ln x＋x－1x＋1，其中a为常数．讨论函数f(x)的单调性．【对点训练】3．(2020ꞏ全国Ⅲ节选)已知函数f(x)＝x3－kx＋k2．讨论f(x)的单调性．4．已知函数f (x )＝x －2x ＋1－a ln x ，a >0．讨论f (x )的单调性．5．已知函数f (x )＝(1＋ax 2)e x －1，当a ≥0时，讨论函数f (x )的单调性．命题点2 是不是＋在不在＋大不大[例5] 已知函数f (x )＝ln x ＋ax 2－(2a ＋1)x ．若a >0，试讨论函数f (x )的单调性．[例6] 已知函数f (x )＝x 2e －ax－1(a 是常数)，求函数y ＝f (x )的单调区间．[例7] 已知函数f (x )＝(a ＋1)ln x ＋1x －ax ＋2(a ∈R )．讨论f (x )的单调性．[例8] 已知函数f (x )＝a ln(x ＋1)－ax －x 2，讨论f (x )在定义域上的单调性．[例9] (2016ꞏ山东)已知f (x )＝a (x －ln x )＋2x －1x 2，a ∈R ．讨论f (x )的单调性．【对点训练】6．已知函数f (x )＝122－(a ＋1)x ＋ln x ，a >0，试讨论函数y ＝f (x )的单调性．7．已知函数f (x )＝x 2e ax ＋1＋1－a (a ∈R )，求函数f (x )的单调区间．8．已知函数f (x )＝(a －1)ln x ＋ax 2＋1，讨论函数f (x )的单调性．9．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫k ＋4k ln x ＋4－x 2x ，其中常数k >0，讨论f (x )在(0，2)上的单调性．10．已知函数f (x )＝ln(x ＋1)－ax 2＋x(x ＋1)2，且1<a <2，试讨论函数f (x )的单调性．考点三 导主指对型 【例题选讲】[例10] 已知函数f (x )＝e x (e x －a )－a 2x ，讨论函数f (x )的单调性．[例11] 已知f (x )＝(x 2－ax )ln x －32x 2＋2ax ，求f (x )的单调递减区间．【对点训练】11．已知函数f (x )＝e x －ax －1的定义域为(0，＋∞)，讨论函数f (x )的单调性．12．已知函数f (x )＝(x 2－2ax )ln x －122＋2ax (a ∈R )．(1)若a ＝0，求f (x )的最小值； (2)求函数f (x )的单调区间．考点四 导主正余型【例题选讲】[例12](2017山东理)已知函数f(x)＝x2＋2cos x，g(x)＝e xꞏ(cos x－sin x＋2x－2)，其中e是自然对数的底数．(1)求函数g(x)的单调区间；(2)讨论函数h(x)＝g(x)－af (x)(a∈R)的单调性．【对点训练】13．(2017ꞏ山东)已知函数f(x)＝13x 3－12ax2，其中参数a∈R．(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线方程；(2)设函数g(x)＝f(x)＋(x－a)cos x－sin x，讨论g(x)的单调性参考答案【例题选讲】[例1] 已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R )，讨论函数f (x )的单调性．解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－a x ＝x －ax ，令f ′(x )＝0，得x ＝a ， ①当a ≤0时，f ′(x )>0在(0，＋∞)上恒成立，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增， ②当a >0时，x ∈(0，a )时，f ′(x )<0，x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，综上，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，当a >0时，f (x )在(0，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增．【对点训练】1．已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R )．讨论函数f (x )的单调性． 1．解析 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝a (1－x )x ，令f ′(x )＝0，得x ＝1，当a >0时，f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减； 当a <0时，f (x )在(1，＋∞)上单调递增，在(0，1)上单调递减； 当a ＝0时，f (x )为常函数．2．已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )，讨论函数f (x )的单调性． 2．解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x (x >0)，①当a ≤0时，f ′(x )＝1x －a >0，即函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增． ②当a >0时，令f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x ＝0，可得x ＝1a ， 当0<x <1a 时，f ′(x )＝1－ax x >0；当x >1a 时，f ′(x )＝1－ax x <0， 故函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减． 综上，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减． 考点二 导主二次型 【方法总结】此类问题中，导数的解析式通过化简变形后，通常可以转化为一个二次函数的含参问题．对于二次三项式含参问题，有如下处理思路：(1)首先需要考虑二次项系数是否含有参数．如果二次项系数有参数，就按二次项系数为零、为正、为负进行讨论；(2)其次考虑二次三项式能否因式分解，如果二次三项式能因式分解，这表明存在零点，只需讨论零点是否在定义域内，如果x 1，x 2都在定义域内，则讨论个零点x 1，x 2的大小；如果二次三项式不能因式分解，这表明不一定存在零点，需讨论判别式Δ≤0和Δ>0分类讨论；【例题选讲】命题点1 是不是＋有没有＋在不在[例2] (2021ꞏ全国乙节选)已知函数f (x )＝x 3－x 2＋ax ＋1．讨论f (x )的单调性．解析 由题意知f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝3x 2－2x ＋a ，对于f ′(x )＝0，Δ＝(－2)2－4×3a ＝4(1－3a )． ①当a ≥13时，f ′(x )≥0，f (x )在R 上单调递增；②当a <13时，令f ′(x )＝0，即3x 2－2x ＋a ＝0，解得x 1＝1－1－3a 3，x 2＝1＋1－3a 3， 令f ′(x )>0，则x <x 1或x ＞x 2；令f ′(x )<0，则x 1<x <x 2．所以f (x )在(－∞，x 1)上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减，在(x 2，＋∞)上单调递增．综上，当a ≥13时，f (x )在R 上单调递增；当a <13时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－1－3a 3上单调递增，在⎝ ⎛⎪⎫1－1－3a 3，1＋1－3a 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－3a 3，＋∞上单调递增．[例3] (2018ꞏ全国Ⅰ节选)已知函数f (x )＝1x －x ＋a ln x ，讨论f (x )的单调性． 解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－1x 2－1＋a x ＝－x 2－ax ＋1x 2． ①当a ≤2时，则f ′(x )≤0，当且仅当a ＝2，x ＝1时，f ′(x )＝0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递减．②当a ＞2时，令f ′(x )＝0，得x ＝a －a 2－42或x ＝a ＋a 2－42． 当x ∈⎝ ⎛⎪⎫0，a －a 2－4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－42，＋∞时，f ′(x )＜0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－42，a ＋a 2－42时，f ′(x )＞0． 所以f (x )在⎝ ⎛⎪⎫0，a －a 2－4，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－42，＋∞上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－42，a ＋a 2－42上单调递增． 综合①②可知，当a ≤2时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当a ＞2时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－42，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－42，＋∞上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－42，a ＋a 2－42上单调递增．[例4] 设函数f (x )＝a ln x ＋x －1x ＋1，其中a 为常数．讨论函数f (x )的单调性． 解析 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝a x ＋2(x ＋1)2＝ax 2＋(2a ＋2)x ＋a x (x ＋1)2．当a ≥0时，f ′(x )＞0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．当a ＜0时，令g (x )＝ax 2＋(2a ＋2)x ＋a ，由于Δ＝(2a ＋2)2－4a 2＝4(2a ＋1)．(1)当a ＝－12时，Δ＝0，f ′(x )＝－12(x －1)2x (x ＋1)2≤0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减．(2)当a ＜－12时，Δ＜0，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减． (3)当－12＜a ＜0时，Δ＞0．设x 1，x 2(x 1＜x 2)是函数g (x )的两个零点， 则x 1＝－(a ＋1)＋2a ＋1a ，x 2＝－(a ＋1)－2a ＋1a． 由x 1＝a ＋1－2a ＋1－a ＝a 2＋2a ＋1－2a ＋1－a ＞0，所以x ∈(0，x 1)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减； x ∈(x 1，x 2)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增； x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减．综上可得：当a ≥0时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ≤－12时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减； 当－12＜a ＜0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－(a ＋1)＋2a ＋1a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－(a ＋1)－2a ＋1a ，＋∞上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－(a ＋1)＋2a ＋1a ，－(a ＋1)－2a ＋1a 上单调递增． 【对点训练】3．(2020ꞏ全国Ⅲ节选)已知函数f (x )＝x 3－kx ＋k 2．讨论f (x )的单调性． 3．解析 由题意，得f ′(x )＝3x 2－k ，当k ≤0时，f ′(x )≥0恒成立，所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增； 当k ＞0时，令f ′(x )＝0，得x ＝±k 3，令f ′(x )＜0，得－k3＜x ＜k3，令f ′(x )＞0，得x ＜－k3或x ＞k 3，所以f (x )在⎝⎛⎭⎫－k 3，k 3上单调递减，在⎝⎛⎭⎫－∞，－k 3，⎝⎛⎭⎫k 3，＋∞上单调递增． 4．已知函数f (x )＝x －2x ＋1－a ln x ，a >0．讨论f (x )的单调性．4．解析 由题意知，f (x )的定义域是(0，＋∞)，导函数f ′(x )＝1＋2x 2－a x ＝x 2－ax ＋2x 2. 设g (x )＝x 2－ax ＋2，二次方程g (x )＝0的判别式Δ＝a 2－8.①当Δ<0，即0<a <22时，对一切x >0都有f ′(x )>0．此时f (x )是(0，＋∞)上的单调递增函数． ②当Δ＝0，即a ＝2 2 时，仅对x ＝2有f ′(x )＝0，对其余的x >0都有f ′(x )>0． 此时f (x )是(0，＋∞)上的单调递增函数．③当Δ>0，即a >22时，方程g (x )＝0有两个不同的实根x 1＝a －a 2－82，x 2＝a ＋a 2－82，0<x 1<x 2， x ∈(0，x 1)时，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增； x ∈(x 1，x 2)时，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减； x ∈(x 2，＋∞)时，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增．此时f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－82上单调递增，在(a －a 2－82，a ＋a 2－82)上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－82，＋∞上单调递增．5．已知函数f (x )＝(1＋ax 2)e x －1，当a ≥0时，讨论函数f (x )的单调性． 5．解析 由题易得f ′(x )＝(ax 2＋2ax ＋1)e x ，当a ＝0时，f ′(x )＝e x ＞0，此时f (x )在R 上单调递增． 当a ＞0时，方程ax 2＋2ax ＋1＝0的判别式Δ＝4a 2－4a ．①当0＜a ≤1时，Δ≤0，ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立，所以f ′(x )≥0，此时f (x )在R 上单调递增； ②当a ＞1时，令f ′(x )＝0，解得x 1＝－1－1－1a ，x 2＝－1＋1－1a ．x ∈(－∞，x 1)时，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增； x ∈(x 1，x 2)时，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减； x ∈(x 2，＋∞)时，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增． 所以f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－1－1－1a 和⎝⎛⎭⎫－1＋1－1a ，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－1－1－1a ，－1＋1－1a 上单调递减．综上，当0≤a ≤1时，f (x )在R 上单调递增；当a ＞1时，f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－1－1－1a 和⎝⎛⎭⎫－1＋1－1a ，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－1－1－1a ，－1＋1－1a 上单调递减．命题点2 是不是＋在不在＋大不大[例5] 已知函数f (x )＝ln x ＋ax 2－(2a ＋1)x ．若a >0，试讨论函数f (x )的单调性． 解析 因为f (x )＝ln x ＋ax 2－(2a ＋1)x ，所以f ′(x )＝2ax 2－(2a ＋1)x ＋1x ＝(2ax －1)(x －1)x． 由题意知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，令f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝12a ， 若12a <1，即a >12，由f ′(x )>0得x >1或0<x <12a ，由f ′(x )<0得12a <x <1， 即函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12a ，(1，＋∞)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫12a ，1上单调递减；若12a >1，即0<a <12，由f ′(x )>0得x >12a 或0<x <1，由f ′(x )<0得1<x <12a ，即函数f (x )在(0，1)，⎝⎛⎭⎫12a ，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1，12a 上单调递减； 若12a ＝1，即a ＝12，则在(0，＋∞)上恒有f ′(x )≥0，即函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．综上可得，当0<a <12时，函数f (x )在(0，1)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1，12a 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫12a ，＋∞上单调递增；当a ＝12时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >12时，函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫12a ，1上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．[例6] 已知函数f (x )＝x 2e －ax －1(a 是常数)，求函数y ＝f (x )的单调区间．解析 根据题意可得，当a ＝0时，f (x )＝x 2－1，函数在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减． 当a ≠0时，f ′(x )＝2x e－ax ＋x 2(－a )e －ax ＝e －ax (－ax 2＋2x )． 因为e －ax >0，所以令g (x )＝－ax 2＋2x ＝0，解得x ＝0或x ＝2a(1)当a >0时，函数g (x )＝－ax 2＋2x 在(－∞，0)和⎝⎛⎭⎫2a ，＋∞上有g (x )<0，即f ′(x )<0，函数y ＝f (x )单调递减；函数g (x )＝－ax 2＋2x 在⎣⎡⎦⎤0，2a 上有g (x )≥0，即f ′(x )≥0，函数y ＝f (x )单调递增． (2)当a <0时，函数g (x )＝－ax 2＋2x 在⎝⎛⎭⎫－∞，2a 和(0，＋∞)上有g (x )>0，即f ′(x )>0，函数y ＝f (x )单调递增；函数g (x )＝－ax 2＋2x 在⎣⎡⎦⎤2a ，0上有g (x )≤0，即f ′(x )≤0，函数y ＝f (x )单调递减． 综上所述，当a ＝0时，函数y ＝f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，单调递减区间为(－∞，0)；当a >0时，函数y ＝f (x )的单调递减区间为(－∞，0)，⎝⎛⎭⎫2a ，＋∞，单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，2a ； 当a <0时，函数y ＝f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，2a ，(0，＋∞)，单调递减区间为⎣⎡⎦⎤2a ，0． [例7] 已知函数f (x )＝(a ＋1)ln x ＋1x －ax ＋2(a ∈R )．讨论f (x )的单调性．解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝－(x －1)(ax －1)x 2．令f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝1a ． 当a ≤0时，ax －1＜0，f (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增；当0＜a ＜1时，f (x )在(0，1)上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减； 当a ＝1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当a ＞1时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1a ，1上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． [例8] 已知函数f (x )＝a ln(x ＋1)－ax －x 2，讨论f (x )在定义域上的单调性．解析 f ′(x )＝a x ＋1－a －2x ＝－2x ⎝⎛⎭⎫x ＋2＋a 2x ＋1， 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝－a ＋22，又f (x )的定义域为(－1，＋∞)，①当－a ＋22≤－1，即当a ≥0时，若x ∈(－1，0)，f ′(x )＞0，则f (x )单调递增；若x ∈(0，＋∞)，f ′(x )＜0，则f (x )单调递减．②当－1＜－a ＋22＜0，即－2＜a ＜0时，若x ∈⎝⎛⎭⎫－1，－a ＋22，f ′(x )＜0，则f (x )单调递减；若x ∈⎝⎛⎭⎫－a ＋22，0，f ′(x )＞0，则f (x )单调递增； 若x ∈(0，＋∞)，f ′(x )＜0，则f (x )单调递减．③当－a ＋22＝0，即a ＝－2时，f ′(x )≤0，f (x )在(－1，＋∞)上单调递减．④当－a ＋22＞0，即a ＜－2时，若x ∈(－1，0)，f ′(x )＜0，则f (x )单调递减；若x ∈⎝⎛⎭⎫0，－a ＋22，f ′(x )＞0，则f (x )单调递增；若x ∈⎝⎛⎭⎫－a ＋22，＋∞，f ′(x )＜0，则f (x )单调递减． 综上，当a ≥0时，f (x )在(－1，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减；当－2＜a ＜0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫－1，－a ＋22上单调递减，在⎝⎛⎭⎫－a ＋22，0上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减；当a ＝－2时，f (x )在(－1，＋∞)上单调递减；当a ＜－2时，f (x )在(－1，0)上单调递减，在⎝⎛⎭⎫0，－a ＋22上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－a ＋22，＋∞上单调递减．[例9] (2016ꞏ山东)已知f (x )＝a (x －ln x )＋2x －1x 2，a ∈R ．讨论f (x )的单调性．解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a －a x －2x 2＋2x 3＝(ax 2－2)(x －1)x 3． 当a ≤0，x ∈(0，1)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减．当a ＞0时，f ′(x )＝a (x －1)x 3⎝⎛⎭⎫x －2a ⎝⎛⎭⎫x ＋2a . ①若0＜a ＜2，则2a ＞1，当x ∈(0，1)或x ∈⎝⎛⎭⎫2a ，＋∞时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；当x ∈⎝⎛⎭⎫1，2a 时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减．②若a ＝2，则2a ＝1，在x ∈(0，＋∞)内，f ′(x )≥0，f (x )单调递增．③若a ＞2，则0＜2a ＜1，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，2a 或x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；当x ∈⎝⎛⎭⎫2a ，1时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减．综上所述，当a ≤0时，f (x )在(0，1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减；当0＜a ＜2时，f (x )在(0，1)内单调递增，在⎝⎛⎭⎫1，2a 内单调递减，在⎝⎛⎭⎫2a ，＋∞内单调递增；当a ＝2时，f (x )在(0，＋∞)内单调递增；当a ＞2时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，2a 内单调递增，在⎝⎛⎭⎫2a ，1内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增． 【对点训练】6．已知函数f (x )＝122－(a ＋1)x ＋ln x ，a >0，试讨论函数y ＝f (x )的单调性．6．解析 函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ax －(a ＋1)＋1x ＝ax 2－(a ＋1)x ＋1x ＝(ax －1)(x －1)x． ①当0<a <1时，1a >1，∴x ∈(0，1)和⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，f ′(x )>0；x ∈⎝⎛⎭⎫1，1a 时，f ′(x )<0， ∴函数f (x )在(0，1)和⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1，1a 上单调递减； ②当a ＝1时，1a ＝1，∴f ′(x )≥0在(0，＋∞)上恒成立，∴函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增； ③当a >1时，0<1a <1，∴x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 和(1，＋∞)时，f ′(x )>0；x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，1时，f ′(x )<0， ∴函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 和(1，＋∞)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，1上单调递减． 综上，当0<a <1时，函数f (x )在(0，1)和⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1，1a 上单调递减； 当a ＝1时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >1时，函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 和(1，＋∞)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，1上单调递减． 