江苏中考数学复习--拓展题型二二次函数中的动态问题(word解析版) (2)
2020—2021年新苏科版(新课标)九年级数学下册《二次函数》经典考点归类复习及答案解析.docx
苏科版（新课标）九年级下册《二次函数综合题》归类复习1．图像与性质：例1．(2014年四川资阳，第24题12分)如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x 轴的一个交点为A（3，0），与y轴的交点为B（0，3），其顶点为C，对称轴为x=1．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点M为y轴上的一个动点，当△ABM为等腰三角形时，求点M 的坐标；（3）将△AOB沿x轴向右平移m个单位长度（0＜m＜3）得到另一个三角形，将所得的三角形与△ABC重叠部分的面积记为S，用m的代数式表示S．考点：二次函数综合题．分析：（1）根据对称轴可知，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点为（﹣1，0），根据待定系数法可得抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．（2）分三种情况：①当MA=MB时；②当AB=AM时；③当AB=BM时；三种情况讨论可得点M的坐标．（3）平移后的三角形记为△PEF．根据待定系数法可得直线AB的解析式为y=﹣x+3．易得直线EF的解析式为y=﹣x+3+m．根据待定系数法可得直线AC的解析式．连结BE，直线BE交AC于G，则G （，3）．在△AOB沿x 轴向右平移的过程中．分二种情况：①当0＜m ≤时；②当＜m＜3时；讨论可得用m的代数式表示S．解：（1）由题意可知，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点为（﹣1，0），则，解得．故抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．（2）①当MA=MB时，M（0，0）；②当AB=AM时，M（0，﹣3）；③当AB=BM时，M（0，3+3）或M（0，3﹣3）．所以点M的坐标为：（0，0）、（0，﹣3）、（0，3+3）、（0，3﹣3）．（3）平移后的三角形记为△PEF．设直线AB的解析式为y=kx+b，则，解得．则直线AB的解析式为y=﹣x+3．△AOB沿x轴向右平移m个单位长度（0＜m＜3）得到△PEF，易得直线EF 的解析式为y=﹣x+3+m．设直线AC的解析式为y=k′x+b′，则，解得．则直线AC的解析式为y=﹣2x+6．连结BE，直线BE交AC于G，则G （，3）．在△AOB沿x轴向右平移的过程中．①当0＜m ≤时，如图1所示．设PE交AB于K，EF交AC于M．则BE=EK=m，PK=PA=3﹣m，联立，解得，即点M（3﹣m，2m）。
2023年中考数学高频考点突破- -二次函数动态几何问题
2023年中考数学高频考点突破- -二次函数动态几何问题1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点，点在原点的左则，点的坐标为，与轴交于点，点是直线下方的抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的表达式；（2）求出四边形的面积最大时的P点坐标和四边形ABPC的最大面积；2．已知直线y＝kx＋b（k≠0）过点F（0，1），与抛物线y＝14x2相交于B、C两点．（1）如图，当点C的横坐标为1时，求直线BC的表达式；（2）在（1）的条件下，点M是直线BC上一动点，过点M作y轴的平行线，与抛物线交于点D，是否存在这样的点M，使得以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．3．已知:如图，二次函数y=x2+(2k-1)x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点，（1）求这个二次函数的解析式（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6.求点B的坐标。
4．如图，抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝12x﹣3交于，B两点，其中点A在y轴上，点B坐标为（﹣4，﹣5），点P为y轴左侧的抛物线上一动点，过点P作PC△x轴于点C，交AB于点D.（1）求抛物线对应的函数解析式；（2）以O，A，P，D为顶点的平行四边形是否存在若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由.5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−12x2+bx+c与x轴交于B，C两点，与y轴交于点A，直线y=−12x+2经过A，C两点，抛物线的顶点为D，对称轴与x轴交于点E．（1）求此抛物线的解析式；（2）求ΔDAC的面积；（3）在抛物线上是否存在一点P，使它到x轴的距离为4，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，则说明理由．6．已知，抛物线y=ax2+ax+b（a≠0）与直线y=2x+m有一个公共点M（1，0），且a＜b．（1）求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标（用a的代数式表示）；（2）直线与抛物线的另外一个交点记为N，求△DMN的面积与a的关系式；（3）a=﹣1时，直线y=﹣2x与抛物线在第二象限交于点G，点G、H关于原点对称，现将线段GH沿y轴向上平移t个单位（t＞0），若线段GH与抛物线有两个不同的公共点，试求t的取值范围．7．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣45x+c与直线y＝25x+25交于A、B两点，已知点B的横坐标是4，直线y＝25x+25与x、y轴的交点分别为A、C，点P是抛物线上一动点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P在直线y＝25x+25下方，求△PAC的最大面积；（3）设M是抛物线对称轴上的一点，以点A、B、P、M为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．8．二次函数y=ax2+2x-1与直线y=2x-3交于点P（1，b）。
专题05 二次函数与实际应用(图形动态问题)-2022年中考数学二次函数重点题型(全国通用版)解析版
专题05 二次函数与实际应用（图形动态问题）1．（2021—2022江苏苏州九年级月考）如图所示，已知ABC 中，12BC =，BC 边上的高6h =，D 为BC 上一点，//EF BC ，交AB 于点E ，交AC 于点F ，设点E 到边BC 的距离为x ，则DEF 的面积y 关于x 的函数图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】可过点A 向BC 作AH ⊥BC 于点H ，所以根据相似三角形的性质可求出EF ，进而求出函数关系式，由此即可求出答案．【详解】解：如图，过点A 向BC 作AH ⊥BC 于点H ，∵//EF BC ，∴△AEF ∽△ABC ， ∴EF h x BC h -=，即6126EF x -=， ∴()26EF x =-，∴y =12×2（6-x ）x =-x 2+6x （0＜x ＜6），∴该函数图象是抛物线y =-x 2+6x （0＜x ＜6）的部分，故选：D ．【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质，二次函数的图象，解题的关键是综合运用相关知识解题．2．（2021·山东邹城·中考二模）如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，点E 是射线AB 上的动点（点E 不与点A ，点B 重合），点F 在线段DA 的延长线上，且AF AE =，连接ED ，将ED 绕点E 顺时针旋转90︒得到EG ，连接,,EF FB BG ．设AE x =，四边形EFBG 的面积为y ，下列图象能正确反映出y 与x 的函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】分两种情况求出函数的解析式，再由函数解析式对各选项进行判断．【详解】解：∵四边形ABCD 是边长为1的正方形，∴∠DAB =90°，AD =AB ，在△ADE 和△ABF 中，AD AB DAE BAF AE AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADE ≌△ABF （SAS ），∴∠ADE =∠ABF ，DE =BF ，∵∠DEG =90°，∴∠ADE +∠AED =∠AED +∠BEG ，∴∠BEG =∠ADE ，∴∠BEG =∠ABF ，∴EG //BF ，∵DE =BF ，DE =GE ，∴EG =BF ，∴四边形BFEG 是平行四边形，∴四边形EFBG 的面积=2△BEF 的面积=2⨯12BE •AF ，设AE =x ，四边形EFBG 的面积为y ，当0≤x ≤1时，y =（1-x ）•x =-x 2+x ；当x ＞1时，y =（x -1）•x =x 2-x ；综上可知，当0≤x ≤1时，函数图象是开口向下的抛物线；当x ＞1时，函数图象是开口向上的抛物线，符合上述特征的只有B ，故选：B ．【点睛】本题综合考查了正方形的性质和二次函数图象及性质，分段求出函数的解析式是解题的关键．3．（2021·山东威海·中考真题）如图，在菱形ABCD 中，2cm AB =，60D ∠=︒，点P ，Q 同时从点A 出发，点P 以1cm /s 的速度沿A ﹣C ﹣D 的方向运动，点Q 以2cm /s 的速度沿A﹣B ﹣C ﹣D 的方向运动，当其中一点到达D 点时，两点停止运动．设运动时间为x （s ），APQ的面积为y （cm 2），则下列图象中能大致反映y 与x 之间函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】先证明∠CAB =∠ACB =∠ACD =60°，再分0≤x ≤1、1＜x ≤2、2＜x ≤3三种情况画出图形，求出函数解析式，根据二次函数、一次函数图象与性质逐项排除即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB =BC =CD =AD ，∠B =∠D =60°，∴△ABC ，ACD 都是等边三角形，∴∠CAB =∠ACB =∠ACD =60°．如图1，当0≤x ≤1时，AQ =2x ，AP =x ，作PE ⊥AB 于E ，∴sin PE AP PAE x =∠=， ∴21332222y x x =⨯=， 故D 选项不正确；如图2，当1＜x ≤2时，CP =2-x ，CQ =4-2x ，BQ =2x -2，作PF ⊥BC 与F ，作QH ⊥AB 于H ，∴)sin 2PF CP PCF x =∠=-，))sin 221QH BQ B x x =∠=-=-，∴)()()22113221422222y x x x x =-⨯--⨯--=， 故B 选项不正确；当2＜x ≤3时，CP =x -2，CQ =2x -4，∴PQ =x -2，作AG ⊥CD 于G ，∴sin 2AG AC ACD =∠==∴()132322y x x =⨯-= 故C 不正确．故选：A【点睛】本题考查了菱形性质，等边三角形性质，二次函数、一次函数图象与性质，利用三角函数解三角形等知识，根据题意分类讨论列出函数解析式是解题关键．4．（2021—2022福建厦门市九年级期中）如图，将矩形OABC 置于平面直角坐标系xOy 中，A ，(0,2)C ．抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点B ，C ，顶点为D ．将矩形OABC 绕原点顺时针旋转一个角度θ（0°＜θ＜360°），得到矩形OA 'B 'C '，记A 'C '的中点E ，连结DE ，线段DE 的长度最大值为 ___．【答案】2##【分析】由A 0)，(0,2)C ，得B ，2)，用待定系数法可得抛物线解析式为22y x =-++，即得顶点D 5)，可得27OD ，根据E 为A C ''的中点，得11222OE A C AC ''===，当D 、O 、E 不构成三角形，即E 在DO 的延长线上时，DE 的长度最大，此时2DE OD OE =+=． 【详解】 解：如图：四边形OABC 是矩形，A 0)，(0,2)C ，B ∴2)，4AC =，将B ，2)，(0,2)C 代入2y x bx c =-++得：2122c c ⎧=-++⎪⎨=⎪⎩，解得2b c ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴抛物线解析式为22y x =-++，∴顶点D 5)，OD ∴=E 为A C ''的中点，11222OE A C AC ''∴===，在DOE ∆中，DE OD OE <+，∴当D 、O 、E 构成三角形时，2DE <，当D 、O 、E 不构成三角形，即E 在DO 的延长线上时，DE 的长度最大，如图：此时2DE OD OE =+=，故答案为：2．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、矩形的性质、三角形三边关系等知识，解题的关键是掌握E 在DO 的延长线上时，DE 的长度最大．5．（2021·浙江·温州市实验中学九年级月考）如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝10，CD ＝P 从点A 沿着A －B －C 运动，同时点Q 从点D 沿着D －A 运动，它们同时到达终点，设点P 运动的路程为x ，AQ 的长度为y ，且2163y x =-+． （1）求AD ，BC 的长和四边形ABCD 的面积．（2）连接PQ ，设△APQ 的面积为S ，在P ，Q 的运动过程中，S 是否存在最大值，若存在，求出S 的最大值；若不存在，请说明理由．（3）当PQ与四边形ABCD其中一边垂直时，求所有满足要求的x的值．【答案】（1）120；（2）存在，最大值为1123；（3）24043x=或487x=或12x=【分析】（1）当x＝0时，当y＝0时，分别求解得出对应线段的长度，过点B作BM⊥AD，过点D作DN⊥BC，求出高，即可求解；（2）分情况讨论（点P在线段AB上、当P在BC上时），得出△APQ的面积的函数表达式，根据函数性质求解即可；（3）分三种情况讨论，利用三角形相似的性质求解即可．【详解】解（1）：由题意：∵P，Q两点同时到达终点，所以，当x＝0时，y＝16，即AD＝16；当y＝0时，x＝24，所以BC＝14过点B作BM⊥AD，过点D作DN⊥BC，如下图：又∵AD∥BC，可知四边形BMDN为矩形设AM＝m，∴MD＝16－m，即BN＝16－m，∴CN＝m－2，根据BM＝DN，可得：102－m2＝2－（m－2）2，解得m＝6．即BM＝8，4CN=∴四边形ABCD 的面积为：（16＋14）×8÷2＝120（2）当点P 在线段AB 上时，010x <≤，作PE AD ⊥，如下图，则//PE BM ，∴APE ABM △∽△ ∴AP PE AE AB BM AM ==，即45PE x =，35AE x = 21124432(16)2235155APQ S AQ PE x x x x =⨯=-+⨯=-+△ 对称轴为12x =，0a <又∵010x <≤∴10x =时，APQ S 最大，为1123当P 在BC 上时，1024x ≤≤， 186423APQ S AQ BM x =⨯=-+△ 0k <，APQ S 随x 的增大而减小，综上所述，APQ S 的最大值为1123（3）当PQ AB ⊥时，如下图：∴APQ AMB △∽△ ∴AP AQ AM AB =，即2163610x x -+=，解得487x = 当PQ BC ⊥时，可得BP MQ =，即2101663x x -=-+- 解得12x =当PQ CD ⊥时，如下图：∵//AD BC ，∴C QDH ∠=∠又∵90H CND PEQ ∠=∠=∠=︒，PQE DQH ∠=∠∴PEQ DHQ CND △∽△∽△ ∴PE CN EQ DN= 由（1）（2）得45PE x =，35AE x =，4CN =，8DN = ∴231635EQ x x =-+- ∴4452381635x x x =-+-，解得24043x = 综上所得24043x =或487x =或12x = 【点睛】 本题考查了一次函数图象和性质，二次函数最值问题，三角形面积，勾股定理，相似三角形的判定和性质等，是一道关于四边形的综合题，解题关键是熟练掌握并运用二次函数性质、相似三角形的判定和性质等相关知识，并应用数形结合思想、方程思想和分类讨论思想解决问题．6．（2021·吉林·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，3cm AB =，AD =．动点P 从点A 出发沿折线AB BC -向终点C 运动，在边AB 上以1cm/s 的速度运动；在边BC的速度运动，过点P 作线段PQ 与射线DC 相交于点Q ，且60PQD ∠=︒，连接PD ，BD ．设点P 的运动时间为()s x ，DPQ 与DBC △重合部分图形的面积为()2cm y ．（1）当点P 与点A 重合时，直接写出DQ 的长；（2）当点P 在边BC 上运动时，直接写出BP 的长（用含x 的代数式表示）； （3）求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．【答案】（1）1；（2）)3PB x =-；（3）222)3)(34)x x y x x x ≤≤⎪⎪⎪=<≤⎨⎪⎪<≤⎪⎪⎩ 【分析】（1）在Rt PDQ中，由tan 60ADDQ︒== （2）点P 在AB 上运动时间为()313s ÷=，则点P 在BC上时)3PB x -．（3）分类讨论①：点P 在AB 上，点Q 在CD 上；②：点P 在AB 上，点Q 在DC 延长线上；③：点P 在BC 上． 【详解】 解：（1）如图，在Rt PDQ中，AD =60PQD ∠=︒，∴tan 60ADDQ︒==∴1DQ AD ==． （2）点P 在AB 上运动时间为()313s ÷=， ∴点P 在BC上时：)3PB x -．（3）当03x ≤≤时，点P 在AB 上，作PM CD ⊥于点M ，PQ 交AB 于点E ，作EN CD ⊥于点N ，同（1）可得1MQ AD ==． ∴1DQ DM MQ AP MQ x =+=+=+， 当13x +=时2x =，①∴02x ≤≤时，点Q 在DC 上，∵tan BC BDC CD ∠==∴30DBC ∠=︒， ∵60PQD ∠=︒， ∴90DEQ ∠=°． ∵1sin 302EQ DQ ︒==， ∴1122x EQ DQ +==，∵sin 60EN EQ ︒==，∴)1EN x ==+，∴()))21111122y DQ EN x x x =⋅=++=+)202x x =≤≤．②当23x <≤时，点Q 在DC 延长线上，PQ 交BC 于点F ，如图， ∵132CQ DQ DC x x =-=+-=-，tan 60CFCQ︒=，∴)tan 602CF CQ x =⋅︒-，∴211(2)2)22CQF S CQ CF x x =⋅=--=-+△∴22DEQ CQF y S S =-=+-+⎝△△23)x x x =<≤．③当34x <≤时，点P 在BC 上，如图，∵3)CP CB BP x =--=，∴11(34)22y DC CP x x =⋅=⨯=<≤．综上所述：222)3)(34)x x y x x x x ≤≤⎪⎪⎪=<≤⎨⎪⎪<≤⎪⎪⎩． 【点睛】题目主要考察运用三角函数解三角形求出相应边的长度，然后利用三角形面积公式确定函数解析式，同时也对二次函数在几何动点问题进行考察，难点是在进行分类讨论时，作出对应图形并作出相应辅助线，同时确定相应的自变量范围．7．（2021·湖北天门·中考真题）如图1，已知45RPQ ∠=︒，ABC 中90ACB ∠=︒，动点P 从点A出发，以的速度在线段AC 上向点C 运动，,PQ PR 分别与射线AB 交于E ，F 两点，且PE AB ⊥，当点P 与点C 重合时停止运动，如图2，设点P 的运动时间为s x ，RPQ ∠与ABC 的重叠部分面积为2cm y ，y 与x 的函数关系由15(0)C x <≤和2()5C x n <≤两段不同的图象组成．（1）填空：①当5s x =时，EF =______cm ； ②sin A =______；（2）求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； （3）当236cm y ≥时，请直接写出．．．．x 的取值范围．【答案】（1）①10；（2）222(05)34360900(56)x x y x x x ⎧<≤=⎨-+-<≤⎩；（3）6x ≤≤． 【分析】（1）①先根据等腰直角三角形的判定与性质可得EF PE =，再根据5x =时，50y =即可得； ②先根据运动速度和时间求出AP 的长，再根据正弦三角函数的定义即可得；（2）先求出当点P 与点C 重合时，n 的值，再分05x <≤和5x n <≤两种情况，解直角三角形求出PE 的长，然后利用三角形的面积公式即可得；（3）分05x <≤和56x <≤两种情况，分别利用二次函数的性质即可得． 【详解】解：（1）①,45PE AB RPQ ∠=︒⊥，Rt EFP ∴是等腰直角三角形， EF PE ∴=，由图可知，当5x =时，2115022y EF PE EF =⋅==， 解得10EF =或10EF =-（不符题意，舍去）， 故答案为：10；②由题意得：当5x =时，5AP ==则sinPE EF A AP AP ==（2）由函数图象可知，当5x =时，点F 与点B 重合，如图所示：10cm AP PE EF ===，20cm AE ∴=，30cm AB AE BE AE EF ∴=+=+=，在Rt ABC 中，sin BC AB A =⋅=，AC ∴=，则当点P 与点C 重合时，6()n s ==，①当05x <≤时，cm AP =，sin 2cm EF PE AP A x ==⋅=， 则2211222RtEFPy S EF PE EF x ==⋅==； ②当56x <≤时，如图，设PR 交BC 于点N ，过点F 作FM AC ⊥，交AC 延长线于点M ，连接BP ，2cm AP =，sin 2cm EF PE AP A x ==⋅=，4cm AE x ∴==，)cm CP AC AP =-=， (304)cm BE AB AE x ∴=-=-，6cm AF EF AE x =+=，在Rt AFM △中，sin cm FM AF A x =⋅=，cm AM ∴，cm PM AM AP ∴=-=， ,90FM AC ACB ∠=︒⊥，//BC FM ∴， PCN PMF ∴~，CN CP FM PM ∴==，解得(cm)CN =，BN BC CN ∴=-=-，则1122BNP BEPy SSBN CP BE PE =+=⋅+⋅，11)(304)222x x =-+-⋅， 234360900x x =-+-，综上，222(05)34360900(56)x x y x x x ⎧<≤=⎨-+-<≤⎩； （3）①当05x <≤时，22y x =，令2236x =，解得x =x =-， 在05x <≤内，y 随x 的增大而增大，∴当36y ≥时，5x ≤；②当56x <≤时，234360900x x y =-+-， 此二次函数的对称轴为3609034217x =-=-⨯，则由二次函数的性质可知，当90517x <≤时，y 随x 的增大而增大；当90617x <≤时，y 随x 的增大而减小，当5x =时，2345360590050y -⨯+⨯-==， 当6x =时，234636069003650y -⨯+⨯-=<=， 则当6x =时，y 取得最小值，最小值为36， 即在56x<≤内，都有36y ≥，综上，当236cm y ≥时，x 的取值范围为6x ≤． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、解直角三角形、相似三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（2），正确分两种情况讨论，并通过作辅助线，构造相似三角形和直角三角形是解题关键．8．（2021·内蒙古·包头市第四十八中学九年级月考）在矩形ABCD 中，AB ＝5cm ，BC ＝6cm ，点P 从点A 开始沿边AB 向终点B 以1cm /s 的速度移动，与此同时，点Q 从点B 开始沿边BC 向终点C 以2cm /s 的速度移动．如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，当点Q 运动到点C 时，两点停止运动．设运动时间为t 秒．（1）填空：BQ ＝ ，PB ＝ （用含t 的代数式表示）； （2）当t 为何值时，PQ 的长度等于5cm ？（3）是否存在t 的值，使得五边形APQCD 的面积等于26cm 2？若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由．（4）是否存在t 的值，使△BPQ 的面积最大，若存在，请直接写出此时t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2t ，(5)t -；（2）2；（3）存在．1t =时，使得五边形APQCD 的面积等于26 2cm ；（4）存在， 52t =时，使得PBQ ∆的面积最大，等于2542cm ．【分析】（1）根据路程与速度的关系解决问题即可；（2）利用勾股定理得到方程222(5)(2)5t t -+=，求解即可得到结果；（3）根据长方形ABCD 的面积减去PBQ ∆的面积等于五边形APQCD 的面积，列出方程，然后求解即可得到结果；（4）根据（3）可知PBQ ∆的面积为252524t ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，据此求解即可．【详解】解：（1）由题意：2BQ t = cm ，(5)PB t cm =-， 故答案为2t ，(5)t -．（2）由题意得：222(5)(2)5t t -+=， 解得10t =（不合题意，舍去），22t =， ∴当t=2秒时，PQ 的长度等于5cm ． （3）存在．理由如下：长方形ABCD 的面积是：25630()cm ⨯=，使得五边形APQCD 的面积等于26 2cm ， 则PBQ ∆的面积为230264()cm -=， 即有：11(5)2422PB BQ t t =-=， 解得14t =，21t =．当4t =时，28BQ t BC ==>，不合题意，舍去， 即当1t =时，使得五边形APQCD 的面积等于262cm ． （4）存在，理由如下：由（3）可知PBQ ∆的面积为2211525(5)252224PB BQ t t t t t ⎛⎫=-=-+=--+ ⎪⎝⎭，即当52t =时，使得PBQ ∆的面积最大，等于2542cm ．【点睛】本题考查四边形综合题，考查了矩形的性质，多边形的面积，最值等知识，利用参数构建方程解决问题是解题的关键．9．（2021·广东佛山·九年级月考）如图1，在Rt △ABC 中，∠C =90º，AC =4cm ，BC =3cm ，点P 由点B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，速度为1cm /s ；点Q 由点A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，速度为2cm /s ；连结PQ ．若设运动时间为t （s ）（0<t <2），解答下列问题： （1）当t 为何值时？PQ //BC ？（2）设△APQ 的面积为y （cm 2），求y 与t 之间的函数关系？（3）是否存在某一时刻t ，使线段PQ 恰好把△ABC 的周长和面积同时平分？若存在求出此时t 的值；若不存在，说明理由．（4）如图2，连结PC ，并把△PQC 沿AC 翻折，得到四边形PQP 'C ，那么是否存在某一时刻t ，使四边形PQP 'C 为菱形？若存在求出此时t 的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）t =107；（2）y =-235t +3t （0<t <2）；（3）不存在，理由见解析；（4）存在，t =109【分析】（1）当PQ ∥BC 时，我们可得出△APQ 和△ABC 相似，那么可得出关于AP ，AB ，AQ ，AC 的比例关系，我们观察这四条线段，已知的有AC，根据P，Q的速度，可以用时间t表示出AQ，BP的长，而AB可以用勾股定理求出，这样也就可以表示出AP，那么将这些数值代入比例关系式中，即可得出t的值．（2）过点P作PD⊥AC于D，则有△APD∽△ABC，由相似三角形的性质构建二次函数即可解决问题．（3）如果将△ABC的周长和面积平分，那么AP＋AQ＝BP＋BC＋CQ，那么可以用t表示出CQ，AQ，AP，BP的长，那么可以求出此时t的值，我们可将t的值代入（2）的面积与t的关系式中，求出此时面积是多少，然后看看面积是否是△ABC面积的一半，从而判断出是否存在这一时刻．（4）过P作PD⊥AC于点D，若QD=CD，则PQ=PC，四边形PQP'C就为菱形，同（2）的方法求出AD的表达式，再根据QD=CD即可求出t的值．【详解】解：（1）连接PQ，4,3,90,AC BC C==∠=︒5,AB∴==若APAB=AQAC时，PQ//BC，即55t-=24t，∴t=10 7（2）过P作PD⊥AC于点D，则有APAB=PDBC，即55t-=3PD，∴PD=35（5-t）∴y=12·2t·35（5-t）=-235t+3t（0<t<2）（3）若平分周长则有：AP+AQ=12（AB+AC+BC），即：5－t +2t =6， ∴t =1当t =1时，y =3.4；而三角形ABC 的面积为6，显然不存在．（4）过P 作PD ⊥AC 于点D ，若QD =CD ，则PQ =PC ，四边形PQP 'C 就为菱形．同（2）方法可求AD =45（5-t ），所以： 45（5-t ）-2t =4-45（5-t ）； 解之得：t =109． 即t =109时，四边形PQP 'C 为菱形．【点睛】本题考查四边形综合题、相似三角形的判定和性质、平行线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会由参数构建方程解决问题． 10．（2021·天津·中考真题）在平面直角坐标系中，O 为原点，OAB 是等腰直角三角形，90,OBA BO BA ∠=︒=，顶点()4,0A ，点B 在第一象限，矩形OCDE 的顶点7,02E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，点C 在y 轴的正半轴上，点D 在第二象限，射线DC 经过点B ．（Ⅰ）如图①，求点B 的坐标；（Ⅰ）将矩形OCDE 沿x 轴向右平移，得到矩形O C D E ''''，点O ，C ，D ，E 的对应点分别为O '，C '，D ，E '，设OO t '=，矩形O C D E ''''与OAB 重叠部分的面积为S ．①如图②，当点E '在x 轴正半轴上，且矩形O C D E ''''与OAB 重叠部分为四边形时，D E ''与OB 相交于点F ，试用含有t 的式子表示S ，并直接写出t 的取值范围； ②当5922t ≤≤时，求S 的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】（Ⅰ）点B 的坐标为()2,2；（Ⅰ）①21717228S t t =-+-， t 的取值范围是1142t ≤<；②2363816S ≤≤． 