教学案例.杨辉三角与二项式系数性质(标准)

1.3.2二项式系数的性质(第一课时)

学校：新塘中学 班级：高二A8班 教师：段建辉 ●教学目标

（一）知识与技能

1.二项式系数的性质：对称性，增减性与最大值，各二项式系数的和.

2.掌握“赋值法”，并会简单应用 （二）情感与价值观

1.树立由一般到特殊及特殊到一般的意识.

2.了解中国古代数学成就及地位．．．．．．．．．．．．．

●教学重点：二项式系数的性质

●教学难点：二项式系数的最大值的理解与二项展开式中系数最大项有的求解. ●教学方法:发现法 ●授课类型：新授 ●教学情境设计： 一、复习回顾

1．二项式定理及其特例：

（1）01()()n n n r n r r n n

n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈ ， （2）1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++ . 2．二项展开式的通项公式：1r n r r r n T C a b -+=

二、引入

通项公式中的r

n C ，我们称其为二项式系数.当n 依次取1，2，3…时，

n b a )(+二项式系数，如下表所示：

表1

此表叫二项式系数表,早在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中出现了又叫杨辉三角.国外最早发现是在欧洲,叫帕斯卡三角，比中国晚了500年

下面我们可以利用“杨辉三角”来研究二项式系数的性质

11

01C

C 02

C 12

C 2

2C 03

C

13

C

23

C

33

C

14

C

04

C

34

C

24

C

44

C

05

C 1

5C 25

C

35

C

45

C

55

C

观察二项式系数表,根据提示的方法,寻找表中的规律.

【注意】

•1）不要孤立的看、规律应该体现在联系之中

•2）既要注意横向观察，也要注意纵向观察，横向观察是重点

•3）可以结合函数图象或图表来研究，也可以和集合作联系

1、二项式系数表的规律

①每行两端都是1

②除1以外的每1个数都等于它肩上两个数的和（如何用数学知识解释？）【提示】设这一数为C r

,其肩上的数则为C1-r

n

和C r

n

，由组合数知识可知：

③与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等

④中间的数值最大

2、二项式系数的函数观点

n

b

a)

(+展开式的二项式系数依次是：C

n

0 , C

n

1…C

n

r…C

n

n.

从函数角度看，

r

n

C可看成是以r为自变量的函数)

(r

f

y=

其定义域是：｛0,1,2…n｝

当n=5及n=6时，分别作出其图象

图1 图2

据图可分析出函数r

n

C

r

f=

)

(，图象的对称轴是

2

n

r=

3、二项式系数的性质

据图1,2和表1可得出二项式系数的性质

【1】对称性

与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵m n m

n n

C C-

=）．

直线

2

n

r=是图象的对称轴．

e.g1.已知515C =a ，915C =b ，那么10

16C =__________；

【2】增减性与最大值

∵1(1)(2)(1)1!k k n n n n n n k n k C C k k

----+-+==⋅ ，

∴k n C 相对于1

k n C -的增减情况由1n k k -+决定，1112

n k n k k -++>⇔<，

Ⅰ.当21

+≤n k 时，二项式系数逐渐增大．

当2

1+≥n k 时，二项式系数逐渐增大

根据对称性可知，在中间取得最大值； Ⅱ.当n 是偶数时，中间一项2n n

C 取得最大值； 当n 是奇数时，中间两项12n n C -，12n n

C

+取得最大值．

[典型问题]

e.g 2．在9)(b a +的展开式中，二项式的系数最大是第____项，最大值为____ e.g 3.若n b a )(+的展开式中的第十项和第十一项的二项式系数最大，则___=n e.g 4n

x

x )1(23+

展开式中的第6项的系数最大，则不含x 的项等于( ) A.210 B.120 C.461 D.416

【3】各二项式系数和[．赋值法．．．]．

∵1(1)1n r r

n n n x C x C x x +=+++++ ，

令1x =，则0122n r n n n n n n

C C C C C =++++++ [组合数公式] [典型问题]

e.g 5.1

11C +

3

11C

+…+

11

11C

=____ e.g 6.

=+++++++++++++1

1

211101210n n n n n n n

n n n C C C C C C C C ____；

四、经典例题

例1．在()n a b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和

证明：在展开式01()()n n n r n r r n n

n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈ 中，