7．已知函数f (x )＝x 2e ax ＋1＋1－a (a ∈R )，求函数f (x )的单调区间． 7．解析 f (x )＝x 2e ax ＋1＋1－a (a ∈R )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝x (ax ＋2)e ax ＋1 ． ①当a ＝0时，x >0，f ′(x )>0；x <0，f ′(x )<0，所以函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，单调递减区间为(－∞，0)．②当a >0时，x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－2a ，f ′(x )>0；x ∈⎝⎛⎭⎫－2a ，0，f ′(x )<0；x ∈(0，＋∞)，f ′(x )>0， 所以函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－2a ，(0，＋∞)，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－2a ，0． ③当a <0时，x ∈(－∞，0)，f ′(x )<0；x ∈⎝⎛⎭⎫0，－2a ，f ′(x )>0；x ∈⎝⎛⎭⎫－2a ，＋∞，f ′(x )<0， 所以函数f (x )的单调递减区间为(－∞，0)，⎝⎛⎭⎫－2a ，＋∞，单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，－2a ． 8．已知函数f (x )＝(a －1)ln x ＋ax 2＋1，讨论函数f (x )的单调性．8．解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a －1x ＋2ax ＝2ax 2＋a －1x． (1)当a ≥1时，f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增；(2)当a ≤0时，f ′(x )<0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减；(3)当0<a <1时，令f ′(x )＝0，解得x ＝1－a 2a ， 则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－a 2a 时，f ′(x )<0；当x ∈(1－a 2a ，＋∞)时，f ′(x )>0， 故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－a 2a 上单调递减，在(1－a 2a ，＋∞)上单调递增． 9．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫k ＋4k ln x ＋4－x 2x ，其中常数k >0，讨论f (x )在(0，2)上的单调性． 9．解 因为f ′(x )＝k ＋4k x －4x 2－1＝⎝⎛⎭⎫k ＋4k x －4－x 2x 2＝－(x －k )⎝⎛⎭⎫x －4k x 2(x >0，k >0)． ①当0<k <2时，4k k >0，且4k >2，所以当x ∈(0，k )时，f ′(x )<0，当x ∈(k ，2)时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在(0，k )上是减函数，在(k ，2)上是增函数；②当k ＝2时，4k ＝k ＝2，f ′(x )<0在(0，2)上恒成立，所以f (x )在(0，2)上是减函数；③当k >2时，0<4k <2，k >4k ，所以当x ∈⎝⎛⎭⎫0，4k 时，f ′(x )<0；当x ∈⎝⎛⎭⎫4k ，2时，f ′(x )>0， 所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，4k 上是减函数，在⎝⎛⎭⎫4k ，2上是增函数．综上可知，当0<k <2时，f (x )在(0，k )上是减函数，在(k ，2)上是增函数；当k ＝2时，f (x )在(0，2)上是减函数；当k >2时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，4k 上是减函数，在⎝⎛⎭⎫4k ，2上是增函数． 10．已知函数f (x )＝ln(x ＋1)－ax 2＋x (x ＋1)2，且1<a <2，试讨论函数f (x )的单调性． 10．解析 函数f (x )的定义域为(－1，＋∞)，f ′(x )＝x (x －2a ＋3)(x ＋1)3，x >－1． ①当－1<2a －3<0，即1<a <32时，当－1<x <2a －3或x >0时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当2a －3<x <0时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．②当2a －3＝0，即a ＝32时，f ′(x )≥0，则f (x )在(－1，＋∞)上单调递增．③当2a －3>0，即32<a <2时，当－1<x <0或x >2a －3时，f ′(x )>0，则f (x )在(－1，0)，(2a －3，＋∞)上单调递增．当0<x <2a －3时，f ′(x )<0，则f (x )在(0，2a －3)上单调递减．综上，当1<a <32时，f (x )在(－1，2a －3)，(0，＋∞)上单调递增，在(2a －3，0)上单调递减；当a ＝32时，f (x )在(－1，＋∞)上单调递增；当32<a <2时，f (x )在(－1，0)，(2a －3，＋∞)上单调递增，在(0，2a －3)上单调递减．考点三 导主指对型【例题选讲】[例10] 已知函数f (x )＝e x (e x －a )－a 2x ，讨论函数f (x )的单调性．解析 函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝2e 2x －a e x －a 2＝(2e x ＋a )(e x －a )．①若a ＝0，则f (x )＝e 2x 在(－∞，＋∞)上单调递增．②若a >0，则由f ′(x )＝0，得x ＝ln a ．当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0；当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0. 故f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增．③若a <0，则由f ′(x )＝0，得x ＝ln ⎝⎛⎭⎫－a 2．当x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，ln ⎝⎛⎭⎫－a 2时，f ′(x )<0；当x ∈⎝⎛⎭⎫ln ⎝⎛⎭⎫－a 2，＋∞时，f ′(x )>0；故f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，ln ⎝⎛⎭⎫－a 2上单调递减，在⎝⎛⎭⎫ln ⎝⎛⎭⎫－a 2，＋∞上单调递增． [例11] 已知f (x )＝(x 2－ax )ln x －32x 2＋2ax ，求f (x )的单调递减区间．解析 易得f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝(2x －a )ln x ＋x －a －3x ＋2a ＝(2x －a )ln x －(2x －a )＝(2x －a )(ln x －1)，令f ′(x )＝0得x ＝a 2或x ＝e ．当a ≤0时，因为x ＞0，所以2x －a ＞0，令f ′(x )＜0得x ＜e ，所以f (x )的单调递减区间为(0，e)．当a ＞0时，①若a 2＜e ，即0＜a ＜2e ，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，a 2时，f ′(x )＞0，当x ∈⎝⎛⎭⎫a 2，e 时，f ′(x )＜0，当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )＞0， 所以f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫a 2，e ；②若a 2＝e ，即a ＝2e ，当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )≥0恒成立，f (x )没有单调递减区间；③若a 2＞e ，即a ＞2e ，当x ∈(0，e)时，f ′(x )＞0，当x ∈⎝⎛⎭⎫e ，a 2时，f ′(x )＜0，当x ∈⎝⎛⎭⎫a 2，＋∞时，f ′(x )＞0， 所以f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫e ，a 2． 综上所述，当a ≤0时，f (x )的单调递减区间为(0，e)；当0＜a ＜2e 时，f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫a 2，e ；当a ＝2e 时，f (x )无单调递减区间；当a ＞2e 时，f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫e ，a 2． 【对点训练】11．已知函数f (x )＝e x －ax －1的定义域为(0，＋∞)，讨论函数f (x )的单调性．11．解析 ∵f (x )＝e x －ax －1，∴f ′(x )＝e x －a ．易知f ′(x )＝e x －a 在(0，＋∞)上单调递增．∴当a ≤1时，f ′(x )＞0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞1时，由f ′(x )＝e x －a ＝0，得x ＝ln a ，∴当0＜x ＜ln a 时，f ′(x )＜0，当x ＞ln a 时，f ′(x )＞0， ∴f (x )在(0，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增．综上，当a ≤1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞1时，f (x )在(0，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增．12．已知函数f (x )＝(x 2－2ax )ln x －122＋2ax (a ∈R )．(1)若a ＝0，求f (x )的最小值；(2)求函数f (x )的单调区间．12．解析 (1)若a ＝0，f (x )＝x 2ln x －12x 2，定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2x ln x ＋x 2×1x －x ＝2x ln x ，由f ′(x )＞0可得x ＞1，由f ′(x )＜0可得0＜x ＜1，所以f (x )在(0，1)单调递减，在(1，＋∞)单调递增，所以f (x )的最小值为f (1)＝－12．(2)f ′(x )＝(2x －2a )ln x ＋(x 2－2ax )ꞏ1x －x ＋2a ＝(2x －2a )ln x ，①当a ≤0时，2x －2a ＞0，由f ′(x )＞0可得x ＞1，由f ′(x )＜0可得0＜x ＜1，此时f (x )的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞)；②当0＜a ＜1时，由f ′(x )＞0可得0＜x ＜a 或x ＞1，由f ′(x )＜0可得a ＜x ＜1，此时f (x )的单调递减区间为(a ，1)，单调递增区间为(0，a )和(1，＋∞)；③当a ＝1时，f ′(x )≥0恒成立，此时f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)；④当a ＞1时，由f ′(x )＞0可得0＜x ＜1或x ＞a ，由f ′(x )＜0可得1＜x ＜a ，此时f (x )的单调递减区间为(1，a )，单调递增区间为(0，1)和(a ，＋∞)．综上所述：当a ≤0时，f (x )的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞)；当0＜a ＜1时，f (x )的单调递减区间为(a ，1)，单调递增区间为(0，a )和(1，＋∞)；当a ＝1时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间；当a ＞1时，f (x )的单调递减区间为(1，a )，单调递增区间为(0，1)和(a ，＋∞)．考点四 导主正余型【例题选讲】[例12] (2017山东理)已知函数f (x )＝x 2＋2cos x ，g (x )＝e x ꞏ(cos x －sin x ＋2x －2)，其中e 是自然对数的底数．(1)求函数g(x)的单调区间；(2)讨论函数h(x)＝g(x)－af (x)(a∈R)的单调性．解析 (1)g′(x)＝(e x)′ꞏ(cos x－sin x＋2x－2)＋e x(cos x－sin x＋2x－2)′＝e x(cos x－sin x＋2x－2－sin x－cos x＋2)＝2e x(x－sin x)．记p(x)＝x－sin x，则p′(x)＝1－cos x．因为cos x∈[－1，1]，所以p′(x)＝1－cos x≥0，所以函数p(x)在R上单调递增．而p(0)＝0－sin 0＝0，所以当x<0时，p(x)<0，g′(x)<0，函数g(x)单调递减；当x>0时，p(x)>0，g′(x)>0，函数g(x)单调递增．综上，函数g(x)的单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞)．(2)因为h(x)＝g(x)－af (x)＝e x(cos x－sin x＋2x－2)－a(x2＋2cos x)，所以h′(x)＝2e x(x－sin x)－a(2x－2sin x)＝2(x－sin x)(e x－a)．由(1)知，当x>0时，p(x)＝x－sin x>0；当x<0时，p(x)＝x－sin x<0．当a≤0时，e x－a>0，所以x>0时，h′(x)>0，函数h(x)单调递增；x<0时，h′(x)<0，函数h(x)单调递减．当a>0时，令h′(x)＝2(x－sin x)(e x－a)＝0，解得x1＝ln a，x2＝0．①若0<a<1，则ln a<0，所以x∈(－∞，ln a)时，e x－a<0，h′(x)>0，函数h(x)单调递增；x∈(ln a，0)时，e x－a>0，h′(x)<0，函数h(x)单调递减；x∈(0，＋∞)时，e x－a>0，h′(x)>0，函数h(x)单调递增．②若a＝1，则ln a＝0，所以x∈R时，h′(x)≥0，函数h(x)在R上单调递增．③若a>1，则ln a>0，所以x∈(－∞，0)时，e x－a<0，h′(x)>0，函数h(x)单调递增；x∈(0，ln a)时，e x－a<0，h′(x)<0，函数h(x)单调递减；x∈(ln a，＋∞)时，e x －a>0，h′(x)>0，函数h(x)单调递增．综上所述，当a≤0时，函数h(x)在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减；当0<a<1时，函数h(x)在(－∞，ln a)，(0，＋∞)上单调递增，在(ln a，0)上单调递减；当a＝1时，函数h(x)在R上单调递增；当a>1时，函数h(x)在(－∞，0)，(ln a，＋∞)上单调递增，在(0，ln a)上单调递减．【对点训练】13．(2017ꞏ山东)已知函数f(x)＝13x 3－12ax2，其中参数a∈R．(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线方程；(2)设函数g(x)＝f(x)＋(x－a)cos x－sin x，讨论g(x)的单调性．13．解析 (1)由题意得f′(x)＝x2－ax，所以当a＝2时，f(3)＝0，f′(x)＝x2－2x，所以f′(3)＝3，因此曲线y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线方程是y＝3(x－3)，即3x－y－9＝0．(2)因为g(x)＝f(x)＋(x－a)cos x－sin x，所以g′(x)＝f′(x)＋cos x－(x－a)sin x－cos x＝x(x－a)－(x－a)sin x＝(x－a)(x－sin x)．令h(x)＝x－sin x，则h′(x)＝1－cos x≥0，所以h(x)在R上单调递增．因为h(0)＝0，所以当x>0时，h(x)>0；当x<0时，h(x)<0．①当a<0时，g′(x)＝(x－a)(x－sin x)，当x∈(－∞，a)时，x－a<0，g′(x)>0，g(x)单调递增；当x∈(a，0)时，x－a>0，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x∈(0，＋∞)时，x－a>0，g′(x)>0，g(x)单调递增．②当a＝0时，g′(x)＝x(x－sin x)，当x∈(－∞，＋∞)时，g′(x)≥0，所以g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．③当a>0时，g′(x)＝(x－a)(x－sin x)，当x∈(－∞，0)时，x－a<0，g′(x)>0，g(x)单调递增；当x∈(0，a)时，x－a<0，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x∈(a，＋∞)时，x－a>0，g′(x)>0，g(x)单调递增．综上所述，当a<0时，函数g(x)在(－∞，a)和(0，＋∞)上单调递增，在(a，0)上单调递减；当a＝0时，函数g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；当a>0时，函数g(x)在(－∞，0)和(a，＋∞)上单调递增，在(0，a)上单调递减．。
历年(2020-2024)全国高考数学真题分类(函数及其基本性质)汇编(附答案)
历年(2020-2024)全国高考数学真题分类(函数及其基本性质)汇编考点01 直接求函数值1．（2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知函数()f x 的定义域为R ，()(1)(2)f x f x f x >-+-，且当3x <时()f x x =，则下列结论中一定正确的是（ ） A ．(10)100f > B ．(20)1000f > C ．(10)1000f <D ．(20)10000f <2．（2024∙上海∙高考真题）已知()0,1,0x f x x >=≤⎪⎩则()3f = ． 3．（2023∙北京∙高考真题）已知函数2()4log xf x x =+，则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．4．（2021∙全国甲卷∙高考真题）设()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()1f x f x +=-.若1133f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则53f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．53-B ．13-C ．13D ．535．（2021∙浙江∙高考真题）已知R a ∈，函数24,2()3,2,x x f x x a x ⎧->⎪=⎨-+≤⎪⎩若3f f ⎡⎤=⎣⎦，则=a .考点02 函数的定义域与值域1．（2022∙北京∙高考真题）函数1()f x x=的定义域是 ． 2．（2020∙山东∙高考真题）函数()1lg f x x=的定义域是（ ） A ．()0,∞+B ．()()0,11,+∞C ．[)()0,11,+∞UD ．()1,+∞考点03 函数单调性的判断及其应用1．（2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知函数22,0()e ln(1),0x x ax a x f x x x ⎧---<=⎨++≥⎩在R 上单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．(,0]-∞B ．[1,0]-C ．[1,1]-D ．[0,)+∞2．（2023∙北京∙高考真题）下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递增的是（ ） A ．()ln f x x =-B ．1()2xf x =C ．1()f x x=-D ．|1|()3x f x -=3．（2023∙全国甲卷∙高考真题）已知函数()2(1)e x f x --=．记,,a f b f c f ===⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（ ）A ．b c a >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>4．（2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）设函数()()2x x a f x -=在区间()0,1上单调递减，则a 的取值范围是（ ）A ．(],2-∞-B ．[)2,0-C ．(]0,2D ．[)2,+∞5．（2021∙全国甲卷∙高考真题）下列函数中是增函数的为（ ）A ．()f x x =-B ．()23xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．()2f x x = D ．()f x 6．（2020∙山东∙高考真题）已知函数()f x 的定义域是R ，若对于任意两个不相等的实数1x ，2x ，总有()()21210f x f x x x ->-成立，则函数()f x 一定是（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．增函数D ．减函数7．（2020∙全国∙高考真题）设函数331()f x x x=-,则()f x （ ） A ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减 C ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增D ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减考点04 函数的奇偶性及其应用1．（2024∙天津∙高考真题）下列函数是偶函数的是（ ）A ．22e 1x x y x -=+ B ．22cos 1x x y x +=+C ．e 1x x y x -=+D ．||sin 4e x x xy +=2．（2024∙上海∙高考真题）已知()3f x x a =+，x ∈R ，且()f x 是奇函数，则=a ．3．（2023∙全国甲卷∙高考真题）若()()2π1sin 2f x x ax x ⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭为偶函数，则=a ．4．（2023∙全国乙卷∙高考真题）已知e ()e 1xax x f x =-是偶函数，则=a （ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．25．（2023∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）若()()21ln 21x f x x a x -=++为偶函数，则=a （ ）． A ．1-B ．0C ．12D ．16．（2022∙全国乙卷∙高考真题）若()1ln 1f x a b x++-=是奇函数，则=a ，b = ． 7．（2021∙全国甲卷∙高考真题）设()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()1f x f x +=-.若1133f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则53f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．53-B ．13-C ．13D ．538．（2021∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数():f x ． ①()()()1212f x x f x f x =；②当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>；③()f x '是奇函数．9．（2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知函数()()322x x x a f x -=⋅-是偶函数，则=a .10．（2021∙全国乙卷∙高考真题）设函数1()1xf x x-=+，则下列函数中为奇函数的是（ ） A ．()11f x --B ．()11f x -+C ．()11f x +-D ．()11f x ++11．（2020∙山东∙高考真题）若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（ ）A ．[)1,1][3,-+∞B ．3,1][,[01]--C ．[1,0][1,)-⋃+∞D ．[1,0][1,3]-⋃12．（2020∙全国∙高考真题）设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（ ）A ．是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B ．是奇函数，且在11(,)22-单调递减C ．是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D ．是奇函数，且在1(,2-∞-单调递减考点05 函数的周期性及其应用1．（2022∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++-==，则221()k f k ==∑（ ）A ．3-B ．2-C ．0D ．12．（2021∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）已知函数()f x 的定义域为R ，()2f x +为偶函数，()21f x +为奇函数，则（ ） A ．102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭B ．()10f -=C ．()20f =D ．()40f =3．（2021∙全国甲卷∙高考真题）设函数()f x 的定义域为R ，()1f x +为奇函数，()2f x +为偶函数，当[]1,2x ∈时，2()f x ax b =+．若()()036f f +=，则92f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．94-B ．32-C ．74D ．52考点06 函数的对称性及其应用1．（2024∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）（多选）设函数32()231f x x ax =-+，则（ ） A ．当1a >时，()f x 有三个零点 B ．当0a <时，0x =是()f x 的极大值点C ．存在a ，b ，使得x b =为曲线()y f x =的对称轴D ．存在a ，使得点()()1,1f 为曲线()y f x =的对称中心2．（2022∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）（多选）已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x '=，若322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数，则（ ）A ．(0)0f =B ．102g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．(1)(4)f f -=D ．(1)(2)g g -=3．（2022∙全国乙卷∙高考真题）已知函数(),()f x g x 的定义域均为R ，且()(2)5,()(4)7f x g x g x f x +-=--=．若()y g x =的图像关于直线2x =对称，(2)4g =，则()221k f k ==∑（ ）A ．