【分析】(I )过点B 作BH OA ⊥，垂足为H ，由等腰三角形的“三线合一”性质得到122OH OA ==，再由∠BOH =45°得到△OBH 为等腰直角三角形，进而2BH OH ==，由此求得B 点坐标； (II )①由平移知，四边形O C D E ''''是矩形，得790,2O E D O E OE '''''∠=︒==，进而得到72FE OE t '==-'，再由重叠部分面积OABFOE S S S'=-即可求解；②画出不同情况下重叠部分的图形，分5722t ≤≤和7922t <≤两种情况，将重叠部分的面积表示成关于t 的二次函数，再结合二次函数的最值问题求解． 【详解】解：(I )如图，过点B 作BH OA ⊥，垂足为H ．由点()4,0A ，得4OA =． ∵,90BO BA OBA =∠=︒，∴122OH OA ==．又∠BOH =45°，∴△OBH 为等腰直角三角形，∴2BH OH ==． ∴点B 的坐标为()2,2．(II )①由点7,02E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，得72OE =．由平移知，四边形O C D E ''''是矩形，得790,2O E D O E OE '''''∠=︒==． ∴72OE OO O E t '''='=--，90FE O ∠='︒．∵BO BA =，90OBA ∠=︒， ∴45BOA BAO ∠=∠=︒． ∴9045OFE BOA ∠=︒-∠='︒ ∴FOE OFE ∠=∠''． ∴72FE OE t '==-'． ∴2117222FOE SOE FE t '⎛⎫=⋅=- ⎪⎝'⎭'． ∴211742222OABFOE S S St '⎛⎫=-=⨯⨯-- ⎪⎝⎭． 整理后得到：21717228S t t =-+-．当'O 与A 重合时，矩形O C D E ''''与OAB 重叠部分刚开始为四边形，如下图(1)所示：此时4OO t '==，当'D 与B 重合时，矩形O C D E ''''与OAB 重叠部分为三角形，接下来往右平移时重叠部分一直为三角形直到'E 与A 点重合，如下图(2)所示：此时''711222t OO DD ===+=， ∴t 的取值范围是1142t ≤<， 故答案为：21717228S t t =-+-，其中：1142t ≤<；②当5722t ≤≤时，矩形O C D E ''''与OAB 重叠部分的面积如下图3所示：此时'4AO t =-，∠BAO =45°，'AO F 为等腰直角三角形， ∴''4AO FO t ， ∴22'111''(4)48222AO FSAO FO t t t ， ∴重叠部分面积22'114(48)4422AOBAO FS SSt t t t ， ∴S 是关于t 的二次函数，且对称轴为4t =，且开口向下， 故自变量离对称轴越远，其对应的函数值越小， 故将72t =代入， 得到最大值217731()442228S ， 将52t =代入， 得到最小值215523()442228S， 当7922t <≤时，矩形O C D E ''''与OAB 重叠部分的面积如下图4所示：此时''4'AO OA OO t FO =-=-=，7'''2OE EE EO t ME =-=-= 'AO F 和'OE M 均为等腰直角三角形， ∴22'111''(4)48222AO FSAO FO t t t ， 22'1171749''()222228OE MSOE ME t t t ， ∴重叠部分面积222''1174915814(48)()222828AOBOE MAO FS SSSt t t t t t ， ∴S 是关于t 的二次函数，且对称轴为154t =，且开口向下， 故自变量离对称轴越远，其对应的函数值越小，故将154t =代入，得到最大值21515158163()424816S ， 将92t =代入， 得到最小值291598127()22288S ， ∵272388，6331168， ∴S 的最小值为238，最大值为6316， 故答案为：2363816S ≤≤． 【点睛】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、平移的性质、直角三角形的性质、二次函数的最值等问题，属于综合题，需要画出动点不同状态下的图形求解，本题难度较大，需要分类讨论． 11．（2021·安徽·中考一模）如图，直线443y x =+与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，过点()40C ，的直线恰好与y 轴交于点B ，点P 为线段AC 上的一动点（点P 与点A ，C 不重合），过点P 作//PQ BC 交AB 于点Q ，点A 关于PQ 的对称点为点D ，连接PD QD BD ，，．（1）当点D 恰好落在BC 上时，求点P 的坐标；（2）设点P 的坐标为()0m ,，若PDQ 和ABC 重叠部分的面积S 与点P 的横坐标m 之间的函数解析式为221(3)326161 4772a m m S m bm m ⎧⎛⎫+-<≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-++<< ⎪⎪⎝⎭⎩，，其图象如图②所示，请结合图①、②，求出a ，b 的值；（3）当BDQ △为直角三角形时，求出点P 的坐标．【答案】（1）1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）27a =，207b =；（3）点P 的坐标为3,07⎛⎫ ⎪⎝⎭或4,07⎛⎫⎪⎝⎭【分析】（1）由直线AB 与y 轴交于点B ，即可得出()04B ，，再由()40C ，，易得直线BC 的解析式为4y x =-+．设点P 的坐标为()0x ，，由题意可知4OB OC PQ BC ==，∥，即可求出290APD QPA ∠=∠=︒，所以可知点D 的坐标为()4x x -+，，最后由AP PD =，即可得出34x x +=-+，解x 即可得出点P 的坐标；（2）设直线PQ 的解析式为y x n =-+，即得y x m =-+．联立443y x y x m⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩，可求出Q 点坐标为31241277m m -+⎛⎫⎪⎝⎭，．当231m -<≤时，点D 在ABC 内， 即PQDAPQS SS==，即可列出等式，求出a ．再由函数图象可知点3227⎛⎫⎪⎝⎭，在267671m S bm ++=-的图象上，即3261642777b =-⨯++，解出b 即可． （3）由（2）可知312412(04)(3)77m m B D m m Q -+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，，，，．由于BQD ∠不可能为90︒，所以分类讨论①当BDQ ∠为直角时，过点Q ，B 作PD 的垂线，分别交PD 及其延长线于点M ，N ，连接BD ．由余角的性质可推出MDQ NBD ∠=∠，即tan tan MDQ NBD ∠=∠，所以MQ NDMD BN=，由题意可知3124124123934(3)17777m m m m MQ m MD m BN m ND m m -+++=-==+-===-+=-，，，，即41217397m m m m+-=+，解出m 即可求出P 点坐标．②当QBD ∠为直角时，即BD QB ⊥，由此可得直线BD 的解析式为344y x =-+，将()3D m m +，代入，即3344m m +=-+，解出m即可求出P 点坐标． 【详解】 （1）对于直线443y x =+，令x =0，则y =4；令y =0，则x =-3． ∴B 点坐标为()04，，A 点坐标为()30-，． 设经过点B 、C 的直线解析式为y kx b =+，则404bk b =⎧⎨=+⎩，解得：14k b =-⎧⎨=⎩，∴设经过点B 、C 的直线解析式为4y x =-+．设点P 的坐标为()0x ，， ∵4OB OC PQ BC ==，∥， ∴45QPA BCO ∠=∠=︒， ∴290APD QPA ∠=∠=︒，∴点D 的坐标为()4x x -+，， ∵AP PD =，∴34x x --=-+（）， 解得12x =， ∴点P 的坐标为102⎛⎫⎪⎝⎭，； （2）设直线PQ 的解析式为y x n =-+，将点()0P m ，代入得直线PQ 的解析式的得：y x m =-+， 联立443y x y x m ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩，解得31274127m x m y -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩．∴31241277m m Q -+⎛⎫⎪⎝⎭，．当231m -<≤时，点D 在ABC 内， ∴重叠部分的面积即为PQD △的面积， ∴[]()()221133224122(3)77PQDAPQQ S S SAP y m a m m m +-===⋅=+=-⋅=+， ∴27a =， ∵由函数图象可得，当2m =时，327S =， ∴将3227⎛⎫⎪⎝⎭，代入267671m S bm ++=-，得3261642777b =-⨯++， 解得207b =． （3）由（2）得，312412(04)(3)77m m B D m m Q -+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，，，，．分析题目可知BQD ∠不可能为90︒，∴①当BDQ ∠为直角时，过点Q 、B 作PD 的垂线，分别交PD 及其延长线于点M 、N ，连接BD ．∵9090NDB NBD NDB MDQ ∠+∠=︒∠+∠=︒，， ∴MDQ NBD ∠=∠， ∴tan tan MDQ NBD ∠=∠，即MQ NDMD BN=， ∵3124124123934(3)17777m m m m MQ m MD m BN m ND m m -+++=-==+-===-+=-，，，，∴41217397m m m m+-=+，解得37m =或3m =-（舍去），∴点P 的坐标为307⎛⎫⎪⎝⎭，； ②当QBD ∠为直角时，即BD QB ⊥，由此可得直线BD 的解析式为344y x =-+，将()3D m m +，代入，得3344m m +=-+，解得：47=m ， ∴407P ⎛⎫⎪⎝⎭，． 综上，当BDQ △为直角三角形时，点P 的坐标为307⎛⎫ ⎪⎝⎭，或407⎛⎫⎪⎝⎭，． 【点睛】本题为一次函数与二次函数综合题．考查利用待定系数法求解析式，平行线的性质，两直线的交点问题，解直角三角形，两垂直直线的比例系数的关系，综合性强，很难．正确的作出辅助线和利用分类讨论的思想是解答本题的关键．12．（2021·江苏·淮安市中考模拟预测）如图1，已知在平面直角坐标系xOy 中，四边形OABC 是矩形，点,A C 分别在x 轴和y 轴的正半轴上，连接,3,30AC OA OAC =∠=︒，点D 是BC 的中点．（1）OC =_________；点D 的坐标为_________；（2）若在矩形边BC 上存在点E 满足2CE =，如图2，动点P 从点C 出发，沿C O A --以每秒1个单位长度匀速运动，到达点A 后停止运动．点P 在运动过程中，记点C 关于直线PE 的对称点为点C '，求当t 为何值时，点C '落在矩形的一边上．（3）过,,O B D 三点的抛物线记为1C ，点F 为直线OB 上方的抛物线1C 上一点，已知点()1,1M ，点()3,1N ，过,M N 两点的抛物线记为()22:0C y ax bx c a =++<①当FBO BAD ∠=∠时，求点F 的坐标；②过点O 作OG BF ⊥交直线BF 于点G ，记m =，若直线y mx =与抛物线2C 恰好有3个交点，请直接写出实数a 的值．【答案】（132⎛ ⎝；（2),1s ；（3）①⎛ ⎝；②91,.22-- 【分析】（1）由四边形OABC 是矩形，3,30OA OAC =∠=︒，利用锐角三角函数与中点的含义可得答案；（2）分两种情况讨论，如图，当P 在CO 上时，则0t ≤≤ 由,C C '关于PE 对称，则,,,PC PC t OP t CC PE ''===⊥ 再表示32CP OC tOC CE '== 再由勾股定理列方程)222,t t=+⎝⎭解方程可得答案，如图，当P 在AO 上时，3,t ≤≤ 由,C C '关于PE 对称，则2,CE C E '== 此时,A C '重合，同理可得：(3,OP t PC PA t PC '===-= 而(222,PC t =+ 再列方程解方程可得答案；（3）①先求解过,,O B D 抛物线的解析式为：2,y = 如图，作DAB 的外接圆K ，过D 作//,DP OB 与外接圆交于点,P 连接BP 与抛物线的交点为,F 外接圆与OB 交于,H 连接,,,DH FH DA 当//,DP OB 证明,BHD BAD FBO ∠=∠=∠则满足条件，再求解DP 为y = P 的坐标为15,8P ⎛ ⎝⎭同理可得：BP 的解析式为：y = 再解方程组可得答案；②由()1,1M ，点()3,1N ，求解抛物线为()22:4310C y ax ax a a =-++<如图，延长BF 交y 轴于,Q 过O 作OG BF ⊥于,G 过G 作GT y ⊥轴于,T 再求解OG ==可得3,m === 正比例函数为：3y x =或3,y x =- 显然：3y x =-与抛物线记为()22:4310C y ax ax a a =-++<有两个交点，所以：3y x =与抛物线记为()22:4310C y ax ax a a =-++<只有一个交点，从而可得答案．【详解】解：（1）四边形OABC 是矩形，3,30OA OAC =∠=︒，113tan 30,222OC OA CD BC OA ∴=︒=== 3.2D ⎛∴ ⎝（2）如图，当P 在CO 上时，则0t ≤≤ 由,C C '关于PE 对称，则,,,PC PC t OP t CC PE ''===⊥90,PCC CPE CPE CEP '∴∠+∠=︒=∠+∠ ,PCC CEP '∴∠=∠ tan tan ,PCC CEP '∴∠=∠,CP OC CE OC'∴= 32CP OC tOC CE '∴==)222,t t∴=+⎝⎭(30,t t ∴--=解得：t =t =，如图，当P 在AO 3,t ≤ 由,C C '关于PE 对称， 则2,CE C E '== 此时,A C '重合，同理可得：(3,OP t PC PA t PC '===-=而(222,PC t =+((2233,t t ⎡⎤∴+=-⎣⎦66,t ∴=1,t ∴=综上：当t =或)1t s =时，点C '落在矩形的一边上．（3）①设过()(30,0,,2O B D ⎛ ⎝的抛物线为2,y ax bx =+939342a b a b ⎧+=⎪∴⎨+=⎪⎩解得：a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩所以抛物线的解析式为：2,y x = 如图，作DAB 的外接圆K ，过D 作//,DP OB 与外接圆交于点,P 连接BP 与抛物线的交点为,F 外接圆与OB 交于,H 连接,,,DH FH DA当//,DP OB 则,DPH PHB ∠=∠∴ ,DH BP = ,BD PH ∴=,BHD BAD FBO ∴∠=∠=∠满足条件，设OB 为,y kx =则3k =k ∴=∴ 设DP为,y b + 3,3,2D ⎛⎝b = b ∴= ∴DP 为y x = ()390,,3,0,2ABD D A ⎛∠=︒⎝9,44K DK AK ⎛∴=== ⎝⎭设,P x ⎛ ⎝⎭由PK DK =可得，2229,4x ⎫⎛⎫∴-+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()815230,x x ∴--=12153,,82x x ∴== 当158x =时，158y =15,8P ⎛∴ ⎝⎭同理可得：BP的解析式为：y =2,y y ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩解得：2x y =⎧⎪⎨=⎪⎩3x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ ()3,3,B.F ⎛∴ ⎝ ②由()1,1M ，点()3,1N ，过,M N 两点的抛物线记为()22:0C y ax bx c a =++<1931a b c a b c ++=⎧∴⎨++=⎩可得：431b a c a =-⎧⎨=+⎩ ∴ 抛物线为()22:4310C y ax ax a a =-++<如图，延长BF 交y 轴于,Q 过O 作OG BF ⊥于,G 过G 作GT y ⊥轴于,T90,QGT OGT TOG OGT ∴∠+∠=︒=∠+∠,QGT TOG ∴∠=∠tan tan ,QGT TOG ∴∠=∠,QT TG TG TO∴= 则2,TG QT TO =:BF y = 则,Q ⎛ ⎝⎭ 设,,G x x ⎛ ⎝⎭2,x ⎛∴= ⎝⎭G 在第一象限，则x ＞0,3,7x ∴= 则OG =3,m ∴=== 3,m ∴=±∴ 正比例函数为：3y x =或3,y x =-显然：3y x =-与抛物线()22:4310C y ax ax a a =-++<有两个交点，所以：3y x =与抛物线()22:4310C y ax ax a a =-++<只有一个交点，∴ 24313ax ax a x -++=有两个相等的实数根，()243310ax a x a ∴-+++=时，=0,242090,a a ∴++=1291,,22a a ∴=-=- 【点睛】本题考查的矩形与二次函数的综合题，考查了矩形与折叠，锐角三角函数的应用，利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与一元二次方程的关系，难度大，灵活选择解题方法是解题的关键．。
江苏中考数学复习--拓展题型二二次函数中的动态问题(word解析版)
三、解答重难点突破拓展题型二二次函数中的动态问题针对演练1.如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx-3（a，b是常数）的图象与x轴交于点A(-3，0)和点B(1，0），与y轴交于点C，动直线y=t（t为常数）与抛物线交于不同的两点P、Q.（1）求a和b的值；（2）求t的取值范围；（3）若∠PCQ=90°，求t的值.第1题图2.已知抛物线y=ax2+bx+c经过原点O及点A(-4，0)和点B(-6，3)，（1）求抛物线的解析式以及顶点坐标；（2）如图①，将直线y=2x沿y轴向下平移后与（1）中所求抛物线只有一个交点C，平移后的直线与y轴交于点D ，求直线CD的解析式；（3）如图②，将（1）中所求抛物线向上平移4个单位得到新抛物线，请直接写出新抛物线上到直线CD距离最短的点的坐标及该最短距离.第2题图3.(2015乐山10分)如图①，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，若tan∠ABC＝3，一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为-8、2.（1）求二次函数的解析式；（2）直线l以AB为起始位置，绕点A顺时针旋转到AC位置停止，l与线段BC交于点D，P是AD的中点.①求点P的运动路程；②如图②，过点D作DE垂直x轴于点E，作DF⊥AC所在直线于点F，连接PE、PF，在l运动过程中，∠EPF的大小是否改变？请说明理由；（3）在（2）的条件下，连接EF，求△PEF周长的最小值.第3题图【答案】针对演练1.（1）【思路分析】将点A、点B的坐标代入二次函数解析式可求出a、b的值.解：将点A(-3，0)、点B(1，0)的坐标代入y=ax2+bx-3中可得：，解得：（2）【思路分析】根据二次函数及y=t，可得出方程，有两个交点，可得b2-4ac＞0，求解t的范围即可.解：由（1）知抛物线的解析式为y=x2+2x-3，动直线y=t，联立两个解析式可得：x2+2x-3=t，即x2+2x-（3+t）=0，∵动直线y=t（t为常数）与抛物线交于不同的两点，∴b2-4ac=4+4（3+t）＞0，解得：t＞-4.（3）【思路分析】如解图，证明△QCD∽△CPD，利用相似三角形的对应边成比例，可求出t的值.解：∵y=x2+2x-3=（x+1）2-4，∴抛物线的对称轴为直线x=-1，当x=0时，y=-3，∴C（0，-3）,设点Q的坐标为（m，t），则P（-2-m，t）,如解图，设PQ与y轴交于点D，第1题解图则CD=t+3，DQ=m，DP=m+2,∵∠PCQ=∠PCD+∠QCD=90°，∠DPC+∠PCD=90°，∴∠QCD=∠DPC，又∵∠PDC=∠QDC=90°，∴△QCD∽△CPD，∴，即,整理得：t2+6t+9=m2+2m，∵Q（m，t）在抛物线上，∴t=m2+2m-3，∴m2+2m=t+3，∴t2+6t+9=t+3，化简得：t2+5t+6=0，解得t=-2或t=-3，当t=-3时，动直线y=t经过点C，故不合题意，舍去．∴t=-2.2.（1）【思路分析】根据待定系数法，可得函数解析式.解：∵抛物线经过O（0，0），A（-4，0），B（-6，3）三点，∴解得∴抛物线的解析式为,∵∴抛物线的顶点坐标为（-2，-1）.（2）【思路分析】根据平移规律，可得直线CD的解析式，根据相切，可得关于m的方程，根据解方程，可得m .解：设直线CD的解析式为y=2x+m，根据题意，得x2+x=2x+m,化简整理，得x2-4x-4m＝0，由b2-4ac=16+16m＝0,解得m=-1，∴直线CD的解析式为y=2x-1.（3）【思路分析】根据平移规律,可得新抛物线,根据直线与抛物线相切,可得直线MN的解析式,根据解方程组,可得G点坐标,根据垂线的关系,可得直线GH的解析式,根据解方程组,可得H点坐标,根据勾股定理,可得答案.解：（2，7）;.【解法提示】平移后的解析式为y=x2+x+4①,。
中考数学总复习《二次函数-动态几何问题》练习题附带答案
中考数学总复习《二次函数-动态几何问题》练习题附带答案一、单选题(共12题；共24分)1．如图，点C、D是以线段AB为公共弦的两条圆弧的中点，AB=4，点E，F分别是线段CD，AB 上的动点，设AF=x，AE2－FE2=y，则能表示y与x的函数关系的图象是（）A．B．C．D．2．抛物线y=（x﹣1）2+2的对称轴是（）A．直线x=﹣1B．直线x=1C．直线x=﹣2D．直线x=23．在平面直角坐标系中，将抛物线y=3x2先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（）A．y=3（x+1）2+2B．y=3（x+1）2﹣2C．y=3（x﹣1）2+2D．y=3（x﹣1）2﹣24．如图，菱形ABCD的边长为2，∠A=60°，点P和点Q分别从点B和点C出发，沿射线BC向右运动，且速度相同，过点Q作QH∠BD，垂足为H，连接PH，设点P运动的距离为x（0＜x≤2），∠BPH的面积为S，则能反映S与x之间的函数关系的图象大致为（）A．B．C．D．5．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，点E是射线AB上的动点（点E不与点A，点B重合），点F在线段DA的延长线上，且AF=AE，连接ED，将ED绕点E顺时针旋转90°得到EG，连接EF,FB,BG.设AE=x，四边形EFBG的面积为y，下列图象能正确反映出y与x的函数关系的是（）A．B．C．D．6．如图，半径为1的⊙A的圆心A在抛物线y=(x-3)2-1上，AB∠x轴交⊙A于点B(点B在点A 的右侧)，当点A在抛物线上运动时，点B随之运动得到的图象的函数表达式为（）A．y=(x-4)2-1B．y=(x-3)2C．y=(x-2)2-1D．y=(x-3)2-27．下列函数，其中图象为抛物线的是（）A．y=1x B．y=2x C．y=x2D．y=2x+38．如图，在Rt∠ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=6cm，动点P从点C沿CA，以1cm/s的速度向点A运动，同时动点O从点C沿CB，以2cm/s的速度向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也停止运动．则运动过程中所构成的∠CPO的面积y（cm2）与运动时间x（s）之间的函数图象大致是（）A．B．C．D．9．如图，在∠ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，点P从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形PABQ的面积最小值为（）A．19cm2B．16cm2C．15cm2D．12cm210．如图，平面直角坐标系中，A点坐标为（2，2），点P（m，n）在直线y=﹣x+2上运动，设∠APO的面积为S，则下面能够反映S与m的函数关系的图象是（）A．B．C．D．11．如图，点A（a，b）是抛物线y=12x2上一动点，OB∠OA交抛物线于点B（c，d）．当点A在抛物线上运动的过程中（点A不与坐标原点O重合），以下结论：①ac为定值；②ac=﹣bd；③∠AOB的面积为定值；④直线AB必过一定点．正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个12．抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）如图所示，则关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集是（）A．x＜2B．x＞﹣3C．﹣3＜x＜1D．x＜﹣3或x＞1二、填空题(共6题；共8分)13．如图，在标有刻度的直线l上，从点A开始以AB=1为直径画半圆，记为第1个半圆；以BC=2为直径画半圆，记为第2个半圆；以CD=4为直径画半圆，记为第3个半圆；以DE=8为直径画半圆，记为第4个半圆．……按此规律，连续画半圆，则第4个半圆的面积是第3个半圆面积的倍。
中考数学总复习《二次函数的动态几何问题》专项测试卷-含参考答案
中考数学总复习《二次函数的动态几何问题》专项测试卷-含参考答案一、单选题(共12题；共24分)1．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∥B=90°，AB=AD=5，BC=4，M、N、E分别是AB、AD、CB上的点，AM=CE=1，AN=3，点P从点M出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线MB﹣BE向点E运动，同时点Q从点N出发，以相同的速度沿折线ND﹣DC﹣CE向点E运动，当其中一个点到达后，另一个点也停止运动．设∥APQ的面积为S，运动时间为t秒，则S与t函数关系的大致图象为（）A．B．C．D．2．如图，在平面直角坐标系中，M、N、C三点的坐标分别为（12，1），（3，1），（3，0），点A为线段MN上的一个动点，连接AC，过点A作AB⊥AC交y轴于点B，当点A从M运动到N时，则点B随之运动，设点B的坐标为（0，b），则b的取值范围是（）A．−14≤b≤1B．−54≤b≤1C．−94≤b≤12D．−94≤b≤13．如图所示，∥ABC为等腰直角三角形，∥ACB=90°，AC=BC=2，正方形DEFG边长也为2，且AC 与DE在同一直线上，∥ABC从C点与D点重合开始，沿直线DE向右平移，直到点A与点E重合为止，设CD的长为x，∥ABC与正方形DEFG重合部分（图中阴影部分）的面积为y，则y与x之间的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．4．二次函数y=﹣（x﹣1）2+2的顶点坐标是（）A．（1，﹣2）B．（1，2）C．（﹣1，2）D．（﹣1，﹣2）5．如图，等腰Rt∥ABC（∥ACB=90°）的直角边与正方形DEFG的边长均为2，且AC与DE在同一直线上，开始时点C与点D重合，让∥ABC沿这条直线向右平移，直到点A与点E重合为止．设CD的长为x，∥ABC与正方形DEFG重合部分（图中阴影部分）的面积为y，则y与x之间的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．6．如图，矩形ABCD中，AB=4cm，AD=5cm，点E在AD上，且AE=3cm，点P、Q同时从点B出发，点P沿BE→ED→DC运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s，设P、Q出发t秒，∥BPQ的面积为y cm2．则y与t的函数关系图象大致是（）A．B．C．D．7．如图，∥ABC是边长为4cm的等边三角形，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿A→C→B运动，到达B点即停止运动，过点P作PD∥AB于点D，设运动时间为x（s），∥ADP的面积为y （cm2），则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．8．如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回，点P在运动过程中速度不变，则以点B为圆心，线段BP长为半径的圆的面积S与点P的运动时间t的函数图象大致为（）A．B．C．D．9．如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∥B=∥C=60°，P、Q同时从B出发，以每秒1单位长度分别沿B﹣A﹣D﹣C和B﹣C﹣D方向运动至相遇时停止，设运动时间为t（秒），∥BPQ的面积为S （平方单位），S与t的函数图象如图2所示，则下列结论错误的个数（）①当t=4秒时，则S=4 √3②AD=4③当4≤t≤8时，则S=2 √3t ④当t=9秒时，则BP平分四边形ABCD的面积．A．1个B．2个C．3个D．4个10．如图，直线l1:y=−x+4与x轴和y轴分别相交于A、B两点，平行于直线l1的直线l2从原点O出发，沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动，它与x轴和y轴分别相交于C、D两点，运动时间为t秒(0≤t≤4).以CD为斜边作等腰直角ΔCDE（E、O两点分别在CD两侧），若ΔCDE和ΔOAB的重合部分的面积为S，则S与t之间的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．11．如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=2.动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿折线AD→DC运动到点C，同时动点Q也从点A出发，以每秒√3个单位的速度沿AC 运动到点C，当一个点停止运动时，则另一个点也随之停止.设△APQ的面积为y，运动时间为x秒，则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是（）A．B．C．D．12．点C是线段AB上的一点，AB=1，分别以AC和CB为一边作正方形，用S表示这两个正方形的面积之和，下列判断正确的是（）A．当C是AB的中点时，则S最小B．当C是AB的中点时，则S最大C．当C为AB的三等分点时，则S最小D．当C是AB的三等分点时，则S最大二、填空题(共6题；共7分)13．