第27章相似专项训练专训1证比例式或等积式的技巧

第27章相似专项训练

专训1证比例式或等积式的技巧

名师点金：

证比例式或等积式，若所遇问题中无平行线或相似三角形，则需构造平行线或相似三角形，得到成比例线段；若比例式或等积式中的线段分布在两个三角形或不在两个三角形中，可尝试证这两个三角形相似或先将它们转化到两个三角形中再证两三

角形相似，若在两个明显不相似的三角形中，可运用中间比代换.

构造平行线法

1 •如图，在△ ABC中，D为AB的中点，DF交AC于点E,交BC的延长线于点F，

求证：AE- CF= BF- EC.

2•如图，已知△ ABC的边AB上有一点D,边BC的延长线上有一点E,且AD =CE DE交AC于点F，

试证明：AB- DF= BC- EF.

点找三角形相似法

DC_C^ AE_AD

4.如图，在△ ABC中，/ BAC90°, M为BC的中点，DMLBC交CA的延长

线于D,交AB于E.

求证：AM= MD ME.

3.如图，在？ABCD中E是AB延长线上的一点, DE交BC于F.

构造相似三角形法

5•如图，在等边三角形ABC中，点P是BC边上任意一点，AP的垂直平分线分别交AB, AC于点M N.

求证：BP- CP= BM- CN.

等比过渡法

6 .如图,在厶ABC中,AB= AC, DE// BC,点F在边AC上, DF与BE相交于点G,且/ EDF=Z ABE.

求证：(1) △ DEF^A BDE

(2)DG - DF= DB- EF.

7.如图，CE是Rt△ ABC斜边上的高，在EC的延长线上任取一点P,连接AP,作BGLAP于点G 交CE于点D.

求证：CE= DE- PE.

（第7题）

两次相似法

8.如图，在Rt△ ABC中，AD是斜边BC上的高，/ ABC的平分线BE交AC

（第5

（第6

B

于E,交AD于F.

BF AB BE_ BC.

9 .如图，在？ABCDK AM L BQ ANL CD垂足分别为M N.求证: (1) △

AMB^A AND

AM MN

⑵ AB T AC

等积代换法

10. 如图，在△ ABC中, ADL BC于D, DEL AB 于E, DF丄AC 于F.

等线段代换法

11. 如图，等腰△ ABC中, AB= AC AD L BC于点D,点P是AD上一点，CF // AB延长BP交AC于点E,交CF于点F,

求证：B P T PE- PF.

求证:

理AC

A F T A B

（第8

（第10

A

12. 已知：如图，AD平分/ BAC AD的垂直平分线EP交BC的延长线于点P.

求证：PD= PB- PC.

（第12题）

专训2巧用“基本图形”探索相似条件

名师点金：

几何图形大多数由基本图形复合而成，因此熟悉三角形相似的基本图形，有助于快速、准确地识别相似三角形，从而顺利找到解题思路和方法.相似三角形的四类结构图：

1.平行线型.

B

{CD//AB)

2 •相交线

型. A

3.子母型.

B C B C

4.旋转型.

B

A

R

平行线型

1 .如图，在△

ABC

中，BE平分/ ABC交AC于点E,过点E作ED// BC交AB 于点D.

(1) 求证：AE- BO BD- AC

(2) 如果S A ADE= 3, S A BDE= 2, DE= 6,求BC的长.

相交线型

2 .如图，点D, E分别为△ ABC的边AC, AB上的点,

DO试问△ ADE与△ ABC相似吗？请说明理由.

BD CE交于点o,且IO

子母型

3. 如图,在厶ABC中,/ BAG 90°, ADL BC于点D, E为AC的中点,ED 的延长线交AB的延长线于点F.求证:

AB_ DF

AC=AF

(第2题)

A

（第3题）

旋转型

4. 如图，已知/ DAB=Z EAC / ADE=Z ABC. 求证：⑴△ AD0A ABC

AD BD

⑵荷CE

（第4题）

专训3利用相似三角形巧证线段的数量和位置关系

名师点金：

判断两线段之间的数量和位置关系是几何中的基本题型之一.由角的关系推出“平行或垂直”是判断位置关系的常用方法，由相似三角形推出“相等”是判断数量关系的常用方法.

证明两线段的数量关系

类型1：证明两线段的相等关系

1. 如图，已知在厶ABC中, DE// BC BE与CD交于点0,直线AO与BC边交于点M与DE交于点N.

求证：BM h MC.

2. 如图，一直线和△ ABC的边AB AC分别交于点D, E,和BC的延长线交于点F,且AE CE= BF CF.

求证：AD= DB.

类型2

:证明两线段的倍分关系

3. 如图，在△ ABC中，BD丄AC于点D, CEL AB于点E,Z A= 60°,求证: DN ^C.

4. 如图，ABC的角平分线，D为AB的中点，CE// AB, CE交DM的延

长线于E.

求证：AC= 2CE.

证明两线段的位置关系

类型1:证明两线段平行

5. 如图，已知点D为等腰直角三角形ABC的斜边AB上一点，连接CD DE 丄CD DE= CD 连接CE AE.求证：AE// BC.

6 .在△ ABC中，D, E, F 分别为BC, AB, AC上的点，EF// BC, DF// AB,连接CE和AD,分别交DF, EF于点N, M.

（第5