21-B ．22-C ．23-D ．24-4．（2020∙全国∙高考真题）已知函数f (x )=sin x +1sin x，则（） A ．f (x )的最小值为2B ．f (x )的图象关于y 轴对称C ．f (x )的图象关于直线x π=对称D ．f (x )的图象关于直线2x π=对称参考答案 考点01 直接求函数值1．（2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知函数()f x 的定义域为R ，()(1)(2)f x f x f x >-+-，且当3x <时()f x x =，则下列结论中一定正确的是（ ） A ．(10)100f > B ．(20)1000f > C ．(10)1000f < D ．(20)10000f <【答案】B【答案分析】代入得到(1)1,(2)2==f f ，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断. 【答案详解】因为当3x <时()f x x =，所以(1)1,(2)2==f f ， 又因为()(1)(2)f x f x f x >-+-，则(3)(2)(1)3,(4)(3)(2)5f f f f f f >+=>+>，(5)(4)(3)8,(6)(5)(4)13,(7)(6)(5)21f f f f f f f f f >+>>+>>+>， (8)(7)(6)34,(9)(8)(7)55,(10)(9)(8)89f f f f f f f f f >+>>+>>+>， (11)(10)(9)144,(12)(11)(10)233,(13)(12)(11)377f f f f f f f f f >+>>+>>+> (14)(13)(12)610,(15)(14)(13)987f f f f f f >+>>+>，(16)(15)(14)15971000f f f >+>>，则依次下去可知(20)1000f >，则B 正确；且无证据表明ACD 一定正确. 故选：B.【名师点评】关键点名师点评：本题的关键是利用(1)1,(2)2==f f ，再利用题目所给的函数性质()(1)(2)f x f x f x >-+-，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可.2．（2024∙上海∙高考真题）已知()0,1,0x f x x >=≤⎪⎩则()3f = ．【答案分析】利用分段函数的形式可求()3f .【答案详解】因为()0,1,0x f x x >=≤⎪⎩故()3f =3．（2023∙北京∙高考真题）已知函数2()4log xf x x =+，则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ．【答案】1【答案分析】根据给定条件，把12x =代入，利用指数、对数运算计算作答. 【答案详解】函数2()4log xf x x =+，所以12211()4log 21122f =+=-=.故答案为：14．（2021∙全国甲卷∙高考真题）设()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()1f x f x +=-.若1133f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则53f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．53-B ．13-C ．13D ．53【答案】C【答案分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得53f ⎛⎫⎪⎝⎭的值.【答案详解】由题意可得：522213333f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 而21111133333f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故5133f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.故选：C.【名师点评】关键点名师点评：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键.5．（2021∙浙江∙高考真题）已知R a ∈，函数24,2()3,2,x x f x x a x ⎧->⎪=⎨-+≤⎪⎩若3f f ⎡⎤=⎣⎦，则=a . 【答案】2【答案分析】由题意结合函数的答案解析式得到关于a 的方程，解方程可得a 的值.【答案详解】()()642233f f f f a ⎡⎤=-==-+=⎣⎦，故2a =， 故答案为：2.考点02 函数的定义域与值域1．（2022∙北京∙高考真题）函数1()f x x=的定义域是 ． 【答案】()(],00,1-∞⋃【答案分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可；【答案详解】解：因为()1f x x =100x x -≥⎧⎨≠⎩，解得1x ≤且0x ≠， 故函数的定义域为()(],00,1-∞⋃； 故答案为：()(],00,1-∞⋃2．（2020∙山东∙高考真题）函数()1lg f x x=的定义域是（ ） A ．()0,∞+ B ．()()0,11,+∞C ．[)()0,11,+∞UD ．()1,+∞【答案】B【答案分析】根据题意得到0lg 0x x >⎧⎨≠⎩，再解不等式组即可.【答案详解】由题知：0lg 0x x >⎧⎨≠⎩，解得0x >且1x ≠. 所以函数定义域为()()0,11,+∞ . 故选：B考点03 函数单调性的判断及其应用1．（2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知函数22,0()e ln(1),0x x ax a x f x x x ⎧---<=⎨++≥⎩在R 上单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．(,0]-∞ B ．[1,0]- C ．[1,1]- D ．[0,)+∞【答案】B【答案分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.【答案详解】因为()f x 在R 上单调递增，且0x ≥时，()()e ln 1xf x x =++单调递增，则需满足()02021e ln1aa -⎧-≥⎪⨯-⎨⎪-≤+⎩，解得10a -≤≤， 即a 的范围是[1,0]-. 故选：B.2．（2023∙北京∙高考真题）下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递增的是（ ） A ．()ln f x x =- B ．1()2xf x =C ．1()f x x=-D ．|1|()3x f x -=【答案】C【答案分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC ，举反例排除D 即可. 【答案详解】对于A ，因为ln y x =在()0,∞+上单调递增，y x =-在()0,∞+上单调递减， 所以()ln f x x =-在()0,∞+上单调递减，故A 错误；对于B ，因为2x y =在()0,∞+上单调递增，1y x=在()0,∞+上单调递减，所以()12xf x =在()0,∞+上单调递减，故B 错误； 对于C ，因为1y x=在()0,∞+上单调递减，y x =-在()0,∞+上单调递减， 所以()1f x x=-在()0,∞+上单调递增，故C 正确；对于D ，因为111221332f -⎛⎫=== ⎪⎝⎭()()112101331,233f f --=====，显然()13x f x -=在()0,∞+上不单调，D 错误.故选：C.3．（2023∙全国甲卷∙高考真题）已知函数()2(1)e x f x --=．记,,222a f b f c f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（ ） A ．b c a >> B ．b a c >> C ．c b a >> D ．c a b >>【答案】A【答案分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可. 【答案详解】令2()(1)g x x =--，则()g x 开口向下，对称轴为1x =，4112⎛-= ⎝⎭，而22491670-=+=>，41102⎛-=> ⎝⎭，即1122->-由二次函数性质知g g <，4112⎛-= ⎝⎭，而22481682)0-=+-=-=-<，112<-，所以(2g g >，综上，(2g g g <<， 又e x y =为增函数，故a c b <<，即b c a >>. 故选：A.4．（2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）设函数()()2x x a f x -=在区间()0,1上单调递减，则a 的取值范围是（ ）A ．(],2-∞-B ．[)2,0-C ．(]0,2D ．[)2,+∞【答案】D【答案分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.【答案详解】函数2x y =在R 上单调递增，而函数()()2x x a f x -=在区间()0,1上单调递减，则有函数22()()24a a y x x a x =-=--在区间()0,1上单调递减，因此12a ≥，解得2a ≥，所以a 的取值范围是[)2,+∞. 故选：D5．（2021∙全国甲卷∙高考真题）下列函数中是增函数的为（ ）A ．()f x x =-B ．()23xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．()2f x x = D ．()f x 【答案】D【答案分析】根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项. 【答案详解】对于A ，()f x x =-为R 上的减函数，不合题意，舍. 对于B ，()23xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭为R 上的减函数，不合题意，舍.对于C ，()2f x x =在(),0∞-为减函数，不合题意，舍.对于D ，()f x =R 上的增函数，符合题意， 故选：D.6．（2020∙山东∙高考真题）已知函数()f x 的定义域是R ，若对于任意两个不相等的实数1x ，2x ，总有()()21210f x f x x x ->-成立，则函数()f x 一定是（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．增函数D ．减函数【答案】C【答案分析】利用函数单调性定义即可得到答案. 【答案详解】对于任意两个不相等的实数1x ，2x ，总有()()21210f x f x x x ->-成立，等价于对于任意两个不相等的实数12x x <，总有()()12f x f x <. 所以函数()f x 一定是增函数. 故选：C7．（2020∙全国∙高考真题）设函数331()f x x x =-,则()f x （ ） A ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减 C ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减【答案】A【答案分析】根据函数的答案解析式可知函数的定义域为{}0x x ≠，利用定义可得出函数()f x 为奇函数，再根据函数的单调性法则，即可解出．【答案详解】因为函数()331f x x x =-定义域为{}0x x ≠，其关于原点对称，而()()f x f x -=-， 所以函数()f x 为奇函数． 又因为函数3y x =在()0,+?上单调递增，在(),0-?上单调递增，而331y x x -==在()0,+?上单调递减，在(),0-?上单调递减，所以函数()331f x x x =-在()0,+?上单调递增，在(),0-?上单调递增．故选：A ．【名师点评】本题主要考查利用函数的答案解析式研究函数的性质，属于基础题．考点04 函数的奇偶性及其应用1．（2024∙天津∙高考真题）下列函数是偶函数的是（ ）A ．22e 1x x y x -=+ B ．22cos 1x x y x +=+C ．e 1x xy x -=+D ．||sin 4e x x xy +=【答案】B【答案分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可.【答案详解】对A ，设()22e 1x xf x x -=+，函数定义域为R ，但()112e 1f ---=，()112e f -=，则()()11f f -≠，故A 错误；对B ，设()22cos 1x x g x x +=+，函数定义域为R ， 且()()()()()2222cos cos 11x x x x g x g x x x -+-+-===+-+，则()g x 为偶函数，故B 正确；对C ，设()e 1x xh x x -=+，函数定义域为{}|1x x ≠-，不关于原点对称， 则()h x 不是偶函数，故C 错误； 对D ，设()||sin 4e x x x x ϕ+=，函数定义域为R，因为()sin141e ϕ+=，()sin141e ϕ---=， 则()()11ϕϕ≠-，则()x ϕ不是偶函数，故D 错误. 故选：B.2．（2024∙上海∙高考真题）已知()3f x x a =+，x ∈R ，且()f x 是奇函数，则=a ．【答案】0【答案分析】根据奇函数的性质可求参数a .【答案详解】因为()f x 是奇函数，故()()0f x f x -+=即()330x a x a ++-+=，故0a =， 故答案为：0.3．（2023∙全国甲卷∙高考真题）若()()2π1sin 2f x x ax x ⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭为偶函数，则=a ．【答案】2【答案分析】利用偶函数的性质得到ππ22f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而求得2a =，再检验即可得解.【答案详解】因为()()()22π1sin 1cos 2y f x x ax x x ax x ⎛⎫==-+++=-++ ⎪⎝⎭为偶函数，定义域为R ，所以ππ22f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22ππππππ222222s 1co 1cos a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ -⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--⎝+⎭，则22πππ2π1212a -⎛⎫⎛⎫=+- ⎪⎪⎭⎝⎭= ⎝，故2a =，此时()()2212cos 1cos f x x x x x x =-++=++， 所以()()()()221cos s 1co f x x x x x f x -=-++++-==， 又定义域为R ，故()f x 为偶函数， 所以2a =. 故答案为：2.4．（2023∙全国乙卷∙高考真题）已知e ()e 1xaxx f x =-是偶函数，则=a （ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2【答案】D【答案分析】根据偶函数的定义运算求解.【答案详解】因为()e e 1x ax x f x =-为偶函数，则()()()()1e e e e 0e 1e 1e 1a x x x x ax ax axx x x f x f x ---⎡⎤--⎣⎦--=-==---， 又因为x 不恒为0，可得()1e e 0a x x --=，即()1e e a x x -=， 则()1x a x =-，即11a =-，解得2a =. 故选：D.5．（2023∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）若()()21ln 21x f x x a x -=++为偶函数，则=a （ ）． A ．1- B ．0C ．12D ．1【答案】B【答案分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出a 值，再检验即可.【答案详解】因为()f x 为偶函数，则 1(1)(1)(1)ln (1)ln 33f f a a =-∴+=-+，，解得0a =， 当0a =时，()21ln21x x x f x -=+，()()21210x x -+>，解得12x >或12x <-，则其定义域为12x x ⎧⎨⎩或12x ⎫<-⎬⎭，关于原点对称.()()()()()()()121212121ln ln ln ln 21212121f x x x x x x x x x f x x x x x ---+⎫-=---⎛==== ⎪-+-++⎝-⎭-， 故此时()f x 为偶函数. 故选：B.6．（2022∙全国乙卷∙高考真题）若()1ln 1f x a b x++-=是奇函数，则=a ，b = ． 【答案】 12-； ln 2．【答案分析】根据奇函数的定义即可求出． 【答案详解】[方法一]：奇函数定义域的对称性 若0a =，则()f x 的定义域为{|1}x x ≠，不关于原点对称0a ∴≠若奇函数的1()||1f x ln a b x =++-有意义，则1x ≠且101a x+≠- 1x ∴≠且11x a≠+，函数()f x 为奇函数，定义域关于原点对称，111a ∴+=-，解得12a =-， 由(0)0f =得，102ln b +=，2b ln ∴=，故答案为：12-；2ln ．[方法二]：函数的奇偶性求参 111()111a ax ax a f x ln a b ln b ln b x x x-+--=++=+=+--- 1()1ax a f x lnb x++-=++函数()f x 为奇函数11()()2011ax a ax a f x f x lnln b x x--++∴+-=++=-+2222(1)201a x a lnb x -+∴+=-22(1)1210112a a a a +∴=⇒+=⇒=- 1222241,22b ln b ln a b ln ln -==-⇒=∴=-=[方法三]：因为函数()1ln 1f x a b x++-=为奇函数，所以其定义域关于原点对称． 由101a x+≠-可得，()()110x a ax -+-≠，所以11a x a +==-，解得：12a =-，即函数的定义域为()()(),11,11,-∞-⋃-⋃+∞，再由()00f =可得，ln 2b =．即()111ln ln 2ln 211x f x x x+=-++=--，在定义域内满足()()f x f x -=-，符合题意． 故答案为：12-；ln 2．7．（2021∙全国甲卷∙高考真题）设()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()1f x f x +=-.若1133f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则53f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．53-B ．13-C ．13D ．53【答案】C【答案分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得53f ⎛⎫⎪⎝⎭的值.【答案详解】由题意可得：522213333f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 而21111133333f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故5133f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.故选：C.【名师点评】关键点名师点评：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键.8．（2021∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数():f x ． ①()()()1212f x x f x f x =；②当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>；③()f x '是奇函数．【答案】()4f x x =（答案不唯一，()()2*n x N f n x =∈均满足）【答案分析】根据幂函数的性质可得所求的()f x .【答案详解】取()4f x x =，则()()()()44421121122x f x f x x x x f x x ===，满足①， ()34f x x '=，0x >时有()0f x ¢>，满足②， ()34f x x '=的定义域为R ，又()()34f x x f x ''-=-=-，故()f x '是奇函数，满足③.故答案为：()4f x x =（答案不唯一，()()2*n x N f n x =∈均满足）9．（2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知函数()()322x xx a f x -=⋅-是偶函数，则=a .【答案】1【答案分析】利用偶函数的定义可求参数a 的值.【答案详解】因为()()322x x x a f x -=⋅-，故()()322x xf x x a --=-⋅-，因为()f x 为偶函数，故()()f x f x -=，时()()332222x x x x x a x a --⋅-=-⋅-，整理得到()()12+2=0x xa --，故1a =， 故答案为：110．（2021∙全国乙卷∙高考真题）设函数1()1xf x x-=+，则下列函数中为奇函数的是（ ） A ．()11f x -- B ．()11f x -+C ．()11f x +-D ．()11f x ++【答案】B【答案分析】分别求出选项的函数答案解析式，再利用奇函数的定义即可. 【答案详解】由题意可得12()111x f x x x-==-+++， 对于A ，()2112f x x--=-不是奇函数； 对于B ，()211f x x-=+是奇函数； 对于C ，()21122f x x +-=-+，定义域不关于原点对称，不是奇函数； 对于D ，()2112f x x ++=+，定义域不关于原点对称，不是奇函数. 故选：B【名师点评】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.11．（2020∙山东∙高考真题）若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x的取值范围是（ ）A ．[)1,1][3,-+∞B ．3,1][,[01]--C ．[1,0][1,)-⋃+∞D ．[1,0][1,3]-⋃【答案】D【答案分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数()f x 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【答案详解】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =， 所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =，所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞ 时，()0f x <， 所以由(10)xf x -≥可得：0210x x <⎧⎨-≤-≤⎩或0012x x >⎧⎨≤-≤⎩或0x = 解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-⋃， 故选：D.【名师点评】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题. 12．（2020∙全国∙高考真题）设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（ ）A ．是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B ．是奇函数，且在11(,)22-单调递减C ．是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D ．是奇函数，且在1(,2-∞-单调递减【答案】D【答案分析】根据奇偶性的定义可判断出()f x 为奇函数，排除AC ；当11,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，利用函数单调性的性质可判断出()f x 单调递增，排除B ；当1,2x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，利用复合函数单调性可判断出()f x 单调递减，从而得到结果.【答案详解】由()ln 21ln 21f x x x =+--得()f x 定义域为12x x ⎧⎫≠±⎨⎬⎩⎭，关于坐标原点对称，又()()ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x -=----=--+=-， ()f x \为定义域上的奇函数，可排除AC ；当11,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()()()ln 21ln 12f x x x =+--，()ln 21y x =+Q 在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，()ln 12y x =-在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，()f x \在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，排除B ；当1,2x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，()()()212ln 21ln 12ln ln 12121x f x x x x x +⎛⎫=----==+ ⎪--⎝⎭，2121x μ=+- 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，()ln f μμ=在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：()f x 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，D 正确.故选：D.【名师点评】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据()f x -与()f x 的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.考点05 函数的周期性及其应用1．（2022∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++-==，则221()k f k ==∑（ ）A ．3-B ．2-C ．0D ．1【答案】A【答案分析】法一：根据题意赋值即可知函数()f x 的一个周期为6，求出函数一个周期中的()()()1,2,,6f f f 的值，即可解出． 【答案详解】[方法一]：赋值加性质因为()()()()f x y f x y f x f y ++-=，令1,0x y ==可得，()()()2110f f f =，所以()02f =，令0x =可得，()()()2f y f y f y +-=，即()()f y f y =-，所以函数()f x 为偶函数，令1y =得，()()()()()111f x f x f x f f x ++-==，即有()()()21f x f x f x ++=+，从而可知()()21f x f x +=--，()()14f x f x -=--，故()()24f x f x +=-，即()()6f x f x =+，所以函数()f x 的一个周期为6．因为()()()210121f f f =-=-=-，()()()321112f f f =-=--=-，()()()4221f f f =-==-，()()()5111f f f =-==，()()602f f ==，所以一个周期内的()()()1260f f f +++= ．