如图，抛物线y = 13x2−23x−83的图象与坐标轴交于A、B、D，顶点为E，以AB为直径画半圆交y轴的正半轴于点C，圆心为M，P是半圆上的一动点，连接EP，N是PE的中点，当P沿半圆从点A运动至点B时,点N运动的路径长是．14．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣5，0）、（﹣2，0）．点P在抛物线y=﹣2x2+4x+8上，设点P的横坐标为m．当0≤m≤3时，则∥PAB的面积S的取值范围是．15．如图，抛物线y=（x-1）2-1与直线y=x交于点O，点B为线段OA上的动点，过点B作BC∥y 轴，交交抛物线于点C，则线段BC长度的最大值为16．如图，在∥ABC中，∥B=90°，AB=12mm，BC=24mm，动点P从点A开始沿边AB向B以2mm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以4mm/s的速度移动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过秒，四边形APQC的面积最小．17．如图，在边长为6cm的正方形ABCD中，点E、F、G、H分别从点A、B、C、D同时出发，均以1cm/s的速度向点B、C、D、A匀速运动，当点E到达点B时，则四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为s时，则四边形EFGH的面积最小，其最小值是cm2．18．如图，抛物线y=13x2+83x−3与x轴交于点A和点B两点，与y轴交于点C，D点为拋物线上第三象限内一动点，当∠ACD+2∠ABC=180∘时，则点D的坐标为.三、综合题(共6题；共73分)19．如图，抛物线y =ax 2+bx +3与x 轴交于A(−2，0)，B(6，0)两点，与y 轴交于点C 直线l ：y =12x +n 与抛物线交于A ，D 两点，与y 轴交于点E ．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 是抛物线上的点且在直线l 上方，连接PA ，PD ，求当△PAD 面积最大时点P 的坐标及该面积的最大值；（3）y 轴上是否存在点Q ，使∠ADQ =45°，若存在请求点Q 的坐标；若不存在说明理由． 20．在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝ax 2+bx ﹣4经过A （﹣4，0），C （2，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，∥AMB 的面积为S ．求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值．21．如图，抛物线y=﹣x 2+6x 与x 轴交于点O ，A ，顶点为B ，动点E 在抛物线对称轴上，点F 在对称轴右侧抛物线上，点C 在x 轴正半轴上，且EF =//OC ，连接OE ，CF 得四边形OCFE ．（1）求B点坐标；（2）当tan∥EOC= 43时，则显然满足条件的四边形有两个，求出相应的点F的坐标；（3）当0＜tan∥EOC＜3时，则对于每一个确定的tan∥EOC值，满足条件的四边形OCFE有两个，当这两个四边形的面积之比为1：2时，则求tan∥EOC．22．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/秒的速度移动，同时点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/秒的速度移动，且当其中一点到达终点时，则另一个点随之停止移动．设P，Q两点移动的时间为t秒，△PBQ的面积为Scm2．（1）BP=cm；（2）求S与t的函数关系式，并求出△PBQ面积的最大值．23．如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（6，0），（6，8）、动点M、N分别从O、B同时出发，都以每秒1个单位的速度运动、其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动、过点N作NP∥BC，交AC于P，连结MP、已知动点运动了t秒、（1）P点的坐标为（，）（用含t的代数式表示）;（2）试求∥MPA面积的最大值，并求此时t的值;（3）请你探索：当t为何值时，则∥MPA是一个等腰三角形？24．已知抛物线y=ax2+bx+3经过点A(−1，0)、B(3，0)，与y轴交于点C，连接BC．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线BC上方抛物线上取一点P，过点P作PQ⊥x轴交BC边于点Q，求PQ的最大值；（3）在直线BC上方抛物线上取一点D，连接OD，CD．OD交BC于点F，当S△COF：S△CDF=3：2时，则求点D的坐标．参考答案1．【答案】D2．【答案】B3．【答案】A4．【答案】B5．【答案】A6．【答案】B7．【答案】B8．【答案】B9．【答案】C10．【答案】C11．【答案】A12．【答案】A13．【答案】1.5π14．【答案】3≤S≤1515．【答案】9416．【答案】317．【答案】3；1818．【答案】(−7，−163) 19．【答案】（1）解：将A （-2，0）、B （6，0）代入y=ax 2+bx+3得：{4a −2b +3＝036a +6b +3＝0解得{a ＝−14b ＝1∴抛物线的解析式为y=-14x 2+x+3 （2）解：∵y =12x +n 过点于A(−2，0)，所以n =1 ∴点D 的坐标为(4，3)．如图1中，过点P 作PK ∥y 轴交AD 于点K ．设P(m ，−14m 2+m +3)，则K(m ，12m +1)． ∵S △PAD =12⋅(x D −x A )⋅PK =3PK ∴PK 的值最大值时，则△PAD 的面积最大PK =−14m 2+m +3−12m −1=−14m 2+12m +2=−14(m −1)2+94∵−14<0∴m =1时，则PK 的值最大，最大值为94此时△PAD 的面积的最大值为274，P(1，154)． （3）解：存在如图2中，将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到AT ，则T(−5，6)设DT 交y 轴于点Q ，则∥∠ADQ =45°∵D(4，3)∴直线DT 的解析式为y =−13x +133∴Q(0，133) 作点T 关于AD 的对称点T ′(1，−6)则直线DT ′的解析式为y =3x −9设DQ ′交y 轴于点Q ′，则∠ADQ ′=45°∴Q ′(0，−9)综上所述，满足条件的点Q 的坐标为(0，133)或(0，−9)． 20．【答案】（1）解：将A （﹣4，0），C （2，0）代入y ＝ax 2+bx ﹣4，得：{16a −4b −4=04a +2b −4=0 ，解得：{a =12b =1∴抛物线解析式为：y =12x 2+x −4 （2）解：如图，过点M 作MN∥AC 于点N∵抛物线y =12x 2+x −4与y 轴交于点B 当x =0 时，则y =−4∴B(0，−4) ，即OB=4∵点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m∴M(m ，12m 2+m −4) ∴ON =−m ，MN =−(12m 2+m −4)=−12m 2−m +4 ∴AN =m −(−4)=m +4∴S △ABM =S △ANM +S 梯形MNOB −S △AOB =12(4+m)(−12m 2−m +4)+12(−12m 2−m +4+4)(−m)−12×4 =−m 2−4m =−(m +2)2+4(−4<m <0)∴当m =−2 时，则S 有最大值，最大值为4∴S 关于m 的函数关系式为S =−m 2−4m ， S 的最大值为4．21．【答案】（1）解：∵y=﹣x 2+6x=﹣（x ﹣3）2+9∴B （3，9）（2）解：抛物线的对称轴为直线x=3，直线x=3交x 轴于H ，如图∵tan∥EOC= 43 ，即tan∥EOH= 43∴EH OH = 43∴EH=4∴E 点坐标为（3，4）或（3，﹣4）当y=4时，则﹣（x ﹣3）2+9=4，解得x 1=3﹣ √5 （舍去），x 2=3+ √5当y=﹣4时，则﹣（x ﹣3）2+9=﹣4，解得x 1=3﹣ √13 （舍去），x 2=3+ √13∴F 点坐标为（3+ √5 ）或（3+ √13 ，﹣4）（3）解：如图，∵平行四边形OEFC 和平行四边形OE′F′C′等高∴这两个四边形的面积之比为1：2时，则OC′=2OC 设OC=t，则OC′=2t∴F点的横坐标为3+t，F′点的横坐标为3+2t而点F和F′的纵坐标互为相反数∴﹣（3+t﹣3）2+9+[﹣（3+2t﹣3）2+9]=0，解得t1= 3√105，t2=﹣3√105（舍去）∴F点坐标为（3+ 3√105，275）∴E（3，27 5）∴tan∥EOC= 2753= 95．22．【答案】（1）（6-t）（2）解：经过t秒后∴S=12×PB×BQ=12×(6－t)×2t=－t2+6t=−(t−3)2+9∴在移动过程中，△PBQ的最大面积是9cm2．23．【答案】（1）解：6－t；43t（2）解：延长NP交x轴于Q，则有PQ∥QA．设∥MPA的面积为SS＝12MA·PQ＝12（6—t）43t＝— 23t2＋4t （0≤t≤6）∴当t ＝3时，则S的最大值为6（3）解：①若MP＝PA ∵PQ∥MA ∴ MQ＝QA＝t ∴3t＝6 即t＝2②若MP＝MA 则MQ＝6—2t PQ＝43t PM＝MA＝6—t在Rt∥PMQ 中∵PM2＝MQ2＋PQ2 ∴（6—t）2＝（6—2t）2＋（43t）2∴t ＝10843③若PA＝AM ∵PA＝t AM＝6—t ∴t＝6—t ∴t＝94综上所述， t ＝2或t ＝ 10843 或t ＝ 9424．【答案】（1）解：∵抛物线y =ax 2+bx +3经过点A(−1，0)、B(3，0)∴{a −b +3=09a +3b +3=0解得{a =−1b =2∴抛物线的解析式为：y =−x 2+2x +3（2）解：∵抛物线的解析式为：y =−x 2+2x +3 令x =0，则y =3∴C(0，3)∵B(3，0)设直线BC 的解析式为y =kx +b则{b =33k +b =0解得{k =−1b =3直线BC 的解析式为：y =−x +3过点P 作PQ∥x 轴交BC 于点Q ，设P 点坐标为(x ，−x 2+2x +3)则Q 点坐标为(x ，−x +3)则PQ =(−x 2+2x +3)−(−x +3)=−x 2+3x=−(x −32)2+94∴PQ 的最大值是94． （3）解：∵∆COF 与∆CDF 共高，面积比转化为底边比 OF ：DF=S∥COF ：S∥CDF ＝3：2过点D 作BC 的平行线交x 轴于G ，交y 轴于E根据平行线分线段成比例OF：FD=OC：CE=3：2∵OC=3∴OE=5∴E（0，5）∴直线EG解析式为：y= -x+5联立方程，得：−x2+2x+3=−x+5解得：x1=1则点D的坐标为（1，4）或（2，3）；。
2020年中考数学必考经典(江苏版)专题23二次函数与动点综合型问题(含答案)
2020年中考数学必考经典（江苏版）专题23二次函数与动点综合型问题【方法指导】动态几何形成的最值问题是动态几何中的基本类型，包括单动点形成的最值问题，双（多）动点形成的最值问题，线动形成的最值问题，面动形成的最值问题．本专题原创编写单动点形成的最值问题模拟题． 在中考压轴题中，单动点形成的最值问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类和选择正确的解题方法．【题型剖析】【类型1】二次函数与单动点综合问题【例1】二次函数22y ax bx =++的图象交x 轴于点(1,0)-，(4,0)B 两点，交y 轴于点C ．动点M 从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB 方向运动，过点M 作MN x ⊥轴交直线BC 于点N ，交抛物线于点D ，连接AC ，设运动的时间为t 秒．（1）求二次函数22y ax bx =++的表达式；（2）连接BD ，当32t =时，求DNB ∆的面积； （3）在直线MN 上存在一点P ，当PBC ∆是以BPC ∠为直角的等腰直角三角形时，求此时点D 的坐标；（4）当54t =时，在直线MN 上存在一点Q ，使得90AQC OAC ∠+∠=︒，求点Q 的坐标． 【分析】（1）将点(1,0)-，(4,0)B 代入22y ax bx =++即可；（2）由已知分别求出(2,0)M ，(2,1)N ，(2,3)D ，根据DNB ∴∆的面积DMB =∆的面积MNB -∆的面积即可求解；（3）由已知可得(21,0)M t -，设(21,)P t m -，根据勾股定理可得222(21)(2)PC t m =-+-，222(25)PB t m =-+，再由PB PC =，得到m 与t 的关系式：45m t =-，因为PC PB ⊥，则有474512125t t t t --=---求出1t =或2t =，即可求D 点坐标；（4）当54t =时，3(2M ，0)，可知点Q 在抛物线对称轴32x =上；过点A 作AC 的垂线，以M 为圆心AB 为直径构造圆，圆与32x =的交点分别为1Q 与2Q ，由5AB =，可得圆半径52AM =，即可求Q 点坐标分别为3(2，5)2-，3(2，5)2． 【解析】解：（1）将点(1,0)-，(4,0)B 代入22y ax bx =++，12a ∴=-，32b =， 213222y x x ∴=-++； （2）(0,2)C ，BC ∴的直线解析式为122y x =-+， 当32t =时，3AM =， 5AB =，2MB ∴=，(2,0)M ∴，(2,1)N ，(2,3)D ，DNB ∴∆的面积DMB =∆的面积MNB -∆的面积111222222MB DM MB MN =⨯⨯-⨯⨯=⨯⨯=； （3）52BM t =-，(21,0)M t ∴-，设(21,)P t m -，222(21)(2)PC t m =-+-，222(25)PB t m =-+，PB PC =，2222(21)(2)(25)t m t m ∴-+-=-+，45m t ∴=-， (21,45)P t t ∴--，PC PB ⊥，∴474512125t t t t --=---1t ∴=或2t =，(1,0)M ∴或(3,0)M ，(1,3)D ∴或(3,2)D ；（4）当54t =时，3(2M ，0)， ∴点Q 在抛物线对称轴32x =上， 如图：过点A 作AC 的垂线，以M 为圆心AB 为直径构造圆，圆与32x =的交点分别为1Q 与2Q ， 5AB =，52AM ∴=， 190AQ C OAC ∠+∠=︒，90OAC MAG ∠+∠=︒，1AQ C MAG ∴∠=∠，又1AQ C CGA MAG ∠=∠=∠，13(2Q ∴，5)2-， 1Q 与2Q 关于x 轴对称，23(2Q ∴，5)2， Q ∴点坐标分别为3(2，5)2-，3(2，5)2；【点评】本题考查二次函数的图象及性质，动点问题；能够熟练掌握二次函数解析式与相应点的求法，熟悉等腰直角三角形的性质，应用勾股定理和直线垂直的性质建立坐标之间的联系，借助圆周角的性质，等腰三角形的性质，互余角的性质将角进行转换是解题的关键．【变式训练】如图，已知抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点，4AB =，交y 轴于点C ，对称轴是直线1x =．（1）求抛物线的解析式及点C 的坐标；（2）连接BC ，E 是线段OC 上一点，E 关于直线1x =的对称点F 正好落在BC 上，求点F 的坐标；（3）动点M 从点O 出发，以每秒2个单位长度的速度向点B 运动，过M 作x 轴的垂线交抛物线于点N ，交线段BC 于点Q ．设运动时间为(0)t t >秒．①若AOC ∆与BMN ∆相似，请直接写出t 的值；②BOQ ∆能否为等腰三角形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由．【分析】（1）将A 、B 关坐标代入2y x bx c =-++中，即可求解；（2）确定直线BC 的解析式为3y x =-+，根据点E 、F 关于直线1x =对称，即可求解；（3）①AOC ∆与BMN ∆相似，则MB OA OC MN OC OA=或，即可求解；②分OQ BQ =、BO BQ =、OQ OB =三种情况，分别求解即可．【解析】解：（1）)点A 、B 关于直线1x =对称，4AB =，(1,0)A ∴-，(3,0)B ，代入2y x bx c =-++中，得：93010b c b c -++=⎧⎨--+=⎩，解得23b c =⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式为223y x x =-++， C ∴点坐标为(0,3)；（2）设直线BC 的解析式为y mx n =+，则有：330n m n =⎧⎨+=⎩，解得13m n =-⎧⎨=⎩， ∴直线BC 的解析式为3y x =-+，点E 、F 关于直线1x =对称，又E 到对称轴的距离为1，2EF ∴=，F ∴点的横坐标为2，将2x =代入3y x =-+中，得：231y =-+=，(2,1)F ∴；（3）①如下图，连接BC 交MN 于Q ，2443MN t t =-++，32MB t =-，AOC ∆与BMN ∆相似，则MB OA OC MN OC OA=或， 即：232134433t t t -=-++或， 解得：32t =或13-或1（舍去32、1)3-， 故：1t =；②(2,0)M t ，MN x ⊥轴，(2,32)Q t t ∴-，BOQ ∆为等腰三角形，∴分三种情况讨论，第一种，当OQ BQ =时，QM OB ⊥OM MB ∴=232t t ∴=-34t ∴=； 第二种，当BO BQ =时，在Rt BMQ ∆中45OBQ ∠=︒，2BQ BM ∴=，2BO BM ∴=， 即32(32)t =-，632t -∴=； 第三种，当OQ OB =时，则点Q 、C 重合，此时0t =而0t >，故不符合题意 综上述，当34t =秒或6324-秒时，BOQ ∆为等腰三角形．【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．【类型2】二次函数与双动点综合问题【例2】如图1，四边形OABC 是矩形，点A 的坐标为(3,0)，点C 的坐标为(0,6)，点P 从点O 出发，沿OA 以每秒1个单位长度的速度向点A 运动，同时点Q 从点A 出发，沿AB 以每秒2个单位长度的速度向点B 运动，当点P 与点A 重合时运动停止．设运动时间为t 秒．（1）当2t =时，线段PQ 的中点坐标为 ；（2）当CBQ ∆与PAQ ∆相似时，求t 的值；（3）当1t =时，抛物线2y x bx c =++经过P ，Q 两点，与y 轴交于点M ，抛物线的顶点为K ，如图2所示，问该抛物线上是否存在点D ，使12MQD MKQ ∠=∠？若存在，求出所有满足条件的D 的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）先根据时间2t =，和P ，Q 的运动速度可得动点P 和Q 的路程OP 和AQ 的长，再根据中点坐标公式可得结论；（2）根据矩形的性质得：90B PAQ ∠=∠=︒，所以当CBQ ∆与PAQ ∆相似时，存在两种情况：①当PAQ QBC ∆∆∽时，PA QB AQ BC =，②当PAQ CBQ ∆∆∽时，PA BC AQ BQ=，分别列方程可得t 的值； （3）根据1t =求抛物线的解析式，根据(3,2)Q ，(0,2)M ，可得//MQ x 轴，则KM KQ =，KE MQ ⊥，画出符合条件的点D ，证明KEQ QMH ∆∆∽或利用三角函数，列比例式可得点D 的坐标，同理根据对称可得另一个点D ．【解析】解：（1）如图1，点A 的坐标为(3,0)，3OA ∴=，当2t =时，2OP t ==，24AQ t ==，(2,0)P ∴，(3,4)Q ，∴线段PQ 的中点坐标为：23(2+，04)2+，即5(2，2)； 故答案为：5(2，2)； （2）如图1，当点P 与点A 重合时运动停止，且PAQ ∆可以构成三角形，03t ∴<<，四边形OABC 是矩形，90B PAQ ∴∠=∠=︒∴当CBQ ∆与PAQ ∆相似时，存在两种情况：①当PAQ QBC ∆∆∽时，PA QB AQ BC =， ∴36223t t t --=， 241590t t -+=，3(3)()04t t --=， 13t =（舍)，234t =， ②当PAQ CBQ ∆∆∽时，PA BC AQ BQ =， ∴33262t t t-=-， 2990t t -+=，935t ±=， 9353+>，935t +∴= 综上所述，当CBQ ∆与PAQ ∆相似时，t 的值是34935-； （3）当1t =时，(1,0)P ，(3,2)Q ，把(1,0)P ，(3,2)Q 代入抛物线2y x bx c =++中得：10932b c b c ++=⎧⎨++=⎩，解得：32b c =-⎧⎨=⎩， ∴抛物线：223132()24y x x x =-+=--， ∴顶点3(2k ，1)4-， (3,2)Q ，(0,2)M ，//MQ x ∴轴，作抛物线对称轴，交MQ 于E ，设DQ 交y 轴于H ，KM KQ ∴=，KE MQ ⊥，12MKE QKE MKQ ∴∠=∠=∠， 如图2，12MQD MKQ QKE ∠=∠=∠， tan tan MH EQ MQD QKE MQ EK∴∠=∠==， 即321324MH =+，2MH =， (0,4)H ∴，易得HQ 的解析式为：243y x =-+， 则224332y x y x x ⎧=-+⎪⎨⎪=-+⎩， 223243x x x -+=-+， 解得：13x =（舍)，223x =-， 2(3D ∴-，40)9；同理，在M的下方，y轴上存在点H，如图3，使12HQM MKQ QKE∠=∠=∠，由对称性得：(0,0)H，易得OQ的解析式：23y x=，则22332y xy x x⎧=⎪⎨⎪=-+⎩，22323x x x-+=，解得：13x=（舍)，223x=，2(3D∴，4)9；综上所述，点D的坐标为：2(3D-，40)9或2(3，4)9．【点评】本题是二次函数与三角形相似的综合问题，主要考查相似三角形的判定和性质的综合应用，三角形和四边形的面积，二次函数的最值问题的应用，函数的交点等知识，本题比较复杂，注意用t表示出线段长度，再利用相似即可找到线段之间的关系，代入可解决问题．【变式训练】在平面直角坐标系xOy中，抛物线24y ax bx=++经过(3,0)A-、(4,0)B两点，且与y轴交于点C，点D在x轴的负半轴上，且BD BC=，有一动点P从点A出发，沿线段AB以每秒1个单位长度的速度向点B移动，同时另一个动点Q从点C出发，沿线段CA以某一速度向点A移动．（1）求该抛物线的解析式；（2）若经过t秒的移动，线段PQ被CD垂直平分，求此时t的值；（3）该抛物线的对称轴上是否存在一点M，使MQ MA+的值最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由抛物线24y ax bx =++经过(3,0)A -，(4,0)B 两点利用待定系数法可求出a 、b 、c 的值，进而得出抛物线的解析式；（2）由A 、B 、C 三点的坐标求出AC 、BC 及AB 的值，由相似三角形的判定定理得出ADQ ABC ∆∆∽，再由相似三角形的对应边成比例可求出DP 的值，进而可得出AP （即)t 的值；（3）设抛物线211433y x x =-++的对称轴12x =与x 轴交于点E ．点A 、B 关于对称轴12x =对称，连接BQ 交该对称轴于点M ．则MQ MA MQ MB +=+，即MQ MA BQ +=，由于当BQ AC ⊥时，BQ 最小，此时EBM ACO ∠=∠，再由3tan tan 4EBM ACO ∠=∠=可求出ME 的值，进而得出M 点的坐标． 【解析】解：（1）抛物线24y ax bx =++经过(3,0)A -，(4,0)B 两点，∴934016440a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得1313a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴所求抛物线的解析式为：211433y x x =-++； （2）如图1，依题意知AP t =，连接DQ ， (3,0)A -，(4,0)B ，(0,4)C ，5AC ∴=，42BC =7AB =．BD BC =，742AD AB BD ∴=-=- CD 垂直平分PQ ，QD DP ∴=，CDQ CDP ∠=∠．BD BC =，DCB CDB ∴∠=∠．CDQ DCB ∴∠=∠．//DQ BC∴．ADQ ABC∴∆∆∽．∴AD DQ AB BC=，∴AD DPAB BC=，∴74242-=，解得32427DP=-，177AP AD DP∴=+=．∴线段PQ被CD垂直平分时，t的值为177；（3）如图2，设抛物线211433y x x=-++的对称轴12x=与x轴交于点E．点A、B关于对称轴12x=对称，连接BQ交该对称轴于点M．则MQ MA MQ MB+=+，即MQ MA BQ+=，当BQ AC⊥时，BQ最小，此时，EBM ACO∠=∠，3tan tan4EBM ACO∴∠=∠=，∴34MEBE=，∴3742ME=，解218ME=．1(2M∴，21)8，即在抛物线211433y x x=-++的对称轴上存在一点1(2M，21)8，使得MQ MA+的值最小．【点评】本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求二次函数的解析式、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义等相关知识，难度较大．【类型3】二次函数与线动、面动形成的综合问题【例3】如图，已知抛物线(2)(6)y a x x =+-与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且3tan 2CAB ∠=．设抛物线的顶点为M ，对称轴交x 轴于点N ． （1）求抛物线的解析式；（2）P 为抛物线的对称轴上一点，(,0)Q n 为x 轴上一点，且PQ PC ⊥． ①当点P 在线段MN （含端点）上运动时，求n 的变化范围； ②在①的条件下，当n 取最大值时，求点P 到线段CQ 的距离；③在①的条件下，当n 取最大值时，将线段CQ 向上平移t 个单位长度，使得线段CQ 与抛物线有两个交点，求t 的取值范围．【分析】（1）由函数解析式，可以求出点A 、B 的坐标分别为(2,0)-，(6,0)，在Rt OAC ∆中由3tan 2CAB ∠=，可以求出点C 的坐标为(0,3)，进而可以求出抛物线的解析式；（2）①抛物线的对称轴为：2x =，顶点(2,4)M ，在Rt PCQ ∆中，由勾股定理得：222PC PQ CQ +=，把三角形三边长用点P ，Q 的坐标表达出来，整理得：21(34)2n m m =-+，利用04m ，求出n 的取值范围；②由1122PCQ S CQ h PC PQ ∆==，得：2PC PQ h CQ ==，求出点P 到线段CQ 距离为2；③设线段CQ 向上平移t 个单位长度后的解析式为：334y x t =-++，联立抛物线方程，可求出2740x x t -+=，由△49160t =-=，得4916t =，可得当线段CQ 与抛物线有两个交点时，49316t <．【解析】解：（1）根据题意得：(2,0)A -，(6,0)B ， 在Rt AOC ∆中，3tan 2CO CAO AO ∠==，且2OA =，得3CO =，(0,3)C ∴，将C 点坐标代入(2)(6)y a x x =+-得：14a =-，抛物线解析式为：1(2)(6)4y x x =-+-；整理得：2134y x x =-++故抛物线解析式为：得：2134y x x =-++；（2）①由（1）知，抛物线的对称轴为：2x =，顶点(2,4)M ，设P 点坐标为(2,)m （其中04)m ， 则2222(3)PC m =+-，222(2)PQ m n =+-，2223CQ n =+， PQ PC ⊥，∴在Rt PCQ ∆中，由勾股定理得：222PC PQ CQ +=，即2222222(3)(2)3m m n n +-++-=+，整理得：221137(34)()(04)2228n m m m m =-+=-+，∴当32m =时，n 取得最小值为78；当4m =时，n 取得最大值为4， 所以748n ； ②由①知：当n 取最大值4时，4m =， (2,4)P ∴，(4,0)Q ，则5PC ，25PQ =5CQ =， 设点P 到线段CQ 距离为h ，由1122PCQ S CQ h PC PQ ∆==得：2PC PQ h CQ ==，故点P 到线段CQ 距离为2；③由②可知：当n 取最大值4时，(4,0)Q ，∴线段CQ 的解析式为：334y x =-+，设线段CQ 向上平移t 个单位长度后的解析式为：334y x t =-++，当线段CQ 向上平移，使点Q 恰好在抛物线上时，线段CQ 与抛物线有两个交点，此时对应的点Q '的纵坐标为：1(42)(46)34-+-=，将(4,3)Q '代入334y x t =-++得：3t =，当线段CQ 继续向上平移，线段CQ 与抛物线只有一个交点时，联解1(2)(6) 4334y x xy x t⎧=-+-⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩得：13(2)(6)344x x x t-+-=-++，化简得：2740x x t-+=，由△49160t=-=，得4916t=，∴当线段CQ与抛物线有两个交点时，49316t<．【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，处理问题和解决问题．【变式训练】如图，已知抛物线2y ax bx=+与x轴分别交于原点O和点(10,0)F，与对称轴l交于点(5,5)E．矩形ABCD的边AB在x轴正半轴上，且1AB=，边AD，BC与抛物线分别交于点M，N．当矩形ABCD 沿x轴正方向平移，点M，N位于对称轴l的同侧时，连接MN，此时，四边形ABNM的面积记为S；点M ，N 位于对称轴l 的两侧时，连接EM ，EN ，此时五边形ABNEM 的面积记为S ．将点A 与点O 重合的位置作为矩形ABCD 平移的起点，设矩形ABCD 平移的长度为(05)t t ． （1）求出这条抛物线的表达式； （2）当0t =时，求OBN S ∆的值；（3）当矩形ABCD 沿着x 轴的正方向平移时，求S 关于(05)t t <的函数表达式，并求出t 为何值时，S 有最大值，最大值是多少？【分析】（1）根据点E 、F 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；（2）找出当0t =时，点B 、N 的坐标，进而可得出OB 、BN 的长度，再根据三角形的面积公式可求出OBNS ∆的值；（3）分04t <和45t <两种情况考虑：①当04t <时（图1)，找出点A 、B 、M 、N 的坐标，进而可得出AM 、BN 的长度，利用梯形的面积公式即可找出S 关于t 的函数关系式，再利用二次函数的性质即可求出S 的最大值；②当45t <时，找出点A 、B 、M 、N 的坐标，进而可得出AM 、BN 的长度，将五边形分成两个梯形，利用梯形的面积公式即可找出S 关于t 的函数关系式，再利用二次函数的性质即可求出S 的最大值．将①②中的S 的最大值进行比较，即可得出结论． 