椭圆中焦点三角形的性质(含答案)

焦点三角形习题

性质一：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为a

b 2

2

性质二：已知椭圆方程为),0(122

22>>=+b a b y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形

21F PF 中,21θ=∠PF F 则2

tan

221θ

b S PF F =∆.

证明：记2211||,||r PF r PF ==，

由椭圆的第一定义得.4)(,22

2

2121a r r a r r =+∴=+

在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22

212

22

1c r r r r =-+θ

配方得：.4cos 22)(2

21212

21c r r r r r r =--+θ

即.4)cos 1(242

212

c r r a =+-θ

.cos 12cos 1)(22

2221θ

θ+=+-=∴b c a r r

由任意三角形的面积公式得：

2tan 2

cos 22cos

2

sin

2cos 1sin sin 2122

222121θθθ

θ

θ

θθ⋅=⋅=+⋅==

∆b b b r r S PF F .

.2

tan 221θ

b S PF F =∴∆

同理可证，在椭圆122

22=+b

x a y （a ＞b ＞0）中，公式仍然成立.

性质三：已知椭圆方程为),0(122

22>>=+b a b

y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形

21F PF 中,21θ=∠PF F 则.21cos 2e -≥θ

性质三

证明：设,,2211r PF r PF ==则在21PF F ∆中，由余弦定理得：

1222242)(2cos 2

12

221221221212

212221--=--+=-+=r r c a r r c r r r r r r F F r r θ

.2112221)2(22222

2

22

2122e a c a r r c a -=--=-+-≥ 命题得证。 例1. 若P 是椭圆

164

1002

2=+y x 上的一点，1F 、2F 是其焦点，且︒=∠6021PF F ， 求△21PF F 的面积.

例1．解法一：在椭圆

164

1002

2=+y x 中，,6,8,10===c b a 而.60︒=θ 记.||,||2211r PF r PF ==

点P 在椭圆上，

∴由椭圆的第一定义得：.20221==+a r r

在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22

212

22

1c r r r r =-+θ

配方，得：.1443)(212

21=-+r r r r

.144340021=-∴r r 从而.3

256

21=

r r .3

36423325621sin 212121=⨯⨯==

∆θr r S PF F 解法二：在椭圆164

10022=+y x 中，642

=b ，而.60︒=θ

.3

3

6430tan 642

tan

221=

︒==∴∆θ

b S PF F

例2.已知P 是椭圆19

252

2=+y x 上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，

2

1

2121=

，则△21PF F 的面积为（ ） A. 33 B. 32 C. 3 D.

3

3 解：设θ=∠21PF F ，则2

1

cos 2121=

=

θ，.60︒=∴θ .3330tan 92

tan

221=︒==∴∆θ

b S PF F 故选答案A.

例3.已知椭圆19

162

2=+y x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，点P 在椭圆上. 若P 、1F 、2F 是一

个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为（ ） A.

5

9 B. 779 C. 49 D. 49或77

9

解：若1F 或2F 是直角顶点，则点P 到x 轴的距离为半通径的长4

9

2=a b ；若P 是直角顶点，

设点P 到x 轴的距离为h ，则945tan 92

tan

221=︒==∆θ

b S PF F ，又,7)2(2

1

21h h c S PF F =⋅⋅=

∆ 97=∴h ，.7

7

9=

h 故选D.

1. 椭圆124

492

2=+x y 上一点P 与椭圆两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则△21PF F 的面积为

（ ）

A. 20

B. 22

C. 28

D. 24 解：24,90221=︒==∠b PF F θ，∴2445tan 242

tan 221=︒==∆θ

b S PF F .故选D.

2. 椭圆14

22

=+y x 的左右焦点为1F 、2F ，

P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积为1时，21PF PF ⋅的值为（ ）

A. 0

B. 1

C. 3

D. 6 解：设θ=∠21PF F ， 12

tan

2tan

221===∆θ

θ

b S PF F ，

∴

︒=︒=90,452

θθ

，021=⋅PF PF .故选A.

3. 椭圆14

22

=+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积最大时，

21PF PF ⋅的值为（ ）

A. 0

B. 2

C. 4

D. 2- 解：3,1,2=

==c b a ，设θ=∠21PF F ， 2

tan 2

tan 221θ

θ==∆b S PF F ，

∴当△21PF F 的面积最大时，θ为最大，这时点P 为椭圆短轴的端点，︒=120θ， ∴2120cos cos ||||22121-=︒=⋅=⋅a PF PF PF PF θ.

故答案选D. 4．已知椭圆

122

2=+y a

x （a ＞1）的两个焦点为1F 、2F ，P 为椭圆上一点，

且︒=∠6021PF F ，则||||21PF PF ⋅的值为（ ）