由于22除以6余4， 所以()()()()()221123411213k f k f f f f ==+++=---=-∑．故选：A ．[方法二]：【最优解】构造特殊函数由()()()()f x y f x y f x f y ++-=，联想到余弦函数和差化积公式()()cos cos 2cos cos x y x y x y ++-=，可设()cos f x a x ω=，则由方法一中()()02,11f f ==知2,cos 1a a ω==，解得1cos 2ω=，取3πω=， 所以()2cos3f x x π=，则()()()()2cos 2cos 4cos cos 333333f x y f x y x y x y x y f x f y ππππππ⎛⎫⎛⎫++-=++-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()2cos 3f x xπ=符合条件，因此()f x 的周期263T ππ==，()()02,11f f ==，且()()()()()21,32,41,51,62f f f f f =-=-=-==，所以(1)(2)(3)(4)(5)(6)0f f f f f f +++++=， 由于22除以6余4，所以()()()()()221123411213k f k f f f f ==+++=---=-∑．故选：A ．【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，简单明了，是该题的最优解.2．（2021∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）已知函数()f x 的定义域为R ，()2f x +为偶函数，()21f x +为奇函数，则（ ） A ．102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭B ．()10f -=C ．()20f =D ．()40f =【答案】B【答案分析】推导出函数()f x 是以4为周期的周期函数，由已知条件得出()10f =，结合已知条件可得出结论.【答案详解】因为函数()2f x +为偶函数，则()()22f x f x +=-，可得()()31f x f x +=-， 因为函数()21f x +为奇函数，则()()1221f x f x -=-+，所以，()()11f x f x -=-+， 所以，()()()311f x f x f x +=-+=-，即()()4f x f x =+， 故函数()f x 是以4为周期的周期函数，因为函数()()21F x f x =+为奇函数，则()()010F f ==， 故()()110f f -=-=，其它三个选项未知. 故选：B.3．（2021∙全国甲卷∙高考真题）设函数()f x 的定义域为R ，()1f x +为奇函数，()2f x +为偶函数，当[]1,2x ∈时，2()f x ax b =+．若()()036f f +=，则92f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．94-B ．32-C ．74D ．52【答案】D【答案分析】通过()1f x +是奇函数和()2f x +是偶函数条件，可以确定出函数答案解析式()222f x x =-+，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案． 【答案详解】[方法一]：因为()1f x +是奇函数，所以()()11f x f x -+=-+①； 因为()2f x +是偶函数，所以()()22f x f x +=-+②．令1x =，由①得：()()()024f f a b =-=-+，由②得：()()31f f a b ==+， 因为()()036f f +=，所以()462a b a b a -+++=⇒=-，令0x =，由①得：()()()11102f f f b =-⇒=⇒=，所以()222f x x =-+．思路一：从定义入手．9551222222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1335112222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 511322=2222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以935222f f⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． [方法二]：因为()1f x +是奇函数，所以()()11f x f x -+=-+①； 因为()2f x +是偶函数，所以()()22f x f x +=-+②．令1x =，由①得：()()()024f f a b =-=-+，由②得：()()31f f a b ==+， 因为()()036f f +=，所以()462a b a b a -+++=⇒=-，令0x =，由①得：()()()11102f f f b =-⇒=⇒=，所以()222f x x =-+．思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数()f x 的周期4T =． 所以91352222f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 故选：D ．【名师点评】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果．考点06 函数的对称性及其应用1．（2024∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）（多选）设函数32()231f x x ax =-+，则（ ） A ．当1a >时，()f x 有三个零点 B ．当0a <时，0x =是()f x 的极大值点C ．存在a ，b ，使得x b =为曲线()y f x =的对称轴D ．存在a ，使得点()()1,1f 为曲线()y f x =的对称中心【答案】AD【答案分析】A 选项，先答案分析出函数的极值点为0,x x a ==，根据零点存在定理和极值的符号判断出()f x 在(1,0),(0,),(,2)a a a -上各有一个零点；B 选项，根据极值和导函数符号的关系进行答案分析；C 选项，假设存在这样的,a b ，使得x b =为()f x 的对称轴，则()(2)f x f b x =-为恒等式，据此计算判断；D 选项，若存在这样的a ，使得(1,33)a -为()f x 的对称中心，则()(2)66f x f x a +-=-，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解.【答案详解】A 选项，2()666()f x x ax x x a '=-=-，由于1a >，故()(),0,x a ∞∞∈-⋃+时()0f x '>，故()f x 在()(),0,,a ∞∞-+上单调递增， (0,)x a ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，则()f x 在0x =处取到极大值，在x a =处取到极小值， 由(0)10=>f ，3()10f a a =-<，则(0)()0f f a <， 根据零点存在定理()f x 在(0,)a 上有一个零点，又(1)130f a -=--<，3(2)410f a a =+>，则(1)(0)0,()(2)0f f f a f a -<<，则()f x 在(1,0),(,2)a a -上各有一个零点，于是1a >时，()f x 有三个零点，A 选项正确； B 选项，()6()f x x x a '=-，a<0时，(,0),()0x a f x '∈<，()f x 单调递减， ,()0x ∈+∞时()0f x '>，()f x 单调递增，此时()f x 在0x =处取到极小值，B 选项错误；C 选项，假设存在这样的,a b ，使得x b =为()f x 的对称轴，即存在这样的,a b 使得()(2)f x f b x =-， 即32322312(2)3(2)1x ax b x a b x -+=---+，根据二项式定理，等式右边3(2)b x -展开式含有3x 的项为303332C (2)()2b x x -=-，于是等式左右两边3x 的系数都不相等，原等式不可能恒成立， 于是不存在这样的,a b ，使得x b =为()f x 的对称轴，C 选项错误； D 选项，方法一：利用对称中心的表达式化简(1)33f a =-，若存在这样的a ，使得(1,33)a -为()f x 的对称中心，则()(2)66f x f x a +-=-，事实上，32322()(2)2312(2)3(2)1(126)(1224)1812f x f x x ax x a x a x a x a +-=-++---+=-+-+-，于是266(126)(1224)1812a a x a x a -=-+-+-即126012240181266a a a a -=⎧⎪-=⎨⎪-=-⎩，解得2a =，即存在2a =使得(1,(1))f 是()f x 的对称中心，D 选项正确. 方法二：直接利用拐点结论任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，32()231f x x ax =-+，2()66f x x ax '=-，()126f x x a ''=-，由()02af x x ''=⇔=，于是该三次函数的对称中心为,22a a f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由题意(1,(1))f 也是对称中心，故122aa =⇔=， 即存在2a =使得(1,(1))f 是()f x 的对称中心，D 选项正确. 故选：AD【名师点评】结论名师点评：（1）()f x 的对称轴为()(2)x b f x f b x =⇔=-；（2）()f x 关于(,)a b 对称()(2)2f x f a x b ⇔+-=；（3）任何三次函数32()f x ax bx cx d =+++都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是()0f x ''=的解，即,33b b f a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是三次函数的对称中心 2．（2022∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）（多选）已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x '=，若322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数，则（ ）A ．(0)0f =B ．102g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．(1)(4)f f -=D ．(1)(2)g g -=【答案】BC【答案分析】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解.【答案详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究对于()f x ，因为322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭为偶函数，所以332222f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭①，所以()()3f x f x -=，所以()f x 关于32x =对称，则(1)(4)f f -=，故C 正确； 对于()g x ，因为(2)g x +为偶函数，(2)(2)g x g x +=-，(4)()g x g x -=，所以()g x 关于2x =对称，由①求导，和()()g x f x '=，得333333222222f x f x f x f x g x g x ''⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫''-=+⇔--=+⇔--=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，所以()()30g x g x -+=，所以()g x 关于3(,0)2对称，因为其定义域为R ，所以302g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，结合()g x 关于2x =对称，从而周期34222T ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，所以13022g g ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()112g g g -==-，故B 正确，D 错误； 若函数()f x 满足题设条件，则函数()f x C +（C 为常数）也满足题设条件，所以无法确定()f x 的函数值，故A 错误.故选：BC.[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.由方法一知()g x 周期为2，关于2x =对称，故可设()()cos πg x x =，则()()1sin ππf x x c =+，显然A ，D 错误，选BC.故选：BC.[方法三]： 因为322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数， 所以332222f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(2)(2)g x g x +=-， 所以()()3f x f x -=，(4)()g x g x -=，则(1)(4)f f -=，故C 正确；函数()f x ，()g x 的图象分别关于直线3,22x x ==对称， 又()()g x f x '=，且函数()f x 可导， 所以()()30,32g g x g x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 所以()(4)()3g x g x g x -==--，所以()(2)(1)g x g x g x +=-+=， 所以13022g g ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()112g g g -==-，故B 正确，D 错误； 若函数()f x 满足题设条件，则函数()f x C +（C 为常数）也满足题设条件，所以无法确定()f x 的函数值，故A 错误.故选：BC.【点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法；方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．3．（2022∙全国乙卷∙高考真题）已知函数(),()f x g x 的定义域均为R ，且()(2)5,()(4)7f x g x g x f x +-=--=．若()y g x =的图像关于直线2x =对称，(2)4g =，则()221k f k ==∑（ ）A ．21-B ．22-C ．23-D ．24-【答案】D【答案分析】根据对称性和已知条件得到()(2)2f x f x +-=-，从而得到()()()352110f f f +++=- ，()()()462210f f f +++=- ，然后根据条件得到(2)f 的值，再由题意得到()36g =从而得到()1f 的值即可求解.【答案详解】因为()y g x =的图像关于直线2x =对称，所以()()22g x g x -=+，因为()(4)7g x f x --=，所以(2)(2)7g x f x +--=，即(2)7(2)g x f x +=+-，因为()(2)5f x g x +-=，所以()(2)5f x g x ++=，代入得[]()7(2)5f x f x ++-=，即()(2)2f x f x +-=-，所以()()()()35212510f f f +++=-⨯=- ，()()()()46222510f f f +++=-⨯=- .因为()(2)5f x g x +-=，所以(0)(2)5f g +=，即()01f =，所以()(2)203f f =--=-.因为()(4)7g x f x --=，所以(4)()7g x f x +-=，又因为()(2)5f x g x +-=，联立得，()()2412g x g x -++=，所以()y g x =的图像关于点()3,6中心对称，因为函数()g x 的定义域为R ，所以()36g =因为()(2)5f x g x ++=，所以()()1531f g =-=-.所以()()()()()()()()221123521462213101024()k f f f f f f f f f k =+++++++++=----=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=∑ . 故选：D【名师点评】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后得到所需的一些数值或关系式从而解题.4．（2020∙全国∙高考真题）已知函数f (x )=sin x +1sin x ，则（） A ．f (x )的最小值为2B ．f (x )的图象关于y 轴对称C ．f (x )的图象关于直线x π=对称D ．f (x )的图象关于直线2x π=对称【答案】D【答案分析】根据基本不等式使用条件可判断A;根据奇偶性可判断B;根据对称性判断C,D.【答案详解】sin x 可以为负，所以A 错；1sin 0()()sin ()sin x x k k Z f x x f x x π≠∴≠∈-=--=-∴Q Q ()f x 关于原点对称； 11(2)sin (),()sin (),sin sin f x x f x f x x f x x x ππ-=--≠-=+=Q 故B 错； ()f x ∴关于直线2x π=对称，故C 错，D 对故选：D【名师点评】本题考查函数定义域与最值、奇偶性、对称性，考查基本答案分析判断能力，属中档题.。
高考数学总复习考点知识专题讲解3---函数及其表示
(2)下列四组函数中，表示相等函数的一组是( D ) A．f(x)＝ x＋1· x－1，g(x)＝ x2－1 B．f(x)＝ x2，g(x)＝( x)2 C．f(x)＝xx2－－11，g(x)＝x＋1 D．f(x)＝|x|，g(t)＝ t2
[解析] (1)①是映射，也是函数 ②不是映射，更不是函数 ③不是映射，更不是函数 ④是映射，但不是函数
[解析] 二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象
过原点，可设二次函数g(x)的解析式为g(x)＝ax2＋
bx(a≠0)，可得
a＋b＝1， a－b＝5，
解得a＝3，b＝－2，所以二次
函数g(x)的解析式为g(x)＝3x2－2x.故选B.
2．(2020·湖南衡阳第一中学月考)已知f(2x＋1)＝x2－ 2x，则f(3)＝___－__1___.
3．已知函数f(x)满足f(x)＋2f(－x)＝ex，则函数f(x)的解 析式为_____f(_x_)_＝__23_e－_x_－__13_e_x _____．
[解析] f(x)＋2f(－x)＝ex①， f(－x)＋2f(x)＝e－x②， ①②联立消去f(－x)得3f(x)＝2e－x－ex， ∴f(x)＝23e－x－13ex.
A叫做函数的 定义域 ；与x的值相对应的y值叫做函数值， 函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的 值域 ．
(2)函数的三要素是： 定义域 、 值域 和对应关系．
3．表示函数的常用方法 列表法 、 图象法 和解析法． 4．分段函数
在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有 着不同的 对应法则 ，这种函数称为分段函数．
[思路引导] 设f(x)＝ax＋b(a≠0)→代入已知条件→解 出a、b→得f(x)．
新高考总复习 数学 第二章 函数 第8节 函数与方程 习题
多维层次练14[A 级 基础巩固]1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≤1，1＋log 2x ，x ＞1，则函数f (x )的零点为( )A.12，0 B ．－2，0C.12D ．0解析：当x ≤1时，由f (x )＝2x －1＝0，解得x ＝0；当x ＞1时，令f (x )＝1＋log 2x ＝0，解得x ＝12，又因为x ＞1，所以此时方程无解．综上，函数f (x )的零点只有0.答案：D2．(2020·长郡中学等十三校联考)已知[x ]表示不超过实数x 的最大整数，g (x )＝[x ]为取整函数，x 0是函数f (x )＝ln x －2x 的零点，则g (x 0)等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：因为f (x )在(0，＋∞)上是增函数，且f (2)＝ln 2－1<0，f (3)＝ln 3－23>0，所以x 0∈(2，3)，所以g (x 0)＝[x 0]＝2.答案：B3．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2x ，x ≤0，1＋1x ，x >0，则函数y ＝f (x )＋3x 的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：函数y ＝f (x )＋3x 的零点个数就是y ＝f (x )与y ＝－3x 两个函数图象的交点个数，如图所示，由函数的图象可知，零点个数为2.答案：C4．已知f (x )是奇函数且是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是( )A.14B.18C ．－78D ．－38解析：令y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0，则f (2x 2＋1)＝－f (λ－x )＝f (x －λ)，因为f (x )是R 上的单调函数，所以2x 2＋1＝x －λ，即2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个实根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－78.答案：C5．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，－2x＋a ，x ≤0有且只有一个零点的充分不必要条件是( )A ．a <0B ．0<a <12C.12<a <1 D ．a ≤0或a >1解析：因为当x >0时，x ＝1是函数f (x )的一个零点， 所以当x ≤0时，要使f (x )＝－2x ＋a 没有零点， 则－2x ＋a <0或－2x ＋a >0恒成立， 即a <2x 或a >2x 恒成立，故a ≤0或a >1.所以函数f (x )有且只有一个零点的充分不必要条件可以是a <0. 答案：A6．(多选题)若函数f (x )＝x 3＋x 2－2x －2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：A ．1.25B ．1.437 5C ．1.406 25D ．1.421 9解析：由零点存在定理，在(1.406 25，1.437 5)内有零点， 又1.437 5－1.406 25＝0.031 25<0.05，所以在区间[1.406 25，1.437 5]内任取一值可为零点近似解． 则B 、C 、D 均满足要求． 答案：BCD7．(2020·湖南雅礼中学检测)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2|x |，x ≤1，x 2－3x ＋3，x >1，若关于x 的方程f (x )＝2a (a ∈R)恰好有两个不同的实根，则实数a 的取值范围为( )A.12<a <1 B ．a ＝12C.38<a ≤12或a >1 D ．a ∈R解析：作出函数f (x )的图象如图：因为关于x 的方程f (x )＝2a 恰好有两个不同实根， 所以y ＝2a 与函数y ＝f (x )的图象恰有两个交点， 所以2a >2或34<2a ≤1.解之得a >1或38<a ≤12.答案：C8．已知函数f (x )＝a ＋log 2(x 2＋a )(a >0)的最小值为8，则实数a 的取值范围是( )A ．(5，6)B ．(7，8)C ．(8，9)D ．(9，10)解析：由于f (x )在[0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)上是减函数， 所以f (x )min ＝f (0)＝a ＋log 2a ＝8. 令g (a )＝a ＋log 2a －8，a >0.则g (5)＝log 25－3<0，g (6)＝log 26－2>0， 又g (a )在(0，＋∞)上是增函数， 所以实数a 所在的区间为(5，6)． 答案：A9．(2018·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6在[0，π]的零点个数为________．解析：由题意知，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6＝0，所以3x ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，所以x ＝π9＋k π3，k ∈Z ，当k ＝0时，x ＝π9；当k ＝1时，x ＝4π9；当k＝2时，x ＝7π9，均满足题意，所以函数f (x )在[0，π]的零点个数为3.答案：310．函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 有零点，但不能用二分法求出，则a ，b 的关系是________，函数的零点是________(用a 表示)．解析：依题意，f (x )＝x 2＋ax ＋b 有不变号零点， 所以Δ＝a 2－4b ＝0，知a 2＝4b ， 从而函数的零点x 0＝－a2.答案：a 2＝4b －a211．(2020·济南质检)若x 1是方程x e x ＝1的解，x 2是方程x ln x ＝1的解，则x 1x 2等于________．解析：考虑到x 1，x 2是函数y ＝e x 、函数y ＝ln x 与函数y ＝1x 的图象的交点A ，B 的横坐标．又A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，1x 1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，1x 2两点关于y ＝x 对称，因此x 1x 2＝1.答案：112．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax ，x ≤1，log 3 x ，x >1.(1)若f (1)＝3，则实数a ＝________．(2)若函数y ＝f (x )－2有且仅有两个零点，则实数a 的取值范围是________．解析：(1)f (1)＝1－a ＝3，所以a ＝－2，(2)作出y ＝2与y ＝f (x )的图象(略)，y ＝f (x )－2有两个零点，则12－a <2，所以a >－1.答案：(1)－2 (2)(－1，＋∞)[B 级 能力提升]13．函数f (x )＝|x －2|－ln x 在定义域内的零点的个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．3解析：由题意可知f (x )的定义域为(0，＋∞)，在同一直角坐标系中画出函数y 1＝|x －2|(x ＞0)，y 2＝ln x (x ＞0)的图象，如图所示．由图可知函数f (x )在定义域内的零点个数为2. 答案：C14．(2020·佛山调研)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|ln x |，x >0，e x （x ＋1），x ≤0.若函数g (x )＝f (x )－b 有三个零点，则实数b 的取值范围是( )A ．(1，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e 2，0 C ．(1，＋∞)∪{0}D ．