【解析】解：（1）将(5,5)E 、(10,0)F 代入2y ax bx =+， 2555100100a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得：152a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴抛物线的表达式为2125y x x =-+．（2）当0t =时，点B 的坐标为(1,0)，点N 的坐标为9(1,)5，95BN ∴=，1OB =，19210OBN S BN OB ∆∴==． （3）①当04t <时（图1)，点A 的坐标为(,0)t ，点B 的坐标为(1,0)t +，∴点M 的坐标为21(,2)5t t t -+，点N 的坐标为(1t +，21(1)2(1))5t t -+++，2125AM t t ∴=-+，21(1)2(1)5BN t t =-+++，221111()1[2(1)2(1)]2255S AM BN AB t t t t ∴=+=⨯⨯-+-+++，21995510t t =-++，21999()5220t =--+， 105-<， ∴当4t =时，S 取最大值，最大值为4910； ②当45t <时（图2)，点A 的坐标为(,0)t ，点B 的坐标为(1,0)t +，∴点M 的坐标为21(,2)5t t t -+，点N 的坐标为(1t +，21(1)2(1))5t t -+++，2125AM t t ∴=-+，21(1)2(1)5BN t t =-+++，221111(5)(25)(4)[5(1)2(1)]2525S t t t t t t ∴=--+++--+++，32321111122136(3525)()2525555t t t t t t =-+++-++-， 232711101010t t =-+-， 239199()10240t =--+， 3010-<， ∴当92t =时，S 取最大值，最大值为19940．49196199104040=<， ∴当92t =时，S 有最大值，最大值是19940．【达标检测】1．如图，抛物线229y x bx c =-++经过点(3,0)A -，点(0,4)C ，作//CD x 轴交抛物线于点D ，作DE x ⊥轴，垂足为E ，动点M 从点E 出发在线段EA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 运动，同时动点N 从点A 出发在线段AC 上以每秒1个单位长度的速度向点C 运动，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t 秒． （1）求抛物线的解析式；（2）设DMN ∆的面积为S ，求S 与t 的函数关系式； （3）①当//MN DE 时，直接写出t 的值；②在点M 和点N 运动过程中，是否存在某一时刻，使MN AD ⊥？若存在，直接写出此时t 的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据抛物线229y x bx c =-++经过点(3,0)A -，点(0,4)C ，可以求得b 、c 的值，从而可以求得抛物线的解析式；（2）要求DMN ∆的面积，根据题目中的信息可以得到梯形AEDC 的面积、ANM ∆的面积、MDE ∆的面积、CND ∆的面积，从而可以解答本题；（3）①根据//MN DE ，可以得到AMN ∆和AOC ∆相似，从而可以求得t 的值；②根据题目中的条件可以求得点N 、点M 、点A 、点D 的坐标，由AD MN ⊥可以求得相应的t 的值． 【解答】解：（1）抛物线229y x bx c =-++经过点(3,0)A -，点(0,4)C ，∴22(3)(3)094b c c ⎧-⨯-+⨯-+=⎪⎨⎪=⎩， 解得，234b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，即抛物线的解析式为：222493y x x ==-++；（2）作NH AM ⊥于点H ，如由图1所示， 222493y x x ==-++，∴对称轴233222()9x =-=⨯-， 点(3,0)A -，点(0,4)C ，//CD x 轴交抛物线于点D ，DE x ⊥轴，垂足为E ，∴点(3,4)D ，点(3,0)E ，3OA =，4OC =，5AC ∴=，6AE =，3CD =， NH AM ⊥，AN t =，2ME t =， ANH ACO ∴∆∆∽，62AM t =-，∴AN NHAC CO=， 即54t NH=，得0.8NH t =， AMN DME CDN AECD S S S S S ∆∆∆∴=---梯形1111(36)4(62)0.8243(40.8)2222t t t t =+⨯-⨯-⨯-⨯⨯-⨯⨯- 20.8 5.212t t =-+，即S 与t 的函数关系式是20.8 5.212(03)S t t t =-+<； （3）①当//MN DE 时，t 的值是3013， 理由：如右图2所示//MN DE ，6AE =，5AC =，3AO =， 62AM t ∴=-，AN t =，AMN AOC ∆∆∽，∴AM ANAO AC=，即6235t t-=，解得，3013t=；②存在某一时刻，使MN AD⊥，此时t的值是9047，理由：如右图3所示，设过点(3,0)A-，(0,4)C的直线的解析式为y kx b=+，则304k bb-+=⎧⎨=⎩，得434kb⎧=⎪⎨⎪=⎩，即直线AC的解析式为443y x=+，0.8NH t=，∴点N的纵坐标为0.8t，将0.8y t=代入443y x=+得0.63x t=-，∴点(0.63,0.8)N t t-点(3,0)E，2ME t=，∴点(32,0)M t-，点(3,0)A-，点(3,4)D，点(32,0)M t-，点(0.63,0.8)N t t-，AD MN⊥，∴400.8013(3)(0.63)(32)tt t--=------，解得，9047t=．【点评】本题考查二次函数综合题，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，运用三角形的相似，数形结合的思想解答问题．2．如图1（注：与图2完全相同），二次函数243y x bx c=++的图象与x轴交于(3,0)A，(1,0)B-两点，与y轴交于点C ．（1）求该二次函数的解析式；（2）设该抛物线的顶点为D ，求ACD ∆的面积（请在图1中探索）；（3）若点P ，Q 同时从A 点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB ，AC 边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，当P ，Q 运动到t 秒时，APQ ∆沿PQ 所在的直线翻折，点A 恰好落在抛物线上E 点处，请直接判定此时四边形APEQ 的形状，并求出E 点坐标（请在图2中探索）．【分析】（1）将A ，B 点坐标代入函数243y x bx c =++中，求得b 、c ，进而可求解析式； （2）由解析式先求得点D 、C 坐标，再根据ACD CDM AOC AOMD S S S S ∆∆∆=--梯形，列式计算即可；（3）注意到P ，Q 运动速度相同，则APQ ∆运动时都为等腰三角形，又由A 、E 对称，则AP EP =，AQ EQ =，易得四边形四边都相等，即菱形．利用菱形对边平行且相等的性质可用t 表示E 点坐标，又E 在二次函数的图象上，所以代入即可求t ，进而E 可表示． 【解答】解：（1）二次函数243y x bx c =++的图象与x 轴交于(3,0)A ，(1,0)B -， ∴493034103b c b c ⎧⨯++=⎪⎪⎨⎪⨯-+=⎪⎩，解得：834b c ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，248433y x x ∴=--；（2）过点D 作DM y ⊥轴于点M ， 22484164(1)3333y x x x =--=--， ∴点16(1,)3D -、点(0,4)C -， 则ACD CDM AOC AOMD S S S S ∆∆∆=--梯形 1161161(13)(4)13423232=⨯+⨯-⨯-⨯-⨯⨯4=；（3）四边形APEQ 为菱形，E 点坐标为5(8-，29)16-．理由如下 如图2，E 点关于PQ 与A 点对称，过点Q 作，QF AP ⊥于F ，AP AQ t ==，AP EP =，AQ EQ =AP AQ QE EP ∴===，∴四边形AQEP 为菱形，//FQ OC ， ∴AF FQ AQ AO OC AC ==， ∴345AF FQ t == 35AF t ∴=，45FQ t = 3(35Q t ∴-，4)5t -，EQ AP t ==，3(35E t t ∴--，4)5t -， E 在二次函数248433y x x =--上， 244888(3)(3)453535t t t ∴-=----， 14564t ∴=，或0t =（与A 重合，舍去）， 5(8E ∴-，29)16-． 【点评】本题考查了二次函数性质、利用勾股定理解直角三角形及菱形等知识，总体来说题意复杂但解答内容都很基础，熟练地运用数形结合是解决问题的关键．3．如图所示，已知抛物线(3)(1)(0)y a x x a =+-≠，与x 轴从左至右依次相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，经过点A 的直线3y x b =-+与抛物线的另一个交点为D ．（1）若点D 的横坐标为2，求抛物线的函数解析式；（2）若在第三象限内的抛物线上有点P ，使得以A 、B 、P 为顶点的三角形与ABC ∆相似，求点P 的坐标；（3）在（1）的条件下，设点E 是线段AD 上的一点（不含端点），连接BE ．一动点Q 从点B 出发，沿线段BE 以每秒1个单位的速度运动到点E ，再沿线段ED 以每秒23个单位的速度运动到点D 后停止，问当点E 的坐标是多少时，点Q 在整个运动过程中所用时间最少？【分析】（1）根据二次函数的交点式确定点A 、B 的坐标，进而求出直线AD 的解析式，接着求出点D 的坐标，将D 点坐标代入抛物线解析式确定a 的值． （2）由于没有明确说明相似三角形的对应顶点，因此需要分情况讨论：①ABC BAP ∆∆∽；②ABC PAB ∆∆∽；（3）作//DM x 轴交抛物线于M ，作DN x ⊥轴于N ，作EF DM ⊥于F ，根据正切的定义求出Q 的运动时间t BE EF =+时，t 最小即可【解答】解：（1）(3)(1)y a x x =+-，∴点A 的坐标为(3,0)-、点B 两的坐标为(1,0)，直线3y x b =-+经过点A ，33b ∴=-333y x ∴=--当2x =时，53y =-则点D 的坐标为(2,53)-，点D 在抛物线上，(23)(21)53a ∴+-=-，解得，3a =-， 则抛物线的解析式为23(3)(1)32333y x x x x =-+-=--+；（2）如图1中，设(,)P m n <作PH x ⊥轴于H ．①当BPA ABC ∆∆∽时，BAC PBA ∠=∠，tan tan BAC PBA ∴∠=∠，即OC PH OA HB=， 即331a n m --=-+．解得(1)n a m =--． ∴(1)(3)(1)n a m n a m m =--⎧⎨=+-⎩， 解得4m =-或1（舍弃），当4m =-时，5n a =，AC AB AB PB=，即2AB AC PB =， 2222AB OC OA HB HP ∴=++ 即2224992525a a =++ 解得15a =15（舍弃）， 15(4,)P '∴-． ②当PBA ABC ∆∆∽时，CBA PBA ∠=∠，tan tan CBA PBA ∴∠=∠，即OC PH OB HB =， ∴311a n m --=-+， 3(1)n a m ∴=--，∴3(1)(3)(1)n a m n a m m =--⎧⎨=+-⎩， 解得6m =-或1（舍弃），当6m =-时，21n a =，BC AB BA PB =，即22222AB BC PB OC OB PH HB ==++，2224197(21a ∴=++- 7a ∴=7（舍弃）， (6,37)P ∴--．（3）如图2中，作//DM x 轴交抛物线于M ，作DN x ⊥轴于N ，作EF DM ⊥于F ，则53tan 3DN DAN AN ∠== 60DAN ∴∠=︒，60EDF ∴∠=︒，23sin EF DE EDF ∴==∠， Q ∴的运动时间123BE t BE EF ==+， ∴当BE 和EF 共线时，t 最小，则BE DM ⊥，此时点E 坐标(1,43)-．【点评】本题考查的是二次函数知识的综合运用，掌握二次函数的性质、二次函数的交点式、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，解答时，注意分情况讨论讨论，属于中考压轴题．4．如图①，已知ABC ∆的三个顶点坐标分别为(1,0)A -、(3,0)B 、(0,3)C ，直线BE 交y 轴正半轴于点E ．（1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线解析式及顶点D 的坐标；（2）连接BD 、CD ，设DBO α∠=，EBO β∠=，若tan ()1αβ-=，求点E 的坐标；（3）如图②，在（2）的条件下，动点M 从点C 出发以每秒2个单位的速度在直线BC 上移动（不考虑点M 与点C 、B 重合的情况），点N 为抛物线上一点，设点M 移动的时间为t 秒，在点M 移动的过程中，以E 、C 、M 、N 四个点为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，直接写出所有满足条件的t 值及点M 的个数；若不能，请说明理由．【分析】（1）用待定系数法求出求出抛物线解析式，再配成顶点式，求出顶点坐标；（2）方法一：先求出45DBE ∠=︒，再构造出等腰直角三角形，由两腰相等建立方程求出点E的坐标；方法二：先判断出90BCD ∠=︒，进而得出OBE CBD ∆∆∽，即可求出OE 即可得出结论；（3）分两种情况讨论计算①CE 为平行四边形的边，用MN CE =建立方程求出点M 坐标，从而求出时间t ，②利用平行四边形的对角线互相平分，借助中点坐标建立方程组求出点M 坐标即可．【解答】解：（1）经过(1,0)A -、(3,0)B 、(0,3)C 三点的抛物线，∴设抛物线解析式为(1)(3)y a x x =+-，点(0,3)C 在抛物线上，33a ∴=-，1a ∴=-∴抛物线解析式为2(1)(3)(1)4y x x x =-+-=--+，∴抛物线的顶点坐标为(1,4)D ，（2）方法一：tan ()1αβ-=，45αβ∴-=︒，DBO α∠=，EBO β∠=，45DBE ∴∠=︒，如图1，过点E 作EF BD ⊥于F ，EF BF ∴=，(3,0)B ，(1,4)D ，∴直线BD 解析式为26y x =-+①，设点(0,)E b ，EF BD ⊥，∴直线EF 解析式为12y x b =+②， 联立①②解方程组得，2(6)5x b =-，2(23)5y b =+， 2((6)5F b ∴-，2(23))5b +，2222221[(6)][(23)](6)555EF B b b b ∴=-++-=-，2222221[(6)3][(23)][(23)]555FB b b b =--++=+，EF FB =，22EF FB ∴=， ∴2211(6)[(23)]55b b -=+，9b ∴=-（舍)或1b =，(0,1)E ∴，方法二、tan ()1αβ-=，45αβ∴-=︒，DBO α∠=，EBO β∠=，45DBE ∴∠=︒，(0,3)C ，(3,0)B ，OB OC ∴=，45OBC ∴∠=︒，CBD OBE ∴∠=∠，(3,0)B ，(0,3)C ，(1,4)D ，3OB ∴=，218BC =，22CD =，220BD =， 222BC CD BD ∴+=，BCD ∴∆是直角三角形，90BCD BOE ∴∠=︒=∠，CBD OBE ∠=∠，OBE CBD ∴∆∆∽， ∴OE OBCD BC =， ∴232=，1OE ∴=，(0,1)E ∴，（3）能，理由：(3,0)B ，(0,3)C ，∴直线BC 解析式为3y x =-+，设点(,3)M m m -+， E 、C 、M 、N 四个点为顶点的四边形为平行四边形，∴分CE 为边和CE 为对角线进行计算，①如图2，当CE 是平行四边形的边时，//MN CE ，MN CE =，过M 作//MN CE 交抛物线于N ，点N 在抛物线上，2(,23)N m m m ∴-++，22|23(3)||3|MN m m m m m ∴=-++--+=-，(0,3)C ，(0,1)E ，2CE ∴=，MN CE =，2|3|2m m ∴-=，3172m ±∴=或1m =或2m =， 317(2M ∴，3172-或317(2-，3172+或(1,2)或(2,1)； (0,3)C 当317(2M +，3172时，31722CM +=， 31722t ∴==， 当317M -317+时， 同理：1732t =， 当(1,2)M 时，2CM =221t ∴==，当(2,1)M 时，22CM =，2222t ∴==，②当CE 是平行四边形的对角线时，MN 与CE 互相平分，(0,3)C ，(0,1)E ，∴线段CE 的中点坐标为(0,2)，(,3)M m m -+，22(33)2|CM m m m ∴=+-+-=，2|2||t m m ∴=÷=点N 在抛物线223y x x =-++上，设点2(,23)N n n n -++， 利用中点坐标得，02m n +=，23(23)22m n n -++-++=， ∴31723172m n ⎧+=-⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩或31723172m n ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，317(2M +∴-，9172+或317(2-，9172， 当317(2M -917+时， 317t +∴=当317(2M -，9172-时，173t -∴=； 即：满足条件的t 的值为3172+或1732-或1或2．点M 共有6个．【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，配方法，构造直角三角形，两点间的距离公式，平行四边形的性质，中点坐标，绝对值方程，构造直角三角形是解本题的关键，是一道中上难度的中考常考题，计算量较大．5．如图，直线33y x =-+与x 轴，y 轴分别交于点A ，点B ，两动点D ，E 分别从点A ，点B 同时出发向点O 运动（运动到点O 停止），运动速度分别是1个单位长度/3/秒，设运动时间为t 秒，以点A 为顶点的抛物线经过点E ，过点E 作x 轴的平行线，与抛物线的另一个交点为点G ，与AB 相交于点F ．（1）求点A ，点B 的坐标；（2）用含t 的代数式分别表示EF 和AF 的长；（3）当四边形ADEF 为菱形时，试判断AFG ∆与AGB ∆是否相似，并说明理由．（4）是否存在t 的值，使AGF ∆为直角三角形？若存在，求出这时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．【分析】（1）在直线323y x =-+中，分别令0y =和0x =，容易求得A 、B 两点坐标；（2）由OA 、OB 的长可求得30ABO ∠=︒，用t 可表示出BE ，EF ，和BF 的长，由勾股定理可求得AB 的长，从而可用t 表示出AF 的长；（3）利用菱形的性质可求得t 的值，则可求得AF AG =的长，可得到AF AG AG AB =，可判定AFG ∆与AGB ∆相似；（4）若AGF ∆为直角三角形时，由条件可知只能是90FAG ∠=︒，又60AFG OAF ∠=∠=︒，由（2）可知42AF t =-，EF t =，又由二次函数的对称性可得到24EG OA ==，从而可求出FG ，在Rt AGF ∆中，可得到关于t 的方程，可求得t 的值，进一步可求得E 点坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式．【解答】解：（1）在直线33y x =-+中，令0y =可得0323x =-+，解得2x =，令0x =可得23y =A ∴为(2,0)，B 为(0，23)；（2）由（1）可知2OA =，23OB =3tan OA ABO OB ∴∠== 30ABO ∴∠=︒，运动时间为t 秒，3BE t ∴=，//EF x 轴，∴在Rt BEF ∆中，3tan EF BE ABO BE t =∠==，22BF EF t ==， 在Rt ABO ∆中，2OA =，23OB =，4AB ∴=，42AF t ∴=-； （3）相似．理由如下：当四边形ADEF 为菱形时，则有EF AF =，即42t t =-，解得43t =， 8442433AF t ∴=-=-=，4232333OE OB BE =-=-⨯=， 如图，过G 作GH x ⊥轴，交x 轴于点H ，则四边形OEGH 为矩形，23GH OE ∴==， 又//EG x 轴，抛物线的顶点为A ，2OA AH ∴==，在Rt AGH ∆中，由勾股定理可得222222316()23AG GH AH =+=+=， 又416433AF AB =⨯=， 2AF AB AG ∴=，即AF AG AG AB=，且FAG GAB ∠=∠， AFG AGB ∴∆∆∽； （4）存在，//EG x 轴，60GFA BAO ∴∠=∠=︒，又G 点不能在抛物线的对称轴上，90FGA ∴∠≠︒，∴当AGF ∆为直角三角形时，则有90FAG ∠=︒，又30FGA ∠=︒，2FG AF ∴=，EF t =，4EG =，4FG t ∴=-，且42AF t =-，42(42)t t ∴-=-， 解得43t =， 即当t 的值为43秒时，AGF ∆为直角三角形，此时4232332333OE OB BE t =-== E ∴点坐标为23)， 抛物线的顶点为A ，∴可设抛物线解析式为2(2)y a x =-，把E 234a =，解得3a =， ∴抛物线解析式为232)y x =-， 即232323y x +． 【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、三角函数的定义、相似三角形的判定和性质、勾股定理、二次函数的对称性等．在（2）中求得30ABO ∠=︒是解题的关键，在（3）中求得t 的值，表示出AG 的长度是解题的关键，在（4）中判断出FAG ∠为直角是解题的突破口．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．6．直线332y x =-+交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，顶点为D 的抛物线23234y x mx m =-+-经过点A ，交x 轴于另一点C ，连接BD ，AD ，CD ，如图所示．（1）直接写出抛物线的解析式和点A ，C ，D 的坐标；（2）动点P 在BD 上以每秒2个单位长的速度由点B 向点D 运动，同时动点Q 在CA 上以每秒3个单位长的速度由点C 向点A 运动，当其中一个点到达终点停止运动时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t 秒．PQ 交线段AD 于点E ．①当DPE CAD ∠=∠时，求t 的值；②过点E 作EM BD ⊥，垂足为点M ，过点P 作PN BD ⊥交线段AB 或AD 于点N ，当PN EM =时，求t 的值．【分析】（1）先由直线解析式求得点A 、B 坐标，将点A 坐标代入抛物线解析式求得m 的值，从而得出答案；（2）①由（1）知BD AC =、//BD OC ，根据13AB AD ==ABPQ 是平行四边形得AQ BP =，即243t t =-，解之即可；②分点N 在AB 上和点N 在AD 上两种情况分别求解．【解答】解：（1）在332y x =-+中，令0x =得3y =，令0y =得2x =， ∴点(2,0)A 、点(0,3)B ，将点(2,0)A 代入抛物线解析式，得：344304m m -⨯+-=， 解得：3m =， 所以抛物线解析式为23694y x x =-+-， 223369(4)344y x x x =-+-=--+， ∴点(4,3)D ，对称轴为4x =，∴点C 坐标为(6,0)；（2）如图1，由（1）知4BD AC ==，根据034t ，得：403t ， ①(0,3)B 、(4,3)D ，//BD OC ∴，CAD ADB ∴∠=∠， DPE CAD ∠=∠，DPE ADB ∴∠=∠，222313AB =+=、22(42)313AD =-+=，AB AD ∴=，ABD ADB ∴∠=∠，DPE ABD ∴∠=∠，//PQ AB ∴，∴四边形ABPQ 是平行四边形，AQ BP ∴=，即243t t =-，解得：45t =， 即当DPE CAD ∠=∠时，45t =秒； ②（Ⅰ）当点N 在AB 上时，022t ，即01t ，连接NE ，延长PN 交x 轴于点F ，延长ME 交x 轴于点H ，PN BD ⊥、EM BD ⊥，//BD OC ，PN EM =，2OF BP t ∴==，3PF OB ==，NE FH =、NF EH =，//NE FQ ，65FQ OC OF QC t ∴=--=-，点N 在直线332y x =-+上， ∴点N 的坐标为(2,33)t t -+，3(33)3PN PF NF t t ∴=-=--+=，//NE FQ ，PNE PFQ ∴∆∆∽， ∴NE PN FQ PF=， 23(65)653PN t FH NE FQ t t t PF ∴===⨯-=-， (2,0)A 、(4,3)D ，∴直线AD 解析式为332y x =-， 点E 在直线332y x =-上， ∴点E 的坐标为(42,33)t t --+，OH OF FH =+，242265t t t t ∴-=+-，解得：511t =+>（舍)或51t =- （Ⅱ）当点N 在AD 上时，224t <，即413t<， PN EM =，∴点E 、N 重合，此时PQ BD ⊥，BP OQ ∴=，263t t ∴=-，解得：65t =， 综上所述，当PN EM =时，5(1t =秒或65t =秒． 【点评】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求二次函数的解析式、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点．7．如图，抛物线24y ax bx =++交y 轴于点A ，并经过(4,4)B 和(6,0)C 两点，点D 的坐标为(4,0)，连接AD ，AB ，BC ，点E 从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段AD 向点D 运动，到达点D 后，以每秒1个单位长度的速度沿射线DC 运动，设点E 的运动时间为t 秒，过点E 作AB 的垂线EF 交直线AB 于点F ，以线段EF 为斜边向右作等腰直角EFG ∆．（1）求抛物线的解析式；（2）当点G 落在第一象限内的抛物线上时，求出t 的值；（3）设点E 从点A 出发时，点E ，F ，G 都与点A 重合，点E 在运动过程中，当BCG ∆的面积为4时，直接写出相应的t 值，并直接写出点G 从出发到此时所经过的路径长．【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式；（2）先表示G 的坐标，再把点G 的坐标代入抛物线的解析式中列方程可得t 的值；（3）分三种情况进行讨论：①当G 在BC 的左侧时，如图3，作辅助线，根据BCG GHDB S S S ∆=+梯形△BDC GHC S ∆-，列式可得t 的值，利用勾股定理求AG 的长即可；②当G 在BC 上时，如图4，根据同角的三角函数得4tan 22BD GH C DC HC ∠====，则2GH HC =，列关于t 的方程得：165t =；当81635t <时，如图5，同理可得结论； ③当G 在BC 的右侧时，先计算当E 与D 重合时，F 与B 重合，如图6，此时4t =，计算此时BCG ∆的面积为2，因此点G 继续向前运动；当4t >时，如图7，同理列方程可得结论．【解答】解：（1）将(4,4)B 和(6,0)C 代入抛物线24y ax bx =++得：4164403664a b a b =++⎧⎨=++⎩，。
中考数学复习特色讲解第八讲动态几何及函数问题苏科版.doc
2019-2020 年中考数学复习特色讲解第八讲动态几何与函数问题苏科版【前言】在第三讲中我们已经研究了动态几何问题的一般思路，但是那时候没有对其中夹杂的函数问题展开来分析。
整体说来，代几综合题大概有两个侧重，第一个是侧重几何方面，利用几何图形的性质结合代数知识来考察。
而另一个则是侧重代数方面，几何性质只是一个引入点，更多的考察了考生的计算功夫。
但是这两种侧重也没有很严格的分野，很多题型都很类似。
所以相比昨天第七讲的问题，这一讲将重点放在了对函数，方程的应用上。
其中通过图中已给几何图形构建函数是重点考察对象。
不过从近年北京中考的趋势上看，要求所构建的函数为很复杂的二次函数可能性略小，大多是一个较为简单的函数式，体现了中考数学的考试说明当中“减少复杂性” “增大灵活性”的主体思想。
但是这也不能放松，所以笔者也选择了一些较有代表性的复杂计算题仅供参考。
【例 1】如图①所示，直角梯形OABC的顶点 A、 C 分别在 y 轴正半轴与 x 轴负半轴上 . 过点 B、 C作直线 l .将直线 l 平移，平移后的直线l 与x轴交于点D，与y轴交于点 E.（ 1）将直线l向右平移，设平移距离CD为t（t ≥0），直角梯形OABC被直线l扫过的面积（图中阴影部份）为s，s关于 t 的函数图象如图②所示，OM为线段， MN为抛物线的一部分， NQ为射线，且NQ平行于 x 轴，N 点横坐标为4，求梯形上底AB的长及直角梯形OABC 的面积 .（ 2）当2t 4 时，求S关于t的函数解析式.【思路分析】本题虽然不难，但是非常考验考生对于函数图像的理解。
很多考生看到图二的函数图像没有数学感觉，反应不上来那个 M 点是何含义， 于是无从下手。
其实 M 点就表示当平移距离为 2 的时候整个阴影部分面积为8，相对的， N 点表示移动距离超过 4 之后阴影部分面积就不动了。
脑中模拟一下就能想到阴影面积固定就是当D 移动过了 0 点的时候 .所以根据这么几种情况去作答就可以了。
二次函数动点问题解答方法技巧(含例解标准答案)
下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。
二、抛物线上动点
5、（湖北十堰市）如图①，已知抛物线 （a≠0）与 轴交于点A(1，0)和点B(－3，0)，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设抛物线的对称轴与 轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当 为何值时，四边形 的面积 有最大值，并求出此最大值；
（4）在运动过程中，四边形 能否形成矩形？若能，求出此时 的值；若不能，请说明理由．
[解]（1）点 ，点 ，点 关于原点的对称点分别为 ， ， ．
设抛物线 的解析式是
，
则
解得
所以所求抛物线的解析式是 ．
（2）由（1）可计算得点 ．
过点 作 ，垂足为 ．
⑶ 根据图象的位置判断二次函数ax²+bx+c=0中a,b,c的符号，或由二次函数中a,b,c的符号判断图象的位置，要数形结合；
⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.
⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax²+bx+c﹙a≠0﹚本身就是所含字母x的二次函数；下面以a＞0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：
当运动到时刻 时， ， ．
根据中心对称的性质 ，所以四边形 是平行四边形．
所以 ．
所以，四边形 的面积 ．
因为运动至点 与点 重合为止，据题意可知 ．
所以，所求关系式是 ， 的取值范围是 ．
（3） ，（ ）．
中考数学总复习《二次函数-动态几何问题》练习题及答案
中考数学总复习《二次函数-动态几何问题》练习题及答案班级:___________姓名：___________考号：_____________一、单选题1．如图，点C、D是以线段AB为公共弦的两条圆弧的中点，AB=4，点E，F分别是线段CD，AB上的动点，设AF=x，AE2－FE2=y，则能表示y与x的函数关系的图象是（）A．B．C．D．2．将抛物线y=－2x2先向左平移1个单位，再向上平移3个单位，两次平移后得到的抛物线的解析式为（）A．y=－2（x+1）2+3 B．y=－2（x+1）2-3C．y=－2（x-1）2+3 D．y=－2（x-1）2-33．把抛物线y=﹣2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为（）A．y=﹣2（x+1）2+2B．y=﹣2（x+1）2﹣2C．y=﹣2（x﹣1）2+2D．y=﹣2（x﹣1）2﹣24．如图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）b2-4ac＞0；（2）c＞1；（3）2a-b＜0；（4）a+b+c＜0．你认为其中错误的有( )A．2个B．3个C．4个D．1个5．如图，一段抛物线y=﹣x2+4（﹣2≤x≤2）为C1，与x轴交于A0，A1两点，顶点为D1；将C1绕点A1旋转180°得到C2，顶点为D2；C1与C2组成一个新的图象，垂直于y轴的直线l与新图象交于点P1（x1，y1），P2（x2，y2），与线段D1D2交于点P3（x3，y3），设x1，x2，x3均为正数，t=x1+x2+x3，则t 的取值范围是（）A．6＜t≤8B．6≤t≤8C．10＜t≤12D．10≤t≤126．如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=2.动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿折线AD→DC运动到点C，同时动点Q也从点A出发，以每秒√3个单位的速度沿AC运动到点C，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止.设△APQ的面积为y，运动时间为x秒，则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是（）A．B．C．D．7．如图，△ABC 和△DEF 都是边长为2 的等边三角形，它们的边BC，EF 在同一条直线l 上，点C，E 重合.现将△ABC 沿直线l 向右移动，直至点 B 与 F 重合时停止移动.在此过程中，设点C 移动的距离为x ，两个三角形重叠部分的面积为y ，则y 随x 变化的函数图象大致为（）A．B．C．D．8．下列函数是二次函数的是（）A．y=2x+1B．y=﹣2x+1C．y=x2+2D．y=12x﹣29．如图，△ABC为直角三角形，△C=90°，BC=2cm，△A=30°，四边形DEFG为矩形，DE=2 √3cm，EF=6cm，且点C、B、E、F在同一条直线上，点B与点E重合．Rt△ABC以每秒1cm的速度沿矩形DEFG的边EF向右平移，当点C与点F重合时停止．设Rt△ABC与矩形DEFG的重叠部分的面积为ycm2，运动时间xs．能反映ycm2与xs之间函数关系的大致图象是（）A．B．C．D．10．将抛物线y=﹣3x2平移，得到抛物线y=﹣3 （x﹣1）2﹣2，下列平移方式中，正确的是（）A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位11．如果y=（a﹣1）x2﹣ax+6是关于x的二次函数，则a的取值范围是（）A．a≠0B．a≠1C．a≠1且a≠0D．无法确定12．如图，点A，B的坐标分别为（1，4）和（4，4），抛物线y=a（x-m）2+n的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为-3，则点D的横坐标最大值为()A．－3 B．1C．5D．8二、填空题13．如图，在标有刻度的直线l上，从点A开始以AB=1为直径画半圆，记为第1个半圆；以BC=2为直径画半圆，记为第2个半圆；以CD=4为直径画半圆，记为第3个半圆；以DE=8为直径画半圆，记为第4个半圆．……按此规律，连续画半圆，则第4个半圆的面积是第3个半圆面积的倍。
苏科版初三数学2019中考复习二轮专题《动态问题2》
2019中考数学二轮专题《动态问题2》1．如图1，抛物线y＝ax2+（a+2）x+2（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点P（m，0）（0＜m＜4），过点P作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点M．（1）求a的值；（2）若PN：MN＝1：3，求m的值；（3）如图2，在（2）的条件下，设动点P对应的位置是P1，将线段OP1绕点O逆时针旋转得到OP2，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接AP2、BP2，求AP2+BP2的最小值．2．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点，点D与点C关于x轴对称，点P 是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，交直线BD于点M．（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；（2）点P在线段AB上运动的过程中，是否存在点Q，使得△BOD∽△QBM？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．（3）已知点F（0，），点P在x轴上运动，试求当m为何值时以D、M、Q、F为顶点的四边形是平行四边形．3．如图1，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于点A（﹣3，0），B（2，0），交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，D点坐标为（2，0），连结DC．若点H是线段DC上的一个动点，求OH+HC的最小值．（3）如图3，连结AC，过点B作x轴的垂线l，在第三象限中的抛物线上取点P，过点P作直线AC的垂线交直线l于点E，过点E作x轴的平行线交AC于点F，已知PE＝CF．①求点P的坐标；②在抛物线y＝x2+bx+c上是否存在一点Q，使得∠QPC＝∠BPE成立？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，四边形ABCD是矩形，点P是对角线AC上一动点（不与A、C重合），连接PB，过点P作PE⊥PB，交射线DC于点E，已知AD＝3，sin∠BAC＝．设AP的长为x．（1）AB＝ ；当x＝1时，＝ ；（2）①试探究：否是定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由；②连接BE，设△PBE的面积为S，求S的最小值．（3）当△PCE是等腰三角形时．请求出x的值；5．如图，矩形ABCD，AB＝2，BC＝10，点E为AD上一点，且AE＝AB，点F从点E出发，向终点D 运动，速度为1cm/s，以BF为斜边在BF上方作等腰直角△BFG，以BG，BF为邻边作▱BFHG，连接AG．设点F的运动时间为t秒．（1）试说明：△ABG∽△EBF；（2）当点H落在直线CD上时，求t的值；（3）点F从E运动到D的过程中，直接写出HC的最小值．6．在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝25，BC＝15．（1）如图1，折叠△ABC使点A落在AC边上的点D处，折痕交AC、AB分别于Q、H，若S△ABC＝9S△DHQ，则HQ＝ ．（2）如图2，折叠△ABC使点A落在BC边上的点M处，折痕交AC、AB分别于E、F．若FM∥AC，求证：四边形AEMF是菱形；（3）在（1）（2）的条件下，线段CQ上是否存在点P，使得△CMP和△HQP相似？若存在，求出PQ 的长；若不存在，请说明理由．7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝30°，AB＝10，点D在线段AB上，AD＝2．点P，Q以相同的速度从D点同时出发，点P沿DB方向运动，点Q沿DA方向到点A后立刻以原速返回向点B运动．以PQ为直径构造⊙O，过点P作⊙O的切线交折线AC﹣CB于点E，将线段EP绕点E顺时针旋转60°得到EF，过F作FG⊥EP于G，当P运动到点B时，Q也停止运动，设DP＝m．（1）当2＜m≤8时，AP＝ ，AQ＝ ．（用m的代数式表示）（2）当线段FG长度达到最大时，求m的值；（3）在点P，Q整个运动过程中，①当m为何值时，⊙O与△ABC的一边相切？②直接写出点F所经过的路径长是 ．（结果保留根号）8．如图，AB是⊙O的直径，＝，连结AC，过点C作直线l∥AB，点P是直线l上的一个动点，直线PA与⊙O交于另一点D，连结CD，设直线PB与直线AC交于点E．（1）求∠BAC的度数；（2）当点D在AB上方，且CD⊥BP时，求证：PC＝AC；（3）在点P的运动过程中①当点A在线段PB的中垂线上或点B在线段PA的中垂线上时，求出所有满足条件的∠ACD的度数；②设⊙O的半径为6，点E到直线l的距离为3，连结BD，DE，直接写出△BDE的面积．9．如图，已知Rt△ABC的直角边AC与Rt△DEF的直角边DF在同一条直线上，且AC＝60c，BC＝45cm，DF＝6cm，EF＝8cm．现将点C与点F重合，再以4cm/s的速度沿CA方向移动△DEF；同时，点P从点A出发，以5cm/s的速度沿AB方向移动．设移动时间为t（s），以点P为圆心，3t（cm）长为半径的⊙P与AB相交于点M，N，当点F与点A重合时，△DEF与点P同时停止移动，在移动过程中，（1）连接ME，当ME∥AC时，t＝ s；（2）连接NF，当NF平分DE时，求t的值；（3）是否存在⊙P与Rt△DEF的两条直角边所在的直线同时相切的时刻？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．10．把一副三角板按如图1摆放（点C与点E重合），点B，C（E），F在同一直线上．∠ACB＝∠DFE＝90°，∠A＝30°，∠DEF＝45°，BC＝EF＝8cm，点P是线段AB的中点．△DEF从图1的位置出发，以4cm/s的速度沿CB方向匀速运动，如图2，DE与AC相交于点Q，连接PQ．当点D运动到AC边上时，△DEF停止运动．设运动时间为t（s）．（1）当t＝1时，求AQ的长；（2）当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上？（3）当t为何值时，△APQ是直角三角形？11．已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．∠ACB＝∠EDF＝90°，∠DEF＝45°，AC＝8cm，BC＝6cm，EF＝9cm．如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC 的顶点B出发，以2cm/s的速度沿BA向点A匀速移动．当△DEF的顶点D移动到AC边上时，△DEF 停止移动，点P也随之停止移动．DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）（0＜t＜4.5）．解答下列问题：（1）当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上？（2）连接PE，设四边形APEC的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；是否存在某一时刻t，使面积y最小？若存在，求出y的最小值；若不存在，说明理由．（3）是否存在某一时刻t，使P、Q、F三点在同一条直线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．（图（3）供做题时使用）12．如图，正方形ABCD与矩形EFGH在直线l的同侧，边AD、EH在直线l上．保持正方形ABCD不动，并将矩形EFGH以1cm/s的速度沿DA方向移动，移动开始前点E与点D重合，当矩形EFGH完全穿过正方形ABCD（即点H与A点重合）时停止移动，设移动时间为t（s）．已知AD＝5cm，EH＝4cm，EF＝3cm，连接AF、CG．（1）矩形EFGH从开始移动到完全穿过正方形ABCD，所用时间为 s；（2）当AF⊥CG时，求t的值；（3）在矩形EFGH移动的过程中，AF+CG是否存在最小值？若存在，直接写出这个最小值及相应的t 的值；若不存在，说明理由．13．如图，四边形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半抽上，点D是OA上的一点，OC＝OD＝4，OA＝6，点B的坐标为（4，4）．动点E从点C出发，以每秒个单位长度的速度沿线段CD向点D运动，过点E作BC的垂线EF交线段BC于点F，以线段EF为斜边向右作等腰直角△EFG．设点E的运动时间为t秒（0≤t≤4）．（1）点G的坐标为（ ， ）（用含t的代数式表示）（2）连接OE、BG，当t为何值时，以O、C、E为顶点的三角形与△BFG相似？（3）设点E从点C出发时，点E、F、G都与点C重合，点E在运动过程中，当△ABG的面积为时，求点E运动的时间t的值，并直接写出点G从出发到此时所经过的路径长 （即线段CG的长）．14．如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边AB，AD上，且∠ECF＝45°，CF的延长线交BA的延长线于点G，CE的延长线交DA的延长线于点H，连接AC，EF．，GH．（1）填空：∠AHC ∠ACG；（填“＞”或“＜”或“＝”）（2）线段AC，AG，AH什么关系？请说明理由；（3）设AE＝m，①△AGH的面积S有变化吗？如果变化．请求出S与m的函数关系式；如果不变化，请求出定值．②请直接写出使△CGH是等腰三角形的m值．15．如图1所示，正方形ABCD的边长为2，点E、F分别为边AB、AD的中点．如图2所示，将△AEF 绕点A逆时针旋转α（0°＜α≤90°），射线BE、DF相交于点P．（1）求证：△ABE≌△ADF；（2）如图2，在△AEF旋转的过程中，若射线BE恰好通过AD的中点H，求PF的长；（3）如图3，若将△AEF从图1的位置旋转至AE⊥BE，试求点P在旋转过程中的运动路线长．16．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，OA在x轴的负半轴上，OC在y轴的正半轴上．（Ⅰ）若OA＝2，AB＝1．①如图1，将矩形OABC绕点O顺时针方向旋转α（0°＜α＜90°）得到矩形（OA1B1C1），当点A的对应点A1落在BC边上时，求点A1的坐标；②如图，将矩形OABC绕点O顺时针方向旋转β（0°＜β＜90°）得到矩形OA2B2C2，当点B的对应点B2落在轴的正半轴上时，求点A2的坐标；（Ⅱ）若OA＝m，AB＝n，如图3，设边OA2与BC交于点E，若＝﹣1，请直接写出的值．17．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝6，动点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿线段AD运动，动点Q从点D出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线段D﹣O﹣C运动，已知P、Q同时开始移动，当动点P到达D点时，P、Q同时停止运动．设运动时间为t秒．（1）当t＝1秒时，求动点P、Q之间的距离；（2）若动点P、Q之间的距离为4个单位长度，求t的值；（3）若线段PQ的中点为M，在整个运动过程中；直接写出点M运动路径的长度为 ．18．如图，点E，F分别在矩形ABCD的边AB，BC上，连接EF，将△BEF沿直线EF翻折得到△HEF，AB＝8，BC＝6，AE：EB＝3：1．（1）如图1，当∠BEF＝45°时，EH的延长线交DC于点M，求HM的长；（2）如图2，当FH的延长线经过点D时，求tan∠FEH的值；（3）如图3，连接AH，HC，当点F在线段BC上运动时，试探究四边形AHCD的面积是否存在最小值？若存在，求出四边形AHCD的面积的最小值；若不存在，请说明理由．19．请完成下面的几何探究过程：（1）观察填空如图1，在R△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，点D为斜边AB上一动点（不与点A，B重合），把线段CD绕点C顺时针旋转90°得到线段CE，连DE，BE，则①∠CBE的度数为 ；②当BE＝ 时，四边形CDBE为正方形（2）探究证明如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2AC＝4，点D为斜边AB上一动点（不与点A，B重合），把线段CD绕点C顺时针旋转90°后并延长为原来的两倍到线段CE，连DE，BE，则：①在点D的运动过程中，请判断∠CBE与∠A的大小关系，并证明；②当CD⊥AB时，求证：四边形CDBE为矩形（3）拓展延伸如图2，在点D的运动过程中，若△BCD恰好为等腰三角形，请直接写出此时AD的长．答案与解析1．如图1，抛物线y＝ax2+（a+2）x+2（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点P（m，0）（0＜m＜4），过点P作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点M．（1）求a的值；（2）若PN：MN＝1：3，求m的值；（3）如图2，在（2）的条件下，设动点P对应的位置是P1，将线段OP1绕点O逆时针旋转得到OP2，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接AP2、BP2，求AP2+BP2的最小值．【分析】（1）把A点坐标代入可得到关于a的方程，可求得a的值；（2）由△OAB∽△PAN可用m表示出PN，且可表示出PM，由条件可得到关于m的方程，则可求得m的值；（3）在y轴上取一点Q，使＝，可证得△P2OB∽△QOP2，则可求得Q点坐标，则可把AP2+BP2化为AP2+QP2，利用三角形三边关系可知当A、P2、Q三点在一条线上时有最小值，则可求得答案．【解答】解：（1）∵A（4，0）在抛物线上，∴0＝16a+4（a+2）+2，解得a＝﹣；（2）由（1）可知抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2，令x＝0可得y＝2，∴OB＝2，∵OP＝m，∴AP＝4﹣m，∵PM⊥x轴，∴△OAB∽△PAN，∴＝，即＝，∴PN＝（4﹣m），∵M在抛物线上，∴PM＝﹣m2+m+2，∵PN：MN＝1：3，∴PN：PM＝1：4，∴﹣m2+m+2＝4×（4﹣m），解得m＝3或m＝4（舍去）；（3）在y轴上取一点Q，使＝，如图，由（2）可知P1（3，0），且OB＝2，∴＝＝，且∠P2OB＝∠QOP2，∴△P2OB∽△QOP2，∴＝，∴当Q（0，）时QP2＝BP2，∴AP2+BP2＝AP2+QP2≥AQ，∴当A、P2、Q三点在一条线上时，AP2+QP2有最小值，∵A（4，0），Q（0，），∴AQ＝＝，即AP2+BP2的最小值为．【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、相似三角形的判定和性质、勾股定理、三角形三边关系等知识．在（2）中用m分别表示出PN和PM是解题的关键，在（3）确定出取得最小值时的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，特别是（3）中构造三角形相似，难度较大．2．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点，点D与点C关于x轴对称，点P 是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，交直线BD于点M．（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；（2）点P在线段AB上运动的过程中，是否存在点Q，使得△BOD∽△QBM？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．（3）已知点F（0，），点P在x轴上运动，试求当m为何值时以D、M、Q、F为顶点的四边形是平行四边形．【分析】（1）待定系数法求解可得；（2）利用△BOD∽△QBM得＝＝，再证△MBQ∽△BPQ得＝，即＝，解之即可得此时m的值．（3）先利用待定系数法求出直线BD解析式为y＝x﹣2，则Q（m，﹣m2+m+2）、M（m，m﹣2），由QM∥DF且四边形DMQF是平行四边形知QM＝DF，据此列出关于m的方程，解之可得．【解答】解：（1）由抛物线过点A（﹣1，0）、B（4，0）可设解析式为y＝a（x+1）（x﹣4），将点C（0，2）代入，得：﹣4a＝2，解得：a＝﹣，则抛物线解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣4）＝﹣x2+x+2；（2）如图所示：∵当△BOD∽△QBM时，则＝＝，∵∠MBQ＝90°，∴∠MBP+∠PBQ＝90°，∵∠MPB＝∠BPQ＝90°，∴∠MBP+∠BMP＝90°，∴∠BMP＝∠PBQ，∴△MBQ∽△BPQ，∴，∴＝，解得：m1＝3、m2＝4，当m＝4时，点P、Q、M均与点B重合，不能构成三角形，舍去，∴m＝3，点Q的坐标为（3，2）；（3）由题意知点D坐标为（0，﹣2），设直线BD解析式为y＝kx+b，将B（4，0）、D（0，﹣2）代入，得：，解得：，∴直线BD解析式为y＝x﹣2，∵QM⊥x轴，P（m，0），∴Q（m，﹣m2+m+2）、M（m，m﹣2），则QM＝﹣m2+m+2﹣（m﹣2）＝﹣m2+m+4，∵F（0，）、D（0，﹣2），∴DF＝，∵QM∥DF，∴当﹣m2+m+4＝时，四边形DMQF是平行四边形，解得：m＝﹣1或m＝3，即m＝﹣1或m＝3时，四边形DMQF是平行四边形．当四边形FDQM是平行四边形时，m2﹣m﹣4＝，解得m1＝+1，m1＝1﹣．综上所述，当m的值为﹣1或3或+1或1﹣．【点评】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及分类讨论思想的运用．3．如图1，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于点A（﹣3，0），B（2，0），交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，D点坐标为（2，0），连结DC．若点H是线段DC上的一个动点，求OH+HC的最小值．（3）如图3，连结AC，过点B作x轴的垂线l，在第三象限中的抛物线上取点P，过点P作直线AC的垂线交直线l于点E，过点E作x轴的平行线交AC于点F，已知PE＝CF．①求点P的坐标；②在抛物线y＝x2+bx+c上是否存在一点Q，使得∠QPC＝∠BPE成立？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）把交点坐标代入抛物线交点式表达式，即可求解；（2）作点O关于直线BC的对称点O′，过点O′作O′G⊥y轴交DC与点H、交y轴与点G，在图示的位置时，OH+HC为最小值，即可求解；（3）①PE＝CF，则PE cosβ＝SF cosβ，即：PE＝FS，即可求解；②求出HP所在的直线表达式与二次函数联立，求得交点即可．【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝（x+3）（x﹣2）＝x2+x﹣6，抛物线的表达式为：y＝x2+x﹣6…①，（2）作点O关于直线DC的对称点O′交CD于点M，过点O′作O′G⊥y轴交DC与点H、交y轴与点G，∵OD＝2，OC＝6，则∠OCD＝30°，∴GH＝HC，在图示的位置时，OH+HC＝GH+OH，此时为最小值，长度为GO′，∵O′O⊥DC，∴∠OO′H＝∠OCD＝30°，∴OM＝OC＝3＝OO′，在Rt△OO′G中，GO′＝OO′cos∠OO′G＝6cos30°＝3，即：OH+HC的最小值为3；（3）①设点P的坐标为（m，n），n＝m2+m﹣6，直线AC表达式的k值为﹣2，则直线PE表达式的k值为，设直线PE的表达式为：y＝x+b，将点P坐标代入上式并解得：b＝n﹣m，则点E的坐标为（2，1+n﹣m），点F的坐标为（m﹣n﹣，1+n﹣m），过点P作x轴的平行线交直线l于点M，过点F作y轴平行线交过C点作x轴的平行线于点S，∵AC⊥PE，∴∠EPM＝∠SFC＝β，∵PE＝CF，则PE cosβ＝SF cosβ，即：PE＝FS，∴1+n﹣m+6＝2﹣m，即：2m2+3m﹣2＝0，解得：m＝或﹣2（舍去m＝），故点P坐标为（﹣2，﹣4），点E坐标为（2，﹣2）；②过点P作x轴的平行线交直线l于点M、交y轴于点R，作EN⊥PB于点N，则：PM＝4＝BM＝4，EM＝BM＝2，则PE＝，EN＝BE sin∠NBE＝2×sin45°＝，设：∠QPC＝∠BPE＝α，则sin∠BPE＝＝＝sinα，则tanα＝，过点P作y轴的平行线交过C点与x轴的平行线于点L，延长PQ交CL于点H，过点H作HG⊥PC，则：PL＝PR＝RC＝CL＝2，即四边形PRCL为正方形，∴∠PCH＝45°，设：GH＝GC＝m，PG＝＝3m，PC＝PG+GC＝4m＝2，则m＝，CH＝m＝1，即点H坐标为（﹣1，﹣6），则HP所在的直线表达式为：y＝﹣2x﹣8…②，①②联立并解得：x＝﹣1或﹣2（x＝﹣2和点P重合，舍去），故点Q的坐标为（﹣1，﹣6）．【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．4．如图，四边形ABCD是矩形，点P是对角线AC上一动点（不与A、C重合），连接PB，过点P作PE⊥PB，交射线DC于点E，已知AD＝3，sin∠BAC＝．设AP的长为x．（1）AB＝ 4 ；当x＝1时，＝ ；（2）①试探究：否是定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由；②连接BE，设△PBE的面积为S，求S的最小值．（3）当△PCE是等腰三角形时．请求出x的值；【分析】（1）作PM⊥AB于M交CD于N．由△BMP∽△PNE，推出＝，只要求出PN、BM即可解决问题；（2）①结论：的值为定值．证明方法类似（1）；②利用勾股定理求出PB2，根据三角形的面积公式根据二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；（3）分两种情形讨论求解即可解决问题；【解答】解：（1）作PM⊥AB于M交CD于N．∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝3，∠ABC＝90°，∴AC＝＝5，AB＝＝4．在Rt△APM中，PA＝1，PM＝，AM＝，∴BM＝AB﹣AM＝，∵MN＝AD＝3，∴PN＝MN﹣PM＝，∵∠PMB＝∠PNE＝∠BPE＝90°，∴∠BPM+∠EPN＝90°，∠EPN+∠PEN＝90°，∴∠BPM＝∠PEN，∴△BMP∽△PNE，∴＝＝＝，故答案为4，．（2）①结论：的值为定值．理由：由PA＝x，可得PM＝x．AM＝x，BM＝4﹣x，PN＝3﹣x，∵△BMP∽△PNE，∴＝＝＝．②在Rt△PBM中，PB2＝BM2+PM2＝（4﹣x）2+（x）2＝x2﹣x+16，∵＝，∴PE＝PB，∴S＝•PB•PE＝PB2＝（x2﹣x+16）＝（x﹣）2+，∵0＜x＜5，∴x＝时，S有最小值＝．（3）①当点E在线段CD上时，连接BE交AC于F．∵∠PEC＞90°，所以只能EP＝EC，∴∠EPC＝∠ECP，∵∠BPE＝∠BCE＝90°，∴∠BPC＝∠BCP，∴BP＝BC，∴BE垂直平分线段PC，在Rt△BCF中，cos∠BCF＝＝，∴＝，∴CF＝，∴PC＝2CF＝，∴x＝PA＝5﹣＝．②当点E在DC的延长线上时，设BC交PE于G．∵∠PCE＞90°，所以只能CP＝CE．∴∠CPE＝∠E，∵∠GPB＝∠GCE＝90°，∠PGB＝∠CGE，∴∠PBG＝∠E＝∠CPE，∵∠ABP+∠PBC＝90°，∠APB+∠CPE＝90°，∴AB＝AP＝4，综上所述，x的值为或4．【点评】此题主要考查相似形综合题、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理以及等腰三角形的构成条件等重要知识，同时还考查了分类讨论的数学思想，难度较大．5．如图，矩形ABCD，AB＝2，BC＝10，点E为AD上一点，且AE＝AB，点F从点E出发，向终点D 运动，速度为1cm/s，以BF为斜边在BF上方作等腰直角△BFG，以BG，BF为邻边作▱BFHG，连接AG．设点F的运动时间为t秒．（1）试说明：△ABG∽△EBF；（2）当点H落在直线CD上时，求t的值；（3）点F从E运动到D的过程中，直接写出HC的最小值．【分析】（1）根据两边成比例夹角相等即可证明两三角形相似；（2）如图构建如图平面直角坐标系，作HM⊥AD于M，GN⊥AD于N．设AM交BG于K．首先证明△GFN≌△FHM，想办法求出点H的坐标，构建方程即可解决问题；（3）由（2）可知H（2+t，4+t），令x＝2+t，y＝4+t，消去t得到y＝x+．推出点H在直线y＝x+上运动，根据垂线段最短即可解决问题；【解答】（1）证明：如图1中，∵△ABE，△BGF都是等腰直角三角形，∴＝＝，∵∠ABE＝∠GBF＝45°，∴∠ABG＝∠EBF，∴△ABG∽△EBF．（2）解：如图构建如图平面直角坐标系，作HM⊥AD于M，GN⊥AD于N．设AM交BG于K．∵△GFH是等腰直角三角形，∴FG＝FH，∠GNF＝∠GFH＝∠HMF＝90°，∴∠GFN+∠HFM＝90°，∠HFM+∠FHM＝90°，∴∠GFN＝∠FHM，∴△GFN≌△FHM，∴GN＝FM，FN＝HM，∵△ABG∽△EBF，∴＝＝，∠AGB＝∠EFB，∵∠AKG＝∠BKF，∴∠GAN＝∠KBF＝45°，∵EF＝t，∴AG＝t，∴AN＝GN＝FM＝t，∴AM＝2+t，HM＝FN＝2+t，∴H（2+t，4+t），当点H在直线CD上时，2+t＝10，解得t＝．（3）由（2）可知H（2+t，4+t），令x＝2+t，y＝4+t，消去t得到y＝x+．∴点H在直线y＝x+上运动，如图，作CH垂直直线y＝x+垂足为H．根据垂线段最短可知，此时CH的长最小，易知直线CH的解析式为y＝﹣3x+30，由，解得，∴H（8，6），∵C（10，0），∴CH＝＝2，∴HC最小值是2．【点评】本题考查相似三角形综合题、矩形的性质、等腰直角三角形的性质、新三角形的判定和性质、一次函数的应用，垂线段最短等知识，解题的关键是学会构建平面直角坐标系解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．6．在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝25，BC＝15．（1）如图1，折叠△ABC使点A落在AC边上的点D处，折痕交AC、AB分别于Q、H，若S△ABC＝9S△DHQ，则HQ＝ 5 ．（2）如图2，折叠△ABC使点A落在BC边上的点M处，折痕交AC、AB分别于E、F．若FM∥AC，求证：四边形AEMF是菱形；（3）在（1）（2）的条件下，线段CQ上是否存在点P，使得△CMP和△HQP相似？若存在，求出PQ 的长；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用勾股定理求出AC，设HQ＝x，根据S△ABC＝9S△DHQ，构建方程即可解决问题；（2）想办法证明四边相等即可解决问题；（3）设AE＝EM＝FM＝AF＝4m，则BM＝3m，FB＝5m，构建方程求出m的值，分两种情形分别求解即可解决问题；【解答】解：（1）如图1中，在△ABC中，∵∠ACB＝90°，AB＝25，BC＝15，∴AC＝＝20，设HQ＝x，∵HQ∥BC，∴＝，∴AQ＝x，∵S△ABC＝9S△DHQ，∴×20×15＝9××x×x，∴x＝5或﹣5（舍弃），∴HQ＝5，故答案为5．（2）如图2中，由翻折不变性可知：AE＝EM，AF＝FM，∠AFE＝∠MFE，∵FM∥AC，∴∠AEF＝∠MFE，∴∠AEF＝∠AFE，∴AE＝AF，∴AE＝AF＝MF＝ME，∴四边形AEMF是菱形．（3）如图3中，设AE＝EM＝FM＝AF＝4m，则BM＝3m，FB＝5m，∴4m+5m＝25，∴m＝，∴AE＝EM＝，∴EC＝20﹣＝，∴CM＝＝，∵QH＝5，AQ＝，∴QC＝，设PQ＝x，当＝时，△HQP∽△MCP，∴＝，解得：x＝，当＝时，△HQP∽△PCM，∴＝解得：x＝10或，经检验：x＝10或是分式方程的解，且符合题意，综上所，满足条件长QP的值为或10或．【点评】本题属于相似形综合题，考查了翻折变换，三角形的面积，菱形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝30°，AB＝10，点D在线段AB上，AD＝2．点P，Q以相同的速度从D点同时出发，点P沿DB方向运动，点Q沿DA方向到点A后立刻以原速返回向点B运动．以PQ为直径构造⊙O，过点P作⊙O的切线交折线AC﹣CB于点E，将线段EP绕点E顺时针旋转60°得到EF，过F作FG⊥EP于G，当P运动到点B时，Q也停止运动，设DP＝m．