(0，1]解析：令g (x )＝f (x )－b ＝0，函数g (x )＝f (x )－b 有三个零点等价于f (x )＝b 有三个根，当x ≤0时，f (x )＝e x (x ＋1)，则f ′(x )＝e x (x ＋1)＋e x ＝e x (x ＋2)，由f ′(x )<0得e x (x ＋2)<0，即x <－2，此时f (x )为减函数，由f ′(x )>0得e x (x ＋2)>0，即－2<x <0，此时f (x )为增函数， 即当x ＝－2时，f (x )取得极小值f (－2)＝－1e 2，作出f (x )的图象如图，要使f (x )＝b 有三个根，则0<b ≤1，故选D.答案：D15．已知函数f (x )＝e x －e －x ＋4，若方程f (x )＝kx ＋4(k >0)有三个不同的实根x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3＝________．解析：易知y ＝e x －e －x 为奇函数，且其图象向上平移4个单位，得y ＝f (x )的图象．所以y ＝f (x )的图象关于点(0，4)对称， 又y ＝kx ＋4过点(0，4)且关于(0，4)对称．所以方程f (x )＝kx ＋4的三个根中有一个为0，且另两根之和为0.因此x 1＋x 2＋x 3＝0. 答案：0[C 级 素养升华]16．(2018·浙江卷)已知λ∈R ，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≥λ，x 2－4x ＋3，x <λ.当λ＝2时，不等式f (x )<0的解集是________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是________．解析：(1)当λ＝2时，f (x )＝⎩⎨⎧x －4，x ≥2，x 2－4x ＋3，x <2，其图象如图(1)所示．由图知f (x )<0的解集为(1，4)．(2)f (x )＝⎩⎨⎧x －4，x ≥λ，x 2－4x ＋3，x ＜λ恰有2个零点有两种情况：①二次函数有两个零点，一次函数无零点；②二次函数与一次函数各有一个零点．在同一平面直角坐标系中画出y ＝x －4与y ＝x 2－4x ＋3的图象，如图(2)，平移直线x ＝λ，可得λ∈(1，3]∪(4，＋∞)．答案：(1，4) (1，3]∪(4，＋∞) 素养培育直观想象——嵌套函数的零点问题(自主阅读)函数的零点是高考命题的热点，主要涉及判断函数零点的个数或范围，常考查三次函数与复合函数的相关问题．对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，将复合函数拆解为两个相对简单函数，借助函数的图象、性质求解．1．嵌套函数的零点个数判断[典例1] 已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x >0，2|x |，x ≤0，则函数y ＝2[f (x )]2－3f (x )＋1的零点个数是________．解析：由2[f (x )]2－3f (x )＋1＝0得 f (x )＝12或f (x )＝1，作出函数y ＝f (x )的图象．由图象知y ＝12与y ＝f (x )的图象有2个交点，y ＝1与y ＝f (x )的图象有3个交点．因此函数y ＝2[f (x )]2－3f (x )＋1的零点有5个．答案：5[解题思路] 1.上述题目涉及嵌套函数零点个数的判断，求解的主要步骤：(1)换元解套，转化为t ＝g (x )与y ＝f (t )的零点；(2)依次解方程，令f (t )＝0，求t ，代入t ＝g (x )，求出x 的值域判断图象交点个数．2．抓住两点：(1)转化换元；(2)充分利用函数的图象与性质． 2．嵌套函数零点中的参数[典例2] (2020·湖北重点中学联考)已知函数f (x )＝xe x ，若关于x的方程[f (x )]2＋mf (x )＋m －1＝0恰有3个不同的实数解，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，2)∪(2，＋∞) B.⎝⎛⎭⎪⎫1－1e ，＋∞C.⎝⎛⎭⎪⎫1－1e ，1 D ．(1，e)解析：因为f ′(x )＝e x －x e x（e x ）2＝1－xe x ，所以f (x )在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上递减． 因此f (x )max ＝f (1)＝1e.又当x →－∞时，f (x )→－∞；x →＋∞时，f (x )→0且f (x )>0. 从而作出t ＝f (x )的简图，如图所示． 令t ＝f (x )，g (t )＝t 2＋mt ＋m －1. 由g (t )＝0，得t ＝－1或t ＝1－m .当t ＝－1时，f (x )＝xe x ＝－1，方程有一解，要使原方程有3个不同的实数解，必须使t ＝1－m 与t ＝f (x )的图象有两个交点．故0<1－m <1e ，所以1－1e <m <1.答案：C[解题思路] 1.题目以函数的图象、性质为载体，考查函数零点(方程的根)中参数的求解，综合考查直观想象、数学运算、逻辑推理等数学核心素养．2．涉及复合函数零点的步骤：①换元，令t ＝f (x )，y ＝g (t )，f (x )为“内函数”，g (t )为“外函数”；②作图，作“外函数”y ＝g (t )的图象与“内函数”t ＝f (x )的图象；③观察图象进行分析．[典例3] 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln （－x －1），x <－1，2x ＋1，x ≥－1，若函数g (x )＝f (f (x ))－a 有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．解析：设t ＝f (x )，令f (f (x ))－a ＝0，则a ＝f (t )．在同一坐标系内作y ＝a ，y ＝f (t )的图象(如图所示)．当a ≥－1时，y ＝a 与y ＝f (t )的图象有两个交点．设交点的横坐标为t 1，t 2(不妨设t 2>t 1)且t 1<－1，t 2≥－1.当t 1<－1时，t 1＝f (x )有一解．当t 2≥－1时，t 2＝f (x )有两解．综上，当a ≥－1时，函数g (x )＝f (f (x ))－a 有三个不同的零点． 答案：[－1，＋∞)[解题思路] 1.求解本题抓住分段函数的图象性质，由y ＝a 与y＝f(t)的图象，确定t1，t2的取值范围．进而由t＝f(x)图象确定x取值．2．含参数的嵌套函数方程，应注意让参数的取值“动起来”，抓临界位置，动静结合．。
2020年高考数学复习题：二次函数与幂函数
二次函数与幂函数[基础训练]1．在同一直角坐标系中，函数f(x)＝x a(x>0)，g(x)＝log a x的图象可能是()答案：D解析：因为a>0，所以f(x)＝x a在(0，＋∞)上为增函数，故A错．在B中，由f(x)的图象知a>1，由g(x)的图象知0<a<1，矛盾，故B错．在C中，由f(x)的图象知0<a<1，由g(x)的图象知a>1，矛盾，故C错．在D中，由f(x)的图象知0<a<1，由g(x)的图象知0<a<1，相符，故选D.2．[2019上海模拟]如图是函数y＝x mn(m，n∈N*，m，n互质)的图象，则下列结论正确的是()A．m，n是奇数，且m<nB．m是偶数，n是奇数，且m>nC ．m 是偶数，n 是奇数，且m <nD ．m 是奇数，n 是偶数，且m >n答案：C 解析：由图象可知函数y ＝x m n 为偶函数，∴m 是偶数，又m ，n 互质，n ∈N *，∴n 是奇数．又∵图象在第一象限是上凸的，∴m n <1，即m <n .故选C.3．[2019广东佛山模拟]已知实数m ，n ∈{1,2,3,4}，若m ≠n ，则函数f (x )＝|m －n |x n m 为幂函数且为偶函数的概率为( )A.12B.14C.16D.23答案：B 解析：函数f (x )＝|m －n |x n m 为幂函数且为偶函数，则|m －n |＝1，且n 为偶数，∴(m ，n )的可能情况有(1,2)，(3,2)，(3,4)．又实数m ，n ∈{1,2,3,4}，∴(m ，n )的所有可能情况有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，共12种情况．∴函数f (x )＝|m －n |x n m 为幂函数且为偶函数的概率为312＝14.故选B.4．[2019湖南长沙统一模拟]已知函数f (x )＝x 12，则( )A ．∃x 0∈R ，使得f (x )<0B ．∀x >0，f (x )>0C ．∃x 1，x 2∈[0，＋∞)，使得f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0D ．∀x 1∈[0，＋∞)，∃x 2∈[0，＋∞)，使得f (x 1)>f (x 2) 答案：B 解析：由题意得f (x )＝x ，函数的定义域为[0，＋∞)，函数的值域为[0，＋∞)，并且函数是单调递增函数．所以A 不成立，根据单调性可知C 也不成立．而D 中，当x 1＝0时，不存在x 2∈[0，＋∞)，使得f (x 1)>f (x 2)，所以D 不成立．故选B.5．若函数f (x )＝x 2－2x ＋m 在[3，＋∞)上的最小值为1，则实数m 的值为 ( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．1答案：B 解析：函数f (x )＝x 2－2x ＋m ＝(x －1)2＋m －1的图象如图所示．由图象知在[3，＋∞)上，f (x )min ＝f (3)＝32－2×3＋m ＝1，得m ＝－2.6．[2019湖南株洲联考]函数y ＝ax 2＋bx 与y ＝log|b a |x (ab ≠0，|a |≠|b |)在同一直角坐标系中的图象可能是( )答案：D 解析：对于A ，B 两图，⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a >1，而ax 2＋bx ＝0的两根分别为0和－b a ，且两根之和为－b a ，由图知0<－b a <1，得－1<b a <0，矛盾；对于C ，D 两图，0<⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a <1，在C 图中两根之和－b a <－1，即b a >1，矛盾，C 错．故选D.7．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，且a >b >c ，a ＋b ＋c ＝0，则( )A ．∀x ∈(0,1)，都有f (x )>0B ．∀x ∈(0,1)，都有f (x )<0C ．∃x 0∈(0,1)，使f (x 0)＝0D ．∃x 0(0,1)，使f (x 0)>0答案：B 解析：由a >b >c ，a ＋b ＋c ＝0可知a >0，c <0，抛物线开口向上，因为f (0)＝c <0，f (1)＝a ＋b ＋c ＝0，即1是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根，所以∀x ∈(0,1)，都有f (x )<0.故选B.8．[2019广东汕头一模]命题“ax 2－2ax ＋3>0恒成立”是假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，0)∪[3，＋∞)B ．(－∞，0]∪[3，＋∞)C ．(－∞，0)∪(3，＋∞)D ．(0,3)答案：A 解析：若ax 2－2ax ＋3>0恒成立，则a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ＝4a 2－12a <0，可得0≤a <3，故当命题“ax 2－2ax ＋3>0恒成立”是假命题时，a <0或a ≥3.9．[2019福建龙海期末]若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)·xm 2－m －2 的图象不经过坐标原点，则实数m ＝________.答案：1或2 解析：由题意得m 2－3m ＋3＝1，解得m ＝1或m ＝2.当m ＝1时，y ＝x －2，图象不过原点， 当m ＝2时，y ＝x 0，图象不过原点，故m ＝1或2.10．[2019山西一模]已知函数f (x )＝x 2－m 是定义在区间[－3－m ，m 2－m ]上的奇函数，则f (m )＝________.答案：－1 解析：由题意得m 2－m ＝3＋m ，即m 2－2m －3＝0，∴m ＝3或m ＝－1.当m ＝3时，f (x )＝x －1，[－3－m ，m 2－m ]为[－6,6]， f (x )在x ＝0处无意义，故舍去．当m ＝－1时，f (x )＝x 3，[－3－m ，m 2－m ]为[－2,2]，满足题意，∴f (m )＝f (－1)＝(－1)3＝－1.11．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，若y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数，则实数a 的取值范围为________．答案：(－∞，－6]∪[4，＋∞) 解析：函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3的图象的对称轴为直线x ＝－2a 2＝－a ，要使f (x )在[－4,6]上为单调函数，只需－a ≤－4或－a ≥6，解得a ≥4或a ≤－6.12．[2019重庆二模]已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5(a >1)．(1)若f (x )的定义域和值域均是[1，a ]，求实数a 的值；(2)若对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，求实数a 的取值范围．解：(1)∵f (x )＝(x －a )2＋5－a 2(a >1)，∴f (x )在[1，a ]上为减函数．又∵f (x )的定义域和值域均是[1，a ]，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝a ，f (a )＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2a ＋5＝a ，a 2－2a 2＋5＝1，解得a ＝2.(2)对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，即f (x )max －f (x )min ≤4.若a ≥2，则a ∈[1，a ＋1]，且(a ＋1)－a ≤a －1.∴f (x )max ＝f (1)＝6－2a ，f (x )min ＝f (a )＝5－a 2，∴f (x )max －f (x )min ＝6－2a －(5－a 2)≤4，解得－1≤a ≤3，又a ≥2，∴2≤a ≤3.若1<a <2，则a ∈[1，a ＋1]，且a －1<(a ＋1)－a .∴x ∈[1，a ＋1]时，f (x )max ＝f (a ＋1)＝6－a 2，f (x )min ＝f (a )＝5－a 2，f (x )max －f (x )min ＝(6－a 2)－(5－a 2)＝1，∴f (x )max －f (x )min ≤4成立．综上，a 的取值范围是(1,3]．[强化训练]1．已知函数f (x )＝x 2＋1的定义域为[a ，b ](a <b )，值域为[1,5]，则在平面直角坐标系内，点(a ，b )的运动轨迹与两坐标轴围成的图形的面积为( )A ．8B ．6C ．4D ．2 答案：C 解析：二次函数f (x )＝x 2＋1，开口向上，顶点为(0,1)， 且当x ＝±2时，y ＝5.根据二次函数的图象特点，f (x )在[a ，b ]上的最大值一定是在端点处取得．∴要使f (x )在[a ，b ]上的值域为[1,5]，则f (a )＝5，f (b )≤5或f (b )＝5，f (a )≤5，且0∈[a ，b ]， ∴a ＝－2,0≤b ≤2或者b ＝2，－2≤a ≤0.∴点(a ，b )的运动轨迹与两坐标轴围成的图形是一个边长为2的正方形，面积为4.2．已知函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，若对一切x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，f (x )>0都成立，则实数a 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ C ．[－4，＋∞) D ．(－4，＋∞)答案：B 解析：由题意f (x )>0对一切x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2都成立， 分离参数得a >2x －2x 2对一切x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2都成立， 即只需满足a 大于函数y ＝2x －2x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2的最大值即可． ∵y ＝2x －2x 2＝－2x 2＋2x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －122＋12，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2， ∴y ＝2x －2x 2的最大值为12.∴a >12.故选B.3．[2019山东烟台模拟]定义在R 上的奇函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，则使得f (x )>f (x 2－2x ＋2)成立的x 的取值范围是( )A ．(1,2)B ．(－∞，1)∪(2，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(2，＋∞) 答案：A 解析：因为f (x )是R 上的奇函数且在(0，＋∞)上是增函数．则函数f (x )在(－∞，0)上也是增函数，故函数在R 上为增函数，f (x )>f (x 2－2x ＋2)⇒x >x 2－2x ＋2⇒x 2－3x ＋2<0，解得1<x <2，即x 的取值范围是(1,2)．故选A.4．[2019河北保定模拟]对于任意a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值总大于0，则x 的取值范围是( )A ．{x |1<x <3}B ．{x |x <1或x >3}C ．{x |1<x <2}D ．{x |x <1或x >2} 答案：B 解析：由题意知，关于a 的一次函数y ＝a (x －2)＋x 2－4x ＋4的值大于0在a ∈[－1,1]上恒成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧ (－1)×(x －2)＋x 2－4x ＋4>0，1×(x －2)＋x 2－4x ＋4>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x >3或x <2，x >2或x <1，即x <1或x >3，故选B.5．[2019江西吉安模拟]不等式2x 2－axy ＋3y 2≥0对于任意x ∈[1,2]及y ∈[1,3]恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，22]B ．(－∞，26]C ．(－∞，5] D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，92 答案：B 解析：∵2x 2－axy ＋3y 2≥0，∴2x 2－axy ＋3y 2x 2≥0，即3⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 2－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋2≥0， ∵x ∈[1,2]，y ∈[1,3]，∴12≤y x ≤3.设t ＝y x ，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，g (t )＝3t 2－at ＋2， 则g (t )≥0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3恒成立， ∴g (t )min ≥0.函数g (t )的对称轴为t ＝a 6，当a 6≤12，即a ≤3时，g (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上单调递增， ∴g (t )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝34－a 2＋2≥0， 解得a ≤112，∴a ≤3；当a 6≥3，即a ≥18时，g (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上单调递减， ∴g (t )min ＝g (3)＝27－3a ＋2≥0，解得a ≤293，∴a 不存在；当12<a 6<3，即3<a <18时，g (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上先减后增， ∴g (t )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 6＝24－a 212≥0，解得－26≤a ≤26，∴3<a ≤2 6.综上所述，a ≤2 6.故选B.6．[2019湖北荆州模拟]二次函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (－x ＋2)，又f (0)＝3，f (2)＝1，若在[0，m ]上有最大值3，最小值1，则m 的取值范围是 ( )A ．(0，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．(0,2]D ．[2,4] 答案：D 解析：∵二次函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )， ∴其图象的对称轴是x ＝2，又f (0)＝3，∴f (4)＝3，又f (2)<f (0)，∴f (x )的图象开口向上，∵f (0)＝3，f (2)＝1，f (4)＝3，f (x )在[0，m ]上的最大值为3，最小值为1，∴由二次函数的性质知2≤m ≤4.故选D.7．[2019河南南阳模拟]设函数f (x )＝mx 2－mx －1，若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋4恒成立，则实数m 的取值范围为( )A ．(－∞，0]B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，57 C ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，57 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，57 答案：D 解析：由题意，f (x )<－m ＋4对于x ∈[1,3]恒成立，即m (x 2－x ＋1)<5对于x ∈[1,3]恒成立．∵当x ∈[1,3]时，x 2－x ＋1∈[1,7]，∴不等式f (x )<－m ＋4等价于m <5x 2－x ＋1. ∵当x ＝3时，5x 2－x ＋1取最小值57， ∴若要不等式m <5x 2－x ＋1对于x ∈[1,3]恒成立， 则必须满足m <57，因此，实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，57，故选D.8．[2019河北保定一模]已知函数f (x )既是二次函数又是幂函数，函数g (x )是R 上的奇函数，函数h (x )＝g (x )f (x )＋1＋1，则h (2 018)＋h (2 017)＋h (2 016)＋…＋h (1)＋h (0)＋h (－1)＋…＋h (－2 016)＋h (－2 017)＋h (－2 018)＝( )A ．0B ．2 018C ．4 036D ．4 037答案：D 解析：函数f (x )既是二次函数又是幂函数， ∴f (x )＝x 2，∴f (x )＋1为R 上的偶函数，又函数g (x )是R 上的奇函数，h (x )＝g (x )f (x )＋1＋1， ∴h (x )＋h (－x )＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤g (x )f (x )＋1＋1＋⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤g (－x )f (－x )＋1＋1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤g (x )f (x )＋1＋－g (x )f (x )＋1＋2＝2， ∴h (2 018)＋h (2 017)＋h (2 016)＋…＋h (1)＋h (0)＋h (－1)＋…＋h (－2 016)＋h (－2 017)＋h (－2 018)＝[h (2 018)＋h (－2 018)]＋[h (2 017)＋h (－2 017)]＋…＋[h (1)＋h (－1)]＋h (0)＝2＋2＋…＋2＋1＝2×2 018＋1＝4 037.故选D.9．[2019湖南祁阳二模]已知幂函数f (x )＝(m －1)2xm 2－4m ＋2在(0，＋∞)上单调递增，函数g (x )＝2x －k .(1)求m 的值；(2)当x ∈[1,2)时，记f (x )，g (x )的值域分别为集合A ，B ，设p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，若p 是q 成立的必要条件，求实数k 的取值范围．解：(1)依题意，得(m －1)2＝1⇒m ＝0或m ＝2，当m ＝2时，f (x )＝x －2在(0，＋∞)上单调递减，与题设矛盾，舍去，所以m ＝0.(2)由(1)，得f (x )＝x 2，当x ∈[1,2)时，f (x )∈[1,4)，即A ＝[1,4)， 当x ∈[1,2)时，g (x )∈[2－k,4－k )，即B ＝[2－k,4－k )，因为p 是q 成立的必要条件，则B ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2－k ≥1，4－k ≤4，即⎩⎪⎨⎪⎧ k ≤1，k ≥0，得0≤k ≤1.10．设函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )．(1)当b ＝a 24＋1时，求函数f (x )在[－1,1]上的最小值g (a )的表达式；(2)已知函数f (x )在[－1,1]上存在零点，0≤b －2a ≤1，求b 的取值范围．解：(1)当b ＝a 24＋1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋1，故对称轴为直线x ＝－a 2.当a <－2时，g (a )＝f (1)＝a 24＋a ＋2.当－2≤a ≤2时，g (a )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝1. 当a >2时，g (a )＝f (－1)＝a 24－a ＋2.综上，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ a 24＋a ＋2，a <－2，1，－2≤a ≤2，a 24－a ＋2，a >2.(2)设s ，t 为方程f (x )＝0的解，且－1≤t ≤1，则⎩⎪⎨⎪⎧ s ＋t ＝－a ，st ＝b ，由于0≤b －2a ≤1，因此－2t t ＋2≤s ≤1－2t t ＋2(－1≤t ≤1)． 当0≤t ≤1时，－2t 2t ＋2≤st ≤t －2t 2t ＋2. 由于－23≤－2t 2t ＋2≤0和－13≤t －2t 2t ＋2≤9－45， 所以－23≤b ≤9－4 5.当－1≤t<0时，t－2t2t＋2≤st≤－2t2t＋2，由于－2≤－2t2t＋2<0和－3≤t－2t2t＋2<0，所以－3≤b<0.故b的取值范围是[－3,9－45]．。
高考数学总复习考点知识专题讲解9---导数与函数的极值、最值
角度2：已知函数求极值
【例1－2】
(1)(2020·广东深圳质检)已知函数f(x)＝
1 2
x2
－(a＋1)x＋alnx＋1，a∈R.若x＝3是f(x)的极值点，求f(x)的
极大值．
(2)(2020·泉州质检)已知函数f(x)＝x－1＋
a ex
(a∈R，e为
自然对数的底数)，求函数f(x)的极值．
[思路引导] (1)由f′(3)＝0求出a→确定f′(x)的符号→
已知函数 求极值
求f′(x)→求方程f′(x)＝0的根→列 表检验f′(x)在f′(x)＝0的根的附近 两侧的符号→下结论.