（1）当2＜m≤8时，AP＝ 2+m ，AQ＝ m﹣2 ．（用m的代数式表示）（2）当线段FG长度达到最大时，求m的值；（3）在点P，Q整个运动过程中，①当m为何值时，⊙O与△ABC的一边相切？②直接写出点F所经过的路径长是 + ．（结果保留根号）【分析】（1）根据题意可得AP＝2+m，AQ＝m﹣2．（2）如图1中，在Rt△EFG中，∠EFG＝∠A＝30°，∠EGF＝90°，推出FG＝EF•cos30°＝PE•cos30°＝EP，所以当点E与点C重合时，PE的值最大，求出此时EP的长即可解决问题．（3）①分三种情形讨论：当0＜t≤2（Q在往A运动）时，如图2中，设⊙O切AC于H，连接OH．当2＜t≤8（Q从A向B运动）时，则PQ＝（2+m）﹣（m﹣2）＝4，如图3中，设⊙O切AC 于H．连接OH．如图4中，设⊙O切BC于N，连接ON．分别求解即可．②如图5中，点F的运动轨迹是F1→F2→B．分别求出F1F2，F2B即可解决问题．【解答】解：（1）当2＜m≤8时，AP＝2+m，AQ＝m﹣2．故答案为2+m，m﹣2．（2）如图1中，在Rt△EFG中，∵∠EFG＝∠A＝30°，∠EGF＝90°，∴FG＝EF•cos30°＝PE•cos30°＝EP，∴当点E与点C重合时，PE的值最大，易知此时EP＝＝＝，∵EP＝AP•tan30°＝（2+m）•，∴＝（2+m）•，∴m＝5.5（3）①当0＜t≤2（Q在往A运动）时，如图2中，设⊙O切AC于H，连接OH．则有AD＝2DH＝2，∴DH＝DQ＝1，即m＝1．当2＜t≤8（Q从A向B运动）时，则PQ＝（2+m）﹣（m﹣2）＝4，如图3中，设⊙O切AC于H．连接OH．则AO＝2OH＝4，AP＝4+2＝6，∴2+m＝6，∴m＝4．如图4中，设⊙O切BC于N，连接ON．在Rt△OBN中，OB＝＝，∴AO＝10﹣，∴AP＝12﹣，∴2+m＝12﹣，∴m＝10﹣，综上所述，当m＝1或4或10﹣时，⊙O与△ABC的边相切．②如图5中，点F的运动轨迹是F1→F2→B．易知AF1＝，CF2＝，AC＝5，∴F1F2＝5﹣﹣＝，∵∠FEP＝60°，∠PEB＝30°，∴∠FEB＝90°，∴tan∠EBF＝＝为定值，∴点F的第二段的轨迹是线段BF2，在Rt△BF2C中，BF2＝＝＝，∴点F的运动路径的长为+．【点评】本题考查圆综合题、直线与圆相切的条件、锐角三角函数、勾股定理、旋转变换等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，学会用方程的思想思考问题，把问题转化为方程解决，属于中考压轴题．8．如图，AB是⊙O的直径，＝，连结AC，过点C作直线l∥AB，点P是直线l上的一个动点，直线PA与⊙O交于另一点D，连结CD，设直线PB与直线AC交于点E．（1）求∠BAC的度数；（2）当点D在AB上方，且CD⊥BP时，求证：PC＝AC；（3）在点P的运动过程中①当点A在线段PB的中垂线上或点B在线段PA的中垂线上时，求出所有满足条件的∠ACD的度数；②设⊙O的半径为6，点E到直线l的距离为3，连结BD，DE，直接写出△BDE的面积．【分析】（1）只要证明△ABC是等腰直角三角形即可；（2）只要证明CB＝CP，CB＝CA即可；、（3）①分四种情形分别画出图形一一求解即可；②分两种情形如图6中，作EK⊥PC于K．只要证明四边形ADBC是正方形即可解决问题；如图7中，连接OC，作BG⊥CP于G，EK⊥PC于K．由△AOQ∽△ADB，可得S△ABD＝，可得S△PBD＝S△ABP﹣S△ABD＝，再根据S△BDE＝•S△PBD计算即可解决问题；【解答】解：（1）如图1中，连接BC．∵＝，∴BC＝CA，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC＝∠CBA＝45°．（2）解：如图1中，设PB交CD于K．∵＝，∴∠CDB＝∠CDP＝45°，CB＝CA，∴CD平分∠BDP，又∵CD⊥BP，∴∠DKB＝∠DKP＝90°，∵DK＝DK，∴△DKB≌△DKP，∴BK＝KP，即CD是PB的中垂线，∴CP＝CB＝CA．（3）①（Ⅰ）如图2，当B在PA的中垂线上，且P在右时，∠ACD＝15°；理由：连接BD、OC．作BG⊥PC于G．则四边形OBGC是正方形，∵BG＝OC＝OB＝CG，∵BA＝BA，∴PB＝2BG，∴∠BPG＝30°，∵AB∥PC，∴∠ABP＝30°，∵BD垂直平分AP，∴∠ABD＝∠ABP＝15°，∴∠ACD＝15°（Ⅱ）如图3，当B在PA的中垂线上，且P在左，∠ACD＝105°；理由：作BG⊥CP于G．同法可证∠BPG＝30°，可得∠APB＝∠BAP＝∠APC＝15°，∴∠ABD＝75°，∵∠ACD+∠ABD＝180°，∴∠ACD＝105°；（Ⅲ）如图4，A在PB的中垂线上，且P在右时∠ACD＝60°；理由：作AH⊥PC于H，连接BC．同法可证∠APH＝30°，可得∠DAC＝75°，∠D＝∠ABC＝45°，∴∠ACD＝60°；（Ⅳ）如图5，A在PB的中垂线上，且P在左时∠ACD＝120°理由：作AH⊥PC于H．同法可证：∠APH＝30°，可得∠ADC＝45°，∠DAC＝60°﹣45°＝15°，∴∠ACD＝120°．②如图6中，作EK⊥PC于K．∵EK＝CK＝3，∴EC＝3，∵AC＝6，∴AE＝EC，∵AB∥PC，∴∠BAE＝∠PCE，∵∠AEB＝∠PEC，∴△ABE≌△CPE，∴PC＝AB＝CD，∴△PCD是等腰直角三角形，可得四边形ADBC是正方形，∴S△BDE＝•S正方形ADBC＝36．如图7中，连接OC，作BG⊥CP于G，EK⊥PC于K．由题意CK＝EK＝3，PK＝1，PG＝2，由△AOQ∽△PCQ，可得QC＝，PQ2＝，由△AOQ∽△ADB，可得S△ABD＝，∴S△PBD＝S△ABP﹣S△ABD＝，∴S△BDE＝•S△PBD＝综上所，满足条件的△BDE的面积为36或．【点评】本题考查圆综合题、等腰直角三角形的性质和判定、相似三角形的判定和性质、切线的性质、线段的垂直平分线的性质和判定、直角三角形中30度角的判定等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考压轴题．9．如图，已知Rt△ABC的直角边AC与Rt△DEF的直角边DF在同一条直线上，且AC＝60c，BC＝45cm，DF＝6cm，EF＝8cm．现将点C与点F重合，再以4cm/s的速度沿CA方向移动△DEF；同时，点P从点A出发，以5cm/s的速度沿AB方向移动．设移动时间为t（s），以点P为圆心，3t（cm）长为半径的⊙P与AB相交于点M，N，当点F与点A重合时，△DEF与点P同时停止移动，在移动过程中，（1）连接ME，当ME∥AC时，t＝ s；（2）连接NF，当NF平分DE时，求t的值；（3）是否存在⊙P与Rt△DEF的两条直角边所在的直线同时相切的时刻？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．【分析】（1）作MH⊥AC，垂足为H，作OG⊥AC，垂足为G．首先可求得∠A的正弦和余弦值，在Rt△APG中可求得PG的长，然后再求得AM的长，接下来，再求得MH的长，最后依据MH＝EF列方程求解即可；（2）连结NF交DE与点G，则G为DE的中点．先证明△EDF∽△ABC，从而可证明∠A＝∠E，然后再证明△ANF是直角三角形，然后利用锐角三角函数的定义可求得AF的长，然后依据AF+FC＝AC 列方程求解即可；（3）如图3所示：过点P作PH⊥AC，垂足为H，当⊙P与EF相切时，且点为G，连结PG．先证明PG＝HF，然后可得到AH＝4t，FH＝3t，FC＝4t，然后依据AH+HF+FC＝AC列方程求解即可；如图4所示：连接GP，过点P作PH⊥AC，垂足为H．先证明PG＝HF，然后可得到AH＝FC＝4t，FH＝3t，然后依据AH+CF﹣FH＝AC列方程求解即可．【解答】解：（1）如图1所示：作MH⊥AC，垂足为H，作OG⊥AC，垂足为G．∵在Rt△ABC中，AC＝60，BC＝45，∴AB＝75cm．∴sin∠A＝．∴PM＝PG＝PA＝3t．∴AM＝5t﹣3t＝2t．∴HM＝AM＝t．当ME∥AC时，MH＝EF，即t＝8，解得t＝．故答案为：．（2）如图2所示：连结NF交DE与点G，则G为DE的中点．∵AC＝60cm，BC＝45cm，DF＝6cm，EF＝8cm，∴．又∵∠ACB＝∠DFE＝90°，∴△EDF∽△ABC．∴∠A＝∠E．∵G是DE的中点，∴GF＝DG＝ED．∴∠GFD＝∠GDF．∵∠GDF+∠E＝90°，∴∠GFD+∠E＝90°．∴∠A+∠GFD＝90°．∴∠ANF＝90°．∴AF＝AN＝10t．又∵FC＝4t，∴10t+4t＝60，解得t＝．（3）如图3所示：过点P作PH⊥AC，垂足为H，当⊙P与EF相切时，且点为G，连结PG．∵EF是⊙P的切线，∴∠PGF＝90°．∵∠PGF＝∠GFH＝∠PHF＝90°，∴四边形PGFH为矩形．∴PG＝HF．∵⊙P的半径为3t，sin∠A＝，AP＝5t，∴PH＝3t．∴⊙P与AC相切．∵EF为⊙P的切线，∴PG⊥EF．∴HF＝PG＝3t．∵AH＝AP＝4t，FC＝4t，∴4t+3t+4t＝60，解得t＝．如图4所示：连接GP，过点P作PH⊥AC，垂足为H．由题意得可知：AH＝4t，CF＝4t．∵EF是⊙P的切线，∴∠PGF＝90°．∵∠PGF＝∠GFH＝∠PHF＝90°，∴四边形PGFH为矩形．∴PG＝HF．∵GP＝FH，∴FH＝3t．∴4t+4t﹣3t＝60，解得：t＝12．综上所述，当t的值为或12时，⊙P与Rt△DEF的两条直角边所在的直线同时相切．【点评】本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了切线的性质，锐角三角函数的定义、相似三角形的性质和判定，得到△ANF是直角三角形是解答问题（2）的关键，依据AH、FC、HF和AC 之间的数量关系列出方程是解答问题（3）的关键．10．把一副三角板按如图1摆放（点C与点E重合），点B，C（E），F在同一直线上．∠ACB＝∠DFE＝90°，∠A＝30°，∠DEF＝45°，BC＝EF＝8cm，点P是线段AB的中点．△DEF从图1的位置出发，以4cm/s的速度沿CB方向匀速运动，如图2，DE与AC相交于点Q，连接PQ．当点D运动到AC边上时，△DEF停止运动．设运动时间为t（s）．（1）当t＝1时，求AQ的长；（2）当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上？（3）当t为何值时，△APQ是直角三角形？【分析】（1）将t＝1代入可得EC＝4，再计算CQ的长，可得AQ的长；（2）根据垂直平分线的性质，得AP＝AQ，可得AQ的长，计算CQ的长，根据等腰直角三角形的定义可得EC的长，由速度和路程可得时间；（3）分两种情况讨论：∠A不可能为直角，所以①当∠APQ＝90°时，②当∠AQP＝90°时，根据直角三角形30度角的性质可得结论．【解答】解：（1）如图1，当t＝1时，EC＝4，Rt△CEQ时，∠QEC＝45°，∴EC＝CQ＝4，Rt△ACB中，∠A＝30°，BC＝8，∴AC＝8，∴AQ＝8﹣4，（2）当A在线段PQ的垂直平分线上时，AP＝AQ＝AB＝×16＝8，∴CQ＝8﹣8，∵△CEQ是等腰直角三角形，。
2021-2022苏科版九年级上册---第5章二次函数--动态几何问题
二次函数-动态几何问题一、单选题1.在平面直角坐标系中，下列函数的图象经过原点的是（ ）A. y=﹣x+3B. y=5xC. y=2xD. y=﹣2x 2+x ﹣7 2.如图，直角边长为1的等腰直角三角形与边长为2的正方形在同一水平线上，三角形沿水平线从左向右匀速穿过正方形．设穿过时间为t ，正方形与三角形不重合部分的面积为s （阴影部分），则s 与t 的大致图象为（ ）A. B. C. D. 3.下列函数中，是二次函数的为（ ）A. y=2x+1B. y=（x ﹣2）2﹣x 2C. y=2x2 D. y=2x （x+1） 4.下列函数中，是二次函数的是（ ）A. y=8x 2+1B. y=8x+1C. y=8xD. y=8x2+1 5.下列函数中，二次函数是（ ）A. y=8x 2B. y=8x+1C. y=﹣8xD. y=-8x6.如下图，在直角坐标系的第一象限内，△AOB 是边长为2的等边三角形，设直线l ：x=t （0≤t≤2）截这个三角形所得位于直线左侧的图形（阴影部分）的面积为f （t ），则函数s=f （t ）的图象只可能是（ ）A. B. C. D.7.如图，直线y= 12x+2与y轴交于点A，与直线y=﹣12x交于点B，以AB为边向右作菱形ABCD，点C恰与原点O重合，抛物线y=（x﹣h）2+k的顶点在直线y=﹣12x上移动．若抛物线与菱形的边AB、BC都有公共点，则h的取值范围是（）A. ﹣2 ≤ℎ≤12B. ﹣2≤h≤1 C. ﹣1 ≤ℎ≤32D. ﹣1 ≤ℎ≤128.如图，等边△ABC的边长为2cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AC向点C运动，到达点C停止；同时点Q从点A出发，以2cm/s的速度沿AB﹣BC向点C运动，到达点C停止，设△APQ的面积为y（cm2），运动时间为x（s），则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是（）A. B.C. D.9.如图，抛物线与x轴交于A(−2,0)，B(4,0)两点，点P(m,n)从点A出发，沿抛物线向点B匀速运动，到达点B停止，设运动时间为t秒，当t=3和t=9时，n的值相等．有下列结论：① t=6时，n的值最大；② t=10时，点P停止运动；③当t=5和t=7时，n的值不相等；④ t=4时，m=0．其中正确的是（）A. ①④B. ②④C. ①③D. ②③10.如图，P是菱形ABCD的对角线AC上一动点，过P作垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点，设AC＝2，BD＝1，AP＝x，则△AMN的面积为y，则y关于x的函数图象的大致形状是( )A. B. C. D.二、填空题11.如图，过点C（2，1）分别作x轴、y轴的平行线，交直线y=﹣x+4于B、A两点，若二次函数y=ax2+bx+c 的图象经过坐标原点O，且顶点在矩形ADBC内（包括边上），则a的取值范围是________．12.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），B（0，−2√3），C（4，0），其对称轴与x轴交于点D,若P为y轴上的一个动点，连接PD，则12PB+PD的最小值为 .13.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，BA=5，点D在边AC上的一动点，过点D作DE∥AB交边BC于点E，过点B作BF⊥BC交DE的延长线于点F，分别以DE，EF为对角线画矩形CDGE和矩形HEBF，则在D 从A到C的运动过程中，当矩形CDGE和矩形HEBF的面积和最小时，则EF的长度为 .14.如图，已知⊙P的半径为2，圆心P在抛物线y= 12x2﹣1上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为．15.如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于A、B两点，点A在点B左侧，顶点在折线M﹣P﹣N上移动，它们的坐标分别为M（﹣1，4）、P（3，4）、N（3，1）．若在抛物线移动过程中，点A横坐标的最小值为﹣3，则a﹣b+c的最小值是________．16.边长为2的正方形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点D是边OA的中点，连接CD，点E 在第一象限，且DE⊥DC，DE＝DC.以直线AB为对称轴的抛物线过C，E两点.点M为直线AB上一动点，点N为抛物线上一动点，当以点M，N，D，E为顶点的四边形是平行四边形时点N的坐标为________.17.如图，已知AB=6，P为线段AB上的一个动点，分别以AP、PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE．点P、C、E在一条直线上，∠DAP=60°，M，N别是对角线AC、BE的中点，当点P在线段AB上移动时，点M、N之间的距离最短为．18.如图，一段抛物线：y=−x2+2x(0≤x≤2)记为C1，它与x轴交于两点O，A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3；…如此进行下去，直至得到C6，若点P(11,m)在第6段抛物线C6上，则m=．三、解答题19.在平面直角坐标系xOy中，抛物线的解析式是y＝14x2＋1，点C的坐标为（－4，0），平行四边形OABC的顶点A，B在抛物线上，AB与y轴交于点M，已知点Q（x，y）在抛物线上，点P（t，0）在x轴上.（1）写出点M的坐标；（2）当四边形CMQP是以MQ，PC为腰的梯形时；①求t关于x的函数解析式和自变量x的取值范围；②当梯形CMQP的两底的长度之比为1∶2时，求t的值.20.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．点D、E、F分别是边AB，BC，AC的中点，连接DE，DF，动点P，Q分别从点A、B同时出发，运动速度均为1cm/s，点P沿AFD的方向运动到点D停止；点Q沿BC的方向运动，当点P停止运动时，点Q也停止运动．在运动过程中，过点Q作BC的垂线交AB 于点M，以点P，M，Q为顶点作平行四边形PMQN．设平行四边形边形PMQN与矩形FDEC重叠部分的面积为y（cm2）（这里规定线段是面积为0有几何图形），点P运动的时间为x（s）（1）当点P运动到点F时，求CQ的长度（2）在点P从点F运动到点D的过程中，某一时刻，点P落在MQ上，求此时BQ的长度；（3）当点P在线段FD上运动时，求y与x之间的函数关系式．21.已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x2）两点，与y轴交于点C，x1，x2是方程x2+4x﹣5=0的两根．（1）若抛物线的顶点为D，求S△ABC：S△ACD的值；（2）若∠ADC=90°，求二次函数的解析式．22.已知抛物线y=x2−2x−5与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C．4（1）点A的坐标为；点C的坐标为；（2）在y轴的正半轴上是否存在点P，使以点P，O，A为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．x2+bx+c（b,c是常数,且c＜0）与x轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧）, 23.如图,抛物线y=12与y轴的负半轴交于点C,点A的坐标为(－1,0)．（1）请直接写出点OA的长度;（2）若常数b,c满足关系式：bc=3．求抛物线的解析式．（3）在（2）的条件下,点P是x轴下方抛物线上的动点,连接PB、PC．设△PBC的面积为S．①求S的取值范围;②若△PBC的面积S为整数,则这样的△PBC共有多少个（直接写出结果）？24.如图,等边△ABC的边长为4,E是边BC上的动点,EH⊥AC于H,过E作EF∥AC,交线段AB于点F,在线段AC 上取点P,使PE＝EB．设EC＝x（0＜x≤2）．（1）请直接写出图中与线段EF相等的两条线段（不再另外添加辅助线）；（2）Q是线段AC上的动点,当四边形EFPQ是平行四边形时,求平行四边形EFPQ的面积（用含x的代数式表示）；（3）当（2）中的平行四边形EFPQ面积最大值时,以E为圆心,r为半径作圆,根据⊙E与此时平行四边形EFPQ四条边交点的总个数,求相应的r的取值范围．25.如图，在直角梯形ABCD中，∠D=∠BCD=90°，∠B=60°，AB = 6，AD = 9，点E是CD上的一个动点（E 不与D重合），过点E作EF∥AC，交AD于点F（当E运动到C时，EF与AC重合），把△DEF沿着EF对折，点D的对应点是点G,如图①．⑴求CD的长及∠1的度数；⑵设DE = x，△GEF与梯形ABCD重叠部分的面积为y．求y与x之间的函数关系式，并求x为何值时，y 的值最大?最大值是多少?⑶当点G刚好落在线段BC上时,如图②,若此时将所得到的△EFG沿直线CB向左平移，速度为每秒1个单位，当E点移动到线段AB上时运动停止.设平移时间为t（秒）,在平移过程中是否存在某一时刻t，使得△ABE为等腰三角形?若存在，请直接写出对应的t的值；若不存在，请说明理由.26.如图，抛物线y=－x+4x+5交x轴于A、B（以A左B右)两点，交y轴于点C.(1)求直线BC的解析式；(2)点P为抛物线第一象限函数图象上一点，设P点的横坐标为m，△PBC的面积为S，求S与m的函数关系式；(3)在(2)的条件下，连接AP，抛物线上是否存在这样的点P，使得线段PA被BC平分，如果不存在，请说明理由；如果存在，求点P的坐标.27.如图，抛物线y= 12x2+mx+n与直线y=﹣12x+3交于A，B两点，交x轴与D，C两点，连接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）.（1）求抛物线的解析式和tan∠BAC的值；（2）在（1）条件下：（Ⅰ）P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.（Ⅱ）设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EA以每秒√2个单位的速度运动到A后停止，当点E的坐标是多少时，点M 在整个运动中用时最少？28.如图1,在平面直角坐标系中,有一矩形ABCD,其三个顶点的坐标分别为A（2,0）、B（8,0）、C（8,3）．将直线l:y＝－3x－3以每秒3个单位的速度向右运动,设运动时间为t秒．（1）当t＝_________时,直线l经过点A．（直接填写答案）（2）设直线l扫过矩形ABCD的面积为S,试求S＞0时S与t的函数关系式．（3）在第一象限有一半径为3、且与两坐标轴恰好都相切的⊙M,在直线l出发的同时,⊙M以每秒2个单位的速度向右运动,如图2所示,则当t为何值时,直线l与⊙M相切？答案解析部分一、单选题1.【答案】C【考点】二次函数-动态几何问题【解析】【解答】解：A、当x=0时，y=3，不经过原点，故本选项错误；B、反比例函数，不经过原点，故本选项错误；C、当x=0时，y=0，经过原点，故本选项正确；D、当x=0时，y=﹣7，不经过原点，故本选项错误；故选C．【分析】将（0，0）代入各选项进行判断即可．2.【答案】A【考点】二次函数-动态几何问题【解析】【解答】解：∵直角边长为1的等腰直角三角形与边长为2的正方形在同一水平线上，三角形沿水平线从左向右匀速穿过正方形．设穿过时间为t，正方形与三角形不重合部分的面积为s，∴s关于t的函数大致图象应为：三角形进入正方形以前s增大，当0≤t≤ √2时，s= 12×1×1+2×2﹣12×t2= 92﹣12t2；当√2＜t≤2时，s= 22−12×12= 72；当2＜t≤3时，s= 92﹣12（3﹣t）2= −12t2﹣3t，∴A符合要求，故选A．【分析】根据直角边长为1的等腰直角三角形与边长为2的正方形在同一水平线上，三角形沿水平线从左向右匀速穿过正方形可知，当0≤t≤ √2时，以及当√2＜t≤2时，当2＜t≤3时，求出函数关系式，即可得出答案．此题主要考查了函数图象中动点问题，根据移动路线以及图形边长即可得出函数关系式情况是解决问题的关键．3.【答案】D【考点】二次函数-动态几何问题【解析】【解答】解：A、一次函数，错误；B、原函数可化为：y=﹣4x+4，一次函数，错误；C、不是整式，错误；D、原函数可化为：y=2x2+2x，正确．故选D．【分析】整理成一般形式，根据二次函数的定义解答即可．4.【答案】A【考点】二次函数-动态几何问题【解析】【解答】解：A、符合二次函数的一般形式，是二次函数，正确；B、是一次函数，错误；C、是反比例函数，错误；D、自变量x在分母中，不是二次函数，错误．故选A．【分析】利用二次函数定义就可以解答5.【答案】A【考点】二次函数-动态几何问题【解析】【解答】解：A、是二次函数，故正确；B、是一次函数，故错误；C、是一次函数，故错误；D、是反比例函数，故错误．故选A．【分析】根据二次函数的一般形式进行判断．6.【答案】C【考点】二次函数-动态几何问题【解析】【分析】①∵l∥y轴，△AOB为等边三角形，∴∠OCB=30°，∴OD=t，CD=√3t；∴S△OCD=1×OD×CD2=√3t2（0≤t≤1)，2t2（0≤t≤1)．即S=√32故S与t之间的函数关系的图象应为定义域为[0，1]、开口向上的二次函数图象；②∵l∥y轴，△AOB为等边三角形∴∠CBD=30°，∴BD=2﹣t，CD=√3（2﹣t)；∴S△BCD=12×BD×CD=√32（2﹣t)2（0≤t≤1)，即S=√3﹣√32（2﹣t)2（0≤t≤1)．故S与t之间的函数关系的图象应为定义域为[1，2]、开口向下的二次函数图象；故选C．【点评】本题主要考查的是二次函数解析式的求法及二次函数的图象特征。
中考数学难题突破专题：二次函数为背景的动态问题有答案
中考数学难题突破专题：二次函数为背景的动态问题以函数为背景的动态问题是近年来中考的一个热点问题，动态包括点动、线动和面动三大类，解这类题目要“以静制动”，即把动态问题变为静态问题来解．类型1 动态下的面积最值问题例题1、如图1，抛物线y＝12x2－32x－9与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连结BC，A C.(1)求AB和OC的长；(2)点E从点A出发，沿x轴向点B运动(点E与点A，B不重合)，过点E作直线l平行于BC，交AC于点D.设AE的长为m，△CDE的面积为S，求S关于m的函数表达式，并写出△CDE 面积的最大值．例题分层分析(1)已知抛物线的函数表达式，当x＝0时，可确定C点坐标；当y＝0时，可确定点A，B 的坐标，进而确定AB，OC的长．(2)①首先用m列出△AEC的面积表达式为__________；②再根据直线l∥BC，可得出△AED与△ABC相似，它们的面积比等于相似比的平方，由此得到△AED的面积表达式为__________；③△AEC与△AED的面积差即为△CDE的面积，则△CDE的面积S＝________，根据二次函数的性质可得到S的最大值．1解题方法点析解此类问题的关键在于通过三角形相似、三角形面积公式以及面积转化等方法求出所求图形的面积表达式，然后根据函数性质求最值．类型2 二次函数与几何图形综合型动态问题例题2、如图2所示，在平面直角坐标系中，已知点A (0，2)，B (－2，0)，过点B 和线段OA 的中点C 作直线BC ，以线段BC 为边向上作正方形BCDE .(1)填空：点D 的坐标为________，点E 的坐标为________；(2)若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)经过A ，D ，E 三点，求该抛物线的函数表达式； (3)若正方形和抛物线均以每秒5个单位长度的速度沿射线BC 同时向上平移，直至正方形的顶点E 落在y 轴上时，正方形和抛物线均停止运动．①在运动过程中，设正方形落在y 轴右侧部分的面积为S ，求S 关于平移时间t (秒)的函数表达式，并写出相应自变量t 的取值范围；②运动停止时，求抛物线的顶点坐标．图2例题分层分析(1)构造全等三角形，由全等三角形对应线段之间的相等关系，求出点D ，E 的坐标． (2)利用________法求出抛物线的函数表达式．(3)①为求S 的函数表达式，需要识别正方形(与抛物线)的运动过程．正方形的平移，从开始到结束，总共历时32秒，期间可以划分成三个阶段：当0＜t ≤12时，当________时，当________时，每个阶段的函数表达式不同，请对照图形认真思考；②当运动停止时，点E 到达________，点E (－3，2)运动到点E ′⎝ ⎛⎭⎪⎫0，72，可知整条抛物线向右平移了________个单位长度，向上平移了________个单位长度．由此得到平移之后的抛物线的函数表达式，进而求出其顶点坐标．专 题 训 练1．[丽水] 如图3①，在△ABC中，∠A＝30°，点P从点A出发以2 cm/s的速度沿折线A－C－B运动，点Q从点A出发以a(cm/s)的速度沿AB运动．P，Q两点同时出发，当某一点运动到点B时，两点同时停止运动．设运动时间为x(s)，△APQ的面积为y(cm2)，y关于x 的函数图象由C1，C2两段组成，如图②所示．(1)求a的值；(2)求图②中图象C2段的函数表达式；(3)当点P运动到线段BC上某一段时△APQ的面积大于当点P在线段AC上任意一点时△APQ的面积，求x的取值范围．图32．[广安] 如图4，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与y轴相交于点A(0，3)，与x轴正半轴相交于点B，对称轴是直线x＝1.(1)求此抛物线的解析式以及点B的坐标．(2)动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，同时动点N从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿y轴正方向运动，当N点到达A点时，M，N同时停止运动．过动点M作x轴的垂线交线段AB于点Q，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．①当t为何值时，四边形OMPN为矩形？②当t>0时，△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．图4 3．[金华] 如图5①，在平面直角坐标系中，四边形OABC各顶点的坐标分别为O(0，0)，A (3，3 3)，B (9，5 3)，C (14，0)，动点P 与Q 同时从O 点出发，运动时间为t 秒，点P 沿OC 方向以1单位长度/秒的速度向点C 运动，点Q 沿折线OA —AB —BC 运动，在OA ，AB ，BC 上运动的速度分别为3，3，52(单位长度/秒)．当P ，Q 中的一点到达C 点时，两点同时停止运动．(1)求AB 所在直线的函数表达式；(2)如图②，当点Q 在AB 上运动时，求△CPQ 的面积S 关于t 的函数表达式及S 的最大值； (3)在P ，Q 的运动过程中，若线段PQ 的垂直平分线经过四边形OABC 的顶点，求相应的t 值．图5参考答案类型1 动态下的面积最值问题例1 【例题分层分析】(2)①S△ACE＝92m②S△ADE＝12m2③92m－12m2解：(1)已知抛物线的函数表达式为y＝12x2－32x－9，当x＝0时，y＝－9，则C(0，－9)；当y＝0时，12x2－32x－9＝0，得x1＝－3，x2＝6，则A(－3，0)，B(6，0)，∴AB＝9，OC＝9.(2)∵ED∥BC，∴△AED∽△ABC，∴S△AED S△ABC ＝⎝⎛⎭⎪⎫AEAB2，∴S△AED12×9×9＝⎝⎛⎭⎪⎫m92，∴S△ADE＝12m2.∵S△ACE＝12AE·OC＝12m×9＝92m，∴S＝S△ACE－S△ADE＝92m－12m2，∴当m＝92时，S取得最大值，最大值为818.类型2 二次函数与几何图形综合型动态问题例2 【例题分层分析】(2)待定系数(3)①12＜t≤11＜t≤32②y轴 332解：(1)由题意可知：OB＝2，OC＝1.如图所示，过点D作DH⊥y轴于点H，过点E作EG⊥x轴于点G.易证△CDH ≌△BCO ，∴DH ＝OC ＝1，CH ＝OB ＝2，∴D (－1，3)． 同理△EBG ≌△BCO ，∴BG ＝OC ＝1，EG ＝OB ＝2，∴E (－3，2)． ∴D (－1，3)，E (－3，2)．(2)因为抛物线经过点A (0，2)，D (－1，3)，E (－3，2)，所以⎩⎨⎧c ＝2，a －b ＋c ＝3，9a －3b ＋c ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－32，c ＝2，∴抛物线的函数表达式为y ＝－12x 2－32x ＋2.(3)①当点D 运动到y 轴上时，t ＝12.当0＜t ≤12时，如图(a )所示．设D ′C ′交y 轴于点F ，∵tan ∠BCO ＝OBOC ＝2，又∠BCO ＝∠FCC ′，∴tan ∠FCC ′＝2，即FC′CC′＝2.∵CC ′＝5t ， ∴FC ′＝2 5t ，∴S △C C ′F ＝12CC ′·FC ′＝12×5t ×2 5t ＝5t 2.当点B 运动到点C 时，t ＝1. 当12＜t ≤1时，如图(b )所示． 设D ′E ′交y 轴于点G ，过点G 作GH ⊥B ′C ′于点H .在Rt △BOC 中，BC ＝22＋12＝5， ∴GH ＝5，∴CH ＝12GH ＝52.∵CC ′＝5t ，∴HC ′＝5t －52， ∴GD ′＝5t －52， ∴S 梯形C C ′D ′G ＝12(5t －52＋5t )×5＝5t －54.当点E 运动到y 轴上时，t ＝32.当1＜t ≤32时，如图(c )所示．设D ′E ′，E ′B ′分别交y 轴于点M ，N ， ∵CC ′＝5t ，B ′C ′＝5， ∴CB ′＝5t －5，∴B ′N ＝2CB ′＝2 5t －2 5. ∵B ′E ′＝5，∴E ′N ＝B ′E ′－B ′N ＝3 5－2 5t ， ∴E ′M ＝12E ′N ＝12(3 5－2 5t )，∴S △MNE ′＝12×12(3 5－2 5t )·(3 5－2 5t )＝5t 2－15t ＋454，∴S 五边形B ′C ′D ′MN ＝S 正方形B ′C ′D ′E ′－S △MNE ′＝(5)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫5t 2－15t ＋454＝－5t 2＋15t －254.综上所述，S 关于t 的函数关系式为： 当0＜t ≤12时，S ＝5t 2；当12＜t ≤1时，S ＝5t －54； 当1＜t ≤32时，S ＝－5t 2＋15t －254.②当点E 运动到点E ′时，运动停止，如图(d )所示． ∵∠CB ′E ′＝∠BOC ＝90°，∠BCO ＝∠B ′CE ′， ∴△BOC ∽△E ′B ′C ， ∴OB B′E′＝BCE′C. ∵OB ＝2，B ′E ′＝BC ＝5， ∴25＝5E′C，∴CE ′＝52，∴OE ′＝OC ＋CE ′＝1＋52＝72，∴E ′⎝⎛⎭⎪⎫0，72.