若函数f(x)在x＝x0处取得极 已知极值求 值，则f′(x0)＝0，且在该
点左、右两侧的导数值符 参数值或范
号相反，求出参数后要检 围
验所求参数值是否满足x0的 极值点特征.
(2)f′(x)＝ex(cosx－sinx)－1， 设h(x)＝ex(cosx－sinx)－1，则 h′(x)＝ex(cosx－sinx－sinx－cosx)＝－2exsinx. 当x∈0，π2时，h′(x)<0， 所以h(x)在区间0，π2上单调递减．
所以对任意x∈0，π2有h(x)<h(0)＝0，即f ′(x)<0. 所以函数f(x)在区间0，π2上单调递减． 因此f(x)在区间 0，π2 上的最大值为f(0)＝1，最小值为 fπ2＝－π2.
3ax2＋bx－2a2在x＝2时有极值0，那么a＋b的值为( B )
A．14
B．40
C．14或40
D．52
(2)(2019·沈阳模拟)已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值 点，则实数a的取值范围是__0_，__12___．
2020新课标高考数学(理)二轮总复习(课件+专题限时训练)1-6-2
专题限时训练 (小题提速练)(建议用时：45分钟)一、选择题1．若∀x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，x 2>x 1，y 1＝sin x 1x 1，y 2＝sin x 2x 2，则( ) A ．y 1＝y 2 B ．y 1>y 2 C ．y 1<y 2D ．y 1，y 2的大小关系不能确定 答案：B解析：设y ＝sin x x ，则y ′＝(sin x )′·x －sin x ·(x )′x 2＝x cos x －sin x x 2.因为在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上x <tan x ，所以x cos x －sin x <0，所以y ′<0，所以y ＝sin x x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递减，所以y 1>y 2.2．若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B ．[1,2) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2答案：C解析：f ′(x )＝4x －1x ＝(2x －1)(2x ＋1)x .∵x ＞0，∴由f ′(x )＝0得x ＝12.令f ′(x )＞0，得x ＞12；令f ′(x )＜0，得0＜x ＜12.由题意得⎩⎨⎧k －1≥0，k －1＜12＜k ＋1⇒1≤k ＜32.3．函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围是( )A ．[0,1)B ．(－1,1) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D ．(0,1)答案：D解析：f ′(x )＝3x 2－3a ＝3(x 2－a )． 当a ≤0时，f ′(x )>0，∴f (x )在(0,1)内单调递增，无最小值． 当a >0时，f ′(x )＝3(x －a )(x ＋a )．当x ∈(－∞，－a )和(a ，＋∞)时，f (x )单调递增， 当x ∈(－a ，a )时，f (x )单调递减，所以当a <1，即0<a <1时，f (x )在(0,1)内有最小值．4．若存在正数x 使2x (x －a )<1成立，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，＋∞) B ．(－2，＋∞) C ．(0，＋∞) D ．(－1，＋∞)答案：D解析：∵2x (x －a )<1，∴a >x －12x . 令f (x )＝x －12x ，∴f ′(x )＝1＋2－x ln 2>0. ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增， ∴f (x )>f (0)＝0－1＝－1， ∴a 的取值范围为(－1，＋∞)．5．(2019·曲靖二模)已知偶函数f (x )的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，其导函数为f ′(x )，对定义域内的任意x ，都有2f (x )＋xf ′(x )＞0成立，若f (2)＝1，则不等式x 2f (x )＜4的解集为( ) A ．{x |x ≠0，±2} B ．(－2,0)∪(0,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(0,2) 答案：B解析：令g (x )＝x 2f (x )－4，g (2)＝0. ∵g (－x )＝x 2f (－x )－4＝x 2f (x )－4＝g (x )，∴g (x )在定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)上为偶函数．当x ＞0时，g ′(x )＝2xf (x )＋x 2f ′(x )＝x [2f (x )＋xf ′(x )]＞0成立． ∴函数g (x )在(0，＋∞)上为增函数． ∴不等式x 2f (x )＜4⇔g (|x |)＜g (2)． ∴|x |＜2，x ≠0.解得x ∈(－2,0)∪(0,2)．6．已知f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x )＋f (x )≤0，对任意的0<a <b ，则必有( ) A ．af (b )≤bf (a ) B ．bf (a )≤af (b ) C ．af (a )≤f (b ) D ．bf (b )≤f (a )答案：A解析：因为xf ′(x )≤－f (x )，f (x )≥0， 所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )x ′＝xf ′(x )－f (x )x 2≤－2f (x )x 2≤0，则函数f (x )x 在(0，＋∞)上单调递减． 由于0<a <b ，则f (a )a ≥f (b )b ，即af (b )≤bf (a )．7．(2019·甘肃模拟)若点(m ，n )在函数f (x )＝13x 3－x (x >0)的图象上，则n －m ＋22的最小值是( ) A.13 B ．23 C.223 D ．2 2答案：C解析：∵点(m，n)在函数f(x)＝13x3－x(x>0)的图象上，∴n＝13m3－m，则n－m＋22＝13m3－2m＋2 2.令g(m)＝13m3－2m＋22(m＞0)，则g′(m)＝m2－2，可得g(m)在(0，2)递减，在(2，＋∞)递增，∴g(m)的最小值是g(2)＝223.8．定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，已知f(x＋1)是偶函数，且(x－1)f′(x)<0.若x1<x2，且x1＋x2>2，则f(x1)与f(x2)的大小关系是()A．f(x1)<f(x2) B．f(x1)＝f(x2)C．f(x1)>f(x2) D．不确定答案：C解析：由(x－1)f′(x)<0可知，当x>1时，f′(x)<0，函数单调递减．当x<1时，f′(x)>0，函数单调递增．因为函数f(x＋1)是偶函数，所以f(x＋1)＝f(1－x)，f(x)＝f(2－x)，即函数f(x)图象的对称轴为x＝1.所以，若1≤x1<x2，则f(x1)>f(x2)；若x1<1，则x2>2－x1>1，此时有f(x2)<f(2－x1)，又f(2－x1)＝f(x1)，所以f(x1)>f(x2)．综上，必有f(x1)>f(x2)．9．已知函数f(x)＝ax－1＋ln x，若存在x0>0，使得f(x0)≤0有解，则实数a的取值范围是()A．a>2 B．a<3 C．a≤1 D．a≥3 答案：C解析：函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，不等式ax－1＋ln x≤0有解，即a≤x－x ln x在(0，＋∞)上有解，令h(x)＝x－x ln x，可得h′(x)＝1－(ln x＋1)＝－ln x．令h′(x)＝0，可得x＝1，当0<x<1时，h′(x)>0，当x>1时，h′(x)<0，可得当x＝1时，函数h (x )＝x －x ln x 取得最大值1，要使不等式a ≤x －x ln x 在(0，＋∞)上有解，只要a 小于等于h (x )的最大值即可，即a ≤1.10．直线y ＝a 分别与直线y ＝2(x ＋1)，曲线y ＝x ＋ln x 交于点A ，B ，则|AB |的最小值为( ) A ．3 B ．2 C.324 D ．32答案：D解析：解方程2(x ＋1)＝a ，得x ＝a2－1.设方程x ＋ln x ＝a 的根为t (t ＞0)，则t ＋ln t ＝a ， 则|AB |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －a 2＋1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －t ＋ln t 2＋1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 2－ln t 2＋1. 设g (t )＝t 2－ln t2＋1(t ＞0)， 则g ′(t )＝12－12t ＝t －12t (t ＞0)．令g ′(t )＝0，得t ＝1.当t ∈(0,1)时，g ′(t )＜0；当t ∈(1，＋∞)时，g ′(t )＞0，所以g (t )min ＝g (1)＝32，所以|AB |≥32，所以|AB |的最小值为32.11．当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[－5，－3]B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，－98C ．[－6，－2]D ．[－4，－3]答案：C解析：当x ∈(0,1]时，得a ≥－3⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3－4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1x ，令t ＝1x ，则t ∈[1，＋∞)，a ≥－3t 3－4t 2＋t ，令g (t )＝－3t 3－4t 2＋t ，t ∈[1，＋∞)，则g ′(t )＝－9t 2－8t ＋1＝－(t ＋1)·(9t －1)，显然在[1，＋∞)上，g ′(t )<0，g (t )单调递减，所以g (t )max ＝g (1)＝－6，因此a ≥－6.同理，当x ∈[－2,0)时，得a ≤－2.由以上两种情况得－6≤a ≤－2，显然当x ＝0时也成立， 故实数a 的取值范围为[－6，－2]．12．设函数f (x )＝3sin πm x ，若存在f (x )的极值点x 0满足x 20＋f 2(x 0)＜m 2.则m 的取值范围是( )A ．(－∞，－6)∪(6，＋∞)B ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 答案：C解析：由正弦函数的图象知，f (x )的极值点x 0满足f (x 0)＝±3. ∴πx 0m ＝k π＋π2，k ∈Z .∴x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋12·m .∴不等式x 20＋f 2(x 0)＜m 2⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋122m 2＋3＜m 2(k ∈Z )⇔m 2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋122＞3(k ∈Z )． 存在f (x )的极值点x 0满足x 20＋f 2(x 0)＜m 2⇔存在整数k 使不等式m 2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋122＞3成立．当k ≠0且k ≠－1时，必有⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋122＞1，此时不等式显然不成立．∴k ＝0或－1时，m 2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋122＞3⇔34m 2＞3⇔m ＞2或m ＜－2. 二、填空题13．已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是__________． 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0解析：作出二次函数f (x )的图象，对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0，则有⎩⎪⎨⎪⎧f (m )<0，f (m ＋1)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m 2－1<0，(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1<0.解得－22<m <0.14．(2019春·潍坊期中)已知函数f (x )的定义域为R ，f (－2)＝－2，若对∀x ∈R ，f ′(x )＜3，则不等式f (x )＞3x ＋4的解集为________． 答案：(－∞，－2)解析：根据题意，设g (x )＝f (x )－3x －4，则g ′(x )＝f ′(x )－3.由对∀x ∈R ，f ′(x )＜3，则g ′(x )＜0，即g (x )在R 上为减函数． 又由f (－2)＝－2，则g (－2)＝f (－2)＋6－4＝0， 则f (x )＞3x ＋4⇒f (x )－3x －4＞0⇒g (x )＞g (－2)， 即不等式的解集为(－∞，－2)．15．(2019·南开区二模)已知函数f (x )＝e x －1e x －2sin x ，其中e 为自然对数的底数，若f (2a 2)＋f (a －3)＜0，则实数a 的取值范围为________． 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，1解析：∵f (x )＝e x －1e x －2sin x ，∴f (－x )＝e －x －e x ＋2sin x ＝－f (x )， ∵f (x )′＝e x ＋1e x －2cos x ≥2e x ·e －x －2cos x ≥0，∴f (x )在R 上单调递增且为奇函数．由f (2a 2)＋f (a －3)＜0，可得f (2a 2)＜－f (a －3)＝f (3－a )， ∴2a 2＜－a ＋3，解得－32<a <1. 16．已知函数f (x )＝x －1x ＋1，g (x )＝x 2－2ax ＋4，若对于任意x 1∈[0,1]，存在x 2∈[1,2]，使f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是__________． 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫94，＋∞解析：由于f ′(x )＝1＋1(x ＋1)2>0，因此函数f (x )在[0,1]上单调递增，所以x ∈[0,1]时，f (x )min ＝f (0)＝－1.根据题意可知存在x ∈[1,2]，使得g (x )＝x 2－2ax ＋4≤－1，即x 2－2ax ＋5≤0，即a ≥x 2＋52x 能成立．令h (x )＝x 2＋52x ，则要使a ≥h (x )在x ∈[1,2]能成立，只需使a ≥h (x )min .又函数h (x )＝x 2＋52x 在x ∈[1,2]上单调递减，所以h (x )min ＝h (2)＝94，故只需a ≥94.专题限时训练 (大题规范练)(建议用时：30分钟)1．(2019·河南模拟)已知函数f (x )＝x ln x ＋e. (1)若f (x )≥ax 恒成立，求实数a 的最大值； (2)设函数F (x )＝e x －1f (x )－x 2－2x ＋1，求证：F (x )＞0. 解析：(1)函数f (x )＝x ln x ＋e 的定义域为(0，＋∞)， f (x )≥ax 恒成立⇔a ≤x ln x ＋e x .令φ(x)＝x ln x＋ex，则φ′(x)＝x－ex2，可得φ(x)在(0，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，∴φ(x)min＝φ(e)＝2，∴a≤2.故实数a的最大值为2.(2)由(1)可知f(x)≥2x，只需证明2x≥x2＋2x－1e x－1.令g(x)＝2x－x2＋2x－1e x－1，则g′(x)＝2－3－x2e x－1＝2e x－1＋x2－3e x－1.令h(x)＝2e x－1＋x2－3，h′(x)＝2e x－1＋2x＞0在(0，＋∞)恒成立．注意到h(1)＝0，所以当x∈(0,1)时，h(x)＜0，g′(x)＜0，x∈(1，＋∞)时，h(x)＞0，g′(x)＞0，∴g(x)在(0,1)单调递减，在(1，＋∞)单调递增，∴g(x)min＝g(1)＝0.∴2x≥x2＋2x－1e x－1.当且仅当x＝1时取等号，而f(x)≥2x，当且仅当x＝e时取等号，∴F(x)＞0.2．(2019·蓉城名校联盟联考)已知函数f(x)＝ax2－2(a＋1)x＋2ln x，a∈R.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)是否存在最大整数k，当a≤k时，对任意的x≥2，都有f(x)<e x(x－1)－ax－ln x成立？(其中e为自然对数的底数，e＝2.718 28…)，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．解析：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝2ax －2(a ＋1)＋2x ＝2(ax －1)(x －1)x，所以当a ∈(－∞，0]时，f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减； 当a ∈(0,1)时，f (x )在(0,1)和⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1a 上单调递减；当a ＝1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ∈(1，＋∞)时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 和(1，＋∞)上单凋递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，1上单调递减．(2)ax 2－2(a ＋1)x ＋2ln x <e x (x －1)－ax －ln x 对x ≥2恒成立⇔ax 2－(a ＋2)x ＋3ln x <e x (x －1)． ①当x ＝2时，得4a －(a ＋2)×2＋3ln 2<e 2， 所以2a <e 2＋4－ln 8<8＋4－2＝10， 所以a <5，则整数k 的最大值不超过4.下面证明：当a ≤4时，不等式①对于x ≥2恒成立， 设g (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋3ln x －e x (x －1)(x ≥2)， 则g ′(x )＝2ax －(a ＋2)＋3x －x e x . 令h (x )＝2ax －(a ＋2)＋3x －x e x .则h ′(x )＝2a －3x 2－(x ＋1)e x <2a －(x ＋1)e x ≤2a －3e 2≤8－3e 2<0，所以h (x )在[2，＋∞)上单调递减，所以h (x )＝2ax －(a ＋2)＋3x －x e x ≤h (2)＝3a －12－2e 2≤232－2e 2<0. 即当x ∈[2，＋∞)时，g ′(x )<0， 所以g (x )在[2，＋∞)上单调递减，所以g(x)＝ax2－(a＋2)x＋3ln x－e x(x－1)≤g(2)＝2a－4＋3ln 2－e2<8－4＋3－e2＝7－e2<0.所以a≤4时，不等式①恒成立，所以k的最大值为4.。
2020年高考数学一轮复习重点突破必刷题—— 取整函数【解析版】