由点E (－3，2)运动到点E ′⎝ ⎛⎭⎪⎫0，72，可知整条抛物线向右平移了3个单位长度，向上平移了32个单位长度．∵y ＝－12x 2－32x ＋2＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＋258，∴原抛物线的顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，258，∴运动停止时，抛物线的顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，378.专题训练1．解：(1)如图①，过点P 作PD ⊥AB 于点D .∵∠A ＝30°，PA ＝2x ， ∴PD ＝PA ·sin30°＝2x ·12＝x ，∴y ＝12AQ ·PD ＝12ax ·x ＝12ax 2.由图象得，当x ＝1时，y ＝12，则12a ·12＝12，∴a ＝1.(2)当点P 在BC 上时(如图②)，PB ＝5×2－2x ＝10－2x ，∴PD ＝PB ·sin B ＝(10－2x )·sin B ．∴y ＝12AQ ·PD ＝12x ·(10－2x )·sin B ．由图象得，当x ＝4时，y ＝43，∴12×4×(10－8)sin B＝43，∴sin B ＝13， ∴y ＝12x ·(10－2x )·13＝－13x 2＋53x .(3)由C 1，C 2的函数表达式，得12x 2＝－13x 2＋53x ，解得x 1＝0(舍去)，x 2＝2.由图象得，当0≤x≤2时，函数y ＝12x 2的最大值为y ＝12×22＝2.将y ＝2代入函数y ＝－13x 2＋53x ，得2＝－13x 2＋53x ，解得x 1＝2，x 2＝3，∴由图象得，x 的取值范围是2＜x ＜3.2．解：(1)∵抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 与y 轴交于点A (0，3)，∴c ＝3. ∵对称轴是直线x ＝1，∴－b2×（－1）＝1，解得b ＝2，∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3. 令y ＝0，得－x 2＋2x ＋3＝0，解得x 1＝3，x 2＝－1(不合题意，舍去)， ∴点B 的坐标为(3，0)．(2)①由题意得ON ＝3t ，OM ＝2t ，则点P (2t ，－4t 2＋4t ＋3)， ∵四边形OMPN 为矩形，∴PM ＝ON ，即－4t 2＋4t ＋3＝3t ， 解得t 1＝1，t 2＝－34(不合题意，舍去)，∴当t ＝1秒时，四边形OMPN 为矩形．②能，在Rt △AOB 中，OA ＝3，OB ＝3，∴∠ABO ＝45°.若△BOQ 为等腰三角形，则有三种情况：若OQ ＝BQ ，如图①所示，则M 为OB 中点，OM ＝12OB ＝32， ∴t ＝32÷2＝34(秒)； 若OQ ＝OB ，∵OA ＝3，OB ＝3，∴点Q 与点A 重合，即t ＝0(不合题意，舍去)；若OB ＝BQ ，如图②所示，则BQ ＝3，∴BM ＝BQ ·cos45°＝3×22＝3 22， ∴OM ＝OB －BM ＝3－3 22＝6－3 22， ∴t ＝6－3 22÷2＝6－3 24(秒)． 综上所述，当t 为34秒或6－3 24秒时，△BOQ 为等腰三角形．3．解：(1)设AB 所在直线的函数表达式为y ＝kx ＋b ，把A (3，3 3)，B (9，5 3)代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧3k ＋b ＝3 3，9k ＋b ＝5 3，解得⎩⎨⎧k ＝33，b ＝2 3.∴AB 所在直线的函数表达式为y ＝33x ＋2 3. (2)由题意知，OP ＝t ，PC ＝14－t ，△PCQ 中PC 边上的高为32t ＋2 3， ∴S ＝12(14－t )(32t ＋2 3)＝－34t 2＋5 32t ＋14 3(2≤t ≤6)．∴当t ＝5时，S 有最大值为81 34. (3)①当0<t ≤2时，线段PQ 的中垂线经过点C (如图①)，连结QC ，可得方程 (3 32t )2＋(14－32t )2＝(14－t )2， 解得t 1＝74，t 2＝0(舍去)，此时t ＝74.②当2<t ≤6时，线段PQ 的中垂线经过点A (如图②)，连结AP ，可得方程(3 3)2＋(t －3)2＝[3(t －2)]2，解得t 1＝3＋572，t 2＝3－572(舍去)，此时t ＝3＋572.③当6<t ≤10时，Ⅰ.线段PQ 的中垂线经过点C (如图③)，可得方程14－t ＝25－52t ，解得t ＝223.Ⅱ.线段PQ 的中垂线经过点B (如图④)，连结PB ，可得方程(5 3)2＋(t －9)2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤52（t －6）2， 解得t 1＝38＋20 27，t 2＝38－20 27(舍去)，此时t ＝38＋20 27.综上所述，t 的值为74，3＋572，223，38＋20 27.。
二次函数江苏版含解析答案(word版,含答案)
二次函数的图像与性质考点3年考频 常考题型分析二次函数的图像和性质★★★选择、填空、解答三种题型均会出现，其中以选择题、填空题的形式出现时，直接运用性质即可解答，以解答题的形式出现时，需要计算与推理.确定二次函数的表达式★★以填空题的形式出现时，一般根据函数的定义和性质解答，在解答题中一般用待定系数法求解. 抛物线与一元二次方程的关系★★以选择题、填空题的形式出现时，直接运用概念即可解答，以解答题的形式出现时，需要计算与推理.梳理·考点清单 / KAO DIAN QING DAN考点一 二次函数的图像和性质一般地，形如y ＝ax 2＋bx ＋c （a ，b ，c 是常数，且a A 1）的函数叫做二次函数，其中，x 是自变量，a ，b ，c 分别是二次项系数、一次项系数和常数项.1. 顶点与对称轴：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图像的顶点坐标是 A 2，对称轴是经过点 A 3且与y 轴平行的直线.2. y ＝ax 2＋bx ＋c 的系数a ，b ，c 和图像之间的关系： （1）二次项系数a 确定抛物线的开口方向：当a ＞0时，抛物线开口 A 4；当a ＜0时，抛物线开口 A 5，反过来也成立.（2）常数项c 确定抛物线与y 轴交点的位置：当c ＝0时，抛物线经过 A 6；当c ＞0时，抛物线与y 轴正半轴相交；当c ＜0时，抛物线与y 轴负半轴相交，反过来也成立. （3）确定抛物线对称轴的位置：当a ，b 同号时，抛物线的对称轴在y 轴左侧；当a ，b 异号时，抛物线的对称轴在y 轴右侧；当b ＝0时，抛物线的对称轴就是 A 7，反过来也成立.3. 增减性与最值：（1）a ＞0时：①当x ＜－b2a 时，y 随x 的增大而减小；当x ＞－b 2a 时，y 随x 的增大而增大.②抛物线有最低点，当x ＝－b 2a 时，y 有最 A 8值，y 最小值＝4ac －b 24a.（2）a ＜0时：①当x ＜－b2a 时，y 随x 的增大而增大；当x ＞－b 2a 时，y 随x 的增大而减小.②抛物线有最高点，当x ＝－b 2a 时，y 有最 A 9值，y 最大值＝4ac －b 24a.【拓展】二次函数图像平移的变化规律（1）上、下平移：当抛物线y ＝a （x －h ）2＋k 向上（或向下）平移m （m ＞0）个单位后，所得的抛物线的表达式为 A 10（或 A 11）.（2）左、右平移：当抛物线y ＝a （x －h ）2＋k 向左（或向右）平移n （n ＞0）个单位后，所得的抛物线的表达式为 A 12（或 A 13）.考点二 确定二次函数的表达式1. 二次函数的表达式有三种：（1）一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c （适用条件：一般仅已知三点坐标）.（2）顶点式：y ＝a （x －m ）2＋n ，其中（m ，n ）为顶点坐标（适用条件：一般已知顶点及另一个点坐标）.（3）交点式：y ＝a （x －x 1）（x －x 2），其中（x 1，0），（x 2，0）为抛物线与 A 14轴的交点（适用条件：一般已知抛物线与x 轴的两个交点坐标及另一个点的坐标）.2. 用待定系数法求函数表达式的步骤：（1）设出含有待定系数的表达式；（2）根据条件列出以待定系数为未知数的方程或方程组；（3）解方程（组），求出待定系数的值；（4）将求出的待定系数代入所设的表达式.考点三 抛物线与一元二次方程的关系抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的公共点的个数可以由对应的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的 A 15确定： （1）有两个公共点2－4ac ＞方程有A 16；（2）有一个公共点（顶点在x 轴上） 2－4ac ＝A 17； （3）没有公共点2－4ac ＜ A 18. 方程、不等式与二次函数的联系：已知y＝ax2＋bx＋c（a≠0）分类当y＝0时，得一元二次方程ax2＋bx＋c＝0当y＞0时，得一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0当y＜0时，得一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0图形抛物线与x轴的交点图像位于x轴的上方图像位于x轴的下方解集方程的根不等式的解集不等式的解集当b2－4ac＞0时，抛物线与x轴A19图像数形结合方程的两个根是抛物线与x轴的交点的横坐标，即：x1，2＝A20不等式的解集是抛物线位于x轴上方的自变量的取值范围，即：当a＞0时，x＜x1或x＞x2；当a＜0时，A21不等式的解集是抛物线位于x轴下方的自变量的取值范围，即：当a＞0时，x1＜x＜x2；当a＜0时，A22当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴A23图像数形结合方程的根是抛物线与x轴的交点的横坐标，即：x1＝x2＝A24不等式的解集是抛物线位于x轴上方的自变量的取值范围，即：当a＞0时，x≠－b2a；当a＜0时，无解不等式的解集是抛物线位于x轴下方的自变量的取值范围，即：当a＞0时，无解；当a＜0时，x≠－b2a当b2－4ac＜0时，抛物线与x轴A25图像数形结合方程无解当a＞0时，x取一切实数；当a＜0时，无解当a＞0时，无解；当a＜0时，x取一切实数突破·重点难点/ ZHONG DIAN NAN DIAN突破一同一坐标系下二次函数与其他函数图像的共存问题在同一平面直角坐标系中，函数y＝mx＋m和函数y＝－mx2＋2x＋2（m是常数，且m≠0）的图像可能是（）【点评】本题是对直线和二次函数图像形状及位置的判别，对m的值进行分类讨论，根据m的不同取值范围，利用一次函数图像的性质，结合二次函数图像的开口方向、对称轴或图像经过的特殊点对选项进行逐一判断.突破二 二次函数的图像的平移（2018·淮安模拟）在平面直角坐标系中，将表达式为y＝2x 2的图像沿着x 轴方向向左平移4个单位，再沿着y 轴方向向下平移3个单位，此时图像的表达式为 . 【思路点拨】 抛物线平移与其表达式的变化规律可以概括为：左加右减，上加下减.左右平移表达式变化在二次项内部（括号内部），上下平移表达式变化在二次项外部（括号外部），根据该规律可得到平移后的函数表达式.突破三 二次函数的图像特征与系数的关系的应用（2018·毕节）已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图像如图所示，下列结论：①abc ＞0；②2a ＋b ＞0；③b 2－4ac ＞0；④a －b ＋c ＞0.其中正确的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【思路点拨】 由抛物线的对称轴的位置判断ab 的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所给结论进行判断.【点评】 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 系数的符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y 轴的交点、抛物线与x 轴交点的个数确定.已知二次函数y ＝（m －1）x 2＋（m －3）x －2（m 为常数，且m ≠1）.（1）求证：不论m 为何值，该函数的图像与x 轴总有交点； （2）当函数图像的对称轴为直线x ＝1时，把抛物线向上平移，使得顶点落在x 轴上，求此时抛物线与y 轴的交点； （3）在（2）的情况下，直接写出两条抛物线、对称轴和y 轴围成的图形的面积.【思路点拨】 （1）二次函数的图像与x 轴的交点问题可以转化为一元二次方程的根的问题；（2）利用配方法求出抛物线顶点坐标，转化为顶点平移问题；（3）利用平移的性质，将围成的图形面积转化成四边形的面积.【点评】抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）与x 轴的交点和一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根之间的关系：b 2－4ac 决定抛物线与x 轴的交点个数. b 2－4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；b 2－4ac ＝0时，抛物线与x 轴有1个交点；b 2－4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点.突破四 二次函数与几何图形的综合运用如图，直线y ＝－3x ＋3与x 轴、y 轴分别交于点A ，B.抛物线y ＝a （x －2）2＋k 经过点A ，B ，并与x 轴交于另一点C ，其顶点为P.（1）求a ，k 的值.（2）在图中求一点Q ，使以Q ，A ，B ，C 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出相应的点Q 的坐标.（3）抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使△ABM 的周长最小？若存在，求△ABM 的周长；若不存在，请说明理由. （4）抛物线的对称轴上是否存在一点N ，使△ABN 是以AB 为斜边的直角三角形？若存在，求出N 点的坐标；若不存在，请说明理由.【思路点拨】 （1）由条件可先求得A ，B 两点的坐标，代入抛物线表达式可求得a ，k 的值；（2）过点B 作平行于x 轴的直线，在B 点两侧分别截取线段BQ 1＝BQ 2＝AC ；过点C 作平行于AB 的直线，在C 点两侧分别截取CQ 3＝CQ 4＝AB.则Q 1，Q 2，Q 3，Q 4四点到x 轴的距离都等于B 点到x 轴的距离，可分别求得满足条件的Q 点的坐标；（3）连接BC 交对称轴于点M ，根据“将军饮马”模型，可知点M 即为所求；（4）可设N 点坐标为（2，n ），可分别表示出AB 2，AN 2，BN 2，由勾股定理可得到关于n 的方程，可求得N 点的坐标.（2016·新疆）如图，对称轴为直线x ＝72的抛物线经过点A （6，0）和B （0，－4）. （1）求抛物线表达式及顶点坐标；（2）设点E （x ，y ）是抛物线上一动点，且位于第一象限，四边形OEAF 是以OA 为对角线的平行四边形，求平行四边形OEAF 的面积S 与x 之间的函数关系式；（3）当（2）中的平行四边形OEAF 的面积为24时，请判断平行四边形OEAF 是否为菱形.【思路点拨】（1）根据对称轴、A，B两点的坐标，可得方程组，解方程组可得表达式中的系数和常数项，配方成顶点式可得顶点坐标；（2）根据平行四边形的性质，S＝S△AEO＋S△AFO＝2S△AEO，求出点E的纵坐标，易求关系式；（3）根据（2）中的关系式，可得面积为24时，E点的坐标，根据菱形的判定，可得答案.分类练习考点一二次函数的图像和性质1. （2017·连云港）已知抛物线y＝ax2（a＞0），过A（－2，y1），B（1，y2）两点，则下列关系式一定正确的是（）A. y1＞0＞y2B. y2＞0＞y1C. y1＞y2＞0D. y2＞y1＞02. （2015·常州）已知二次函数y＝x2＋（m－1）x＋1，当x＞1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（）A. m＝－1B. m＝3C. m≤－1D. m≥－13. （2017·宿迁）将抛物线y＝x2向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线相应的函数表达式是（）A. y＝（x＋2）2＋1B. y＝（x＋2）2－1C. y＝（x－2）2＋1D. y＝（x－2）2－14. （2017·盐城）如图，将函数y＝12（x－2）2＋1的图像沿y轴向上平移得到一条新函数的图像，其中点A（1，m），B（4，n）平移后的对应点分别为点A′，B′.若曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图像的函数表达式是（）A. y＝12（x－2）2－2B. y＝12（x－2）2＋7C. y＝12（x－2）2－5D. y＝12（x－2）2＋45. （2017·扬州）如图，已知△ABC的顶点坐标分别为A（0，2），B（1，0），C（2，1），若二次函数y＝x2＋bx＋1的图像与阴影部分（含边界）一定有公共点，则实数b的取值范围是（）A. b≤－2 B. b＜－2C. b≥－2D. b＞－26. （2017·宿迁）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6 cm，BC＝2 cm，点P在边AC上，从点A向点C移动，点Q在边CB上，从点C向点B移动.若点P，Q均以1 cm/s的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接PQ，则线段PQ的最小值是（）A. 20 cmB. 18 cmC. 2 5 cmD. 3 2 cm7. （2018·淮安）将二次函数y＝x2－1的图像向上平移3个单位长度，得到的图像所对应的函数表达式是.8. （2016·镇江）a，b，c是实数，点A（a＋1，b），B（a＋2，c）在二次函数y＝x2－2ax＋3的图像上，则b，c的大小关系是b c.（用“＞”或“＜”填空）9. （2016·泰州）二次函数y＝x2－2x－3的图像如图所示，若线段AB在x轴上，且AB为23个单位长度，以AB为边作等边△ABC，使点C落在该函数y轴右侧的图像上，则点C的坐标为.10. （2018·宁波）已知抛物线y＝－12x2＋bx＋c经过点（1，0），()0，32.（1）求该抛物线的函数表达式；（2）将抛物线y＝－12x2＋bx＋c平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式.11. （2018·南通）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2－2（k－1）x＋k2－52k（k为常数）.（1）若抛物线经过点（1，k2），求k的值；（2）若抛物线经过点（2k，y1）和点（2，y2），且y1＞y2，求k 的取值范围；（3）若将抛物线向右平移1个单位长度得到新抛物线，当1≤x ≤2时，新抛物线对应的函数有最小值－32，求k 的值考点二 确定二次函数的表达式12. （2018·宿迁）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝（x －a ）（x －3）的图像与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点D ，过其顶点C 作直线CP ⊥x 轴，垂足为点P ，连接AD ，BC.（1）求点A ，B ，D 的坐标；（2）若△AOD 与△BPC 相似，求a 的值；（3）点D ，O ，C ，B 能否在同一个圆上？若能，求出a 的值；若不能，请说明理由.13. （2018·盐城）如图①，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3经过点A （－1，0），B （3，0）两点，且与y 轴交于点C.（1）求抛物线的表达式；（2）如图②，用宽为4个单位长度的直尺垂直于x 轴，并沿x 轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P ，Q 两点（点P 在点Q 的左侧），连接PQ ，在线段PQ 上方抛物线上有一动点D ，连接DP ，DQ.①若点P 的横坐标为－12，求△DPQ 面积的最大值，并求此时点D 的坐标；②直尺在平移过程中，△DPQ 面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由.14. （2018·镇江）如图，二次函数y ＝x 2－3x 的图像经过O （0，0），A （4，4），B （3，0）三点，以点O 为位似中心，在y 轴的右侧将△OAB 按相似比2∶1放大，得到△OA′B′，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图像经过O ，A′，B′三点.（1）画出△OA′B′，试求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的表达式；（2）点P （m ，n ）在二次函数y ＝x 2－3x 的图像上，m ≠0，直线OP 与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图像交于点Q （异于点O ）.①求点Q 的坐标；（横、纵坐标均用含m 的代数式表示） ②连接AP ，若2AP ＞OQ ，求m 的取值范围；③当点Q 在第一象限内时，过点Q 作QQ′平行于x 轴，与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图像交于另一点Q′，与二次函数y ＝x 2－3x 的图像交于点M ，N （M 在N 的左侧），直线OQ′与二次函数y ＝x 2－3x 的图像交于点P′.△Q′P′M △QB′N ，则线段NQ 的长度等于.考点三 抛物线与一元二次方程的关系15. （2017·徐州）若函数y ＝x 2－2x ＋b 的图像与坐标轴有三个交点，则b 的取值范围是（ ） A. b ＜1且b ≠0 B. b ＞1 C. 0＜b ＜1 D. b ＜116. （2016·宿迁）若二次函数y ＝ax 2－2ax ＋c 的图像经过点（－1，0），则方程ax 2－2ax ＋c ＝0的解为（ ） A. x 1＝－3，x 2＝－1 B. x 1＝1，x 2＝3 C. x 1＝－1，x 2＝3 D. x 1＝－3，x 2＝117. （2017·苏州）若二次函数y ＝ax 2＋1的图像经过点（－2，0），则关于x 的方程a （x －2）2＋1＝0的实数根为（ ） A. x 1＝0，x 2＝4 B. x 1＝－2，x 2＝6 C. x 1＝32，x 2＝52D. x 1＝－4，x 2＝018. （2017·镇江）若二次函数y ＝x 2－4x ＋n 的图像与x 轴只有一个公共点，则实数n ＝ .19. （2018·南京）已知二次函数y＝2（x－1）（x－m－3）（m 为常数）.（1）求证：不论m为何值，该函数的图像与x轴总有公共点；（2）当m取什么值时，该函数的图像与y轴的交点在x轴的上方？20. （2017·南京）已知函数y＝－x2＋（m－1）x＋m（m为常数）. （1）该函数的图像与x轴公共点的个数是.A. 0B. 1C. 2D. 1或2（2）求证：不论m为何值，该函数的图像的顶点都在函数y ＝（x＋1）2的图像上；（3）当－2≤m≤3时，求该函数的图像的顶点纵坐标的取值范围.二次函数的应用解读·考试说明/ KAO SHI SHUO MING考点3年考频常考题型分析二次函数的实际应用★★★多以解答题的形式出现，常与方程、不等式结合考查，综合性较强，难度稍大. 梳理·考点清单/ KAO DIAN QING DAN考点二次函数的实际应用1. 最大利润问题用二次函数解答的利润问题，涉及的主要关系式为“总利润＝每件利润×销售量”，根据该关系式列出二次函数的表达式，然后结合实际意义求解.2. 拱桥问题关于拱桥问题，常用下面两种方法建立直角坐标系解答：一是以拱桥的跨度所在直线作为x轴，拱高所在直线作为y轴（如图①）；二是以拱桥顶点作为坐标原点（如图②）. 3. 抛物线高度问题把二次函数化为y＝a（x－h）2＋k的形式，一般地，顶点纵坐标的值就是物体能够达到的最大高度.如果根据实际意义顶点的横坐标x＝h不在自变量的取值范围内，还需要根据实际意义结合图像确定物体的最大高度.4. 与几何图形有关的最大面积问题如果几何图形面积涉及两个变量，并且两个变量都可以用含有同一个未知数的式子表示，那么面积可以表示为这个未知数的二次函数，把所得函数表达式化为y＝a（x－h）2＋k的形式，并结合具体情境中自变量的取值进行求解.5. 以抛物线为载体判断图形形状和存在性问题这类问题涉及抛物线的内容主要是计算顶点坐标和抛物线与坐标轴或其他图形的交点坐标.解答这类问题，需要对所涉及的数学知识全面掌握.突破·重点难点/ ZHONG DIAN NAN DIAN突破一利用二次函数求最大利润九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销量的相关信息如下表：已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y 元.（1）求出y与x的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4 800元？请直接写出结果.【思路点拨】（1）根据（售价－进价）×销量＝利润，可得答案；（2）根据分段函数的性质，可分别得出最大值，根据有理数的大小比较，可得答案；（3）根据二次函数值大于或等于4 800，一次函数值大于或等于4 800，可得不等式，解不等式组可得.突破二利用二次函数求最大面积为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为80 m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等.设BC 的长度为x m，矩形区域ABCD的面积为y m2.（1）求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；（2）x为何值时，y有最大值？最大值是多少？【思路点拨】 （1）根据三个矩形面积相等，得到矩形AEFD 的面积是矩形BCFE 面积的2倍，可得出AE ＝2BE ，设BE ＝a ，则AE ＝2a ，从而AB ＝3a ，根据围网的总长是80 m ，可得2a ＋2×3a ＋2x ＝80，解得a ＝－14x ＋10，则3a ＝－34x ＋30，进而表示出y 与x 的关系式，并求出x 的范围即可；（2）利用二次函数的性质求出y 的最大值，以及此时x 的值即可.突破三 利用二次函数解决抛物线问题（2018·衢州）某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合.如图所示，以水平方向为x 轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系.（1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；（2）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？（3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度. 【解答】【思路点拨】 （1）由题意知，抛物线的顶点为（3，5）且过（8，0），可先设二次函数的顶点式，再代入点（8，0）即可；（2）令y ＝1.8，求出符合题意的x 的值即可；（3）求出原抛物线与y 轴的交点坐标，由形状不变，可得二次函数表达式的二次项系数不变，直径扩大到32米，可知抛物线过点（16，0）.然后用待定系数法求出抛物线的表达式，再利用配方法将所求出的二次函数表达式变形为顶点式，即可确定水柱的最大高度.分类练习考点二次函数的应用1. （2018·连云港）已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式h＝－t2＋24t＋1.则下列说法中正确的是（）A. 点火后9 s和点火后13 s的升空高度相同B. 点火后24 s火箭落于地面C. 点火后10 s的升空高度为139 mD. 火箭升空的最大高度为145 m2. （2018·贺州）某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30，且x为整数）出售，可卖出（30－x）件，若使利润最大，则每件商品的售价应为元.3. （2016·扬州）某电商销售一款夏季时装，进价40元/件，售价110元/件，每天销售20件，每销售一件需缴纳电商平台推广费用a元（a＞0）.未来30天，这款时装将开展“每天降价1元”的夏令促销活动，即从第1天起每天的单价均比前一天降1元.通过市场调研发现，该时装单价每降1元，每天销量增加4件.在这30天内，要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t（t为正整数）的增大而增大，a的取值范围应为.4. （2018·绵阳）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽4 m，水面下降2 m，水面宽度增加m.5. （2018·淮安）某景区商店销售一种纪念品，每件的进货价为40元.经市场调研，当该纪念品每件的销售价为50元时，每天可销售200件；每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件.（1）当每件的销售价为52元时，该纪念品每天的销售数量为件；（2）当每件的销售价x为多少时，销售该纪念品每天获得的利润y最大？并求出最大利润.6. （2017·泰州）怡然美食店的A，B两种菜品，每份成本均为14元，售价分别为20元、18元，这两种菜品每天的营业额共为1 120元，总利润为280元.（1）该店每天卖出这两种菜品共多少份？（2）该店为了增加利润，准备降低A种菜品的售价，同时提高B种菜品的售价，售卖时发现，A种菜品售价每降低0.5元可多卖1份；B种菜品售价每提高0.5元就少卖1份，如果这两种菜品每天销售总份数不变，那么这两种菜品一天的总利润最多是多少？7. （2016·徐州）某宾馆拥有客房100间，经营中发现：每天入住的客房数y（间）与房价x（元）（180≤x≤300）满足一次函数关系，部分对应值如下表：x/元180 260 280 300y/间100 60 50 40（1）求y与x之间的函数表达式；（2）已知每间入住的客房，宾馆每日需支出各种费用100元；每间空置的客房，宾馆每日需支出各种费用60元.当房价为多少元时，宾馆当日利润最大？求出最大利润.（宾馆当日利润＝当日房费收入－当日支出）8. （2016·宿迁）某景点试开放期间，团队收费方案如下：不超过30人时，人均收费120元；超过30人且不超过m（30＜m≤100）人时，每增加1人，人均收费降低1元；超过m人时，人均收费都按照m人时的标准.设景点接待有x 名游客的某团队，收取总费用为y 元. （1）求y 关于x 的函数表达式；（2）景点工作人员发现：当接待某团队人数超过一定数量时，会出现随着人数的增加收取的总费用反而减少这一现象.为了让收取的总费用随着团队中人数的增加而增加，求m 的取值范围.9. （2016·南京）如图是抛物线形拱桥，P 处有一照明灯，水面OA 宽4 m ，从O ，A 两处观测P 处，仰角分别为α，β，且tan α＝12，tan β＝32，以O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立直角坐标系.（1）求点P 的坐标；（2）水面上升1 m ，水面宽多少？（2取1.41，结果精确到0.1 m ）10. （2017·扬州）农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量p （千克）与销售价格x （元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表：销售价格x/（元/千克） 30 35404550日销售量p/千克600 450 300 150 0（1）请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定p 与x 之间的函数表达式；（2）农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？（3）若农经公司每销售1千克这种农产品需支出a 元（a ＞0）的相关费用，当40≤x ≤45时，农经公司的日获利的最大值为2 430元，求a 的值.（日获利＝日销售利润－日支出费用）11. （2018·荆门）随着龙虾节的火热举办，某龙虾养殖大户为了发挥技术优势，一次性收购了10 000 kg 小龙虾，计划养殖一段时间后再出售.已知每天养殖龙虾的成本相同，放养10天的总成本为166 000元，放养30天的总成本为178 000元.设这批小龙虾放养t 天后的质量为a kg ，销售单价为y 元/kg ，根据往年的行情预测，a 与t 的函数关系为a ＝⎩⎨⎧10 000（0≤t ≤20），100t ＋8 000（20<t ≤50），y 与t 的函数关系如图所示.（1）设每天的养殖成本为m 元，收购成本为n 元，求m 与n 的值； （2）求y 与t 的函数关系式；（3）如果将这批小龙虾放养t 天后一次性出售所得利润为W 元.问该龙虾养殖大户将这批小龙虾放养多少天后一次性出售所得利润最大？最大利润是多少？（总成本＝放养总费用＋收购成本；利润＝销售总额－总成本）答案梳理·考点清单__/__KAO__DIAN__QING__DAN______ A1. ≠0A2. ⎝⎛⎭⎫－ b 2a，4ac －b 24aA3.()－ b 2a ，0(说明：填写(－b 2a ，4ac －b 24a)也可) A4. 向上 A5. 向下 A6. 原点 A7. y 轴 A8. 小A9. 大 A10. y ＝a(x －h)2＋k ＋m A11. y ＝a(x －h)2＋k －m A12. y ＝a(x －h ＋n)2＋k A13. y ＝a(x －h －n)2＋k A14. x A15. 根的判别式 A16. 两个不相等的实数根 A17. 方程有两个相等的实数根 A18. 方程没有实数根A19. 有两个交点 A20. －b±b 2－4ac2aA21. x 1＜x ＜x 2 A22. x ＜x 1或x ＞x 2 A23. 有一个交点 A24.－b2aA25. 没有交点 突破·重点难点__/__ZHONG__DIAN__NAN__DIAN____例1. D 解析：当m ＞0时，直线y ＝mx ＋m 的图像经过第一、二、三象限，二次函数图像开口方向向下，C 错误；当m ＜0时，直线y ＝mx ＋m 的图像经过第二、三、四象限，二次函数图像开口方向向上，且对称轴x ＝1m＜0，A ，B 错误，D 正确．例2. y ＝2(x ＋4)2－3例3. D 解析：①∵抛物线对称轴在y 轴的右侧，∴ab ＜0. ∵抛物线与y 轴交于负半轴，∴c ＜0，∴abc ＞0，故①正确；②∵a ＞0，x ＝－b2a＜1，∴－b ＜2a ，∴2a ＋b ＞0，故②正确；③∵抛物线与x 轴有两个交点，∴b 2－4ac ＞0，故③正确； ④当x ＝－1时，y ＞0，∴a －b ＋c ＞0，故④正确． 故选D.例4. (1)∵b 2－4ac ＝(m －3)2－4(m －1)×(－2)＝(m ＋1)2≥0， ∴不论m 为何值，该函数的图像与x 轴总有交点．(2)∵－b 2a ＝3－m 2（m －1） ＝1，解得m ＝53，∴y ＝23x 2－43x －2＝23(x －1)2－83.∴顶点M ()1，－83向上平移83个单位得Q(1，0).∴原抛物线与y 轴交点为N(0，－2)，平移后得P ()0，23.(3)如图，围成的图形面积利用平移可转化成四边形PQMN 的面积，∴两条抛物线、对称轴和y 轴围成的图形的面积为1×83＝83.例5. (1)在y ＝－3x ＋3中，令y ＝0，可求得x ＝1， 令x ＝0，可求得y ＝3，∴A (1，0)，B (0，3)．把A (1，0)，B (0，3)分别代入y ＝a (x －2)2＋k 中，得⎩⎨⎧a ＋k ＝0，4a ＋k ＝3，解得⎩⎨⎧a ＝1，k ＝－1.(2)由(1)可知抛物线的表达式为y ＝(x －2)2－1，令y ＝0，可求得x ＝1或x ＝3，∴C (3，0)，∴AC ＝3－1＝2，AB ＝10.过点B 作平行于x 轴的直线，在B 点两侧分别截取线段BQ 1＝BQ 2＝AC ＝2，如图①.∵B (0，3)，∴Q 1(－2，3)，Q2(2，3)．过点C作AB的平行线，在C点两侧分别截取线段CQ3＝CQ4＝AB＝10，如图②.∵B(0，3)，∴Q3，Q4到x轴的距离都等于B点到x轴的距离，即为3，且到直线x＝3的距离为1，∴Q3(2，3)，Q4(4，－3)．综上可知，满足条件的Q点的坐标为(－2，3)或(2，3)或(4，－3)．(3)存在．连接BC交对称轴于点M，连接MA，如图③.由于AB长度不变，则MA＋MB最小时，△MAB的周长最小．∵A，C两点关于对称轴直线x＝2对称，∴AM＝MC，∴BM＋AM＝BC时最小，△ABM的周长最小．设直线BC的表达式为y＝kx＋b.把B(0，3)，C(3，0)代入，得⎩⎨⎧b＝3，3k＋b＝0，解得⎩⎨⎧k＝－1，b＝3.∴直线BC的表达式为y＝－x＋3，当x＝2时，可得y＝1，∴M(2，1)，∴存在满足条件的点M(2，1)，使△ABM的周长最小，此时BM＋AM＝BC＝32，且AB＝10，∴△ABM的周长的最小值为32＋10.(4)存在．由题意可设N点的坐标为(2，n)，则NB2＝22＋(n－3)2＝n2－6n＋13，NA2＝(2－1)2＋n2＝1＋n2，且AB2＝10，当△ABN是以AB为斜边的直角三角形时，由勾股定理可得NB2＋NA2＝AB2，∴n2－6n＋13＋1＋n2＝10，解得n＝1或n＝2，即N点的坐标为(2，1)或(2，2)，综上可知，存在满足条件的N点，其坐标为(2，1)或(2，2)．例6. (1)设抛物线的表达式为y＝ax2＋bx＋c，∵对称轴为直线x＝72的抛物线经过点A(6，0)和B(0，－4)，∴⎩⎨⎧－b2a＝72，36a＋6b＋c＝0，c＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a＝－23，b＝143，c＝－4.∴抛物线的表达式为y＝－23x2＋143x－4，配方，得y＝－23()x－722＋256，∴抛物线的顶点坐标为()72，256.。
中考数学总复习《二次函数-动态几何问题》练习题及答案
中考数学总复习《二次函数-动态几何问题》练习题及答案班级:___________姓名：___________考号：_____________一、单选题1．如图，菱形ABCD的边长是4厘米，∠B=60°，动点P以1厘米/秒的速度自A点出发沿AB方向运动至B点停止，动点Q以2厘米/秒的速度自B点出发沿折线BCD运动至D点停止.若点P、Q同时出发运动了t秒，记∠BPQ的面积为S厘米2，下面图象中能表示S与t之间的函数关系的是（）A．B．C．D．2．下列函数关系式中，是二次函数的是（）A．y=x3﹣2x2﹣1B．y=x2C．y=2x2D．y=x+13．如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回，点P在运动过程中速度大小不变，则以点A为圆心，线段AP长为半径的圆的面积S与点P的运动时间t之间的函数图象大致为（）A．B．C．D．4．两个少年在绿茵场上游戏．小红从点A出发沿线段AB运动到点B，小兰从点C出发，以相同的速度沿∠O逆时针运动一周回到点C，两人的运动路线如图1所示，其中AC =DB．两人同时开始运动，直到都停止运动时游戏结束，其间他们与点C的距离y与时间x（单位：秒）的对应关系如图2所示．则下列说法正确的是（）A．小红的运动路程比小兰的长B．两人分别在1.09秒和7.49秒的时刻相遇C．当小红运动到点D的时候，小兰已经经过了点DD．在4.84秒时，两人的距离正好等于∠O的半径5．设抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）的顶点在线段AB上运动，抛物线与x轴交于C，D两点（C在D 的左侧）．若点A，B的坐标分别为（﹣2，3）和（1，3），给出下列结论：①c＜3；②当x＜﹣3时，y随x的增大而增大；③若点D的横坐标最大值为5，则点C的横坐标最小值为﹣5；④当四边形ACDB为平行四边形时，a=﹣43．其中正确的是（）A．①②④B．①③④C．②③D．②④6．下列函数属于二次函数的是（）A．y=5x+3B．y=1x2C．y=2x2+x+1D．y=√x2+17．如图所示，∠ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=2，正方形DEFG边长也为2，且AC与DE在同一直线上，∠ABC从C点与D点重合开始，沿直线DE向右平移，直到点A与点E重合为止，设CD的长为x，∠ABC与正方形DEFG重合部分（图中阴影部分）的面积为y，则y与x之间的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．8．如图，矩形的长和宽分别是4和3，等腰三角形的底和高分别是3和4，如果此三角形的底和矩形的宽重合，并且沿矩形两条宽的中点所在的直线自右向左匀速运动至等腰三角形的底与另一宽重合．设矩形与等腰三角形重叠部分（阴影部分）的面积为y，重叠部分图形的高为x，那么y关于x 的函数图象大致应为A．B．C．D．9．如图①，在正方形ABCD中，点P沿边DA从点D开始向点A以1cm/s的速度移动，同时点Q 沿边AB，BC从点A开始向点C以2cm/s的速度移动，当点P移动到点A时，P、Q同时停止移动。
江苏专版【中考压轴题突破系列02】二次函数中的动点问题
【中考压轴题专题突破】二次函数中的动点问题1．已知：二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B 在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB＜OC）是方程x2﹣10x+16＝0的两个根，且A点坐标为（﹣6，0）．（1）求此二次函数的表达式；（2）若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EF∥AC交BC 于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；2．如图是二次函数y＝（x+m）2+k的图象，其顶点坐标为M（1，﹣4）．（1）求出图象与x轴的交点A，B的坐标；（2）在二次函数的图象上是否存在点P，使S△P AB＝S△MAB？若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由；（3）点C在x轴上一动点，以BC为边作正方形BCDE，正方形BCDE还有一个顶点（除点B外）在抛物线上，请写出满足条件的点E的坐标；（4）将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线y＝x+b与此图象至少有三个公共点时，请直接写出b的取值范围是．3．如图，二次函数图象的顶点为坐标系原点O，且经过点A（3，3），一次函数的图象经过点A和点B（6，0）．（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）如果一次函数图象与y轴相交于点C，点D在线段AC上，与y轴平行的直线DE 与二次函数图象相交于点E，∠CDO＝∠OED，求点D的坐标；（3）当点D在直线AC上的一个动点时，以点O、C、D、E为顶点的四边形能成为平行四边形吗？请说明理由．4．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴相交点C（0，）．（1）求该二次函数解析式；（2）连接AC、BC，点M、N分别是线段AB、BC上的动点，且始终满足BM＝BN，连接MN．①将△BMN沿MN翻折，B点能恰好落在AC边上的P处吗？若能，请判断四边形BMPN的形状并求出PN的长；若不能，请说明理由．②将△BMN沿MN翻折，B点能恰好落在此抛物线上吗？若能，请直接写出此时B点关于MN的对称点Q的坐标；若不能，请说明理由．5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣x﹣与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．（1）判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如图（1），点P为直线BC下方的二次函数图象上的一个动点（点P与B、C不重合），过点p作Y轴的平行线交X轴于点E．当△PBC面积的最大值时，点F为线段BC 一点（不与点BC重合），连接EF，动点G从点E出发，沿线段EF以每秒1个单位的速度运动到点F，再沿FC以每秒个单位的速度运动到点C后停止，当点F的坐标是多少时，点G在整个运动过程中用时最少？（3）如图2，将△ACO沿射线CB方向以每秒个单位的速度平移，记平移后的△ACO 为△A1C1O1连接AA1，直线AA1交抛物线与点M，设平移的时间为t秒，当△AMC1为等腰三角形时，求t的值．6．如图，二次函数y＝x2+bx﹣的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接DP，过点P作DP的垂线与y轴交于点E．（1）b＝；点D的坐标：；（2）线段AO上是否存在点P（点P不与A、O重合），使得OE的长为1；（3）在x轴负半轴上是否存在这样的点P，使△PED是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标及此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积；若不存在，请说明理由．【中考压轴题专题突破】二次函数中的动点问题参考答案与试题解析一．解答题（共6小题）1．解：（1）由x2﹣10x+16＝0得x1＝2，x2＝8，∴B（2，0），C（0，8）∵点A（﹣6，0），B（2，0），C（0，8）在二次函数y＝ax2+bx+c的图象上，∴，得，∴所求二次函数的表达式为y＝﹣x2﹣x+8；（2）∵AB＝8，OC＝8，依题意，AE＝m，则BE＝8﹣m，∵OA＝6，OC＝8，∴AC＝10．∵EF∥AC，∴△BEF∽△BAC，∴＝，即＝，∴EF＝．过点F作FG⊥AB，垂足为G，则sin∠FEG＝sin∠CAB＝，∴＝，∴FG＝•＝8﹣m，∴S＝S△BCE﹣S△BFE＝＝﹣（0＜m＜8）．2．解：（1）∵M（1，﹣4）是二次函数y＝（x+m）2+k的顶点坐标，∴y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3，当x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3．∴A、B两点的坐标分别为A（﹣1，0），B（3，0）；（2）在二次函数的图象上存在点P，使设P（x，y），则，又，∴2|y|＝×8，即y＝±5，∵二次函数的最小值为﹣4，∴y＝5．当y＝5时，x＝﹣2或x＝4．∴P点坐标为（﹣2，5）或（4，5）；（3）不妨设点E在抛物线y＝x2﹣2x﹣3上，C点的坐标为（m，0）．当BC为正方形BCDE的边时，则D点的坐标为（m，m2﹣2m﹣3）．∵四边形BCDE是正方形，∴BC＝DE，∴|m﹣3|＝|m2﹣2m﹣3|，即m﹣3＝m2﹣2m﹣3，或m﹣3＝﹣（m2﹣2m﹣3），解得m1＝0，m2＝3，或m1＝﹣2，m2＝3，当m＝3时，C点与B点重合，不合题意，舍去，∴C点的坐标为（0，0）或（﹣2，0），则E1（3，4），E2（3，﹣4），当点C与原点重合时也符合题意，此时点D（0，﹣3），可得E3（3，﹣3）；当点C为（﹣2，0）时也符合题意，此时点D（﹣2，5），可得E4（3，5）．综上所述，符合条件的点E的坐标是（3，4）或（3，﹣4）或（3，﹣3）或（3，5）．（4）如图3，依题意知，当﹣1≤x≤3时，翻折后的抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3与直线y＝x+b与新抛物线有1个交点时，﹣x2+2x+3＝x+b，即x2﹣x﹣3﹣b＝0，则△＝（﹣1）2﹣4×（﹣3﹣b）＝0，解得b＝当直线y＝x+b经过A（﹣1，0）时﹣1+b＝0，可得b＝1，由题意可知y＝x+b在y＝x+1的下方．由图可知符合题意的b的取值范围1≤b≤．故答案是：1≤b≤．3．解：（1）设二次函数的解析式为y＝ax2，把A（3，3）代入得a＝，∴二次函数的解析式为y＝x2；设一次函数的解析式为y＝kx+b，把A（3，3），B（6，0）分别代入得，3k+b＝3，6k+b＝0，解得k＝﹣1，b＝6，∴一次函数的解析式为y＝﹣x+6；（2）∵DE∥y轴，∠CDO＝∠OED，∴△CDO∽△OED，∴，设D点的坐标为（m，﹣m+6），那么点E的坐标为（m，），∴OD2＝，又∵由直线y＝﹣x+6与y轴交于点C，∴点C的坐标为（0，6），CO＝6，∴，解得m1＝0（不合题意，舍去），m2＝，∴点D的坐标为（，）；（3）以点O、C、D、E为顶点的四边形能成为平行四边形．理由如下：若DE＝OC，以点O、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形，①当点D在点E上方，．x＝0（舍去），x＝﹣3，y＝﹣（﹣3）+6＝9②当点D在E下方，x2﹣（﹣x+6）＝6，得x＝．当x＝，y＝﹣+6＝；当x＝，y＝﹣+6＝．所以当D点坐标为：（﹣3，9）或（，）或（，）．4．解：（1）将A、B、C三点坐标分别代入y＝ax2+bx+c（a≠0）中得：，解得：∴该二次函数解析式为：y＝﹣x2﹣x+．（2）①假设B点能恰好落在AC边上的P处，由题知：OA＝3，OB＝1，OC＝，∴AC＝2，BC＝2，AB＝4；∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，∠A＝30°，∠B＝60°．又由BM＝BN＝PN＝PM知四边形BMPN为菱形．设PN＝m，由PN∥AB可得：＝，即＝．∴m＝，即PN的长为．②由①知：QN始终与x轴平行，若点Q在抛物线上，则点N也在抛物线上，且QN＝CB＝2；已知C（0，），则Q（﹣2，）；当x＝﹣2时，y＝﹣x2﹣x+＝﹣×4﹣×（﹣2）+＝，∴Q（﹣2，）正好在抛物线的图象上；故答案：能，此时Q的坐标为（﹣2，）．5．解：（1）结论：△ABC是直角三角形．理由：如图1中，连接AC．∵抛物线y＝x2﹣x﹣与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣），在Rt△AOC中，∵tan∠ACO＝＝，∴∠ACO＝30°，在Rt△OBC中，∵tan∠BCO＝＝，∴∠BCO＝60°，∴∠ACB＝∠ACO+∠BCO＝90°，∴△ABC是直角三角形．（2）设P（m，m2﹣m﹣），作射线CN，使得∠BCN＝60°，作FH⊥CN于H，FG⊥AE于G，则FH＝CF•cos30°＝CF．则S△PBC＝S△POC+S△POB﹣S△BOC＝××m+×3×（﹣m2+m+）﹣××3＝﹣（m﹣）2+，∵﹣＜0，∴m＝时，△PBC的面积最大，此时P（，﹣），∵动点G的运动时间＝+＝EF+CF＝EF+FH，根据垂线段最短可知，当EH⊥CN时，动点G的运动时间最小，∵∠EFB＝∠EBF＝30°，∴EF＝EB＝，在Rt△EFG中，FG＝EF•cos30°＝，EG＝，OG＝，∴此时F的坐标为（，﹣）．（3）由题意直线BC的解析式为y＝x﹣，直线AC的解析式为y＝x+，由，解得或，∴M（4，），∵C1（t，t﹣），∴AM2＝52+（）2，C1A2＝（t+1）2+（t﹣）2，MC1＝（4﹣t）2+（﹣t+）2，①当AM＝MC1时，52+（）2＝（4﹣t）2+（﹣t+）2，解得t＝5+或5﹣，②当C1A＝C1M时，（t+1）2+（t﹣）2＝（4﹣t）2+（﹣t+）2，解得t＝③当C1A＝AM时，52+（）2＝（t+1）2+（t﹣）2，解得t＝s或﹣（舍弃），综上所述，满足条件的t的值为（5+）s或（5﹣）s或s或s．6．解：（1）∵点A（﹣3，0）在二次函数y＝x2+bx﹣的图象上，∴0＝﹣3b﹣，解得b＝1，∴二次函数解析式为y＝x2+x﹣＝（x+3）（x﹣1），∴点B（1，0），AB＝1﹣（﹣3）＝4，∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝AB＝4，∴点D（﹣3，4），故答案为：1；（﹣3，4）．（2）直线PE交y轴于点E，如图1，假设存在点P，使得OE的长为1，设OP＝a，则AP＝3﹣a，∵DP⊥AE，∠APD+∠DPE+∠EPO＝180°，∴∠EPO＝90°﹣∠APD＝∠ADP，tan∠ADP＝＝，tan∠EPO＝＝，∴＝，即a2﹣3a+4＝0，△＝（﹣3）2﹣4×4＝﹣7，无解故线段AO上不存在点P（点P不与A、O重合），使得OE的长为1．（3）假设存在这样的点P，DE交x轴于点M，如图2，∵△PED是等腰三角形，∴DP＝PE，∵DP⊥PE，四边形ABCD为正方形∴∠EPO+∠APD＝90°，∠DAP＝90°，∠P AD+∠APD＝90°，∴∠EPO＝∠PDA，∠PEO＝∠DP A，在△PEO和△DAP中，，∴△PEO≌△DAP，∴PO＝DA＝4，OE＝AP＝PO﹣AO＝4﹣3＝1，∴点P坐标为（﹣4，0）．∵DA⊥x轴，∴DA∥EO，∴∠ADM＝∠OEM（两直线平行，内错角相等），又∵∠AMD＝∠OME（对顶角），∴△DAM∽EOM，∴＝＝，∵OM+MA＝OA＝3，∴MA＝×3＝，△PED与正方形ABCD重叠部分△ADM面积为×AD×AM＝×4×＝．答：存在这样的点P，点P的坐标为（﹣4，1），此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积为．。
2022年江苏省南通市 中考二次函数 压轴题复习专项训练(word版、无答案)
2022年南通中考 二次函数压轴题复习专项训练2 1．已知抛物线解析式为2210226y mx mx m =--+．（0m <）（1）若此抛物线与x 轴的一个交点为()2,0-．求此抛物线的函数解析式． （2）若点1(,)n y 、2()2,n y +、3()3,n y +都在此抛物线上，且12y y <．①求n 的取值范围．②判断1y 与3y 的大小关系，并说明理由．2．在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝ax 2﹣2ax ﹣3a （a 是常数，且a ＞0）． （1）该抛物线的对称轴是 ，恒过点 ．（2）当﹣2≤x ≤2时，函数的取值范围是﹣4≤y ≤b ，求a 、b 的值．（3）当一个点的横纵坐标都为整数时，称这个点为整点，若该函数图象与x 轴围成的区域内有6个整点（不含边界）时，求a 的取值范围．（4）当a ＝1时，将该抛物线在0≤x ≤4之间的部分记为图象G ．将图象G 在直线y ＝t （t 为常数）下方的部分沿直线y ＝t 翻折，其余部分保持不变，得到新图象Q ，设Q 的最高点、最低点的纵坐标分别为y 1、y 2，若y 1﹣y 2≤6，直接写出t 的取值范围．3．若抛物线L ：y=ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，abc ≠0）与直线l 都经过y 轴上的同一点，且抛物线L 的顶点在直线l 上，则称次抛物线L 与直线l 具有“一带一路”关系，并且将直线l 叫做抛物线L 的“路线”，抛物线L 叫做直线l 的“带线”．（1）若“路线”l 的表达式为y=2x ﹣4，它的“带线”L 的顶点的横坐标为﹣1，求“带线”L 的表达式；（2）如果抛物线y=mx 2﹣2mx +m ﹣1与直线y=nx +1具有“一带一路”关系，求m ，n 的值； （3）设（2）中的“带线”L 与它的“路线”l 在y 轴上的交点为A ．已知点P 为“带线”L 上的点，当以点P 为圆心的圆与“路线”l 相切于点A 时，求出点P 的坐标．4．在平面直角坐标系内，二次函数21(2)1y ax a x =+-+与一次函数2--1y ax b =+（a ，b 为常数，且0a ≠）．（1）若y 1，y 2的图象都经过点（2，3），求y 1，y 2的表达式；（2）当y 2经过点(1,3),(,33)A B m a +时，y 1也过A ，B 两点：①求m 的值；②()()0102,,,x y x y 分别在y 1，y 2的图象上，实数t 使得“当0-3x t <+或023x t >-时，12y y >”,试求t 的最小值．5．如图，在平面直角坐标系xoy 中，抛物线y =ax 2-4ax+c 的图象经过点A (0，-4)． （1）请直接写出抛物线的对称轴的表达式 ．（2）已知点B(1，-4a)，点C 在直线AB 上，且点C 的横坐标为4，请直接写出点C 的纵坐标（用含a 的式子表示） ．（3）在（2）的条件下，抛物线的图象与线段BC 恰有一个公共点，请直接写出a 的取值范围 ．6．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2442y mx mx m =-+-（0m >）与x 轴交于点A 、B 两点．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）若横、纵坐标都是整数的点叫做整点．①当1m =时，求线段AB 上的整点个数；②若抛物线在A 、B 之间的部分与线段AB 所围成的区域（包括边界）恰有七个整点，结合函数图象，求m 的取值范围．7．已知关于x 的一元二次方程2x 2+4x+k-1=0有实数根，k 为正整数.（1）求k 的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x 的二次函数y=2x 2+4x+k-1的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；(3) 在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图像回答：当直线y=0.5x+b (b<k)与此图象有两个公共点时，b的取值范围.8．已知二次函数y＝2x2+4x+k﹣1．（1）当二次函数的图象与x轴有交点时，求k的取值范围；（2）若A（x1，0）与B（x2，0）是二次函数图象上的两个点，且当x＝x1+x2时，y＝﹣6，求二次函数的解析式，并在所提供的坐标系中画出大致图象；（3）在（2）的条件下，将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象其余部分保持不变，得到一个新的图象，当直线y＝12x+m（m＜3）与新图象有两个公共点，且m为整数时，求m的值．9．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y= ax2- 4ax+ 3a-3的顶点为点A．(1)求点A的坐标(用含a的代数式表示)(2)点B的坐标为(-1，2)，将线OB沿x轴向右平移5个单位得到O'B'①直接写出点O'和B'的坐标②若抛物线y= ax2 -4ax+ 3a-3与四边形BOO'B'恰有4个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．10．在平面直角坐标系xOy 中，过点（0，2）且平行于x 轴的直线，与直线y ＝x －1交于点A ，点A 关于直线x ＝1的对称点为B ，抛物线C 1：y ＝x 2＋bx ＋c 经过点A ，B ．（1）求点A ，B 的坐标；（2）求抛物线C 1的表达式及顶点坐标；（3）若拋物线C 2：y ＝ax 2（a≠0）与线段AB 恰有一个公共点，结合函数的图象，求a 的取值范围.11．已知二次函数2y ax bx c =++，其中a ＞0．（1）若方程220ax bx c x +++=有两个实根121,3x x ==，且方程260ax bx c a +++=有两个相等的实根，求二次函数的解析式；（2）若二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于(),,0,)30(A B m -两点，且当10x -≤≤时，20ax bx c ++≤恒成立，求实数m 的取值范围．12．已知二次函数()()231222y t x t x =++++在0x =和2x =时的函数值相等．（1）求二次函数的解析式；（2）若一次函数6y kx =+的图象与二次函数的图象都经过点()3,A m -，求m 和k 的值； （3）把二次函数的图象与x 轴两个交点之间的部分记为图象G ，把图象G 向左平移(0)n n >个单位后得到的图象记为M ，请结合图象回答：当（2）中得到的直线与图象M 有公共点时，求n 的取值范围．13．在平面直角坐标系中，如果点P 的横坐标和纵坐标相等，则称点P 为和谐点．例如点（1，1），（13-，13-），（22…，都是和谐点． （1）判断函数21y x =-+的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；（2）若二次函数24(0)y ax x c a =++≠的图象上有且只有一个和谐点（32，32）， ①求a ，c 的值．②当0x m ≤≤时，函数234(0)4y ax x c a =++-≠的最小值为－3，最大值为1，直接写出m 的取值范围．14．在平面直角坐标系xOy 中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．直线y ＝ax 与抛物线y ＝ax 2﹣2ax ﹣1（a ≠0）围成的封闭区域（不包含边界）为W ．（1）求抛物线顶点坐标（用含a 的式子表示）；（2）当a ＝12时，写出区域W 内的所有整点坐标；（3）若区域W 内有3个整点，求a 的取值范围．15．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y=mx 2－(2m+1)x+m －5的图象与x 轴有两个公共点．（1）求m 的取值范围；（2）若m 取满足条件的最小的整数，①写出这个二次函数的表达式；②当n≤x≤1时，函数值y 的取值范围是－6≤y≤4－n ，求n 的值；③将此二次函数图象平移，使平移后的图象经过原点O ．设平移后的图象对应的函数表达式为y=a(x －h)2 +k ，当x<2时，y 随x 的增大而减小，求k 的取值范围．16．在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数223y mx mx =++的图象与x 轴交于点()30A -,，与y 轴交于点B ，将其图象在点A ，B 之间的部分（含A ，B 两点）记为F ．（1）求点B 的坐标及该函数的表达式；（2）若二次函数22y x x a =++的图象与F 只有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．。
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三、解答重难点突破
拓展题型二二次函数中的动态问题
针对演练
1.如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx-3（a，b是常数）的图象与x轴交于点A(-3，0)和点B(1，0），与y轴交于点C，动直线y=t（t为常数）与抛物线交于不同的两点P 、Q.
（1）求a和b的值；
（2）求t的取值范围；
（3）若∠PCQ=90°，求t的值.
第1题图
2.已知抛物线y=ax2+bx+c经过原点O及点A(-4，0)和点B(-6，3)，
（1）求抛物线的解析式以及顶点坐标；
（2）如图①，将直线y=2x沿y轴向下平移后与（1）中所求抛物线只有一个交点C，平移后的直线与y轴交于点D，求直线CD的解析式；
（3）如图②，将（1）中所求抛物线向上平移4个单位得到新抛物线，请直接写出新抛物线上到直线CD距离最短的点的坐标及该最短距离.
第2题图
3.
(2015乐山10分)如图①，二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴分别交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，若tan ∠ABC ＝3，一元二次方程ax 2+bx +c =0的两根为-8、2.
（1）求二次函数的解析式；
（2）直线l 以AB 为起始位置，绕点A 顺时针旋转到AC 位置停止，l 与线段BC 交于点D ，P 是A D 的中点.
①求点P 的运动路程；
②如图②，过点D 作DE 垂直x 轴于点E ，作DF ⊥AC 所在直线于点F ，连接PE 、PF ，在l 运动过程中，∠EPF 的大小是否改变？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，连接EF ，求△PEF 周长的最小值.
第3题图
【答案】
针对演练
1.（1）【思路分析】将点A 、点B 的坐标代入二次函数解析式可求出a 、b 的值.
解：将点A (-3，0)、点B (1，0)的坐标代入y =ax 2
+bx -3中可得：⎩⎨⎧=--=-+033903b a b a ， 解得：.2
1⎩⎨⎧==b a （2）【思路分析】根据二次函数及y =t ，可得出方程，有两个交点，可得b 2-4ac ＞0，求解t 的范围即可.
解：由（1）知抛物线的解析式为y =x 2+2x -3，动直线y =t ，
联立两个解析式可得：x 2+2x -3=t ，即x 2+2x -（3+t ）=0，
∵动直线y =t （t 为常数）与抛物线交于不同的两点，
∴b 2-4ac =4+4（3+t ）＞0，
解得：t ＞-4.
（3）【思路分析】如解图，证明△QCD ∽△CPD ，利用相似三角形的对应边成比例，可
求出t 的值.
解：∵y =x 2+2x -3=（x +1）2-4，
∴抛物线的对称轴为直线x =-1，
当x =0时，y =-3，∴C （0，-3）,
设点Q 的坐标为（m ，t ），则P （-2-m ，t ）,
如解图，设PQ 与y 轴交于点D ，第1题解图
则CD =t +3，DQ =m ，DP =m +2,
∵∠PCQ =∠PCD +∠QCD =90°，∠DPC +∠PCD =90°，
∴∠QCD =∠DPC ，
又∵∠PDC =∠QDC =90°，
∴△QCD ∽△CPD ， ∴PD DC DC DQ =，即2
33++=+m t t m , 整理得：t 2+6t +9=m 2+2m ，
∵Q （m ，t ）在抛物线上，
∴t =m 2+2m -3，
∴m 2+2m =t +3，
∴t 2+6t +9=t +3，化简得：t 2+5t +6=0，
解得t =-2或t =-3，
当t =-3时，动直线y =t 经过点C ，故不合题意，舍去．
∴t =-2.
2.（1）【思路分析】根据待定系数法，可得函数解析式.
解：∵抛物线经过O （0，0），A （-4，0），B （-6，3）三点，
∴,363604160⎪⎩
⎪⎨⎧=-=-=b a b a c 解得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧===0141c b a ∴抛物线的解析式为x x y +=
241, ∵(),124
1)444(4141222-+=-++=+=x x x x x y ∴抛物线的顶点坐标为（-2，-1）.
（2）【思路分析】根据平移规律，可得直线CD 的解析式，根据相切，可得关于m 的方程，根据解方程，可得m .
解：设直线CD 的解析式为y =2x +m ， 根据题意，得4
1x 2+x =2x +m , 化简整理，得x 2-4x -4m ＝0，。