2020年高考数学一轮复习 重点突破必刷题——取整函数一、选择题x 为实数，[]x 表示不超过x 的最大整数，则函数()[]f x x x =-在R 上为 A ．奇函数 B ．偶函数C ．增函数D ． 周期函数【答案】D【解析】因为 )(][]1[1)1(x f x x x x x f =-=+-+=+ ，所以函数()[]f x x x =-是以1为周期的周期函数.故选D2.设[x ]表示不大于x 的最大整数, 则对任意实数x , y , 有 A. [－x ] ＝－[x ] B.[2x ] ＝ 2[x ] C. [x ＋y ]≤[x ]＋[y ] D. [x －y ]≤[x ]－[y ] 【答案】D【解析】取x=2.5,则[-x]=[-2.5]=-3,-[x]=-[2.5]=-2,所以A 错误；[2x]=[5],2[x ]=2[2.5]=4,所以B 错误；再取y=2.8，则[x+y]=[5.3]=5,[x]+[y]=[2.5]+[2.8]=2+2=4，所以C 错误；故选D.3.如果对于任意实数x ，[]x 表示不超过x 的最大整数. 例如[]3.273=，[]0.60=.那么][][y x =是1x y -<的 （ ）A ．充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】【解析】若][][y x =m =，则1+<≤m x m ，1+<≤m y m ，∴11≤-≤-y x 即1x y -<， 另外取9.0,1==y x ，则1x y -<，但是][][y x ≠，∴][][y x =是1x y -<的充分而不必要条件. 4.阅读下列一段材料，然后解答问题：对于任意实数x ，符号[]x 表示“不超过x 的最大整数”，在数轴上，当x 是整数， []x 就是x ，当x 不是整数时， []x 是点x 左侧的第一个整数点，这个函数叫做“取整函数”，也叫高斯（Gauss ）函数.如[][][]22, 1.52,2.52-=--=-=.求][][][2222111log log log log 1432⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦][][][2222log 1log 2log 3log 4⎡⎤++++⎣⎦的值为（ ） A ．0 B ．-2 C ．-1 D ．1 【答案】C【解析】22222221112,21,1,10,21,132,42432log log log log log log log =--<<-=-==<<=， 由“取整函数”的定义可得，[][][][]222222211112344322210112 1.log log log log log log log ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦=---++++=- 故选C. 5.我们定义函数（表示不大于的最大整数）为“下整函数”；定义（表示不小于的最小整数）为“上整函数”；例如.某停车场收费标准为每小时2元，即不超过1小时（包括1小时）收费2元，超过一小时，不超过2小时（包括2小时）收费4元，以此类推.若李刚停车时间为小时，则李刚应缴费为（单位：元） A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】如时，应缴费2元，此时，，排除A 、B ；当时，缴费为2元，此时排除D ，故选C6.遂宁二中将于近期召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于．．5时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数][x y =（][x 表示不．大于．．x 的最大整数）可以表示为（ ） （A ）]10[x y = （B ）]103[+=x y （C ）]104[+=x y （D ）]105[+=x y 【答案】C【解析】可以采用特殊值法，由于已知中当各班人数除以10的余数大于．．5时再增选一名代表，比如当x=56时，则可知被10除的余数大于5，因此y=6,这样选项A,B 中代入得到的结论为5，不符合题意.再看x=55,那么可知5[][6]610x y +===，而55被10除的余数等于5，因此得到y=5，显然不成立，排除法选C. 7.已知当[],x R x ∈表示不超过x 的最大整数，称[]y x =为取整函数，例如[][]1,21,2,33=-=-，若()[]f x x =，且偶函数()()()2110g x x x =--+≥，则方程()()()f f x g x =的所有解之和为（ ）A ．1B ．-2 C3 D．3 【答案】D【解析】设0x <，则0x ->，又()g x 为偶函数，所以()()()()221111g x g x x x =-=---+=-++．由()[]f x x =，得()()[]f f x x =．在同一坐标系中画出()()f f x 与()g x 的图象，如图所示．由图知同，两个图象有四个交点，交点的纵坐标分别为1,0,3,4--，当0x ≥时，方程()()()ff xg x =的解是0和1；当0x <时，由()()2113g x x =-++=-解得3x =-，由()()2114g x x =-++=-解得1x =-上，得()()()ff xg x =的所有解之和为01313+--=--D ．8.在计算机的算法语言中有一种函数叫做取整函数（也称高斯函数），表示不超过的最大整数．例如：．设函数，则函数的值域为 （ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】B【解析】)12(21221212)(+-=-+=x x x x x f ,且)()21(221)12(212)(x f x f x xx x -=+-=+-=---，即函数)(x f 为奇函数；又⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈+-=21,2112121)(x x f ；当0)(=x f 时，[][]0)()(=-+x f x f ；当0)(≠x f 时，不妨设0)(>x f ，则[]0)(=x f ，[]1)(-=-x f ，则[][]1)()(-=-+x f x f ；故选B ．9.把不超过实数x 的最大整数记为[]x ，则函数[]()f x x =称作取整函数，又叫高斯函数，在[]1,4 上任取x ，则[]x =的概率为（ ）A ．14B ．13C ．12D ．23【答案】D【解析】当2≤x ＜3时，[x]＝＝2； 当3≤x ＜4时，[x]＝3，＝2； 当4≤x ＜4.5时，[x]＝4，＝2；[]x []x x [2]2,[3.1]3,[ 2.6]3==-=-21()122x x f x =-+[()][()]y f x f x =+-{}0{}1,0-{}1,0,1-{}2,0-当4.5≤x ＜5时，[x]＝4，＝3．符合条件的x ∈[2，3），由长度比可得，[x]＝的概率为321523-=-． 故选B ．10．定义区间(),a b 、[),a b 、(],a b 、[],a b 的长度均为d b a =-，用[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[]3.23=，[]2.33-=-.记{}[]x x x =-，设()[]{}f x x x=，()1g x x =-，若用d 表示不等式()f x <解集区间长度，则03x ≤≤当时有（ ）A ．1d =B ．2d = C. 3d = D ．4d = 【答案】A【解析】()[]{}[][]()[][]()()[][]22,,1,f x x x x x x x x x f x g x x x x x =⋅=-=-<-<-由得即[]()[]211x x x -<-,当[)[]0,1,0=∈x x 时,不等式的解为1>x ,不符合题意；当[)2,1∈x 时,[]1=x ,不等式无解,不合题意；当[]3,2∈x 时,[]1>x ,不等式可化为[]1+<x x ,此时不等式恒成立,所以不等式解集为32≤≤x .综上可得不等式()()x g x f <解集区间的长度为1=d ,故选A.11．对任意正整数n 与，表示不超过（表示不超过实数x 的最大整数）且与n 互素的正整数的个数.则（）.A ．l1B ．13C ．14D ．19 【答案】C 【解析】由，知所求为1至33中与100互素的数的个数.先去掉所有的偶数，还剩下17个奇数，再去掉5的倍数（共三个），从而，所求为14. 12．设表示不超过x 的最大整数，Z 表示整数集，方程的解集为M ，则有（）.A ．B ．C ．D ．M 与Z 互不包含【答案】C 【解析】显然，.设，令.代入方程得.()g x而.当时，. 于是，a=0.当t=0时，，a=0，即，所以，.因此，. 故选C.二、填空题13.函数[]y x =称为高斯函数，又称取整函数，对任意实数,[]x x 是不超过x 的最大整数，则函数[]1(0.5 2.5)y x x =+-<<的值域为 .【答案】}{0,1,2,3【解析】①当-0.5＜x ＜0时，y=[x]+1的函数值为0； ②当0≤x ＜1时，y=[x]+1的函数值为1； ③当1≤x ＜2时，y=[x]+1的函数值为2； ④当2≤x ＜2.5时，y=[x]+1的函数值为3；综上所述，得函数y=[x]+1（-0.5＜x ＜2.5）的值域为{0，1，2，3}.14.对于任意x ∈R ，令[]x 为不大于x 的最大整数，则函数()[]f x x =称为高斯函数或取整函数．若数列{}n a 满足()4n n a f =()n +∈N ，且数列{}n a 的前n 项和为n S ，则4n S 等于 ． 【答案】22n n - 【解析】由定义知，．15.对于实数，称为取整函数或高斯函数，亦即是不超过的最大整数.例如：.直角坐标平面内，若满足，则的取值范围是 ．【答案】(1,5)[10,20)⋃【解析】由[x-1]2+[y-1]2=4，得 [x-1]=±2， [y-1]=0 或 [x-1]=0， [y-1]=±2 然后得到可行域 41235678940,1,2,n a a a a a a a a a a n==========244(12...1)2n S n n n n∴=+++-+=-x 2+y 2看作可行域内点到坐标原点距离的平方．AO 2=1，BO 2=5此时x 2+y 2∈[1，5）．CO 2=10，DO 2=20， 此时x 2+y 2∈[10，20）．所以x 2+y 2∈[1，5）∪[10，20）．16.][x 表示不超过x 的最大整数，则方程]2[][log sin 2xx =的解集为___________.【答案】{π≤≤x x 2|或25π=x }【解析】22211sin 1sin ≤≤∴≤≤-x ， ， }210{]2[sin ，，∈∴x ⑴若]2[][log sin 2xx==0，则⎩⎨⎧<≤-<≤0sin 11log 02x x即⎩⎨⎧<≤-<≤0sin 121x x ，该不等式组的解集为空集；⑵若]2[][log sin 2xx==1，则⎩⎨⎧<≤-<≤0sin 12log 12x x即⎩⎨⎧<≤<≤1sin 042x x ， 解得π≤≤x 2；⑶若]2[][log sin 2xx ==2，则⎩⎨⎧=<≤1sin 3log 22x x即⎩⎨⎧=<≤1sin 84x x ，解得25π=x .综上得方程]2[][log sin 2xx=的解集为{π≤≤x x 2|或25π=x }.。
(完整版)2020版高职高考数学总复习课件：第六章三角函数节练习(共48张PPT)
(D )
A.必是第四象限角
B.必是第二或第四象限角
C.必是第一或第四象限角
D.不可能是第一、二象限角
7.在0°~360°内,与角-1785°终边相同的角是 ( B )
A.-15°
B.15°
C.165°
D.75°
8.与角-160°终边 B.{k·360°+160°(k∈Z)} C.{β|β=k·360°+200°,k∈Z} D.{β|β=k·360°+160°,k∈Z}
C. 12 13
D.12 13
6.已知tanα= 5 ,则角α终边所在的象限是 5
(C )
A.第二象限
B.第二、三象限
C.第二、四象限
D.第三、四象限
7.已知角α的终边过点(-5,8),则 A.sinα·tanα>0 C.sinα·cosα>0
(D )
1
B.sinα· tan
>0
D.cosα·tanα>0
k k , 4k 2 4k
2
4
Q
k
1,
是第三象限角,
2 是一、二象限角
2
k 2,是第一象限角,2是一、二象限角
是第一或第三象限角,2是第一或第二象限角
2
6.2 弧度制
一、选择题 1.在不等的圆内,1弧度的圆心角 ( C )
A.所对的弧长相等 B.所对的弦长相等 C.所对的弧长等于所在圆的半径 D.所对的弦长等于所在圆的半径
1.5sin270°+2cos60°-2sin120°-cos90°的值是 ( A )
A.-4- 3
B.-4+ 3
C.1- 3
D.-5- 3
2020年高考数学复习思维导图(人教版)02——函数
基本不等式实际是对勾函数的特例，可以考虑利用对勾实际应用题考虑解析式有意义且考虑实际问题有意义
解析式表示的斜率、截距、距离等几何意义一般适用含有绝对值的函数
6种基本函数及其加减形式
形如f[g(x)]
确定函数的定义域．
将复合函数分解成基本初等函数y ＝f(u)，u ＝g(x)．分别确定这两个函数的单调区间．如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，对称轴是两个横坐标的中点
对称中心为函数对称两点的中点，可以利用中点坐标
如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有奇偶性的判断利用奇偶性求解析式公
众
么
难。
【高考冲刺】2020年高考数学(理数) 函数与导数 大题(含答案解析)
【高考复习】2020年高考数学(理数)函数与导数 大题1.已知函数f(x)=ln xx ＋a (a∈R)，曲线y=f(x)在点(1，f(x))处的切线与直线x ＋y ＋1=0垂直．(1)试比较2 0172 018与2 0182 017的大小，并说明理由；(2)若函数g(x)=f(x)-k 有两个不同的零点x 1，x 2，证明：x 1x 2>e 2.2.已知函数f(x)=kx-ln x-1(k>0)．(1)若函数f(x)有且只有一个零点，求实数k 的值；(2)证明：当n∈N *时，1＋12＋13＋ (1)>ln(n ＋1)．3.已知函数f(x)=ax-ln x ，F(x)=e x＋ax ，其中x>0，a<0.(1)若f(x)和F(x)在区间(0，ln 3)上具有相同的单调性，求实数a 的取值范围；(2)若a∈⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－1e 2，且函数g(x)=xe ax-1-2ax ＋f(x)的最小值为M ，求M 的最小值．4.已知函数f(x)=ln x ＋tx-s(s ，t∈R)．(1)讨论f(x)的单调性及最值；(2)当t=2时，若函数f(x)恰有两个零点x 1，x 2(0<x 1<x 2)，求证：x 1＋x 2>4.5.已知函数f(x)=(2＋x ＋ax 2)·ln(1＋x)-2x.(1)若a=0，证明：当-1<x<0时，f(x)<0；当x>0时，f(x)>0； (2)若x=0是f(x)的极大值点，求a.6.已知函数f(x)=ln x ＋2ax ＋1(a∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a=1时，求证：f(x)≤x ＋12.7.已知函数f(x)=ln x-a(x ＋1)，a∈R 的图象在(1，f(1))处的切线与x 轴平行．(1)求f(x)的单调区间；(2)若存在x 0>1，当x∈(1，x 0)时，恒有f(x)-x 22＋2x ＋12>k(x-1)成立，求k 的取值范围．8.已知函数f(x)=xe x－a 3x 2－a 2x ，a≤e，其中e 为自然对数的底数．(1)当a=0，x>0时，证明：f(x)≥ex 2； (2)讨论函数f(x)极值点的个数．9.已知函数f(x)=x-1-alnx(其中a 为参数)．(1) 求函数f(x)的单调区间；(2) 若对任意x ∈(0，＋∞)都有f(x)≥0成立，求实数a 的取值集合；(3) 证明：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n n <e<⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n n ＋1(其中n ∈N *，e 为自然对数的底数)．10.已知函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧－x 3＋x 2，x<0，e x－ax ，x ≥0，其中常数a∈R .(1) 当a=2时，求函数f(x)的单调区间；(2) 若方程f(-x)＋f(x)=e x-3在区间(0，＋∞)上有实数解，求实数a 的取值范围； (3) 若存在实数m ，n ∈[0，2]，且|m-n|≥1，使得f(m)=f(n)，求证：1≤ae －1≤e.答案解析1.解：(1) 20172 018>2 0182 017.理由如下：依题意得，f′(x)=x ＋ax－ln x ＋2，因为函数f(x)在x=1处有意义，所以a≠-1.所以f′(1)=1＋a ＋2=11＋a， 又由过点(1，f(1))的切线与直线x ＋y ＋1=0垂直可得，f′(1)=1，即11＋a=1，解得a=0.此时f(x)=ln x x ，f′(x)=1－ln xx2， 令f′(x)>0，即1-ln x>0，解得0<x<e ； 令f′(x)<0，即1-ln x<0，解得x>e.所以f(x)的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e ，＋∞)．所以f(2 017)>f(2 018)，即ln 2 0172 017>ln 2 0182 018，则2 018ln 2 017>2 017ln 2 018，所以2 0172 018>2 0182 017.(2)证明：不妨设x 1>x 2>0，因为g(x 1)=g(x 2)=0， 所以ln x 1-kx 1=0，ln x 2-kx 2=0.可得ln x 1＋ln x 2=k(x 1＋x 2)，ln x 1-ln x 2=k(x 1-x 2)，要证x 1x 2>e 2，即证ln x 1＋ln x 2>2，也就是k(x 1＋x 2)>2，因为k=ln x 1－ln x 2x 1－x 2，所以只需证ln x 1－ln x 2x 1－x 2>2x 1＋x 2，即ln x 1x 2>1－x 2x 1＋x 2，令x 1x 2=t ，则t>1，即证ln t>－t ＋1.令h(t)=ln t-－t ＋1(t>1)．由h′(t)=1t -4＋2=－2＋2>0得函数h(t)在(1，＋∞)上是增函数，所以h(t)>h(1)=0，即ln t>－t ＋1.所以x 1x 2>e 2. 2.解：(1) f(x)=kx-ln x-1，f′(x)=k-1x =kx －1x(x>0，k>0)，当x=1k 时，f′(x)=0；当0<x<1k 时，f′(x)<0；当x>1k时，f′(x)>0.∴f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1k 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ，＋∞上单调递增， ∴f(x)min =f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k =ln k ， ∵f(x)有且只有一个零点， ∴ln k=0，∴k=1.(2)证明：由(1)知x-ln x-1≥0，即x-1≥ln x，当且仅当x=1时取等号，∵n∈N *，令x=n ＋1n ，得1n >ln n ＋1n，∴1＋12＋13＋…＋1n >ln 21＋ln 32＋…＋ln n ＋1n =ln(n ＋1)，故1＋12＋13＋…＋1n >ln(n ＋1)．3.解：(1)由题意得f′(x)=a-1x =ax －1x，F′(x)=e x＋a ，x>0，∵a<0，∴f′(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，即f(x)在(0，＋∞)上单调递减， 当-1≤a<0时，F′(x)>0，即F(x)在(0，＋∞)上单调递增，不合题意， 当a<-1时，由F′(x)>0，得x>ln(-a)，由F′(x)<0，得0<x<ln(-a)， ∴F(x)的单调递减区间为(0，ln(-a))，单调递增区间为(ln(-a)，＋∞)． ∵f(x)和F(x)在区间(0，ln 3)上具有相同的单调性， ∴ln(-a)≥ln 3，解得a≤-3， 综上，a 的取值范围是(-∞，-3]．(2)g′(x)=e ax-1＋axe ax-1-a-1x =(ax ＋1)⎝⎛⎭⎪⎫e ax －1－1x ，由e ax-1-1x =0，解得a=1－ln x x ，设p(x)=1－ln x x ，则p′(x)=ln x －2x 2， 当x>e 2时，p′(x)>0，当0<x<e 2时，p′(x)<0，从而p(x)在(0，e 2)上单调递减，在(e 2，＋∞)上单调递增，p(x)min =p(e 2)=-1e2，当a≤-1e 2时，a≤1－ln x x ，即e ax-1-1x≤0，当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a 时，ax ＋1>0，g′(x)≤0，g(x)单调递减， 当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞时，ax ＋1<0，g′(x)≥0，g(x)单调递增，∴g(x)min =g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a =M ， 设t=-1a ∈(0，e 2]，M=h(t)=t e2-ln t ＋1(0<t≤e 2)，则h′(t)=1e 2-1t ≤0，h(t)在(0，e 2]上单调递减，∴h(t)≥h(e 2)=0，即M≥0， ∴M 的最小值为0. 4.解：(1)f′(x)=x －tx2(x>0)，当t≤0时，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，f(x)无最值； 当t>0时，由f′(x)<0，得x<t ，由f′(x)>0，得x>t ， f(x)在(0，t)上单调递减，在(t ，＋∞)上单调递增，故f(x)在x=t 处取得最小值，最小值为f(t)=ln t ＋1-s ，无最大值． (2)∵f(x)恰有两个零点x 1，x 2(0<x 1<x 2)，∴f(x 1)=ln x 1＋2x 1-s=0，f(x 2)=ln x 2＋2x 2-s=0，得s=2x 1＋ln x 1=2x 2＋ln x 2，∴2－x 1x 1x 2=ln x 2x 1，设t=x 2x 1>1，则ln t=－tx 1，x 1=－tln t，故x 1＋x 2=x 1(t ＋1)=2－tln t ，∴x 1＋x 2-4=2⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2－1t －2ln t ln t，记函数h(t)=t 2－1t-2ln t ，∵h′(t)=－2t2>0，∴h(t)在(1，＋∞)上单调递增， ∵t>1，∴h(t)>h(1)=0，又t=x 2x 1>1，ln t>0，故x 1＋x 2>4成立．5.解：(1)证明：当a=0时，f(x)=(2＋x)ln(1＋x)-2x ，f′(x)=ln(1＋x)-x1＋x. 设函数g(x)=ln(1＋x)-x 1＋x ，则g′(x)=x＋2. 当-1<x<0时，g′(x)<0；当x>0时，g′(x)>0， 故当x>-1时，g(x)≥g(0)=0， 且仅当x=0时，g(x)=0，从而f′(x)≥0，且仅当x=0时，f′(x)=0. 所以f(x)在(-1，＋∞)上单调递增． 又f(0)=0，故当-1<x<0时，f(x)<0；当x>0时，f(x)>0. (2)①若a≥0，由(1)知，当x>0时，f(x)≥(2＋x)ln(1＋x)-2x>0=f(0)， 这与x=0是f(x)的极大值点矛盾． ②若a<0，设函数h(x)=2＋x ＋ax 2=ln(1＋x)-2x2＋x ＋ax2.由于当|x|<min ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1，1|a|时，2＋x ＋ax 2>0， 故h(x)与f(x)符号相同． 又h(0)=f(0)=0，故x=0是f(x)的极大值点，当且仅当x=0是h(x)的极大值点．h′(x)=11＋x -＋x ＋ax 2－＋＋x ＋ax 22=x 22x 2＋4ax ＋6a ＋＋2＋x ＋2.若6a ＋1>0，则当0<x<-6a ＋14a， 且|x|<min ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1，1|a|时，h′(x)>0， 故x=0不是h(x)的极大值点．若6a ＋1<0，则a 2x 2＋4ax ＋6a ＋1=0存在根x 1<0，故当x∈(x 1,0)，且|x|<min ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1，1|a|时，h′(x)<0，所以x=0不是h(x)的极大值点．若6a ＋1=0，则h′(x)=x 3－＋2－6x －2，则当x∈(-1,0)时，h′(x)>0； 当x∈(0,1)时，h′(x)<0. 所以x=0是h(x)的极大值点， 从而x=0是f(x)的极大值点．综上，a=-16.6.解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)=x 2＋－＋1＋2.考虑y=x 2＋2(1-a)x ＋1，x>0.①当Δ≤0，即0≤a≤2时，f′(x)≥0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增． ②当Δ>0，即a>2或a<0时，由x 2＋2(1-a)x ＋1=0，得x=a-1±a 2－2a.若a<0，则f′(x)>0恒成立，此时f(x)在(0，＋∞)上单调递增；若a>2，则a-1＋a 2－2a>a-1-a 2－2a>0，由f′(x)>0，得0<x<a-1-a 2－2a 或x>a-1＋a 2－2a ，则f(x)在(0，a-1-a 2－2a)和(a-1＋a 2－2a ，＋∞)上单调递增．由f′(x)<0，得a-1-a 2－2a<x<a-1＋a 2－2a ，则f(x)在(a-1-a 2－2a ，a-1＋a 2－2a)上单调递减．综上，当a≤2时，函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间；当a>2时，f(x)的单调递增区间为(0，a-1-a 2－2a)，(a-1＋a 2－2a ，＋∞)，单调递减区间为(a-1-a 2－2a ，a-1＋a 2－2a)．(2)证明：当a=1时，f(x)=ln x ＋2x ＋1.令g(x)=f(x)-x ＋12=ln x ＋2x ＋1-x ＋12(x>0)， 则g′(x)=1x -2＋2-12=2－x －x 3＋2=－－2＋x ＋＋2. 当x>1时，g′(x)<0，当0<x<1时，g′(x)>0，∴g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 即当x=1时，g(x)取得最大值，故g(x)≤g(1)=0，即f(x)≤x ＋12成立，得证．7.解：(1)由已知可得f(x)的定义域为(0，＋∞)．∵f′(x)=1x -a ，∴f′(1)=1-a=0，∴a=1，∴f′(x)=1x -1=1－xx，令f′(x)>0得0<x<1，令f′(x)<0得x>1，∴f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．(2)不等式f(x)-x 22＋2x ＋12>k(x-1)可化为ln x-x 22＋x-12>k(x-1)，令g(x)=ln x-x 22＋x-12-k(x-1)，则g′(x)=1x -x ＋1-k=－x 2＋－＋1x，令h(x)=-x 2＋(1-k)x ＋1，则h(x)的对称轴为直线x=1－k 2，①当1－k 2≤1，即k≥-1时，易知h(x)在(1，＋∞)上单调递减，∴x∈(1，＋∞)时，h(x)<h(1)=1-k ， 若k≥1，则h(x)<0，∴g′(x)<0， ∴g(x)在(1，＋∞)上单调递减， ∴g(x)<g(1)=0，不符合题意． 若-1≤k<1，则h(1)>0，∴存在x 0>1，使得x∈(1，x 0)时，h(x)>0，即g′(x)>0， ∴g(x)在(1，x 0)上单调递增，∴g(x)>g(1)=0恒成立，符合题意．②当1－k 2>1，即k<-1时，易知存在x 0>1，使得h(x)在(1，x 0)上单调递增，∴h(x)>h(1)=1-k>0， ∴g′(x)>0，∴g(x)在(1，x 0)上单调递增，∴g(x)>g(1)=0恒成立，符合题意． 综上，k 的取值范围是(-∞，1)． 8.解:(1)证明：依题意，f(x)=xe x ，故原不等式可化为xe x ≥ex 2，因为x>0，所以只要证e x－ex≥0即可，记g(x)=e x－ex(x>0)，则g′(x)=e x－e(x>0)，当0<x<1时，g′(x)<0，g(x)单调递减； 当x>1时，g′(x)>0，g(x)单调递增，所以g(x)≥g(1)=0，即f(x)≥ex 2，原不等式成立．(2)f′(x)=e x －13ax 2－12ax ＋xe x －23ax －12a=(x ＋1)e x －ax(x ＋1)=(x ＋1)(e x－ax)，记h(x)=e x －ax ，h′(x)=e x－a.(ⅰ)当a<0时，h′(x)=e x－a>0，h(x)在R 上单调递增，h(0)=1>0，h 1a =e 1a－1<0，所以存在唯一的x 0∈1a，0，使h(x 0)=0，且当x<x 0时，h(x)<0；当x>x 0，h(x)>0.①当x 0=－1，即a=－1e时，对任意x≠－1，f′(x)>0，此时f(x)在R 上单调递增，无极值点；②若x 0<－1，即－1e<a<0时，此时当x<x 0或x>－1时，f′(x)>0，即f(x)在(－∞，x 0)，(－1，＋∞)上单调递增；当x 0<x<－1时，f′(x)<0，即f(x)在(x 0，－1)上单调递减， 此时f(x)有一个极大值点x 0和一个极小值点－1.③若－1<x 0<0，即a<－1e时，此时当x<－1或x>x 0时，f′(x)>0，即f(x)在(－∞，－1)，(x 0，＋∞)上单调递增；当－1<x<x 0时，f′(x)<0，即f(x)在(－1，x 0)上单调递减，此时f(x)有一个极大值点－1和一个极小值点x 0.(ⅱ)当a=0时，f(x)=xe x ，所以f′(x)=(x ＋1)e x ，显然f(x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，此时f(x)有一个极小值点－1，无极大值点．(ⅲ)当0<a<e 时，由(1)可知，对任意x≥0，h(x)=e x －ax>e x －ex≥0，从而h(x)>0，而对任意x<0，h(x)=e x －ax>e x >0，所以对任意x ∈R ，h(x)>0，此时令f′(x)<0，得x<－1，令f′(x)>0，得x>－1，所以f(x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，此时f(x)有一个极小值点－1，无极大值点．(ⅳ)当a=e 时，由(1)可知，对任意x ∈R ，h(x)=e x －ax=e x －ex≥0(当且仅当x=1时，取等号)，此时令f′(x)<0，得x<－1，令f′(x)≥0，得x≥－1，所以f(x)在(－∞，－1)上单调递减，在[－1，＋∞)上单调递增，此时f(x)有一个极小值点－1，无极大值点．综上所述，①当a<－1e 或－1e<a<0时，f(x)有两个极值点； ②当a=－1e时，f(x)无极值点； ③当0≤a≤e 时，f(x)有一个极值点．9.解：(1) f ′(x)=1-a x =x －a x(x>0)， 当a ≤0时，f ′(x)=1-a x =x －a x>0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数； 当a>0时，所以f(x)的增区间是(a ，＋∞)，减区间是(0，a)．综上所述， 当a ≤0时，f(x)的单调递增区间是(0，＋∞)；当a>0时，f(x)的单调递增区间是(a ，＋∞)，单调递减区间是(0，a)．(2) 由题意得f(x)min ≥0.当a ≤0时，由(1)知f(x)在(0，＋∞)上是增函数，当x →0时，f(x)→-∞，故不合题意；(6分)当a>0时，由(1)知f(x)min =f(a)=a-1-alna ≥0.令g(a)=a-1-alna ，则由g ′(a)=-lna=0，得a=1，所以g(a)=a-1-alna ≤0，又f(x)min =f(a)=a-1-alna ≥0，所以a-1-alna=0，所以a=1，即实数a 的取值集合是{1}．(10分)(3) 要证不等式1＋1n n <e<1＋1nn ＋1， 两边取对数后，只要证nln1＋1n <1<(n ＋1)ln1＋1n ，即只要证1n ＋1<ln1＋1n <1n，令x=1＋1n ，则只要证1-1x<lnx<x-1(1<x ≤2)． 由(1)知当a=1时，f(x)=x-1-lnx 在(1,2]上递增，因此f(x)>f(1)，即x-1-lnx>0，所以lnx<x-1(1<x ≤2)令φ(x)=lnx ＋1x -1(1<x ≤2)，则φ′(x)=x －1x 2>0， 所以φ(x)在(1,2]上递增，故φ(x)>φ(1)，即lnx ＋1x -1>0，所以1-1x<lnx(1<x ≤2)． 综上，原命题得证．10.解：(1) 当a=2时，f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧－x 3＋x 2，x<0，e x －2x ，x ≥0. ①当x<0时，f ′(x)=-3x 2＋2x<0恒成立，所以f(x)在(-∞，0)上递减；②当x ≥0时，f ′(x)=e x -2，可得f(x)在[0，ln2]上递减，在[ln2，＋∞)上递增．因为f(0)=1>0，所以f(x)的单调递减区间是(-∞，0)和[0，ln2]，单调递增区间是[ln2，＋∞)．(2) 当x>0时，f(x)=e x -ax ，此时-x<0，f(-x)=-(-x)3＋(-x)2=x 3＋x 2.所以可化为a=x 2＋x ＋3x在区间(0，＋∞)上有实数解． 记g(x)=x 2＋x ＋3x ，x ∈(0，＋∞)，则g ′(x)=2x ＋1-3x 2=（x －1）（2x 2＋3x ＋3）x 2. 可得g(x)在(0，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，且g(1)=5，当x →＋∞时，g(x)→＋∞. 所以g(x)的值域是[5，＋∞)，即实数a 的取值范围是[5，＋∞)．(3) 当x ∈[0，2]时，f(x)=e x -ax ，有f ′(x)=e x -a.若a ≤1或a ≥e 2，则f(x)在[0，2]上是单调函数，不合题意．所以1<a<e 2，此时可得f(x)在[0，lna]上递减，在[lna ，2]上递增．不妨设0≤m<lna<n ≤2，则f(0)≥f(m)>f(lna)，且f(lna)<f(n)≤f(2)．由m ，n ∈[0，2]，n-m ≥1，可得0≤m ≤1≤n ≤2.(12分)因为f(m)=f(n)，所以⎩⎪⎨⎪⎧1<a<e 2，f （0）≥f （m ）≥f （1），f （2）≥f （n ）≥f （1），得⎩⎪⎨⎪⎧1<a<e 2，1≥e －a ，e 2－2a ≥e －a ，即e-1≤a ≤e 2-e ，所以1≤a e －1≤e.。
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2020高考数学总复习 函数
I. 基础知识要点 函数的三要素：定义域，值域，对应法则.
1. 求定义域的方法：使解析式有意义的x 的取值范围组成的集合
2. 求值域的方法：观察法、反函数法（方程的思想）、常数分离法、配方法、不等式法、单调性法、判别式法、数形结合法、换元法、求导法
3. 函数的单调性：
单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的一部分. 对于具体的函数来说可能有单调区间，也可能没有单调区间，如果函数在区间（0，1）上为减函数，在区间（1，2）上为减函数，就不能说函数在），（），（2110 上为减函数.
4. 反函数定义：只有满足y x 唯一
，函数)x (f y 才有反函数. 例：2x y 无反函数. 函数)x (f y 的反函数记为)y (f x 1 ，习惯上记为)x (f y 1 . 在同一坐标系，函数)(x f y 与它的反函数
)x (f y 1 的图象关于x y 对称. [注]：一般地，3)f(x 3)(x f
1
的反函数. 3)(x f 1 是先f(x)的反函数，在左移三个单位.3)f(x 是先
左移三个单位，在)f(x 的反函数.
5. ⑴单调函数必有反函数，但并非反函数存在时一定是单调的.因此，所有偶函数不存在反函数. ⑵如果一个函数有反函数且为奇函数，那么它的反函数也为奇函数.
⑶设函数y = f （x ）定义域，值域分别为X 、Y . 如果y = f （x ）在X 上是增（减）函数，那么反函数)x (f y 1 在Y 上一定是增（减）函数，即互为反函数的两个函数增减性相同.
⑷一般地，如果函数)x (f y 有反函数，且b )a (f ，那么a )b (f 1 . 这就是说点（b a ,）在函数)x (f y 图象上，那么点（a ,b ）在函数)x (f y 1 的图象上.
6. 指数函数：x a y （1a ,0a ），定义域R ，值域为（ ,0）. ⑴①当1a ，指数函数：x
a y 在定义域上为增函数；
②当1a 0 ，指数函数：x a y 在定义域上为减函数. ⑵当1a 时，x
a y
的a 值越大，越靠近y 轴正半轴；当1a 0
7. 对数函数：如果a （1a ,0a ）的b 次幂等于N ，就是N a b ，数b 作b N a log （1a ,0a ，负数和零没有对数）；其中a 叫底数，N 叫真数. ⑴对数运算： （1且0...a a ,a 1,c 0,c 1,b 0,b 1,a 0,a 0,N 0,M n 21 ） n
a n a 3a 2a c
b a b b a N log a n a a n a a a a
a a a a log a log ...a log a log 1a log c log
b log a
log N log N log N a M log n 1M log M
log n M log N log M log N
M
log N log M log )N M (log 1
1
n 2
1
a
推论：换底公式：
注⑴：当0b ,a 时，)log()log()log(b a b a .
⑵：当0M 时，取“+”，当n 是偶数时且0M 时，0M n ，而0M ，故取“—”.
例如：x x x a a a log 2(log 2log 2 中x >0而2
log x a 中x ∈R ）.
⑵x
a y （1a ,0a ）与x y a log 互为反函数.
当1a 时，x y a log 的a 值越大，越靠近x 轴正半轴；当1a 0 时，则相反. 8. 奇函数，偶函数： ⑴偶函数：)()(x f x f
设（b a ,）为偶函数上一点，则（b a , ）也是图象上一点. 偶函数的判定：两个条件同时满足
①定义域一定要关于原点对称，例如：12
x y 在)1,1[ 上不是偶函数.
②满足)()(x f x f ，或0)()( x f x f ，若0)( x f 时，1)
()
( x f x f . ⑵奇函数：)()(x f x f
设（b a ,）为奇函数上一点，则（b a ,）也是图象上一点. 奇函数的判定：两个条件同时满足
①定义域一定要关于原点对称，例如：3
x y 在)1,1[ 上不是奇函数.
②满足)()(x f x f ，或0)()( x f x f ，若0)( x f 时，
1)
()
( x f x f . 9. 对称变换：①y = f （x ））（轴对称
x f y y ②y =f （x ））（轴对称
x f y x
③y =f （x ））（原点对称x f y
9. 判断函数单调性（定义）作差法：对带根号的一定要分子有理化，例如：
在进行讨论.
10. 外层函数的定义域是内层函数的值域. 例如：已知函数f （x ）= 1+x
1x
的定义域为A ，函数f[f （x ）]的定义域是B ，则集合A 与集合B 之间的关系是 .
解：)(x f 的值域是))((x f f 的定义域B ，)(x f 的值域R ，故R B ，而A 1| x x ，故A B . 11. 常用变换：
2
2
12221212
2222121)
()()(b x b x x x x x b x b x x f x f x
）（A B
①)
()
()()()()(y f x f y x f y f x f y x f . 证：)()(])[()()
()
()(y f y x f y y x f x f x f y f y x f
②)()()()()()(y f x f y x f y f x f y
x f 证：)()()(
)(y f y
x
f y y x f x f 12.熟悉常用函数图象：
一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、nike 函数、分式（反比例）函数的图象
例：|
|2x y →||x 关于y 轴对称. |
2|21
x y →|
|21x y
→|
2|21
x y
|122|2 x x y →||y 关于x 轴对称
.
例：3
7
2312
x x x y 定义域},3|{R x x x ， 值域},2|{R y y y →值域 x 前的系数之比.。